지수함수와 로그함수 -...

10장

지 함로그함

10장

지 함로그함

l 지 함 로그함l 지 함 로그함

u지 함 로그함u지 함 로그함

è개요(introduction)

- 앞 장에 는 다항함 는 리함 에 하나의 택

변 를 갖는 경우 극값의 해결에

- 본 장에 는 이러한 논리를 지 함 나 로그함 에

용함.

- 지 함 로그함 는 경 학에 범 하게 응용

(특히, 경 장 , 동태분 등).

- 여 는 택변 가 시간(time)이 는 최 화 를

다루는데 응용 .

è개요(introduction)

- 앞 장에 는 다항함 는 리함 에 하나의 택

변 를 갖는 경우 극값의 해결에

- 본 장에 는 이러한 논리를 지 함 나 로그함 에

용함.

- 지 함 로그함 는 경 학에 범 하게 응용

(특히, 경 장 , 동태분 등).

- 여 는 택변 가 시간(time)이 는 최 화 를

다루는데 응용 .


u지 함 의 질u지 함 의 질

è지 함 의 질(the nature of exponential function)

- 지 (exponent)는변 가거듭 곱 때그멱(the power)을

나타내는 지표임.

- 일 로 멱이 x3, x5에 지 는 상 (constant)임.

- 그러나 멱이 3x, 3t과 같이 가변 인 지 , 즉 3 가변

인 멱에 의해 거듭 곱 .

- 이처럼 함 의 독립변 가 지 의 역할을 하는 함 를

지 함 (exponential function)라고 함.

- 즉, 지 가 상 가 아닌 변 인 경우를 지 함 라 함.


- 지 (exponent)는변 가거듭 곱 때그멱(the power)을

나타내는 지표임.

- 일 로 멱이 x3, x5에 지 는 상 (constant)임.

- 그러나 멱이 3x, 3t과 같이 가변 인 지 , 즉 3 가변

인 멱에 의해 거듭 곱 .

- 이처럼 함 의 독립변 가 지 의 역할을 하는 함 를

지 함 (exponential function)라고 함.

- 즉, 지 가 상 가 아닌 변 인 경우를 지 함 라 함.




- 지 함 는 간단히 다음의 태로 표시할 있음.

y=f(t)=bt (단, b>1, b¹0)

여 y t는 각각 종속변 독립변 , b는

(base), t를 지 (exponent)라고 함.

- 그런데 왜 b>1이라는 약을 가하는가?

⑴ 만약 b가 음이면(b<0) 를 들어 b1/2 음 의

곱근을 취하게 . 라 이러한 를 다루는

것 복잡하고 어 움.


- 지 함 는 간단히 다음의 태로 표시할 있음.

y=f(t)=bt (단, b>1, b¹0)

여 y t는 각각 종속변 독립변 , b는

(base), t를 지 (exponent)라고 함.

- 그런데 왜 b>1이라는 약을 가하는가?

⑴ 만약 b가 음이면(b<0) 를 들어 b1/2 음 의

곱근을 취하게 . 라 이러한 를 다루는

것 복잡하고 어 움.




⑵ 만약 0<b<1이면 를 들어 다음과 같다면

y=(1/5)t=1/(5t)=5-t

즉, 가 1보다 작 함 인 경우는 가 1보다

큰 함 로 다시 변환할 있음.

⑶ 만약 b=1이면 y=1t=1이므로 사실상 지 함 는

상 함 가 .

- 라 지 함 는 b>1이라는 약이 필요함.


⑵ 만약 0<b<1이면 를 들어 다음과 같다면

y=(1/5)t=1/(5t)=5-t

즉, 가 1보다 작 함 인 경우는 가 1보다

큰 함 로 다시 변환할 있음.

⑶ 만약 b=1이면 y=1t=1이므로 사실상 지 함 는

상 함 가 .

- 라 지 함 는 b>1이라는 약이 필요함.



è지 함 의 질(the nature of exponential function)è지 함 의 질(the nature of exponential function)

yy=bt (0<b<1)

0 t

1

y=bt (b>1)




- 지 함 의 graph는 일 로 [그림 10.1]과 같

곡 태로 나타남(여 는 b=2인 경우임).

- 앞에 지 함 는 b>1이므로 항상 증가하는 태임.

- 그러나 0<b<1이면 지 함 는 항상 감소하는 태임.

지 함 graph의 가지 특징(salient features)

⑴ 지 함 의 graph는 모든 에 연속이며 매끄러움.

라 모든 에 미분이 가능함.


- 지 함 의 graph는 일 로 [그림 10.1]과 같

곡 태로 나타남(여 는 b=2인 경우임).

- 앞에 지 함 는 b>1이므로 항상 증가하는 태임.

- 그러나 0<b<1이면 지 함 는 항상 감소하는 태임.

지 함 graph의 가지 특징(salient features)

⑴ 지 함 의 graph는 모든 에 연속이며 매끄러움.

라 모든 에 미분이 가능함.




⑵ 지 함 의 graph는 강증가하고 사실상 y는 모든

역에 울 는 체증함.

⑶ 지 함 의 의역이 양 뿐만 아니라 음 라도,

즉 독립변 t의 부 에 계없이 종속변 y의 값

항상 양(+)임[ 의역 (-¥, ¥), 치역 (0, ¥)].


⑵ 지 함 의 graph는 강증가하고 사실상 y는 모든

역에 울 는 체증함.

⑶ 지 함 의 의역이 양 뿐만 아니라 음 라도,

즉 독립변 t의 부 에 계없이 종속변 y의 값

항상 양(+)임[ 의역 (-¥, ¥), 치역 (0, ¥)].



è지 함 의 질(the nature of exponential function)è지 함 의 질(the nature of exponential function)



è지 함 가 강단조 을 갖는다는 의미

⑴ 지 함 는 드시 역함 를 가지며, 그 역함

역시 강단조 을 가짐.

지 함 의역함 는로그함 (logarithmic function)임.

⑵ 강단조 주어진 y의 값에 해 일한 t값이

존재한다는 것을 의미하고, 지 함 의 치역

개구간 (0, ¥)이 때 에 어떤 양 라도 1보다 큰

b의 일한 멱 로 나타낼 있음.

è지 함 가 강단조 을 갖는다는 의미

⑴ 지 함 는 드시 역함 를 가지며, 그 역함

역시 강단조 을 가짐.

지 함 의역함 는로그함 (logarithmic function)임.

⑵ 강단조 주어진 y의 값에 해 일한 t값이

존재한다는 것을 의미하고, 지 함 의 치역

개구간 (0, ¥)이 때 에 어떤 양 라도 1보다 큰

b의 일한 멱 로 나타낼 있음.



è일 화 지 함 (generalized exponential function)

- 변환(base conversion)

를 들어 함 y=9t의 경우 이것을 y=(32)t=32t 로

변 이 가능함.

그러나 변환이 드시 새로운 태의 함 를

만들어내는 것 아님.

왜냐하면 w=2t로 놓 면 y=32t=3w 여 히 앞의

그림 태 같음.


- 변환(base conversion)

를 들어 함 y=9t의 경우 이것을 y=(32)t=32t 로

변 이 가능함.

그러나 변환이 드시 새로운 태의 함 를

만들어내는 것 아님.

왜냐하면 w=2t로 놓 면 y=32t=3w 여 히 앞의

그림 태 같음.




그러나 한 함 y=f(t)=bt이고, 다른 함 y=g(t)=b2t

이면 두 함 의 가 같 때 에 함 g에 임의의

값 t=t0를 주고, 함 f에 t=2t0를 주면 두 함 의 값

드시 같아야 함: f(2t0)=g(t0)=b =y0


그러나 한 함 y=f(t)=bt이고, 다른 함 y=g(t)=b2t

이면 두 함 의 가 같 때 에 함 g에 임의의

값 t=t0를 주고, 함 f에 t=2t0를 주면 두 함 의 값

드시 같아야 함: f(2t0)=g(t0)=b =y02t0




- 이는 [그림 10.2]에 거리 y0J는 y0K의 이 .

- 마찬가지로 y의 어떤 값에 해 도 함 g는 함 f

로축 사이의 간에 치함.

- 그러므로 지 를 두 하는 것 y축쪽 로 원래의

지 함 를 로 축소(compress)하는 효과를,

그리고 지 를 하는 것 y축 로부 평거리로

두 확 (extend)하는 효과를 가 .


- 이는 [그림 10.2]에 거리 y0J는 y0K의 이 .

- 마찬가지로 y의 어떤 값에 해 도 함 g는 함 f

로축 사이의 간에 치함.

- 그러므로 지 를 두 하는 것 y축쪽 로 원래의

지 함 를 로 축소(compress)하는 효과를,

그리고 지 를 하는 것 y축 로부 평거리로

두 확 (extend)하는 효과를 가 .




- 한편, 두 함 는 모두 로축의 같 편을 가짐. 즉,

f(0)=g(0)=b0=1

- 하나의 법 bt과 2bt에 계 를 붙이는 경우임.

y=f(t)=bt, y=g(t)=2bt

이 경우에는 지 곡 을 축소 는 확 하는 효과도

나타나지만 그 향이 직이 .


- 한편, 두 함 는 모두 로축의 같 편을 가짐. 즉,

f(0)=g(0)=b0=1

- 하나의 법 bt과 2bt에 계 를 붙이는 경우임.

y=f(t)=bt, y=g(t)=2bt

이 경우에는 지 곡 을 축소 는 확 하는 효과도

나타나지만 그 향이 직이 .




- 앞의 함 에 t의 모든 값에 하여 후자[y=g(t)=2bt]는

자[y=f(t)=bt]보다 y의 값이 두 이 때 에 후자는

자의 두 높이에 치함(t0J¢=J¢K¢).

- 이 경우는 로축 편도 : f(0)=b0=1, g(0)=2b0=2

- 결국, 계 를 두 한다는 것 곡 을 가로축 로부

직거리로 두 확 , 계 를 하는 것 감하여

축소하는 것이 .


- 앞의 함 에 t의 모든 값에 하여 후자[y=g(t)=2bt]는

자[y=f(t)=bt]보다 y의 값이 두 이 때 에 후자는

자의 두 높이에 치함(t0J¢=J¢K¢).

- 이 경우는 로축 편도 : f(0)=b0=1, g(0)=2b0=2

- 결국, 계 를 두 한다는 것 곡 을 가로축 로부

직거리로 두 확 , 계 를 하는 것 감하여

축소하는 것이 .



è일 화 지 함 (generalized exponential function)è일 화 지 함 (generalized exponential function)




- 일 인 지 함 는 다음과 같이 나타낼 있음.

y=abct

여 a, b, c는 라미 이며, a c는 graph를 확

는 축소하는 인 들임.

- 만약 a c가 양이면 지 함 의 태는 [그림 10.2]

사하지만 a c가 음이면 지 함 의 graph는

근본 로 해야 함.


- 일 인 지 함 는 다음과 같이 나타낼 있음.

y=abct

여 a, b, c는 라미 이며, a c는 graph를 확

는 축소하는 인 들임.

- 만약 a c가 양이면 지 함 의 태는 [그림 10.2]

사하지만 a c가 음이면 지 함 의 graph는

근본 로 해야 함.



è 람직한 (a preferred base)

- 미 분학에 는 e(exponential : e=2.71828×××)로

표시 는 특 한 리 가 인 지 함 가 가장

리 사용 .

- e가 지 함 에 사용 때 그 함 를 자연지

함 (natural exponential function)라고 함.

- 를 들어 다음과 같음.

y=et y=e3t y=Aert


- 미 분학에 는 e(exponential : e=2.71828×××)로

표시 는 특 한 리 가 인 지 함 가 가장

리 사용 .

- e가 지 함 에 사용 때 그 함 를 자연지

함 (natural exponential function)라고 함.

- 를 들어 다음과 같음.

y=et y=e3t y=Aert




- 한 이 함 들 다음과 같 표 법 로도 나타냄.

y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt)

- 단, 약어 exp(지 exponential을 표시)는 e가

그의 지 로 안의 표 을 갖는다는 의미임.


- 한 이 함 들 다음과 같 표 법 로도 나타냄.

y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt)

- 단, 약어 exp(지 exponential을 표시)는 e가

그의 지 로 안의 표 을 갖는다는 의미임.




- 함 y=et의 도함 는 그 함 자체임. 즉,

et=et ex=ex

- 이 미분법칙을 이용하면 함 y=Aert 의 도함 는

우 , w=rt라 하면 함 는 y=Aew가 (A r 상 ).

그러면 연쇄법칙에 의해

= =Aew(r)=rAert 즉, Aert=rAert


- 함 y=et의 도함 는 그 함 자체임. 즉,

et=et ex=ex

- 이 미분법칙을 이용하면 함 y=Aert 의 도함 는

우 , w=rt라 하면 함 는 y=Aew가 (A r 상 ).

그러면 연쇄법칙에 의해

= =Aew(r)=rAert 즉, Aert=rAert

d

dt

d

dx

dy

dt

dy

dw

dw

dt

d

dt


u자연지 함 장의u자연지 함 장의

è e의 의(the number e)

- 앞의 미분법칙을 만족하는 실 e를 의해 보 로 함.

- 임의의 m에 하여 다음과 같을 때

f(m)=(1+ )m

- 만약 m이 더 큰 값을 가지면 f(m)도 역시 더 큰

값을 가짐.

- 더욱이 m이 한히 증가하면 f(m) 2.71828×××ºe에

함.


- 앞의 미분법칙을 만족하는 실 e를 의해 보 로 함.

- 임의의 m에 하여 다음과 같을 때

f(m)=(1+ )m

- 만약 m이 더 큰 값을 가지면 f(m)도 역시 더 큰

값을 가짐.

- 더욱이 m이 한히 증가하면 f(m) 2.71828×××ºe에

함.

1

m




- 라 e는 m®¥일 때 앞의 식의 극한값 로 의할

있음. 즉,

eº f(m)= (1+ )m

- 실 로 e는 리 이며, 그 값 략 2.71828×××임.


- 라 e는 m®¥일 때 앞의 식의 극한값 로 의할

있음. 즉,

eº f(m)= (1+ )m

- 실 로 e는 리 이며, 그 값 략 2.71828×××임.

1

mlim

m®¥lim

m®¥




- e의 근사값 함 f(x)=ex의 매클로린 를 통해

구할 있음. 즉,

ex=f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x2+ x3+

××× + xn+ xn+1+Rn

=1+x+ x2+ x3+ ××× + xn+Rn

- 여 n®¥일 때 Rn®0이므로


- e의 근사값 함 f(x)=ex의 매클로린 를 통해

구할 있음. 즉,

ex=f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x2+ x3+

××× + xn+ xn+1+Rn

=1+x+ x2+ x3+ ××× + xn+Rn

- 여 n®¥일 때 Rn®0이므로

f²(0)

2!

f²¢(0)

3!f(n)(0)

n!

f(n+1)(0)

n+1!1

2!

1

3!

1

n!




- 라 ex의 값 다음과 같 하는 한

(infinite series)로 표시할 있음.

ex=1+x+ x2+ x3+ x4+ ×××

- e의 값을 구하 하여 x=1을 입하면

e=1+ + + + + ×××

=2.7182819×××


- 라 ex의 값 다음과 같 하는 한

(infinite series)로 표시할 있음.

ex=1+x+ x2+ x3+ x4+ ×××

- e의 값을 구하 하여 x=1을 입하면

e=1+ + + + + ×××

=2.7182819×××

1

2!

1

3!

1

4!

1

6

1

24

1

120

1

2



è e의 경 해 (an economic interpretation of e)

- 이자 의 복리계산에 이용 .

- 연이자 100%로 원 1원을 행에 치한 경우

- 단, 안의 는 1년간에 이자가 원 에 산입 는

회 임.

V(1)= 의 원 (1+이자 )

=1(1+100%)=1[1+(1/1)]1=2


- 이자 의 복리계산에 이용 .

- 연이자 100%로 원 1원을 행에 치한 경우

- 단, 안의 는 1년간에 이자가 원 에 산입 는

회 임.

V(1)= 의 원 (1+이자 )

=1(1+100%)=1[1+(1/1)]1=2




- 그러나 이자가 6개월마다 원 에 산입 다면 원 의

50%(100%의 )에 달하는 이자가 6개월이 경과한

후에 산입 것임.

- 라 다음 6개월 간의 새로운 원 1.50원이

고, 이자는 1.50원의 50%로 계산 .

- 결국, 연말의 자산가치는 1.50(1+50%)가 . 즉,

V(2)=원 (1+50%)(1+50%)

=1[1+(1/2)]2=2.25


- 그러나 이자가 6개월마다 원 에 산입 다면 원 의

50%(100%의 )에 달하는 이자가 6개월이 경과한

후에 산입 것임.

- 라 다음 6개월 간의 새로운 원 1.50원이

고, 이자는 1.50원의 50%로 계산 .

- 결국, 연말의 자산가치는 1.50(1+50%)가 . 즉,

V(2)=원 (1+50%)(1+50%)

=1[1+(1/2)]2=2.25




- 마찬가지로 3회, 4회인 경우는 다음과 같음.

V(3)=[1+(1/3)]3»2.37, V(4)=[1+(1/4)]4»2.44

- 라 m회인 경우를 일 화하면 다음과 같음.

V(m)=[1+(1/m)]m

여 m 1년간 이자가 원 에 산입 회 임.


- 마찬가지로 3회, 4회인 경우는 다음과 같음.

V(3)=[1+(1/3)]3»2.37, V(4)=[1+(1/4)]4»2.44

- 라 m회인 경우를 일 화하면 다음과 같음.

V(m)=[1+(1/m)]m

여 m 1년간 이자가 원 에 산입 회 임.




- 이 , 이자가 1년간 연속 로 원 에 산입 경우,

즉 m이 한 로 커지면 연말에는 1원의 자산가치는

V(m)= (1+ )m=e(원)

이 .

- 1년 후에 1원이 e원이 는 경우 100%의 이자

명목이자 (nominal interest rate)이고, 그것 1년 후

e=2.71828원이 다면 실효이자 (effective interest

rate) 연간 약 172%임.


- 이 , 이자가 1년간 연속 로 원 에 산입 경우,

즉 m이 한 로 커지면 연말에는 1원의 자산가치는

V(m)= (1+ )m=e(원)

이 .

- 1년 후에 1원이 e원이 는 경우 100%의 이자

명목이자 (nominal interest rate)이고, 그것 1년 후

e=2.71828원이 다면 실효이자 (effective interest

rate) 연간 약 172%임.

limm®¥

limm®¥

1

m



è복리(interest compounding) 함 Aert

- 앞의 복리계산 를 일 화하면, 즉 ⑴ 복리계산

년 를 t년, ⑵ 원 을 A원, ⑶ 명목이자 r%임.

V(m)=A(1+ )mt

- 여 =w(® m=rw)라 하면

V(m)=A(1+ )wrt=Aert

è복리(interest compounding) 함 Aert

- 앞의 복리계산 를 일 화하면, 즉 ⑴ 복리계산

년 를 t년, ⑵ 원 을 A원, ⑶ 명목이자 r%임.

V(m)=A(1+ )mt

- 여 =w(® m=rw)라 하면

V(m)=A(1+ )wrt=Aert

r

mm

r1

w



è 간 장률(instantaneous rate of growth)

- 함 V=Aert이 주어지고 그것이 t의 각 시 에 V값을

나타내면 V의 변화속도는 다음과 같 도함 가 .

=rAert=rV

- 어떤 주어진 시 에 V의 장률 다음과 같음.

V의 장률º = =r

- 의 의에 의한 장률 r을 간 장률이라 함.

è 간 장률(instantaneous rate of growth)

- 함 V=Aert이 주어지고 그것이 t의 각 시 에 V값을

나타내면 V의 변화속도는 다음과 같 도함 가 .

=rAert=rV

- 어떤 주어진 시 에 V의 장률 다음과 같음.

V의 장률º = =r

- 의 의에 의한 장률 r을 간 장률이라 함.

dV

dt

dV/dt

V

rV

V



è연속 장 이산 장(continuous vs. discrete growth)

- 앞의 논의는 학 로는 흥미가 있지만 실 경 에

결부시키 에는 가 있음.

- 왜냐하면 실 로 경 장( 는 복리이자 )이 항상

연속 로 이루어진다고 단 할 없 때 임.

- 그러나 변화가 간 간이라 보다는 어느 간당

한 번만 생하는 이산 장의 경우라도 연속

지 장함 (continuous exponential growth function)

로 사용 있음.

è연속 장 이산 장(continuous vs. discrete growth)

- 앞의 논의는 학 로는 흥미가 있지만 실 경 에

결부시키 에는 가 있음.

- 왜냐하면 실 로 경 장( 는 복리이자 )이 항상

연속 로 이루어진다고 단 할 없 때 임.

- 그러나 변화가 간 간이라 보다는 어느 간당

한 번만 생하는 이산 장의 경우라도 연속

지 장함 (continuous exponential growth function)

로 사용 있음.



è할인과 음의 장(discounting and negative growth)

- 복리계산과 하게 것이 할인(discounting)

이라는 개념임.

- 복리계산에 있어 는 원 A의 미래가치 V에 심을

가지며, 할인 t 이후에 이용가능한 액인 V의

재가치(present value) A는 얼마인가에 심을 가짐.

- 앞에 살펴본 같이 재의 원 A의 t 이후의

가치는 연이자 i, 연간 1회의 복리로 계산하면

V=A(1+i)t


- 복리계산과 하게 것이 할인(discounting)

이라는 개념임.

- 복리계산에 있어 는 원 A의 미래가치 V에 심을

가지며, 할인 t 이후에 이용가능한 액인 V의

재가치(present value) A는 얼마인가에 심을 가짐.

- 앞에 살펴본 같이 재의 원 A의 t 이후의

가치는 연이자 i, 연간 1회의 복리로 계산하면

V=A(1+i)t




- 즉, 재가치 A원 t 후의 미래가치 V 같음.

- 여 양변을 (1+i)t로 나 면 다음의 식을 얻음.

A= =V(1+i)-t

- 이 공식에 미래가치 V 재가치 A의 역할 임.

- 이 는 식에 V는 주어지고, A는 i(할인률) 년

(t)로부 계산 는 미지 임.


- 즉, 재가치 A원 t 후의 미래가치 V 같음.

- 여 양변을 (1+i)t로 나 면 다음의 식을 얻음.

A= =V(1+i)-t

- 이 공식에 미래가치 V 재가치 A의 역할 임.

- 이 는 식에 V는 주어지고, A는 i(할인률) 년

(t)로부 계산 는 미지 임.

V

(1+i)t




- 마찬가지로 연속 인 경우를 보면 원 A가 공식

V=Aert

에 라 이자 r로 연속 복리계산 t년 후에 Aert이

고, 의 식의 양변을 ert 로 나 면 다음과

같 연속 인 할인공식을 얻음.

A= =Ve-rt

- 여 e-rt는 흔히 할인요인(discount factor)이라 함.


- 마찬가지로 연속 인 경우를 보면 원 A가 공식

V=Aert

에 라 이자 r로 연속 복리계산 t년 후에 Aert이

고, 의 식의 양변을 ert 로 나 면 다음과

같 연속 인 할인공식을 얻음.

A= =Ve-rt

- 여 e-rt는 흔히 할인요인(discount factor)이라 함.

V

ert




- 한편, 앞의 식을 지 장함 로 보면 -r A의 간

장률로 볼 있음.

- 그런데 여 이 장률이 음이 때 에 감모

(rate of decay)이라고도 함.

- 결국, 복리계산 식이 양의 장과 을 보여주는

면, 할인과 음의 장과 을 보여 .


- 한편, 앞의 식을 지 장함 로 보면 -r A의 간

장률로 볼 있음.

- 그런데 여 이 장률이 음이 때 에 감모

(rate of decay)이라고도 함.

- 결국, 복리계산 식이 양의 장과 을 보여주는

면, 할인과 음의 장과 을 보여 .


u로그(logarithm)u로그(logarithm)

è로그의 의미(the mean of logarithm)

- 를 들어 식 42=16 로 상 는 두

4 16이 있을 때 그 식의 지 2를 4에 한

16의 로그라고 의하고 다음과 같이 표 함.

log416=2

- 즉, 로그는 (4)가 어떤 특 한 (16)를 얻 해

거듭 곱 어야 하는 멱 (the power)임.

- 일 로 다음과 같이 나타냄.

y=bt « t=logby ® y=b


- 를 들어 식 42=16 로 상 는 두

4 16이 있을 때 그 식의 지 2를 4에 한

16의 로그라고 의하고 다음과 같이 표 함.

log416=2

- 즉, 로그는 (4)가 어떤 특 한 (16)를 얻 해

거듭 곱 어야 하는 멱 (the power)임.

- 일 로 다음과 같이 나타냄.

y=bt « t=logby ® y=b logby




- 지 함 는 강증가함 이므로 이것 y의 어떤 양의

값에 해 y=bt를 만족하는 일한 지 t( 드시

양 일 필요는 없음)가 존재함을 의미함.

- 한 y의 값이 커지면 t의 값도 더 커 야 함. 라

y가 커지면 y의 로그도 커 야 함.

- y는 지 함 y=bt에 드시 양임. 그러므로 음 나

0 로그(logarithm)를 가질 없음.


- 지 함 는 강증가함 이므로 이것 y의 어떤 양의

값에 해 y=bt를 만족하는 일한 지 t( 드시

양 일 필요는 없음)가 존재함을 의미함.

- 한 y의 값이 커지면 t의 값도 더 커 야 함. 라

y가 커지면 y의 로그도 커 야 함.

- y는 지 함 y=bt에 드시 양임. 그러므로 음 나

0 로그(logarithm)를 가질 없음.



è상용로그 자연로그(common log and natural log)

- 로그의 (base)는 어떤 특 한 로 약할 필요는

없지만 실 로 로그계산에 는 두 개의 (10과 e)가

로 가장 리 사용 .

- 가 10(십진법)인 로그를 상용로그(common

logarithm)라 하고(log10로 표 ), 가 e인 로그를

자연로그(natural logarithm)라 함.

- 특히, 자연로그는 loge 는 ln(natural logarithm을 의미)

로 표 함.


- 로그의 (base)는 어떤 특 한 로 약할 필요는

없지만 실 로 로그계산에 는 두 개의 (10과 e)가

로 가장 리 사용 .

- 가 10(십진법)인 로그를 상용로그(common

logarithm)라 하고(log10로 표 ), 가 e인 로그를

자연로그(natural logarithm)라 함.

- 특히, 자연로그는 loge 는 ln(natural logarithm을 의미)

로 표 함.




- 상용로그의 표( )

log101,000=3 (® 103=1,000)

log10100=2 (® 102=100)

log1010=1 (® 101=10)

log101=0 (® 100=1)

log100.1=-1 (® 10-1=0.1)

log100.01=-2 (® 10-2=0.01)


- 상용로그의 표( )

log101,000=3 (® 103=1,000)

log10100=2 (® 102=100)

log1010=1 (® 101=10)

log101=0 (® 100=1)

log100.1=-1 (® 10-1=0.1)

log100.01=-2 (® 10-2=0.01)




- 그러나 분 작업에 는 상용로그를 사용하는 것보다

자연로그를 사용하는 것이 훨 편리함.

- 로그의 의에 의하여

y=et « t=logey ( 는 t=lny)


- 그러나 분 작업에 는 상용로그를 사용하는 것보다

자연로그를 사용하는 것이 훨 편리함.

- 로그의 의에 의하여

y=et « t=logey ( 는 t=lny)




- 자연로그의 표( )

lne3=logee3=3

lne2=logee2=2

lne1=logee1=1

ln1=logee0=0

ln =logee-1=-1

- 상용로그 자연로그는 로 체 있음.


- 자연로그의 표( )

lne3=logee3=3

lne2=logee2=2

lne1=logee1=1

ln1=logee0=0

ln =logee-1=-1

- 상용로그 자연로그는 로 체 있음.

1

e



è로그법칙(rules of logarithms)

로그는 지 의 질을 가지므로 앞에 다룬 같이

하게 일 한 법칙을 름.

- 처음의 법칙(법칙 1, 법칙 2, 법칙 3) 자연로그를

하고 있지만 그것들 ln이 logb로 체해도

그 로 립함.

법칙 1 : 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v>0)

- 1 : ln(e6e4)=lne6+lne4=6+4=10

- 2 : ln(Ae7)=lnA+lne7=lnA+7


로그는 지 의 질을 가지므로 앞에 다룬 같이

하게 일 한 법칙을 름.

- 처음의 법칙(법칙 1, 법칙 2, 법칙 3) 자연로그를

하고 있지만 그것들 ln이 logb로 체해도

그 로 립함.

법칙 1 : 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v>0)

- 1 : ln(e6e4)=lne6+lne4=6+4=10

- 2 : ln(Ae7)=lnA+lne7=lnA+7




법칙 2 : 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v>0)

- 3 : ln(e2/c)=lne2-lnc=2-lnc

- 4 : ln(e2/e5)=lne2-lne5=2-5=-3

법칙 3 : 멱의 로그 lnua=alnu (u>0)

- 5 : lne15=15lne=15

- 6 : lnA3=3lnA

- 7 : ln(uva)=lnu+lnva=lnu+alnv

- 8 : lnu+alnv=lnu+lnva=ln(uva) [ 7의 역]


법칙 2 : 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v>0)

- 3 : ln(e2/c)=lne2-lnc=2-lnc

- 4 : ln(e2/e5)=lne2-lne5=2-5=-3

법칙 3 : 멱의 로그 lnua=alnu (u>0)

- 5 : lne15=15lne=15

- 6 : lnA3=3lnA

- 7 : ln(uva)=lnu+lnva=lnu+alnv

- 8 : lnu+alnv=lnu+lnva=ln(uva) [ 7의 역]




법칙 4 : 로그 의 변환 logbu=(logbe)(logeu) (u>0)

- 9 : logeu=(loge10)(log10u)

법칙 5 : 로그 의 역변환 logbe= =

- 10 : logbb=(logbe)(logeb), 여 logbb=1임.

- 11 : loge100=2.3026(log10100)=2.3026(2)=4.6052역 로, log10100=0.4343(loge100)

=0.4343(4.6052)=2(10의 자연로그값 2.3026, e의 상용로그값 0.4343)


법칙 4 : 로그 의 변환 logbu=(logbe)(logeu) (u>0)

- 9 : logeu=(loge10)(log10u)

법칙 5 : 로그 의 역변환 logbe= =

- 10 : logbb=(logbe)(logeb), 여 logbb=1임.

- 11 : loge100=2.3026(log10100)=2.3026(2)=4.6052역 로, log10100=0.4343(loge100)

=0.4343(4.6052)=2(10의 자연로그값 2.3026, e의 상용로그값 0.4343)

1

logeb

1

lnb



è응용(an application)

지 식이 다음과 같음.

abx-c=0 (a, b, c>0)

- 식을 만족하는 x의 값을 구하 해 는 우 ,

로그를 이용하여 이 지 식을 식 로

변 시킨 후 그 식을 풀면 .

- 우 , c를 우변 로 이항시킴.

abx=c


지 식이 다음과 같음.

abx-c=0 (a, b, c>0)

- 식을 만족하는 x의 값을 구하 해 는 우 ,

로그를 이용하여 이 지 식을 식 로

변 시킨 후 그 식을 풀면 .

- 우 , c를 우변 로 이항시킴.

abx=c




- 앞 식의 양변에 (10을 로 하는) 로그를 취하면

다음을 얻음.

loga+xlogb=logc

- 이 식 변 x에 한 식이며 해는 다음과

같음.

x=


- 앞 식의 양변에 (10을 로 하는) 로그를 취하면

다음을 얻음.

loga+xlogb=logc

- 이 식 변 x에 한 식이며 해는 다음과

같음.

x=logc-loga

logb


u로그함 (logarithmic function)u로그함 (logarithmic function)

è로그함 지 함

- 로그함 는 지 함 의 역함 임. 즉,

t=logby « y=bt

t=logey (=lny) « y=et

- 왜냐하면 의 두 로그함 는 그에 응하는 지 함

의 종속변 독립변 의 역할을 역 시킨 결과임.

- 로그함 는 강증가함 (지 함 )의 역함 이므로

로그함 도 역시 강증가함 이어야 함.

è로그함 지 함

- 로그함 는 지 함 의 역함 임. 즉,

t=logby « y=bt

t=logey (=lny) « y=et

- 왜냐하면 의 두 로그함 는 그에 응하는 지 함

의 종속변 독립변 의 역할을 역 시킨 결과임.

- 로그함 는 강증가함 (지 함 )의 역함 이므로

로그함 도 역시 강증가함 이어야 함.



è로그함 지 함 의 graph 태

- 로그함 에 응하는 지 함 의 graph는 원 을

통과하는 45° 에 해 로 칭임(어떤 한 의

역함 의 graph도 일 로 이런 질을 가짐).

- [그림 10.3]에 그림 (b)를 그림 (a) 에 포개놓고

y축 y축, t축 t축에 치하도록 하면 두 곡

완 일치함.

è로그함 지 함 의 graph 태

- 로그함 에 응하는 지 함 의 graph는 원 을

통과하는 45° 에 해 로 칭임(어떤 한 의

역함 의 graph도 일 로 이런 질을 가짐).

- [그림 10.3]에 그림 (b)를 그림 (a) 에 포개놓고

y축 y축, t축 t축에 치하도록 하면 두 곡

완 일치함.



è로그함 지 함è로그함 지 함



è로그함 지 함 의 graph 태의 특징

- 두 곡 단조 로 증가하고 있지만 지 곡

체증률로 증가하는 면, 로그곡 체감률로 증가함.

- 지 함 는 양의 치역(range)을 갖는 면, 로그함 는

양의 의역(domain)을 가짐(로그함 의 의역이

양이라는 약 직 양 로만 로그를 취함).

- 지 함 y=et 1에 로축 편을 갖는 것처럼

로그함 t=logey는 y=1에 가로축과 교차함.

이것 loge1=0이라는 것을 의미함.


- 두 곡 단조 로 증가하고 있지만 지 곡

체증률로 증가하는 면, 로그곡 체감률로 증가함.

- 지 함 는 양의 치역(range)을 갖는 면, 로그함 는

양의 의역(domain)을 가짐(로그함 의 의역이

양이라는 약 직 양 로만 로그를 취함).

- 지 함 y=et 1에 로축 편을 갖는 것처럼

로그함 t=logey는 y=1에 가로축과 교차함.

이것 loge1=0이라는 것을 의미함.




- 로그곡 어떠한 에 해 도 다음의 계가

립함.

0<y<1 « logy<0

y=1 « logy=0

y>1 « logy>0

- 그리고 다음의 계도 립함.

y®¥일 때 logy®¥

y®0+일 때 logy®-¥


- 로그곡 어떠한 에 해 도 다음의 계가

립함.

0<y<1 « logy<0

y=1 « logy=0

y>1 « logy>0

- 그리고 다음의 계도 립함.

y®¥일 때 logy®¥

y®0+일 때 logy®-¥




- 일 인 지 함 y=Aert과 이에 상응하는 로그함 를

비교하여도 동일한 결과를 얻음.

- (양의) 상 A r이 지 곡 을 확 (extend) 는 축소

(compress)시키는 효과를 갖더라도 그 곡 의 로축

편 y=1이 아니라 y=A(t=0일 때 y=Ae0=A)임.

- 이에 라 그 함 의 역함 도 y=A에 가로축 편을

가짐.


- 일 인 지 함 y=Aert과 이에 상응하는 로그함 를

비교하여도 동일한 결과를 얻음.

- (양의) 상 A r이 지 곡 을 확 (extend) 는 축소

(compress)시키는 효과를 갖더라도 그 곡 의 로축

편 y=1이 아니라 y=A(t=0일 때 y=Ae0=A)임.

- 이에 라 그 함 의 역함 도 y=A에 가로축 편을

가짐.




- 일 로 지 함 그에 응하는 로그함 는 45°

에 해 칭이 .

- 만약 y=Aert의 역함 를 특 식 로 표시할 경우

이 지 함 의 양변에 자연로그를 취하고 t에 해

풀면 . 즉,

lny=ln(Aert)=lnA+rtlne=lnA+rt

- 라 역함 는 다음과 같음.

t= (r¹0)


- 일 로 지 함 그에 응하는 로그함 는 45°

에 해 칭이 .

- 만약 y=Aert의 역함 를 특 식 로 표시할 경우

이 지 함 의 양변에 자연로그를 취하고 t에 해

풀면 . 즉,

lny=ln(Aert)=lnA+rtlne=lnA+rt

- 라 역함 는 다음과 같음.

t= (r¹0)lny-lnA

r



è 변환(base conversion)

- 지 함 y=Abt 항상 자연지 함 y=Aert 로

변 있음.

- 이 변환 공식을 도출하 해 Abt 신에

일 인 식 Abct을 Aert 로 변환하는 를 고

- 의 요 다음과 같음.

er=bc


- 지 함 y=Abt 항상 자연지 함 y=Aert 로

변 있음.

- 이 변환 공식을 도출하 해 Abt 신에

일 인 식 Abct을 Aert 로 변환하는 를 고

- 의 요 다음과 같음.

er=bc




- 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면

lner=lnbc

- 식의좌변 r이 므로구하 는식( 변환공식)

다음과 같음.

r=lnbc=clnb

- 이것 함 y=Abct을 항상 자연로그가 로 주어

지는 태인 y=Ae(clnb)t 로 변 시킬 있음을 나타냄.



lner=lnbc

- 식의좌변 r이 므로구하 는식( 변환공식)

다음과 같음.

r=lnbc=clnb

- 이것 함 y=Abct을 항상 자연로그가 로 주어

지는 태인 y=Ae(clnb)t 로 변 시킬 있음을 나타냄.




1 : y=2t을 자연지 함 로 변환하라.

여 A=1, b=2, c=1임.

- 라 r=clnb=ln2임.

- 구하 는 지 함 는 다음과 같음.

y=Aert=e(ln2)t

- 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면

ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931

- 결국, y=e0.6931t 로 달리 나타낼 있음.


1 : y=2t을 자연지 함 로 변환하라.

여 A=1, b=2, c=1임.

- 라 r=clnb=ln2임.


y=Aert=e(ln2)t


ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931





2 : y=3(5)2t을 자연지 함 로 변환하라.

여 A=3, b=5, c=2임.

- 라 r=clnb=2ln5임.


y=Aert=3e(2ln5)t

- 다시, 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면

ln2=ln25=2.3026log1025=2.3026(1.3979)=3.2188



2 : y=3(5)2t을 자연지 함 로 변환하라.

여 A=3, b=5, c=2임.

- 라 r=clnb=2ln5임.


y=Aert=3e(2ln5)t

- 다시, 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면

ln2=ln25=2.3026log1025=2.3026(1.3979)=3.2188





앞의 [로그법칙 4]를 용하면, 즉 logby=(logbe)(logey)

- 이결과를주어진로그함 에 입하면자연로그함 는

t= logey [로그법칙 5에 의해]

=

- 이 같 식 로 일 인 로그함 y=alogb(cy)는

다음과 같이 동치인 태로 변 가능함.

t=a(logbe)(logecy)= loge(cy)= ln(cy)


앞의 [로그법칙 4]를 용하면, 즉 logby=(logbe)(logey)

- 이결과를주어진로그함 에 입하면자연로그함 는

t= logey [로그법칙 5에 의해]

=

- 이 같 식 로 일 인 로그함 y=alogb(cy)는

다음과 같이 동치인 태로 변 가능함.

t=a(logbe)(logecy)= loge(cy)= ln(cy)

1

logeblny

lnb

a

logeb

a

lnb




3 : 함 t=log2y를 자연로그 태로 변환하라.

여 b=2, a=c=1이 때 에

- 구하 는 로그함 는 다음과 같음.

t= lny


ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931

- 결국, t=(1/0.6931)lny로 나타낼 있음.


3 : 함 t=log2y를 자연로그 태로 변환하라.

여 b=2, a=c=1이 때 에


t= lny


ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931

- 결국, t=(1/0.6931)lny로 나타낼 있음.

1

ln2




4 : 함 t=7log102y를 자연로그 태로 변환하라.

여 a=7, b=10, c=2이 때 에


t= ln(2y)

- ln10(10의 자연로그)의 값을 계산하면

ln10=2.3026

- t=(7/2.3026)ln(2y)=3.0400ln(2y)로 나타낼 있음.


4 : 함 t=7log102y를 자연로그 태로 변환하라.

여 a=7, b=10, c=2이 때 에


t= ln(2y)

- ln10(10의 자연로그)의 값을 계산하면

ln10=2.3026

- t=(7/2.3026)ln(2y)=3.0400ln(2y)로 나타낼 있음.

7

ln10


u지 함 로그함 의 도함u지 함 로그함 의 도함

è로그함 의 미분법칙

자연로그함 y=lnt의 도함 는 다음과 같음.

= lnt=

- 이것을 증명하 해 변 t의 증분 ⊿t에 응하는

y의 증분을 ⊿y라 하면 로그법칙에 의해

= = ln = ln 1+


자연로그함 y=lnt의 도함 는 다음과 같음.

= lnt=

- 이것을 증명하 해 변 t의 증분 ⊿t에 응하는

y의 증분을 ⊿y라 하면 로그법칙에 의해

= = ln = ln 1+

dy

dt

1

t

⊿y

⊿t

ln(t+⊿t)-lnt

⊿t

1

⊿t

t+⊿t

t

1

⊿t

⊿t

t

d

dt




- 그런데 여 h=⊿t/t라 하면 로그법칙에 의해

ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)1/h

- 한 ⊿t가 0에 한히 근하면 h도 0에 근함.

= = ln(1+h)1/h= lne=

즉, = (t>0)


- 그런데 여 h=⊿t/t라 하면 로그법칙에 의해

ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)1/h

- 한 ⊿t가 0에 한히 근하면 h도 0에 근함.

= = ln(1+h)1/h= lne=

즉, = (t>0)

dy

dt

⊿y

⊿t

dlnt

dt

1

t

1

⊿t

⊿t

t

1

t

1

h

1

t

lim⊿t®0

limh®0

1

t

1

t

1

t




로그함 의 미분공식 다음과 같음.

lnt= , logbt= , lntk=

미분법칙의 일 화

- 주어진 함 y=lnf(t)에 연쇄 계를 하도록 우 ,

v=f(t)라 하면 y=lnv가 .

- 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음.

lnf(t)= lnv= = f¢(t)=


로그함 의 미분공식 다음과 같음.

lnt= , logbt= , lntk=


- 주어진 함 y=lnf(t)에 연쇄 계를 하도록 우 ,

v=f(t)라 하면 y=lnv가 .

- 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음.

lnf(t)= lnv= = f¢(t)=d

dt

dlnv

dv

d

dt

1

t

1

tlnb

k

t

f¢(t)

f(t)

d

dt

d

dt

d

dt

1

f(t)

dv

dt




1 : 함 y=ln(at)의 도함 (dy/dt)

= ln(at)= =

실 로 미분법칙에 의하면 ln(at)=lna+lnt이고,

lna는 상 임.

이것 로그식 안에 있는 t에 곱해진 상 는 미분

연산과 에 없어짐.


1 : 함 y=ln(at)의 도함 (dy/dt)

= ln(at)= =

실 로 미분법칙에 의하면 ln(at)=lna+lnt이고,

lna는 상 임.

이것 로그식 안에 있는 t에 곱해진 상 는 미분

연산과 에 없어짐.

dy

dt

1

t

d

dt

a

at




2 : 함 y=klnt의 도함 (dy/dt)

klnt=k lnt=

로그식 에 곱해진 상 는 미분연산과 에

그 로 남음.

3 : 함 y=lntc의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=tc이면 f¢(t)=ctc-1이므로 공식에 의해

lntc= = =


2 : 함 y=klnt의 도함 (dy/dt)

klnt=k lnt=

로그식 에 곱해진 상 는 미분연산과 에

그 로 남음.

3 : 함 y=lntc의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=tc이면 f¢(t)=ctc-1이므로 공식에 의해

lntc= = =

k

t

d

dt

d

dt

d

dt

c

t

ctc-1

tcf¢(t)

f(t)




4 : 함 y=t3lnt2의 도함 (dy/dt)

이 함 는 2개의 인 t3과 lnt2의 곱 로 이루어

있 때 에 곱의 미분공식에 용하면

=t3 lnt2+(lnt2) t3

=t3 +(lnt2)(3t2)

=2t2+(2lnt)(3t2) [로그법칙 3에 의해]

=2t2+6t2lnt=2t2(1+3lnt)


4 : 함 y=t3lnt2의 도함 (dy/dt)

이 함 는 2개의 인 t3과 lnt2의 곱 로 이루어

있 때 에 곱의 미분공식에 용하면

=t3 lnt2+(lnt2) t3

=t3 +(lnt2)(3t2)

=2t2+(2lnt)(3t2) [로그법칙 3에 의해]

=2t2+6t2lnt=2t2(1+3lnt)

dy

dt

d

dt

2t

t2

d

dt




미분법칙의 일 화 : 가 b인 경우

- 함 y=logbf(t)= 이면 = 가 .

5 : 함 y=log10(t2+4)의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=t2+4라 하면 f¢(t)=2t이므로

=


미분법칙의 일 화 : 가 b인 경우

- 함 y=logbf(t)= 이면 = 가 .

5 : 함 y=log10(t2+4)의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=t2+4라 하면 f¢(t)=2t이므로

= dy

dt

1

ln10

2t

t2+4

lnf(t)

lnb

dy

dt

1

lnb

f¢(t)

f(t)




6 : 함 y=tlog5(t2/1+t)의 도함 (dy/dt)

여 v=log5 이라면 = (tv)=v+t

로그법칙에 의하여 v=log5 =log5t2-log5(1+t)

그러므로 = -

= =

라 =log5 +


6 : 함 y=tlog5(t2/1+t)의 도함 (dy/dt)

여 v=log5 이라면 = (tv)=v+t

로그법칙에 의하여 v=log5 =log5t2-log5(1+t)

그러므로 = -

= =

라 =log5 +

dv

dt

dy

dt

t2

1+t

dy

dt

d

dt

dv

dtt2

1+t1

ln5

2t

t21

ln5

1

1+t1

ln5

2(1+t)-t

t(1+t)

2+t

t(1+t)ln5t2

1+t

2+t

t(1+t)ln5



è지 함 의 미분법칙

자연지 함 y=et의 도함 는 다음과 같음.

= et=et

- 이것을 증명하 해 우 의식에 의하여

y=et « t=lny

- 앞에 자연로그함 의 미분공식에 의하여

= =


자연지 함 y=et의 도함 는 다음과 같음.

= et=et

- 이것을 증명하 해 우 의식에 의하여

y=et « t=lny

- 앞에 자연로그함 의 미분공식에 의하여

= =

dy

dt

dt

dy

d(lny)

dy

1

y

d

dt




- 라 역함 의 미분법칙에 의해 다음이 립함.

= et= = =y=et

지 함 의 미분법칙 다음과 같음.

et=et, bt=btlnb


- 라 역함 의 미분법칙에 의해 다음이 립함.

= et= = =y=et

지 함 의 미분법칙 다음과 같음.

et=et, bt=btlnb

dy

dt

d

dt

1

dt/dy

1

1/y

d

dt

d

dt





- y=ef(t)일 때 = ef(t)=f¢(t)ef(t)

- y=bf(t)=ef(t)lnb일 때 = bf(t)=f¢(t)bf(t)

1 : 함 y=ert의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=rt라고 하면, 라 f¢(t)=r임.

= ert=rert



- y=ef(t)일 때 = ef(t)=f¢(t)ef(t)

- y=bf(t)=ef(t)lnb일 때 = bf(t)=f¢(t)bf(t)

1 : 함 y=ert의 도함 (dy/dt)


= ert=rert

dy

dt

d

dt

dy

dt

d

dt

dy

dt

d

dt




2 : 함 y=Aert의 도함 (dy/dt)


= Aert=rAert

3 : 함 y=e-t의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=-t라고 하면, 라 f¢(t)=-1임.

= e-t=-e-t


2 : 함 y=Aert의 도함 (dy/dt)


= Aert=rAert

3 : 함 y=e-t의 도함 (dy/dt)

여 f(t)=-t라고 하면, 라 f¢(t)=-1임.

= e-t=-e-t

dy

dt

d

dt

dy

dt

d

dt




4 : 함 y=21-t의 도함 (dy/dt)

여 b=2, f(t)=1-t이며, 라 f¢(t)=-1임.

= 21-t=-21-tln2


여 b=12, f(t)=1-t이며, 라 f¢(t)=-1임.

= 121-t=-121-tln12



여 b=2, f(t)=1-t이며, 라 f¢(t)=-1임.

= 21-t=-21-tln2


여 b=12, f(t)=1-t이며, 라 f¢(t)=-1임.

= 121-t=-121-tln12

dy

dt

d

dt

dy

dt

d

dt



è고계도함 (higher derivatives)

지 함 의 고계도함 는 다른 함 태의 도함

마찬가지로 미분을 복하여 얻어진 결과임.

- 지 함 y=bt (b>1)일 때 1계도함 는 앞에 살펴본

같이 y¢(t)=btlnb(여 lnb는 상 )임.

- 라 2계도함 는 t에 하여 한번 더 미분하면

y²(t)= y¢(t)=( bt)lnb=(btlnb)lnb=bt(lnb)2


지 함 의 고계도함 는 다른 함 태의 도함


- 지 함 y=bt (b>1)일 때 1계도함 는 앞에 살펴본

같이 y¢(t)=btlnb(여 lnb는 상 )임.


y²(t)= y¢(t)=( bt)lnb=(btlnb)lnb=bt(lnb)2d

dt

d

dt




- 한편, y=et일 때 1계도함 는 다음과 같음.

y¢(t)=et


y²(t)= y¢(t)=( et)=et

- 결국, et의 고계도함 는 항상 그 자체가 도함 임.


- 한편, y=et일 때 1계도함 는 다음과 같음.

y¢(t)=et


y²(t)= y¢(t)=( et)=et

- 결국, et의 고계도함 는 항상 그 자체가 도함 임.

d

dt

d

dt




로그함 의 고계도함 는 다른 함 태의 도함


- 로그함 y=lnt일 때 1계도함 는 앞에 살펴본

같이 y¢(t)=1/t=t-1임.


y²(t)= y¢(t)= t-1=-t-2=


로그함 의 고계도함 는 다른 함 태의 도함


- 로그함 y=lnt일 때 1계도함 는 앞에 살펴본

같이 y¢(t)=1/t=t-1임.


y²(t)= y¢(t)= t-1=-t-2=d

dt

d

dt

-1

t2




1 : y=logbt의 1계도함 (dy/dt) 2계도함 (d2y/dt2)

y¢(t)= logbt=

y²(t)= = ( )= =


1 : y=logbt의 1계도함 (dy/dt) 2계도함 (d2y/dt2)

y¢(t)= logbt=

y²(t)= = ( )= =

d

dt

1

tlnb

1

t

d2y

dt21

lnb

d

dt

1

lnb

-1

t2-1

t2lnb




로그의 주요한 특징 의 하나는 곱셈을 덧셈 로,

나 셈을 뺄셈 로 꿀 있다는 임.


로그의 주요한 특징 의 하나는 곱셈을 덧셈 로,

나 셈을 뺄셈 로 꿀 있다는 임.




1 : 다음의 함 에 도함 dy/dx를 구하면

y=

- 우 , 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같 함 가 .

lny=lnx2-ln(x+3)-ln(2x+1)

- 좌변을 x에 해 미분하면 (좌변)=

- 우변 (우변)= - - =



y=

- 우 , 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같 함 가 .

lny=lnx2-ln(x+3)-ln(2x+1)


- 우변 (우변)= - - =

d

dx

1

y

x2

(x+3)(2x+1)

dy

dxd

dx

2x

x2

7x+6

x(x+3)(2x+1)

1

x+3

2

2x+1




- 앞의 두 결과를 같게 놓 면

(좌변)= (우변)

=

- 이 양변에 y를 곱하면

= y

= =


- 앞의 두 결과를 같게 놓 면

(좌변)= (우변)

=

- 이 양변에 y를 곱하면

= y

= =

d

dx1

y

x2

(x+3)(2x+1)

dy

dx

dy

dx

7x+6

x(x+3)(2x+1)

d

dx

7x+6

x(x+3)(2x+1)7x+6

x(x+3)(2x+1)

x(7x+6)

(x+3)2(2x+1)2





y=xaekx-c

- 우 , 양변에 자연로그를 취하면 다음을 얻음.

lny=alnx+lnekx-c=alnx+(kx-c)lne=alnx+kx-c


- 우변을 x에 해 미분하면 (우변)= +k

- 즉, =( +k)=( +k)xaekx-c



y=xaekx-c

- 우 , 양변에 자연로그를 취하면 다음을 얻음.

lny=alnx+lnekx-c=alnx+(kx-c)lne=alnx+kx-c


- 우변을 x에 해 미분하면 (우변)= +k

- 즉, =( +k)=( +k)xaekx-c

d

dx

1

y

dy

dxd

dx

a

xdy

dx

a

x

a

x


u최 시 의 택(optimal timing)u최 시 의 택(optimal timing)

è포도주 장의 (a problem of wine storage)

- 포도주 업자가 특 량의 포도주를 보 하고 있고,

재시 (t=0)에 K원에 거나 는 일 간

장 후 더 높 가격에 매한다고 가 함.

- 그리고포도주가치(V)는다음과같이시간의증가함 임.

V=Ke [=Kexp(t1/2)]

- 만약 t=0이면( 시 에 매하면) V=K임.

- 그러나 는 장비용(storage cost)이 0일 때 이

극 화를 한 포도주의 매시 을 결 하는 것임.


- 포도주 업자가 특 량의 포도주를 보 하고 있고,

재시 (t=0)에 K원에 거나 는 일 간

장 후 더 높 가격에 매한다고 가 함.

- 그리고포도주가치(V)는다음과같이시간의증가함 임.

V=Ke [=Kexp(t1/2)]

- 만약 t=0이면( 시 에 매하면) V=K임.

- 그러나 는 장비용(storage cost)이 0일 때 이

극 화를 한 포도주의 매시 을 결 하는 것임.

√t




- 포도주 업자는 이미 포도주 을 지불하 고, 장

비용 없다고 하 때 에 이 극 화는 곧 매

익 는 포도주의 가치를 극 화하는 것임.

- 이 연속복리 계산의 이 는 이자 을 r이라고

하면 포도주가치(V)의 재가치는 다음과 같음.

A(t)=Ve-rt=Ke e-rt=Ke

여 재가치 A는 그 자체가 t의 함 임.

- 그러므로 는 A를 극 화하는 t값을 찾는 것과 같음.


- 포도주 업자는 이미 포도주 을 지불하 고, 장

비용 없다고 하 때 에 이 극 화는 곧 매

익 는 포도주의 가치를 극 화하는 것임.

- 이 연속복리 계산의 이 는 이자 을 r이라고

하면 포도주가치(V)의 재가치는 다음과 같음.

A(t)=Ve-rt=Ke e-rt=Ke

여 재가치 A는 그 자체가 t의 함 임.

- 그러므로 는 A를 극 화하는 t값을 찾는 것과 같음.

√t √t- rt



è극 화조건(maximization conditions)

- 앞에 다룬 재가치의 극 화조건 1계도함

2계도함 로 구할 있음.

- 이를 해 우 앞의 식 A(t)=Ke 양변에자연로그를

취하면

lnA(t)=lnK+lne =lnK+(t1/2-rt)

- 이 양변을 t에 해 미분하면

= t-1/2-r 는 =A( t-1/2-r)


- 앞에 다룬 재가치의 극 화조건 1계도함

2계도함 로 구할 있음.

- 이를 해 우 앞의 식 A(t)=Ke 양변에자연로그를

취하면

lnA(t)=lnK+lne =lnK+(t1/2-rt)

- 이 양변을 t에 해 미분하면

= t-1/2-r 는 =A( t-1/2-r)

√t- rt

t- rt√

1

A

dA

dt

1

2

dA

dt

1

2




- 앞의 식에 A¹0이 때 에 1계조건인 =0을 만족

하 한 필요충분조건 다음과 같음.

t-1/2=r 는 =r 는 =√

- 포도주의 최 장 간 다음과 같음.

t*=( )2=

- 만약 r=0.10이면 t*=25이므로 포도주업자는 포도주를

25년간 장한 후 매해야 이 을 극 화할 있음.


- 앞의 식에 A¹0이 때 에 1계조건인 =0을 만족

하 한 필요충분조건 다음과 같음.

t-1/2=r 는 =r 는 =√

- 포도주의 최 장 간 다음과 같음.

t*=( )2=

- 만약 r=0.10이면 t*=25이므로 포도주업자는 포도주를

25년간 장한 후 매해야 이 을 극 화할 있음.

t

1

2

dA

dt

t1

2√

1

2r

1

2r

1

4r2




- 앞의 식에 이자 (할인 )과 최 장 간간에는

비 함을 알 있음.

- 즉, 이자 (할인 )이 높 면 높을 록 이 을 극 화

하는 포도주의 장 간 짧아지게 을 의미함.

- 여 이 극 화의 1계조건 1(2/√)=r의 경 의미

는 이 식의 좌변 단 히 포도주가치 V의 증가 을

나타냄.


- 앞의 식에 이자 (할인 )과 최 장 간간에는

비 함을 알 있음.

- 즉, 이자 (할인 )이 높 면 높을 록 이 을 극 화

하는 포도주의 장 간 짧아지게 을 의미함.

- 여 이 극 화의 1계조건 1(2/√)=r의 경 의미

는 이 식의 좌변 단 히 포도주가치 V의 증가 을

나타냄.

t




- [그림 10.4]에 시 같이 포도주의 장이익이

완 히 없어질 때까지 포도주를 보 하는 것, 즉 (체감

하는) 포도주가치의 증가 이 매 입액에 한

(일 한) 이자 과 같게 는 시 까지 다리는 것임.


- [그림 10.4]에 시 같이 포도주의 장이익이

완 히 없어질 때까지 포도주를 보 하는 것, 즉 (체감

하는) 포도주가치의 증가 이 매 입액에 한

(일 한) 이자 과 같게 는 시 까지 다리는 것임.



è극 화조건(maximization conditions)è극 화조건(maximization conditions)




- 이 t*의 값이 A가 극 이 한 2계조건을 구하

하여 A의 2계도함 는 다음과 같음.

= A( t-1/2-r)=A ( t-1/2-r)+( t-1/2-r)

- 그러나1계조건에 dA/dt=0이므로 식의 마지막

항 0이 . 결국, 다음과 같이 .

=A ( t-1/2-r)=A(- t-2/3)=-

- 식에 A>0, t>0이므로 <0임.


- 이 t*의 값이 A가 극 이 한 2계조건을 구하

하여 A의 2계도함 는 다음과 같음.

= A( t-1/2-r)=A ( t-1/2-r)+( t-1/2-r)

- 그러나1계조건에 dA/dt=0이므로 식의 마지막

항 0이 . 결국, 다음과 같이 .

=A ( t-1/2-r)=A(- t-2/3)=-

- 식에 A>0, t>0이므로 <0임.

d2A

dt2d

dt

1

2

d

dt

dA

dt

1

2

1

2

d2A

dt2d

dt

1

2

1

4

1

4√t3

d2A

dt2



è재목 벌채의 (a problem of timber cutting)

(어떤 토지에 ) 재목의 가치는 다음과 같이 시간

t의 증가함 라고 가 하면

V=2

여 단 는 1,000만원, 할인 r, 재목이 장하는

간 동안 지비는 없을 때 재목 벌채의 최 시 ?

- 우 , V를 재가치로 나타내면 다음과 같음.

A=Ve-rt=2 e-rt


(어떤 토지에 ) 재목의 가치는 다음과 같이 시간

t의 증가함 라고 가 하면

V=2

여 단 는 1,000만원, 할인 r, 재목이 장하는

간 동안 지비는 없을 때 재목 벌채의 최 시 ?

- 우 , V를 재가치로 나타내면 다음과 같음.

A=Ve-rt=2 e-rt

√t

√t





lnA=ln2 +lne-rt=√ ln2-rt=t1/2ln2-rt

- A를 극 화하 해 1차조건 dA/dt=0을 구하면

(lnA)= t-1/2ln2-r

= t-1/2ln2-r

=A( t-1/2ln2-r)=0



lnA=ln2 +lne-rt=√ ln2-rt=t1/2ln2-rt

- A를 극 화하 해 1차조건 dA/dt=0을 구하면

(lnA)= t-1/2ln2-r

= t-1/2ln2-r

=A( t-1/2ln2-r)=0

√tt

d

dt

1

21

A

dA

dt

1

2dA

dt

1

2




- A¹0(A>0)이 때 에 dA/dt=0이 만족하 해 는

t-1/2ln2-r=0 ® t-1/2ln2=r

- 라 최 시 다음과 같이 구할 있음.

t*=( )2


- A¹0(A>0)이 때 에 dA/dt=0이 만족하 해 는

t-1/2ln2-r=0 ® t-1/2ln2=r

- 라 최 시 다음과 같이 구할 있음.

t*=( )2ln2

2r

1

2

1

2




- 한편, A를 극 화하 한 2차조건 다음과 같음.

=( t-1/2ln2-r) +A ( t-1/2ln2-r)

=( t-1/2ln2-r) - At-3/2ln2

- 식의 첫 번째 항 앞에 의 1차조건에 0이므로

2차조건 다음과 같이 쓸 있음.

=- At-3/2ln2<0

- 라 앞에 구한 t*는 최 시 이 .


- 한편, A를 극 화하 한 2차조건 다음과 같음.

=( t-1/2ln2-r) +A ( t-1/2ln2-r)

=( t-1/2ln2-r) - At-3/2ln2

- 식의 첫 번째 항 앞에 의 1차조건에 0이므로

2차조건 다음과 같이 쓸 있음.

=- At-3/2ln2<0

- 라 앞에 구한 t*는 최 시 이 .

d

dt1

4

dA

dt

1

2

1

2

1

2

d2A

dt2dA

dt

d2A

dt21

4




- 를 들어 만약 r=0.05일 때 최 시 과 재가치는

다음과 같음.

t*=( )2=(6.931)2=48.0년

A*=26.931e-0.05(48.0)=(122.0222)e-2.40

=122.0222(0.0907)=11.0674원(단 1,000만)

- 라 식목비용이 A*보다 작 경우에만 비로소 식목

할 가치가 있음( 지비용 없다고 가 ).


- 를 들어 만약 r=0.05일 때 최 시 과 재가치는

다음과 같음.

t*=( )2=(6.931)2=48.0년

A*=26.931e-0.05(48.0)=(122.0222)e-2.40

=122.0222(0.0907)=11.0674원(단 1,000만)

- 라 식목비용이 A*보다 작 경우에만 비로소 식목

할 가치가 있음( 지비용 없다고 가 ).

0.6931

0.10


u지 로그의 도함 에 한 타 응용u지 로그의 도함 에 한 타 응용

è 장률을 구하는 법

만약 변 y가 시간의 함 , 즉 y=f(t)일 때 간 장률

(일 시 에 의 장률) 다음과 같이 의 .

ryº = =

- 식 lnf(t) 같음.

- 즉, 변 y의 장률 함 식에 자연로그를 취한 후

이를 시간 t에 하여 미분함 로써 구할 있음.


만약 변 y가 시간의 함 , 즉 y=f(t)일 때 간 장률

(일 시 에 의 장률) 다음과 같이 의 .

ryº = =

- 식 lnf(t) 같음.

- 즉, 변 y의 장률 함 식에 자연로그를 취한 후

이를 시간 t에 하여 미분함 로써 구할 있음.

dy/dt

y

f¢(t)

f(t)

한계함

함

d

dt




1 : V=Aert의 장률을 구하라(단, t는 시간).

- 우 , 식의 양변에 자연로그를 취하면

lnV=lnA+rtlne=lnA+rt (A는 상 )

- 그러므로 다음과 같 결과를 얻음.

rV= lnV=0+ rt=r

- 라 V의 장률 r이 을 알 있음.


1 : V=Aert의 장률을 구하라(단, t는 시간).

- 우 , 식의 양변에 자연로그를 취하면

lnV=lnA+rtlne=lnA+rt (A는 상 )


rV= lnV=0+ rt=r

- 라 V의 장률 r이 을 알 있음.

d

dt

d

dt




2 : y=4t의 장률을 구하라(단, t는 시간).

- 마찬가지로 식의 양변에 자연로그를 취하면

lny=ln4t=tln4


ry= lny=ln4

- 이 식 eln4º4이므로 라 y=4t y=e(ln4)t로 다시

쓸 있음. 이로부 y의 장률 (ln4)임.


2 : y=4t의 장률을 구하라(단, t는 시간).

- 마찬가지로 식의 양변에 자연로그를 취하면

lny=ln4t=tln4


ry= lny=ln4

- 이 식 eln4º4이므로 라 y=4t y=e(ln4)t로 다시

쓸 있음. 이로부 y의 장률 (ln4)임.

d

dt



è함 들이 결합 경우의 장률(복합함 의 장률)

시간의 함 인 두 함 의 곱, 즉

y=uv 단, u=f(t), v=g(t)임.

- 두 함 곱의 장률을 얻 해 양변에 자연로그를

취하면

lny=lnu+lnv

- 라 장률 다음과 같음.

ry= lny= lnu+ lnv


시간의 함 인 두 함 의 곱, 즉

y=uv 단, u=f(t), v=g(t)임.

- 두 함 곱의 장률을 얻 해 양변에 자연로그를

취하면

lny=lnu+lnv


ry= lny= lnu+ lnvd

dt

d

dt

d

dt




- 그러나 우변의 두 항 각각 u v의 장률임.

- 그러므로 다음과 같 법칙을 얻음.

r(uv)=ru+rv

- 즉, 함 들의 곱의 간 장률 각각의 함 에 한

간 장률들의 합과 같음을 의미함.

- 마찬가지 법 로 함 들의 몫의 간 장률 각

함 들의 장률간의 차 같음을 의미함.

r(u/v)=ru-rv


- 그러나 우변의 두 항 각각 u v의 장률임.

- 그러므로 다음과 같 법칙을 얻음.

r(uv)=ru+rv

- 즉, 함 들의 곱의 간 장률 각각의 함 에 한

간 장률들의 합과 같음을 의미함.

- 마찬가지 법 로 함 들의 몫의 간 장률 각

함 들의 장률간의 차 같음을 의미함.

r(u/v)=ru-rv




3 : 소비 C의 증가 a이고, 인구 H의 증가

b라고 하면 1인당 소비증가 얼마인가?

- 1인당 소비는 C/H이므로 그 증가 다음과 같음.

r(C/H)=rC-rH=a-b


3 : 소비 C의 증가 a이고, 인구 H의 증가

b라고 하면 1인당 소비증가 얼마인가?

- 1인당 소비는 C/H이므로 그 증가 다음과 같음.

r(C/H)=rC-rH=a-b




다음 로, 시간의 함 인 두 함 의 합, 즉

z=u+v 단, u=f(t), v=g(t)임.

- 두 함 합의 간 장률을 구하 해 양변에 자연

로그를 취하면

lnz=ln(u+v) (¹lnu+lnv)


ry= lnz= ln(u+v)= (u+v)= [f¢(t)+g¢(t)]


다음 로, 시간의 함 인 두 함 의 합, 즉

z=u+v 단, u=f(t), v=g(t)임.

- 두 함 합의 간 장률을 구하 해 양변에 자연

로그를 취하면

lnz=ln(u+v) (¹lnu+lnv)


ry= lnz= ln(u+v)= (u+v)= [f¢(t)+g¢(t)]d

dt

d

dt

1

u+v

d

dt

1

u+v




- 그러나 앞에 간 장률 함 에 한 한계함

이므로, 즉 ru=f¢(t)/f(t)이므로 f¢(t)=f(t)ru=uru임.

- 마찬가지로 g¢(t)=g(t)rv=urv임.

- 결과 로 다음과 같 법칙을 얻음.

r(u+v)= ru+ rv

- 함 들의 합의 장률 각 함 의 장률들의 가

평균(weighted average)임.


- 그러나 앞에 간 장률 함 에 한 한계함

이므로, 즉 ru=f¢(t)/f(t)이므로 f¢(t)=f(t)ru=uru임.

- 마찬가지로 g¢(t)=g(t)rv=urv임.

- 결과 로 다음과 같 법칙을 얻음.

r(u+v)= ru+ rv

- 함 들의 합의 장률 각 함 의 장률들의 가

평균(weighted average)임.

u

u+v

u

u+v




- 그 뿐만 아니라 다음과 같이 함 들의 차의 장률을

얻을 있음.

r(u-v)= ru- rv


- 그 뿐만 아니라 다음과 같이 함 들의 차의 장률을

얻을 있음.

r(u-v)= ru- rv

u

u-v

u

u-v




4 : 한 국가의 재화 출 G=G(t)의 증가 이 a/t이고,

용역 출 S=S(t)의 증가 b/t라고 하면

출의 증가 얼마인가?

- 출 합계 X(t)=G(t)+S(t)이므로 증가 다음과

같음.

rX= rG+ rS

= + =


4 : 한 국가의 재화 출 G=G(t)의 증가 이 a/t이고,

용역 출 S=S(t)의 증가 b/t라고 하면

출의 증가 얼마인가?

- 출 합계 X(t)=G(t)+S(t)이므로 증가 다음과

같음.

rX= rG+ rS

= + =Ga+Sb

Xt

G

X

S

XG

X

a

t

S

X

b

t



è 탄 을 구하는 법

앞에 살펴본 같이 자연로그함 의 미분공식

=

- 식을 변 하면, 즉 lny의 미분 다음과 같음.

dlny= dy

- 마찬가지로 lnx의 미분 다음과 같음.

dlnx= dx


앞에 살펴본 같이 자연로그함 의 미분공식

=

- 식을 변 하면, 즉 lny의 미분 다음과 같음.

dlny= dy

- 마찬가지로 lnx의 미분 다음과 같음.

dlnx= dx

dlny

y

1

y

1

y

1

y




- 한편, 어떤 함 y=f(x)의 탄 (point elasticity)

다음과 같음.

eyx= =

- 이를 다시 리하면 다음과 같음.

eyx=


- 한편, 어떤 함 y=f(x)의 탄 (point elasticity)

다음과 같음.

eyx= =

- 이를 다시 리하면 다음과 같음.

eyx=d(lny)

d(lnx)

dy

dx

x

y

dy

y

x

dx




5 : 주어진 함 Q=k/P(단, k는 양의 상 )에 요의

탄 을 구하라.

- 우 , 요함 의 양변에 자연로그를 취하면

lnQ=lnk-lnP

- 라 (P에 한 Q의) 요의 탄 다음과 같음.

ed= =-1

- 직각 곡 태의 요곡 항상 단 탄 임.


5 : 주어진 함 Q=k/P(단, k는 양의 상 )에 요의

탄 을 구하라.

- 우 , 요함 의 양변에 자연로그를 취하면

lnQ=lnk-lnP

- 라 (P에 한 Q의) 요의 탄 다음과 같음.

ed= =-1

- 직각 곡 태의 요곡 항상 단 탄 임.

d(lnQ)

d(lnP)

지수함수와 로그함수 -...

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