4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial...
-
Upload
phungtuyen -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial...
![Page 1: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/1.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1
![Page 2: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/2.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 2
Lecture 8
การจ าลองแบบมอนตคาโลและเทคนคการลดความ
แปรปรวน
(Monte Carlo Simulation and Variance
Reduction Techniques)
![Page 3: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/3.jpg)
หวขอการบรรยาย
การจ าลองแบบมอนตคาโล
เทคนคการลดความแปรปรวนดวย
วธ antithetic variates
เทคนคการลดความแปรปรวนดวย
วธ moment matching
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 3
![Page 4: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/4.jpg)
เอกสารประกอบการสอน
Ross, S. (1976), The Arbitrage
Theory of Option Pricing, Journal
of Economic Theory, Vol 13 no.
3, pp. 341-360.
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 4
![Page 5: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/5.jpg)
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) นยาม
กระบวนการทประกอบดวย (1) การสราง
ตวเลขแบบสมมาจากการแจกแจงความ
นาจะเปนทเปนตวบงชแหลงความไม
แนนอน (เชน ยอดขายผลตภณฑใหม
ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน
เงนตราตางประเทศ ราคาสนคาโภค
ภณฑ) (2) การใชตวเลขทจ าลองไดมา
วเคราะหถงผลลพธและความเสยงท
นาจะเกดขนของสงทสนใจ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 5
![Page 6: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/6.jpg)
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) การใชงาน
ใชวเคราะหความไมแนนอนในการด าเนนธรกจ หรอ
ผลลพธทเปนไดของสงทยงไมเกดขน เชน กอนทจะม
การประกาศใชเงนยโร นกวจยใชการจ าลองแบบมอนต
คาโลในการศกษาผลกระทบตอคณสมบตตางๆ ของกลม
หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยของหลายประเทศ
ในยโรป ซงมการคาดการณวาหลงจากมการใชเงนสกล
ยโร สหสมพนธของระหวางตลาดในยโรปจะเพมขน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 6
![Page 7: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/7.jpg)
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) การใชงาน
ใชประเมนราคาตราสารสทธ ทไมมสตรตายตวในการหา
คา เชน ราคาของ Asian options
ใชยนยนผลทางทฤษฎวาเปนจรงหรอไม เชน ตรวจสอบ
การแจกแจงของราคาหน GBM
ใชตรวจสอบการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรท
เราสนใจ ทไมมทฤษฎรองรบ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 7
![Page 8: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/8.jpg)
standard simulation
สมมตวาเรารรปแบบของตวแปรสม แตเราไมรคณ
สมบตของตวแปรสมตวน เราจงจะจ าลองตวแปรน
มา n คา แลวหลงจากนนจงท าการศกษาคณสมบต
ตวอยาง: เราตองการประมาณราคา call แบบ
ยโรเปยน โดยทหนอางองเคลอนทตาม GBM
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 8
0,max)( KSeC T
tTr
t
tTZtTrSS tT )(exp 2
21
![Page 9: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/9.jpg)
standard simulation
สงเกตไดวา μ ใน GBM จะถกแทนทดวยอตรา
ดอกเบยทปราศจากความเสยง r ตามทฤษฎ risk-
neutral pricing
การประเมนราคา call ท าไดดวยการสมเลอก
ตวเลขจาก N(0,1) เพอทจะจ าลอง ST แรกตามน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 9
tTZtTrSS tT )1(2
21)1( )(expˆ
![Page 10: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/10.jpg)
standard simulation
ราคา call (จ าลอง) ราคาแรกสามารถค านวณไดตามน
ท าซ าขนตอนขางบน n ครง ราคาประเมนของ call ตว
นจะค านวณไดตามน
ซง C^t จะมคาคาดหมาย = Ct และความแปรปรวนท
แปรผกผนกบ n
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 10
0,max )1()()1( KSeC T
tTr
t
n
i
i
tt Cn
C1
)(1ˆ
![Page 11: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/11.jpg)
standard simulation
ถา X1, X2, …, Xn เปน iid ทมคาเฉลย μ = E(Xi)
และความแปรปรวน σ2 = var(Xi) <
แปลวาถาเราเพมจ านวนคาสงเกตในกลมตวอยาง
คาเฉลยของกลมตวอยางจะมความแปรปรวนลดลงเรอยๆ
(CLT)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 11
n
i
inXX
nXX
1
1
2
var
![Page 12: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/12.jpg)
standard simulation
จ าลอง 1000 คาของ ST จากขอมลดงน
S0 = 100
r = .06
σ = .3
T = 1 ป
∆t = 1/250 ป = 1 วน
lnST จะมการแจกแจงแบบปกต
คาเฉลย = lnS0 + (r – .5 ×σ2)T
ความแปรปรวน = σ2T
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 12
![Page 13: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/13.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 13
histogram of 1000 simulated log-ST from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
4.0 4.5 5.0 5.5
0.0
1.0
histogram of 1000 simulated ST from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
50 100 150 200 250
0.00
00.
010
0.02
0
![Page 14: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/14.jpg)
standard simulation
ก าหนดให K = 5, i = 1, 2, …, 1000
C^t = exp(-.06×1) × คาเฉลยของ max(S(i)
T – K,0) =
95.02587
ราคา call ตวน (ทม S0 = 100, r = .06, σ = .3, T = 1
ป) ตามสตร Black-Scholes = 95.29118 (ขนาดความ
ผดพลาดของ C^t = 0.26538)
C^t = 95.1781 ถาท าซ า 10,000 ครง (ขนาดความ
ผดพลาด = 0.1130773)
C^t = 95.30597 ถาท าซ า 100,000 ครง (ขนาด
ความผดพลาด = 0.01479267)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 14
![Page 15: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/15.jpg)
standard simulation
เนองจาก C^t เปนคาเฉลยของกลมตวอยาง คา
เบยงเบนมาตรฐานของ C^t หรอคาคลาดเคลอน
มาตรฐานของ Monte Carlo Simulation = σ/√n
σ = คาเบยงเบนมาตรฐานของ C(i)t
n = จ านวนการท าซ าในการจ าลองแตละครง
ถาตองการลดคาคลาดเคลอนมาตรฐานลงสองเทา n
ใหมตองเพมเปนสเทาของ n เดม
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 15
12
1
2
2
2
4
2
1
nn
nn
![Page 16: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/16.jpg)
Antithetic variates
Moment matching
methods
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 16
variance reduction techniques
![Page 17: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/17.jpg)
antithetic variates
แนวคดของวธ AV นคลายกบหลกการของการ
กระจายความเสยงในกลมหลกทรพย (สรางกลม
หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยทไมม
สหสมพนธแบบสมบรณระหวางกน) ซงหลกทรพยท
มประโยชนในการกระจายความเสยง ไดแก
หลกทรพยทมสหสมพนธแบบลบกบตลาด
เนองจาก Z มสหสมพนธลบแบบสมบรณกบ –Z
และทงสองตวแปรมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน
ดงนนราคา S(i)T ทไดจาก Z และ S(i)
T ทไดจาก –Z
กจะมการแจกแจงทถกตองเชนเดยวกน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 17
![Page 18: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/18.jpg)
antithetic variates
S(i)T ทไดจาก Z
S(i)T ทไดจาก –Z
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 18
tTZtTrSS i
t
i
T )(2
21)( )(exp
tTZtTrSS i
t
i
T )()(exp~ )(2
21)(
0,max )()()( KSeC i
T
tTri
t
0,~
max~ )()()( KSeC i
T
tTri
t
![Page 19: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/19.jpg)
antithetic variates
ถาเราน า Z ทสมเลอกมา n ตว และ –Z (n ตว) มา
เรยงจดการแจกแจง การแจกแจงดงกลาวจะเปน
ระเบยบมากกวา การแจกแจงของ Z ทสมมา 2n ตว
คาเฉลยของ {Z,-Z} = 0 เสมอ ในขณะทคาเฉลยของ Z
จะไมมทาง = 0 ไมวาจะสมเลอกมากตวกตาม
เชนเดยวกน การแจกแจงของ {S(i)T ทไดจาก Z, S(i)
T ท
ไดจาก –Z} จะเปนระเบยบมากกวาการแจกแจงของ S(i)T
ทไดจาก Z เพยงอยางเดยว
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 19
![Page 20: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/20.jpg)
antithetic variates
ราคา call ทประเมนไดดวยวธ AV ไดแก
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 20
n
i
i
t
i
tt
CC
nC
1
)()(
2
~1ˆ
![Page 21: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/21.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 21
histogram of 1000 simulated log-ST-tilda from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
4.0 4.5 5.0 5.5
0.0
1.0
histogram of 1000 simulated ST-tilda from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
50 100 150 200
0.00
00.
010
![Page 22: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/22.jpg)
Antithetic variates
ราคาของ call จากวธ AV (n =1000) = 95.24201
(ขนาดความผดพลาด = 0.04916733 ซงนอยกวา
กรณ standard simulation ทม n = 1000)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 22
![Page 23: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/23.jpg)
moment matching
แนวคดของวธ MM ไดแก การท าให Z หรอ S(i)T ท
จ าลองขนมโมเมนตของกลมตวอยางเทากบ
โมเมนตตามทฤษฎ
MM1: จบคโมเมนตแรกของ Z
คาเฉลยของกลมตวอยาง Z มกไมเทากบ 0 แตคาเฉลย
ของกลมตวอยาง Ž จะเทากบ 0
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 23
n
i
iii Zn
ZZZZ1
)()()( 1~
![Page 24: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/24.jpg)
moment matching
การประเมนราคา call ตาม MM1
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 24
tTZtTrSS i
t
i
T )(2
21)( ~
)(exp~
0,~
max~ )()()( KSeC i
T
tTri
t
![Page 25: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/25.jpg)
moment matching
MM2: จบคสองโมเมนตแรกของ Z
μZ = 0
σZ = 1
sZ = คาเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง Z
คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยาง Ž จะ
เทากบ 0 และ 1 ตามล าดบ ในขณะทคาเฉลยและความ
แปรปรวนของกลมตวอยาง Z จะไมเทากบตวเลขทาง
ทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 25
Z
Z
Zii
sZZZ
)()(~
![Page 26: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/26.jpg)
moment matching
ลองสราง Z มา 1000 คา แลวแปลง Z ตาม MM1
และ MM2 ไดผลดงน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 26
Sample mean Sample standard
deviation
Z -0.01613096 1.012485
Ž (MM1) 4.634144×10-18 1.012485
Ž (MM2) 5.727928×10-18 1
![Page 27: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/27.jpg)
moment matching
MM3: จบคโมเมนตแรกของ S(i)T
คาเฉลยของกลมตวอยางหลงจากทแปลง S(i)T ตาม
MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 27
)exp(~
0
)()(rTSSSS
TT SST
i
T
i
T
![Page 28: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/28.jpg)
moment matching
MM3: จบคสองโมเมนตแรกของ S(i)T
σ คอ สมประสทธของความผนผวนจาก GBM
คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยางหลงจากท
แปลง S(i)T ตาม MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 28
1)exp(
~
22
00
)()(
TrT
SS
S
S
S
T
i
T
i
T
eeSrTS
sSSS
TT
T
T
T
![Page 29: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/29.jpg)
moment matching
Boyle, P., Broadie, E. and Glasserman, P.
(1997). Monte Carlo methods for security
pricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 21, 1267-1321
ใช n = 1000 ครงในการประเมนราคา call ดวยวธ
standard simulation และวธ MM
ท าซ าแบบเดม 10000 ครง แลวใชคาเบยงเบนมาตรฐาน
ของตวประมาณคา 10000 ตว เปนตวแทนคา
คลาดเคลอนมาตรฐานของตวประมาณคาทไดจาก
standard simulation และ MM
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 29
![Page 30: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/30.jpg)
moment matching
σ S0/K Standard
simulation
MM1 MM2 MM3 MM4
0.2 0.9 0.24 0.19 0.11 0.19 0.09
1.0 0.62 0.29 0.09 0.26 0.10
1.1 0.93 0.19 0.09 0.15 0.11
0.4 0.9 0.80 0.55 0.24 0.51 0.17
1.0 1.22 0.66 0.19 0.56 0.23
1.1 1.61 0.63 0.17 0.48 0.28
0.6 0.9 1.40 0.95 0.38 0.84 0.28
1.0 1.93 1.1 0.31 0.91 0.39
1.1 2.38 1.13 0.25 0.85 0.49
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 30
![Page 31: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/31.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 314/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 31
4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 31
![Page 32: 4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 Financial Innovation/Lecture...ใช ตรวจสอบการแจกแจงความน าจะเป](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020215/5b2d3ab67f8b9ae16e8bae2f/html5/thumbnails/32.jpg)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 32
Email:
Homepage:
http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm
Phone:
02-9428777 Ext. 1221
Mobile:
087- 5393525
Office:
ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ