Electromagnetismo - 2002 225Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar4 Lneas de Transmisin 1En este captulo introducimos las nociones bsicas de la propagacin de ondas porlneas de transmisin.Las lneas de transmisin son estructuras de guiado de energa cuyas dimensiones,salvo una, son pequeas frente a la longitud de onda de los campos electromagn-ticos. Es posible considerar a la lnea como una sucesin de cuadripolos de tama-o infinitesimal en cascada. Para cada cuadripolo entonces se puede aplicar laaproximacin cuasi-esttica. Esta descripcin circuital se conoce como de par-metros distribuidos.En el caso de las lneas ideales no existen prdidas de energa y el cuadripoloexhibe solamente elementos reactivos. Resultan ecuaciones de onda para tensin ycorriente a lo largo de la lnea, que queda definida por dos parmetros: la veloci-dad de propagacin de las ondas y la impedancia caracterstica, que da la rela-cin entre las ondas de tensin y de corriente de una onda progresiva.En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva, en el caso de ondas armnicas, a una constante de pro-pagacin compleja que indica la propagacin con atenuacin y a una impe-dancia caracterstica compleja. En la prctica son de inters las lneas de bajasprdidas.Se presenta una descripcin de lneas de uso comn en la tcnica, entre ellas laslneas de cinta o de par trenzado.Una lnea cargada generalmente presenta reflexin de potencia, y en el caso ideal,ondas estacionarias.En general, modificando la impedancias de carga y la longitud de la lena es posi-ble obtener cualquier impedancia de entrada, lo que permite usar a las lneas co-mo elementos de circuito.Para lneas de transmisin de energa o informacin, la reflexin de potencia eshabitualmente perjudicial, y est acompaada de sobretensiones y sobrecorrientesen la lnea que pueden daarla. El parmetro que define usualmente la importan-cia de la reflexin es la relacin de onda estacionaria (ROE).Se presenta un coeficiente de reflexin generalizado que da la relacin de la ten-sin de la onda regresiva y la tensin de la onda incidente en cualquier punto de lalnea.En el Apndice 5 se da una muy breve introduccin al comportamiento de ondas enuna dimensin.Electromagnetismo - 2002 226Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arGuas de ondas y lneas de transmisinUnaguadeondasesundispositivoqueseusaparatransportarenergaelectro-magntica y/o informacin de un sitio a otro. Generalmenteseusael trminolneadetransmisinalaguadeondasusadaenelextremodemenorfrecuenciadelespectro. A estas frecuencias es posible utilizar un anlisis cuasiesttico. Parafrecuenciasmselevadaslaaproximacincuasiesttica deja de ser vlida y se requiereun anlisis en trminos de campos, que es demayor complejidad. Veremos este tratamientoen el captulo de guas de ondas.Podemospensaraunalneadetransmisinbsica como un par de electrodos que se ex-tienden paralelos por una longitud grande (enrelacin con la longitud de onda) en una dadadireccin.Elpardeelectrodossehallancar-gadoscondistribucionesdecarga(variablesa lo largo de la lnea) iguales y opuestas, for-mandouncapacitordistribuido.Almismotiempocirculancorrientesopuestas(variablesalolargodelalnea)deigualmagnitud,creandocampomagnticoquepuedeexpresarseatravsdeunainductancia distribuida. La potencia fluye a lo largo delalnea.Losejemplosmsimportantesdelneasdetransmisin son el par bifilar, el coaxil y la microcinta.Parausarunmodelocuasiestticoserepresentaalalneacomounacascadadecuadripolos.Cadacuadripolorepresentauntramodelneadepequealongitudfrentealamnimalongituddeondadelaseal.Porlotantocadatramosepuedemodelizar como un circuito usando la aproximacin cuasiesttica, como veremos enla siguiente seccin.Esta descripcin corresponde a una lneabifilar.En muchasaplicacionesesnece-sario considerar lneas multifilares, como por ejemplo en circuitos impresos e inte-grados.Paraelanlisiscircuitalesnecesariousarcoeficientesdecapaci-dad/induccin e inductancias parciales.I-IQ-QEHQ-QElectromagnetismo - 2002 227Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arModelo circuital de la lnea bifilar idealEnunalneadetransmisinhaydimensiones,lastransversales,quecumplenlacondicin cuasi-esttica (D < > t0,existiruna posicinz1para la cual se vuelve a tener el mismovalordelafuncinf0.Estoocurrecuandocoincidenlosargumentos: f(z0 , t0) = f(z1 , t1)z0 c t0 = z1 c t1de donde:z1 = z0 + c (t1 t0)z1 > z0.Esterazonamientosepuedehacerparacadaposicinoriginalz0,demaneraqueseobservaquecadapuntodelacurvaoriginalsedesplazaaladerechaunacanti-dad uniforme c (t1 t0).Esto es equivalente a decir que la funcin misma se desplazahacialaderechaconvelocidadconstantec.Unamagnitudfsicacuyafuncinrepresentativasetrasladasedenominauna onda.En el caso de la solucin ] ) ( [ ) ( ) , ( t c z f ct z f t z f +se ve fcilmente que el com-portamiento es el mismo que el descripto, pero con una velocidad (-c). Por lo tanto esta so-lucin implica una onda que se propaga en el sentido decreciente dez.Convencionalmente se denomina onda progresiva a la que se propaga en el sentido elegi-do como positivo o de crecimiento de las posiciones y regresiva a la que se propaga en elsentido opuesto.t0 fzf0 z0t1 fzf0 z0 z1cElectromagnetismo - 2002 249Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.arRESUMENLas lneas de transmisin son guas de onda donde se puede aplicar la aproxima-cincuasi-estticadeparmetrosdistribuidos.Semodelizancomocuadripolosencascadadeextensininfinitesimal.Lasvariablessignifica-tivassonlatensinycorrientealolargodelalnea.Las lneas ideales no tienen prdidas de energa y el cuadripolo exhibe solamenteelementosreactivos.Resultanlasecuacionesdeltelegrafistaparatensinyco-rriente a lo largo de la lnea: z z z ztiLzvtvCzi

que llevan a las ecuaciones de onda:0 022222222

tiLCzitvLCzvEstas ecuaciones tienen soluciones ondulatorias:C L ZLCc Z t z v t z i ct z f t z v / ,1/ ) , ( ) , () ( ) , (0 0con donde c es la velocidad de propagacin de las ondas y Z0 la impedancia caracte-rstica de la lnea.En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva a ecuaciones de propagacin ms complicadas:( ) ( ) 0 022222222 + + i RGtiLG RCtiLCziv RGtvLG RCtvLCzvEn el caso de ondas armnicas es fcil resolverlas ecuacionesde ondas. Se ob-tieneunaconstantedepropagacincomplejaqueindicalapropagacinconatenuacin y una impedancia caracterstica compleja:Y Z Z ZY i C i G Y L i R Z+ ++ 0, La velocidad de propagacin de la onda es la velocidad de fase:

fvEsta velocidad depende generalmente de la frecuencia, lo que produce el fenme-no de la dispersin, que implica la distorsin de pulsos o paquetes de onda que sepropaguen por la lnea.En la prctica son de inters las lneas de bajas prdidas: R