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  Definición (Límite de una función)

Sea una función de dos variables definida en el

disco abierto , excepto posiblemente en . Entonces

si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que

Observación :  grficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera

, el valor de est entre y , como se ilustra en la

figura.

!igura ".

#omo ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto

se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de

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caminos ubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe.%ara

llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posibletrayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra

en siguiente e$emplo.

Ejemplo 2

#ompruebe que

Solución

La tcnica que usamos con el e$emplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunqueel límite de cero a travs de mucas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor*

 pero nos ace sospecar que el límite existe.

Sea , queremos encontrar un tal que

es decir

como

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+. %ara este límite racionaliamos el denominador