39927420-tugas-matematika
-
Upload
kadek-santiari-dewi -
Category
Documents
-
view
28 -
download
2
Transcript of 39927420-tugas-matematika
![Page 1: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/1.jpg)
TUGAS KALKULUS
OLEH:I MADE ASTARIKA DWI TAMA
0904105055
UNIVERSITAS UDAYANAJIMBARAN
2009BILANGAN KOMPLEK
![Page 2: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Sistem Bilangan KompleksSecara umum bilangan kompleks dapat diartikan sebagai suatu bilangan yang
terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner (γ). Mungkin dengan kata-kata ini kalian akan terlalu paham mengenai bilangan kompleks, maka dari itu mari kita lihat contoh di bawah ini:Simbol: ĵContoh soal:Selesaikanlah persamaan kuadrat: 5x² - 8x + 5 = 0
Berapa akar (-36)?................. 6 atau -6Kedua angka di atas adalah bukan akar dari 36 atu -36, sesungguhnya akar dari -36 tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada bilangan riil yang kuadratnya negative. Maka dari itu bilangan tersebut dapat kita sederhanakan menjadi seperti di bawah ini: √(-36) -36 = -1 x 36, sehingga dpt ditulis √(-36) = √(-1 x 36) = √ (-1) x √36 = 6 √ (-1) Jika kita anggap ĵ = √ (-1), maka √(-36) = ĵ6Jadi ĵ di sini yang kita sebut sebagai bilangan imajiner, sedangakan 6 di sini kita sebut sebagai bilangan riil. Pangkat dari ĵ:
Dari contoh di atas dapat kita ketahui bahwa, bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan riil dengan bilangan imajiner (ĵ).Jadi coba kita selesaikan contoh soal di bawah ini!x² - 8x + 4 = 0
![Page 3: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/3.jpg)
di atas √-100 dapat kita ganti menjadi ĵ10, maka akan didapatkan hasil sebagai berikut:X1= 2+ĵ5 atau X2= 2- ĵ5.Di sini 2 disebut bilangan riil dari X, dan 5 disebut bilangan imajiner dari X.
2. OPERASI BILANGAN KOMPLEKOperasi-operasi dalam bilangan kompleks
(a + ĵb) + (c + ĵd) = (a + c) + ĵ(b + d)
(a + ĵb) - (c + ĵd) = (a - c) + ĵ(b - d)
PenjumlahanContoh soal:(2 + ĵ4) + (3 – ĵ3)
= (2 + 3) + (ĵ4 – ĵ3)
= 5 + ĵ
PenguranganContoh soal:(5 + ĵ8) - (3 – ĵ4) 5 + ĵ8 – 3 + ĵ4= 2 + ĵ12
PerkalianContoh soal:(3 + ĵ4) . (2 + ĵ5)
= (3 x 2) + (3x ĵ5) + (ĵ4 x 2) + (ĵ4 x ĵ5) ….. ĵ² = -1
= 6 + ĵ15 + ĵ8 + ĵ²20…… ĵ²= -1= 6 + ĵ23 -20
(5 + ĵ8) . (5 – ĵ8)
= 25 + ĵ40 – ĵ40 - ĵ²64) ….. ĵ² = -1
= 89Ini disebut bilangan komplek konjungaf yang hasilnya selalu bilangan riil.
PembagianContoh soal:7 + ĵ5 3Maka hasilnya, 7/3 + 5/3 ĵ
![Page 4: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/4.jpg)
Untuk soal yang berikutnya:4 – ĵ62 + ĵ4Dikalikan dengan bilangan komplek konjungaf penyebutnya sehingga hasilnya nanti selalu bilangan riil.4 – ĵ6 . 2 - ĵ42 + ĵ4 2 - ĵ4
8- ĵ28 + ĵ²24 4 + 16
8- ĵ28 - 24 20
-16 - ĵ28 20
= -0,8 - ĵ²1,4
Kesamaan Bilangan Kompleks 1. (a + ĵb) = (6 - ĵ3) a = 6 dan b = -3
2. (a + ĵb) + ĵ (a - b) = 7 + ĵ2 (a + b) = 7 2a = 9 à a = 4,5 (a – b) = 2 2b = 5 à b = 2,5Dengan demikian dua bilangan komplek dikatakan sama jika:
(i) Kedua bagian riilnya sama(ii) Kedua bagian imajinernya sama
3. PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEK SECARA GRAFIS
Garis yang menyatakan besar dan arah disebut vektor. Jika (+3) dikalikan dengan faktor (-1) maka didapat (-3) Faktor (-1) menyebabkan vektor berbalik arah 180° Mengalikan dengan (-1) setara dengan mengalikan ĵ², yaitu Mengalikan dengan faktor ĵ.ĵ.Jadi mengalikan sekali dengan sebuah faktor ĵ memiliki akibat separuhnya.
0-2 -1 1 2 3
+3-3
-3
![Page 5: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/5.jpg)
Faktor J selalu memutar vektor sebesar 90° dalam arah positif pengukuran sudut, yaitu dalam arah berlawanan dengan putaran jarum jam.
0-3 -2 -1 1 2 3
+3-3
J3 xj
0-3 -2 -1 1 2 3
+3-3
J3 xj
![Page 6: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/6.jpg)
Sekala sepanjang sumbu X = sumbu riil dan sepanjang sumbu Y = sumbu imajiner.
PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEK SECARA GRAFIS dengan DIAGRAM ARGAND
Nyatakan bilangan komplek (2+ĵ3), maka jumlahkan vektor 3 dengan vektor ĵ2
0-3 -2 -1 1 2 3
+3-3
J3 xj
0-2 -1 1 2 3
J3 xj2+J3
-3
![Page 7: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh soal:\Gambarkan bilangan komplek: (i) z1 = 4 + ĵ2 (ii) z2 = -5 + J3
(iii) z3 = 3 – J5 (iv) z4 = -3 – J2
Jumlahkan bilangan komplek: (i) z1 = 4 + ĵ2 (ii) z2 = 5 + J3
0-3 -2 -1 1 2 3
Z1=4+J2
-4-5 4 5
![Page 8: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/8.jpg)
Jumlahkan bilangan komplek: (i) z1 = 3 + ĵ2 (ii) z2 = 2 + J2
0-3 -2 -1 1 2 3-4-5 4 5
![Page 9: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/9.jpg)
BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEK
bilangan komplek: z1 = a + ĵbNyatakan dalam bentuk kutub……..r² = a² + b² maka r² = a² + b²tan θ = b/a maka θ = arkus tan b/az = r cos θ + Jr sin θ z = r (cos θ + J sin θ)
0-3 -2 -1
r
a
bθ
P
![Page 10: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh Bilangan Kompleks: 3 + J4Nyatakanlah dalam bentuk bilangan kompleks!r² = a² + b² maka r² = a² + b²
r²= 3² + 4²r²= 9 + 16r²= 25r = 5
tan θ = b/a maka θ = arkus tan b/a = 4/3 maka θ = 53,13°
Bentuk kutub bilangan kompleks adalah sebagai berikut:z = r cos θ + Jr sin θ
z = r (cos θ + J sin θ) z = 5 (cos 53,13° + J sin 53,13° )
Ada nama khusus untuk r dan θ : z = a + ĵb = r (cos θ + J sin θ)
(i), r disebut modulus dari bil z atau mod
(ii), θ disebut argumen dari bil z atau arg Contoh di atas, maka argumen z = 53,13°
BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEK
![Page 11: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/11.jpg)
Bila untuk dan diganti x dengan jθ, maka didapatkan
Dengan demikian r (cos θ + j sin θ) dapat ditulis
JADI ADA 3 CARA MENYATAKAN BILANGAN KOMPLEK
Cara menyatakan bilangan komplek, z = (a + ĵb) z = r (cos θ + J sin θ) bentuk kutubz = bentuk eksponensial
Contoh soal….Ubahlah dalam bentuk kutub, bilangan kompleks di bawah ini.2 + J4Solusi:Cari dulu r dari bilangan kompleks tersebut.r²= a² + b²r²= 2² + 4²r²= 4 + 16r²= 20r= √20tan θ= b/a…… tan θ= 4/2=2θ= 63,43°
![Page 12: 39927420-tugas-matematika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082503/557210ec497959fc0b8def31/html5/thumbnails/12.jpg)
z= r(cos θ + sin θ)z= √20(cos θ + sin θ)z= √20(cos 63,43° + sin 63,43°)
Contoh soal kedua…..Ubahlah bentuk kutub di bawah ini ke dalam bentuk eksponen!4(cos 60° + sin 60°)Solusi:Harga r sama, sedangkan dalam bentuk sudut bilangan komplek dalam bentuk eksponensial selalu dalam radial.4(cos 60° + sin 60°)r= 4θ= 60, ubah ke dalam bentuk radial θ = 60° = π/3 radianjadi 4(cos 60° + sin 60°) =
2. Penerapan Dalam Bidang Teknik Sipil.
Sesungguhnya penerepan bilangan kompleks dalam bidang teknik sipil sangatlah sederhana. Sesuai dengan contoh di atas, bahwa √-36 tidak dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan biasa. Karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya negative, sehingga kita bisa menggunakan simbol j sebagai salah satu bagian dari √-36 yaitu √-1. Jadi intinya bilangan kompleks dapat digunakan saat kita menemukan perhitungan-perhitungan struktur bangunan yang menghasilkan angka yang bernilai √ minus.
Kita bisa ambil salah satu contoh rumus yang sederhana, misalnya rumus yang saya temukan pada salah satu buku yaitu rumus untuk mencari nilai radius girasi dalam bidang teknik sipil. r =Dimana : I = inersia tampang kolom A = luas tampang kolom
Jika nilai inersia tampang kolom di atas memiliki nilai minus, maka secara langsung nilai yang akan dihasilkan yaitu √ minus, missal:
Maka nilai dari √-1/2 dapat kita sederhanakan dalam bentuk bilangan kompleks, yaitu √-1 dan √1/2. √-1 di sini dapat kita sederhanakan menjadi simbol j, maka nilai dari √-1/2 yaitu √1/2 j.Jadi bilangan kompleks dapat digunakan dalam perhitungan bangunan.
Z1=4+J23