Dikdrtgen Dalga Klavuzlar

2

Dalga Klavuzu Paralar

Dikdrtgen dalga klavuzu

E-teeDalga klavuzu dnleri

Dalga klavuzu koaksiyel adaptr

3Dikdrtgen Dalga klavuzu

Silindirik Dalga klavuzu

Optik fiberDielektri dalga klavuzu

4

3. letim hatlar ve Dalga Klavuzlar

Mikrodalga sistemlerde iletim hatt olarak Dalga klavuzlar ve

koaksiyel kablolar kullanlr.

Dalga Klavuzu (Waveguide): Yksek g tama kapasitesine

sahip - kaba ve pahal.

Koaksiyel kablo (Coaxial line): yksek bant genilii, test uygulamalarnda uygun - kompleks mikrodalga bileenler

retimi iin uygun deil.

Dzlemsel iletim hatt (Planar transmission lines): stripline,

microstrip, slotline, coplanar waveguide btnleik (compact), ucuz, aktif cihazlara kolayca entegre edilebilir.

53.1 TEM, TE ve TM dalgalar iin genel zm

Maxwell denklemlerinin iletim hatt veya dalga klavuzlarnda

ilerleyen TEM, TE ve TM dalgalar iin genel zm.

Sonsuz uzunlukta ve z ynnde dzgn

(a) ki iletkenli genel iletim hatt (b) kapal dalga klavuzu.

6

Helmholtz Denklemleri

E j HH j E J

= = +

( )E j H j j E J = = +0

vE

H

=

=

Vector Laplacian alm :

( )2E E E

( ) ( ) ( )2 2 2 2 x y zE x E y E z E = + + burada

7( ) ( )22 2

2 2

2 2

v

v

v

E E j j E J

E E j J

E E j J

E E j E

= +

=

+ = +

+ = +

( )E j H j j E J = = +

Ohmkanunundan:

J E=

Helmholtz Denklemleri

2 2

2 2

2 2

v

vc

v

E j E

E E

E k E

+ =

+ =

+ =

2 2c

k =

Sa taraftaki terim iin,

8

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

00v

H j E J

H j E JH j E EE j

E

= +

= + = + = + = =

Sa taraftaki terim iin, ncelikle dier Maxwell denkleminden balanrsa;

Sinsoidal kararl durumda yani; Lineer, homojen, izotropik ve kaynaksz ortamda hacim yk younluu olamaz.

2 2 vE k E

+ =

Helmholtz Denklemleri

2 2 0E k E + =Bylece

9( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2c

c

c

H j E JH j E EH j EH j EH j j H

H H j j H

= + = + = + = = =

Ayn ekilde manetik alan iin;

H j E J = +

Helmholtz Denklemleri

2 2 0H k H + =Bylece,

10

Klavuzlu dalga tipleri:

Klavuzlu Dalgalar

TEMz: Ez = 0, Hz = 0

TMz: Ez 0, Hz = 0

TEz: Ez = 0, Hz 0

Hibrid: Ez 0, Hz 0

Microstrip

h

w

r

TEMz

TMz , TEz

Hibrid

11

Zaman terimi ejt

burada, e(x,y) ve h(x,y): enine (iletim ynne dik, transverse)

E ve H alan bileenlerini, ez ve hz: boyuna (iletim ynnde,

longitudinal) E ve H alan bileenlerini gstermektedir.

Kaynaksz ortamda,

ckHkHEkE

2222

22

burada,0

0

=

=+=+

[ ][ ] zjzz

zjzz

eiyxhyxhzyxHeiyxeyxezyxE

+=

+=

),(),(),,(),(),(),,(

12

E j H = Alan gsterimic

H j E =

zxy

yz

x

xyz

Hjy

Ex

E

Hjx

EEj

HjEjy

E

=

=

=+

zxy

yz

x

xyz

Ejy

Hx

H

Ejx

HHj

EjHjy

H

=

=

=+

1

2

3

4

5

6

( )1/22 2c zk k k= Alt kesim (Cut off) dalga numaras

Dier bileenler de ayn ekilde bulunabilir.

1 ve 5 numaral denklemlerden

13

+

=

=

yH

x

Ek

jH

x

Hy

EkjH

zz

c

y

zz

c

x

2

2

+

=

+

=

x

Hy

EkjE

yH

x

Ek

jE

zz

c

y

zz

c

x

2

2

222 = kkc

Bylece Elektrik ve manetik alann (transverse bileenleri) x ve y

bileenleri z bileenleri ( Ezve H

z) cinsinden aadaki gibi ifade

edilir.

burada kc: altkesim (cutoff) dalga

numarasdr,

: iletim hatt

veya dalga klavuzu ierisindeki

ortamn dalga numaras.

pi /2==k

14

3.3 Dikdrtgen dalga Klavuzlar

TE Modlar

Ez = 0

Hz , (3.21)i salamaldr.

Yukardaki denklem deikenleri ayrtrma metodu

(separation of variables) ile zlebilir.

0),(222

2

2

=

+

+ yxhk

yx zc

)()(),( yYxXyxhz =

011 222

2

2

=++ ckdxYd

YdxXd

X

15Dikdrtgen dalga klavuzu geometrisi

16

WaveguideDesignation

a(in)

b(in)

t(in)

fc10(GHz)freq range

(GHz)

WR975 9.750 4.875 .125 .605 .75 1.12

WR650 6.500 3.250 .080 .908 1.12 1.70

WR430 4.300 2.150 .080 1.375 1.70 2.60

WR284 2.84 1.34 .080 2.08 2.60 3.95

WR187 1.872 .872 .064 3.16 3.95 5.85

WR137 1.372 .622 .064 4.29 5.85 8.20

WR90 .900 .450 .050 6.56 8.2 12.4

WR62 .622 .311 .040 9.49 12.4 - 18

Tablo: Baz Standard Dikdrtgen dalga klavuzu boyutlar

1 inch = 2.54 santimetre

17

kx ve ky ayrtrma sabitleridir.

Snr artlar:

(3.19c) ve (3.19d) kullanarak;

dx

HkjE

cy

HkjE

z

c

y

z

c

x

19.3

19.3

2

2

=

=

( )( )( )( )ykDykCxkBxskAk

kj

e

ykDykCxkBxkAkkj

e

yyxxxc

y

yyxxyc

x

sincoscossin

cossinsincos

2

2

++

=

++

=

( )( )ykDykCxkBxkAyxh yyxxz sincossincos),( ++=2222

2

22

2

2

,0 ,0 cyxyx kkkYkdyYdXk

dxXd

=+=+=+

axyxebyyxe

y

x

,0 ,0),(,0 ,0),(

==

==

18

Snr artlarndan; D = 0, ky = n/b, B = 0 ve kx = m/a

TEmn modunun enine (transverse) alan bileenleri:

zjnmz eyb

nx

a

mAzyxH pipi

= coscos),,(

zjnm

c

y

zjnm

c

x

zjnm

c

y

zjnm

c

x

eyb

nx

a

mAbk

njzyxH

eyb

nx

a

mAak

mjzyxH

eyb

nx

a

mAak

mjzyxE

eyb

nx

a

mAbk

njzyxE

pipipi

pipipi

pipipi

pipipi

=

=

=

=

sincos),,(

,cossin),,(

,cossin),,(

,sincos),,(

2

2

2

2

19

Reel olmas iin

Alt kesim frekans ek kk olan mode dominanat (baskn)

mode olarak adlandrlr (a>b);

art salanmaldr.

22222

==

bn

a

mkkk cpipi

22

+

=>

bn

a

mkk cpipi

22

21

2

+

==

bn

a

mkf ccmn pipipipi

afc 2

110 =

20

Eer, f < fc olursa tm alan bileenleri yok olur cutoff veya

evanescent mode

Eer birden fazla mode ilerliyorsa dalga klavuzu (ok modlu)

overmoded olmu demektir.

Dalga empedans

Klavuz dalga boyu (: klavuz ierisindeki ortamdaki dzlem

dalgann dalga boyu)

k

HE

HEZ

x

y

y

xTE =

==

pipi =>=

kg22

1

=>=k

vp

21

TE10

modu iin:

0

,sin

,sin

,cos

10

10

10

===

=

=

=

yzx

zjx

zjy

zjz

HEE

exa

AajH

exa

AajE

exa

AH

pi

pi

pi

pi

pi( )22 / , ak

akc pipi ==

0 0 0 0

2 2210

2 0 0

3 210

2

1 1Re Re

2 2Re( ) | |

sin2Re( ) | |4

a b a bo y x

x y x y

a b

x y

P E H zdydx E H dydx

a A x dydxa

a b A

pipi

pi

= = = =

= =

= =

=

=

TE10 modu iin klavuzda ilerleyen g:

22

TM Modlar

Hz = 0

Snr artlar : x = ( 0, a ) ve y = (0, b ) iin : ez(x,y) = 0

0, /0, /

x

y

A k m aC k n b

pi

pi

= =

= =

( )( )ykDykCxkBxkAyxe yyxxz sincossincos),( ++=

0),(222

2

2

=

+

+ yxek

yx zc

zjmnz eyb

nx

a

mBzyxE pipi

= sinsin),,(

, ,

23

22222

==

bn

a

mkkk cpipi

zjnm

c

y

zjnm

c

x

zjnm

c

y

zjnm

c

x

eyb

nx

a

mBak

mjzyxH

eyb

nx

a

mBbk

njzyxH

eyb

nx

a

mBbk

njzyxE

eyb

nx

a

mBak

mjzyxE

pipipi

pipipi

pipipi

pipipi

=

=

=

=

sincos),,(

,cossin),,(

,cossin),,(

,sincos),,(

2

2

2

2

kHE

HEZ

x

y

y

xTM

==

==

22

21

+

=

bn

a

mfcpipi

pi

TE and TM modeempedanslarnn frekansa kar deiimi.

22c

c

2pi2

+

==

bn

a

mk

0 a 2a c

, denklemini kullanarak propagasyon sabiti ile alakal altkesim dalga boyu aadaki gibi bulunur.

pi2=k ck

c

22c

c

2pi2

+

==

bn

a

mk

Alt kesim frekans veya alt kesim dalga boyu klavuz boyutlar a, b vem, n tamsaylar ile ilikilidir. Verilen klavuz boyutlar iin, her farklmod iin farkl alt kesin frekans ve dalga boyu vardr. Mod mertebesiarttka alt kesim frekans artar, dalga boyu ise ksalr.

TE10 dalgasnn alt kesim dalga boyu 2aiken, TE20 dalgasnn alt kesim dalga boyu a dr.

Sol taraftaki ekilde boyutlu dalga klavuzu iin alt kesim dalga boyu dalm grlmektedir.

ba 2=TM11

TE01TE20

TE10

TM11

TE01TE20

TE10

0 a 2a c

TE10 modu dikdrtgen dalga klavuzlarnda baskn mod ( dominant mode ) olarak adlandrlr.

Eer ise ilgili mod kesime gider. ekilden anlalaca gibi

olan tm modlar kesime gider

c > a2>

Eer ise sadece TE10 modu oluur, dier tm modlar kesime gider.

aa 2

TE dalgalar iin dalga klavuzu empedans da ayn ekilde

aadaki gibi bulunabilir.2

c

2c

TE

11

=

=

Z

ff

ZZ

Eer , ise ve her ikisi de sanal olur. Bunun anlam transvers elektrik ve manetik alan arasnda faz fark oluuyor demektir. Bundan dolay z-ynnde enerji ak olmaz. Bu durum elektromanetik dalgann kesime uradnn iaretidir.

cff < TMZ TEZc >

2pi

rnek. i bo olan metalik bir dalga klavuzunun boyutlar 25mm10mm dir. ise;

a)hangi modlar iletilir.b)Dalga klavuzunun ierisi dielektrik sabiti olan bir dielektrik ile doldurulursa iletilen modlarda herhangi bir deiiklik olur mu?

MHz104=f

4r =

Cevap: ii boluk olan dalgaklavuzu iin alma dalga boyu mm 30== fc

ve alt kesim dalga boyu 2222c 25.6502

nm

bn

a

m +=

+

=

Eer dalga klavuzu dielektrik sabiti olan bir dielektrik iledoldurulursa alma dalga boyu aadaki gibi olur

4r =

mm15r

==

Bylece, TE10 ve TE20 dalgalar iletilebilir, ayrca TE01TE30TE11TM11TE21TM21 modlar da oluur.

Bylece alt kesim dalga boyu TE10 dalgas iin TE20 dalgasiin ve TE01 dalgas iin dir. Yksek mertebemodlar iin alt kesim dalga boylar daha da dktr. Yukardakiaklamalardan da anlalmaktadr ki klavuz ierinde sadece TE10 dalgasilerleyebilmektedir.

mm50c =mm25c = mm20c =

29

Dikdrtgen dalga klavuzu ierisinde ilerleyen baz dk mertebe modlar iin alan izgileri ( from Fields and Waves in Communication Electronics, Ramo et al, Wiley, 1965)

x

z y

x

y

z

g

b

aMagnetic alan izgileriElektrik alan izgileri

TE10

Modu iin Elektrik, manetik alan izgileri ve akm

z

y

x

Elektrik akm duvar

TE10 modu iin yzey akmlar

Yksek mertebe modlarMagnetic alan izgileri

Elektrik alan izgileri

TE10 TE11

TE20 TE21

TM21TM11

32

rnek: Dikdrtgen bir dalga klavuzunun ierisi boluktur. a = 3.0 cm, b = 1.5 cm,ve alma frekans f = 12 GHz olduuna gre hangi modlar ilerler bulunuz.

Mode m n fc (GHz)TE 1 0 5TE 2 0 10

TE 0 1 10

TE, TM 1 1 11.18

TE, TM 2 1

22

2

+

=

bn

a

mcfr

cmn

pipi

picma

TEc 621010 == GHz

cfc

TEc 510 ==

4.25

1210

==TEcff

33

rnek: Dikdrtgen bir dalga klavuzunun ierisi teflon (r = 2.08 ) ile doldurulmutur. a = 1.07 cm, b = 0.43 cm, f = 15 GHz olduuna gre hangi modlar ilerler bulunuz.

Mode m n fc (GHz)TE 1 0 9.72TE 2 0 19.44TE 0 1 24.19TE, TM 1 1 26.07TE, TM 2 1 31.03

15 GHz iin

22

2

+

=

bn

a

mcfr

cmn

pipi

pi

1.3452

222=

==

akkk c

pi

34

rnek: erisi boluk olan dikdrtgen bir dalga klavuzunda sadece TE10 modunun ilerleme si istenmektedir. alma frekans f = 3 GHz olduuna gre TE10 modunun alt kesim frekansnn alma frekansndan %30 kk ve bir sonraki modun alt kesim frekansnn ise alma frekansndan %30 byk olmas iin dalga klavuzunun boyutlarn (a , b) bulunuz.

[ ]10

30.1 TEcff

[ ]30.1

300030.110

= ff TEc

[ ] [ ] 300030.1*103 8

10

10

=TEc

pTEc f

v

[ ] maTEc 13.0210 =cma 50.6

Bir sonraki mod ise b/a deerine bal olarak TE20 veya TE01 modudur. TE20 modu olduu varsaylrsa,

[ ]20

70.0 TEcff [ ] 70.03000

70.020= ff TEc

[ ] [ ] cmfv

TEc

pTEc 73000

70.0*103 8

20

20=

=

cma 0.7Bir sonraki modun TE01 modu olduu varsaylrsa,

[ ]70.0

300070.001

= ff TEc

[ ] cmbTEc 0.7201 = cmb 5.3Bylece,

cmacm 0.75.6 cmb 5.3

35

rnek: Dikdrtgen dalga klavuzu WR284 tipindedir. Bu klavuzun boyutlar a = 2.840 mils (a = 7.214 cm ) ve b = 1.340 mils (b = 3.404 cm). lk drt modun alt kesim frekanslarn bulunuz.

TE10:

TE01:

TE20:

TE11:

TE10 TE01TE20 TE11

2.08 GHz 4.16 GHz 4.41 GHz 4.87 GHz

TM11

snmc /103 8=22

2

+

=

bn

a

mcfcmn

GHzm

cm

cm

snm

a

cfc 08.21100

)214.7(2/103

2

8

10 =

==

GHzm

cm

cm

snm

bcfc 41.41

100)404.3(2

/1032

8

01 =

==

GHza

cfc 16.420 ==

GHzcmcm

snmfc 87.4404.31

214.71

2/103 228

11 =

+

=

36

rnek: i Bo, dikdrtgen dalga klavuzunun boyutlar a = 5.0 cm ve b = 2.50 cm dir. Bu dalga klavuzu z=0 noktasnda aadaki ekilde uyarldna gre, ilerleyen modlar, dalga empedansn ve manetik alan bileenlerini bulunuz.

tSinxSinxSinEiE y pipipi10

0 10)605.020( +=

Hzf 910

1052

10==

pi

piyye gre deiim yok

a

xSinxSinxSin pipipi ==05.0

20

a

xSinxSinxSin pipipi 305.0

360 ==

Bylece uyarlan modlar TE10 ve TE30 modlardr.

[ ] Hzma

mfmTEc

98

103*1.0

10320

=

==

99 109103

37

rnek (Devam): i Bo, dikdrtgen dalga klavuzunun boyutlar a = 5.0 cm ve b= 2.50 cm dir. Bu dalga klavuzu z=0 noktasnda aadaki ekilde uyarldna gre, ilerleyen modlar, dalga empedansn ve manetik alan bileenlerini bulunuz.

380

531

103101

2

8

102 pipi =

=

= f

fcz

ilerleyenTE10 modu iin

)3

8010()20( 100 ztSinxSinEiE ypi

pipi =zj

y exSinjEE)

380(

0 )20(pi

pi

=

002

2

4jEH

aj c = pi

pi

pi2000

0EH =

zjz exCos

EH)

380(0 )20(

200

pi

pipi

=

[ ] =

=

= 150

531

120

1220

pipi

ffc

TEg m

zjx exSin

EjH )380(0 )20(

150

pi

pipi

=

38

rnek: i Bo, dikdrtgen dalga klavuzunun boyutlar a = 2.286 cm ve b = 1.524 cm dir. lk sekiz modun alt kesim frekanslarn bulunuz.

TE10:

TE01:

TM11:

TE11:

snmc /103 8=22

2

+

=

bn

a

mcfcmn

GHzm

cm

cm

snm

a

cfc 56,61100

)286.2(2/103

2

8

10 =

==

GHzm

cm

cm

snm

bcfc 84.91

100)524.1(2

/1032

8

01 =

==

GHzfc 83.1111 =

GHzcmcm

snmfc 83.11524.11

286.21

2/103 228

11 =

+

=

TE20: GHzfc 12.1320 =

TE21: GHzfc 40.1621 =

TE30: GHzfc 69.1930 =

TE02: GHzfc 69.1902 =

rnek: i polyethylene (r=2.26) ile doldurulmu WR975 tipi bir dalga klavuzu ierisinde 600 MHz iin dalga hzn, faz hzn ve gurup hzn bulunuz. a = 9.74 in ve b = 4.875 in.

MHzm

cm

cm

snm

a

cfr

c 4031100

)54.2*74.9(26.22/103

2

8

10 =

==

741.060040311

22

=

=

= f

fF c

sn

mcv

r

w 10226.2103 8

=

==

sn

m

Fv

v wp 107.2 ==

sn

mFvv wg 1048.1 ==

10 GHz iin sadece TE10 modu ilerler

TE10 6.56 GHz

Mode Alt kesim frekans

TE01 13.12 GHz

TE11 14.67 GHz

TE20 13.13 GHz

TE02 26.25 GHz

TE10 TE20TE01 TE11

TM11

6.56 GHz 13.12 GHz

TE02

26.25 GHz14.67 GHz13.13 GHz

rnek: i bo, 20 cm uzunluunda WR90 tipi bir dalga klavuzu 10 GHzde almaktadr. lerleyen modlar bulunuz. a = 0.9 in (2.286 cm) ve b = 0.45 in (1.143 cm).

snmc /103 8=22

2

+

=

bn

a

mcfcmn

rnek: Sonu ksa devre edilmi dalga klavuzunun giriinden grlen empedans

10 2

120 500 .6.56GHz1-10GHz

TEZpi

= =

( )10 tanIN TEZ jZ = l

TE10 mod empedans

( )

2 2

9 2

8

21 1

2 10 10 6.561 158

103 10

c c

u

f fff c f

x Hz GHz radm GHz mx

s

pi

pi

= =

= =

TE10 mod propagasyon sabiti

( ) ( )500 tan 31.6 100INZ j j= =

( )500 tan 158 0.2IN radZ j mm

=

42

rnek: boyutlar 2.50 cm x 1 cm olan ii Bo, dikdrtgen dalga klavuzu 8.6 GHz de almaktadr. lerleyen muhtemel modlar bulunuz.

cm488.3108103

9

10

0 =

== f

C Dalgann ilerleyebilmesi iin; C > 0

TE01 modu iin cm212222

22222====

+= b

a

abanbm

abC

C < 0 olduundan TE01 modu ilerleyemez.

TE10 modu iin, C = 2a = 2 2.5 = 5 cm

C > 0 ,olduundan TE10 modu ilerleyebilir. GHz65103 10

)( 10 =

==

CTEC

Cf

cm856.1)1()5.2(

15.2222222

=

+

=

+=

baab

cTE11 modu iin

TE11 iin C < 0 , bylece TE11 ilerlemez.

43

rnek: boyutlar 2.0 cm x 1.0 cm olan dikdrtgen bir dalga klavuzunun ii iyonizeolmam su ((r=81, r=1) ) ile doldurulmutur. Bu dikdrtgen dalga klavuzu 3 GHz dealmaktadr. lerleyen muhtemel modlar ve alt kesim frekanslarn bulunuz.

Tm Modlar ve Kesim Frekanslar

TM Modlar (GHz) TE Modlar (GHz)

44

lerleyen Modlar ve Kesim Frekanslar

mn

mnc

mn jffjk =

=

2)(1

nceden de belirtildii gibi, herhangi bir modun propagayonsabiti o modun alt kesim frekans cinsinden ifade edilebilir.

TE10 modu iin ( TEmn modunda m=1, n=0, mn = j10 alnrsa)elektrik ve manetik alan bileenleri, alt kesim frekans ve

propagasyon sabiti aada verilmitir.

rnek: devam

45

rnek: devam

TE10 modu iin elektrik ve manetik alan bileenlerinin ani deerleri fazr deerleri ejt ile

arplarak aadaki ekilde elde edilir.

TE10 Modlar

Mikrodalga Frekans BantlarHarf gsterimi Frekans aralL band 1 - 2 GHzS band 2 - 4 GHzC band 4 - 8 GHzX band 8 - 12 GHzKu band 12-18 GHzK band 18 - 26.5 GHzKa band 26.5 -40 GHzQ band 33 -50 GHzU band 40 - 60 GHzV band 50 -75 GHzE band 60 - 90 GHzW band 75 -110 GHzF band 90 -140 GHzD band 110 -170 GHz 46

10

20

01

11

11

30

21

21

6.5513.1014.7116.1016.1019.6519.6919.69

TETETETETMTETETM

2.29cm (0.90")1.02cm (0.40")

a

b=

=

Mode fc [GHz] : 8 12 [ ]X band GHz

50 mil (0.05) kalnlk

X-Band dalga klavuzu Modlar

Standart X-band dalga klavuzu (WR90)

471 inch = 2.54 santimetre

i bo dalga klavuzunda TE10 modu iin 10 GHz ve 6 GHz de ve g deerlerini bulunuz.

2 0.0397158.25

2g

pipi

== =2 21

220

82 103 10 0.0229a

pi pi pi = =

@ 10 GHz0 0,

rnek: X-Band dalga klavuzu

158.25 [rad/m] = 3.97 [cm]g =

48

2 2922

82 6 10

3 10 0.055.04 [1/

22m

9]

zka

j

pi pi pi =

=

=

2g

pi =

Evanescent mode: = 0; g is not defined!

@ 6 GHz

55.04 [np/m]478.08 [dB/m]

=

=

49

Hza

f TEc 9106121)(

10==

6.0)(12

= ffc

mradffc / 25.94)(1 2 ==

snmff

v

c

p /105)(111 8

2=

=

mfvpg 067.0/ ==

snmff

v cg / 108.1)(11 82 ==

rnek: 7.5 GHz de alan (2.5cm1.5cm ) i bo dalga klavuzunda TE10 modu iin , vp, vg, g ve ZTE10 deerlerini bulunuz.

=

= 3.683)(1

120210 ff

Zc

TEpi

oo == ,