321 102 General Mathematics - Khon Kaen University · 2010-01-13 · 321 102 General Mathematics 3...

321 102 General Mathematics Chapter 6 Integration

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

1

321 102 General Mathematics ( ส าหรับนักศึกษาคณะเภสัชศาสตร์ ประจ าภาคเรียนที่ 1/2549 )

ผู้สอน: ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์

6 การอินทิเกรต (Integrations)

บทน ำ: ในบทนี้จะกล่าวถึง ความสัมพันธ์ระหว่างการหาอนุพันธ์ และ การด าเนินการที่ตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ซึงเรียกว่าการอินทิเกรต และทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงอันหนึ่งก็คือ ทฤษฎีบทท่ีแสดงถึงความสัมพันธ์ของการด าเนินการทั้งสองซึ่งเรียกว่า ทฤษฎีบท หลักมูลของแคลคูลัส (the

fundamental theorem of calculus)

6.1 การอินทิเกรต (Integration )

พิจารณาความสัมพันธ์ของอนุพันธ์ (Derivative) ปฏิยานุพันธ ์(Anti-derivative)

■ เรียกการด าเนนิการที่ตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ว่า ปฏิยานุพันธ์ (Anti-

derivative)



2

นิยำม 6.1.1 ฟังก์ชัน ( )F x จะเรียกว่า ปฎิยานุพันธ์ anti-derivative ของฟังก์ชัน ( )f x ถ้า ( ) ( )F x f x ส าหรับทุก x ในโดเมนของ ( )f x

Example 6.1.1 Find five functions which are the anti-derivative of the

function ( ) 2 3f x x .

■ สมบัติของปฎิยานุพันธ์ (1) ถ้า ( ) 0F x ส าหรับ x D แล้ว ( )F x C เมื่อ C เป็น

ค่าคงที่

(2) ผลต่างของปฎิยานุพันธ์ เป็นค่าคงที ่



3

6.2 อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต (Indefinite Integral)

Definition 6.2.1

ปฏิยานุพันธ์ของ f ทั้งหมด เรียกว่า อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต (indefinite

integral) ของ f เทียบกับ x และเขียนแทนด้วย

( )f x dx

สัญลักษณ์ เรียกว่า Integral sign.

ฟังก์ชัน f เรียกว่า Integrand

ตัวแปร x เรียกว่า Variable of integration.

■ ถ้า ( ) ( )F x f x แล้ว ( ) ( )f x dx F x C

Example 6.2.2 Evaluate 2x dx

Example 6.2.3 Evaluate sin x dx

Example 6.2.4 Evaluate 1

dxx



4

■ สูตรกำรหำอินทิกรัลไม่จ ำกัดเขต

Indefinite Integral Reversed Derivative formula

1)

1

, 11

nn u

u du C nn

2) 1

lndu u Cu

3) u ue du e C

4) sin cosu du u C

5) cos sinu du u C

6) 2sec tanu du u C

7) 2csc cotu du u C

8) sec tan secu udu u C

9) csc cot cscu udu u C

Example 6.2.5 Evaluate 5x dx



5

Example6.2. 6 Evaluate 5(3 4)x dx

Example 6.2.7 Evaluate 3xe dx

Example 6.2.8 Evaluate 1

3 5dx

x

Example 6.2.9 Evaluate sin cosx xdx

Example 6.2.10 Evaluate 2sin x dx



6

■ กฎของอินทิกรัลไม่จ ำกัดเขต (Rules for Indefinite Integral)

1. Constant Multiple Rule: ( ) ( )kf x dx k f x dx

2. Rules for Negatives: ( ) ( )f x dx f x dx

3. Sum and Difference Rule:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Example 6.2.11 Evaluate 3 2(2 3 5 6)x x x dx

Example 6.2.12 Evaluate 2 4x x dx



7

Example 6.2.13 Evaluate tan xdx

Example 6.2.14 Evaluate cos sinxe x dx

Example 15 Evaluate 1

x

x

edx

e



8

6.3 อินทิกรัลจ ากัดเขต (Definite Integral)

■ เครื่องหมำยซิกมำ (Sigma Notation)

1 2

1

...n

k n

k

a a a a

.

Example 6.3.1 5

1

2k

k

4

1 1k

k

k

■ ผลบวกจ ำกัด (Finite Sum)

สูตรการหาผลบวกที่มีชื่อเสียงสูตรหนึ่ง ซึ่งค้นพบโดย Gauss ตอนที่เขามีอายุเพียง 5 ขวบ คือการหาผลบวกของจ านวนเต็มบวก n จ านวนแรก และในตอนหลังก็มีการค้นพบสูตรการหาผลบวกของก าลังสอง และ ก าลังสาม ของจ านวนเต็มบวก n จ านวนแรก ดังต่อไปนี้

1

( 1)

2

n

k

n nk

2

1

( 1)(2 1)

6

n

k

n n nk

2

3

1

( 1)

2

n

k

n nk

Example 6.3.2 4

2

1

( 3 2)k

k k



9

■ ผลบวกรีมันน์ (Riemann Sum )

ให ้ ( )y f x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ , ]a b ที่ถูกแบ่งออกเป็น n ช่วงย่อย ดังนี้

0 1 2 1... n na x x x x x b

ก าหนด 1k k kx x x ในแต่ละช่วงย่อย 1,k kx x เราเลือกจุด kc แล้วสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สูง ( )kf c บนเส้นโค้งของ ( )y f x ดังรูป

ผลบวกรีมันน ์(Riemann sum) ของฟังก์ชัน ( )y f x บนช่วง [ , ]a b จะเขียนแทนดัวย nS โดยที ่

1

( ).n

n k k

k

S f c x

■ Note that the Riemann sum is the approximate area of the region

between X-axis and the curve of ( )y f x on the interval [ , ]a b



10

Example 6.3.3

Find the Riemann sum for the function y x on the interval

[0,1] using the partition of 10 subintervals.

■ พื้นที่ และลิมิตของผลบวกรีมันน ์

(Area and Limit of Riemann Sum)

ให้ ( )y f x เป็นฟังก์ชันโดยที่ ( ) 0f x บนช่วง [ , ]a b และ nS เป็น

ผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) โดยที ่

1

( ).n

n k k

k

S f c x

ถ้า A เป็นพื้นที่ใต้โค้งของ ( )y f x บนช่วง [ , ]a b และ lim nn

S

หาค่าได้ แล้ว

1

lim lim ( ).n

n k kn n

k

A S f c x



11

Example 6.3.4

Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the

function y x on the interval [0,1] by calculating the limit of

Riemann sum.



12

Example 6.3.5


function 2y x on the interval [0,1] by calculating the limit of

Riemann sum.



13

■ ทฤษฎีบทหลักมูลของ แคลคูสัส (Fundamental Theorem of Calculus )

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทุกจุดบน ,a b และ F เป็นปฎิยานุพันธ์ของ f โดยที F f แล้ว

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a

■ เพื่อความสะดวก เราจะเขียนอินทิกรัลจ ากัดเขตในรูป

( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

or ( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a



14

Example 6.3.6


function y x on the interval [0,1] using the fundamental

theorem of calculus.

Example 6.3.7


function 2y x on the interval [ 1,1] using the fundamental




15

Example 6.3.8


function 3y x on the interval [1,3]using the fundamental


Example 6.3.9

Find

2

0

cos xdx



16

■ สมบัติของอินทิกรัลจ ากัดเชต (Properties of Definite Integral)

1. ( ) 0a

a

f x dx

2. ( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

3. ( ( ) ( )) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

4. ( )

b

a

kdx k b a

5. ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

6. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , where a c b



17

Example 6.3.10 Evaluate

1

2

1

(3 4 5)x x dx


1

2 4

0

(2 3 )x xdx


2

0

sin xdx



18

6.4 เทคนิคของการอินทิเกรต (Techniques of Integration)

เป้าหมายของหัวขัอนี้เพื่อศึกษาเทคนิคในการเปลี่ยนอินทิกรัลบางรูปแบบ ให้อยู่ในรูปของสูตรอินทิกรัลพื้นฐานที่เคยใช้มา โดยจะกล่าวถึง 3 เทคนิคที่ส าคัญดังต่อไปนี้ .

(1) การอินทิเกรตโดยการแทนค่า (Integration by substitution)

(2) การอินทิเกรตทีละส่วน ( Integration by parts)

(3) การอินทิเกรตโดยเศษส่วนย่อย ( Integration by partial

fractions)

กำรอินทิเกรตโดยกำรแทนค่ำ (Integration by substitution)

เทคนิคนี้เป็นเทคนิคพื้นฐาน ในการแทนค่าเพื่อเปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรตใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปของสูตรอินทิกรัลพื้นฐาน

Example 6.4.1 Simplifying Substitution

Evaluate 2

2 9

9 10

xdx

x x

Evaluate

32 4xx e dx



19

Evaluate

2sec

tan

xdx

x

Example 6.4.2 Reducing an improper fraction.

Evaluate

23 7

3 2

x xdx

x

Example 6.4.3 Separating a fraction

Evaluate 5

3 2

xdx

x



20

กำรอินทิเกรตทีละส่วน ( Integration by parts)

เทคนิคนี้เป็นการน าสูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณมาประยุกต์ เพื่อที่จะหาอินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันบางรูปแบบได้ โดยพิจารณาจากสูตรอนุพันธ์ของผลคูณ

( )d dv du

uv u vdx dx dx

ซึ่งสามารถจัดให้อยู่ในรูปผลต่างอนุพัทธ์ (Differential) เป็น ( )d uv udv vdu

ดังนั้น

udv uv vdu

Example 6.4.4 The Product of nx and Exponential Function

Evaluate xxe dx



21

Evaluate2 xx e dx

Evaluate3 2xx e dx

■ How to evaluate n xx e dx !!!!



22

Example6.4.5 The Product of nx and Trigonometric Function

Evaluate sinx xdx

Evaluate 2 cosx xdx



23

Evaluate 3 cos2x xdx

■ How to evaluate cosnx xdx !!!!



24

Example 6.4.6 The Product of Trigonometric and Exponential

Function

Evaluate cosxe xdx

Evaluate 2 sin 3xe xdx



25

Evaluate cosmxe nxdx



26

กำรอินทิเกรตโดยเศษส่วนย่อย (Integration by partial fractions)

พิจารณา 2

5 3

2 3

xdx

x x

จะเห็นว่า 2

5 3 5 3 2 3

2 3 ( 1)( 3) 1 3

x x

x x x x x x

ดังนั้น 2

5 3

2 3

xdx

x x

เราเรียกเทคนิคการอินทิเกรตในลักษณะนี้ว่า การแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Partial fractions)

■ ตัวอย่ำงกำรแยกเศษส่วนแท้ เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย.

สมมุติว่า 5 3

( 1)( 3) 1 3

x A B

x x x x



27

◙ สรุปหลักกำรแยกเศษส่วนแท้ให้เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย 1. สมมุตสิมการเพื่อแยกเศษส่วนแท้ เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย

2. หาผลรวมของเศษส่วนย่อย แล้วเอาส่วนคูณท้ังสองข้าง 3. แก้สมการ ที่ได้จากการเทียบสัมประสิทธ์ิ

■ หลักกำรสมมุติสมกำรเพ่ือแยกเศษส่วนแท้ให้เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย

Proper Fraction Decomposition

1 2

1 2 1 2

...( )( )...( ) ( ) ( ) ( )

n

n n

AA Anumerator

x a x a x a x a x a x a

1 2

2...

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

k k

BB Bnumerator A

x a x b x a x b x b x b

2 2( )( ) ( ) ( )

numerator Ax B C

x ax b x c x ax b x c

1 1 2 2

2 2 2 2 2...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

k k

A x BA x B A x Bnumerator C

x ax b x c x ax b x ax b x ax b x c



28

Example6.4.7 Linear factors

Evaluate 2

1

30dx

x x



29

Evaluate

2 1

( 1)( 2)( 3)

xdx

x x x



30

Example 6.4.8 Repeat linear factors

Evaluate 2

6

( 2)

xdx

x



31

Example 6.4.9 Improper fractions

Evaluate

3 2

2

3 16 35 27

5 14

x x xdx

x x



32

Example 6.4.10 Quadratic factors

Evaluate

2

2

3 2 1

( 1)( 1)

x xdx

x x



33

Example 6.4.11 Repeat quadratic factors

Evaluate

3

4 2

2

2 1

x xdx

x x

321 102 General Mathematics - Khon Kaen University · 2010-01-13 · 321 102 General Mathematics 3...

Documents

Transcript of 321 102 General Mathematics - Khon Kaen University · 2010-01-13 · 321 102 General Mathematics 3...