Kvantinės mechanika

XX amžiaus pradžioje pastebėti nauji reiškiniai, kuriuos nebegalėjo paaiškinti, nei klasikinė mechanika, nei klasikinė elektrodinamika.

Todėl su laiku buvo sukurta nauja fizikos šaka, vadinama kvantinė mechanika.

Kvantinė mechanika – fizikos šaka, nagrinėjanti mikrodalelių judėjimą ir jų sąveiką.

Kvantinė mechanika – fizikos šaka, nagrinėjanti mikrodalelių bangines savybes.

Pagrindiniai reiškiniai ir iš jų aiškinimo sekančios teorijos:

1. Praretintų dujų emisiniai spektrai,2. Atomo modeliai,3. Elektrono lygmenų kvantavimas atome,4. Franko – Herco bandymas,5. Elektronų difrakcija,6. Dvejopa mikrodalelių prigimtis,7. De Broilio bangos ilgis.8. Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.

Kvantinės mechanika - Vandeniliškųjų sistemų linijiniai spektrai

Kieto kūno šiluminio spinduliavimo emisinis spektras yra ištisinis.

Skirtingai nuo jo, praretintų vienatomių dujų emisinis spektras yra linijinis.

Kvantinės mechanika - Vandeniliškųjų sistemų linijiniai spektrai

Paprasčiausio elemento vandenilio (atominio) dujų spektras taip pat yra linijinis.

Linijas galima suskirstyti į grupes, vadinamas spektro linijų serijomis.

Vandeniliškųjų sistemų linijiniai spektrai

1885 m. J.Balmeris atrado formulę, pagal kurią galima apskaičiuoti visų atominio vandenilio regimosios spektro srities linijų bangų ilgius:

Perrašome šią formulę spinduliavimo dažniams:

Arba bangos skaičiais:

Šiomis trimis formulėmis aprašomos spektro linijos sudaro Balmerio seriją.

Vandeniliškųjų sistemųlinijiniai spektrai

1906 m. T.Laimanas vandenilio spektro ultravioletinėje srityje atrado linijų seriją, aprašomą lygtimi:

šios spektro linijos sudaro Laimano seriją.

1908 m. E.Pašenas panašią seriją aptiko vandenilio spektro infraraudonojoje srityje:

šios spektro linijos sudaro Pašeno seriją.

Tolimoje infraraudonojoje srityje buvo aptiktos dar trys serijos, pavadintos Breketo, Pfundo ir Hemfrio vardais.

Vandeniliškųjų sistemųlinijiniai spektrai

Iš tikro, visas atominio vandenilio spektro serijas galima užrašyti apibendrinta Balmerio formule:

kai n=1, o m=2,3,4,… gaunama Laimano serija; kai n=2, o m=3,4,5,... – Balmerio serija; kai n=3, o m=4,5,6,... – Pašeno serija ir t.t.

Didėjant m , visų vandenilio spektro serijų dažniai didėja ir artėja prie serijai būdingoribinio dažnio.

Bet kurios spektro serijos kiekvienos linijos dažnį galima išreikšti atitinkamų dydžiųskirtumu:

arba: kurie vadinami vadinami vandenilio atomospektriniais termais.

Kitų elementų linijiniai spektrai

Tiriant kitų elementų linijinius spektrus, paaiškėjo, kad ir jų linijų dažnius galima išreikšti dviejų spektrinių termų skirtumu.

XIX šimtmečio pabaigoje J.Rydbergas nustatė, kad kitų elementų spektriniustermus galima tiksliai išreikšti tokia formule:

čia α vadinama Rydbergo pataisa. Ji skirtinga skirtingiems atomams.

Kiekvieno elemento atomai skleidžia tik jiems būdingą linijinį spektrą, todėl pagal jį galima atlikti medžiagos kokybinę spektrinę analizę – nustatyti jos cheminę sudėtį.

Linijų intensyvumas proporcingas to elemento atomų koncentracijai, todėl kiekybinėanalizė pagrįsta spektro linijų intensyvumo matavimu ir lyginimu su etaloninių linijųintensyvumu.

Atomo modeliai

1897 m. Dž.Dž.Tomsonas atrado elektroną ir 1903 m. sukūrė pirmą atomo modelį.

1911 m. E.Rezerfordas pasiūlė branduolinį atomo modelį. Pagal jį beveik visa atomomasė ir visas teigiamas krūvis sukoncentruotas apie 10− 15 m skersmens atomobranduolyje.

Jo krūvis q=Ze; čia Z – elemento eilės numeris periodinėje lentelėje, vadinamasatominiu skaičiumi.

Apie branduolį 10− 10 m atstumu skrieja elektronai, jų skaičius taip pat lygus Z .

Pagal šį modelį elektronas, skriedamas apie branduolį, juda su įcentriniu pagreičiu.

Ir pagal klasikinę elektrodinamiką, jis turi spinduliuoti elektromagnetines bangas, todėlelektrono energija turėtų palaipsniui mažėti.

Jis turėtų spirale artėti prie branduolio ir ant jo nukristi. Tačiau atomas patvarus.

Taip judančio elektrono sukimosi dažnis, o kartu ir atomo spinduliavimo dažnis turėtųtolydžio didėti, taigi spektras turėtų būti ištisinis. Tai prieštarauja eksperimentams. Klasikinė fizika nerado išeities.

Boro teorija

Šią problemą dalinai išsprendė N.Boras, suformulavęs du postulatus.

Pirmasis Boro postulatas (stacionarių būsenų postulatas) teigia: egzistuoja tam tikrosstacionarios atomo būsenos, kuriose jis nespinduliuoja.

N.Boras nurodė šių orbitų kvantavimo sąlygą: stacionarine orbita judančio elektronoimpulso momentas mevr yra dydžio h/2π kartotinis, t.y.:atome judančio elektronoimpulso momentas yra diskretus arba kitaip tariant kvantuotas dydis.

n vadinamas pagrindiniu kvantiniu skaičiumi.

Antrasis Boro postulatas (dažnių postulatas) teigia: atomui pereinant iš vienos stacionarios būsenos į kitą, spinduliuojamas arba absorbuojamas vienas fotonas, kurio energija ε=hν lygi abiejų stacionarių būsenų energijų skirtumui, t.y.:

Ši lygtis vadinama Boro dažnių sąlyga.

Kai Wn>Wm, fotonas išspinduliuojamas; jį sugeriant atomas pereina į didesnėsenergijos būseną. Už atomo teorijos sukūrimą 1922 m. N.Boras apdovanotas Nobelio premija.

Boro teorija

Pritaikius klasikinę fizika ir pirmąjį Boro postulatą, galima išvesti atomo stacionarių būsenų išraišką:

Pritaikę šiai išraiškai antrąjį Boro postulatą, gausime stacionarių energijos būsenųskirtumą, kurį padalinę iš Planko konstantos, gausime fotono dažnį:

pastaroji formulė sutampa su Balmerio formule.

Elektronų lygmenų kvantavimas

Vienatomių dujų absorbciniai ir emisiniai linijiniai spektrai tiesiogiai rodo kad, atomo energija yra kvantuota.

Atomo energijos būsenų kvantavimas yra elektronų kvantuotų būsenų pasekmė.

Jeigu elektronai gali spinduliuoti tik griežtai nustatytos fotonų energijos kvantus,vadinasi jie yra stacionariose ir diskretinėse orbitose.

Boro teorija, paaiškinusi vandenilio spektro linijų dažnių dėsningumą, nepajėgė paaiškinti sudėtingesnių atomų, pradedant heliu, spektrų.

Elektronų lygmenų kvantavimas

Elektronų lygmenų kvantavimas – Franko ir Herco bandymas

Boro teoriją patvirtino Franko ir Herco eksperimentas (1913 m.), kuriuo buvo įrodyta,kad atomas gali sugerti tiktai tam tikrų dydžių energijas.

Eksperimento esmė – elektroninio vamzdžio, pripildyto praretintomis dujomis voltamperinė charakteristika.

Katodui emituojant elektronus, srovė tolydžiai didėja. Kai elektronų energija E<4,9 eV, elektronai susiduria su gyvsidabrio atomais tampriaiir energija neprarandama.Pasiekus energijai 4,9 eV, 9,8 eV, 14,7 eV vyksta netamprūs susidūrimai, elektronaiatiduoda dalį savo energijos, o srovė sumažėja.

Elektronu sugėrimo energijos atitinka paskaičiuotas pagal Balmerio formulę.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. Elektronų difrakcija

K.Devisonas ir L.Džermeris pirmieji pastebėjo į nikelio monokristalo paviršių krintančiųelektronų difrakciją.

P.Tartakovskis bei H.Tomsonas stebėjo greitų elektronų difrakciją, jiems praeinant prolabai ploną ~1 µm metalo foliją.

Nufotografuotas elektronų difrakcijos vaizdas vadinamas elektronograma.

1929 m. I.Estermanas ir O.Šternas gavo helio atomų ir vandenilio molekulių difrakcijąličio fluorido monokristale.

1936 m. H.Halbanas ir P.Preisverkas atrado neutronų difrakciją.

Elektronų difrakcija sudėtinguose kristaluose

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.

Atomų emisiniai spektrai, Franko ir Herco bandymas, elektronų ir neutronų difrakcijaaiškiai rodo, kad mikrodalelės pasižymi banginėmis savybėmis.

1924 m. L de Broilis priėjo išvadą, kad dvejopa prigimtis būdinga ne tik šviesai; šis reiškinys mikropasaulyje yra universalus, t.y. kiekviena dalelė pasižymi ir bangų, ir korpuskulų savybėmis. Šis teiginys pavadintas de Broilio hipoteze.

Remdamasis šia hipoteze, de Broilis prilygino fotono (kaip energijos kvanto dalelės)energiją klasikinei dalelės kinetinės energijos išraiškai.

Išdiferencijavę, abiejose pusėse gausime impulso išraiškas:

- dydis vadinamas de Broilio bangos ilgiu.

νhmv=

2

2

λchmv

=2

2

λvhmv

=2

2

λvhmv

=2

2

λvh

dtdmv

dtd

=2

2

λhmv =

λhp = p

h=λ

ph

B =λ

dtdvh

dtdvmv

λ1

22 =

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.

Taikant de Broilio bangos sąvoką ir bangos ilgį galima giliau paaiškinti ir Boro teoriją ir elektronų difrakciją.

Boro teorijos 1 postulatas – elektronų lygmenų kvantavimas:

Tarkime hipotezę, kad elektronas kaip banginė dalelė gali judėti tik tokia apskritimineorbita, kai joje telpa sveikas de Broilio bangos ilgių skaičius. Tai yra:

Gavome Boro atomo elektronų lygmenų išraišką.

Tuo paaiškinamas elektronų lygmenų diskretiškumas.

Tai viena iš kvantinės mechanikos sąlygų, nusakančių, kad elektronas atomo orbitojegali užimti tik tokius lygmenis, kad orbitos ilgyje tilptų sveikas elektrono de Broiliobangų ilgių skaičius.

Naudojant de Broilio bangą nesunkiai paaiškinama elektronų difrakcija.

=π2hnvrme

rvm

hne

π2=rn B πλ 2= vrmhn e=

π2

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio bangos savybės

Kaip matome iš de Broilio bangos ilgio išraiškos, bangos ilgis priklauso

nuo dviejų parametrų: objekto masės ir judėjimo greičio.

Dėl Planko konstantos mažos vertės visų makroskopinių dalelių, net ir mažiausių, banginės savybės nėra esminės.

Makroskopinių objektų masė yra sąlyginai didelė, todėl de Broilio bangos ilgis yra nykstamai mažas.

Visai kitaip yra su mikrodalelėmis.

Pvz.: elektrono de Broilio bangos ilgis jam judant greitinančiame potencialų skirtumeU=100 V, tai . λ=1.2225 Å. Tai – mažiau nei normalus nuotolis tarp atomų kristale.

De Broilio bangos ilgis priklauso ir nuo greičio ir yra jam atvirkščiai proporcingas.

mvh

B =λ

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio bangos savybės

Aprašyti elektronų bei neutronų bandymai buvo atliekami su jų pluoštais, todėl nebuvotiesiogiai atsakyta ar banginės savybės būdingos kiekvienai atskirai paimtai mikrodalelei.

Atsakymas išplaukė iš 1949 m. V.Fabrikanto su bendradarbiais atlikto eksperimento.

Jie, ilgą laiką leisdami į kristalą vieną po kito elektronus, gavo difrakcinį vaizdą, kurisnesiskyrė nuo vaizdo, gaunamo leidžiant vienu metu tą patį dalelių skaičių.

mvh

B =λ

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.

Klasikinėje mechanikoje bet kokį makrokūno būseną galima aprašyti trimis padėtieskoordinatėmis x, y, z ir tuo pačiu metu nuo padėties priklausančiomis trejomis impulsoprojekcijomis px, py, pz.

Mikrodalelių banginės savybės – difrakcija ir interferencija rodo mikrodalelių banginęprigimtį.

De Broilio banga, tai nefizikinė banga, ji yra labai patogi matematinė priemonėneįprastoms mikrodalelių savybėms paaiškinti.

De Broilio banga rodo tik dalelės aptikimo konkrečiame erdvės taške tikimybę.

Kadangi padėties erdvėje tikimybė priklauso nuo judėjimo greičio, kvantinėjemechanikoje neįmanoma tiksliai nusakyti tuo pat metu mikrodalelės padėtį ir impulsą.

Todėl, norint apibrėžti šiuos dinaminius dydžius, įvedami verčių intervalai, nurodantysatitinkamo dydžio įvertinimo tikslumą ir vadinami dydžio neapibrėžtumais.

Koordinačių x verčių intervalą ∆x vadiname koordinatės x neapibrėžtumu.Analogiškai apibrėžiame impulso projekcijos px neapibrėžtumą ∆px

mvh

B =λ

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.

Išilgai ašies Oz judančio elektrono impulsas:

Iki dalelė pasiekia ekraną E , jos impulso projekcijapx=0, t.y. turi tikslią vertę.

Tikslaus dydžio neapibrėžtumas lygus 0, todėl ∆px=0.

Tačiau iš de Broilio bangos ilgio tuo metu dalelės koordinatė x yra visai neapibrėžta, t.y. ∆x=∞.

Dalelei praeinant pro plyšį, abu minėtų dydžių neapibrėžtumai vienu metu iš esmėspakinta: koordinatės x neapibrėžtumas sumažėja iki plyšio pločio ∆x vertės, o dėldalelės difrakcijos turimas dydžio px tam tikro didumo ∆px neapibrėžtumas.

Difragavusių ilgio de Broilio bangų intensyvumo pasiskirstymą vaizduojabrūkšninė kreivė.

ph

B =λ

ph

B =λ

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.

Didelė tikimybė, jog praėjusi pro plyšį dalelė toliau judės 2α kampo intervale;

čia α – pirmojo difrakcinio minimumo kampas.

Tuomet dydžio px neapibrėžtumas gali įgauti vertes iki:

Iš plyšyje difragavusių (Fraunhoferio difrakcija) bangų pirmojo minimumosąlygos turime, kad:

Šią išraišką įrašę į prieš tai gautą ir pritaikę de Broilio bangos formulę, gauname:kadangi maksimumų ir minimumų yra daugiau, ∆px yra visadadidesnis, nei gautas pagal pirmą minimumą.

Lygtis virsta nelygybe: vadinama Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšiuarba tiesiog – Heizenbergo nelygybe.

Ji išreiškia fundamentalų kvantinės mechanikos principą, kad mikrodalelių būsenų, kurias tiksliai apibūdina impulsas, tuo pačiu laiko momentu neįmanoma tiksliai apibūdinti koordinatėmis ir atvirkščiai.

ph

B =λ

hxpx ≥∆∆

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis energijai ir laikui.

Analogišką nelygybę galima parašyti dydžių y ir py, z ir pz arba dar kai kuriųkitų dydžių, vadinamų kanoniškai jungtiniais dydžiais, poroms.

Fizikoje labai svarbi dar viena kanoniškai jungtinių dydžių pora – dalelės energija W ir laikas τ, kuriems Heizenbergo nelygybė užrašoma šitaip:

Iš šio sąryšio seka, kad dalelės energijos nustatymas tikslumu ∆W visuomet užtrunkalaiko tarpą, ne mažesnį kaip:

Sužadintų molekulių, atomų bei jų branduolių energija nėra griežtai apibrėžta, opasižymi tam tikru verčių intervalu ∆W , kuris vadinamas sužadintojo lygmensnatūraliuoju pločiu. Jeigu sužadintos būsenos gyvavimo vidutinė trukmė yra τ, tai josenergijos neapibrėžtumas yra ne mažesnis kaip:

hxpx ≥∆∆ hxpy ≥∆∆ hxpz ≥∆∆

hW ≥∆ τ

Wh∆

≈τ

τhW ≈∆