Temos:

1. Elektrostatinis laukas vakuume 2. Elektrostatinis laukas dielektrike 3. Laidininkai elektrostatiniame lauke 4. Nuolatinė elektros srovė 5. Magnetinis laukas vakuume 6. Elektromagnetinė indukcija 7. Magnetinis laukas medžiagoje

Elektromagnetizmo teorija

Elektringosios dalelės (protonai ir elektronai) pasižymi savybe veikti viena kitąjėga, žymiai stipresne nei gravitacijos jėga.

Ši jėga vadinama elektrine jėga.

Norint išreikšti šios sąveikos jėgos dydį kiekybiškai, dalelei priskiriamas tam tikrasdydis, vadinamas elektros krūviu.

Elektros krūvis yra dalelių ar kūnų abipusės elektromagnetinės sąveikosintensyvumo matas.

Elektros krūvis nėra materijos rūšis, o jos savybė. Kai kurios dalelės krūvio neturi.

Elektros krūviai gali būti teigiami arba neigiami.

Vienodo ženklo krūviai stumia vienas kitą, skirtingų traukia.

Elektros krūviams galioja adityvumo principas: kūno elektros krūvis yra lygus jį sudarančių elektringų dalelių krūvių algebrinei sumai.

Krūvis SI sistemoje matuojamas kulonais (C).

Elektrostatinis laukas vakuume – elektros krūvis

391027.2/ gFF

1913 m. R. Milikanas ir A. Jofė įrodė, kad:

Kiekvieno makroskopinio kūno elektros krūvis yra tam tikro krūvio kartotinis.

Mažiausias (nedalomas) krūvis, vadinamas elementariuoju krūviu.

Jo modulis yra:

Nustatyta, kad elektros krūvių yra dviejų rūšių – teigiami ir neigiami.

Pagal susitarimą elektrono krūvis yra neigiamas, protono teigiamas.

Jų moduliai yra lygus.

Bet kokio įelektrinto kūno krūvis yra lygus:

N – elektronų perteklius arba stygius kūne (sveikas skaičius).

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio kvantavimas

Ce 19106,1

Neq

Elementariųjų elektringųjų dalelių krūvis yra neatskiriama ir nekintama jų savybė.

1747 m. B. Franklinas atrado fundamentalų gamtos dėsnį:

Elektros krūvio tvermės dėsnį – kad ir kokie procesai vyktų elektriškaiizoliuotoje sistemoje, jos krūvių algebrinė suma, laikui bėgant nekinta.

Vykstant elementariųjų dalelių virsmams, atomų ar molekulių jonizacijai,gali kisti dalelių skaičius arba jų padėtis. Tačiau bendras elektros krūvis nekinta.

Elektros krūvio dydis ir ženklas nepriklauso nuo atskaitos sistemos judėjimo, iš kurios jis yra fiksuojamas. T.y. krūvio invariantiškumo savybė.

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio tvermės dėsnis

Elektros krūvis gali būti pasiskirstęs linijoje (siūle, ploname laidininke), kūno paviršiuje ar tūryje.

Tolydinis krūvio pasiskirstymas apibūdinamas krūvio tankiu.

Krūvio ilginis tankis:

Kai krūvis tolygiai pasiskirstęs ploname ℓ ilgio tiesiame laide, jo ilginis tankis:

Krūvio paviršinis tankis:

Kūno tūrinis tankis:

Krūvio tankis: ilginis, paviršinis, tūrinis

Norint apibūdinti krūvių sąveikos dėsningumą, neatsižvelgiant į kūnų formą ir matmenis, įvedama taškinio krūvio sąvoka.

Taškinis krūvis – įelektrintas kūnas, kurio matmenys labai maži, lyginant suatstumu iki kitų įelektrintų kūnų.

Taškiniai krūviai veikia vienas kitą elektromagnetinėmis jėgomis.

Jeigu taškiniai krūviai nejuda vienas kito atžvilgiu, jų sąveikos jėgą vadinameelektrostatine jėga.

Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcinga tų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.(Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvių sąveika

221

r

qqkF

04

1

k

Proporcingumo konstanta k priklauso nuo aplinkosir nuo matavimo vienetų sistemos. Vakuume:

22120 /1085,8 NmC - elektrinė konstanta.

Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcinga tų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.(Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – Kulono dėsnis

221

r

qqkF

Kadangi jėga yra vektorinis dydis,aprašykime jos kryptį.

Tam nubrėžkime spindulį vektorių iš 1 ar 2 taškinio krūvio į kitą. Tada Kulono dėsnis:

12321

1 rr

qqkF

spinduliai vektoriai yra priešingų

ir krypčių:213

212 r

r

qqkF

2121 rr

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai stumia

vienas kitą. (Vienodų ženklų krūvių sąveika)

021 qq

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai traukia

vienas kitą. (Skirtingų ženklų krūvių sąveika)

021 qq

Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduodabaigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku.

Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga.

Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų):

• Gravitacijos,• Elektrinis ir magnetinis,• Stiprusis,• Silpnasis.

Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis.

Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuotrajektorijos.

Jėgų laukas

Vieno įelektrinto kūno poveikis kitam yra perduodamas tarpininku, vadinamuelektrostatiniu lauku.

Elektrostatinis laukas sukuriamas nejudančių elektros krūvių.Jį apibūdinantys dydžiai nekinta laike – elektrostatinis laukas – stacionarusis laukas.

Elektrostatinis laukas - stipris

Svarbiausia visų fizikinių laukų savybė – veikti kūnus jėga.

Svarbiausia elektrostatinio lauko savybė – veikti visus jame esančius krūviu jėga.

Norint apibrėžti poveikio jėgos dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio sąvoka.

Patalpinus į elektrostatinį lauką krūvį, tą krūvį veiks jėga. Šios jėgos dydis yra tiesiogiai proporcingas krūvio didumui.

Todėl tos jėgos santykis su krūviu nepriklauso nuo krūvio dydžio ir yra tik lauko charakteristika, vadinama elektrinio lauko stipriu.

Elektrinio lauko stipris skaitine verte lygus jėgai, kuria laukas veikia patalpintąį jį 1 C krūvį.

Bet kokio dydžio krūvį veikianti jėga išreiškiama:

Eq

F

EqF

Elektrinio lauko stiprumo erdvinis pasiskirstymas grafiškai vaizduojamas jėgų linijomis.

Pagal susitarimą jėgų linijos vaizduojamos taip:

• Jėgų linijos prasideda teigiamuose krūviuose arba begalybėje,

2. Jėgų linijų liestinės sutampa su E vektoriaus kryptimi,

3. Jėgų linijų erdvinis tankis lygus E skaitinei vertei.

Elektrostatinis laukas - vaizdavimas

Vienodo linijų tankio atvaizduotas elektrinis laukas vadinamas vienalyčiuelektriniu lauku – E=const. Kryptis ir modulis visuose erdvės taškuose nekinta.

Nekintantis laike elektrinis laukas vadinamas stacionariu.

Norint apibūdinti elektrostatinį lauką, kurį sukuria nejudantis taškinis elektros krūvis, Kulono dėsnyje į vieno krūvio dydį įrašome 1 C.

Tai bus jėga, sukurta q krūvio ir veikianti 1 C krūvį, kuri skaitine verte lygielektrinio lauko stipriui:

, o modulis:

Nuo krūvio begalo nutolusiuose taškuose elektrinio lauko nėra.

Didėjant atstumui elektrinis laukas silpsta ir dideliuose atstumuose patampanykstamai mažas:

Vaizdavimas:

Elektrostatinis laukas - taškinio krūvio elektrinis laukas

rr

qE

3

04

1

0, Er

204

1

r

qE

Kai elektrostatinį lauką kuria ne vienas taškinis krūvis, o daug, jų bendrai sukurtam laukui taikome superpozicijos principą:

Kiekvieną krūviu q įelektrintą materialųjį tašką veikiančių jėgų atstojamoji F yralygi jį veikiančių atskirų jėgų geometrinei sumai.

Pritaikę elektrostatinio lauko jėgos išraišką: gauname, kad:

Visų krūvių qi (i=1,2,3,...,N) sukurto atstojamojo elektrinio lauko stiprumas yralygus kiekvieno krūvio atskirai sukurtų tame taške laukų stiprumų geometrineisumai:

Elektrostatinis laukas – superpozicijos principas

),...,3,2,1(,1

NiFFN

ii

EqF

N

iiEE

1

Elektrinis dipolis – dviejų vienodo didumo, bet priešingų ženklų taškinių krūvių +q ir –q, atstumas l tarp kurių yra mažas, sistema.

Elektrinis dipolis apibūdinamas tokiais parametrais:

• Dipolio ašis – tiesė, nubrėžta per abu krūvius,

2. Dipolio petys – vektorius l, ,kurio kryptis yra dipolio išilgai ašies nuo neigiamo iki teigiamo krūvio, o modulis lygus atstumui tarp krūvių l.

• Elektrinis dipolio momentas – dipolio teigiamo elektros krūvio ir jo petiessandauga.

Elektrostatinis laukas – elektrinis dipolis

lqp

l

Elektrinio dipolio sukurto elektrinio lauko stiprumas randamas panaudojant superpozicijos principą.

Kiekviename erdvės taške, dipolio sukurtas elektrinio lauko stipris yra lygus atskirų laukostiprių geometrinei sumai.

Atvaizduojame vektorių ir kryptis.

Atstojamojo vektoriaus E modulis bus lygus:

Elektrinio dipolio lauko stiprio skaičiavimas

Be elektrinio lauko stiprio apibūdinti elektrinį lauką įvedama dar viena charakteristika. Tai elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas.

Kad apibūdinti šį dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio vektoriaus elementaraussrauto sąvoka.

Kas yra elektrinio lauko stiprumo ir elementaraus plotelio, kurį tas laukas kerta,sandauga, kuri išreiškiama:

Suintegravę per visą plota gausime elektrinio lauko stiprio srauto dydį.

Jis yra skaliarinis dydis:

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus E srautas per ploto S paviršių skaitine verteyra lygus šį paviršių veriančių jėgų linijų skaičiui.

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas

EdSnEEdSSdEdSnEd e

,cos

S

n

S

e dSESdE

Įstatykime į elektrinio lauko stiprio vektoriaus srauto išraišką, elektrinio stipriotaškiniam krūviui išraišką.

Suintegruojame pagal sferos plotą. Gauname:

Iš to seka:

1. Taškinio krūvio sukurtas elektrinio lauko vektoriaus srautas pro uždarą paviršiųpriklauso nuo krūvio didumo.

2. Nepriklauso nuo ploto.

3. Srauto ženklas sutampa su krūvio ženklu.

Gauso dėsnis

S

n

S

e dSESdE

204

1

r

qE

02

02

0 4

1

4

1

q

dSr

qdS

r

q

SS

e

Integruojant elektrinio vektoriaus srautą per bet kokios formos paviršių gaunamata pati išraiška.

Jeigu elektrostatinį lauką kuria taškinių krūvių sistema.

Šio lauko vektoriaus srautas užrašomas.

Tai matematinė Gauso dėsnio išraiška, teigianti, kad: elektrostatinio laukostiprumo vektoriaus srautas pro bet kokį uždarą paviršių yra tiesiogiai proporcingasto paviršiaus gaubiamų elektros krūvių algebrinei sumai.

Gauso dėsnis

0q

e

0

i

i

SS

e

qSdEdSnE

Atsižvelgdami, ka visos E linijos yra statmenospaviršiui.

Vektoriaus srautas per cilindro paviršių yra lygussrautui pro abu jo pagrindus.

Begaliniame paviršiuje krūvio tankis vienodas. Todėl krūvį išreiškiame:

Pagal Gauso dėsnį srautą dar galime išreikšti:

Sulyginę abi srauto išraiškas gauname:

Todėl, begalinė tolygiai įelektrinta plokštuma kuria vienalytį elektrostatinį lauką, kurio stiprumas nepriklauso nuo atstumo iki plokštumos.

Begalinės tolygiai įelektrintos plokštumos elektrostatiniolauko stiprio skaičiavimas taikant Gauso dėsnį

00

S

qi

i

e

Sq

SEe 2

02

E

Elektrinio lauko nagrinėjimas ir savybės energijos požiūriu.

Aprašant potencialinių laukų energetines savybes ir potencines energijas erdvėstaškuose, nagrinėjamas tų laukų atliktas ar atliekamas darbas perkeliant objektąerdvėje.

Nes:

Potencinė energija – objekto energetinės būsenos padėties funkcija.

Kad pakeisti ar panaikinti potencinę energiją, potencialinės jėgos turi atlikti darbą.

Kaip aprašomas elektrostatinių jėgų atliekamas darbas?

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

Elektrinis laukas veikdamas taškinį krūvį q’, tą krūvį veikia jėga:

Pastumdama elementariu poslinkiu dl, ši jėga atlieka darbą:

Suintegravę pagal visą kelią, gausime visą atliktą darbą:

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

EqF

),cos( ldEEdlqldEqldFdA

lll

EdrqldEEdlqldEqA ),cos(

Tarkime, krūvis elektrostatiniame lauke pasislenkaiš taško 1 į tašką 2.

Tada darbas bus integruojant pagal r dydžio kitimo ribas:

2

1

r

r

EdrqA

Įstatome į gautą išraišką taškinio krūvio, kuris kūrė nagrinėjamą elektrinį lauką,stiprio išraišką:

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

2

1

r

r

EdrqA204

1

r

qE

2

1

204

r

r r

drqqA

2102

0 4

1

4

2

1r

qq

r

qq

r

drqqA

r

r

Kaip matome, elektrostatinio lauko jėgų atliekamas darbas nepriklauso nuo jų veikiamo krūvio judėjimo trajektorijos, o priklauso tik nuo poslinkio.

Šia savybe pasižyminčios jėgos vadinamos potencialinėmis, o tų jėgų laukai – potencialiniais laukais.

Kaip buvo minėta – norint pakeisti potencinę energiją, reikia atlikti darbą.Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus kūno neigiamam potencinės energijos pokyčiui:

Krūvio elektrostatiniame lauke potencinė energija

)( 12 pp WWA

2104

1

r

qq

r

qqA

Kadangi: , tai Wp yra:

r

qqWp

04

1

tai bendrumo dėlei nerašydamiindekso gauname Wp išraišką:

Iš šios lygties išplaukia, kad krūvių elektrostatinės stūmos (qq’>0) potencinėenergija yra teigiama, o traukos (qq’<0) – neigiama.

Potencinė energija priklauso nuo krūvių didumo ir nuo atstumo tarp jų.Atstumui be galo didėjant, potencinė energija virsta į nulį.

Dydį – t.y. potencinės energijos elektriniame lauke, kurią turi krūvis ir to krūviosantykį vadiname elektrostatinio lauko potencialu.

Elektrostatinio lauko taško potencialas – fizikinė lauko charakteristika, kurios skaitinė vertė yra lygi patalpinto į tą lauko tašką vienetinio krūvio potencineienergijai.

Kitaip:

Elektrostatinio lauko taško potencialas yra lauko taško energinė charakteristika,skaitine verte lygi darbui, kurį turi atlikti laukas, perkeldamas vienetinį taškinį krūvįten, kur jo potencinė energija yra lygi nuliui.

Dviejų krūvių potencinės energijos išraiškoje nukelkime vieną krūvį į kitą formulėspusę.

Elektrostatinio lauko taško potencialas

r

q

q

Wp

04

1

r

q

04

1

Dydį ( vadiname potencialų skirtumu, o –potencialo pokyčiu.

Potencialo ir potencialų skirtumo vienetas yra voltas (V). 1V=1 J/C

Darbą, kurį atlieka laukas perkeldamas iš taško 1 į tašką 2 galime išreikšti įstatę:

Potencialų skirtumas

2104

1

r

qq

r

qqA

r

qqWp

04

1

į: ir iškėlę lauko veikiamą krūvį:

qqA )( 21gauname:

Taškinio krūvio sukurto elektrostatinio lauko ekvipotencialiniai paviršiai yra koncentrinės sferos.

Kiekviename sferos taške, taškinio krūviopotencialo dydis yra lygus:

Lauko jėgų linijos kiekviename taške statmenos ekvipotencialiniam paviršiui.

Kai krūvis pasiskirstęs tolygiai ilgyje, paviršiuje ar tūryje,suminis potencialas nustatomas skaidymo ir integravimo būdu:

Elektrostatinio lauko paviršius, kurio visų taškų potencialai vienodi vadinamasekvipotencialiniu paviršiumi.

Ekvipotencialinis paviršius

.),,( constzyx

r

q

04

1

r

dq

04

1

Tada: , darbas yra lygus ir:

Elektrostatinio lauko potencialinių jėgų atliekamą elementarųjį darbą galime išreikšti iš gautos potencialo pokyčio išraiškos:

Elektrostatinio lauko stiprio ir potencialo ryšys

qA dqdWdA p ldEqdA

Iš to: arba:

Jeigu atidėtume šios vektorinės lygties projekcijas Dekarto koordinačių sistemoje:

ldEd

dz

dE

dy

dE

dx

dE zyx

,,

ld

dE

Kadangi vektorius:

zyx EkEjEiE

tai:

dz

dk

dy

dj

dx

diE

O tai yra: gradE

arba: E

Taigi elektrostatinio lauko stiprumas yra lygus potencialo neigiamam gradientui.

Atskiru atveju, kai laukas yra vienalytis tarp dviejų skirtingai įelektrintų plokštumų:

l

U

xdx

dEx