academic.obec.go.thacademic.obec.go.th/images/news/1599793303_d_4.pdf · 2020. 9. 11. ·...

การหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารคดเลขเรวแบบเวทคณต การหาร

VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต

สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต

สำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ�

สำ�นกง�นคณะกรรมก�รก�รศกษ�ขนพนฐ�น

กระทรวงศกษ�ธก�ร

คดเลขเรวแบบเวทคณต

การหาร

ปทพมพ 2562

จำ�นวนพมพ 45,000เลม

พมพท โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จำากด

79ถนนงามวงศวานแขวงลาดยาวเขตจตจกร

กรงเทพมหานคร10900

โทร.0-2561-4567โทรสาร0-2579-5101

นายโชคด ออสวรรณ ผพมพผโฆษณา

คำานำา

ก า ร จ ด ก า ร เร ย นก า ร สอนคณ ต ศ า สต ร ด ว ย เ ทคน ค

การคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) เลมน จดทำาขนโดยมวตถประสงค

เพอพฒนาทกษะการคดคำานวณทางคณตศาสตรของผเรยน ใหผเรยน

คดเลขไดรวดเรว ถกตอง และแมนยำา รจกคด มเหตผลอยางเปนระบบ

สามารถแกปญหาใหมประสทธภาพมากขน ในการจดทำาเอกสารเลมน

ไดศกษาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต:VedicMathematics)

มทมาจากคมภรโบราณในการคดเลขเรวซงเปนสวนหนงของคมภรพระเวท

ของอนเดย ประกอบดวยสตรหลก 16 สตร และสตรยอย 13 สตร

ทเกยวกบการบวกลบคณหารซงแตละสตรเปนสตรเฉพาะสามารถนำามา

ผสมผสานและผนวกกบพนความรในดานคดคำานวณได

จากนโยบายของนายกรฐมนตร (พลเอกประยทธ จนทรโอชา)

ในงานนายกรฐมนตรพบเพอนคร เมอป 2559 สำานกงานคณะกรรมการ

การศกษาขนพนฐาน ไดดำาเนนการจดทำาคมอเทคนคการคดเลขเรว

แบบอนเดย(เวทคณต)พรอมทงขยายผลครอบคลมทกเขตพนทการศกษา

และไดสงผบรหาร ศกษานเทศก ครผสอนคณตศาสตรเขารวมโครงการ

ฝกอบรมและสมมนาการจดการเรยนการสอนเวทคณตณสาธารณรฐอนเดย

จากผเชยวชาญทมประสบการณซงเปนตนกำาเนดเวทคณต และพฒนา

เปนตนแบบในการจดการเรยนการสอน การพฒนาเอกสารการจด

การเรยนการสอนคณตศาสตร ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย

ก

(เวทคณต)เลมน ไดรอยเรยงภาษาทงายกะทดรดเขาใจไดอยางรวดเรว

พรอมตวอยางประกอบ ทำาใหครผสอนและผ เรยนสามารถศกษา

และทำาความเขาใจไดดวยตนเองเอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร

ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต)ใน1ชดจดทำาเปน4เรอง

ประกอบดวยเรองการบวกการลบการคณและการหาร

สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานหวงเปนอยางยงวา

เอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรดวยเทคนคการคดเลขเรว

แบบอนเดย(เวทคณต)เลมนจะเปนประโยชนตอครผสอนนำาไปใชเพอพฒนา

ผเรยนทมพนฐานการใชเทคนคเวทคณตไดอยางคลองแคลวรวดเรว

ถกตอง แมนยำามากขน ซงเปนการบมเพาะและพฒนาผเรยนทม

ความโดดเดนทางคณตศาสตรเพอตอยอดผ เรยนไปสการแขงขน

ในระดบชาตและนานาชาตตอไป

สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

สารบญ

หน�

คำ�นำ� ก

ส�รบญ ข

เกรนนำ� ค

ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธนขลม(NikhilamMethod) 1

การหารแบบนขลมผลลพธเปนจำานวนเตม 1

การหารแบบนขลมผลลพธเหลอเศษ 9

การหารแบบนขลมโดยใชการแปลงตวตง 28

เปนจำานวนวนควลม

ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธพ�ร�ว�รท(ParavartyaMethod) 47

การหารแบบพาราวารทผลลพธเปนจำานวนเตม 47

การหารแบบพาราวารทผลลพธเหลอเศษ 51

การหารแบบพาราวารทโดยใชการแปลงตวตง 55

หรอตวหารเปนจำานวนวนควลม

ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธเพมหรอลดสดสวน 71

(AnurupyenaMethod)

การดำาเนนการหารโดยวธเพมสดสวน 71

การดำาเนนการหารโดยวธลดสดสวน 76

ข

หน�

สารบญ (ตอ)

ก�รห�รตรง(DhvajankaSutra) 96

ขนตอนการหาร(TheDivisionAlgorithm) 96

การหารตรง(DhvajankaSutra) 97

วธการดำาเนนการหารตรง 102

- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก 102

- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก 129

- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมตงแต 169

สามหลกขนไป

ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวย(AuxiliaryFractions) 218

เศษสวนชวยแบบท1(ลงทายดวย9หรออนกรมของ9) 219

เศษสวนชวยแบบท2(ลงทายดวย1หรออนกรมของ1) 241

ภ�คผนวกก�รห�ร 275

บรรณ�นกรม 289

คณะทำ�ง�น 291

การหารในเวทคณตมหลายรปแบบ แตละรปแบบขนอยกบ

ตวตงและตวหารวาอยในเงอนไขของรปแบบใดถาเลอกรปแบบการหาร

ไดเหมาะสมกบโจทยจะทำาใหการหาผลหารถกตองและรวดเรว

ตวอยางสตรหลกและสตรยอยทนำ ามาชวยในการหาร

แตละรปแบบ ไดแก การหารแบบนขลม ใชสตร Nikhi lam

NavatashcaramamDashatah (All from 9 the last from 10)

การหารแบบพาราวารท ใชสตร Paravartya Yojayet (Transpose

and Adjust) การหารโดยวธ เ พมหรอลดสดสวน ใชสตรยอย

Anurupyena (Proport ionately) การหารตรง ใชสตรยอย

Dhvajanka (On the Flag) โดยมสตร Urdhva - Tiryagbhyam

(VerticallyandCrosswise)เขาเสรมในขนตอนการหารและโจทยบางขอ

อาจตองใชสตรยอย Anurupyena กอนจะหาผลหารแบบหารตรง

และการหารดวยเศษสวนยอย ใชสตร Ekadhikena Purvena

(By onemore than the previous one) หรอสตร Ekanyunena

Purvena (Byone less than thepreviousone)และโจทยบางขอ

อาจตองใชสตรยอย Anurupyena กอนขยายผลหารดวยเศษสวนยอย

เปนตน

เกรนนำา

ค


1

การดำาเนนการหารโดยวธนขลม เปนวธการแปลงตวหารทม

คานอยกวาและใกลเคยงกบฐานปฐมภม 10, 100, 1000, …, 10n

จะทำาใหการหารนนงายขน

1.1 การหารแบบนขลมผลลพธเปนจำานวนเตม

ก�รห�รแบบนขลมผลลพธเปนจำ�นวนเตมมขนตอนดงตอไปน

ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกา

ขนท2ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห

ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 57,942 ÷ 999

วธคด

1. การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1

ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาได001


2

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1

ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 001 พจารณาแบงตวตง

จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวลากเสนแบง

ขนท 3 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย

ของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวนเลขโดด 2 ตว

นบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)


3

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1

5

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

5

ขนท4ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ5ดานซายมอลงมาใตเสน

ขนท 5 นำาตวเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณ

ไปใสในหลกถดไปใตตวตงคอ001×5

5x0=0นำา0ใสใตเลขโดด7




4

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

5 7

ขนท 7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส

ในหลกถดไปใตตวตงคอ001×7

7x0=0นำา0ใสใตเลขโดด9และ0



ขนท6บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสนคอ

7 + 0 = 7


5

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9 1001

ขนท 8 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดทงสองตอน

ลงมาไวใตเสน

ขนท 9 พจารณาคาของจำานวนหลงเสนแบง คอ 999 มคาเทากบ

ตวหารเดมจงตองดำาเนนการหารตอโดยแปลงเศษ999ใหเปนจำานวน

ทมบารจะได999=1001เพอดำาเนนการหารตอ


6

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

1 0 0 1

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

1 0 0 1

1

ขนท 10 นำาจำานวนทแปลงไดมาแบงตวตงและขดเสนใตจากการพจารณาตามขนท2และขนท3

ขนท11ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ1ลงมาใตเสน


7

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

1 0 0 1

0 0 1

1

ขนท12นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาผลคณไปใส






8

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

1 0 0 1

0 0 1

1 0 0 0

9 9 9 ) 5 7 9 4 2

0 0 1 0 0 5

0 0 7

5 7 9 9 9

1 0 0 1

0 0 1

1 0 0 0

ขนท13หาผลรวมทอยหลงเสนแบงเหลอเศษ000เปนการหารลงตว

ขนท 14 นำาจำานวนทอยหนาเสนแบงครงท 1 รวมกบครงท 2

ไดผลลพธคอ57+1=58


9

ดงนน 57,942÷999=58

ตอบ 58

1.2 การหารแบบนขลมผลลพธเหลอเศษ

ก�รห�รแบบนขลมผลลพธเหลอเศษมขนตอนดงตอไปน




วธคด

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2

ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาจะได002


10

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2







11

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2

8

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

8






8x2=16นำา16เขยนเปน16ใสใตเลขโดด3


12

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

0 014

8 7

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

8 7

ขนท7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส






7 + 0 = 7


13

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

0 01

4

8 7 619

23

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

0 014

8 7 619

23 813

ขนท8หาผลรวมทอยหลงเสนแบง

ขนท9ปรบผลบวกทไดคอ619

23ใหเปน813


14

9 9 8 ) 8 7 6 3 9

0 0 2 0 016

0 014

8 7 8 1 3

ขนท 10 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม (813<998)เหลอเศษ813

ดงนน 87,639÷998=87เศษ813

ตอบ 87เศษ813


15

ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 483,973 ÷ 9,897

วธคด

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3


9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3







16

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3

4

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

4









17

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

0 8 0 24

4 8

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

4 8








8+0=8


18

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

0 8 0 24

4 8 717

19

27

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

0 8 0 24

4 8 717

19

27 8917


ขนท9ปรบผลบวกทไดคอ717

19

27ใหเปน8917


19

9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

0 8 0 24

4 8 8 9 1 7

ขนท10พจารณาจำานวนเศษทไดมคานอยกวาตวหารเดม(8917<9897)เหลอเศษ8917

ดงนน 483,973÷9,897=48เศษ8,917

ตอบ 48เศษ8,917


20


วธคด

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1


8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1







21

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1

7

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

7



ไปใสในหลกถดไปใตตวตง


22

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 8

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

7 8


ในหลกถดไปใตตวตง


1+7=8


23

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13 10513


ขนท9ปรบผลบวกทได10 4

10

13เปน10513

เมอพจารณาแลวจำานวนทเหลอมคามากกวาตวหารเดม

(10513>8999)ตองดำาเนนการหารตอ


24

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13

1 0 5 1 3

ขนท10นำาจำานวน10513มาแบงตวตงและขดเสนใตพจารณาตามขนท2และขนท3


25

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13

1 0 5 1 3

1 0 0 1

1

ขนท 11 ชกเลขโดดตวแรก คอ 1 ลงมาใตเสน แลวนำาไปคณกบ ตวหารใหมคอ1001×1นำาผลคณไปใสในหลกถดไป


26

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13

1 0 5 1 3

1 0 0 1

1 1 5 1 4

ขนท 12 หาผลรวมทอยหลงเสนแบงได 1514 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม(1514<8999)เหลอเศษ1514


27

8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5

1 0 0 1 7 0 0 7

8 0 0 8

7 810 4

10

13

1 0 5 1 3

1 0 0 1

1 1 5 1 4

ขนท 13 นำาผลจากการดำาเนนการหารครงท 1 รวมกบครงท 2 ได78+1=79

ดงนน 712,435÷8,999=79เศษ1,514



28

1.3 การหารแบบนขลมโดยใชการแปลงตวตงเปนจำานวน

วนควลม

ก�รห�รแบบนขลมโดยใชก�รแปลงตวตงเปนจำ�นวนวนควลม

มขนตอนดงตอไปน

ขนท1 สงเกตเลขโดดของตวตงทมคามากกวา5

ขนท2 ปรบตวตงใหเปนจำานวนวนควลม


ขนท4 ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห

ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 99,716,489 ÷ 97,899

วธคด

ขนท1พจารณาตวตงมเลขโดดทมคามากกวา5หลายตวแปลงเปน

จำานวนวนควลม

99716489÷97899

99716489=100,324,51 1


29

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1

ขนท2ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาได02101

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1


จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกตวหารแลวลากเสนแบง


ของเสนแบงแลวขดเสนใต


30

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

1

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

1 0

ขนท 5 ชกเลขโดดตวแรกของตวตง คอ 1 ดานซายมอลงมาใตเสน

แลวนำาไปคณกบตวหารใหมนำาผลคณไปใสในหลกถดไปใตตวตง

ขนท 6 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดตวแรกลงมาไว

ใตเสน คอ 0 + 0 = 0 นำา 0 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใส



31

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

0 4 2 0 2

1 0 2

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

0 4 2 0 2

0 4 2 0 2

1 0 2 2

ขนท 7 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน คอ

0 + 2 + 0 = 2 นำา 2 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใสในหลก

ถดไปใตตวตง

ขนท 8 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน คอ

3 + 1 + 0 + 0 = 2 นำา 2 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใส



32

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

0 4 2 0 2

0 4 2 0 2

1 0 2 2 6 5 3 1 3 55307

9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1

0 2 1 0 1 0 2 1 0 1

0 0 0 0 0

0 4 2 0 2

0 4 2 0 2

1 0 2 2 5 5 3 0 7

ขนท 9 หาผลรวมทอยหลงเสนแบง แลวปรบผลบวกทได คอ

65313=55307

ขนท 10 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม

(55307<97899)เหลอเศษ55307


33

ขนท11ปรบผลหารคอ1022=1018เหลอเศษคอ55307ผลลพธคอ1018เศษ55307

ดงนน 99,716,489÷97,899=1,018เศษ55,307

ตอบ 1,018เศษ55,307


34

แบบฝกหด

เรอง การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)

1) 7,743÷87=

วธคด

ตอบ

2) 5,726÷97=

วธคด

ตอบ

จงห�ผลห�รตอไปน


35

3) 87,639÷878=

วธคด

ตอบ

4) 97,632÷899=

วธคด

ตอบ

5) 89,742÷989=

วธคด

ตอบ


36

6) 29,365÷998=

วธคด

ตอบ

7) 27,664÷988=

วธคด

ตอบ

8) 483,973÷9,897=

วธคด

ตอบ


37

9) 357,862÷9,999=

วธคด

ตอบ

10) 4,973,218÷9,988=

วธคด

ตอบ


38

1) 7,743÷87=

วธคด

ดงนน 7,743÷87 =89

ตอบ 89

8 7 ) 7 7 4 3

1 3 7 21

14

42

714

39

45

4 3 5

412

4 717

1 1 3

1 3

1 0 0

39

45=435>87

7 17=8711 3

7 14+4+1=89เศษ0

เฉลยแบบฝกหด

เรอง การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)



39

2) 5,726÷97=

วธคด

ดงนน 5,726÷97 =59เศษ3


9 7 ) 5 7 2 6

0 3 015

0 21

5 717

27

1 9 7

0 3

1 910

1 0 0

0 3

1 0 3

17

27=197>97

9 10=100>97

57+1+1=59

03<97


40

3) 87,639÷878=

วธคด

ดงนน 87,639÷878 =99เศษ717


8 7 8 ) 8 7 6 3 9

1 2 2 816

16

15

30

30

815

37

49

39

4 2 2 9

4 8 8

4 610

17

37

49

39=4229>878

6 10

17=717<878

815 + 4 = 99


41

4) 97,632÷899=

วธคด

ดงนน 97,632÷899 =108เศษ540


8 9 9 ) 9 7 6 3 2

1 0 1 9 0 9

16 0

16

916

22

12

18

2 3 3 8

2 0 2

2 5 310

22

12

18=2338>899

5310

=540<899

9 16+2=108


42

5) 89,742÷989=

วธคด

ดงนน 89,742÷989 =90เศษ732


9 8 9 ) 8 9 7 4 2

0 1 1 0 8 8

0 9 9

8 915

21

11

1 7 2 1

0 1 1

1 7 3 2

15

21

11=1721>989

732<989

89+1=90


43

6) 29,365÷998=

วธคด

ดงนน 29,365÷998 =29เศษ423


9 9 8 ) 2 9 3 6 5

0 0 2 0 0 4

0 018

2 9 310

23

310

23=423<998


44

7) 27,664÷988=

วธคด

ดงนน 27,664÷988 =28

ตอบ 28

9 8 8 ) 2 7 6 6 4

0 1 2 0 2 4

0 714

2 7 817

18

1 0 1 2

0 1 2

1 0 0 0

817

18=988→101 2

27+1=28


45

8)483,973÷9,897=

วธคด

ดงนน 483,973÷9,897=48เศษ8,917


9) 357,862÷9,999=

วธคด

ดงนน 357,862÷9,999 =35เศษ7,897


9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3

0 1 0 3 0 4 012

0 8 0 24

4 8 717

19

27

9 9 9 9 ) 3 5 7 8 6 2

0 0 0 1 0 0 0 3

0 0 0 5

3 5 7 8 9 7

7 17

19

27=8917<9897

7897<9999


46

10)4,973,218÷9,988=

วธคด

ดงนน 4,973,218÷9,988 =497เศษ9,182


812 1 8 = 921 8=9182<9988

503 = 497

9 9 8 8 ) 5 0 3 3 2 2 2

0 0 1 2 0 0 510

0 0 3 6

5 0 3 812 1 8


47

การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารทเปนการหารแบบเทคนคเฉพาะ

กลาวคอ ใชตวหารทม คามากกวาและใกล เคยงกบฐานปฐมภ ม

มความเหมาะสมกบตวหารทอยในรป 1abc ตวหารทปรบปรงใหม

(Modified Divisor) คอ a b c (MD = a b c) การดำาเนนการหาร

โดยวธพาราวารท จะแตกตางจากวธนขลมในขนตอนท 1 สวนขนตอน

ถดไปจะดำาเนนการคลายกน

2.1 การหารแบบพาราวารทผลลพธเปนจำานวนเตม

ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทผลลพธเปนจำ�นวนเตมมขนตอนดงตอไปน

ขนท1ปรบปรงตวหารใหม


2. การดำาเนนการหารโดยวธ

พาราวารท (Paravartya Method)


48


วธคด

1 1 2 ) 1 3 4 4

1 2

1 1 2 ) 1 3 4 4

1 2


MD=1 2

ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 2 พจารณาแบงตวตงจาก

ขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง

นบจำานวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดด

ของตวตงทางซายของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวน

เลขโดด2ตวนบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)


49

1 1 2 ) 1 3 4 4

1 2

1

1 1 2 ) 1 3 4 4

1 2 1 2

1 2


ขนท4นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาผลคณไปใส

ในหลกถดไปใตตวตงคอ1x1 = 1และ1x2 = 2

บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน

คอ3+1 = 2


50

1 1 2 ) 1 3 4 4

1 2 1 2

2 4

1 2 0 0

ขนท 6 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบง พบวาเปนศนย แสดงวา

ผลหารลงตว

ดงนน 1,344÷112=12

ตอบ 12

ขนท5นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหมคอ2x1 = 2และ

2 x 2 = 4แลวนำาผลคณไปใสในหลกถดไป

หาผลรวมของเลขโดดหลงเสนแบงทละหลกลงมาไวใตเสน

คอ4+2 + 2=0และ4+4 = 0


51

2.2 การหารแบบพาราวารทผลลพธเหลอเศษ

ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทผลลพธเหลอเศษมขนตอนดงตอไปน



ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 432 ÷ 11

วธคด

1 1 ) 4 3 2

1


MD=1


52

1 1 ) 4 3 2

1

4


1 1 ) 4 3 2

1

ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 พจารณาแบงตวตงจาก

ขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง





53

1 1 ) 4 3 2

1 4

4 1

1 1 ) 4 3 2

1 4

1

4 1 3

ขนท4นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาไปใสในหลก

ถดไปใตตวตง คอ 4 x 1 = 4 และบวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดด

ทคณไดลงมาไวใตเสนคอ3+4 = 1

ขนท5นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหมคอ1 x 1=1แลวนำา

ไปใสในหลกถดไป และหาผลรวมของเลขโดดหลงเสนแบงทละหลก

ลงมาไวใตเสนคอ2+1=3


54

ขนท6พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม

(3<11)เหลอเศษ3

41=39

ดงนน 432÷11=39เศษ3



55

2.3 การหารแบบพาราวารทโดยใชการแปลงตวตงหรอ

ตวหารเปนจำานวนวนควลม

ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทโดยใชก�รแปลงตวตงหรอตวห�ร

เปนจำ�นวนวนควลมมขนตอนดงตอไปน

ขนท1สงเกตเลขโดดของตวตงหรอตวหารทมคามากกวา5

ขนท2ปรบตวตงหรอตวหารใหเปนจำานวนวนควลม




วธคด

ขนท1พจารณาตวตงมเลขโดดทมคามากกวา5หลายตวแปลงเปน

จำานวนวนควลม

18937÷1102

18937=21 14 3


56

1 1 0 2 ) 2 1 1 4 3

1 0 2

1 1 0 2 ) 2 1 1 4 3

1 0 2 2 0 4

3 0 6

2 3 2 0 3

ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 0 2 พจารณาแบงตวตง

จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง






57

ขนท4พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม

(203<1102)เหลอเศษ203

23=17

ดงนน 18,937÷1,102=17เศษ203



58


วธคด

วธท1

1 1 9 ) 1 1 0 1 1

1 9 1 9

0 0

981

1 0 910

82

9 118 2

1 8 2

1 9

1 7 7

1 6 3

ดงนน 91+1=92เศษ63


109+1เศษ77=92เศษ63


59

113+1เศษ63=92เศษ63

วธท2ปรบตวหารเปนจำานวนวนควลม

1 2 1 ) 1 1 0 1 1

2 1 2 1

2 1

6 3

1 1 3 6 4

9 314 4

1 4 4

2 1

1 6 3

ดงนน 93+1=92เศษ63



60


เรอง การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารท

(Paravartya Method)


1) 1,232÷112=

วธคด

ตอบ

2) 2,583÷123=

วธคด

ตอบ


61

3) 121,212÷113=

วธคด

ตอบ

4) 79,999÷111=

วธคด

ตอบ


62

5) 2,321÷118=

วธคด

ตอบ

6) 207÷101=

วธคด

ตอบ


63

7) 426÷11=

วธคด

ตอบ

8) 239,479÷11,203=

วธคด

ตอบ


64

9) 39,999÷9,819=

วธคด

ตอบ

10) 13,579÷8,897=

วธคด

ตอบ


65

1) 1,232÷112=

วธคด

ดงนน 1,232÷112 =11

ตอบ 11

2) 2,583÷123=

วธคด

ดงนน 2,583÷123 =21

ตอบ 21

1 1 2 ) 1 2 3 2

1 2 1 2

1 2

1 1 0 0

1 2 3 ) 2 5 8 3

2 3 4 6

2 3

2 1 0 0


เรอง การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารท

(Paravartya Method)



66

3) 121,212÷113=

วธคด

ดงนน 121,212÷113 =1,072เศษ76

ตอบ 1,072เศษ76

1 1 3 ) 1 2 1 2 1 2

1 3 1 3

1 3

3 9

2 6

1 1 3 2 8 4

1 0 7 2 7 6


67

4) 79,999÷111=

วธคด79,999=120001

ดงนน 79,999÷111 =721+1เศษ79=720เศษ79


1 1 1 ) 1 2 0 0 0 1

1 1 1 1

3 3

2 2

1 1

1 3 2 1 3 2

7 2 1 3 2

1 6 8

1 1

1 7 9

3 2 = 168


68

5) 2,321÷118=

วธคด118=122

ดงนน 2,321÷118 =19เศษ79


6) 207÷101=

วธคด

ดงนน 207÷101 =2เศษ5


1 2 2 ) 2 3 2 1

2 2 4 4

2 2

2 1 8 1

1 9 7 9

1 0 1 ) 2 0 7

0 1 0 2

2 0 5


69

1 1 ) 4 2 6

1 4

2

4 2 8

3 8 8

7) 426÷11=

วธคด

ดงนน 426÷11 =38เศษ8


8) 239,479÷11,203=

วธคด

ดงนน 239,479÷11,203 =21เศษ4,216


1 1 2 0 3 ) 2 3 9 4 7 9

1 2 0 3 2 4 0 6

1 2 0 3

2 1 4 2 1 6


70

9) 39,999÷9,819=

วธคด39,999=40001

9,819=10221

ดงนน 39,999÷9,819 =4เศษ723


10) 13,579÷8,897=

วธคด8,897=11 103

ดงนน 13,579÷8,897 =1เศษ4,682


1 0 2 2 1 ) 4 0 0 0 1

0 2 2 1 0 8 8 4

4 0 8 8 3

4 0 7 2 3

1 1 1 0 3 ) 1 3 5 7 9

1 1 0 3 1 1 0 3

1 4 6 712

1 4 6 8 2


71

การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวนเปนการปรบตวหาร

ใหเหมาะสมกบวธนขลมหรอวธพาราวารท

3.1 การดำาเนนการหารโดยวธเพมสดสวน

ขนท1เพมสดสวนตวหารใหใกลเคยงฐานปฐมภมโดยการคณ

ขนท2ใชการดำาเนนการแบบวธนขลมกรณทตวหารใกลเคยง

และนอยกวาฐานปฐมภมหรอใชการดำาเนนการแบบวธพาราวารทกรณท

ตวหารใกลเคยงและมากกวาฐานปฐมภม

ขนท3เมอไดผลหารจากการดำาเนนการในขนท2แลวนำาผลหาร

เฉพาะสวนของจำานวนเตมทอยดานหนาของเสนแบงคณกบจำานวน

ทนำาไปเพมสดสวนในขนท 1 กรณทเหลอเศษมากกวาตวหาร ใหคณ

ดวยจำานวนทนำาไปเพมสดสวนแลวหาคาตอ เมอเสรจสนการดำาเนนการ

จงนำาเศษหารดวยจำานวนทนำาไปเพมสดสวนจะไดคำาตอบ

3. การดำาเนนการหารโดยวธเพม

หรอลดสดสวน (Anurupyena Method)


72


วธคด

2 6 x 4 = 1 0 4

ขนท1 เพมสดสวนตวห�ร

นำา4มาคณกบ26จะได104ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100

ขนท2ดำ�เนนก�รห�รแบบวธพ�ร�ว�รทไดผลหารคอ13เหลอเศษ9

1 0 4 ) 1 3 6 1

0 4 0 4

0 12

1 3 2 11

1 3 0 9


73

ขนท 3 นำาผลหารหนาเสนแบงไปคณดวย 4 (จำานวนในขนท 1)

จะไดคำาตอบ52เหลอเศษ9

1 0 4 ) 1 3 6 1

0 4 0 4

0 12

1 3 2 11

1 3 0 9

4

5 2 0 9

ดงนน1,361÷26=52เศษ9


x


74


วธคด

2 3 x 4 = 9 2

ขนท1 เพมสดสวนตวห�ร

นำา4มาคณกบ23จะได92ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100

ขนท2 ดำ�เนนก�รห�รแบบวธนขลม

ไดผลหารคอ10เหลอเศษ91

9 2 ) 1 0 1 1

0 8 0 8

0 0

1 0 9 1


75

ขนท3นำาผลหารหนาเสนแบงไปคณดวย4และขอนเหลอเศษมากกวา

ตวหาร(91<23)นำา91คณดวย4ได364ดำาเนนการหารตอได3

เหลอเศษ88แลวหารเศษทไดดวย4ไดเศษทเหลอคอ22

จะได40+3=43เศษ22

9 2 ) 1 0 1 10 8 0 8

0 01 0 9 1

4 44 0

36 4

3 6 40

24

3 6 28

4 3 8 84

4 3 2 2

ดงนน1,011÷23=43เศษ22


x x

÷


76

3.2 การดำาเนนการหารโดยวธลดสดสวน

ขนท1ลดสดสวนตวหารใหใกลเคยงฐานปฐมภมโดยการหาร

ขนท2ใชการดำาเนนการแบบวธนขลมกรณทตวหารใกลเคยง

และนอยกวาฐานปฐมภมหรอใชการดำาเนนการแบบวธพาราวารทกรณท

ตวหารใกลเคยงและมากกวาฐานปฐมภม

ขนท3เมอไดผลหารจากการดำาเนนการในขนท2แลวนำาผลหาร

เฉพาะสวนของจำานวนเตมทอยดานหนาของเสนแบงหารกบจำานวนทนำาไป

ลดสดสวนในขนท1กรณหารไมลงตวใหนำาเฉพาะเศษสวนไปคณตวหาร

แลวนำาไปบวกกบเศษเหลอทอยหลงเสนแบง


77


วธคด

2 0 4 ÷ 2 = 1 0 2

ขนท1 ลดสดสวนตวห�ร

นำา2มาหาร204จะได102ใกลเคยงฐานปฐมภม100

1 0 2 ) 1 2 3 4 5

0 2 0 2

0 4

0 2

1 2 1 0 3

ขนท2ดำ�เนนก�รห�รแบบวธพ�ร�ว�รทไดผลหารคอ121เศษ03


78

ขนท3จากผลหารนำาจำานวนหนาเสนแบงหารดวย2จะได

121÷2=60 12 และนำา 1

2 x204=102แลวนำาไปบวกกบเศษเหลอ

จะไดเศษ102+3=105ไดคำาตอบคอ60เศษ105

1 0 2 ) 1 2 3 4 50 2 0 2

0 40 2

1 2 1 0 3 260 0 3

60

60 105

12

12

ดงนน12,345÷204=60เศษ105


÷

x204+03


79


วธคด

5 8 8 ÷ 6 = 9 8

ขนท1 ลดสดสวนตวห�ร

นำา6มาหาร588จะได98ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100

ขนท2 ดำ�เนนก�รห�รแบบวธนขลมไดผลหารคอ108เศษ16

9 8 ) 1 0 6 0 0

0 2 0 2

0 0

01

6

1 0 8 1 6


80

ขนท3จากผลหารนำาจำานวนหนาเสนแบงหารดวย6จะได

108÷6=18ไดคำาตอบคอ18เศษ16

9 8 ) 1 0 6 0 0

0 2 0 2

0 0

01

6

1 0 8 1 6

6

18 1 6

ดงนน10,600÷588=18เศษ16


÷


81


เรอง การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวน

(Anurupyena Method)


1) 1,400÷199=

วธคด

ตอบ

2) 1,699÷223=

วธคด

ตอบ


82

3) 13,333÷439=

วธคด

ตอบ

4) 12,584÷511=

วธคด

ตอบ


83

5) 12,345÷331=

วธคด

ตอบ

6) 1,177÷516=

วธคด

ตอบ


84

7) 13,045÷494=

วธคด

ตอบ

8) 137,987÷1,427=

วธคด

ตอบ


85

9) 79,999÷555=

วธคด

ตอบ

10) 33,033÷1,231=

วธคด

ตอบ


86

1) 1,400÷199=

วธคด199x5=995

ดงนน1,400÷199=7เศษ7


9 9 5 ) 1 4 0 0

0 0 5 0 0 51 4 0 5

5 5

5 20 0

25

2 0 2 5

0 010

2 0 215

0 3 5

57 0 0 7

÷

x x


เรอง การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวน

(Anurupyena Method)



87

2) 1,699÷223=

วธคด223x4=892

ดงนน1,699÷223=7เศษ138


8 9 2 ) 1 6 9 9

1 0 8 1 0 81 7 9

17

4 4

4 28

36

68

3 2 2 8

3 0 24

3 5 232

7 5 5 2

47 1 3 8

÷

xx


88

8 7 8 ) 1 3 3 3 3

1 2 2 1 2 24 8 8

1 4 913

11

2 22 8

18

26

22

2 0 8 22 4 4

2 212 6

3 0 3 2 62

3 0 1 6 3

3) 13,333÷439=

วธคด439x2=878

ดงนน13,333÷439=30เศษ163


÷

x x


89

1 0 2 2 ) 1 2 5 8 4

0 2 2 0 2 2

0 4 4

1 2 3 2 0

2

2 4 3 2 0

4) 12,584÷511=

วธคด511x2=1,022

ดงนน12,584÷511=24เศษ320


x


90

9 9 3 ) 1 2 3 4 5

0 0 7 0 0 70 0

14

1 2 311

19

3 33 6 9

33

57

1 2 8 70 0 7

1 2 814

2 9 43

3 7 0 9 8

5) 12,345÷331=

วธคด331x3=993

ดงนน12,345÷331=37เศษ98


÷

x x


91

÷

1 2 9 ) 1 1 7 7

2 9 2 92 9

1 1 016

9 1 642 1 6

2 x 516+ 16

2 1 4 5

6) 1,177÷516=

วธคด516÷4=129

ดงนน1,177÷516=2เศษ145


14

14


92

9 8 8 ) 1 3 0 4 5

0 1 2 0 1 2

0 3 6

1 3 1 911

2

2 6 2 0 1

7) 13,045÷494=

วธคด494x2=988

ดงนน13,045÷494=26เศษ201


x


93

9 9 8 9 ) 1 3 7 9 8 7

0 0 1 1 0 0 1 10 0 3 3

1 3 710

12

10

7 79 1

49

70

84

70

5 6 9 1 00 0 5 5

5 6 9 6 5

9 6 6 9 6 57

9 6 0 9 9 5

8) 137,987÷1,427=

วธคด1,427x7=9,989

ดงนน137,987÷1,427=96เศษ995


÷

x x


94

1 1 1 ) 7 9 9 9 9

1 1 7 7

2 2

0 0

7 2 0 7 9

5

1 4 4 7 9

9) 79,999÷555=

วธคด555÷5=111

ดงนน79,999÷555=144เศษ79


÷


95

9 8 4 8 ) 3 3 0 3 3

0 1 5 2 0 31

5 6

3 3 318 9

8 82 4

24

24

144

72

2 7 9 1 20 2

10 4

2 7 11

11 6

2 6 8 2 1 68

2 6 1 0 2 7

10) 33,033÷1,231=

วธคด1,231x8=9,848

ดงนน33,033÷1,231=26เศษ1,027


÷

x x


96

การหารในหวขอนจะเปนการหารในระบบจำานวนเตมทตวหาร

ไมเปนศนย ตวอยางเชน 29 หารดวย 8 จะไดผลหารเปน 3 เศษเหลอ

เทากบ5เขยนไดเปน

29=(8x3)+5

จากสมการ ตวตงคอ 29 ตวหารคอ 8 ไดผลหารเทากบ 3

เศษเหลอเทากบ5เรยกสมการนวาขนตอนก�รห�รในกรณทเศษเหลอ

เทากบ 0 จะเรยกวา การหารลงตว ดงนน ควรทำาความเขาใจเกยวกบ

ขนตอนการหารกอนทจะเรยนรเรองการหารตรง เพราะมศพทเฉพาะ

บางคำาทนำามาใชแลวเขาใจไมตรงกน

4.1 ขนตอนการหาร (The Division Algorithm)

ใหaและbเปนจำานวนเตมโดยทa≠0แลวมจำานวนเตมq

และrเพยงคเดยวททำาให

b=aq+rโดยท0≤r<|a|

เรยก b วา ตวตง(dividend)

a วา ตวหาร(divisor)

q วา ผลหาร(quotient)

r วา เศษเหลอ(remainder)

4. การหารตรง (Dhvajanka Sutra)


97

จากขนตอนการหาร ตวตงและตวหารเปนจำานวนเตม โดยท

ตวหารไมเปนศนยผลหารเปนจำานวนเตมและเศษเหลอเปนจำานวนเตมบวก

ทนอยกวาคาสมบรณของตวหารหรอเทากบ0ในการดำาเนนการหารตรง

มสญลกษณและขอความทตองใหความหมายดงน

1. 28÷9=4เศษเหลอ1เขยนแทนดวย28÷9=4เศษ1

2. 45÷7=6เศษ3หมายถง45หารดวย7ไดผลหารเทากบ6

เศษเหลอเทากบ3

3. r=107หมายถงเศษเหลอของการหารเทากบ107

4.3

139 r=3

หมายถงผลหารเทากบ139เศษเหลอเทากบ3

5. เศษเหลอ9เขยนแทนดวยเศษ9

6.23มคาเทากบ23

4.2 การหารตรง (Dhvajanka Sutra)

การหารตรง เปนวธการหารทใชไดกบโจทยการหารทวไป

การดำาเนนการคลายกบการตงหารยาว เพยงแตสงเคราะหขนมาใหม

เพอใหการดำาเนนการหารงายขน

ในกรณทตวหารมเพยงหลกเดยวสามารถดำาเนนการหารตรงได

โดยไมตองแปลงตวหารและตวตงดงรป


98

จากรป เปรยบเทยบวธการตงหารยาวกบการหารตรง สงเกต

ไดวา8–6=2แลวชก3ลงมากบการนำา2ไปเขยนหอยไวหนาเลข3

มคาเทากนคอ23และ23–18=5แลวชก 7ลงมากบการนำา 5

ไปเขยนหอยไวหนาเลข 7 มคาเทากน คอ 57 เมอดำาเนนการหารเสรจ

จะไดผลลพธเทากนคอ139เศษ3

ในกรณทตวหารเปนจำานวนเตมบวกตงแตสองหลกขนไป

กอนดำาเนนการหารตรงตองแยกตวหารและตวตงออกเปนสองสวนดงน

1. ตวห�ร เพอใหการดำาเนนการหารงายขน จะแบงตวหาร

ออกเปนสองสวน สวนหนาใชเปนตวห�ร เรยกวาตวห�รใหม จะเปน

จำานวนเตมทมหนงหลกหรอสองหลกเทานน สวนหลงคอตวเลขทเหลอ

จะทำาหนาทเปนตวเสรมในการหารเรยกวาตวธง

2. ตวต ง จะแบงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร

โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธงเสมอ

ดงตวอยางตอไปน

ก�รตงห�รย�ว ก�รห�รตรง


99

ตวอย�งก�รแบงตวห�รและตวตง

ตวอย�งท1

ตวหารคอ63เปนจำานวนเตมทมสองหลกเพอใหงายตอการหาร

จะแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหมคอ6สวนหลง

เปนตวธง คอ 3 เมอแบงตวหารแลวจะแบงตวตงออกเปนสองสวน

เชนเดยวกน โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวน

หลกของตวธง ซงในตวอยางน ตวธง มหลกเดยว ดงนน ตวตง 82,715

จงแบงเปน8271กบ5


6 3| 8 2 7 1 5

ตวห�ร

ตวห�รใหม

ตวตง

ตวธง

5 42| 7 3 2 4 8

ตวห�ร


ตวตง

ตวธง


100

ตวหารคอ542เปนจำานวนเตมทมสามหลกเพอใหงายตอการหาร


เปนตวธงคอ42และแบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกนโดยสวนหลง

ของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ซงในตวอยางน

ตวธงมสองหลกดงนนตวตง73,248จงแบงเปน732กบ48


ตวหารคอ2,341เปนจำานวนเตมทมสหลกเพอใหงายตอการหาร


เปนตวธงคอ341และแบงตวตงออกเปนสองสวนโดยใหสวนหลงของตวตง

มจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ดงนน ตวตง 735,165

จงแบงเปน735กบ165

หม�ยเหต เราอาจจะแบงตวหารเปน23|41

และแบงตวตงเปน7351|65กได

2 341| 7 3 5 1 6 5

ตวห�ร


ตวตง

ตวธง


101


ตวหารคอ1,147เปนจำานวนทมสหลกเพอใหงายตอการหาร

จะแบงตวหารออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม คอ 11

สวนหลงเปนตวธงคอ47และแบงตวตงออกเปนสองสวนโดยใหสวนหลง

ของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ดงนน ตวตง

9,140,372จงแบงเปน91403กบ72

หม�ยเหต เราอาจจะแบงตวหารเปน1|147

และแบงตวตงเปน9140|372กได

11 47| 9 1 4 0 3 7 2

ตวห�ร


ตวตง

ตวธง


102


ตวหาร คอ 121,536 เปนจำานวนเตมทมหกหลก เพอใหงาย

ตอการหาร จะแบงตวหารออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม

คอ 12 สวนหลงเปนตวธง คอ 1536 และแบงตวตงออกเปนสองสวน

โดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง

จงแบงตวตงเปน607กบ6415

ในตวอยางตอไปจะเปนวธการดำาเนนการหารตรง

4.3 วธการดำาเนนการหารตรง

4.3.1 ก�รห�รตรงกรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมหนงหลก

วธการดำาเนนการหารตรงใหเขยนตวตงตวหารโดยเวน

ชองวางระหวางตวเลขไวพอสมควรสำาหรบใสเศษเหลอหอยไวหนา

ตวเลขถดไป เขยนเสนกำากบจากซายไปขวา เขยนเสนแบงดานหลงตวตง

เพอแบงผลหารออกเปนสองสวนดงตวอยางตอไปน

12 1536| 6 0 7 6 4 1 5

ตวห�ร


ตวตง

ตวธง


103

ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 837 ÷ 6

วธคด

6 823 7

1

6 8 23

57

1 3

ขนท1 8÷6=1เศษ2

เขยนผลหาร1ใตเลข8ของตวตง

เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข3

จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ23






104

วธทำ�

6 8 23

57

3

1 3 9 r=3

6 8 23

57

3

1 3 9 r=3



เขยนเศษ3ไวหลงเสนแบง

จะไดคำาตอบคอ139เศษ3

สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน

ดงนน 837÷6=139เศษ3



105

6 8 23

57

30

00

1 3 9

6 8 23

57

30

00

1 3 9 5

ขนท4 เขยนเลข0จำานวน2ตวหลงเสนแบง

เขยนเศษ3หอยขางหนาเลข0ตวแรก(เศษ3มาจากขนท3)



เขยนผลหาร5ใตเลข0ตวแรก

เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข0ตวถดไป

จะไดคำาตอบคอ139.5

ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมหนงตำ�แหนง เตมเลข 0 หลงเสนแบง

จนมจำานวนตวเลขทมากกวาตำาแหนงทศนยมทตองการอย 1 ในทน

เตมเลข0จำานวน2ตวและใหดำาเนนการหารตอดงน

วธคด


106

วธทำ�

6 8 23

57

30

00

1 3 9 5

สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมหนงตำาแหนง)ดงน

ดงนน 837÷6=139.5

ตอบ 139.5

ขอสงเกต

การหารทผลหารเปนทศนยมใหเขยนเลข0หลงเสนแบงดงน

- ถาตองการผลหารเปนทศนยมหนงตำาแหนง ใหเขยนเลข 0

จำานวน2ตว

- ถาตองการผลหารเปนทศนยมสองตำาแหนง ใหเขยนเลข 0


- ถาตองการผลหารเปนทศนยมสามตำาแหนง ใหเขยนเลข 0


หรอถาตองการผลหารเปนทศนยมทมากกวา 3 ตำาแหนง

กใหดำาเนนการหารโดยใชหลกการเดยวกนน


107


วธคด

8 442 1 6 5

0





8 442

21 6 5

0 5






108

8 442

21

56 5

0 5 2

8 442

21

56

05

0 5 2 7


เขยนผลหาร2ใตเลข1ของตวตงเขยนเศษ5หอยขางหนาเลข6






8 442

21

56

05

5

0 5 2 7 0 r=5



เขยนเศษ5ไวหลงเสนแบง

จะไดคำาตอบคอ5270เศษ5


109

วธทำ�

8 442

21

56

05

5

0 5 2 7 0 r=5


ดงนน 42,165÷8=5,270เศษ5



110

8 442

21

56

05

50 0 0 0

0 5 2 7 0

8 442

21

56

05

50

20 0 0

0 5 2 7 0 6

ขนท6 เขยนเลข0จำานวน4ตวหลงเสนแบง

เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข0(เศษ5มาจากขนตอนท5)




เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข0ตวทสอง


ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมส�มตำ�แหนง ใหเตม 0 หลงเสนแบง

จำานวน4ตวและดำาเนนการหารตอดงน

วธคด


111

8 442

21

56

05

50

20

40 0

0 5 2 7 0 6 2

8 442

21

56

05

50

20

40

00

0 5 2 7 0 6 2 5


เขยนผลหาร2ใตเลข0ตวทสอง

เขยนเศษ4หอยขางหนาเลข0ตวทสาม




เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข0ตวทส


วธทำ�

8 442

21

56

05

50

20

40

00

0 5 2 7 0 6 2 5

สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสามตำาแหนง)ดงน

ดงนน 42,165÷8=5,270.625

ตอบ 5,270.625


112

วธทำ�

7 114

05

56

03

33

50

10

30

20

60

40

50

10

0 2 0 8 0 4 7 1 4 2 8 5 7

ดงนน 145,633÷7=20,804.714285

ตอบ 20,804.714285

ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 145,633 ÷ 7 (ห�คำ�ตอบในรป

ทศนยมซำ�)


การหารทผลหารเปนทศนยมซำา ใหดำาเนนการหารไปเรอย ๆ

จนไดผลหารในตำาแหนงทเปนทศนยมซำา


113


เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก)

1. 547÷3=

วธคด

ตอบ

2. 1,396÷5=

วธคด

ตอบ

1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ


114

3. 89,410÷7=

วธคด

ตอบ

4. 30,518÷8=

วธคด

ตอบ

5. 142,769÷8=

วธคด

ตอบ


115

6. 425,503÷6=

วธคด

ตอบ

7. 2,437,026÷4=

วธคด

ตอบ

8. 1,308,465÷9=

วธคด

ตอบ


116

9. 54,628,317÷8=

วธคด

ตอบ

10. 72,834,955,146÷9=

วธคด

ตอบ


117

1. 729÷4=

วธคด

ตอบ

2. 2,147÷3=

วธคด

ตอบ

2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง


118

3. 42,333÷5=

วธคด

ตอบ

4. 59,087÷6=

วธคด

ตอบ

5. 113,479÷7=

วธคด

ตอบ


119

6. 633,825÷4=

วธคด

ตอบ

7. 1,482,506÷6=

วธคด

ตอบ

8. 7,520,357÷9=

วธคด

ตอบ


120

9. 31,522,743÷3=

วธคด

ตอบ

10. 81,131,294÷7=

วธคด

ตอบ


121


เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก)

1. 547÷3=

วธคด

ดงนน547÷3=182เศษ1

ตอบ182เศษ1

2. 1,396÷5=

วธคด

ดงนน1,396÷5=279เศษ1


3 524

07

1

1 8 2 r=1

5 113

39

46

1

0 2 7 9 r=1



122

3. 89,410÷7=

วธคด

ดงนน89,410÷7=12,772เศษ6

ตอบ12,772เศษ6

4. 30,518÷8=

วธคด

ดงนน30,518÷8=3,814เศษ6


5. 142,769÷8=

วธคด

ดงนน142,769÷8=17,846เศษ1


7 819

54

51

20

6

1 2 7 7 2 r=6

8 330

65

11

38

6

0 3 8 1 4 r=6

8 114

62

67

36

49

1

0 1 7 8 4 6 r=1


123

6. 425,503÷6=

วธคด

ดงนน425,503÷6=70,917เศษ1


7. 2,437,026÷4=

วธคด

ดงนน2,437,026÷4=609,256เศษ2


8. 1,308,465÷9=

วธคด

ดงนน1,308,465÷9=145,385เศษ0


6 442

05

55

10

43

1

0 7 0 9 1 7 r=1

4 224

03

37

10

22

26

2

0 6 0 9 2 5 6 r=2

9 113

40

48

34

76

45

0

0 1 4 5 3 8 5 r=0


124

9. 54,628,317÷8=

วธคด

ดงนน54,628,317÷8=6,828,539เศษ5

ตอบ6,828,539เศษ5

10. 72,834,955,146÷9=

วธคด

ดงนน72,834,955,146÷9=8,092,772,794เศษ0

ตอบ8,092,772,794เศษ0

8 554

66

22

68

43

31

77

5

0 6 8 2 8 5 3 9 r=5

9 772

08

83

24

69

65

25

71

84

36

0

0 8 0 9 2 7 7 2 7 9 4 r=0


125

1. 729÷4=

วธคด

ดงนน729÷4=182.250

ตอบ182.25

2. 2,147÷3=

วธคด

ดงนน2,147÷3=715.666

ตอบ715.67

4 732

09

10

20

00

1 8 2 2 5 0

3 221

04

17

20

20

20

0 7 1 5 6 6 6



126

3. 42,333÷5=

วธคด

ดงนน42,333÷5=8,466.600

ตอบ8,466.60

4. 59,087÷6=

วธคด

ดงนน59,087÷6=9,847.833

ตอบ9,847.83

5. 113,479÷7=

วธคด

ดงนน113,479÷7=16,211.285

ตอบ16,211.29

5 442

23

33

33

30

00

00

0 8 4 6 6 6 0 0

6 559

50

28

47

50

20

20

0 9 8 4 7 8 3 3

7 111

43

14

07

09

20

60

40

0 1 6 2 1 1 2 8 5


127

6. 633,825÷4=

วธคด

ดงนน633,825÷4=158,456.250

ตอบ158,456.25

7. 1,482,506÷6=

วธคด

ดงนน1,482,506÷6=247,084.333

ตอบ247,084.33

8. 7,520,357÷9=

วธคด

ดงนน7,520,357÷9=835,595.222

ตอบ835,595.22

4 623

33

18

22

25

10

20

00

1 5 8 4 5 6 2 5 0

6 114

28

42

05

50

26

20

20

20

0 2 4 7 0 8 4 3 3 3

9 775

32

50

53

85

47

20

20

20

0 8 3 5 5 9 5 2 2 2


128

9. 31,522,743÷3=

วธคด

ดงนน31,522,743÷3=10,507,581.000

ตอบ10,507,581.00

10. 81,131,294÷7=

วธคด

ดงนน81,131,294÷7=11,590,184.857

ตอบ11,590,184.86

3 301

15

02

22

17

24

03

00

00

00

1 0 5 0 7 5 8 1 0 0 0

7 811

41

63

01

12

59

34

60

40

50

1 1 5 9 0 1 8 4 8 5 7


129

4.3.2 ก�รห�รตรงกรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมสองหลก

ในกรณทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลกใหดำาเนนการหาร

ดงน

ขนท1แบงตวหารเปนสองสวน โดยสวนหนาจะทำา

หนาทเปนตวหารหลก เรยกวา ตวห�รใหม และสวนหลงจะทำาหนาท

เปนตวเสรมในการหารเรยกวาตวธง

ขนท2แบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร

ใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง

ขนท3ดำาเนนการหารทำานองเดยวกบการหารตรง

กรณทตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก แตกตางกนตรงทมตวธง ดงนน

กอนทจะหารจะตองนำาตวธงไปคณกบผลหารทไดในขนกอนหนา

และนำาไปลบออกจากตวตงทอยในหลกถดไปทางขวาแลวหารดวยตวหารใหม


130


วธคด

6 3 822 7 1 5

1

6 3 822

17 1 5

(3x1)

1 3




ขนท2 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร1(จากขนท1)แลวนำาไปลบ

ออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได22–(3x1)=19แลวหารดวย6

จะได19÷6=3เศษ1




131

6 3 822

17

21 5

(3x1) (3x3)

1 3 1

6 3 822

17

21

65

(3x1) (3x3) (3x1)

1 3 1 2










จะได18÷6=3เศษ0แตเนองจากขอนตองดำาเนนการหารตอ

หากนำาผลหารคณกบตวธงแลวนำาไปลบออกจากตวตงถดไปจะทำาให

ผลลบเปนจำานวนลบดงนนจงตองลดผลหารลงดงน

18÷6=2เศษ6




132

6 3 822

17

21

65

(3x1) (3x3) (3x1) (3x2)

1 3 1 2

6 3 822

17

21

65

19 8 18 59

1 3 1 2 r=59



จะได65–(3x2)=59ซงเปนเศษทไดจากการหาร

จะไดคำาตอบคอ1,312เศษ59

วธทำ�


ดงนน 82,715÷63=1,312เศษ59


3 9 3 6


133

ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมส�มตำ�แหนงใหดำาเนนการหารตอดงน

วธคด

6 3 822

17

21

65

50 0 0

(3x1) (3x3) (3x1) (3x2)

1 3 1 2 9

6 3 822

17

21

65

50

50 0

(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9)

1 3 1 2 9 3

ขนท6 เขยนเลข0จำานวน3ตวตอจากเลข5ของตวตง

นำาเศษ59(จากขนท5)หารดวย6จะได59÷6=9เศษ5

เขยนผลหาร9ใตเลข5ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท1









134

6 3 822

17

21

65

50

50

50

(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9) (3x3)

1 3 1 2 9 3 6

6 3 822

17

21

65

50

50

50

(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9) (3x3) (3x6)

1 3 1 2 9 3 6 5












จะไดคำาตอบคอ1,312.937


135

วธทำ�

สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสามตำาแหนง)ดงน

ดงนน 82,715÷63=1,312.9365

ตอบ 1,312.937

6 3 822

17

21

65

50

50

50

19 8 18 59 23 41 32

1 3 1 2 9 3 6 5


วธคด ในตวอยางน แบงตวหาร 92 เปนสองสวน คอ 9 เปนตวหารใหม

และ 2 เปนตวธง

9 2 228 7 9 4 6

0




3 9 3 6 27 9


136

9 2 228

17 9 4 6

(2x0)

0 3

9 2 228

17

29 4 6

(2x0) (2x3)

0 3 1







ขนท3 หาผลคณของตวธงกบผลหารทไดมาจากขนตอนกอนหนา

นำาไปลบออกจากตวตงถดไปทางขวาแลวหารดวยตวหารใหมเปนเชนน

ไปเรอยๆจะได17–(2x3)=11แลวหารดวย9





137

9 2 228

17

29

94 6

(2x0) (2x3) (2x1)

0 3 1 2

9 2 228

17

29

94

96

(2x0) (2x3) (2x1) (2x2)

0 3 1 2 9

ขนท4 29–(2x1)=27

27 ÷9= 3 เศษ 0 แตเนองจากขอนตองดำาเนนการหารตอ

หากนำาผลหารคณกบตวธงแลวนำาไปลบออกจากตวตงถดไป จะทำาให

ผลลบเปนจำานวนลบดงนนจงตองลดผลหารลงดงน

27 ÷9=2เศษ9



ขนท5 94 – (2 x 2) = 90 แตเนองจาก 90 ÷ 9 = 10 เศษ 0

แลวจะทำาใหมผลลบเปนจำานวนลบ ดงนน จงตองลดผลหารลง

เชนเดยวกบขนท4ดงน

90 ÷9=9เศษ9




138

9 2 228

17

29

94

96

(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9)

0 3 1 2 9 96–18=78

ขนท6 96–(2x9)=78ซงเปนเศษทไดจากการหาร


วธทำ�


ดงนน 287,946÷92=3,129เศษ78


0 6 2 4 189 2 2

28

17

29

94

96

28 11 27 90 78

0 3 1 2 9 r=78


139

9 2 228

17

29

94

96

60 0

(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9)

0 3 1 2 9 8

9 2 228

17

29

94

96

60

80

(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9) (2x8)

0 3 1 2 9 8 4

ขนท7 เขยนเลข0จำานวน2ตวตอจากเลข6ของตวตง 96–(2x9)=78แลวหารดวย9 จะได78÷9=8เศษ6 เขยนผลหาร8ใตเลข6ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท1 เขยนเศษ6หอยขางหนาเลข0

ขนท8 60–(2x8)=44 44÷9=4เศษ8 เขยนผลหาร4ใตเลข0ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท2 เขยนเศษ8หอยขางหนาเลข0

ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมสองตำ�แหนงใหดำาเนนการหารตอดงน

วธคด


140

9 2 228

17

29

94

96

60

80

(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9) (2x8) (2x4)

0 3 1 2 9 8 4 7

ขนท9 80–(2x4)=72

72 ÷9=7เศษ9


จะไดคำาตอบคอ3,129.85

0 6 2 4 18 16 89 2 2

28

17

29

94

96

60

80

28 11 27 90 78 44 72

0 3 1 2 9 8 4 7

วธทำ�

สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสองตำาแหนง)ดงน

ดงนน 287,946÷92=3,129.847

ตอบ 3,129.85


141

ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 3,466,721 ÷ 37

วธคด ในตวอยางนแบงตวหาร37เปนสองสวนคอ3เปนตวหารใหม

และ7เปนตวธง

37 334 6 6 7 2 1

0

37 334

76 6 7 2 1

(7x0)

0 9




ขนท2 34–(7x0)=34

34÷3=9เศษ7




142

37 334

76

46 7 2 1

(7x0) (7x9)

0 9 3

37 334

76

46

77 2 1

(7x0) (7x9) (7x3)

0 9 3 6

ขนท3 76–(7x9)=13

13÷3=3เศษ4



ขนท4 46–(7x3)=25

25÷3=6เศษ7




143

37 334

76

46

77

82 1

(7x0) (7x9) (7x3) (7x6)

0 9 3 6 9

37 334

76

46

77

82

41

(7x0) (7x9) (7x3) (7x6) (7x9)

0 9 3 6 9 5

ขนท5 77–(7x6)=35

35÷3=9เศษ8



ขนท6 82–(7x9)=19

19÷3=5เศษ4




144

37 334

76

46

77

82

41

(7x0) (7x9) (7x3) (7x6) (7x9) (7x5)

0 9 3 6 9 5 41–35=6

ขนท7 41–(7x5)=6ซงเปนเศษทไดจากการหาร


0 63 21 42 63 3537 3

34

76

46

77

82

41

34 13 25 35 19 6

0 9 3 6 9 5 r=6

วธทำ�


ดงนน 3,466,721÷37=93,695เศษ6



145


วธคด การหารจำานวนทมบารทำาไดดงน

5 7 506 0 2 5 3

1




ขนท2 6–(7x1)=6–7=1

1 ÷5=0เศษ1



75 7 5

06

10 2 5 3

(7x1)

1 0


146

ขนท4 2–(7x2)=2–1 4=16

16÷5=3เศษ1


เขยนเศษ1หอยหนาเลข5

ขนท3 10 = 10

10–(7x0)=10–0=10

10 ÷ 5 = 2เศษ0



5 7 506

10

02

15 3

(7x1) (7x0)

1 0 2

5 7 506

10

02

15 3

(7x1) (7x0) (7x2)

1 0 2 3


147

ขนท5 15–(7x3)=6

6÷5=1เศษ1



ขนท6 13=7

7–(7x1)=7–7 = 0 ซงเปนเศษทไดจากการหาร

จะไดคำาตอบคอ10231=9,829

5 7 506

10

02

15

13

(7x1) (7x0) (7x2) (7x3) (7x1)

1 0 2 3 1

5 7 506

10

02

15

13

(7x1) (7x0) (7x2) (7x3)

1 0 2 3 1

r=13–7 = 7–7 = 0


148

วธทำ�

วธคด พจารณาตวหาร48มตวเลขบางตวมากกวา5อาจเปลยนตวหาร

เปนจำานวนวนควลมไดดงน461,207÷48=461,207÷ 52


ดงนน 560,253÷57=10231=9,829

ตอบ 9,829

ดงนน 461,207÷48=9,608.479

ตอบ 9,608.48

7 0 1 4 21 75 7 5

06

10

02

15

13

1 10 16 6 0

1 0 2 3 1 r=0

0 1 8 1 2 0 1 6 8 1 45

24

46

11

12

40

07

30

30

46 29 4 40 23 38 44

0 9 6 0 8 4 7 9

ตวอยางท 5 จงหาผลหาร 461,207 ÷ 48 (ตอบเปนทศนยม

สองตำาแหนง)


149

วธคด

วธคด 732,806÷39=732,806÷41

ดงนน 7,528,163÷31=242844.03 2=242,843.968

ตอบ 242,843.97

ดงนน 732,806÷39=2 1 2 1.1 0 2 6=18,789.8974

ตอบ 18,789.897

2 4 2 8 4 4 0 331 7

15

12

28

21

16

03

1 0

1 0

13 8 26 13 12 1 10 7

2 4 2 8 4 4 0 3 2

2 1 2 1 0 1 0 24

17

1 3

1 2

1 8

00

1 6

00

1 0

2 0

5 9 4 1 4 1 10 2 2

2 1 2 1 0 1 0 2 6

ตวอยางท 6 จงหาผลหาร 7,528,163 ÷ 31 (ตอบเปนทศนยม



สามตำาแหนง)


150


1.การหารตรงทมจำานวนวนควลมใหยดตามหลกการบวกการลบ

การคณและการหารจำานวนเตมเชน8–4=8–(-4)=8+4=12

หรอ20÷5=(-20)÷(-5)=4เปนตน

2.การหารตรงสามารถเขยนแบบยอไดดงน

ตวอย�งท6จงห�ผลห�ร7,528,163÷31(ตอบเปนทศนยม


วธทำ�

ดงนน 7,528,163÷31=242,844.03 2

=242,843.968

ตอบ 242,843.97

31 715

12

28

21

16

03

1 0

1 0

2 4 2 8 4 4 0 3 2


151


เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก)

1. 4,228÷21=

วธคด

ตอบ

2. 7,245÷62=

วธคด

ตอบ



152

3. 38,047÷32=

วธคด

ตอบ

4. 89,898÷41=

วธคด

ตอบ

5. 255,139÷63=

วธคด

ตอบ


153

6. 367,292÷44=

วธคด

ตอบ

7. 2,671,905÷82=

วธคด

ตอบ

8. 4,744,683÷69=

วธคด

ตอบ


154

9. 32,472,083÷38=

วธคด

ตอบ

10. 23,508,127÷91=

วธคด

ตอบ


155

1. 4,278÷31=

วธคด

ตอบ

2. 6,249÷52=

วธคด

ตอบ

2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง


156

3. 31,582÷81=

วธคด

ตอบ

4. 76,565÷38=

วธคด

ตอบ

5. 145,247÷43=

วธคด

ตอบ


157

6. 450,279÷24=

วธคด

ตอบ

7. 1,544,862÷72=

วธคด

ตอบ

8. 6,743,285÷49=

วธคด

ตอบ


158

9. 23,058,199÷36=

วธคด

ตอบ

10. 125,466,038÷77=

วธคด

ตอบ


159


เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก)

1. 4,228÷21=

วธคด


2. 7,245÷62=

วธคด


2 0 12 1 4

02

02

08

0 2 7

2 0 1 7

2 2 126 2 7

12

44

65

10 42 53

1 1 6 53



160

3. 38,047÷32=

วธคด


4. 89,898÷41=

วธคด


2 2 16 1632 3

08

30

44

47

6 28 28 31

1 1 8 8 31

2 1 9 24 1 8

09

38

19

28

7 37 10 26

2 1 9 2 26


161

5. 255,139÷63=

วธคด


6. 367,292÷44=

วธคด


12 0 12 276 3 2 5

15

31

73

79

3 31 61 52

4 0 4 9 52

32 12 16 284 4 3 6

47

32

49

52

15 20 33 24

8 3 4 7 24


162

7. 2,671,905÷82=

วธคด


8. 4,744,683÷69=

วธคด


6 4 10 16 882 2 6

27

51

79

50

25

21 47 69 34 17

3 2 5 8 4 17

54

72

63 54 27

6 9 4 7114

124

106

78

63

60

52

43 24 36

6 8 7 6 3 36


163

9. 32,472,083÷38=

วธคด


10. 23,508,127÷91=

วธคด


64 40 32 40 16 64

38 3 284

57

52

50

48

83

20 17 20 10 32 19

8 5 4 5 2 8 19

2

5

8

3

3

1

9 1 2 355

80

38

31

12

07

53 75 30 28 9 6

2 5 8 3 3 1 6


164

1. 4,278÷31=

วธคด

ตอบ138

2. 6,249÷52=

วธคด

ตอบ120.173

1 3 8 031 4

12

27

08 0 0 0

11 24 0

1 3 8 0

2 4 0 2 14 6

5 2 612

04

09

40

30

10

10 0 9 38 16 4

1 2 0 1 7 3 0

2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง


165

3. 31,582÷81=

วธคด

ตอบ389.901

4. 76,565÷38=

วธคด

ตอบ2,014.868

3 8 9 9 0 181 3 1

75

88

82

10

10

20

72 80 73 1 10 19

3 8 9 9 0 1 2

16 0 8 32 64

48

64

38 716

05

26

65

90

80

80

0 5 18 33 26 32 16

2 0 1 4 8 6 8 4


166

5. 145,247÷43=

วธคด

ตอบ3,377.837

6. 450,279÷24=

วธคด

ตอบ18,761.625

9 9 21 21

24 9 21

4 3 1 4 25

42

54

57

40

40

30

16 33 33 36 16 31 9

3 3 7 7 8 3 7 2

4 32 28 24 4 24 8 20

2 4 4 2

5 50

42

27

19

30

20

20

21 18 14 3 15 6 12 0

1 8 7 6 1 6 2 5 0


167

7. 1,544,862÷72=

วธคด

ตอบ21,456.417

8. 6,743,285÷49=

วธคด

ตอบ137,618.061

4 2 8 10 12 8 2

12

7 2 1 514

34

48

56

42

20

50

60

10 32 40 46 30 12 48 48

2 1 4 5 6 4 1 6 6

9 27 63 54 9 72 0 54 9

4 9 627

64

93

62

48

75

30

60

20

18 37 30 8 39 3 30 6 11

1 3 7 6 1 8 0 6 1 2


168

9. 23,058,199÷36=

วธคด

ตอบ640,505.528

10. 125,466,038÷77=

วธคด

ตอบ1,629,429.065

36 24 0 30 0 30 30 12 42

36 2 3 50

25

18

31

19

49

40

40

70

14 1 18 1 19 19 10 28 28

6 4 0 5 0 5 5 2 7 7

7 42 14 63 28 14

63 0

42

28

7 7 1 255

64

86

96

50

83

68

50

80

100

48 22 72 33 22 69

5 50 38

72

1 6 2 9 4 2 9 0 6 4 9


169

4.3.3 ก�รห�รตรง กรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมตงแต

ส�มหลกขนไป

การหารตรงทมตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป

ใชวธการเดยวกบการหารตรงทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก คอ

กอนดำาเนนการหารตรงตองแบงตวหารและตวตง โดยดำาเนนการ

ตามขนตอนดงน

ขนท 1 พจารณาตวหาร ถาตวหารเปนจำานวนเตม

ตงแตสามหลกขนไปจะตองแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาใชเปน

ตวหาร เรยกวา ตวห�รใหม เพอใหงายในการคดคำานวณ ตวหารใหมน

จะเปนจำานวนเตมทมหนงหลกหรอสองหลกเทานนสวนหลงคอตวเลข

ทเหลอจะทำาหนาทเปนตวคณเสรมในการหารเรยกวาตวธง

ขนท2แบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร

โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง

ขนท3นำาตวหารใหมไปหารตวตงแลวนำาผลหารทได

เขยนไวใตตวตงและนำาเศษไปเขยนหอยไวหนาตวตงทอยถดไปทางขวา

ขนท4หาผลคณระหวางตวธงกบผลหารทไดกอนหนา

แลวนำาไปลบออกจากตวตงทอยถดไปทางขวา(จำานวนเดยวกบทกลาวไวใน

ขนท3)เสรจแลวหารดวยตวหารใหมนำาผลหารทไดเขยนไวใตตวตงและ

นำาเศษไปเขยนหอยไวหนาตวตงตวถดไปดำาเนนการตามขนท3และขนท4

เปนเชนนไปเรอยๆจนกวาจะหารลงตวหรอไดเศษเหลอ


170

ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 73,248 ÷ 542 (ตอบในรปเศษเหลอ)

วธคด

ขนท 1 แบงตวหาร 542 ออกเปนสองสวน สวนแรกเปนตวหารใหม

คอ5และสวนหลงเปนตวธงคอ42และแบงตวตงออกเปนสองสวน

เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก

ของตวธงดงนนตวตง73,248จงแบงเปน732กบ48

ขนท2นำา7÷5=1เศษ2เขยนผลหาร1ใตเลข7แลวนำาเศษ2

ไปเขยนหอยขางหนาเลข3

วธก�รห�รตรง กรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมตงแต

ส�มหลกขนไป

542| 7

23 2 4 8

1

542| 7 3 2 4 8

ตวธง



171

ขนท3 หาผลคณระหวางตวธงตวทหนงคอ4กบผลหารทไดจากขนท2

คอ1แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได23–(4x1)=19

ขนท5หาผลคณระหวางตวธง42กบผลหาร13ทไดจากขนท2

และขนท4แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง

จะได42–{(4x3)+(2x1)}=28

ขนท4นำา19÷5=3 เศษ4 เขยนผลหาร3ใตตวตง3แลวนำา

เศษ4ไปเขยนหอยขางหนาเลข2

54 2| 7

23 2 4 8

(4x1)

1

542| 7

23

42 4 8

(4x1)

1 3

54 2| 7

23

42 4 8

(4x3)+(2x1)=14

1 3


172



ขนท8หาผลคณของตวธงตวสดทายคอ2กบผลหารตวสดทายคอ5

ทไดจากขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได88–(2x5)=78ซงเปนเศษทไดจากการหาร

จะไดผลหารคอ135เศษ78

ขนท7หาผลคณของตวธง42กบผลหาร35ทไดจากขนท4และขนท6

แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได34–{(4x5)+(2x3)}=8แลวนำา8ไปเขยนหอยขางหนาเลข8

542| 7

23

42

34 8

1 3 5

หม�ยเหตในขนท7และขนท8เปนขนของการหาเศษเหลอทไดจากการหาร จงไมมการหารตอแตนำาตวธงไปคณกบผลหารใหครบทกจำานวนแลวนำาไปลบ ออกจากตวตงซงอยหลงเสนแบงเพอหาเศษของการหาร

54 2| 7

23

42

34

88

(4x5)+(2x3)=26

1 3 5

54 2| 7

23

42

34

88

(2x5)

1 3 5 88-10=78


173

วธทำ�542 7

23

42

34

88

1 3 5 r=78

จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถงขนท 8 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�

(ตอบในรปเศษเหลอ) ไดดงน

ดงนน 73,248÷542=135เศษ78


ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 701,985 ÷ 823 (ตอบในรปเศษเหลอ)

วธคด


ขนท 1 แบงตวหาร 823 ออกเปนสองสวน สวนแรกเปนตวหารใหม


โดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง

ดงนนตวตง701,985จงแบงเปน7019กบ85

823| 7 0 1 9 8 5

ตวธง



174

ขนท2นำา70÷8=8เศษ6เขยนผลหาร8ไวใตเลข0แลวนำา

เศษ6ไปเขยนหอยขางหนาเลข1

ขนท 4 นำา 45 ÷ 8 = 5 เศษ 5 เขยนผลหาร 5 แลวนำาเศษ 5


ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ2กบผลหารทไดจากขนท2คอ8

แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตงจะได61–(2x8)=45

823| 7

70

61 9 8 5

0 8

823| 7

70

61

59 8 5

8 5

823| 7

70

61 9 8 5

(2x8)

8


175



จะได59–{(2x5)+(3x8)}=25



จะได98-{(2x2)+(3x5)}=79

แลวนำา79ไปเขยนหอยขางหนาเลข5



823| 7

70

61

59

98 5

8 5 2

8

8

2

2

3

3

|

|

770

61

59 8 5(2x5)+(3x8)=34

8 5

770

61

59

98

795

(2x2)+(3x5)=19

8 5 2


176

ขนท 8 หาผลคณของตวธงตวสดทาย คอ 3 กบผลหาร 2 ทไดจาก

ขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได795–6=789ซงเปนเศษทไดจากการหาร

จะไดผลหารคอ852เศษ789

82 3| 7

70

61

59

98

795

(3x2)

0 8 5 2 795–6=789

r=789

วธทำ�823 7

70

61

59

98

795

0 8 5 2 r=789

จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถง ขนท 8 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�

(ตอบในรปเศษเหลอ)ไดดงน

ดงนน 701,985÷823=852เศษ789



177

ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 735,165 ÷ 2,341 (ตอบในรปเศษเหลอ)

วธคด

ขนท1แบงตวหาร2,341ออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหม






2

2

341

341

|

|

7 3 5 1 6 5

713 5 1 6 5

3

ตวธง

ตวตง


ตวห�ร


178

ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ3กบผลหารทไดจากขนท2


จะได13–(3x3)=4



จะได25–{(3x1)+(4x3)}=10



2 341| 713

25 1 6 5

3 1

2

2

3

3

41

4 1

|

|

713 5 1 6 5

(3x3)

3

713

25 1 6 5

(3x1)+(4x3)=15

3 1


179



ขนท7หาผลคณของตวธง341กบผลหาร314ทไดจากขนท2

ขนท4และขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง

จะได21–{(3x4)+(4x1)+(1x3)}=2

นำา2ไปเขยนหอยขางหนาเลข6

2 341| 713

25

21 6 5

3 1 4

23 4 1| 7

13

25

21

26 5

(3x4)(4x1)+(1x3)=19

3 1 4


180



จะได26–{(4x4)+(1x1)}=9


ขนท9หาผลคณของตวธงตวสดทายคอ1กบผลหารตวสดทายคอ4

แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง 95 – 4 = 91 ซงเปน

เศษเหลอทไดจากการหารจะไดคำาตอบคอ314เศษ91

2

2

3

3

4

4

1

1

|

|

713

25

21

26

95

(4x4)+(1x1)=17

3 1 4

713

25

21

26

95

3 1 4 95–4=91r=91


181

วธทำ�2341 7

13

25

21

26

95

3 1 4 r=91



ดงนน 735,165÷2,341=314เศษ91


หม�ยเหต 1) ในขนท 7-9 เปนขนตอนของการหาเศษทไดจาก

การหารจงไมมการหารตอ แตเปนการนำาตวธงไปคณกบผลหาร แลวนำา

ไปลบออกจากตวตงทอยหลงเสนแบงทละขนจนครบ เพอหาเศษเหลอ

ของการหาร

2) สามารถหาเศษเหลอของการหารดวยการคดคำานวณ

เพยงครงเดยว โดยใชการคณตรงและการคณไขวระหวางตวธงกบผลหาร

แลวนำาไปลบออกจากตวตงทอยหลงเสนแบง เมอการหาผลหารสนสดลง

(จากตวอยางการหาผลหารสนสดในขนท6จำานวนหลงเสนแบงคอ2,165)

แลวนำามาคำานวณหาเศษเหลอไดดงน


182

ผลหาร

ตวธง

คณตรงและคณไขว

ผลห�ร 3 1 4

ตวธง 3 4 1 (1x3)+(3x4)+(4x1)

ผลห�ร 3 1 4

ตวธง 3 4 1 (1x1)+(4x4)

ผลห�ร 3 1 4

ตวธง 3 4 1 (1x4)

3 1 4

3 4 1

19

17 4=2074

ดงนนเศษเหลอจ�กก�รห�รคอ2,165–2,074=91


183

ตวอยางท 4 จงหาผลหาร 9,140,372 ÷ 1,147 (ตอบในรปเศษเหลอ)

วธคด




ของตวธงดงนนตวตง9,140,372จงแบงเปน91403กบ72

ขนท2นำา91÷11=7เศษ14เขยนผลหาร7แลวนำาเศษ14


11

11

47

47

|

|

9 1 4 0 3 7 2

9 1144 0 3 7 2

7

ตวธง

ตวตง


ตวห�ร


184



จะได144–(4x7)=116


แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง

จะได170–{(4x9)+(7x7)}=85



11

11

11

4

4

7

7

47

|

|

|

9 1144 0 3 7 2

(4x7)

7

9 1144

170 3 7 2

(4x9)+(7x7)=85

7 9

9 1144

170 3 7 2

7 9


185


แลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไปของตวตง

จะได193-{(4x6)+(7x9)}=106

ขนท 6นำา 85÷11=6 เศษ19 เขยนผลหาร6แลวนำาเศษ19




11

11

11

4 7

47

47

|

|

|

9 1144

170

193 7 2

(4x6)+(7x9)=87

7 9 6

9 1144

170

193 7 2

7 9 6

9 1144

170

193

187 2

7 9 6 8


186


แลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไปคอ187

จะได187-{(4x8)+(7x6)}=113


ขนท10หาผลคณของตวธง7กบผลหารตวสดทายคอ8แลวนำาไปลบ

ออกจากตวเลขถดไปของตวตงคอ1,132จะได1132–56=1076ซงเปน

เศษทไดจากการหารจะไดคำาตอบคอ7968เศษ1076

11

11

4

4

7

7

|

|

9 1144

170

193

187

1132

(4x8)(7x6)=74

7 9 6 8

9 1144

170

193

187

1132

(7x8)

7 9 6 8 1132-56=1076

หม�ยเหต สามารถหาเศษของการหารจากการคดคำานวณเพยงครงเดยว

โดยใชการคณตรงและการคณไขวระหวางตวธงกบผลหาร แลวนำาไปลบ

ออกจากตวตงทอยหลงเสนแบง เมอการหาผลหารสนสด (จากตวอยาง

การหาผลหารสนสดในขนท8)ดงนนในขนท9ถงขนท10นำามาคดรวม


187

ผลหาร

ตวธง

คณตรงและคณไขว

ผลห�ร 6 8

ตวธง 4 7

(7x6)+(4x8)=74

ผลห�ร 6 8

ตวธง 4 7

(7x8)=56

6 8

4 7

74

56=796

ดงนนเศษเหลอจ�กก�รห�รคอ1,872–796=1,076

วธทำ�



ดงนน 9,140,372÷1,147=7,968เศษ1,076

ตอบ 7,968เศษ1,076

1147

9 1144

170

193

187

1132

7 9 6 8 r=1076


188



วธคด

ขนท 1 แบงตวหาร 327 ออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม




3 27| 5 0 4 4 6 7 0

ตวธง

ตวตง


ตวห�ร

ก�รห�รตรงนอกจ�กจะห�ผลลพธในรปเศษเหลอยงส�ม�รถ

ห�ผลลพธในรปของทศนยมซำ�หรอจำ�นวนทศนยมต�มตองก�รโดยใช

หลกก�รปดเศษและตองเตม0ใหจำ�นวนตวเลขหลงเสนแบงม�กกว�

ตำ�แหนงทศนยมทตองก�รอย1จำ�นวนดงตวอย�งตอไปน


189





จะได20–(2x1)=18



3 2 7| 520 4 4 6 7 0

(2x1)

1

3

3

27

27

|

|

520 4 4 6 7 0

1

520

34 4 6 7 0

1 5


190



3

3

2

2

7

7

|

|

520

34 4 6 7 0

(2x5)+(7x1)=17

1 5

520

34

54 6 7 0

(2x4)+(7x5)=43

1 5 4

3 27| 520

34

54 6 7 0

1 5 4



จะได34–{(2x5)+(7x1)}=17



จะได54–{(2x4)+(7x5)}=11


191





จะได56–{(2x2)+(7x4)}=24



3 2 7| 520

34

54

56 7 0

(2x2)+(7x4)=32

1 5 4 2

3

3

27

27

|

|

520

34

54

56 7 0

1 5 4 2

520

34

54

56

37 0

1 5 4 2 7


192



3

3

2

2

7

7

|

|

520

34

54

56

37 0

(2x7)+(7x2)=28

1 5 4 2 7

520

34

54

56

37

60

(2x1)+(7x7)=51

1 5 4 2 7 1

3 27| 520

34

54

56

37

60

1 5 4 2 7 1

ขนท 11 หาผลคณของตวธง 2 7 กบผลหาร 2 7 ทไดจากขนท 8

และขนท10แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง

จะได37–{(2x7)+(7x2)}=9

ขนท 13หาผลคณของตวธง 2 7กบผลหาร7 1ทไดจากขนท 10


จะได60–{(2x1)+(7x7)}=9


193

ขนท14นำา9÷3=2เศษ3เขยนผลหาร2


3

3

27

27

| 520

34

54

56

37

60

1 5 4 2 7 1 2

วธทำ�


(ตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง)ไดดงน

ดงนน 504,467÷327=1,543.712=1,542.71

ตอบ 1,542.71

520

34

54

56

37

60

1 5 4 2 7 1 2


194

ตวอยางท 6 จงหาผลหาร 49,586 ÷ 1,203 (ตอบเปนทศนยม

สามตำาแหนง)

วธคด





12 03| 4 9 5 8 6 0 0

ตวธง

ตวตง


ตวห�ร



12 03| 4 915 8 6 0 0

4


195



จะได15–(0x4)=15



12 0 3| 4 915 8 6 0 0

(0x4)

4

12 03| 4 915

38 6 0 0

4 1

12 0 3| 4 925

38 6 0 0

(0x1)+(3x4)=12

4 1



จะได38–{(0x1)+(3x4)}=26


196



ขนท 8นำา 26÷12=1 เศษ11 เขยนผลหาร1แลวนำาเศษ11


12

12

03

03

|

|

4 915

38

26 0 0

4 1 2

4 915

38

26

110 0

4 1 2 1

12 0 3| 4 925

38

26 0 0

(0x2)+(3x1)=3

4 1 2



จะได26–{(0x2)+(3x1)}=23


197

ขนท 10นำา104÷12=8 เศษ8 เขยนผลหาร8แลวนำาเศษ8


12 03| 4 915

38

26

110

80

4 1 2 1 8

12

12

0

0

3

3

|

|

4 925

38

26

110 0

(0x2)+(3x2)=6

4 1 2 1

4 925

38

26

110

80

(0x1)+(3x1)=3

4 1 2 1 8



จะได110–{(0x1)+(3x2)}=104

ขนท 11 หาผลคณของตวธง 0 3 กบผลหาร 1 8 ทไดจากขนท 8


จะได80–{(0x8)+(3x1)}=77


198

วธทำ�4

49

15

38

26

110

80

4 1 2 1 8 6

ขนท12นำา77÷12=6เศษ5เขยนผลหาร6


12 03| 4 915

38

26

110

80

4 1 2 1 8 6

1203

จ�กตวอย�งจ�กวธคดในขนท1ถงขนท12ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�

(ตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง) ไดดงน

ดงนน 49,586÷1,203=41.2186=41.219

ตอบ 41.219


199

ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ

การหารตรงในกรณทมตวหารเปนจำานวนเตมบวกตงแต

สามหลกขนไป การดำาเนนการหารจะพจารณาทตวหารกอน โดยจะ

แบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเรยกวาตวห�รใหมนยมใชเปน

จำานวนหนงหลกหรอจำานวนสองหลกเพอทำาใหงายในการคดคำานวณ

สวนทสองของตวหารจะใชเปนตวคณเสรมในการหารเรยกวาตวธง

ตวตงจะแบงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหารโดยมเงอนไขวา

สวนหลงของตวตงจะตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง

สำาหรบขนตอนของการดำาเนนการหารในขนตอไป หลงจาก

ขนแรกของการหาร จะตองนำาตวธงไปคณผลหารกอนหนา แลวนำา

ไปลบออกจากตวตงกอนการหาร ในบางครงตองลดผลหารลง เพราะเมอ

นำาตวธงไปคณกบผลหารกอนหนาแลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไป

ผลลพธทไดควรตองมากกวาศนย ในกรณทตองการผลลพธเปน

จำานวนทศนยมตามทกำาหนดจะตองเตม 0 ทตวตงใหมากกวา

จำานวนทศนยมทตองการ1จำานวน


200


เรอง การหารตรง

(ตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป)

1. 7,374÷516=

วธคด

ตอบ

2. 10,210÷324=

วธคด

ตอบ



201

3. 56,624÷473=

วธคด

ตอบ

4. 66,666÷616=

วธคด

ตอบ

5. 4,245,643÷823=

วธคด

ตอบ


202

6. 98,079÷712=

วธคด

ตอบ

7. 54,321÷645=

วธคด

ตอบ

8. 653,742÷127=

วธคด

ตอบ


203

9. 921,226÷314=

วธคด

ตอบ

10.306,478÷1,325=

วธคด

ตอบ

11.345,619÷7,556=

วธคด

ตอบ


204

12.639,102÷1,404=

วธคด

ตอบ

13.5,067,415÷6,153=

วธคด

ตอบ

14.77,502,189÷8,213=

วธคด

ตอบ


205

15.3,585,615÷12,289=

วธคด

ตอบ

16.669,922,972÷902,132=

วธคด

ตอบ


206

1.1,524÷746=

วธคด

ตอบ

2.269,767÷541=

วธคด

ตอบ



207

3. 6,552,155÷314=

วธคด

ตอบ

4. 215,871÷2,713=

วธคด

ตอบ

5. 69,435,346÷7,234=

วธคด

ตอบ


208

6. 656,895÷1,124=

วธคด

ตอบ

7. 813,513÷10,122=

วธคด

ตอบ

8. 91,129,611÷82,125=

วธคด

ตอบ


209


เรอง การหารตรง

(ตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป)

1. 7,374÷516=

วธคด


2. 10,210÷324=

วธคด


516 723

27

174

1 4 r=150

324 110

12

31

170

0 3 1 r=166


ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย


1 4

1 6

10

24=124

r=274−124=150

3 1

2 4

14 4=144

r=310−144=166


210




3. 56,624÷473=

วธคด


4. 66,666÷616=

วธคด


5. 4,245,643÷823=

วธคด


473 516

56

102

364

1 1 9 r=337

616 606

56

26

186

1 0 8 r=138

823 442

24

65

86

94

633

0 5 1 5 8 r=609

1 9

7 3

66

27=687

r=1024−687=337

0 8

1 6

8 48=128

r=266−128=138

5 8

2 3

31

24=334

r=943−334=609


211

6. 98,079÷712=

วธคด


7. 54,321÷645=

วธคด


8. 653,742÷127=

วธคด


712 9 28

60

67

549

1 3 7 r=535

645 554

63

72

161

0 8 4 r=141

127 665

53

67

124

122

0 5 1 4 7 r=73




3 7

1 2

13

14=144

r=679−144=535

8 4

4 5

56

20=580

r=721−580=141

7

7 49= 49

r=122−49=73


212

9. 921,226÷314=

วธคด


10.306,478÷1,325=

วธคด


11.345,619÷7,556=

วธคด

ตอบ45เศษ5,599



3 3

1 4

15

12=162

r=426−162=264

3 1

2 5

17 5=175

r=578−175=403


0 4 5

5 5 6

45

49

30=5020

r=10619−5020=5599

314 932

31

52

42

276

2 9 3 3 r=264

1325 330

46

34

57

408

0 2 3 1 r=403

7556 334

65

106

611

5629

0 4 5 r=5599


213

12.639,102÷1,404=

วธคด


13.5,067,415÷6,153=

วธคด


14.77,502,189÷8,213=

วธคด

ตอบ9,436เศษ4,321

1404 623

29

41

50

302

4 5 5 r=282

6153 550

26

67

74

371

3505

0 8 2 3 r=3496

8213 777

55

50

92

71

448

4339

0 9 4 3 6 r=4321


4 5 5

4 0 4

36

20

20=3820

r=4102−3820=282


4 3 6

2 1 3

27

15

18=2868

r=7189−2868=4321


8 2 3

1 5 3

37

21 9=3919

r=7415−3919=3496


214



15.3,585,615÷12,289=

วธคด


16.669,922,972÷902,132=

วธคด

ตอบ742เศษ541,028

12289 335

118

65

196

1041

9525

0 2 9 1 r=9516

902132 666

39

39

72 2 9 7 2

0 7 4 2 r=541028

2 9 1

2 8 9

92

89 9=10099

r=19615−10099=9516

0 0 7 42

0 2 1 32

15

29

28

144=181944

r=722972−181944=541028


215

1.1,524÷746=

วธคด

ตอบ2.04

2.269,767÷541=

วธคด

ตอบ498.65

3. 6,552,155÷314=

วธคด

ตอบ20,866.74

746 115

12

44

40

0 2 0 4 2

541 226

69

87

76

57

50

0 4 9 8 6 4 5

314 605

35

32

61

55

45

50

2 0 8 6 6 7 3 5



216

4. 215,871÷2,713=

วธคด

ตอบ79.57

5. 69,435,346÷7,234=

วธคด

ตอบ9,598.47

6. 656,895÷1,124=

วธคด

ตอบ584.43

2713 221

75

88

87

101

0 7 9 5 6 9

7234 669

64

113

135

103

124

76

0 9 5 9 8 4 7 1

1124 665

106

88

89

55

90

0 5 8 4 4 2 6


217

7. 813,513÷10,122=

วธคด

ตอบ80.37

8. 91,129,611÷82,125=

วธคด

ตอบ1,109.65

10122 881

13

55

91

23

0 8 0 3 7 0

82125 911

11

82

79

66

81

91

1 1 0 9 6 4 5


218

เศษสวนชวย (AuxiliaryFractions)คอจำานวนทสามารถ

เขยนอยในรป ab

โดยท a อยในรปทศนยม และ b เปนจำานวนเตม

ทไมเปนศนย

ในเวทคณตมวธการแปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย

ทมตวเศษอยในรปทศนยมและตวสวนเปนจำานวนเตมทไมเปนศนย

ตวอย�ง

(1) 1500

= 0.015

(2) 169,000

= 0.0169

(3)5,24860,000

= 0.52486

(4) 893,200 = 0.89

32

(5) 98,54667,000 = 98.54667 (6) 2,3458,000,000 = 0.002345

8

การแปลงเศษสวนใหเปนเศษสวนชวยทำาใหเราสามารถ

ดำาเนนการหารไดงายขน และผลลพธทไดเปนจำานวนทอยในรปทศนยม

ทเปนจำานวนตรรกยะ

5. การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย

(Auxiliary Fractions)


219

เศษสวนชวย แบงออกเปน 2 แบบ

เศษสวนชวยแบบท1กรณทเศษสวนมตวสวนลงทายดวย9,

99,999,…เชน 229

, 41199

เปนตน

จากสตรแรกของเวทคณตคอเอกาธเกนะปรเวณะ(Ekadhikena

Purvena : By OneMore Than the Previous One) หมายถง

การปดคาตวเลขโดดโดยเพมคาขน1หนวย(Roundingupprocess)

เชน 3.9 เขยนแทนดวย4.0

8.29 เขยนแทนดวย8.3

0.0499 เขยนแทนดวย0.05

สามารถนำาไปแปลงเปนเศษสวนชวยโดยเพมคาตวเศษขน1

ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวยแบบท1ส�ม�รถทำ�ไดดงน

ขนท 1 แปลงเศษสวน (Fractions) ใหอยในรปเศษสวนชวย

(AuxiliaryFractions)

ขนท2ดำาเนนการหารโดยนำาตวหารไปหารตวตงและนำาเศษ

ทเหลอไปหอยไวดานหนาของตวเลขผลลพธทเกดกอนหนา


220

ต�ร�งแสดงเศษสวนทมตวสวนลงท�ยดวย9หรออนกรมของ9

เปนเศษสวนชวย(AuxiliaryFraction=A.F.)

ขอเศษสวนทมตวสวน

ลงท�ยดวย9(F)ก�รปดค�ตวสวน

เศษสวนชวย

(A.F.)

1

2

3

4

5

6

7

8

139

4561,499

6,04189,999

520249,999

4,0001,599,999

4,0001,600,000

520250,000

6,04190,000

0.60419

0.05225

4561,500

102799

102800

4.5615

0.0416

0.014

1.028

5869

479

140

5870

480

0.14

5.87

0.48

=


221

ตวอยางท 1 จงหาคาประมาณของ 4359

ใหอยในรปทศนยม

วธคด

ขนท1 แปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย

ขนท2 นำาเศษสวนชวยทไดมาดำาเนนการ

นำา6ไปหาร4ได0เหลอเศษ4

นำาเศษทเหลอคอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลขถดไป(3)

จะได43

ขนท3 นำา6ไปหาร43หรอ43ได7เหลอเศษ1

เขยน7เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1

นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข7

จะได17

4359

4360

4.43

6

4.43

6

4.36

0.

0.17

F A.F.

=

=

=


222



จะได52



จะได48



จะได08

4.43

6

4.43

6

4.43

6

0.17

52

0.17

52

48

0.17

52

48

08

=

=

=


223



จะได21

4.43

60.

17

52

48

08

21=

ในการหารขนตอไปจะเหมอนขางตนสามารถหารจนไดจำานวน

ตำาแหนงของทศนยมทตองการ

จากการหารขางตนสรปไดวา 4.36

มคาประมาณ0.17

52

48

08

21...

ดงนนผลลพธของ4359 ≈0.72881

ตอบ0.72881


224


ใหอยในรป

ทศนยม

วธคด





จะได01



นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลขถดไป9

จะได19

19399

19400

0.0194

0.01

19

4

0.194

0.

0.0

F A.F.

=

=

=


225



จะได30



จะได24



จะได07

0.01

19

4

0.01

19

4

0.01

19

4

0.304

0.30

247

0.30

24

076

=

=

=


226



จะได36



จะได01



จะได19

0.01

19

4

0.01

19

4

0.01

19

4

0.30

24

07

361

0.30

24

07

36

019

0.30

24

07

36

01

190

=

=

=


227



จะได30

0.01

19

40.

30

24

07

36

01

19

304=

ในตวอยางนจะพบวาหากดำาเนนการหารไปเรอยๆ คำาตอบทได

จะเปนทศนยมซำา

จากการหารขางตนสรปไดวา

0.194


24

07

36

01

19

30

24

07

36

01

19...

ดงนนผลลพธของ 19399

≈0.047619

ตอบ0.047619


228

ตวอยางท 3 จงหาคาประมาณของ 411,599


ทศนยม

วธคด





จะได04




จะได41

411,599

411,600

0.041

16

0.04

41

16

0.4116

0.

0.0

F A.F.

=

=

=


229



จะได90



จะได102



จะได65

0.04

41

16

0.04

41

16

0.04

41

16

0.902

0.90

1025

0.90

102

656

=

=

=


230



จะได16



จะได04

ขนท9 นำา16ไปหาร 04หรอ04ได0เหลอเศษ4


จะได41

0.04

41

16

0.04

41

16

0.04

41

16

0.90

102

65

164

0.90

102

65

16

041

0.90

102

65

16

04

410

=

=

=


231

ขนท10นำา16ไปหาร41หรอ41ได2เหลอเศษ9


จะได90

0.04

41

160.

90

102

65

16

04

41

902=

ในตวอยางนจะพบวาหากดำาเนนการหารตอไปเรอยๆ คำาตอบ

ทไดจะเปนทศนยมซำา

จากการหารขางตนสรปไดวา

0.4116


102

65

16

04

41

902 ...

ดงนนผลลพธของ 411,599

=0.025641

ตอบ0.025641


232



ทศนยม

วธคด

ขนท2 นำาเฉพาะ 1259

มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวย

ขนท1 แปลงเศษเกนใหอยในรปจำานวนคละ




จะได12

18959

1259

1.12

6

3

0.

F A.F.

=

=

=

1260

1.26

1259


233




จะได02



จะได20



จะได23

0.02

0.02

20

0.02

20

23

=

=

=

1.12

6

1.12

6

1.12

6


234



จะได53



จะได58

ขนท9 นำา3มาบวกกบทศนยมทไดจะไดเปนคำาตอบ


3 ≈3.20338

ตอบ 3.20338

0.02

20

23

53

0.02

20

23

53

58

=

=

= 3+0.20338...

= 3.20338

1.12

6

1.12

6

1259

3


235


เรอง การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย

กรณเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 9 หรออนกรมของ 9

1. =

วธคด

ตอบ

2. =

วธคด

ตอบ

จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมสตำ�แหนง)

719

1239


236

3.=

วธคด

ตอบ

4. =

วธคด

ตอบ

13289

94499


237

5. =

วธคด

ตอบ

6. =

วธคด

ตอบ

80213

61,199


238




1.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.3684

2. =

วธคด

ดงนน

ตอบ0.3077

จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมสตำ�แหนง)

0.07

2

1.12

4

0.72

1.24

=

=

= 0.13

16

08

04

02

= 0.03

30

27

36

09

≈0.3684

≈0.3077

719

1239

719

1239

719

1239

720

1240


239

3. =

วธคด

จะได

ดงนน

ตอบ1.4831

4.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.1884

4.43

9

0.09

44

5

4.39

4389

0.945

=

=

=

= 0.74

28

13

41

54

1

= 0.41

18

38

337

≈0.4831

≈1.4831

≈1+0.4831

≈0.1884

13289

4389

13289

13289

4389

4390

94499

94499

94499

4989

94500

1


240

5.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.005

6. =

วธคด

จะได

ดงนน

ตอบ61.6923

2.27

4

0.00

06

12

2.74

913

2739

0.0612

=

=

=

=

= 0.36

09

12

03

30

61

= 0.60

00

05

500

≈0.6923

≈61.6923

≈0.0050

80213

27 39

80213

9x313x3

80213

2740

61,199

61,199

61,199

61,200

2739


241

เศษสวนชวยแบบท 2กรณทเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 1

เชน1231 ,

351 ,

3456101 เปนตนวธแปลงเปนเศษสวนชวยคอใหลดคาตวเศษ

และตวสวนลง1

ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวยแบบท2ส�ม�รถทำ�ได

ดงน

ขนท1แปลงเศษสวน(F)ใหเปนเศษสวนชวย(A.F.)

ขนท2ดำาเนนการโดยนำาตวหารไปหารจำานวนทบเกาของตวตง


242

ต�ร�งแสดงเศษสวนทมตวสวนลงท�ยดวย1หรออนกรมของ1

เปนเศษสวนชวย(AuxiliaryFractions=A.F.)

ขอเศษสวนทมตวสวน

ลงท�ยดวย1(F)

ก�รลดค�ตวสวน

และลดค�ตวเศษลง1

เศษสวนชวย

(A.F.)

1

2

3

4

5

6

7

8

261

27437001

7616001

61638001

61628000

50700001

497000000

7516000

0.07516

6.1628

27427000

1721301

1711300

2.7427

0.0000497

1.7113

14131

7391

160

13130

7290

0.16

1.313

7.29


243



วธคด

ขนท1 เปลยน 1331

ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวน

และตวเศษลง1

พจารณาตวสวนมคาเทากบ 30 จงนำา 10 มาหารทงเศษ

และสวนไดเปน1.23

ขนท2 นำา3ไปหาร1ได0เหลอเศษ1

นำาเศษ1ทไดไปหอยดานหนาของเลข2

ขนท3 นำา3ไปหาร12ได4เศษ0


นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข4

1331

1230

1.12

3

1.12

3

1.23

0.

0.04

F A.F.

=

=

=


244

ขนท4 ทบเกาของ4คอ5เขยน5บนเลข4

นำา3ไปหาร05ได1เศษ2เขยน1



นำา3ไปหาร28ได9เศษ1





0.04

21

0.04

21

19

0.04

21

19

13

=

=

=

1.12

3

1.12

3

1.12

3

5

5

5

8

8 0


245







0.04

21

19

13

15

0.04

21

19

13

15

24...

=

=

1.12

3

1.12

3

5 0

5

8 6

8 60 4

จากการหารขางตน สรปไดวา 1.23


21

19

13

15

24...


≈0.04

21

19

13

15

24...

ตอบ0.419354...


246



สตำาแหนง

วธคด











91171

90170

9.90

17

9.90

17

9.017

0.

0.55

F A.F.

=

=

=


247










0.55

33

0.55

33

22

0.55

33

22

101

=

=

=

9.90

17

9.90

17

9.90

17

4

4

4

6

6 7


248




0.55

33

22

101

66=9.

90

17

4 76 8



33

22

101

66...


≈0.5322

ตอบ0.5322


249



หาตำาแหนง

วธคด


ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวนและตวเศษลง1

พจารณาตวสวนมคาเทากบ 700 จงนำา 100 มาหารทงเศษและสวนไดเปน1.30

17



ขอสงเกต 1.30ไมตดเลข0ออกเพราะตองนำาไปดำาเนนการหาคำาตอบ

ขนท3 นำา7ไปหาร13ได1เศษ6 เขยน1เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1 นำาเศษทเหลอคอ6ไปเขยนหอยไวดานหนาของ0จะได

60

131701

130700

1.1307

1.307

0.

0.1

F A.F.

=

=

=1.13

60

7


250

ขอสงเกต ขนตอนนจะนำาเศษไปหอยไวดานหนาตวเลขของคำาตอบ

ตำาแหนงท1เพราะไมมตวเลขทตวตงใหหอยแลว

ขนท4 นำา7ไปหาร60หรอ60ได8เศษ4

นำาเศษทเหลอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1จะได41







0.418

0.41

686

0.41

68

568

=

=

=

8

8 1

1.13

60

7

1.13

60

7

1.13

60

7


251







0.41

68

56

487

0.41

68

56

48

675

=

=

1.13

60

7

1.13

60

7

8 3

8

1

1 13



68

56

48

675...

ดงนนผลลพธของ131701

≈0.18688

ตอบ0.18688


252


ในรปทศนยม

วธคด






ขนท1 นำา1027

มาปรบปรงตวเศษและตวสวนเพอใหตวสวนลงทายดวย1

โดยคณ3ทงเศษและสวนจะได 3081



1027

10x327x3

3081

2.29

80.

F A.F.

=

= =

=

2980

3081

2.98


253









0.53

0.53

07

0.53

07

20

=

=

=

2.29

8

2.29

8

2.29

8

6

6 2


254

2.29

8

2.29

8

2.29

8










0.53

07

20

53

0.53

07

20

53

07

0.53

07

20

53

07

20

=

=

=

6 9

6

6

2

2

2

6

6 2

9

9


255

2.29

80.

53

07

20

53

07

20

53=

6 2 6 2 99






07

20

53

07

20

53...


=0.370

ตอบ0.370

หม�ยเหต:จากตวอยางนจะพบวาการดำาเนนการหารตอไปเรอยๆ

คำาตอบทไดจะเปนทศนยมซำา


256



วธคด








ขอสงเกต:ในกรณทตวเศษมคาเทากบ1เมอแปลงเปนเศษสวนชวย

แลวตวเศษจะมคาเทากบ0( 0a

=0เมอa≠0)เราสามารถดำาเนนการ

หาคำาตอบไดงายขนและคาทหารนนเปนคาโดยประมาณ

161

060

0.00

6

0.06

0.

F A.F.

=

=


257

ขนท3 00หารดวย6ได0เศษ0



นำา09หารดวย6ได1เศษ3





0.00

0.00

31

0.00

31

26

=

=

=

9

9 8

0.00

6

0.00

6

0.00

6


258

0.00

6

0.00

6







0.00

31

26

53

0.00

31

26

53

29

=

=

9 3

9

8

8 63



31

26

53

29...


≈0.01639...

ตอบ0.01639...


259



สามตำาแหนง

วธคด



มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวยโดยลดคาของ

ตวเศษและตวสวนลง1


และสวนไดเปน 2.03

5231

F A.F.

=

2131

2131

2030

2.03

= 1



0.=2.20

3


260









0.26

0.26

27

0.26

27

17

=

=

=

3

3 2

2.20

3

2.20

3

2.20

3


261

0.00

6




หาคำาตอบโดยนำาทศนยมทไดบวกกบจำานวนเตมในขนท1

จะได

0.26

27

17

04=

3 22

จากการหารขางตน สรปไดวา12.03


27

17

04


≈1.6774

ตอบ1.677

1.26

27

17

04...=2.0

31+


262


ในรปทศนยม

วธคด



มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวย

24371

F A.F.

=

3071

3071

2970

2.97

= 3



0.=2.29

7


263





นำาเศษ1ทไปหอยดานหนาของเลข2




0.14

0.14

12

0.14

12

32

=

=

=

5

5 7

2.29

7

2.29

7

2.29

7


264

2.29

7

2.29

7







หาคำาตอบโดยนำาทศนยมทไดบวกกบจำานวนเตมในขนท1

จะได

0.14

12

32

25

0.14

12

32

25

33

=

=

5

5

7

7 4

7

7

จากการหารขางตน สรปไดวา32.97


12

32

25

33...

ดงนนผลลพธของ24371

≈3.42253

ตอบ3.42253

3.14

12

32

25

33...=2.9

73+


265

ขอสงเกต 1. การแปลงเศษสวนเปนทศนยมโดยใชเศษสวนชวย(A.F.)เหมาะกบเศษสวนทมรปแบบตามเศษสวนชวยแบบท1และแบบท2หรอเศษสวนทสามารถใชการเพมหรอลดสดสวนเพอใหเกดเศษสวนชวยตามแบบท1และแบบท2เชน

37

= 3x77 x 7

= 2149

สามารถใชเศษสวนชวยรปแบบท1

หรอ 1627

= 16x327x3

= 4881

สามารถใชเศษสวนชวยรปแบบท2

2. กรณทเปนเศษเกนจะตองเปลยนใหอยในรปจำานวนคละกอน แลวนำาเฉพาะเศษสวนไปแปลงเปนทศนยมดวยวธเศษสวนชวย 3. การแปลงเศษสวนเปนทศนยมโดยใชเศษสวนชวยสามารถหาคำาตอบเปนทศนยมไมจำากดตำาแหนง ขนอยกบความตองการของ ผหาคำาตอบหรอคำาสงของโจทยบางครงสามารถหาจนเกดทศนยมซำา 4. การหาเศษสวนชวยแบบท2เมอใชหลกลดคาตวเศษและตวสวนลง1ถาตวเศษทลดลงลงทายดวย0,00,…หามตดทอนเปนเศษสวนอยางตำาและเมอลดสดสวนใหตวสวนเปนจำานวนเตมตวเศษไดจำานวนทศนยมทลงทายดวย0,00,…หามตด0,00,…ออกเชน727

= 7x327x3

= 2181

2080

= 2.

20

8=0.

42

75

29

42

75

29

42

75

29...

=0.259

5. การหารเศษสวนชวยแบบท2เมอถงขนทนำาเศษเหลอไปหอยไวหนาตวเลขทเปนคำาตอบ(เรมจากคำาตอบของทศนยมตำาแหนงท1) กอนนำาสวนทแปลงแลวไปหารตองเปลยนตวตงเปนจำานวนทบเกาทหลกหนวยของตวตงเดม

7 0 07 74 4 4


266




1. =

วธคด

ตอบ

2. =

วธคด

ตอบ

จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมหกตำ�แหนง)

7071

5391


267

3. =

วธคด

ตอบ

4. =

วธคด

ตอบ

5. =

วธคด

ตอบ

2121

16301

146001


268

6. =

วธคด

ตอบ

7. =

วธคด

ตอบ

8. =

วธคด

ตอบ

1677

4521

617


269

9. =

วธคด

ตอบ

10.=

วธคด

ตอบ

1131

52771


270




1.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.985915

2.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.582418

จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมหกตำ�แหนง)

6.69

7

5.52

9

6.97

5.29

=

=

= 0.69

48

65

19

31

35

64...

= 0.75

28

32

14

61

57

75...

≈0.985915

≈0.582418

7071

5391

7071

5391

7071

5391

6970

5290

4

0 0 8 4

7 8

4

5 21

1


271

3. =

วธคด

ดงนน

ตอบ0.016529

4.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.053156

0.01

12

0.01

15

3

0.112

0.153

=

=

= 0.10

71

66

35

102

118

39...

= 0.00

05

13

11

05

161...

≈0.016529

≈0.053156

2121

2121

1120

16301

16301

16301

2121

15300

9 3 74 18

9 6 484


272

5. =

วธคด

ดงนน

ตอบ0.002333

6. =

วธคด

ดงนน

ตอบ0.207792

4.47

23

0.00

01

13

6

4.723

48231

0.0136

== =

=

= 0.12

170

187

217

59

42

12

170

187

217

59

42...

= 0.10

10

12

53

2329...

≈0.207792207792...

≈0.002333

1677

1677

16x377x3

47230

146001

146001

146001

136000

1677

9 7 69

7 7 72 90 022 29 7


273

7. =

วธคด

ดงนน

ตอบ0.352941

8. =

วธคด

ดงนน

ตอบ2.142857

0.02

2

1.17

5

0.22

321

1.75

321

220

1851

=

=

=

= =

= 0.01

04

12

18

15

07

01

04

12

18

15

07

01

04...

= 0.23

15

42

29

04

01

31...

≈2.14285714285714...

≈0.352941

4521

4521

617

6x317x3

1750

617

617

6 7 50 84

8 2 27 54 411 75 8 8

2 2 2

2


274

9. =

วธคด

ดงนน

ตอบ7.422535

10.=

วธคด

ดงนน

ตอบ0.007634

2.29

7

0.00

13

2.97

0.013

3071

2970

1131

=

=

=

= 0.14

12

32

25

33

15

02...

= 0.00

90

87

46

43

73

115...

≈0.007634

≈ 7.422535

1131

52771

0130

52771

52771

1131

5

9

4

6

7

2

6

6

4

3

7

9

7 7 7


275

ภาคผนวกการหาร


277

การตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหาร

เทคนคทเกยวของกบการตรวจคำาตอบของการดำาเนน

การหาร มดงน

1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม

2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำ านวนนบ ดวย

การตดเลข9ออก

2.1 วงกลมเกาจด(Thenine–pointcircle)

2.2 การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบดวยการตดเลข9ออก

3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชในการตรวจคำาตอบ

ของการดำาเนนการหาร

1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม เลขโดดคอ1,2,3,4,5,6,7,8,9และ0และจำานวน10,

11,12,13,…,99เปนจำานวนทมเลขโดด2ตวเปนตน

ผลบวกเลขโดด(digitsum)ของจำานวนใดๆคอการนำาตวเลขโดด

ในจำานวนนนๆมาบวกกน

เชน

- ผลบวกเลขโดดของ25คอ7เพราะวา2+5=7

- ผลบวกเลขโดดของ53คอ8เพราะวา5+3=8

- ผลบวกเลขโดดของ231คอ6เพราะวา2+3+1=6


278

ผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆตองลดรปใหเปนตวเลขตวเดยวเสมอ

โดยการบวกเลขโดดทกตว ถาไดผลบวกเปนจำานวนทมตวเลขโดด 2 ตว

ตองหาผลบวกเลขโดดอกครงจนไดตวเลขตวเดยว

เชน

- ผลบวกเลขโดดของ19คอ1เพราะวา1+9=10แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ10คอ1+0=1

- ผลบวกเลขโดดของ58คอ4เพราะวา5+8=13แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ13ได1+3=4

- ผลบวกเลขโดดของ875คอ2เพราะวา8+7+5=20แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ20ได2+0=2


279

2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบ

ดวยการตดเลข 9 ออก

2.1 วงกลมเก�จด(Thenine-pointcircle)

จำานวนทมากกวาอยหนงของตวทมากอน หรอจำานวน

ทมากกวาอยหนงของตวทอยถดไป (By Onemore than the One

Before :EkadhikenaPurvena)คอจำานวนนบ เรมตนท1และเพม

ขนทละ1ไปเรอยๆ

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

17, 18, 19,20, 21, … ดงนน เมอพจารณาการนบไปเรอย ๆ พบวา

เกดระบบการครบรอบของสบคอ10,20,30,40,…เปนตนนำาไปสราง

บนวงกลมไดเกาจดโดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนอย

ดงน

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…

1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3,…

จากสมบตขางตนน นำาไปสรางวงกลมเกาจด โดยใชผลบวก

เลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนดงตอไปน


280

จำานวนนบ:เรมตนท1และเพมขนทละ1

ไปเรอยๆ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…

ดงนนเมอพจารณาการนบไปเรอยๆ

จะพบวาเกดระบบการครบรอบของสบคอ

10,20,30,40เปนตน

จากสมบตขางตนนนำาไปสรางวงกลมเกาจด

โดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยง

อนดบกนกจะได1,2,3,4,5,6,7,8,9

วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง

ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกดจด

บนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ

ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0

เปนแขนงของ9

101

2

3

46

7

8

9

5

1

2

3

4

6

7

8

9

5

12

3

4

56

7

8

90

10pointcircle

9pointcircle


281

วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง

ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกด

จดบนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ

ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0

เปนแขนงของ9,ใส10เปนแขนงของ1,

ใส11เปนแขนงของ2,ใส12เปนแขนง

ของ3,ใส13เปนแขนงของ4,ใส14

เปนแขนงของ5,ใส15เปนแขนงของ6,

ใส16เปนแขนงของ7,ใส17เปนแขนงของ8,

ใส18เปนแขนงของ9หรอ0,ใส19

เปนแขนงของ1ไปเรอยๆ

จากวงกลมเกาจดเมอใสจำานวนนบทตอเนอง

ลงไปตามเขมนาฬกาจะพบวาแตละแขนง

มผลบวกเลขโดดเทาๆกนเชน

แขนงผลบวกเลขโดดเทากบ3ไดแก

3,12,21,…เปนตน


1,10,19,28,…เปนตน


7,16,25,…เปนตน

9018

1

2

3

45

6

7

8

1019

11

12

1314

15

16

17


282

2.2 ก � ร ห � ผ ล บ ว ก เ ล ข โ ด ด ข อ ง จำ � น ว น น บ ด ว ย

ก�รตดเลข9ออก

ถานำาเลขโดด9ไปบวกกบเลขโดดใดๆ ไมมผลกบผลบวก

เลขโดดของจำานวนนนๆ

ดงนนในการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆมเทคนค

ในการตดเลขโดด9หรอผลบวกเลขโดดสองจำานวนเทากบ9ออกเชน

6,60,69,96,969ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ6

19,28,91,109,982ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ1

21,129,309,903ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ3

ขอสงเกต พจารณาเลข0บนวงกลมเกาจดควรจะอยตำาแหนงใด

บนวงกลมเกาจด

1. หากจะตองนบทวนเขมนาฬกาถอยหลงจากเลข 1

กจะได เลข 0 ดงนน เลข 0 ควรอยตรงตำาแหนง

เดยวกบเลข9

2. เลขโดด 9 และ 0 เมอนำาไปบวกกบเลขโดดใด ๆ

ไดผลบวกเปนเลขโดดนน จงสามารถตด 9 และ 0

ออกจากการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบใดๆได


283

ตวอยางท 1 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน1,996

วธคด

วธบวกปกต

ผลบวกเลขโดด1996คอ

1+9+9+6=25

2 + 5 = 7

ตอบ 7

ขนท1 นำา1บวก9บวก9บวก6เทากบ25

1+9+9+6=25

ขนท2 นำา2บวก5เทากบ7

2 + 5 = 7 วธตดเลข9ออกผลบวกเลขโดด1996คอ 1+9+9+6 1+6=7

ตอบ 7

ขนท1 ตดเลข9ออกเหลอ1กบ6 1+9+9+6 ขนท2 นำา1บวก6เทากบ7

1+6=7


284

ตวอยางท 2 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน396

วธคด



3+9+6=18

1+8=9หรอ0

ตอบ 9หรอ0

ขนท1 นำา3บวก9บวก6เทากบ18

3+9+6=18


1+8=9หรอ0

วธตดเลข9ออก


3+9+6

3+6=9


ขนท1 ตดเลข9ออกเหลอ3กบ6

3+9+6


3+6=9หรอ0


285

ตวอยางท 3 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน9,999

วธคด



9+9+9+9=36

3+6=9หรอ0


ขนท1 นำา9บวก9บวก9บวก9เทากบ36

9+9+9+9=36


3+6=9หรอ0

วธตดเลข9ออก


9 + 9 + 9 + 9

0 = 9


ขนท1 ตดเลข9ออก

9 + 9 + 9 + 9

ขนท2 ตดเลข9ออกหมดทกตวเหลอ0


286

3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชในการ

ตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหาร

วธการตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหารโดยใชผลบวกเลขโดด

ของจำานวนเตมมขนตอนดงน

ขนท1หาผลบวกเลขโดดของตวหารผลหารและเศษ

ขนท 2 นำาผลบวกเลขโดดของตวหารและผลหารมาคณกน

แลวนำาไปหาผลบวกของเลขโดด หลงจากนนนำาผลบวกเลขโดดทได

ไปหาผลบวกเลขโดดกบผลบวกเลขโดดเศษ

ขนท3หาผลบวกเลขโดดของตวตง

ขนท 4ตรวจสอบวาผลบวกเลขโดดจากขนท 2 และขนท 3

เทากนหรอไมถาเทากนแสดงวาคำาตอบทคดไวถกตอง


1. การตรวจสอบคำาตอบนำามาจากหลกการหาร

ตวตง=(ตวหารxผลหาร)+เศษ

2. การตรวจคำาตอบโดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม

ควรใชกบโจทยทตองการคำาตอบเปนเศษเหลอ


287

ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 87,639 ÷ 998 และตรวจคำาตอบทได

โดยใชผลบวกเลขโดด

วธคด

ขนตอนก�รห�ผลห�ร

ดงนน 87,639÷998=87เศษ813


ขนตอนก�รตรวจสอบคำ�ตอบ

ขนท1 ผลบวกเลขโดดตวหาร = 9+9+8 = 8 ผลบวกเลขโดดผลหาร = 8+7=15 = 6 ผลบวกเลขโดดเศษ = 8+1+3 = 3ขนท2 8x6 =48 หาผลบวกเลขโดด = 4+8=12 = 3 หาผลบวกเลขโดดกบ = 3+3=6 ผลบวกเลขโดดเศษขนท3 ผลบวกเลขโดดตวตง = 8+7+6+3+9 = 15 = 6ขนท4 พบวาผลบวกเลขโดดของขนท2และ3เทากน ดงนนคำาตอบทไดถกตอง

998 8 7 6 3 9

002 0 016

0 014

8 7 619

23 813


288

ขนตอนก�รห�ผลห�ร

ดงนน 3,466,721÷37=93,695เศษ6


ขนตอนก�รตรวจสอบคำ�ตอบ

63

21

42

63

35

37 3 476

46

77

82

41

13 25 35 19 6

9 3 6 9 5 r=6

ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 3466721 ÷ 37 และตรวจคำาตอบทได

โดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม

วธคด

ขนท1 ผลบวกเลขโดดตวหาร = 3+7=10 = 1 ผลบวกเลขโดดผลหาร = 9+3+6+9+5=5 ผลบวกเลขโดดเศษ = 6ขนท2 (1x5)=5 หาผลบวกเลขโดด = 5 หาผลบวกเลขโดดกบผลบวกเลขโดดเศษ= 5+6=11=2ขนท3 ผลบวกเลขโดดตวตง = 3+4+6+6+7+2+1 = 11 = 2ขนท4 พบวาผลบวกเลขโดดของขนท2และ3เทากน ดงนนคำาตอบทไดถกตอง


289

ศกดาบญโต. (2543). เวทคณต (VedicMathematics) :คณตคดลด

จ�กสตรพนฐ�น16สตร.กรงเทพฯ:ศลปการพมพ.

สำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา.(2554).แบบฝกเสรมสร�งทกษะ

กระบวนก�รคดสำ�หรบนกเรยนทมคว�มส�ม�รถพเศษ

ท�งคณตศ�สตรระดบประถมศกษ�เลมท6:เวทคณตมหศจรรย.

กรงเทพฯ:องคการคาของสกสค.ลาดพราว.

Puri,N.(1992).AncientVedicMathematics(2nded).Mathsof

Smiles.India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,Delhi.

. (1988). Ancient VedicMathematics.Mathematics

withSmile.India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,

Delhi.

Williams,R.K. (2009).VedicMathematicsTeacher’smanual.

Advanced Level (2nd ed.). United Kingdom :

InspirationBooks.

.(2009). Vedic Mathematics Teacher’s Manual.

Elementary Level (2nd ed.).United Kingdom :

InspirationBooks.

บรรณานกรม


291

ทปรกษา 1.นายบญรกษยอดเพชร เลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 2.นายสนทแยมเกษร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 3.นายพระรตนวจตร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 4.นายอมพรพนะสา รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 5.นางสาวนจสดาอภนนทาภรณผอำานวยการสำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

ผทรงคณวฒ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 5.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2

ผรบผดชอบโครงการกลมพฒน�กระบวนก�รเรยนรสำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ� 1.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 2.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 3.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา

คณะทำางาน


292

4.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 5.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 6.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 7.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ

คณะทำางานพฒนาและปรบปรงเอกสาร 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 5.นางสาวณภทรใจกลา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 6.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2 7.นางสาวเยาวภาศานตธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 8.นางสาวดรณวรรณพศทธภมเลศ ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 9.นายภทรวตฐซอตรง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต110.นางสาวประทมวนดอมไธสง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต611.นางสาวสาลนจงใจสรธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลงเขต1


293

12.นางสาวกจตมาสงหนา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร13.นางสาวปวรศาออนขำา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร14.นางสาวพรรณกาอนแปลง ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร15.นางสาวอรทยไพสาร ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร16.นางสาวธนยนนทอครชณหะวงศ ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร17.นายกตคณศลยานนท ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต118.นางประนอมทมพทกษ ครโรงเรยนอนบาลวดลกแกประชาชนทศ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต219.นายชาตรอนตะ ครโรงเรยนวดเขาสะพายแรง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต220.นางสาวอรทยธมา ครโรงเรยนวดทงสมอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต221.นางสาววรญญาเมตตาพล ครโรงเรยนวดดอนแสลบ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต222.นางสาวสจตรานาคนาร ครโรงเรยนวดเบญพาด สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต223.นายนฐกาญจนเฑยมเทวญญ ครโรงเรยนวดสระลงเรอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต224.นางสรลกษณสารกา ครโรงเรยนวดดอนชะเอม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2


294

25.นายกรวฒนภฆง ครโรงเรยนบานหนองปลง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต426.นายวรวฒสมบรณด ครโรงเรยนบานหนองแกประชาสรรค สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต427.นายภทรเจรญกล ครโรงเรยนอนบาลนครปฐม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครปฐมเขต128.นางสาวเพญพรทพยอโนทย ครโรงเรยนวดบานไร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต629.นายธรวทยจตตสวรรณ ครโรงเรยนอนบาลสมทรสาคร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสมทรสาคร30.นายมานะมาเสมอ ครโรงเรยนอนบาลดานชาง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต331.นายวชยพรสรโชคชย ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต132.นางศรวรรณเนตรสวาง ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต133.นางสาวฐารวณกตตโชตธนารตน ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต134.นายศรสษฐเชอทอง ครโรงเรยนวสทธรงษ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต835.นางสาวศรญญาจนดา ครโรงเรยนทามวงราษฎรบำารง สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต836.นายปยวทยเหลองระลก ครโรงเรยนเฉลมพระเกยรต สมเดจพระศรนครนทรกาญจนบร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต8 37.นางสาวกมลวรรณสงหาศร ครโรงเรยนบางสะพานวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต10

สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต6

9. นางสาวสาลนจงใจสรธรรม

ศกษานเทศก

สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลงเขต1

10. นางสาวกจตมาสงหนา

ครโรงเรยนวดพลบพลาชย

สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร

11. นางสาวปวรศาออนขำา



12. นางสาวพรรณกาอนแปลง



13. นางสาวอรทยไพสาร



14. นางสาวธนยนนทอครชณหะวงศ



15. นายกตคณศลยานนท

ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร


295

38.นางปรงอนทมาตร ครโรงเรยนสมทรสาครบรณะ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1039.นางสาวศรารตนอนทรประเสรฐ ครโรงเรยนศรทธาสมทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1040.นายเชาวฤทธภบวเพชร ครโรงเรยนสดาวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต31

คณะบรรณาธการกจ และจดทำาตนฉบบสมบรณ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 3.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 4.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา 5.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 6.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 7.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 8.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ


296

การหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารคดเลขเรวแบบเวทคณต การหาร

VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต

สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

academic.obec.go.thacademic.obec.go.th/images/news/1599793303_d_4.pdf · 2020. 9. 11. ·...

Documents

Transcript of academic.obec.go.thacademic.obec.go.th/images/news/1599793303_d_4.pdf · 2020. 9. 11. ·...