20110701_113159__1
of 140
-
Upload
rutkiskaccsa -
Category
Documents
-
view
87 -
download
0
description
mmm hmmmm hmm
Transcript of 20110701_113159__1
-
UNIVERZITA KONTANTNA FILOZOFA V NITRE
Marek Varga Lucia Zhumensk
Matematici vo
vetch a defincich
NITRA 2008
-
UNIVERZITA KONTANTNA FILOZOFA
V NITRE
FAKULTA PRRODNCH VIED KATEDRA MATEMATIKY
Marek Varga Lucia Zhumensk
Matematici vo vetch a defincich
NITRA 2008
-
- 7 -
Obsah
vod ..................................................................................................................... 10
1. Abelove kritrium ................................................................................................ 11
2. Abelova nerovnos .............................................................................................. 12
3. Abelova transformcia ......................................................................................... 12
4. Abelova veta ........................................................................................................ 13
5. Archimedova vlastnos prirodzench sel ......................................................... 15
6. Bernoulliho diferencilna rovnica ....................................................................... 16
7. Bernoulliho logaritmick derivovanie ................................................................. 16
8. Bernoulliho metda ............................................................................................. 17
9. Bernoulliho nerovnos ......................................................................................... 17
10. Binetov vzorec ..................................................................................................... 18
11. Bolzanova veta .................................................................................................... 20
12. Bolzanova Weierstrassova veta ........................................................................ 21
13. Buakovskho nerovnos .................................................................................... 23
14. Cantorov princp do seba zapadajcich intervalov .............................................. 24
15. Cauchyho Bolzanova podmienka konvergencie ............................................... 25
16. Cauchyho Buakovskho nerovnos ................................................................ 27
17. Cauchyho Hadamardov vzorec ......................................................................... 28
18. Cauchyho defincia limity funkcie ....................................................................... 31
19. Cauchyho integrlne kritrium ............................................................................ 32
20. Cauchyho kondenzan kritrium ....................................................................... 34
21. Cauchyho (AG) nerovnos .................................................................................. 35
22. Cauchyho odmocninov kritrium ...................................................................... 37
23. Cauchyho sin radov ......................................................................................... 38
24. Cauchyho veta ..................................................................................................... 39
25. Cauchyho veta o medzihodnote ........................................................................... 40
26. Cauchyho zaiaton podmienky ........................................................................ 41
27. ebyevova nerovnos ........................................................................................ 41
28. dAlembertove podielov kritrium .................................................................... 43
-
- 8 -
29. Darbouxove integrlne sty ............................................................................... 44
30. Darbouxova veta .................................................................................................. 44
31. Descartova sradnicov sstava .......................................................................... 45
32. Dirichletova funkcia ............................................................................................ 49
33. Dirichletove kritrium ......................................................................................... 49
34. Dirichletov princp .............................................................................................. 50
35. Eulerove slo ...................................................................................................... 50
36. Eulerova formula ................................................................................................. 51
37. Eulerova kontanta .............................................................................................. 53
38. Eulerova metda .................................................................................................. 54
39. Eulerov multipliktor ........................................................................................... 54
40. Eulerova substitcia ............................................................................................. 55
41. Fermatova veta ..................................................................................................... 55
42. Fibonacciho postupnos ....................................................................................... 56
43. Fubiniho veta ....................................................................................................... 57
44. Gaussov tvar komplexnho sla ......................................................................... 59
45. Gaussova Ostrogradskho veta ......................................................................... 59
46. Guldinove vety ..................................................................................................... 61
47. Hamiltonov nabla opertor .................................................................................. 63
48. Heineho Cantorova veta .................................................................................... 64
49. Heineho defincia limity funkcie ......................................................................... 65
50. lHospitalovo pravidlo ........................................................................................ 66
51. Hlderova nerovnos ........................................................................................... 69
52. Jacobiho determinant ........................................................................................... 71
53. Jensenova nerovnos ........................................................................................... 71
54. Jungova nerovnos .............................................................................................. 73
55. Lagrangeova funkcia ........................................................................................... 74
56. Lagrangeova metda varicie kontnt ............................................................... 74
57. Lagrangeova veta o strednej hodnote .................................................................. 78
58. Laplaceov integrl ............................................................................................... 79
59. Laplaceov opertor .............................................................................................. 80
60. Laplaceova rovnica .............................................................................................. 80
61. Leibnizov rad ....................................................................................................... 80
-
- 9 -
62. Leibnizove kritrium ........................................................................................... 81
63. Leibnizov vzorec ................................................................................................. 82
64. Liouvilleov vzorec ............................................................................................... 83
65. Lipschitzova podmienka ...................................................................................... 85
66. Minkowskho nerovnos ..................................................................................... 86
67. Moivreova veta .................................................................................................... 88
68. Newtonov integrl ............................................................................................... 88
69. Newtonova Leibnizova formula ....................................................................... 89
70. Newtonova binomick formula ........................................................................... 90
71. Newtonove pravidlo ............................................................................................. 91
72. Oresmeho vzorec ................................................................................................. 91
73. Ostrogradskho metda ....................................................................................... 92
74. Pascalov trojuholnk ............................................................................................ 93
75. Poissonov integrl ............................................................................................... 94
76. Raabeho kritrium ............................................................................................... 95
77. Riemannova funkcia ............................................................................................ 97
78. Riemannov integrl ............................................................................................. 97
79. Riemannov rad .................................................................................................... 98
80. Riemannova veta ................................................................................................. 99
81. Rolleova veta ....................................................................................................... 102
82. Schwarzova veta .................................................................................................. 103
83. Stirlingov vzorec .................................................................................................. 105
84. Stokesova veta ..................................................................................................... 108
85. Taylorov rad ........................................................................................................ 110
86. Taylorova veta ..................................................................................................... 110
87. Weierstrassove kritrium rovnomernej konvergencie ......................................... 113
88. Weierstarssova veta o maxime a minime ............................................................ 114
89. Weierstrassova veta o ohranienosti ................................................................... 115
90. Wronskho determinant ...................................................................................... 116
Literatra ............................................................................................................. 117
Prloha.................................................................................................................. 118
-
- 10 -
vod
Niet v ivote ni krajieho ako predna a tudova matematiku.
S. D. Poisson
Tto publikcia je uren predovetkm tudentom akademickch predmetov v aprobcii
s matematikou na Katedre matematiky FPV UKF. Obsahuje dleit vety (Abelova,
Cauchyho, Lagrangeova...), vzorce (Cauchy Hadamardov, Leibnizov, Newtonov...), i
nerovnosti (Bernoulliho, Buakovskho, Jensonova...), s ktormi sa itate me stretn
na skkach z matematickej analzy poas prvch piatich semestrov tdia.
Kee naa kniha m by predovetkm pomckou na teoretick as skky, obsahuje
aj dkazy vetkch uvedench zvanch tvrden. Navye obsahuje aj defincie rznych
pojmov spojench s menami matematikov (Bernoulliho diferencilna rovnica, Eulerov
multipliktor, Riemannov integrl, Ostrogradskho metda, Taylorov rad...), ktor s tie
neodluitene spojen s prednkami z matematickej analzy.
Obzvl zrejme poteme tudentov aprobcie matematika fyzika, ktor tu njdu
mnoh rovnice znme z matematickej fyziky (Gauss Ostrogradskho veta, Laplaceova
rovnica, Stirlingov vzorec...).
Ako itate isto postrehol, vetky hesl uveden v tejto publikcii s spojen s menom
niektorho z matematickch veliknov. Preto zveren as tvor prloha obsahujca
krtke medailny tu spomenutch matematikov.
Napokon si dovoujeme poakova recenzentom tejto publikcie prof. RNDr. Jozefovi
Fulierovi, CSc. a prof. RNDr. Zoltnovi Zalabaiovi, CSc. za ich cenn pripomienky na
vylepenie naej prce.
Autori
-
- 11 -
1. Abelove kritrium
Veta (Abelove kritrium):
Nech postupnos { } 1n na = je monotnna a ohranien, nech seln rad 1
nn
b
=
konverguje.
Potom je konvergentn aj rad 1
n nn
a b
= .
Dkaz.
Z ohranienosti postupnosti { } 1n na = vyplva, e existuje tak slo M > 0, e pre kad nN plat an M.
Nech > 0. Z konvergencie radu 1
nn
b
= vyplva, e existuje tak prirodzen slo s,
e pre vetky n > s, nN, a pre kad pN0 plat 0 3
p
n kk
bM+=
-
- 12 -
2. Abelova nerovnos
Veta (Abelova nerovnos):
Nech pre relne sla ai plat 1i ia a + (resp. 1i ia a + ) pre kad i = 1, 2, ..., n 1. Nech 1 2 nb b b B+ + + , kde i = 1, 2, ..., n.
Potom ( )11
2n
i i ni
a b B a a=
+ . Dkaz.
Z nerovnost, ktor platia pre dan relne sla ai vyplva, e kad rozdiel ai ai + 1
(i = 1, 2, ..., n 1) m rovnak znamienko. Vyuitm Abelovej transformcie dostvame:
1 1
1 11 1 1
n n n
i i i i i n n i i ni i i
a b a a B a B B a a a
+ += = =
+ + = ( )1 1 2n n nB a a a B a a = + + .
3. Abelova transformcia
Veta (Abelova transformcia):
Nech 1 1 2 2 n nS a b a b a b= + + + , kde ai, biR (i = 1, 2, ..., n). Nech
1 2j jB b b b= + + + , kde j = 1, 2, ..., n. Potom plat ( )1 11 1
n n
i i i i i n ni i
a b a a B a B
+= =
= + . Dkaz.
Ozname 1 1 2 2 n nS a b a b a b= + + + , kde ai, biR (i = 1, 2, ..., n). Kee plat 1 1B b= , 2 1 2B b b= + , ..., 1 2n nB b b b= + + + , zrejme plat aj 1 1b B= ,
2 2 1b B B= , ..., 1n n nb B B = . Dosadenm do stu S dostvame: ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n nS a B a B B a B B = + + + .
-
- 13 -
Po roznsoben a usporiadan zskavame:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 2 1 1n n n n nS a a B a a B a a B a B = + + + + , resp. ( )1 1
1 1
n n
i i i i i n ni i
a b a a B a B
+= =
= + . Poznmka.
Abelova transformcia je istou analgiou integrovaniu metdou per partes. Tto analgiu
si vimneme ete viac, ak uveden transformciu zapeme v tvare
( ) ( ) ( )11 1 1 12 1
n n
i i i n n i i ii i
a B B a B a B a a B
+= =
= .
4. Abelova veta
Veta (Abelova):
Nech je dan potenn rad 1
nn
na x
= .
(i) Ak rad 1
nn
na x
= konverguje v bode R, potom absoltne konverguje
v kadom bode intervalu ( ; ).
(ii) Ak rad 1
nn
na x
= diverguje v bode R, potom diverguje v kadom bode
intervalu ( ; )(; ). Dkaz.
(i) Nech rad 1
nn
na
= konverguje, nech x( ; ). Mme ukza, e potom
rad 1
nn
na x
= absoltne konverguje.
-
- 14 -
Kee rad 1
nn
na
= je konvergentn, z nutnej podmienky konvergencie vyplva, e
lim 0nnna = .
To znamen, e postupnos { }1
nn n
a= je konvergentn, a preto je ohranien, tj.
existuje tak slo KR, e pre vetky nN plat: nna K < .
alej dostvame nn
n nn n n
x xa x a K= < .
Rad 1
n
n
xK
= je geometrick rad s kvocientom 1xq =
-
- 15 -
(i) M = {0}, tj. obor konvergencie je jednoprvkov mnoina; (ii) M = ( ; ), R, tj. obor konvergencie je interval; (iii) M = R, tj. potenn rad konverguje v kadom relnom sle.
5. Archimedova vlastnos prirodzench sel
Veta (Archimedova vlastnos prirodzench sel):
Nech aR. Potom existuje tak prirodzen slo n, pre ktor plat n > a. Dkaz.
Tvrdenie dokeme sporom. Predpokladajme, e veta neplat tj. existuje tak relne
slo a, e pre vetky prirodzen sla n plat n a. To znamen, e mnoina N je zhora ohranien. Kad neprzdna podmnoina relnych
sel (zrejme N , NR), ktor je zhora ohranien, m suprmum. Ozname = sup N. * Zrejme plat 1 < . Potom ale z druhej vlastnosti suprma mnoiny vyplva, e existuje tak n0N, pre ktor plat n0 > 1, resp. n0 + 1 > . Z defincie prirodzench sel vak vyplva, e n0 + 1 = n1N. Kee n1 > , dostvame spor s prvou vlastnosou suprma mnoiny.
N predpoklad bol nesprvny, tj. plat dan veta.
Poznmka.
Archimedova vlastnos prirodzench sel sa niekedy uvdza vo veobecnejej verzii:
Veta:
Nech aR+, bR. Potom existuje tak prirodzen slo n, e plat na > b.
* Nech M je neprzdna podmnoina mnoiny relnych sel, ktor je zhora ohranien. slo S
nazvame suprmum mnoiny M, peme S = sup M, ak:
(1) pre kad prvok xM plat x S, (2) pre kad relne slo s < S existuje tak prvok xM, e plat x > s.
-
- 16 -
6. Bernoulliho diferencilna rovnica
Defincia:
Nech funkcie p(x), q(x) s definovan na intervale J, priom pre kad xJ plat q(x) 0. Nech 0, 1. Potom diferencilnu rovnicu tvaru ( ) ( )y p x y q x y + = nazvame Bernoulliho diferencilnou rovnicou.
Poznmka.
Bernoulliho diferencilnu rovnicu rieime tak, e ju substitciou 1z y = prevedieme na linernu diferencilnu rovnicu.
Rieenie linernej diferencilnej rovnice prvho rdu Bernoulliho, Eulerovou i
Lagrangeovou metdou sme popsali na inch miestach.
7. Bernoulliho logaritmick derivovanie
Veta (Bernoulliho logaritmick derivovanie):
Nech funkcie , g s diferencovaten na nejakej mnoine D, nech (x) > 0. Potom
pre vetky xD plat: lng g ff f g f gf = + .
Dkaz.
Hoci dkaz meme urobi prepisom na exponencilnu funkciu ( )lng g ff e= a nslednm derivovanm zloenej funkcie, ukeme, ako postupoval pri rieen tohto
problmu pn Bernoulli.
Ozname gy f= . Potom zrejme plat ln lny g f= . Derivovanm tejto rovnosti
dostvame 1 ln fy g f gy f
= + .
Odtia u mme ln fy y g f gf = + , resp. ln
g g ff f g f gf = + .
-
- 17 -
8. Bernoulliho metda
Bernoulliho metdu vyuvame na vpoet linernej diferencilnej rovnice prvho rdu
( ) ( )y p x y q x + = . Hadajme rieenie v tvare ( ) ( )y u x v x= , kde u, v s nejak funkcie. Potom zrejme y u v uv = + . Po dosaden do danej diferencilnej rovnice dostvame
( ) ( ) ( )u v uv p x uv u v u v p x v q x + + = + + = . iadame, aby platilo
( ) 0v p x v + = a sasne ( )u v q x = . Rieeniami tchto diferencilnych rovnc s funkcie
( )p x dxv e= , resp. ( ) ( )p x dxu q x e dx c= + . Odtia pre hadan funkciu y plat
( ) ( ) ( )p x dx p x dxy e q x e dx c = + , kde cR.
9. Bernoulliho nerovnos
Veta (Bernoulliho nerovnos):
Nech nN, nech h > 1. Potom plat ( )1 1nh nh+ + . Dkaz.
Tvrdenie dokeme matematickou indukciou.
1 Nech n = 1. ( ) hhh ++=+ 1111 1 .
-
- 18 -
2 Predpokladajme, e nerovnos plat pre n = k, dokme jej platnos aj pre n = k + 1.
Potajme:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 1 1 1 1 1k kh h h kh h k h kh k h++ = + + + + = + + + + + .
10. Binetov vzorec
Veta (Binetov vzorec):
Pre n - t len Fibonacciho postupnosti { } 1n nF = plat 1 5 1 51
5 2 2
n n
nF + =
.
Dkaz.
Najskr poznamenajme, e rekurentn vyjadrenie lenov Fibonacciho postupnosti m
tvar F1 = 1, F2 = 1, 2 1n n nF F F = + , kde nN. Tvrdenie dokeme pomocou matematickej indukcie.
1 Nech n = 1. Z Binetovho vzorca dostvame F1 = 1.
2 Nech vzorec plat pre kad prirodzen slo n tak, e 2 < n k. Potom zrejme pre n = k 1, resp. pre n = k plat
+=
11
1 251
251
51
kk
kF , resp.
+=
kk
kF 251
251
51 .
Overme, i potom plat 2 1n n nF F F = + , tj. 11 + =+ kkk FFF . Potajme:
=
++
+=+
kkkk
kk FF 251
251
51
251
251
51
11
1
-
- 19 -
=
++
+=
kkkk
251
251
251
251
51
11
=
+
++
+=
2511
251
2511
251
51
11 kk
=
+
+=
253
251
253
251
51
11 kk
=
+
+=
4526
251
4526
251
51
11 kk
=
+
+=
2121
253
251
253
251
51
kk
1
11
251
251
51 +
++=
+= k
kk
F .
Poznmka.
Ukeme, ako njs veobecn len Fibonacciho postupnosti { } 1n nF = , ak poznme jej rekurentn vyjadrenie F1 = 1, F2 = 1, 2 1n n nF F F = + , kde nN. Predpokladajme, e uvedenmu rekurentnmu vzahu vyhovuje nejak geometrick
postupnos { }=1nnq , kde qR. Polome nn qF = , z rekurentnho vzorca dostaneme rovnicu q2 q 1 = 0. Jej rieeniami s sla
251
1+=q ,
251
2=q .
Rekurentnmu vzorcu 2 1n n nF F F = + teda vyhovuj jednak obe postupnosti
{ }=11 nnq , { }=12 nnq , jednak ich ubovon linerna kombincia { }=+ 121 nnn qq . Relne sla , vak vyberieme tak, aby boli splnen zaiaton podmienky, tj. F1 = 21 qq + = 1 a sasne F2 = 2221 qq + = 1.
-
- 20 -
Rieenm tejto sstavy dostvame 5
1= , 5
1= . Potom pre veobecn len
Fibonacciho postupnosti { } 1n nF = plat
+=
nn
nF 251
251
51 .
11. Bolzanova veta
Veta (Bolzanova):
Nech funkcia je spojit na intervale a; b, nech plat (a).(b) < 0. Potom existuje aspo jedno slo (a; b), pre ktor plat () = 0. Dkaz.
Nech funkcia je spojit na intervale a; b, nech plat (a) > 0, (b) < 0. Ozname M = {xa; b; (x) > 0}, = sup M. Kee (a) > 0, funkcia je kladn na nejakom pravom okol bodu a, podobne, kee (b) < 0, funkcia je zporn na nejakom avom okol bodu b. Odtia a z defincie sla vyplva, e (a; b). Predpokladajme, e () > 0. Potom by existovalo tak okolie V(), e pre vetky xV() plat: (x) > 0. To znamen, e existuje tak slo V(), > , pre ktor plat () > 0. Tm dostvame spor s definciou sla . Analogicky vylime monos () < 0. Z predpokladov vety teda vyplva, e mus plati () = 0. Poznmka.
Geometrick interpretcia:
Ak funkcia spa predpoklady Bolzanovej vety, potom v intervale (a; b) le aspo jedno slo , v ktorom funkcia pretna os ox (obrzok 1).
-
- 21 -
Obrzok 1. Bolzanova veta.
12. Bolzanova - Weierstrassova veta
Veta (Bolzanova - Weierstrassova):
Z kadej ohranienej postupnosti mono vybra konvergentn podpostupnos.
Dkaz.
Nech je dan postupnos { } 1n nx = . Uvaujme nasledovn dve monosti: (1) Obor hodnt postupnosti { } 1n nx = je konen mnoina. Ak je obor hodnt postupnosti { } 1n nx = konen mnoina, nejak len sa v nej nachdza nekonene vea krt. Z danej postupnosti meme teda vybra kontantn
podpostupnos { } 1n= , ktor je konvergentn. (2) Obor hodnt postupnosti { } 1n nx = je nekonen mnoina. Postupnos { } 1n nx = je ohranien, tj. nech pre vetky nN plat: na x b . Interval a; b, ktor obsahuje nekonene vea lenov postupnosti { } 1n nx = rozdeme na dve
(b)
(a)
ba
y = (x)
x
y
-
- 22 -
polovice. Aspo jeden z intervalov ;2
a ba + , ;2
a b b+ obsahuje nekonene vea
lenov postupnosti { } 1n nx = (ak by oba obsahovali konen poet lenov, obor hodnt postupnosti { } 1n nx = by bola konen mnoina), ozname ho 1 1;a b . Interval 1 1;a b op rozdeme na dve polovice. Analogicky aspo jeden z intervalov
1 11; 2
a ba + , 1 1 1;2a b b+ obsahuje nekonene vea lenov postupnosti { } 1n nx = ,
ozname ho 2 2;a b .
Pokraujc v tomto procese po k krokoch dostaneme interval ;k ka b , ktor obsahuje
nekonene vea lenov postupnosti { } 1n nx = . Pre takto vytvoren systm intervalov plat 1 1; ;k k k ka b a b+ + (k = 1, 2, ...),
a sasne ( )lim lim 02k k kk k
b ab a = = . Z Cantorovho princpu do seba zapadajcich
intervalov potom vyplva, e plat lim limk kk ka b = = .
Vytvorme teraz podpostupnos { } 1kn nx = . Za len 1nx zoberme ubovon len postupnosti { } 1n nx = z intervalu 1 1;a b . Za len 2nx zoberme ubovon len postupnosti { } 1n nx = z intervalu 2 2;a b , pre ktor plat n2 > n1. Analogicky za len
knx zoberme ubovon len postupnosti { } 1n nx = z intervalu ;k ka b , pre ktor plat nk > nk 1.
Kee pre kad kN plat kk n ka x b a sasne lim limk kk ka b = = , z vety
o limite zovretej postupnosti dostvame limknk
x = (tj. nali sme konvergentn
podpostupnos postupnosti { } 1n nx = ). Poznmka.
Ekvivalentn formulcia Bolzanovej - Weierstrassovej vety je nasledovn:
-
- 23 -
Veta:
Kad nekonen ohranien podmnoina relnych sel m aspo jeden hromadn bod.*
13. Buakovskho nerovnos
Veta (Buakovskho nerovnos):
Nech funkcie , g s integrovaten na intervale a; b.
Potom plat: ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx .
Dkaz.
Kee funkcie , g s integrovaten na intervale a; b, funkcia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),z x y f x g y f y g x= je integrovaten na intervale a; ba; b.
Zrejme plat z2(x, y) 0, odkia vyplva, e ( )2 , 0b ba a
z x y dx dy . Potajme:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ,b b b ba a a a
z x y dx dy f x g y f y g x dx dy= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22b b b b b ba a a a a a
f x dx g y dy f x g x dx f y g y dy f y dy g x dx= + =
( ) ( ) ( ) ( )2
2 22 0b b b
a a a
f x dx g x dx f x g x dx = .
Z poslednej nerovnosti u ahko dostaneme Buakovskho nerovnos.
Poznmka.
Buakovskho nerovnos ja pecilnym prpadom Hlderovej nerovnosti pre p = q = 2.
* Nech aM, M , MR. Hovorme, e bod a je hromadnm bodom mnoiny M, ak v kadom jeho okol existuje nekonene vea bodov mnoiny M od neho rznych.
-
- 24 -
14. Cantorov princp do seba zapadajcich intervalov
Veta (Cantorov princp do seba zapadajcich intervalov):
Nech je dan postupnos uzavretch intervalov { } 1;n n na b = , pre ktor plat: (i) 1 1; ;n n n na b a b+ + pre vetky nN; (ii) ( )lim 0n nn b a = . Potom existuje jedin slo , ktor patr do kadho intervalu ;n na b ; navye plat lim limn nn n
a b = = . Dkaz.
1 Dkaz existencie sla Z predpokladov vety vyplva, e postupnos { } 1n na = je neklesajca a zhora ohranien (naprklad slom b1), tj. konvergentn. Navye plat lim supn nn
a a = .
Analogicky dostvame, e postupnos { } 1n nb = je nerastca a zdola ohranien (naprklad slom a1), tj. konvergentn. Navye plat lim infn nn
b b = . Z podmienky (ii) mme:
( )0 lim lim lim inf supn n n n n nn n nb a b a b a = = = , tj. inf supn nb a= = . Z vlastnosti infima (resp. suprma) vyplva, e pre kad nN plat n na b , tj. slo le v kadom intervale ;n na b .
2 Dkaz jednoznanosti sla Nech existuje slo 1 , ktor le v kadom intervale ;n na b . Potom ale plat
1 0n nb a > , tj. ( )lim 0n nn b a . Tm dostvame spor.
-
- 25 -
15. Cauchyho-Bolzanova podmienka konvergencie
Veta (Cauchyho - Bolzanova podmienka konvergencie):
Postupnos { } 1n na = je konvergentn prve vtedy, ke pre kad > 0 existuje tak slo n0N, e pre vetky n, m > n0, n, mN, plat n ma a < . Dkaz.
Kee ide o ekvivalenciu, dkaz musme uskutoni v oboch smeroch.
) Predpokladajme najskr, e postupnos { } 1n na = je konvergentn, ozname lim nn
a a = . Potom pre kad > 0 existuje tak slo n0N, e pre vetky n, m > n0,
n, mN, plat 2n
a a < a sasne 2m
a a < .
Potajme: ( ) ( )2 2n m n m n m
a a a a a a a a a a = + + < + = , tj. Cauchyho - Bolzanova podmienka je splnen.
) Predpokladajme, e postupnos { } 1n na = spa Cauchyho - Bolzanovu podmienku konvergencie. Zvome = 1, m = n0. Potom meme psa, e pre kad nN, n > n0 plat
01n na a < , tj. ( )0 01; 1n n na a a + .
Odtia vyplva, e postupnos { } 1n na = je ohranien. To znamen, e z nej meme vybra konvergentn podpostupnos { } 1nk na = . Ak ozname lim nkna a= , potom
0 01; 1n n na a a + .
Potajme: ( ) ( )lim lim lim lim 0n n n nn n k k n k kn n n na a a a a a a a a a = + + = . Odtia vyplva, e ( )lim 0nn a a = , resp. lim nn a a = . Postupnos { } 1n na = je teda konvergentn.
-
- 26 -
Poznmka.
1 Kee pojem limity postupnosti je vemi zko spojen s existenciou stu nekonenho selnho radu, doplnme aj Cauchyho - Bolzanovu podmienku
konvergencie selnch radov:
Veta:
seln rad 1
nn
a
= je konvergentn prve vtedy, ke pre kad > 0 existuje tak
prirodzen slo n0, e pre kad n > n0, nN, a pre kad pN plat 1 2n n n pa a a+ + ++ + + < .
Dkaz len nazname. seln rad je konvergentn (resp. m set), ak konverguje jeho
postupnos iastonch stov { } 1n ns = , pre ktorej leny plat 1 2n ns a a a= + + + . Pre vraz v absoltnej hodnote zrejme plat 1 2n n n p n p na a a s s+ + + ++ + + = , tj.
uveden podmienka zabezpeuje konvergenciu postupnosti { } 1n ns = (prirodzen slo n + p zrejme hr lohu sla m z pvodnej vety).
2 S pojmom limity je zviazan tie rovnomern konvergencia funkcionlnych postupnost. V tomto prpade m Cauchyho - Bolzanova podmienka nasledovn tvar:
Veta:
Postupnos funkci ( ){ } 1n nf x = je rovnomerne konvergentn na intervale J vtedy a len vtedy, ak pre kad > 0 existuje tak prirodzen slo n0, e pre kad n, m > n0, n, mN, a pre kad prvok xJ plat ( ) ( )n mf x f x < . Nazname dkaz. Nech najskr postupnos ( ){ } 1n nf x = rovnomerne konverguje na intervale J k funkcii ( )f x , tj. pre kad > 0 existuje tak n0N, e pre kad n, m > n0 a pre kad xJ plat ( ) ( )
2nf x f x < , ( ) ( )
2mf x f x < . Potom
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m n m n mf x f x f x f x f x f x f x f x f x f x = + + < .
-
- 27 -
Naopak, nech pre kad > 0 existuje tak n0N, e pre kad n, m > n0 plat ( ) ( )
2n mf x f x < , nech xJ je pevn. To znamen, e seln postupnos
( ){ } 1m nf x = konverguje, ozname ( ) ( )lim mm f x f x = . Potom ( ) ( ) ( ) ( )lim
2n m nmf x f x f x f x
= < , tj. ( ){ } 1n nf x = rovnomerne konverguje.
16. Cauchyho - Buakovskho nerovnos
Veta (Cauchyho - Buakovskho nerovnos):
Nech 1
m
nn
a= ,
1
m
nn
b= s konen rady s nezpornmi lenmi.
Potom plat: 2
2 2
1 1 1
m m m
n n n nn n n
a b a b= = =
. Dkaz.
Pre kad n = 1, 2, ..., m a pre kad xR zrejme plat ( )2 0n na x b+ . Stanm tchto m nerovnost dostvame
( )2 2 2 21 1 1 1
2 0m m m m
n n n n n nn n n n
a x b a x a b x b= = = =
+ = + + . Diskriminant tejto kvadratickej nerovnice mus by nekladn, tj. plat
22 2
1 1 14 4 0
m m m
n n n nn n n
a b a b= = =
, odtia u dostvame 2
2 2
1 1 1
m m m
n n n nn n n
a b a b= = =
. Poznmka.
Cauchyho - Buakovskho nerovnos ja pecilnym prpadom Hlderovej nerovnosti pre
p = q = 2.
-
- 28 -
17. Cauchyho - Hadamardov vzorec
Veta (Cauchyho - Hadamardov vzorec):
Nech je dan potenn rad 1
nn
na x
= . Ozname limsup n n
nL a
= resp.
1limsup nn n
aLa+
= .
Potom pre polomer konvergencie R potennho radu 1
nn
na x
= plat 1R L=
(ak L > 0), resp. R = (ak L = 0), resp. R = 0 (ak L = ). Dkaz.
Ozname limsup n nn
L a
= .
1 Uvaujme najskr monos L = 0. Zoberme ubovon slo x 0, a slo tak, aby platilo 0 < < 1. Z prvej vlastnosti limsup n n
na
* vyplva, e existuje tak prirodzen slo n1, e pre vetky n > n1,
nN, plat n na x< . Odtia dostvame n nna x < .
Rad 1
n
n
= je konvergentn geometrick rad. Z porovnvacieho kritria potom vyplva,
e rad 1
nn
na x
= je absoltne konvergentn pre zvolen x. Kee slo x bolo
ubovon, pre polomer konvergencie radu 1
nn
na x
= plat R = .
* Nech je dan postupnos { } 1n na = . Nech > 0. Potom limsup n
nL a
= prve vtedy, ke:
(1) existuje tak prirodzen slo n1, e pre vetky n > n1, nN, plat na L< + ; (2) pre kad n0N existuje tak prirodzen slo m, m > n0, e plat ma L> .
-
- 29 -
2 Nech plat L = . Potom mus existova postupnos { } 1k kn = , pre ktor plat lim k kn nn a = . To znamen, e pre kad x 0 existuje tak prirodzen slo k1, e pre vetky k > k1, kN, plat 1k
kn
na x , resp. 1k
k
nna x .
Z poslednej nerovnosti vyplva, e rad 1
nn
na x
= neme spa nutn podmienku
konvergencie ( lim 0nnna x = ). Rad 1
nn
na x
= teda diverguje v ubovonom relnom
sle x, tj. pre jeho polomer konvergencie plat R = 0.
3 Nech 0 < L < . Nech relne slo x je tak, e plat 1x
L< . Zoberme > 0 tak, aby platilo
1xL
< + . Definujme slo ( )q L x= + , tj. q < 1. Op z vlastnosti limsup n n
na
vyplva, e existuje tak prirodzen slo n1, e pre
vetky n > n1, nN, plat n na L< + . Pre n > n1 potom plat:
( )n nx a x L q< + = , resp. n nna x q< , kde 0 < q < 1. Rad
1
n
nq
= je konvergentn geometrick rad. Z porovnvacieho kritria potom vyplva,
e rad 1
nn
na x
= je absoltne konvergentn pre zvolen x.
Zvome teraz relne slo x tak, aby platilo 1xL
> . Vyberme > 0 tak, aby platilo
1 0xL
> > , tj. ( ) 1L x > .
-
- 30 -
Z vlastnosti limsup n nn
a
vyplva, e existuje tak postupnos { } 1k kn = , e plat k
kn
na L> . Odtia dostvame ( )k kn na x L> , resp. 1kk nna x > . Z poslednej nerovnosti vyplva, e rad
1
nn
na x
= nespa nutn podmienku
konvergencie, tj. v zvolenom relnom sle x diverguje.
Zver: Nech xR. Rad 1
nn
na x
= konverguje v kadom relnom sle, pre ktor plat
1xL
< a sasne diverguje v kadom relnom sle, pre ktor plat 1xL
> . To
znamen, e pre jeho polomer konvergencie dostvame 1RL
= . Poznmka.
Pri vpotoch asto pouvame Cauchyho - Hadamardov vzorec v limitnom tvare, tj:
Veta:
Nech je dan potenn rad 1
nn
na x
= . Nech existuj limity 1lim n
n n
aLa+
= resp.
lim n nnL a= .
Potom pre polomer konvergencie R potennho radu 1
nn
na x
= plat 1R L= (ak L >
0), resp. R = (ak L = 0), resp. R = 0 (ak L = ). Nazname dkaz. Potajme:
11 1 1lim lim lim
nn n n
nn n nn nn
u a x ax L xu aa x
++ + + = = = .
Z dAlembertovho kritria konvergencie vyplva, e rad 1
nn
na x
= konverguje v kadom
relnom sle x, pre ktor plat 1xL
< a diverguje v kadom relnom sle x, pre
-
- 31 -
ktor plat 1xL
> . To znamen, e oborom konvergencie je interval 1 1;L L
, tj.
pre polomer konvergencie plat 1RL
= .
18. Cauchyho defincia limity funkcie
Defincia:
Nech aR{ } je hromadn bod defininho oboru D() funkcie . Hovorme, e slo L je limitou funkcie v bode a, peme ( )lim
x af x L = , ak pre kad okolie
U(L) bodu L existuje tak okolie ( )V aD * bodu a, e pre vetky x ( )V aD plat, e (x)U(L). Poznmka.
Cauchyho definciu limity meme prepsa pomocou tzv. - symboliky (okolie bodu je toti dan jeho polomerom):
Nech aR{ } je hromadn bod defininho oboru D() funkcie . Hovorme, e slo L je limitou funkcie v bode a, peme ( )lim
x af x L = , ak pre kad > 0
existuje > 0, e pre vetky xD() plat: ak x a < , potom (x) L < . Ak by sme uvaovali len o pravom resp. avom okol bodu a, tj. ( ) ( );V a a a+ = + resp. ( ) ( );V a a a = , hovorme o limite sprava resp. zava funkcie v bode a; vtedy peme ( )lim
x af x L + = resp. ( )limx a f x L = .
* Okolie ( ) ( ) { }V a V a a= D nazvame prstencovm (resp. rdzim) okolm bodu a.
-
- 32 -
Obrzok 2. Cauchyho defincia limity funkcie.
19. Cauchyho integrlne kritrium
Veta (Cauchyho integrlne kritrium):
Nech 1
nn
a
= je rad s nezpornmi lenmi. Nech existuje nerastca kladn funkcia
definovan na intervale 1; ) tak, e pre kad nN plat (n) = an.
Potom rad 1
nn
a
= konverguje prve vtedy, ke konverguje nevlastn integrl
( )1
f x dx . Dkaz.
Z monotnnosti funkcie vyplva existencia Riemannovho nevlastnho integrlu
( ) ( )1
tF t f x dx= pre kad t1; ).
y = (x) L +
L
L
a a a + x
y
-
- 33 -
Funkcia F je neklesajca, preto existuje vlastn (alebo nevlastn) limita
( ) ( )1
limt
F t f x dx
= .
Uvaujme teraz rad 1
nn
b
= tak, e pre kad nN plat ( )1nn
nb f x dx
+= . Pre set
tohto radu plat:
( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 21 1 2
lim limn
n nn nn nb b b b f x dx f x dx f x dx
+ =
= + + + = + + + =
( ) ( ) ( )11 1
lim lim 1n
n nf x dx F n f x dx
+
= = + = .
To znamen, e rad 1
nn
b
= konverguje prve vtedy, ke konverguje nevlastn integrl
( )1
f x dx . alej, kee je nerastca funkcia, pre kad slo xn; n + 1, kde nN, plat:
(n) (x) (n + 1). Odtia dostvame: ( ) ( ) ( )1 1 1 1n n nn n n
f n dx f x dx f n dx+ + +
+ , tj. ( ) ( )1nf n b f n + , resp. 1n n na b a + .
Z poslednej nerovnosti u ahko ukeme platnos integrlneho kritria.
Ak konverguje rad 1
nn
a
= , a sasne an bn, z porovnvacieho kritria (kee ide
o rady s nezpornmi lenmi) vyplva, e potom konverguje aj rad 1
nn
b
= , tj.
konverguje aj nevlastn integrl ( )1
f x dx .
-
- 34 -
Ak konverguje nevlastn integrl ( )1
f x dx , to znamen e konverguje aj rad
1n
nb
= .
Kee bn an + 1, z porovnvacieho kritria vyplva, e potom konverguje aj rad
1n
na
= . Poznmka.
Uveden kritrium meme poui aj pri sumch typu nn K
a
= . Vtedy rozhoduje
o charaktere radu konvergencia i divergencia nevlastnho integrlu ( )K
f x dx .
20. Cauchyho kondenzan kritrium
Veta (Cauchyho kondenzan kritrium):
Nech rad 1
nn
a
= je rad s nezpornmi lenmi, pre ktor plat a1 a2 ... an ...
Potom rad 1
nn
a
= konverguje prve vtedy, ke konverguje rad 2
02 kk
ka
= .
Dkaz.
Nech { } 1n ns = je postupnos iastonch stov radu 1
nn
a
= , nech { } 1n n= je
postupnos iastonch stov radu 20
2 kkk
a
= .
1 Nech n 2k. Potom plat: 11 2 2 2 1... ...k kns a a a a + + + + + + =
( ) ( ) ( )11 2 3 4 5 6 7 2 2 1 2 1... ...k k ka a a a a a a a a a ++ = + + + + + + + + + + +
-
- 35 -
( ) ( ) ( )1 2 2 4 4 4 4 2 2 2... ...k k ka a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + = 0 1 2
1 2 4 22 2 2 ... 2 kk
ka a a a= + + + + = .
Z nerovnosti sn k vyplva, e ak konverguje rad 20
2 kkk
a
= , potom konverguje aj
rad 1
nn
a
= , resp. ak diverguje rad
1n
na
= , potom diverguje aj rad 2
02 kk
ka
= .
2 Nech n > 2k. Potom plat: 1 2 2... kns a a a + + + =
( ) ( ) ( )1 11 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2 2... ...k k ka a a a a a a a a a a + += + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )1 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2... ...k k ka a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + + + + =
( )11 2 4 1 2 42 21 12 ... 2 2 4 ... 22 2k kk k ka a a a a a a a= + + + + > + + + + = . Z nerovnosti sn 12 k vyplva, e ak konverguje rad 1 nn
a
= , potom konverguje aj rad
20
2 kkk
a
= , resp. ak diverguje rad 2
02 kk
ka
= , potom diverguje aj rad
1n
na
= .
21. Cauchyho (AG) nerovnos
Veta (Cauchyho AG nerovnos):
Nech xi 0 (i = 1, 2, ..., n). Potom plat 1 2 1 2nn nx x x x x xn+ + + .
Dkaz.
Hadajme viazan extrm funkcie ( )1 2 1 2, , , nn nu x x x x x x= za podmienky 1 2 nx x x a+ + + = . Lagrangeova funkcia m tvar
-
- 36 -
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , ,n n nL x x x u x x x x x x a = + + + + = ( )1 2 1 2n n nx x x x x x a= + + + + .
Polome parcilne derivcie poda vetkch premennch rovn nule, potom dostvame:
( )2 3
111 1
1 2
1 1 0nnnn
x x xL u u n xx n n xx x x
= + = + = =
,
( )1 3
212 2
1 2
1 1 0nnnn
x x xL u u n xx n n xx x x
= + = + = =
,
...,
( )1 2 1
1
1 2
1 1 0n nnn nnn
x x xL u u n xx n n xx x x
= + = + = =
,
1 2 0nL x x x a = + + + = .
Odtia dostvame 1 2 nx x x= = = , preto 1 2 n ax x x n= = = = .
D sa ukza, e v stacionrnom bode ; ; ;a a an n n nadobda funkcia L (resp.
funkcia u) maximum (resp. viazan maximum), tj. plat
1 21 2
n nnn
x x xa a a ax x xn n n n n
+ + + = = ,
o bolo treba ukza.
Poznmka.
Cauchyho nerovnos vyjadruje vzah medzi aritmetickm a geometrickm priemerom n
sel, preto sa v literatre oznauje aj ako AG nerovnos.
-
- 37 -
22. Cauchyho odmocninov kritrium
Veta (Cauchyho odmocninov kritrium):
Nech 1
nn
a
= je rad s nezpornmi lenmi.
(i) Ak existuje slo q(0; 1) a prirodzen slo n0 tak, e pre vetky nN, n
n0 plat n na q , tak rad 1
nn
a
= konverguje.
(ii) Ak pre nekonene vea nN plat 1n na , tak rad 1
nn
a
= diverguje.
Dkaz.
(i) Nech pre kad n n0, nN, plat n na q , kde q(0; 1). Odtia pre kad
n n0 dostvame nna q . To znamen, e zanajc indexom n0 k radu 1
nn
a
=
existuje majorantn konvergentn geometrick rad 1
n
nq
= . Z porovnvacieho kritria
potom vyplva, e rad 1
nn
a
= konverguje.
(ii) Nech pre nekonene vea nN plat 1n na , tj. existuje nekonene vea lenov radu, pre ktor an 1. Potom plat lim 0nn a , tj. nie je splnen nutn
podmienka konvergencie rad 1
nn
a
= je teda divergentn.
Poznmka.
Uveden kritrium pouvame pri vpotoch asto v jeho limitnej forme:
-
- 38 -
Veta:
Nech 1
nn
a
= je rad s nezpornmi lenmi, nech existuje limita lim n nn a c = . Potom
plat:
(i) Ak c < 1, rad 1
nn
a
= konverguje.
(ii) Ak c > 1, rad 1
nn
a
= diverguje.
(Ak neexistuje limita lim n nna , polome
nn
nac
= suplim ).
23. Cauchyho sin radov Defincia:
Sinom radov 1
nn
a
= a
1n
nb
= nazvame rad
1n
nc
= , pre ktorho leny plat
1 1 1c a b= , 2 1 2 2 1c a b a b= + , 3 1 3 2 2 3 1c a b a b a b= + + , ...,
1 2 1 1 11
n
n n n n k n kk
c a b a b a b a b +=
= + + + = , ..., tj.
11 1 1 1 1
n
n n n k n kn n n n k
a b c a b
+= = = = =
= = . Poznmka.
Motivciou k definovaniu Cauchyho sinu radov je nsobenie mocninch radov. Toti,
ak vynsobme rady 20 1 20
nn
na x a a x a x
== + + + a 20 1 2
0
nn
nb x b b x b x
== + + + ,
dostaneme rad ( ) ( ) 20 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0a b a b a b x a b a b a b x+ + + + + + . Ak dosadme x = 1, dostaneme prve Cauchyho sin.
-
- 39 -
24. Cauchyho veta
Veta (Cauchyho):
Nech pre funkcie , g plat: (i) , g s spojit na intervale a; b, (ii) , g s diferencovaten na intervale (a; b), (iii) pre vetky x(a; b) plat g(x) 0.
Potom existuje aspo jedno slo (a; b), pre ktor plat ( )( )( ) ( )( ) ( )
f f b f ag g b g a = .
Dkaz.
Cauchyho vetu dostaneme ako priamy dsledok Rolleovej vety aplikovanej na funkciu
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f a
h x f x g x g ag b g a
= na intervale a; b.
Pre funkciu h toti plat:
(a) h je spojit na intervale a; b; (b) h je diferencovaten na intervale (a; b);
(c) h(a) = h(b).
Preto existuje aspo jedno slo (a; b), pre ktor plat
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0f b f a
h f gg b g a
= = . Odtia u mme ( )( )
( ) ( )( ) ( )
f f b f ag g b g a = .
Ete poznamenajme, e podmienka g(a) g(b) vyplva z podmienky (iii). Ak by toti platilo g(a) = g(b), poda Rolleovej vety by existovalo aspo jedno slo a; b tak, e g() = 0. Poznmka.
Geometrick vznam Cauchyho vety:
Ak funkcie , g spaj predpoklady Cauchyho vety, potom na krivke K danej parametrickmi rovnicami x = (t), y = g(t), a t b, existuje aspo jeden bod [(); g()], a < < b, v ktorom je dotynica t rovnoben s priamkou prechdzajcou bodmi A[(a); g(a)], B[(b); g(b)] (obrzok 3).
-
- 40 -
Obrzok 3. Cauchyho veta.
25. Cauchyho veta o medzihodnote
Veta (Cauchyho veta o medzihodnote):
Nech funkcia je spojit na intervale a; b, nech min{(a), (b)} K max{(a), (b)}. Potom existuje aspo jedno slo ca; b, pre ktor plat (c) = K. Dkaz.
1 Tvrdenie zrejme plat v prpadoch, ak (a) = (b), alebo K = (a), alebo K = (b). 2 Predpokladajme, e (a) < (b). Cauchyho veta o medzihodnote je potom dsledkom Bolzanovej vety aplikovanej na funkciu G(x) = (x) K. Toti funkcia G je zrejme spojit na intervale a; b, navye plat G(a) = (a) K < 0 a sasne G(b) = (b) K > 0. To znamen, e potom existuje tak bod c(a; b), pre ktor plat G(c) = 0, resp. (c) = K.
g()
()
K
B
A
t
x
y
-
- 41 -
26. Cauchyho zaiaton podmienky
Defincia:
Nech funkcia y = (x) je rieenm diferencilnej rovnice F(x, y, y, ..., y(n)) = 0 na intervale J. Hovorme, e funkcia spa Cauchyho zaiaton podmienky (resp. je rieenm Cauchyho lohy) v bode aJ, ak plat ( ) 0f a b= , ( ) 1f a b = , ...,
( ) ( )1 1n nf a b = . Poznmka.
Ak funkcia y = (x) je veobecnm rieenm diferencilnej rovnice n - tho rdu F(x, y, y, ..., y(n)) = 0, obsahuje n navzjom nezvislch parametrov. Pre jednoduchos uvaujme n = 1. Ak funkcia g(x) je veobecnm rieenm
diferencilnej rovnice F(x, y, y) = 0, ktor navye spa Cauchyho zaiaton podmienku g(a) = b, ide o t integrlnu krivku, ktor prechdza bodom [a; b].
27. ebyevova nerovnos
Veta (ebyevova nerovnos):
Nech ai, biR (i = 1, 2, ..., n), priom plat ai ai + 1 a sasne bi bi + 1 (resp. ai ai + 1 a sasne bi bi + 1). Potom plat ( )( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b n a b a b a b+ + + + + + + + + . Dkaz.
Tvrdenie dokeme pomocou matematickej indukcie.
1 Nech n = 2. Overme, e potom plat ( )( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 22a a b b a b a b+ + + . Potajme: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 22a a b b a b a b a b a b a b a b a b b a b b+ + + = + = + = ( )( )1 2 2 1 0a a b b= ,
-
- 42 -
o bolo treba ukza. Navye, z dokzanej nerovnosti vyplva, e
1 2 2 1 1 1 2 2a b a b a b a b+ + , resp. veobecne r s s r r r s sa b a b a b a b+ + (r, s = 1, 2, ..., n), o pouijeme v druhej asti dkazu.
2 Predpokladajme, e plat nerovnos ( )( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b n a b a b a b+ + + + + + + + + ,
zistime, i potom plat aj
( )( ) ( )( )1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 11n n n n n n na a a a b b b n a b a b a b a b+ + + ++ + + + + + + + + + + + . Potajme:
( )( )1 2 1 1 2 1 1 11 1
n n
n n n i n i ni i
a a a a b b b a a b b+ + + += =
+ + + + + + + = + + =
1 1 1 11 1 1 1
n n n n
i i n i n i n ni i i i
a b a b b a a b+ + + += = = =
= + + + ( ) ( )1 1 2 1 1 2 1 1
1
n
i i n n n n n ni
n a b a b b b b a a a a b+ + + +=
+ + + + + + + + + = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1
1
n
i i n n n n n n n n n ni
n a b a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + + + +=
= + + + + + + + + ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
1
n
i i n n n n n n n n n ni
n a b a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + + + +=
+ + + + + + + + = [ ] ( ) 11 1 2 2 1 1 1 1
1 11
n n
i i n n n n n n i ii i
n a b a b a b a b na b a b n a b+
+ + + += =
= + + + + + + = + . Poznmka.
Ak plat ai ai + 1 a sasne bi bi + 1 (resp. ai ai + 1 a sasne bi bi + 1), kde i = 1, 2, ..., n, potom m ebyevova nerovnos tvar
( )( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b n a b a b a b+ + + + + + + + + .
-
- 43 -
28. dAlembertove podielov kritrium
Veta (dAlembertovo podielov kritrium):
Nech 1
nn
a
= je rad s kladnmi lenmi.
(i) Ak existuje slo q(0; 1) a prirodzen slo n0 tak, e pre vetky nN,
n n0 plat 1nn
a qa+ , tak rad
1n
na
= konverguje.
(ii) Ak pre nekonene vea nN plat 1 1nn
aa+ , tak rad
1n
na
= diverguje.
Dkaz.
(i) Nech pre kad n n0, nN, plat 1nn
a qa+ , kde q(0; 1). Odtia dostvame:
0 0n na a , 0 01n na a q+ , 0 0 0 22 1n n na a q a q+ + ...
To znamen, e zanajc indexom n0 k radu 1
nn
a
= existuje majorantn konvergentn
geometrick rad 0
1
nn
na q
= . Z porovnvacieho kritria potom vyplva, e rad
1n
na
=
konverguje.
(ii) Nech pre nekonene vea nN plat 1 1nn
aa+ , tj. 1n na a+ . Postupnos
kladnch sel { } 1n na = je teda neklesajca, tj. lim 0nn a . Kee nie je splnen nutn
podmienka konvergencie, rad 1
nn
a
= je divergentn.
Poznmka.
Uveden kritrium pouvame pri vpotoch aj v jeho limitnej forme:
-
- 44 -
Veta:
Nech 1
nn
a
= je rad s kladnmi lenmi, nech existuje limita 1lim n
n n
a da+
= . Potom plat:
(i) Ak d < 1, rad 1
nn
a
= konverguje.
(ii) Ak d > 1, rad 1
nn
a
= diverguje.
(Ak neexistuje limita 1lim nn n
aa+
, polome nn
n aad 1suplim +
= ).
29. Darbouxove integrlne sty
Defincia:
Nech { }0 1, , nD x x x= je delenie intervalu a; b, pre ktorho deliace body plat 0 1 2 na x x x x b= < < < < = . alej ozname ( ){ }1inf ; ;i i im f x x x x= ,
( ){ }1sup ; ;i i iM f x x x x= (kde i = 1, 2, ... n). Potom slo ( ) ( )1
1,
n
i i ii
S f D M x x =
= ( ) ( )11
,n
i i ii
s f D m x x =
= nazvame hornm (dolnm) Darbouxovm integrlnym stom prislchajcim funkcii a deleniu D.
30. Darbouxova veta
Veta (Darbouxova):
Nech funkcia je diferencovaten na intervale a; b. Potom pre kad slo R, (a) > > (b) (resp. (a) < < (b)), existuje tak bod c(a; b), e plat (c) = (tj. funkcia (x) nadobda vetky hodnoty medzi (a) a (b)).
-
- 45 -
Dkaz.
Predpokladajme najskr, e sla (a) a (b) maj rzne znamienka. Nech naprklad plat (a) > 0, (b) < 0. Dokeme, e potom existuje tak slo (a; b), pre ktor plat () = 0. Z diferencovatenosti funkcie vyplva, e funkcia je spojit na intervale a; b. Poda Weierstrassovej vety potom existuje tak slo (a; b), e funkcia nadobda v bode svoje maximum. Poda Fermatovej vety potom plat () = 0. Uvaujme teraz veobecn prpad. Zoberme ubovon relne slo , ktor le medzi slami (a), resp. (b). Pre uritos nech plat (a) > > (b). Vytvorme funkciu (x) = (x) x. Funkcia je spojit a diferencovaten na intervale a; b, priom pre jej derivciu plat (x) = (x) . Zrejme (b) = (b) > 0 a sasne (b) = (b) < 0. Z prvej asti dkazu vyplva, e existuje tak slo c(a; b), pre ktor plat (c) = (c) = 0, resp. (c) = . Poznmka.
O funkcich, pre ktor plat Darbouxova veta hovorme, e maj Darbouxovu vlastnos,
resp. e s darbouxovsk.
31. Descartova sradnicov sstava
Ortonormlnu sradnicov sstavu nazvame Descartova sradnicov sstava.
Jej zaiatok obyajne zname psmenom O, sradnicov osi symbolmi ox , oy
(v rovine), resp. ox , oy , oz (v priestore).
Sradnicami ubovonho bodu B[x; y] s dky seiek OXB, OYB; kde XB (YB) je kolm priemet bodu B na sradnicov os x (y) a O je zaiatok sradnicovho
systmu.
-
- 46 -
Obrzok 4. Descartova sradnicov sstava v rovine resp. priestore. Poznmka.
asto sa pouva tie oznaenie kartezinska sradnicov sstava (lat. Cartesius =
Descartes).
Okrem Descartovej sradnicovej sstavy poznme aj niekoko alch sradnicovch
systmov, z ktorch niektor tu popeme.
1 Polrna sradnicov sstava Nech je dan bod P (pl), a orientovan polpriamka PJ.
Obrzok 5. Polrna sradnicov sstava.
r
ox J
oy
P
M [ ; r]
B [x; y]
oy y
x oxO
oz z O
y oy
x ox
B [x; y; z]
-
- 47 -
Nech je dan bod M[ ; r]. Potom: uhol, ktor zviera sprievodi bodu M s polrnou osou, tj. = )MPJ; 0; 2; r vzdialenos bodu M od plu, tj. r = MP; r0; ). Ak stotonme pl so zaiatkom kartezinskej sstavy a polrnu os s osou ox (pozri
obrzok 5), potom pre kartezinske sradnice x, y resp. polrne sradnice , r bodu M plat:
x = r cos , y = r sin .
2 Cylindrick sradnicov sstava Nech je dan kartezinska sradnicov sstava Oxy, nech os z je kolm na rovinu xy
a prechdza bodom O.
Obrzok 6. Cylindrick sradnicov sstava.
Nech je dan bod M[ ; r ; z]. Potom: , r polrne sradnice pravouhlho priemetu M1 bodu M do roviny xy; z vzdialenos bodu M od roviny xy; z(; ).
O
M [ ; r ; z]
M1
z
r
oz
oy
ox
-
- 48 -
Po vhodnom zaveden Descartovej sradnicovej sstavy (pozri obrzok 6) dostvame
vzahy platn pre kartezinske sradnice x, y, z resp. cylindrick sradnice , r, z bodu M:
x = r cos , y = r sin , z = z.
3 Sfrick sradnicov sstava Nech je dan kartezinska sradnicov sstava Oxy, nech orientovan polpriamka z je
kolm na rovinu xy a prechdza bodom O.
Obrzok 7. Sfrick sradnicov sstava.
Nech je dan bod M[r ; ; ]. Potom: r vzdialenos bodu M od zaiatku sradnicovej sstavy O; r0; ); uhol, ktor zviera polpriamka OM1 s kladnou asou osi ox (M1 je priemet bodu M do roviny xy); 0; 2); uhol, ktor zviera polpriamka OM s kladnou asou osi oz ; 0; ). Po vhodnom zaveden Descartovej sradnicovej sstavy (pozri obrzok 7) dostvame
vzahy platn pre kartezinske sradnice x, y, z resp. sfrick sradnice r, , bodu M:
x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos .
M [r ; ; ]
M1
r
O
oz
oy
ox
-
- 49 -
32. Dirichletova funkcia
Defincia:
Dirichletovou funkciou nazvame funkciu dan predpisom ( )
=
QRxQx
x;0;1
.
Poznmka.
Analytick zpis Dirichletovej funkcie m tvar ( ) ( ): lim lim cos !kn k
x n x = . Vidme, e Dirichletova funkcia je charakteristickou funkciou mnoiny racionlnych
sel.
33. Dirichletove kritrium
Veta (Dirichletove kritrium):
Nech je dan seln rad 1
n nn
a b
= . Nech { } 1n na = je monotnna postupnos, pre ktor
plat lim 0nna = . Nech postupnos { } 1n nB = iastonch stov radu 1 nn b
= je
ohranien.
Potom rad 1
n nn
a b
= je konvergentn.
Dkaz.
Z ohranienosti postupnosti iastonch stov { } 1n nB = vyplva, e existuje tak relne slo B > 0, e pre kad nN plat Bn B. Pre ubovon n = 2, 3, ... a ubovon pN0 potom plat
1 1 2n p
i n p n n p ni n
b B B B B B+
+ + =
= + .
-
- 50 -
Nech > 0. Z podmienky lim 0nn a = vyplva, e existuje tak prirodzen slo m, e
pre kad n > m, nN, plat 6n
aB< .
Aplikovanm Abelovej nerovnosti na sumu n p
i ii n
a b+
= dostvame:
( )2n p i i n n pi n
a b B a a+
+=
+ < .
Z Cauchyho - Bolzanovej podmienky konvergencie potom vyplva, e rad 1
n nn
a b
= je
konvergentn.
34. Dirichletov princp
Ak mme vloi m predmetov do n zsuviek, priom m > n, potom existuje aspo
jedna zsuvka, v ktorej s aspo dva predmety.
35. Eulerove slo
Defincia:
Limitu postupnosti 1
11n
nn
=
+ nazvame Eulerove slo a oznaujeme e, tj.
1lim 1n
ne
n = + .
Poznmka.
Ukme, e takto definovan Eulerove slo existuje.
-
- 51 -
Vytvorme pomocn postupnos { } 111
11n
n nn
yn
+=
=
+ . Ukeme o nej, e je
klesajca a zdola ohranien. Potajme:
21
1 2 2
1111 1 1
1 11 11 1 11
n nn n
nn n
n
ny n n nn ny n nn nn n
n n n
+
+ = = = = + + + + + +
*
21 11 1 1 111 1 11
n n n nn n n nn n
n
+ = + > + = + + + , tj. yn 1 > yn.
Zrejme pre vetky nN plat 111 0
n
n
+ + .
Kee postupnos { } 1n ny = je klesajca a zdola ohranien, je konvergentn. Ozname jej limitu symbolom e, tj.
11lim 1n
ne
n
+
+ = .
Potom plat
1111lim 1 lim 11
n
n
n n
n en
n
+
+ + = = +.
Na zver ete doplme, e slo e je iracionlne, priom plat e 2,7182818...
36. Eulerova formula
Veta (Eulerova formula):
Nech xR, i2 = 1. Potom plat: cos sinixe x i x= + .
* Vyuvame Bernoulliho nerovnos ( )1 1kh kh+ + , kde kN, h > 1.
-
- 52 -
Dkaz.
Maclaurinov rad funkcie m tvar ( ) ( ) ( )0
0!
nn
n
xf x fn
== . Pre funkcie y = ex,
y = sin x, y = cos x dostvame rady 2
01
1! 2! !
nx
n
x x xen
== + + + = ,
( ) ( )3 5 2 1
1
1sin 1
3! 5! 2 1 !
nn
n
x x xx xn
=
= + = ,
( ) ( )2 4 2
0cos 1 1
2! 4! 2 !
nn
n
x x xxn
== + = .*
V Maclaurinovom rade pre exponencilnu funkciu polome x = it, kde i imaginrna
jednotka (i2 = 1), tR. Dostvame (premiestnenm lenov absoltne konvergentnho radu sa nemen set radu):
( ) ( ) ( ) ( )2 3 40
1! 1! 2! 3! 4!
nit
n
it it it ititen
== = + + + + + =
2 4 3 51 cos sin
2! 4! 3! 5!t t t ti t t i t
= + + + = + .
Poznmka.
Pre t = dostvame 1 0ie + = , o je rovnos znma ako najkrajia formula matematiky.
Z uvedenej formuly meme odvodi Eulerove vzorce aj pre goniometrick funkcie
snus, resp. kosnus dostvame:
1cos cosh ; sin sinh sinh2 2
it it it ite e e et it t it i iti i
+ = = = = = .
* Pomocou dAlembertovho kritria sa ahko presvedme, e vetky tri uveden funkcionlne rady
absoltne konverguj pre vetky xR.
-
- 53 -
37. Eulerova kontanta
Defincia:
slo 1 1lim 1 ln2n
C nn
= + + + nazvame Eulerova kontanta.
Poznmka.
Ukme, e takto definovan Eulerova kontanta skutone existuje.
Uvaujme postupnos { } 1n nc = , kde 1 11 ln2nc nn= + + + . Potom plat
11 1ln 1 0
1n nc c
n n+ = + + + + + + + + + =
( )2 3 4 1 2 3 4 1ln ln ln ln ln ln ... ln ln 1 ln1 2 3 1 2 3
n nn n n nn n+ + = + + + + = = + =
1 1ln 1 01n n
= + > > + ,
tj. postupnos { } 1n nc = je zdola ohranien. Kad klesajca a zdola ohranien postupnos je konvergentn, ozname lim nn c C = . O sle C nevieme, i je racionlne alebo iracionlne. Pre jeho hodnotu plat
C 0,577216
* Zo vzahov
11 11 1n n
en n
+ + < < + po zlogaritmovan dostvame ( )1 1ln 1 1 1 ln 1n nn n
+ < < + + ,
odkia u vyplvaj nerovnosti 1 1 1ln 11n n n
< +
-
- 54 -
38. Eulerova metda
Eulerovu metdu vyuvame na vpoet linernej diferencilnej rovnice prvho rdu
( ) ( )y p x y q x + = . Tto rovnicu vynsobme funkciou ( ) ( )p x dxx e = (nazvanou Eulerov multipliktor, resp. integran faktor), dostvame
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x dx p x dx p x dxy e p x e y q x e + = . Na avej strane je zrejme derivcia sinu dvoch funkci, tj.
( ) ( ) ( )p x dx p x dxye q x e = . Po zintegrovan zskavame rieenie
( ) ( ) ( )p x dx p x dxy e q x e dx c = + , kde cR.
39. Eulerov multipliktor
Defincia:
Nech je dan diferencilne rovnica tvaru ( ) ( ) 0P x dx Q y dy+ = , ktor nie je exaktn. Funkciu = (x, y) nazvame Eulerov multipliktor (integran faktor), ak diferencilna rovnica ( ) ( ) ( ) ( ), , 0x y P x dx x y Q y dy + = je exaktn. Poznmka.
Diferencilnu rovnicu ( ) ( ) 0M x dx N y dy+ = nazvame exaktnou, ak jej av strana je totlnym diferencilom nejakej funkcie F(x, y), tj. plat
( ) ( ) ( ), 0M x dx N y dy dF x y+ = = . Exaktnos diferencilnej rovnice zisujeme overenm podmienky M N
y x = (o je ekvivalentn s podmienkou
F Fx y y x
= .
-
- 55 -
40. Eulerova substitcia
Nech je dan integrl ( )2,R x ax bx c dx+ + , kde R je nejak racionlna funkcia. (i) Nech a > 0. Potom substitciu 2ax bx c t x a+ + = , pomocou ktorej mono vypota uveden integrl, nazvame 1. Eulerova substitcia.
(ii) Nech polynm ax2 + bx + c m dva rzne relne korene, nech c > 0. Potom
substitciu 2ax bx c xt c+ + = , pomocou ktorej mono vypota uveden integrl, nazvame 2. Eulerova substitcia.
Poznmka.
Nartneme al postup, ktor by nasledoval pri vpote danho integrlu. V oboch
prpadoch z Eulerovch substitci vyjadrme premenn x, nsledne vypotame
diferencil dx. Dosadenm do integrlu ( )2,R x ax bx c dx+ + zskame integrl z nejakej racionlnej funkcie R*, tj. ( )*R t dt .
41. Fermatova veta
Veta (Fermatova):
Nech funkcia je v bode diferencovaten, a nech m v tomto bode loklny extrm. Potom () = 0. Dkaz.
Nech funkcia m v bode loklne maximum, nech > 0. Pre kad ( );x + zrejme plat (x) ().
alej pre kad x( ; ) plat ( ) ( ) 0f x fx , analogicky pre kad
( );x + plat ( ) ( ) 0f x fx .
-
- 56 -
Potom pre jednostrann derivcie v bode a dostvame ( ) ( ) ( )lim 0x
f x ff
x = ,
resp. ( ) ( ) ( )lim 0x
f x ff
x+ + = .
Kee existuje (), mus plati () = 0. Poznmka.
Geometrick vznam Fermatovej vety:
Ak funkcia spa predpoklady Fermatovej vety, potom dotynica v bode [; ()] ku grafu funkcie je rovnoben so sradnicovou osou ox (obrzok 8).
Obrzok 8. Fermatova veta.
42. Fibonacciho postupnos
Defincia:
Postupnos sel { } 1n nF = dan rekurentnm vzorcom F1 = 1, F2 = 1, 2 1n n nF F F = + , nazvame Fibonacciho postupnosou.
2 1
2
1
y = (x)
x
y
t 1
t 2
-
- 57 -
Poznmka.
Z rekurentnho zpisu je zrejm, e kad len postupnosti je stom dvoch
predchdzajcich lenov. Pomocou matematickej indukcie mono overi, e plat
0 1 2 1n nF F F F ++ + + = . Veobecn len Fibonacciho postupnosti je dan Binetovm vzorcom, ktor je uveden
na inom mieste.
43. Fubiniho veta
Veta (Fubiniho):
Nech : z = (x, y) je spojit funkcia definovan na mnoine D. Nech D je ohranien krivkami x = a, x = b, y = (x), y = (x); kde a < b, , s spojit funkcie na intervale a; b, priom pre kad xa; b plat (x) (x).
Potom plat ( ) ( )( )
( ), ,
xb
D a x
f x y dx dy f x y dy dx
= .
Dkaz.
Najskr ozname ( )( )
( ),
xb
Da x
I f x y dy dx
= .
Rozdeme oblas D priamkami rovnobenmi so sradnicovmi osami na n oblast
1s , 2s , ..., ns . Potom plat 1 21
...n i
n
D s s s si
I I I I I =
= + + + = . Ozname mi (Mi) najmeniu (najviu hodnotu funkcie (x, y) na oblasti is (i = 1, 2, ..., n). Potom plat:
11 1 1 1sm s I M s , 22 2 2 2sm s I M s , ..., nn n s n nm s I M s . alej ozname Ui (resp. Vi) ten bod oblasti is , v ktorom funkcia (x, y) nadobda najmeniu (resp. najviu) hodnotu, tj. (Ui) = mi a sasne (Vi) = Mi.
-
- 58 -
Predchdzajce nerovnosti potom mono zapsa v tvare
( ) ( )11 1 1 1U Vsf s I f s ,
( ) ( )22 2 2 2U Vsf s I f s ,
...,
( ) ( )U Vnn n s n nf s I f s .
Stanm tchto n nerovnost dostvame ( ) ( )1 1 1
U Vi
n n n
i i s i ii i i
f s I f s= = =
, resp. ( ) ( )
1 1U V
n n
i i D i ii i
f s I f s= =
. Na avej a pravej strane tejto nerovnosti stoja integrlne sty funkcie (x, y) na oblasti D. V prpade existencie dvojnho integrlu ( ),
D
f x y dx dy , tieto sty konverguj pre diam 0is * nezvisle od vberu bodov Ui, Vi a tie nezvisle od spsobu rozdelenia oblasti D, priom plat
( ) ( )diam 0 1
lim U ,i
n
i is i D
f s f x y dx dy = = , a sasne
( ) ( )diam 0 1
lim ,i
n
i is i D
f V s f x y dx dy = = .
Z vyie uvedenej rovnosti potom u vyplva, e ( ),DD
I f x y dx dy= , resp.
( ) ( )( )
( ), ,
xb
D a x
f x y dx dy f x y dy dx
= .
* Nech je metrika definovan na mnoine D, nech A[x1; y1], B[x2; y2] s ubovon body z oblasti
is . Potom diametrom oblasti is oznaujeme slo ( )diam sup ,is A B = .
-
- 59 -
44. Gaussov tvar komplexnho sla
Defincia:
Nech je dan komplexn slo z = x + iy. Jeho zpis vo forme ( )cos sinz r i= + , kde cosx r= , siny r= , nazvame Gaussov tvar komplexnho sla. Poznmka.
Geometrick znzornenie komplexnho sla z = x + iy sa nazva Argandov diagram
(obrzok 9).
Obrzok 9. Gaussov tvar komplexnho sla.
45. Gaussova - Ostrogradskho veta
Veta (Gaussova - Ostrogradskho):FYZ
Plon integrl vektorovej funkcie ( ), ,A A x y z=G G cez uzavret plochu je rovn objemovmu integrlu divergencie tejto vektorovej funkcie cez cel objem ohranien plochou , tj. plat divA dS A dV
= G G Gv .
FYZ Gauss - Ostrogradskho veta patr medzi dleit vzorce matematickej fyziky. Z tohto dvodu
nebudeme preczne formulova jej matematick predpoklady, ale budeme predpoklada, e vetky tu
potrebn derivcie resp. integrly existuj.
Podobne dkaz nebude matematicky plne korektn, itateovi poskytneme len jeho hlavn ideu.
r
oy
y
xox
-
- 60 -
Dkaz.
Nech je dan vektorov funkcia ( ), ,A A x y z=G G . Tokom vektora AG uzavretou plochou nazvame potom plon integrl A dS
G Gv .
Uvaujme teraz infinitezimlnu kocku EFGHKLMN, tj. kocku s nekonene malmi hranami dky dx, dy, dz (obrzok 10). Tto kocku vhodne umiestnime do
priestoru, to znamen tak, e jej hrany s rovnoben so sradnicovmi osami. Nech
E[x; y; z].
Obrzok 10. Gaussova - Ostrogradskho veta.
Tok vektora smerujci do kocky ozname znamienkom +, tok vektora smerujci
von z kocky ozname znamienkom . Potom pre tok vektora A
G vchdzajci do steny EFLK plat:
(EFLK) = EFLKxA dS A dy dz =G G
, kde symbolom EFLKxA sme oznaili hodnotu vektora
AG
v strede steny EFLK.
Analogicky pre tok vektora AG
vychdzajci zo steny HGMN plat:
(HGMN) = HGMNxA dy dz , kde symbolom HGMNxA sme oznaili hodnotu vektora AG
v strede steny HGMN.
F[x; y + dy; z] E[x; y; z]
H[x + dx; y; z]
K[x; y; z + dz]
G
L
M N
( )G x y zA A ; A ; A
-
- 61 -
Kee dx je dostatone mal, zrejme plat EFLK HGMN xx xAA A dxx
+ .*
Pre prspevok toku vektora AG
od stien EFLK a HGMN potom plat
(EFLK) + (HGMN) = x xA Adx dy dz dVx x
= , kde symbolom dV sme oznaili element objemu.
Pre prspevok toku vektora AG
od alch stien by sme analogicky dostali
(EHKN) + (FGML) = y yA A
dx dy dz dVy y
= ,
resp.
(EFGH) + (KLMN) = z zA Adx dy dz dVz z
= .
Pre tok vektora AG
celm povrchom kocky tak dostvame
divyx zAA AA dS dV A dV A dV
x y z
= + + = = G G G GG
.
Potom pre ubovon objem ohranien uzavretou plochou plat divA dS A dV
= G G Gv .
46. Guldinove vety
Veta (1. Guldinova veta):
Hladk homognny oblk K pri rotcii okolo osi ox, ktor nepretna, vytvor plochu,
ktorej plon obsah je rovn sinu dky tohto oblka a dky krunice, ktor pri rotcii
ope jeho aisko, tj. 2 KP d= ; kde P povrch rotanej plochy, y-ov sradnica aiska, dK dka oblka.
* Vyuvame vzorec na priblin vpoet funknej hodnoty pomocou diferencilu funkcie, tj.
(x) (a) + (a).h, kde xV(a), h 0.
-
- 62 -
Dkaz.
Nech oblk K je dan parametrickmi rovnicami x = (t), y = (t), nech t; . Potom pre povrch rotanej plochy, ktor vznikne rotciou tohto oblka okolo osi ox plat
(av strana vyie uvedenho vzorca):
( ) ( ) ( )2 22P t t t dt
= + . Ozname symbolom mern dkov hmotnos oblka K (kee oblk je homognny, (t), resp. const.) Pre y-ov sradnicu aiska tohto oblka plat
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
t t t dt
t t dt
+ =
+
.
Potom
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )2 2
2 2
2 22 2K
t t t dtd t t dt
t t dt
+ = +
+
,
o je vraz zhodn s vrazom na avej strane vzorca z 1. Guldinovej vety.
Veta (2. Guldinova veta):
Nech je dan elementrna oblas [ ] ( ) ( ){ }2, ; ; 0U x y R x a b g x y f x= . Objem telesa, ktor vytvor oblas U pri rotcii okolo osi ox je rovn sinu plonho
obsahu tejto oblasti a dky krunice, ktor pri rotcii ope jej aisko, tj. 2 UV S= ; kde V objem rotanho telesa, y-ov sradnica aiska, SU obsah elementrnej oblasti U.
Dkaz.
Pre objem telesa, ktor vznikne rotciou elementrnej oblasti U okolo osi ox plat (av
strana vyie uvedenho vzorca):
-
- 63 -
( ) ( )2 2ba
V f x g x dx = . Ozname symbolom mern plon hmotnos oblasti U. Pre y-ov sradnicu aiska
tejto oblasti plat ( ) ( )( ) ( )
2 2
2
b
ab
a
f x g x dx
f x g x dx
=
. Potom
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )2 2
22 2
b
ba
U ba
a
f x g x dxS f x g x dx
f x g x dx
= =
,
o je vraz zhodn s vrazom na avej strane vzorca z 2. Guldinovej vety.
47. Hamiltonov nabla opertor
Defincia:
Nech jednotkov vektory , ,i j kGG G
s bzou trojrozmernho kartezinskeho
sradnicovho systmu. Potom opertor i j kx y z + +
GG G G nazvame
Hamiltonov nabla opertor*.
Poznmka.
Nabla opertor ako vektor v n rozmernom priestore Rn m tvar
1 2, , ,
nx x x
G .
* Vo fyzike (predovetkm v oblasti kvantovej mechaniky) sa pod oznaenm Hamiltonov opertor
(hamiltonin) asto rozumie opertor ( )22
H U rm
= += G ; kde Planckova kontanta (priom
1,06.10 34 J.s), m hmotnos elementrnej astice, Laplaceov opertor, U potencilna energia elementrnej astice, rG polohov vektor astice.
-
- 64 -
Ak Hamiltonov nabla opertor aplikujeme na nejak skalrnu funkciu , dostvame gradf f ff i j k f
x y z = + + =
GG G G (gradient funkcie ).
Ak Hamiltonov nabla opertor skalrne aplikujeme na nejak vektorov funkciu
( ), ,x y zV V V V=G , dostvame divyx zVV VV Vx y z = + + = G G G (divergencia funkcie .VG ). Ak Hamiltonov nabla opertor vektorovo aplikujeme na nejak vektorov funkciu W
G,
dostvame roty yx xz zW WW WW WW i j k W
y z z x x y = + + =
GG G GG G
(rotcia funkcie WG
).
48. Heineho - Cantorova veta
Veta (Heineho - Cantorova):
Ak je funkcia spojit na uzavretom intervale a; b, potom je rovnomerne spojit na tomto intervale.
Dkaz.
Dkaz urobme sporom. Predpokladajme teda, e funkcia je spojit na a; b, ale nie je rovnomerne spojit. To znamen, e existuje tak > 0, e pre kad > 0 existuj body , a; b, pre ktor plat < a sasne () () . Vome postupne 1
n = , kde nN. Dostaneme tak postupnosti bodov
{ } 1n n= , { } 1n n= a; b, pre ktor plat 1n n n < a sasne ( ) ( )n nf f . Z postupnosti { } 1n n= mono vybra konvergentn podpostupnos { } 1nk n= , pre ktor plat lim
nknc = , kde ca; b.
-
- 65 -
Pomocou tej istej rastcej postupnosti prirodzench sel { } 1n nk = meme vybra aj podpostupnos { } 1nk n= tak, e pre kad nN plat
n n n nk k k kc c + .
Kee 1lim limn nk kn n n
, dostvame lim 0n nk kn = . alej plat
lim 0nkn
c = , preto tie lim 0nkn c = .
Sasne pre vetky nN plat ( ) ( ) ( ) ( )n nf f c f c f + , o znamen, e neme sasne plati ( ) ( )lim nn f f c = a tie ( ) ( )lim nn f f c = . Kee vak plat lim
nknc = , lim nkn c = , dostvame spor so spojitosou funkcie
v bode c.
49. Heineho defincia limity funkcie
Defincia:
Nech aR{ } je hromadn bod defininho oboru D() funkcie . Hovorme, e slo L je limitou funkcie v bode a, peme ( )lim
x af x L = , ak pre kad
postupnos { } 1n na = , anD(), lim nn a a = , an a, plat ( )lim nn f a L = . Poznmka.
Ak by sme uvaovali o postupnosti { } 1n na = , kde pre kad nN plat an a resp. an a, hovorme o limite sprava resp. zava funkcie v bode a; peme
( )limx a
f x L + = resp. ( )limx a f x L = .
-
- 66 -
50. lHospitalovo pravidlo
Veta (lHospitalovo pravidlo):
Nech funkcie , g s definovan na nejakom okol ( )V aD bodu aR{}. Nech plat ( ) ( )lim lim 0
x a x af x g x = = (resp. ( ) ( )lim limx a x af x g x = = ). Nech pre kad
x ( )V aD existuj konen derivcie (x), g(x); priom g(x) 0. Nech existuje limita ( )( )limx a
f xg x .
Potom existuje aj ( )( )limx af xg x
a plat ( )( )( )( )lim limx a x a
f x f xg x g x
= .
Dkaz.
(1a) Predpokladajme najskr, e plat ( ) ( )lim lim 0x a x a
f x g x = = ; aR.
Polome (a) = g(a) = 0 (hodnota limity funkcie v bode a nezvis od funknej hodnoty v bode a). Funkcie , g potom spaj na okol V(a) predpoklady Cauchyho vety. Toti
(i) , g s spojit na okol V(a) (plat ( ) ( )lim 0x a
f x f a = = , ( ) ( )lim 0x a g x g a = = , spojitos v ostatnch bodoch xV(a) vyplva z existencie (x) resp. g(x)); (ii) , g s diferencovaten na V(a); (iii) pre vetky xV(a) plat g(x) 0. Preto existuje aspo jedno slo V(a), tj. a < < x (alebo x < < a), pre ktor plat ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
f x f x f a fg x g x g a g
= = .
Zrejme pre x a plat a. Potom ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )lim lim lim limx a x a a x a
f x f f f xg x g g g x
= = = .
-
- 67 -
(1b) Nech plat ( ) ( )lim lim 0x a x a
f x g x = = ; a = .
Polome 1zx
= . Pre x zrejme plat z 0, tj. ( )0
1lim lim 0x z
f x gz
= = ,
analogicky ( )0
1lim lim 0x z
g x gz
= = . Pouitm lHospitalovho pravidla dostvame
( )( )
( )( )
2
0 0 02
1 1 1 1
lim lim lim lim lim1 1 1 1x z z z x
f f ff x f xz z zzg x g xg g g
z z zz
= = = = .
(2a) Predpokladajme, e plat ( ) ( )lim limx a x a
f x g x = = , aR.
Zvome sla x, z ( )V aD tak, aby platilo a < x < z. Potom na intervale x; z funkcie , g spaj predpoklady Cauchyho vety, tj. existuje aspo jedno x; z, e plat ( ) ( )( ) ( )
( )( )
f x f z fg x g z g
= .
Odtia dostvame ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
1
1
f zf f x f z f x f x
g zg g x g z g xg x
= = , resp.
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
1
1
g zf x f g x
f zg x gf x
= .
Kee ( )( )limx af xg x existuje, ozname
( )( )limx a
f xL
g x = . alej x; z, tj. pre x a
plat a, odkia mme ( )( )limaf
Lg = . Z Cauchyho defincie limity potom
vyplva, e pre kad > 0 plat ( )( )f
Lg < , tj.
( )( )
fL L
g < < + .
-
- 68 -
alej kee ( ) ( )lim limx a x a
f x g x = = , zrejme plat ( )( )( )( )
1lim 1
1x a
g zg xf zf x
=
, tj. pre kad
> 0 plat ( )( )( )( )
11 1
1
g zg xf zf x
< < +
.
Vyuitm uvedench nerovnost dostvame:
( )( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )1
1 11
g zf g x
L Lf zgf x
< < + + , resp.
( )( ) ( )( ) ( )( )1 1f x
L Lg x
< < + + , kde > 0 je ubovon relne slo.
Odtia u vyplva, e ( )( )limx af x
Lg x
= , resp. ( )( )( )( )lim limx a x a
f x f xg x g x
= .
Uvaujme ete monos L = , tj. ( )( )limx af xg x = . Potom zrejme plat
( )( )lim 0x a
g xf x =
a z predchdzajcej asti dkazu vyplva, e
( )( )
( )( )lim lim 0x a x a
g x g xf x f x
= = , odkia ( )( )limx a
f xg x
= .
(2b) Predpokladajme, e plat ( ) ( )lim limx a x a
f x g x = = , a = .
Platnos lHospitalovho pravidla v tomto prpade by sme op ukzali vyuitm
substitcie 1zx
= a dkazu (2a).
-
- 69 -
51. Hlderova nerovnos
Veta (Hlderova nerovnos):
Nech a g s funkcie integrovaten na intervale a; b, nech p > 1, nech slo q je definovan rovnosou 1 1 1
p q+ = .
Potom plat ( ) ( ) ( ) ( )1 1
b b bp qp q
a a a
f x g x dx f x dx g x dx .
Dkaz.
Pre jednoduchos ozname ( )1
b ppp
a
f f x dx , ( )
1b qq
qa
g f x dx .
V nerovnosti p qa bab
p q + * (platnej pre a, b 0) polome ( )
p
f xa
f= , ( )
q
g xb
g= .
Potom pre ubovon xa; b plat ( ) ( ) ( ) ( )1 1p q
p qp q p q
f x g x f x g xf g p qf g
+ .
Po zintegrovan dostvame
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1b b bp qp qa a ap q p q
f x g x dx f x dx g x dxf g p qp f q g
+ = + = ,
odkia mme ( ) ( )b p qa
f x g x dx f g , o je dokazovan nerovnos.
* Nech x 0, y 0. Nech pre sla p, q plat 1 1 1
p q+ = . Vytvorme funkciu ( ), p qx yF x y xy
p q= .
Mono ukza, e funkcia F nadobda maximlne hodnoty v kadom bode krivky 1py x = , tj. pre
vetky [ ] 0 0,x y R R+ + plat ( ) ( )1, , 0pF x y F x x = , resp. p qx yxy p q + .
-
- 70 -
Poznmka.
Na tomto mieste doplnme Hlderovu nerovnos pre rady:
Veta:
Nech xi, yiR (pre i = 1, 2, ... n). Nech p > 1, nech slo q je definovan vzahom 1 1 1p q+ = .
Potom plat
1 1
1 1 1
n n np qp qi i i i
i i ix y x y
= = =
.
Dkaz je analogick. Pre jednoduchos ozname
1
1
n ppip
ix x
=
, 1
1
n qqiq
iy y
=
. V nerovnosti p qa bab
p q + polome i
p
xa
x= , i
q
yb
y=
(i = 1, 2, ... n). Potom plat 1 1p q
i i i ip q
p q p q
x y x yx y p qx y
+ .
Po stan tchto nerovnost pre i = 1, 2, ... n mme:
1 1 1
1 1 1 1 1 1n n n
p qi i i ip q
i i ip q p q
x y x yx y p qp x q y= = =
+ = + = .
Odtia u dostvame 1
n
i i p qi
x y x y=
, o je vlastne dokazovan nerovnos. Na zver poznamenme, e po limitnom prechode pre n dostaneme Hlderovu
nerovnos pre nekonen rady:
1 1
1 1 1
p qp qi i i i
i i ix y x y
= = =
.
-
- 71 -
52. Jacobiho determinant
Defincia:
Nech s dan diferencovaten funkcie ( )1 1 2, , ny f x x x= , ( )2 1 2, , ny f x x x= , ..., ( )1 2, ,n ny f x x x= . Potom determinant
( )
1 1 1
1 2
2 2 2
1 21 2
1 2
, ,
n
nn
n n n
n
f f fx x xf f fx x xJ f f f
f f fx x x
=
#
nazvame Jakobiho determinant (jakobin) funkci 1, 2, ..., n.
53. Jensenova nerovnos
Veta (Jensenova nerovnos):
Nech funkcia je konvexn (konkvna) na intervale J, nech xiJ (i = 1, 2, n) s
navzjom rzne body. Nech pre sla i, 0 < i < 1 (i = 1, 2, 3, n), plat 1
1n
ii=
= .
Potom ( ) ( )1 1 1 1
n n n n
i i i i i i i ii i i i
f x f x f x f x= = = =
. Dkaz.
Vetu dokeme matematickou indukciou.
1 Nech n = 2. Predpokladajme, e je konvexn funkcia, tj. chceme ukza, e plat ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2f x x f x f x + + , kde 1 + 2 = 1.
-
- 72 -
Pre trojicu bodov A[a; (a)], B[b; (b)], C[c; (c)] leiacich na grafe konvexnej
funkcie , kde a < b < c, plat ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c f bb a c b (tj. bod B[b; (b)] le
pod priamkou prechdzajcou bodmi A[a; (a)], C[c; (c)]). Polome v tomto vzahu a = x1, c = x2, b = 1 1 2 2x x + ; nech 1 + 2 = 1. Potajme: ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 11 1 2 2 1 2 2 1f x x f x f x x f x
x x x x x + + = +
( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 2 2 1 1 2 22 1 1 2 2 1 2 1
f x f x x f x f x xx x x x x + + = .
Odtia dostvame
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2f x x f x x f x f x + + = + + . 2 Nech veta plat pre prirodzen slo n, overme jej platnos pre n + 1. Potajme:
( )1 1 2 2 1 1... n n n nf x x x x+ + + + + + = ( )1 1 2 2 1 2 1 1
1 2
... ......
n nn n n
n
x x xf x+ + + + + = + + + + + + +
( ) ( )1 1 2 21 2 1 11 2
.........
n nn n n
n
x x xf f x+ + + + + + + + + = + + +
( )1 2 ... n= + + + ( )1 21 2 1 1
1 2 1 2 1 2...
... ... ...n
n n nn n n
f x x x f x+ + + + + + + + + + + + + + +
( )1 2 ... n + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 1
1 2 1 2 1 2... ... ...n
n n nn n n
f x f x f x f x+ + + + + = + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1... n n n nf x f x f x f x+ += + + + + .
-
- 73 -
54. Jungova nerovnos
Veta (Jungova nerovnos):
Nech a > 0, b > 0, p > 1, p + q = pq. Potom plat 1 1p q a ba b
p q + .
Dkaz.
Pri dkaze vyuijeme nerovnos ( )1 1x x * platn pre x > 0, kde 0 < < 1. Polome ax
b= , 1
p = ,
1pq
p= . Potajme:
1 11
11 11 1
p pp
p
a a b a a bb p b p b
b
= = .
Po prensoben slom b dostvame 1 11p p a ba b b
p p
.
Po usporiadan a vyuitm defincie sla q zskavame: 1 1 1 1
11p
p p p q a a ba b a b bp p p q
= + = + , o je dokazovan Jungova nerovnos.
Poznmka.
Dkaz meme urobi aj nasledovne: Zlogaritmovanm nerovnosti dostvame 1 1
1 1ln ln ln lnp q a ba b a bp q p q
= + + . Ak ozname 1x a= , 2x b= , 11p
= ,
21q
= , posledn vzah dostvame priamo z Jensenovej nerovnosti vyuitm
konkvnosti funkcie (x) = ln x.
* Nech x > 0. Vytvorme funkciu ( ) 1g x x x= + . ahko ukeme, e
