1.2.3 圆中比例线段

相交弦定理 圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等 已知：如图，⊙ O的两条弦 AB 、 CD 相交于圆内一点 P， 求证： PA·PB ＝ PC·PD

A

B

C

D

P

例 1、⊙ O的两条弦 AB 、 CD 交于点 P，若 PA ＝ 8cm ， PB ＝ 18cm ， CD ＝ 25cm ，求CD 被点 P分成的两段的长

O·

CM

A

D

B

例 2、为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，量出凹坑的直径即可比对得出材料的硬度。现测得凹坑直径为 10mm ，凹坑深度为 1mm ，求所用钢珠的直径

例 3、如图， AB 是⊙ O的直径， M为圆上一点， ME⊥AB ，垂足为 E，点 C为⊙ O上任一点， AC 、 EM 交于点 D， BC 交 DE 于点 F。求证：

D

BO·

A

EFEDEM 2

C MF

E

N

割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点两条线段的积相等 已知：如图，从⊙ O外一点 P引⊙ O的两条割线 PBA 与 PDC ，与⊙ O分别交于点 A、 B与 C、 D

AP

B

CD

O·

求证： PA·PB ＝ PC·PD

切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项

求证： PA·PB ＝ PC2

已知：如图，从⊙ O外一点 P引⊙ O的割线 PBA 与切线 PC ，与⊙ O分别交于点 A、B与 C

AP

B

C

O·

例 4、如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C＝ 72° ，⊙ O过 A、 B两点，且与 BC 相切于点 B，与 AC 交于点 D。若 ，求 AC 、 DC 的长

O·

A

B C

D

15 BC

例 5、如图，两圆内切于点 T，点 P为外圆⊙ O上任意一点， PM与内圆⊙ O1 切于点M，求证：

PT ： PM 为定值

·O

T

·O1PM

CQ