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ESTUDIO DE FACTIBILIDAD SOBRE LA APLICACIN DE LA GEOMETRA FRACTAL
EN LA CARACTERIZACIN DE LA POROSIDAD DE LAS ROCAS SEDIMENTARIAS
JOHANA LIZETH PINILLA VELANDIA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS E INFORMTICA
BUCARAMANGA
2004
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ESTUDIO DE FACTIBILIDAD SOBRE LA APLICACIN DE LA GEOMETRA FRACTAL
EN LA CARACTERIZACIN DE LA POROSIDAD DE LAS ROCAS SEDIMENTARIAS
JOHANA LIZETH PINILLA VELANDIA
Trabajo presentado como requisito para optar al ttulo deIngeniero de Sistemas
Director
Rafael Isaacs Giraldo
Tutora
Gloria Esperanza Cobaleda
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS
BUCARAMANGA
2004
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A Dios,
A mis padres,
A mis hermanos,
A mis amigos.
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AGRADECIMIENTOS
La autora expresa sus agradecimientos a:
Rafael Isaacs, profesor asociado a la Escuela de Matemticas y a Gloria Cobaleda,
encargada del Departamento de Microscopa del ICP, por la valiosa orientacin brindada
durante el desarrollo del presente trabajo de grado.
El grupo de GEOFRACTALES UIS, por la ayuda en la consecucin del material
bibliogrfico y las observaciones hechas durante toda la investigacin.
Rafael Orozco, por su inmensa ayuda en la ejecucin de las pruebas de los algoritmos.
Villa Fractal, por los momentos de esparcimiento y diversin brindados.
Mis compaeros, familiares y amigos, de quienes siempre obtuve voces de aliento y
colaboracin.
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CONTENIDO
pg.
INTRODUCCIN................................................................................................................17
1. PRESENTACIN DEL PROYECTO...........................................................................18
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .....................................................................18
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................21
1.2.1 Objetivo General ..............................................................................................21
1.2.2 Objetivos Especficos .......................................................................................21
2. FUNDAMENTACIN TERICA .................................................................................22
2.1 GEOMETRA FRACTAL..........................................................................................22
2.1.1 Origen...............................................................................................................22
2.1.2 Definicin..........................................................................................................23
2.1.3 Autosimilitud.....................................................................................................242.1.4 Dimensin ........................................................................................................24
2.1.5 Dimensin de Escala........................................................................................27
2.2 CLCULO EXPERIMENTAL DE LA DIMENSIN FRACTAL.................................29
2.2.1 Dimensin por Conteo de cajas (Box Counting) (DB)....................................29
2.2.2 Dimensin por el mtodo del Divisor (Dc).........................................................30
2.2.3 Dimensin por Variograma...............................................................................32
2.3 CURVAS QUE LLENAN EL PLANO .......................................................................352.3.1 Curva de Peano ...............................................................................................35
2.3.2 Curva de Hilbert ...............................................................................................37
2.4 CONCEPTOS GEOLGICOS.................................................................................38
2.4.1 Porosidad .........................................................................................................38
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3. METODOLOGA .........................................................................................................41
3.1 ESTUDIO DE LOS ALGORITMOS PARA MEDIR DIMENSIN FRACTAL ...........41
3.2 DESARROLLO DE LOS PROTOTIPOS SOFTWARE............................................423.2.1 Recoleccin y anlisis de requisitos.................................................................42
3.2.2 Diseo ..............................................................................................................42
3.2.3 Implementacin................................................................................................44
3.3 DETERMINACIN DEL MEJOR ALGORITMO ......................................................44
3.4 REFINAMIENTO DEL MEJOR ALGORITMO .........................................................44
4. DESARROLLO DEL SOFTWARE ..............................................................................45
4.1 RECOLECCIN Y ANLISIS DE REQUISITOS.....................................................45
4.1.1 Entendimiento del problema.............................................................................45
4.1.2 Requerimientos iniciales...................................................................................45
4.2 DISEO...................................................................................................................47
4.2.1 Arquitectura del software..................................................................................47
4.2.2 Diagrama de Casos de uso..............................................................................49
4.2.3 Diagramas de secuencia ..................................................................................52
4.2.4 Diseo de la interfaz.........................................................................................58
4.3 IMPLEMENTACIN ................................................................................................60
4.3.1 Lenguaje de programacin...............................................................................60
4.3.2 Formato de las imgenes a analizar ...............................................................60
4.3.3 Implementacin de los algoritmos....................................................................61
4.3.4 Interfaz principal ...............................................................................................64
4.3.5 Opciones de tamao para la imagen................................................................664.3.6 Algoritmo de Conteo de cajas ..........................................................................68
4.3.7 Variograma Horizontal y variograma Vertical ...................................................68
4.3.8 Variograma Promedio Horizontal y Vertical......................................................69
4.3.9 Variograma Hilbert ........................................................................................70
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4.3.10 Variograma Peano ........................................................................................71
4.3.11 Mdulo cargar directorio...................................................................................72
5. PRUEBAS...................................................................................................................75
6. RESULTADOS............................................................................................................79
6.1 ORGANIZACIN DE LOS RESULTADOS .............................................................79
6.2 ALGORITMO DE CONTEO DE CAJAS ..................................................................80
6.3 VARIOGRAMA HORIZONTAL................................................................................80
6.4 VARIOGRAMA VERTICAL......................................................................................82
6.5 VARIOGRAMA PROMEDIO HORIZONTAL............................................................83
6.6 VARIOGRAMA PROMEDIO VERTICAL.................................................................84
6.7 VARIOGRAMA PEANO...........................................................................................86
6.8 VARIOGRAMA HILBERT........................................................................................87
7. CONCLUSIONES .......................................................................................................90
8. RECOMENDACIONES...............................................................................................93
BIBLIOGRAFA...................................................................................................................94
ANEXOS.............................................................................................................................97
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LISTA DE FIGURAS
pg.
Figura 1. Laboratorio de Microscopa Electrnica ICP.................................................19
Figura 2. Imgenes tomadas con microscopa ............................................................20
Figura 3. Tringulo de Sierpinsky ................................................................................22
Figura 4. Conjunto de Cantor.......................................................................................23
Figura 5. Observaciones igualmente espaciadas. .......................................................33
Figura 6. Semivariograma............................................................................................34
Figura 7. Metodologa a emplear.................................................................................41
Figura 8. Diagrama inicial de casos de uso .................................................................46Figura 9. Arquitectura del Software..............................................................................47
Figura 10. Subsistema Seleccionar Imagen ..................................................................49
Figura 11. Subsistema Escoger Algoritmo.....................................................................50
Figura 12. Subsistema Definir parmetros del algoritmo...............................................51
Figura 13. Subsistema Visualizar resultados.................................................................52
Figura 14. Diagrama de Secuencia para obtener dimensin por Conteo de Cajas.......53
Figura 15. Secuencia para obtener dimensin por variograma Horizontal....................54
Figura 16.Secuencia para obtener dimensin por variograma Vertical ........................55
Figura 17. Secuencia para obtener dimensin por variograma Hilbert.......................56
Figura 18. Secuencia para obtener dimensin por Variograma - Peano.......................57
Figura 19. Interfaz principal............................................................................................58
Figura 20. Interfaz para los algoritmos...........................................................................59
Figura 21. Barrido segn curva de Hilbert .....................................................................63
Figura 22. Interfaz principal de Dimensin 1.0...............................................................64
Figura 23. Men estndar ..............................................................................................64
Figura 24. Barra de herramientas para escoger tamao ...............................................65
Figura 25. Zona donde se carga la imagen ...................................................................66
Figura 26. Interfaz para elegir tamao de la imagen .....................................................67
Figura 27. Recuadro que indica el sector escogido .......................................................67
Figura 28. Interfaz para Conteo de cajas.......................................................................68
Figura 29. Interfaz para Variograma Horizontal y vertical..............................................69
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Figura 30. Interfaz Variograma Promedio Horizontal y Vertical .....................................70
Figura 31. Interfaz Variograma - Hilbert.........................................................................71
Figura 32. Curvas de Hilbert generadas por Dimensin 1.0 para 2 y 4 iteraciones.......71
Figura 33. Curvas de Peano generadas para Dimensin 1.0 para 1 y 2 iteraciones.....72Figura 34. Interfaz Variograma Peano........................................................................72
Figura 35. Mdulo cargar directorio. ..............................................................................73
Figura 36. Imgenes tpicas primer grupo .....................................................................76
Figura 37. Imgenes tpicas segundo grupo..................................................................77
Figura 38. Imgenes tpicas tercer grupo ......................................................................77
Figura 39. ImgenesA11-606ah yA10-703af, respectivamente...................................80
Figura 40. Comportamiento de la dimensin por Variograma Horizontal .....................81
Figura 41. Comportamiento de la dimensin Variograma Vertical.................................83Figura 42. Comportamiento de la dimensin por Variograma Promedio Horizontal......84
Figura 43. Comportamiento de la dimensin por Variograma Promedio Vertical..........85
Figura 44. Curva de Peano para 2 iteraciones ..............................................................87
Figura 45. Variograma - Hilbert con 5 iteraciones......................................................... 88
Figura 46. Variograma - Hilbert con 6 iteraciones..........................................................89
Figura 47. Pruebas Conteo de cajas............................................................................115
Figura 48. Pruebas Variograma Oeste Este y Norte Sur .......................................116
Figura 49.Pruebas Variograma Hilbert.....................................................................117
Figura 50. Pruebas Variograma - Peano .....................................................................118
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LISTA DE TABLAS
pg.
Tabla 1. Curva de Koch..................................................................................................26
Tabla 2. Polvo de Cantor................................................................................................26
Tabla 3. Algoritmo de Richarson ....................................................................................32
Tabla 4. Rangos de valores de porosidad......................................................................40
Tabla 5. Diagramas de UML...........................................................................................43
Tabla 6. Descripcin de los casos de uso iniciales ........................................................47
Tabla 7. Variables Conteo de cajas ...............................................................................61
Tabla 8. Variables variograma........................................................................................62Tabla 9. Ejemplo de tabla resumen................................................................................79
Tabla 10. Resumen de la conclusin 3.........................................................................92
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LISTA DE ANEXOS
pg.ANEXO A. Manual de Usuario Dimensin 1.0..................................................................98
ANEXO B. Formatos para el control de las pruebas.......................................................115
ANEXO C. Resultados Variograma Horizontal................................................................119
ANEXO D. Resultados Variograma Vertical....................................................................126
ANEXO E. Resultados Variograma Promedio Horizontal................................................133
ANEXO F. Resultados Variograma Promedio Vertical....................................................139
ANEXO G. Resultados Variograma Hilbert.....................................................................145
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RESUMEN
TTULO: Estudio de factibilidad sobre la aplicacin de la geometra fractal en lacaracterizacin de la porosidad de las rocas sedimentarias*
AUTOR: Johana Lizeth Pinilla Velandia**
PALABRAS CLAVE: Dimensin fractal, microscopa, geometra fractal, variograma,conteo de cajas, curva de Hilbert, curva de Peano.
DESCRIPCINA la geometra fractal se le conoce como la geometra de la naturaleza, ya que permiteaproximarse mejor a sus formas, porque s tiene en cuenta la rugosidad de las superficiesy la aleatoriedad del medio; aspectos que la geometra tradicional no logra describir de
una manera precisa. Debido a que la forma de los poros en las rocas sedimentarias esbastante aleatoria, la geometra fractal se convierte en una herramienta de estudio paradeterminar caractersticas de la porosidad en dichas rocas. Y adems, para poder logrardicha caracterizacin de una manera cuantitativa, es indispensable adentrarse en losconceptos de la dimensin fractal, que es una medida apropiada para los objetosfractales.
El clculo de la dimensin fractal, no se logra con las tcnicas de la geometra Euclidiana,debido a que los fractales no poseen una dimensin entera. Para ello, existen mtodos oalgoritmos computacionales, cada uno apto para el tipo de fractal que se est estudiando.En esta investigacin se estudiaron e implementaron en una herramienta software losmtodos de Conteo de Cajas y variograma.
Para la implementacin del variograma, fue necesario realizar diferentes barridos a laimagen, unos ya propuestos en la literatura, como son, barrido horizontal y vertical; yotros, que se proponen en esta tesis, como son, barrido segn la curva de Hilbert y segnla curva de Peano.
En conclusin, en esta tesis de grado se hace un estudio de la dimensin fractal y unaevaluacin de diversos mtodos para calcularla, mediante la elaboracin de los prototipossoftware necesarios; para luego determinar si con alguno de los algoritmos se obtieneresultados que permitan afirmar con certeza que cierto valor corresponde a la dimensin dde la imagen.
*Trabajo de Grado** Facultad de Ingenieras Fisicomecnicas. Escuela de Ingeniera de sistemas e informtica.
Rafael Isaacs Giraldo.
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ABSTRACT
TITLE: Factibility study on the application of fractal geometry in the characterization ofthe sedimentary rocks porosity*.
AUTHOR: Johana Lizeth Pinilla Velandia**
KEY WORDS: fractal dimension, electronic microscopy, fractal geometry, variogram, BoxCounting, Hilberts curve, Peanos curve.
DESCRIPTION
Fractal Geometry is known like the geometry of the nature, since it allows to come nearbetter to the forms of this one, because this considers the rugosity and the randomness ofthe surfaces; aspects that traditional geometry does not manage to describe in the mostprecise way. Because the form of pores on sedimentary rocks is quite random, fractalgeometry becomes a study tool to determine characteristics of the porosity on these rocks.In addition, to be able to obtain this characterization of a quantitative way, it isindispensable to consider in the concepts of the fractal dimension, which is an appropriatemeasurement for the fractal objects.
The calculation of the fractal dimension, is not obtained with the techniques of Euclidiangeometry, because of the fractals do not have an integer dimension. Because of this, existcomputational methods or algorithms, apt for the type of fractal that is being studied. In thisresearch the methods of Box Counting and variogram are studied and implemented in aprogramming tool.
For the implementation of variogram, it was necessary to make different sweepings fromthe image, already proposed in Literature, as they are, swept horizontal and vertical; andothers, that set out in this thesis, as they are, swept according to the curve of Hilbert andthe curve of Peano.
The conclusion, of this project is to make a study of the fractal dimension and anevaluation of the diverse methods to calculate it, by means of the elaboration of thenecessary software prototypes; in order to to determine if with some of the algorithms oneobtains results that allow to affirm with certainty that a value corresponds to the dimensionof an image.
*Work of grade.**Physicomecanics Faculty. Systems and computer science School. Rafael Isaacs Giraldo.
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INTRODUCCIN
Este trabajo de grado hace parte de PETROSSMICA, Convenio de CooperacinTecnolgica UIS ECOPETROL ICP, No. 005.
El proyecto de investigacin, surge de la necesidad de introducir una nueva metodologa
para caracterizar la porosidad de rocas sedimentarias, pues la usada en la actualidad se
basa en las tcnicas de la geometra Euclidiana, cuyos resultados muchas veces no
corresponden a la realidad. En consecuencia, se necesita alguna herramienta que
describa mejor las formas aleatorias de la naturaleza, y por las caractersticas que posee
la Geometra Fractal, el objeto de estudio de esta Tesis ser dicha geometra y asevaluar su posible aplicacin en la caracterizacin de porosidad, mediante imgenes
tomadas con microscopa.
El primer paso fue la definicin del marco de trabajo, es decir, se indag acerca de la
labor que se lleva a cabo en el Laboratorio de Microscopa del ICP en cuanto a clculo de
porosidad se refiere; de esta manera se puntualiz en el problema que se deba resolver,
el valor de la porosidad encontrada por medio de la geometra tradicional algunas veces
no corresponde a la realidad. Fue as como se determin el objetivo del proyecto, realizarun estudio de factibilidad sobre la aplicacin de la geometra fractal en la caracterizacin
de la porosidad de las rocas sedimentarias, mediante el clculo de la dimensin fractal a
partir de una imagen tomada con microscopa, para mejorar el clculo del nmero de
reservas de crudo en un yacimiento.
El siguiente paso consisti en la consecucin de informacin acerca de los conceptos de
geometra fractal, dimensin fractal, porosidad en rocas sedimentarias y a grandes
rasgos, el proceso del petrleo. Para ello, se consult libros, revistas, Internet, tesis de
grado y bases de datos de diferentes bibliotecas; el resultado fue una recopilacin de los
diferentes mtodos para calcular la dimensin fractal, la definicin de los objetivos
especficos, la metodologa a seguir, el estado del arte, el anlisis de la bibliografa y el
cronograma de trabajo. Luego, se empez a profundizar en los conceptos de la
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Geometra Fractal y ms especficamente, en la dimensin y los algoritmos para
calcularla.
La descripcin del proceso seguido para el desarrollo de este sistema, es el tema aabordar en este texto. En primer lugar se presenta el marco terico que muestra los
fundamentos de geometra fractal, curvas que llenan el plano, dimensin fractal, mtodos
computaciones para calcularla y conceptos geolgicos como porosidad.
El captulo 2 y 3 corresponden a la metodologa y a el desarrollo del software,
respectivamente. En este ltimo se explica detalladamente cada una de las etapas
necesarias para el desarrollo de software y cmo se llevaron a cabo para la construccin
de Dimensin 1.0.
El captulo 4 corresponde a las pruebas hechas para cada uno de los algoritmos que se
incluyeron en el software. Aqu se describe todo el diseo de las pruebas y la forma como
se ejecutaron en el proyecto.
El captulo 5 hace referencia a los resultados obtenidos de acuerdo a las pruebas hechas
y en el 6, se exponen las conclusiones de esta investigacin.
En el captulo 7 se hacen las recomendaciones para darle continuidad a este estudio de
factibilidad sobre la caracterizacin de porosidad de rocas sedimentarias, mediante la
dimensin fractal.
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1. PRESENTACIN DEL PROYECTO
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El petrleo es el resultado de un complejo proceso fsico-qumico en el interior de la tierra,
en el que, debido a la presin y las altas temperaturas, se produce la descomposicin de
enormes cantidades de materia orgnica que se convierten en aceite y gas. Esta materia
orgnica est contenida en un tipo de rocas, conocidas como rocas sedimentarias,
caracterizadas por ser porosas, es decir, presentan espacios vacos conocidos como
poros.
El petrleo se encuentra ocupando esos espacios vacos, es algo as como el agua que
empapa una esponja. Y adems, presenta un proceso de migracin en el que viaja por
entre los poros y fracturas de las capas subterrneas, para filtrarse en otros depsitos o
reservorios. La ciencia de la exploracin consiste bsicamente en identificar y localizar
estos lugares sedimentarios donde se supone est el hidrocarburo.
Para el proceso de exploracin, uno de los primeros pasos es la obtencin de fotografas
areas, imgenes satelitales o imgenes de radar de un rea de inters. Esto permiteelaborar diversos tipos de mapas que identifican caractersticas de un rea determinada,
tales como vegetacin, corrientes de agua, tipos de roca, fallas geolgicas, anomalas
trmicas. Esta informacin permite identificar reas de mayor potencial, en las que se
pueden encontrar las formaciones sedimentarias y estructuras que contengan
hidrocarburos.
As mismo, los gelogos emprenden arduos trabajos de campo en los que describen la
geologa de superficie y toman muestras de roca y suelo para diversos anlisis de
laboratorio. Con estos estudios se tiene una primera aproximacin de la capacidad de
generacin de hidrocarburos y de la calidad de rocas almacenadoras que pueda haber en
un lugar.
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Para calcular la cantidad de reservas de crudo y la productividad de un yacimiento, se
debe conocer las caractersticas fsicas y las propiedades petrofsicas de las rocas
sedimentarias tales como tamao, forma, textura, porosidad, permeabilidad, etc. El
clculo cuantitativo de algunas de estas propiedades, depende de la geometra de losporos.
El Laboratorio de Microscopa Electrnica del ICP, centra su trabajo en el anlisis de
porosidad, valindose de muestras que se toman de los corazones de la roca, (pequeos
bloques de roca), y de la gran resolucin que ofrece el microscopio electrnico de barrido.
La Figura 1 describe el proceso que se lleva a cabo en el Laboratorio de Microscopa:
Figura 1. Laboratorio de Microscopa Electrnica ICP
El valor de la porosidad obtenido a partir de una serie de imgenes, (30 40 para una
muestra dada), se verifica con respecto al valor medido para probar que s representa al
punto del yacimiento en estudio. Luego, se hacen estadsticas del tamao de los poros, a
partir de imgenes binarias (color negro para el poro y blanco para la roca) que se
obtienen por medio de un procesador de imgenes. La medicin del rea se basa en el
conteo del nmero de pxeles que contiene cada poro, aplicando un factor de escala
previamente calibrado en micrmetros. Con base en este clculo se halla la Porosidad ()
frmula1
:
1 Como se trabaja con una imagen en dos dimensiones, el clculo se hace con reas. Sinembargo, cuando se calcula la Porosidad mediante medios fsicos, sta es: volumen de espaciovaco / volumen total de la roca.
El MicroscopioElectrnicogenera una
imagen de unamuestra de
seccin de roca,obtenindose un
formatocompatible concualquier editorde imgenes
Se analiza laimagen pormedio del
histograma deniveles de grises
que sepresentan: tonosde grises (roca) y
negro (poros)
Se hacecaracterizacin
de la roca,mediante mtodo
matemtico,valindose de la
geometra delporo
Se hacevalidacin de losdatos obtenidos
con losencontrados por
medicionesdirectas
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imagenladetotalrea
vacoespacioderea=
El proceso descrito, no tiene la exactitud necesaria al momento de calcular la porosidad,pues se descartan detalles caractersticos de la forma de los poros (Figura 2).
Figura 2. Imgenes tomadas con microscopa
La tcnica empleada en la actualidad, no diferencia entre la forma de los poros de las
Figura 2a y 2b, simplemente identifica que ambas imgenes poseen el mismo espacio
vaco en relacin con el rea total. Debido a la diferencia de forma en las imgenes
consideradas, a pesar de que la porosidad neta tenga el mismo valor para efectos de la
produccin de hidrocarburos, dos rocas con poros como los ilustrados se portarn de
manera diferente.
Por lo expuesto anteriormente, surge la necesidad de introducir una nueva metodologa,
en la caracterizacin de la porosidad de las rocas sedimentarias. Ya que por un lado la
tcnica empleada se basa en las formas de la Geometra Euclidiana, y por otro, la
porosidad es importante no slo como porosidad neta, sino como la geometra de los
poros.
Esta nueva metodologa, debe acercarse ms a la forma de los poros y considerar
parmetros que no se estn tomando en cuenta con la tcnica actual. Por las
caractersticas que presenta la Geometra Fractal, se considera una buena opcin, ya que
sta permite aproximarse mejor a las formas de la naturaleza, porque s tiene en cuenta la
rugosidad de las superficies y la geometra aleatoria del medio. Adems, mediante los
mtodos utilizados para calcular la dimensin fractal, se puede obtener ciertas medidas
de los elementos de las imgenes tomadas con microscopa, en este caso los poros.
a b)
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1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo General
Realizar un estudio de factibilidad sobre la aplicacin de la geometra fractal en la
caracterizacin de la porosidad de las rocas sedimentarias, mediante el clculo de la
dimensin fractal a partir de una imagen tomada con microscopa electrnica, para
mejorar el clculo del nmero de reservas de crudo en un yacimiento.
1.2.2 Objetivos Especficos
1. Construir los prototipos software para calcular la dimensin fractal de las imgenes
de microscopa, utilizando los siguientes algoritmos:
Mtodo de rea / permetro
Conteo de cajas
Relacin del divisor
Ley de Korcak
Espectros de potencia
Variograma
2. Determinar cul de los anteriores algoritmos puede mejorar la caracterizacin de
porosidad, respecto al mtodo basado en la Geometra Euclidiana, que se emplea
actualmente en el Laboratorio de Microscopa Electrnica del ICP.
3. Implementar el algoritmo seleccionado, para el Laboratorio de Microscopa
Electrnica del ICP.
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2. FUNDAMENTACIN TERICA
2.1 GEOMETRA FRACTAL
La topologa, la geometra diferencial y la geometra algebraica nos han enseado a ver el
mundo real en trminos muy ideales: rectas, crculos, parbolas, esferas. Desde 1958,
los trabajos del francs Benoit Mandelbrot y con la ayuda de la computacin, han
permitido dar una mejor aproximacin a las formas de la naturaleza mediante un concepto
geomtrico que l denomin fractal.
2.1.1 Origen
Los Fractales son los objetos matemticos que constituyen la Geometra de la Teora del
Caos. Los sistemas caticos y dinmicos fueron conocidos y descubiertos mucho antes
que los Fractales. De hecho se pueden encontrar y reconocer figuras con caractersticas
fractales como la del tringulo de Sierpinski, ver Figura 1,en grabados de tela de hace
varias dcadas atrs, hasta en los aos de 1400 se hallaron grabados japoneses con
estas estructuras.
Figura 3. Tringulo de Sierpinsky
Un grupo de matemticos comenz a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy
seguido el fenmeno de irregularidades y que no eran excepciones como se supona. Los
primeros que comenzaron a demostrar tericamente esta problemtica fueron Cantor (con
su famoso y casi mstico conjunto de Cantor, ver Figura 2), y Peano. Hasta llegar a los
aos de 1880 con Poincar, al que se lo conoce como el padre de la Teora del Caos.
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Figura 4. Conjunto de Cantor
No fue hasta el ao 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios
de IBM para hacer un anlisis del ruido y perturbaciones elctricas. l not que la
distribucin de la seal de ruido es estadsticamente similar en muchas escalas de
observacin. En grficas de intensidad contra tiempo las distribuciones son muyparecidas en diferentes rangos de tiempo: minutos, segundos, milisegundos, etc. En
otros fenmenos aleatorios, como variacin de precios en la bolsa de valores o el
comportamiento anual de las riadas del Nilo, encontr aspectos semejantes, en forma de
ruidos Brownianos.
2.1.2 Definicin
La palabra fractal todava no tiene un significado muy preciso, pues se ha transformado
en una herramienta multidisciplinaria utilizada por cientficos, artistas, psiclogos,
socilogos, etc. Sin embargo, estas son algunas de las definiciones que se les han dado
a los fractales:
Los Fractales son los objetos matemticos que conforman la Geometra de la
Teora del Caos.
La Geometra Fractal es tambin conocida como la Geometra de la Naturaleza.
La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot proviene del latn y significa roto,
quebrado.
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La Geometra Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas,
elipses y dems objetos de la geometra tradicional son reemplazados por
algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales,
caticos y dinmicos.
Los Fractales son objetos cuya dimensin es no entera o fraccionaria.
Un objeto fractal es aquel que su dimensin fractal de Hausdorff -Besicovich
supera a su dimensin topolgica.
Un objeto fractal es aqul que posee las siguientes dos caractersticas:
Autosimilitud y Dimensin Fractal.
Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen alguna relacin con el todo.
(esto est ntimamente ligado a la Autosimilitud)
2.1.3 Autosimilitud
Se refiere a la caracterstica que presentan determinados objetos en los cuales los
detalles ms pequeos que lo componen tienen alguna relacin estadstica con sus
propiedades globales, repitindose tales detalles de una manera infinita. En la naturaleza
se encuentra indudablemente esta autosimilitud aunque no de manera tan determinstica:
las olas del mar son formadas por pequeas olas, cada una formada por otras olitas;
estadsticamente, la distribucin de las costas de los pases en gran escala corresponde a
la distribucin en pequeas escalas.
2.1.4 Dimensin
Una de las interpretaciones de la dimensin, posiblemente la ms natural, est
relacionada con la capacidad de los objetos para ocupar el espacio euclidiano en el que
se encuentran sumergidos. Los fractales, poseen una dimensin fractal o dimensin de
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Haussdorf Besicovitch, la cual debe ser real y mayor que su dimensin topolgica. Es
claro, que para los objetos de la geometra clsica, la dimensin topolgica es:
DimensinConjunto finito de puntos aislados 0
Lnea 1Superficie idealmente suave 2
Slidos tpicos de la geometra euclidana 3
siendo sta igual a la dimensin Hausdorff Besicovitch; pero en los fractales, stas no
coinciden. As, la curva de Koch tiene dimensin topolgica 1; pero su dimensin de
Haussdorf es log4/log3, que no es ni siquiera racional. La curva de Cantor tienedimensin topolgica 0; pero dimensin de Haussdorf de log2/log3 (aproximadamente
0.63).
La dimensin fractal mide la cantidad de espacio ocupado y es la medida apropiada para
los objetos fractales. Es una medida que resulta de la normalizacin de la longitud,
mediante un exponente que eleva el denominador a una potencia fraccionaria. Mediante
las tcnicas de la geometra euclidiana no es posible calcular una medida para los objetos
fractales.
La obtencin de una medida se realiza segn un patrn seleccionado. As, para la
obtencin del rea de un objeto como la superficie de una mesa se escogen por ejemplo
cuadrados de rea conocida, y el rea resultante es la suma de las veces en que el patrn
de medida ocupa la superficie total. El ajuste del denominador define un parmetro
umbral para el cual la longitud converge a la unidad. Ms all la longitud se hace infinita,
ms ac se hace cero. Para la comprensin de esta situacin, consideremos los
siguientes ejemplos:
1. Curva de Koch:
La construccin de la curva de Von Koch se realiza partiendo de un segmento de longitud
unidad. En la primera etapa del algoritmo, se sustituye dicho segmento por cuatro, cada
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uno de los cuales tiene longitud 1/3, y estn colocados de la forma que se indica en la
tabla:
Tabla 1. Curva de Koch
Iteracin N s Longi tud Total
1 1 1 x 1
4 1/3 4 x 1/3 = 4/3
42 1/32 42 x 1/32 = 42/32
43 1/33 43 x 1/33 = 43/33
44 1/34 44 x 1/34 = 44/34
4n 1/3n 4n x 1/3n = 4n/3n
En la n-sima iteracin la longitud de la curva de Koch es ( )nnl 34= . En el lmite de
iteracin infinita, la longitud tiende a infinito. El caso normalizado de la curva de Koch es:
( ) 13
4=
=
n
Dnn
nLimlLim
La igualdad se cumple cuando el factor entre parntesis es la unidad. Despejando se
tiene que:
( )( )
2619.13
4
=
Log
LogD
2. Polvo de Cantor:
Se parte del intervalo [0,1], que denominamos C0. Se obtiene C1 removiendo el tercio
central de C0, de forma que resulta:
U
= 1,3
2
3
1,01C
Sucesivamente, se contina el proceso de remocin, suprimiendo el tercio central de cada
nuevo subintervalo generado.
Tabla 2. Polvo de Cantor
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Iteracin N s Longitud Total
0. 1 1 1 x 1
1. 2 1/3 2 x 1/3 = 2/3
2. 22 1/32 22 x 1/32 = 22/32
3. 23 1/33 23 x 1/33 = 23/33
4. 24 1/34 24 x 1/34 = 24/34
n. 2n 1/3n 2n x 1/3n = 2n/3n
En la n-sima iteracin la longitud del Polvo de Cantor es ( )nnl 32= . En el lmite de
iteracin infinita, la longitud tiende a cero. En vez del segmento de dimensin uno,
aparece un conjunto con infinitos puntos de dimensin cero, totalmente disconexos. Noobstante el conjunto ocupa un espacio. Para su normalizacin, se tiene que:
Despejando D:
( )( )
6309.03
2
=
Log
LogD
2.1.5 Dimensin de Escala
La dimensin de escala es vlida nicamente para estructuras estrictamente
autosimilares. La autosimilitud se refiere a la caracterstica que presentan determinados
objetos en los cuales los detalles ms pequeos que lo componen tienen alguna relacin
estadstica con sus propiedades globales, repitindose tales detalles de una manera
infinita.
La dimensin de escala se refiere a que una estructura autosemejante se puede construir
con Nobjetos, cada uno de ellos reescalado en la proporcin 1/krespecto de la estructura
original.
Se caracteriza as un objeto autosemejante a travs de una ley de Potencias:
( ) 13
2=
=
n
Dn
nn
LimlLim
-
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DkN=
En estas condiciones se define la dimensin de escala de una estructura autosemejanteF:
( )kLog
NLogFDS = Ec. (1)
Ejemplos:
1. Lnea:
2. Cuadrado:
3. Cubo:
D=1 para la lnea, D=2 para el cuadrado, D=3 para el cubo. En otras palabras, el
exponente en la Ley de Potencias, es exactamente igual a la dimensin topolgica de
cada uno de estos objetos.
4. La Curva de Koch:
Segn la Tabla 1, en la iteracin n de la Curva de Koch, se obtiene un conjunto formado
por 4nsegmentos cada uno de ellos de longitud 1/3n.La dimensin de escala resulta:
ObjetoNmero de piezas
(N)Factor de reduccin
(1/k)LneaLneaLnea
36
173
1/31/6
1/173CuadradoCuadradoCuadrado
9=3236=62
29929=1732
1/31/6
1/173CuboCuboCubo
27=32216=62
5177717=1733
1/31/6
1/173
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29
2619.13
4=
Log
LogDS
La dimensin topolgica de esta curva es 1, de forma que, la atribucin de la cantidad1.2619, explica mejor las caractersticas de este conjunto, cuya longitud es infinita, a
pesar de tener soporte finito. En todo caso, est ms cerca de la naturaleza de una curva,
que de la correspondiente a un conjunto plano.
5. Polvo de Cantor
Segn la Tabla 2, en la iteracin n del Polvo de Cantor, se obtiene 2n segmentos, de
longitud 1/3n. La dimensin de escala resulta:
6309.03
2=
Log
LogDS
2.2 CLCULO EXPERIMENTAL DE LA DIMENSIN FRACTAL
2.2.1 Dimensin por Conteo de cajas (Box Counting) (DB)
1. Se cubre la caracterstica de inters con una sola caja.
2. La caja es dividida en cuatro cuadrantes de lado 1/s y se cuenta el nmero de celdas
N(s)que cubren algn sector de la figura.
3. Enseguida, cada cuadrante es dividido nuevamente en otros cuatro cuadrantes de
lado s y se vuelve a contar el nmero de celdas N(s) que cubren algn sector de la
curva de inters. Este procedimiento se repite hasta que el tamao de la caja sea igual
a la resolucin de los datos, contando siempre el nmero de celdas que estn
ocupadas por algn sector de la figura.
4. Luego se hace una grfica Log(N(s)) vs. Log (1/s). Se calcula la pendiente de esta
grfica de la siguiente manera:
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Sea ( )ii sLogx /1= ,
( )ii NLogy =
Entonces la pendiente es:
=n n
ii
n n
i
n
iii
xxn
yxyxn
m
1
2
1
2
1 11 Ec. (2)
de donde m es la dimensin Box Counting (DB).
NOTA: Es preferible que el objeto al que se le est calculando la DB, est inscrito en un
cuadrado cuyo lado (en pxeles) sea potencia de 2, pues estos valores tienen la propiedad
que todas sus mitades son nmeros pares.
2.2.2 Dimensin por el mtodo del Divisor (Dc)
Tambin conocido como el conteo de Richardson. Los primeros trabajos empricos
relacionados con Dimensin Fractal los realiz Lewis Fry Richardson. Su mtodo de
medida es tan consistente que expresa el concepto intuitivo de Dimensin Fractal y
plantea un mtodo bsico de medida.
Es el mtodo ms apropiado para estimar la dimensin de una lnea arbitraria, como una
lnea de costa o el borde de un poro de una roca. El contorno es aproximado por una
serie de segmentos de lnea recta de longitud constante.
Significado intuitivo de Dimensin Fractal2: Consideremos un paracaidista que cae
desde un avin a gran altura hacia una playa. Atento en el sitio de cada, podr observar
como la playa va generando rasgos (entrantes y salientes) no observadas por la limitacin
2ARCINIEGAS Nelson, COGOLLO Magda Luca, PINTO Flavio Augusto. Tesis de Grado Estudiode factibilidad para la caracterizacin fractal de las formas del relieve mediante el desarrollo de unaherramienta computacional basada en un sistema de anlisis de imgenes. Universidad Industrialde Santander. 1995
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de la resolucin de una mayor altura. La revelacin de rasgos es constante; no es a
veces nula o a veces impetuosa. Ms bien se nota que los bordes de la playa son muy
parecidos en cualquier escala; y cada rasgo, por decir una baha, contiene otras bahas
ms pequeas que aparecen luego de cierto tiempo.
La aparicin de rasgos y la conservacin de la distribucin de los mismos aparece ocmo
una constante en el exponente (Dimensin Fractal) que relaciona el nmero Nde rasgos
visibles en la escala k, con el tamao de la escala:
DkN
El signo negativo en la dimensin indica que el nmero de rasgos aumenta con lasescalas ms pequeas.
La dimensin fractal es una estimacin de la cantidad de espacio ocupado por una curva.
Si la dimensin de la costa es cercana a 2, el paracaidista observar que los pequeos
detalles aparecen con rapidez llenando el espacio comedidamente, slo a muy pocos
metros de altura podr saber si caer en tierra o en agua. Si Des prxima a 1, por el
contrario el descenso mostrar con lentitud la aparicin de nuevos rasgos. El paracaidista
podr decidir con mucha anticipacin si caer en tierra o en mar.
Algori tmo: Para calcular la dimensin fractal por el mtodo de Richardson, se procede
de la siguiente manera:
1. Se fija una longitud de segmento rpara empezar.
2. Se delinea el contorno del objeto con dichos segmentos.
3. Se calcula el nmero de segmentosNnecesarios para rodear el contorno.
4. Se lleva un registro con los datos obtenidos, como se expresa en la Tabla 3.
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Longitud delsegmento
r
Nmero desegmentos
N
PermetroN x r
Log(1/r)
Log(Nr)
Tabla 3. Algoritmo de Richarson
5. Se disminuye la longitud de los segmentos y se vuelve a empezar.
Las parejas de puntos (log (1/r), log(Nr)), se ajustan a una lnea recta con ecuacin:
( )
+=r
mLogaNrLog1
Ec. (3)
donde mes la pendiente de la recta. sta puede ser calculada con (2), donde( )rLogxi /1=
( )NrLogyi =
Y la dimensin del fractal por medio del mtodo del divisor se calcula:
mDC += 1 Ec. (4)
2.2.3 Dimensin por Variograma
El mtodo basado en el variograma, es ampliamente utilizado para determinar dimensin
fractal de superficies. Por medio del muestreo de un gran nmero de pares de puntos, con
un espaciado diferente, a lo largo de un perfil y las diferencias estimadas en sus atributos
de inters, por ejemplo, intensidad de gris, altura, profundidad; la dimensin fractal puede
ser fcilmente derivada de una grfica logartmica de lasemivarianzavs. la distancia entre los
pares de puntos.
Semivarianza: La semivarianza es una medida del grado de dependencia espacial entre
observaciones a lo largo de un perfil y es usada para expresar la tasa de cambio de una
variable a lo largo de una orientacin especfica.
Para cada pareja de puntos, la semivarianza se calcula con (5)
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( ) += hn
i hiih nxx 2
2 Ec. (5)
En esta notacin, ix es el valor que toma el atributo de inters en la posicin i y hix + es
otro valor tomado h intervalos despus. Por lo tanto, con esta frmula se encuentra el
cuadrado de las diferencias entre parejas de puntos separados por una distancia h . El
nmero de puntos es n , luego el nmero de comparaciones entre las parejas de puntos
es hn .
La siguiente figura ilustra el procedimiento; para 1=h , cada punto es comparado con su
vecino. Para 2=h , cada punto es comparado con el punto localizado dos espacios
despus y as sucesivamente.
h=1 h=2 h=3 h=4
Figura 5. Observaciones igualmente espaciadas.
Para h=1, la semivarianza es calculada con valores de puntos adyacentes. La semivarianza
para h=2 se calcula con los valores de los puntos separados por una posicin. Para h=3,
los puntos comparados estn separados por dos posiciones. Y para h=4 los puntos
comparados estn separados por tres posiciones. La semivarianza para valores mayoresde h, es calculada de manera anloga.
Semivariograma: Al calcular las semivarianzas para diferentes valores de h , se puede
graficar los resultados en un semivariograma, tal como lo muestra la siguiente figura.
Ntese que cuando la distancia hentre los puntos de muestra es cero, el valor de cada
punto est siendo comparado consigo mismo, por lo tanto, la semivarianza es cero. Si h
es una distancia corta, los puntos que estn siendo comparados tienden a tener valores
muy similares, y la semivarianza es un valor pequeo. A medida que se incrementa h, lospuntos que se comparan estn cada vez ms lejos, por consiguiente la semivarianza
empieza a tomar valores ms grandes.
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Figura 6. Semivariograma.
Se grafica h vs. semivarianza. A medida que crece h, se incrementa la semivarianza. El
intervalo de la grfica, donde no vara la semivarianza, se denomina umbral.
En alguna distancia h, los puntos estn tan apartados que entre ellos no existe relacin
alguna, y sus diferencias cuadradas llegan a ser igual en magnitud a la varianza. En
estos puntos, la semivarianza no se incrementa y el semivariograma describe una regin
plana llamada umbral .
Algori tmo: Para calcular la dimensin fractal por medio del mtodo del variograma, se
debe seguir el algoritmo que se describe a continuacin:
1. Construir el semivariograma ( hvsh . ).
2. Se hace la grfica de ( ) ( )hvsh log.log .
3. Se calcula la pendiente de la regresin lineal de la grfica.
4. Se halla la dimensin fractal, mediante (6).
22
=D Ec. (6)
Siendo la pendiente estimada en el paso 3.
Semivariograma
h
semivarianza
h
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2.3 CURVAS QUE LLENAN EL PLANO
Normalmente, cuando se piensa en una curva, uno se imagina una lnea dibujada sobre el
papel; pero las curvas que llenan el plano son contrarias a esta intuicin porque su dibujoes una mancha oscura.
En 1890, el italiano Giuseppe Peano3(1858-1932), propuso la construccin de una curva
que tiene la propiedad notable de llenar el plano, en el sentido que pasa por cualquier
punto. A primera vista, fue sorprendente y paradjico el descubrimiento de Peano debido
a que el intervalo [0, 1] llena un cuadrado, en otras palabras, la dimensin 1 llena la
dimensin 2, de esta manera se inici el anlisis riguroso del concepto de dimensin.
Luego, otros matemticos como Hilbert, Moore, Lebesgue, Sierpinsky, Polya nos
enriquecieron con ms ejemplos de estos entes matemticos antiintuitivos, sorprendentes
y paradjicos.
2.3.1 Curva de Peano
Para la construccin de la curva de Peano se procede de la siguiente manera:
1. Se parte de un cuadrado, que se divide en nueve subcuadrados iguales y se crea una
curva que permita recorrerlo en el orden que indican los nmeros.
3 4 9
2 5 8
1 6 7
3G. Peano, Sur une courbe, qui remplit tute une aire plane, Mathematische Annalen 36 (1890) 157-160.
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2. A su vez, cada subcuadrado se divide en otros nueve cuadrados, y se vuelven a unir
mediante una curva. Ntese que a los cuadrados 2, 4, 6 y 8 se les ha sometido a una
reflexin con respecto a la horizontal para hacer posible la continuidad de la curva.3 4 9 1 6 7 3 4 9
2 5 8 2 5 8 2 5 8
1 6 7 3 4 9 1 6 7
9 4 3 7 6 1 9 4 3
8 5 2 8 5 2 8 5 2
7 6 1 9 4 3 7 6 1
3 4 9 1 6 7 3 4 9
2 5 8 2 5 8 2 5 8
1 6 7 3 4 9 1 6 7
3. En el paso n, se tendr entonces una curva que pasar por cada punto del cuadrado.
Para construir la curva de Peano como un Sistema Iterado de Funciones, se necesita las
siguientes nueve transformaciones:
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
32
32
310
031
32
32
310
031
032
310031
31
31
310
031
31
31
310
031
1
31
310
031
32
0
310
031
32
0
310
031
310
031
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
y
xT
y
x
y
xT
yx
yxT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
-
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2.3.2 Curva de Hilbert
El algoritmo de la curva que se describe a continuacin, fue descrita en 1891 por David
Hilbert4
(1862-1943), poco ms tarde de que Giuseppe Peano describiese una curvaanloga.
Para su construccin se procede as:
1. Se parte de un cuadrado dividido en cuatro subcuadrados y se crea una curva que
permita recorrerlo, en el orden que indican los nmeros.
2 3
1 4
2. Cada uno de los cuadrados obtenidos, vuelve a dividirse en cuatro y para recorrer los
nuevos subcuadrados, se sigue el orden de los nmeros. Ntese que en la zona 1 y 4, lacurva inicial gira -90 y 90 respectivamente, para darle continuidad a la curva.
2 3 2 3
1 4 1 4
4 3 2 1
1 2 3 4
4D. Hilbert, bre die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flchenstck, Mathematische Annalen 38(1891) 459-460.
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3. De manera similar al paso 2, se divide cada cuadrado en cuatro, resultando as 64
cuadrados que se deben unir segn lo indica la siguiente figura.
2 3 2 3 2 3 2 3
1 4 1 4 1 4 1 4
4 3 2 1 4 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4
4 1 4 3 2 1 4 1
3 2 1 2 3 4 3 2
2 3 4 3 2 1 2 3
1 4 1 2 3 4 1 4
Para construir la curva de Hilbert como un Sistema Iterado de Funciones, se necesita lassiguientes cuatro transformaciones:
+
=
+
=
+
=
=
21
1
021
210
21
21
210
021
21
0
210
021
021
210
4
3
2
1
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
y
x
y
xT
2.4 CONCEPTOS GEOLGICOS
2.4.1 Porosidad
La porosidad de una roca est determinada por la proporcin que ocupan huecos o
intersticios en su volumen total. Cuanto ms porosa es una roca, ms grande es lacantidad de espacios abiertos que contiene. A travs de estos espacios debe abrirse
camino al agua subterrnea.
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La porosidad difiere de un material a otro. Por ejemplo, los lodos recientemente
depositados (llamados emulsiones de lodo) puede tener hasta un 90 por ciento de agua
en volumen, en tanto que el granito puede tener apenas una fraccin del uno por ciento.
Porosidad en rocas sedimentarias: La historia de las rocas sedimentarias comienza
con los procesos de intemperismo5. Los ros, los glaciares, el viento y las corrientes
ocenicas desplazan los materiales intemperizados hacia nuevas localidades y los
depositan como arena, grava o fango. La transformacin de estos sedimentos en roca
viene a ser la etapa final en el desarrollo de las rocas sedimentarias.
El adjetivo sedimentario, del latn sedimentum significa asentamiento. Las rocas
sedimentarias son rocas formadas por la acumulacin de sedimentos, que puedenconsistir de fragmentos de roca de varios tamaos, los restos o productos de animales o
vegetales, el producto de la accin qumica o de la evaporacin o mezcla de stos.
La porosidad es la proporcin, en porcentaje, entre volumen de espacio vaco y el
volumen total de la roca. La porosidad de un sedimento resulta del hecho que las
partculas no ocupan todo el espacio posible. Matemticamente, la porosidad se expresa
as:
100
=totalvolumen
granosdevolumentotalvolumen Ec. (7)
Los poros en rocas sedimentarias generalmente acumulan agua y no tan comnmente,
petrleo o gas.
Rangos de valores de porosidad: En condiciones operacionales promedio y rocas
almacenadoras de crudo tpicas, los valores de porosidad pueden ser vistos de estemodo:
5El intemperismo es la reaccin de los materiales que alguna vez estuvieron en equilibrio dentrode la corteza de la Tierra, a las nuevas condiciones en o cerca del contacto con el agua, aire omateria viviente.
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Tabla 4. Rangos de valores de porosidad
Porcentaje deporosidad Evaluacin
cualitativa
0-5 Despreciable
5-10 Muy baja10-15 Regular15-20 Buena
Mayor de 20 Muy Buena
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3. METODOLOGA
Un proceso define quin est haciendo qu, cundo, y cmo alcanzar un determinado
objetivo. (...) Un proceso efectivo captura y presenta las mejores prcticas que el estado
actual de la tecnologa lo permite. En consecuencia reduce el riesgo y hace el proyecto
mas predecible.6
Uno de los puntos ms importantes para que proyecto sea desarrollado con xito, es la
eleccin adecuada de la metodologa, de acuerdo a la clase de proyecto a desarrollar, ya
que sta es la que guiar la definicin de tareas y la secuencia de las mismas en el
proceso de desarrollo del software.
La metodologa que se va a llevar a cabo en este proyecto de investigacin, se expresa
grficamente en la siguiente figura:
Figura 7. Metodologa a emplear
3.1 ESTUDIO DE LOS ALGORITMOS PARA MEDIR DIMENSIN FRACTAL
6Jacobson, Ivar. Booch, Grady. Rumbaugh, James. El Proceso Unificado de Desarrollo deSoftware. Primera edicin. Addison Wesley. Espaa, 2000.
1
2
3
4
1. Estudio de los algoritmos para medir dimensinfractal.
2. Desarrollo de los prototipos software
3. Determinacin del mejor algoritmo.
4. Refinamiento del mejor algoritmo.
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42
Esta etapa se valdr de toda la informacin recopilada sobre los mtodos existentes para
medir la dimensin fractal, y as estudiarlos y comprenderlos.
3.2 DESARROLLO DE LOS PROTOTIPOS SOFTWARE
Esta fase del proyecto, consiste en la elaboracin de una herramienta software para cada
uno de los algoritmos. La construccin de los prototipos, debe valerse de las fases para
cualquier proyecto software:
1. Recoleccin y anlisis de requisitos
2. Diseo
3. Implementacin
3.2.1 Recoleccin y anlisis de requisi tos
En esta etapa se logra claridad sobre lo que desea el usuario y la forma en la cual se le va
a presentar la solucin que est buscando. Para la recoleccin de los requerimientos, se
dispone de tcnicas como: entrevistas con el usuario, observacin, cuestionarios, revisin
de registros, muestreo, lluvia de ideas, herramientas grficas, entre otros.
3.2.2 Diseo
Es una etapa relevante en la construccin de un proyecto software, pues aqu tiene lugar
su definicin estructural y esto, es el soporte y apoyo en la fase de codificacin del
sistema.
El diseo es la representacin grfica de lo que se va a construir, y para ello, se utilizar
UML (Lenguaje Unificado de Modelado).
UML Lenguaje Unificado de Modelado: UML es un lenguaje de modelado visual que
se usa para especificar, visualizar, construir y documentar artefactos de un sistema de
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software. Se usa para entender, disear, configurar, mantener y controlar la informacin
sobre los sistemas a construir7.
UML es importante en el desarrollo de este proyecto porque:
No es un lenguaje de programacin.
Reemplaza a decenas de notaciones empleadas en otros lenguajes.
Es un lenguaje de modelado de propsito general que pueden usar todos los
modeladores. No tiene propietario y est basado en el comn acuerdo de gran
parte de la comunidad informtica.
Puede ser aplicado a diferentes tipos de sistemas (software y no-software),
dominios (negocios Vs. Software) y mtodos o procesos.
La siguiente tabla enuncia y explica los tipos de diagramas que se utilizaron en la etapa
de diseo:
Tabla 5. Diagramas de UML
Diagrama UML Descripc in
Diagrama de Casos de UsoModela la funcionalidad del sistema segn loperciben los usuarios externos, llamadosactores. Un caso de uso es una unidadcoherente de funcionalidad, expresada comotransaccin entre los actores y el sistema. Unactor es una idealizacin de una personaexterna, de un proceso, o de una cosa queinteracta con el sistema.
Diagrama de Secuencia Muestra un conjunto de mensajes, dispuestos
7 RUMBAUGH James, JACOBSON Ivar, BOOCH Grady. El Lenguaje de Modelado Unificado,
Manual de Referencia. Addison Wesley. Espaa, 2000.
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en una secuencia temporal. Cada rol en lasecuencia se muestra como una lnea devida, es decir, una lnea vertical querepresenta el rol durante cierto plazo detiempo. Los mensajes se muestran como
flechas entre las lneas de vida.
3.2.3 Implementacin
La implementacin o construccin, es la etapa en que se ha de traducir el diseo en unlenguaje de programacin, es decir, se expresa como cdigo todas las operaciones y
funciones que debe realizar el sistema.
3.3 DETERMINACIN DEL MEJOR ALGORITMO
Mediante la definicin de un marco de evaluacin que permita hacer las pruebas a cada
uno de los algoritmos, se establecer el mtodo que mejor se ajuste a la caracterizacin
de porosidad, de imgenes tomadas con microscopa. Si ninguno de stos cumple conlos criterios de evaluacin, se finalizar el proyecto mediante sus respectivas
conclusiones.
3.4 REFINAMIENTO DEL MEJOR ALGORITMO
Luego de haber determinado el algoritmo que mejor se ajuste a la caracterizacin de
porosidad, es necesario refinarlo de acuerdo a las necesidades del usuario, en este caso,
a las del Laboratorio de Microscopa del ICP.
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4. DESARROLLO DEL SOFTWARE
4.1 RECOLECCIN Y ANLISIS DE REQUISITOS
4.1.1 Entendimiento del problema
La primera fase de este proyecto, fue conocer el trabajo que se lleva a cabo en el
Laboratorio de Microscopa Electrnica , y as lograr un mayor entendimiento del
problema que se estaba abordando. Para ello, se hizo una entrevista con pregunta
abierta a la persona responsable de dicho laboratorio. Las preguntas fueron las
siguientes:
1. Cul es el proceso que se lleva a cabo para obtener una imagen lista para el anlisis
matemtico?.
2. Cundo se clasifica una imagen como microscpica?.
3. Qu utilidad presta la microscopa electrnica de barrido?.
4. Qu formato de imgenes se manejan en el laboratorio?
Con base en la informacin recopilada con las cuatro preguntas anteriores, se dio paso al
planteamiento del problema y a la definicin de los requerimientos iniciales.
4.1.2 Requerimientos iniciales
La herramienta software para calcular la dimensin fractal, de una imagen tomada con
microscopa, debe permitir:
Seleccionar y cargar las imgenes en formato *.tiff, generadas por el microscopio
electrnico de barrido.
Escoger una zona de la imagen para hacerle su respectivo anlisis fractal.
Escoger un algoritmo para calcular la dimensin fractal y definir sus respectivos
parmetros.
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Visualizar los resultados de cada imagen, es decir, la tabulacin de los datos, su
dimensin y grfica.
La siguiente figura, muestra el Diagrama inicial de Casos de uso, que surgi a partir de los
requerimientos iniciales y de los objetivos planteados en el proyecto.
Figura 8. Diagrama inicial de casos de uso
Ac tores del sistema: En la Figura 8 se aprecia un nico usuario, quien es el encargado
de realizar las pruebas de los diferentes algoritmos. Este individuo debe tener
conocimientos sobre geometra fractal y ms especficamente, sobre dimensin fractal;
adems, debe comprender el trabajo que se lleva a cabo en el Laboratorio de
Microscopa.
Descripcin de los casos de uso: La siguiente tabla muestra el nombre, descripcin y
precondiciones de los casos de uso, identificados en el modelo inicial.
usuario
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Tabla 6. Descripcin de los casos de uso iniciales
Caso de uso Descripcin Precondiciones
Seleccionarimagen
Consiste en seleccionar una imagen delas que genera el microscopio electrnico,es decir, las que estn en formato *.tif.
La imagen debe haber sidogenerada por el microscopio.
La imagen debe estar en escalade grises.
EscogerAlgori tmo
El sistema debe permitir al usuario,escoger entre los diferentes algoritmosque se estn evaluando, para el clculode dimensin fractal.
Seleccionar el tamao adecuadode la imagen, que no genereerrores en el clculo de ladimensin.
Definirparmetros
del algoritmo
Se refiere a los parmetros iniciales queel usuario debe definir, de acuerdo alalgoritmo que haya seleccionado.
Escoger un algoritmo para elclculo de la dimensin.
Calculardimensin
Calcula la dimensin fractal de la imagenseleccionada.
Definir todos los parmetrosnecesarios para aplicar elalgoritmo.
Visualizarresultados
Muestra la tabulacin y grfica de losdatos que llevaron al valor de ladimensin y el nmero correspondiente ala dimensin fractal.
Debe existir una dimensin fractalcalculada.
4.2 DISEO
Figura 9. Arquitectura del Software
4.2.1 Arquitectura del software
La Arquitectura del Software es la organizacin fundamental de un sistema, formada por
sus componentes, las relaciones entre ellos, el contexto en el que se implantarn y los
principios que orientan su diseo y evolucin.
Segn la Aplicacin a desarrollar, existen diversas perspectivas de la arquitectura queabarcan distintas vistas dependiendo de los interesados, usuarios finales o
desarrolladores y por ello es importante documentar la arquitectura trabajada. Dentro de
las vistas de arquitectura mencionadas se encuentra:
=n n
ii
n n
i
n
iii
xxn
yxyxn
m
1
2
1
2
1 11
( )
+= hn
i hiih nxx 2
2
Capa de presentacin Capa de procesamiento Capa de datos
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Vista Conceptual: Ayuda a describir el modelo que la arquitectura debe cubrir.
Define los requerimientos funcionales, la visin que los usuarios tienen de la
aplicacin y permite apreciar los subsistemas y mdulos que conforman la
aplicacin.
Vista Lgica:Describe la aplicacin en forma de paquetes y clases. Muestra los
principales componentes y las relaciones entre ellos, independientemente de
detalles tcnicos.
Vista Fsica: Ilustra los elementos de la vista lgica en funcin del software y el
hardware que precisan la forma como se ejecutar la solucin entre los distintos
equipos.
Vista Implementacin: Describe la forma como se implementan componentes
fsicos agrupados en subsistemas organizados jerrquicamente y por capas, al
igual que la dependencia que hay entre ellos.
Actualmente el modelo de diseo ms utilizado para cualquier aplicacin es el de capas,
el nmero de estas vara segn la complejidad o especificidad que quiera transmitirse.
Para este proyecto se utiliz la arquitectura de tres capas, definidas de la siguiente
manera:
1. Capa de presentacin : Esta capa se encarga de interactuar directamente con el
usuario, por medio de la interfaz grfica desarrollada en MATLAB.
Algunas de sus funciones son abrir imagen, definir tamao de sectores para su
anlisis, mostrar y guardar resultados.
2. Capa de procesamiento: Se encarga de hacer efectiva la comunicacin entre la
capa de presentacin y la de datos, ejecutando procesos sobre los datos, segn
las especificaciones del usuario.
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3. Capa de datos: Almacena, recupera y mantiene la informacin base para la
aplicacin. Estos datos son de varios formatos, en los que se incluye imgenes
(*.tif), hojas de clculo.
4.2.2 Diagrama de Casos de uso
En la fase de recoleccin y anlisis de requisitos, se present un modelo inicial que
detallaba los requerimientos generales del sistema. Ahora, durante esta fase, se obtuvo
los submodelos que detallan cada subsistema.
1. Modelo de casos de uso para el subsistema Seleccionar Imagen
Figura 10. Subsistema Seleccionar Imagen
Descripcin del modelo: Luego de haber seleccionado la imagen, el usuario tiene que
definir un tamao especial, para los algoritmos que as lo requieran, como lo son Conteo
de cajas, Variograma Hilbert y Variograma Peano. Esto se hace para evitar que el
programa genere error, si encontrara que debe leer un pxel cuya posicin no es unnmero entero.
Adems, para los algoritmos Variograma Horizontal y Variograma Vertical, tambin se
puede definir un sector de la imagen; no siendo ste un requisito fundamental para
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calcular dimensin por alguno de estos mtodos, pues se puede trabajar con cualquier
tamao.
2. Modelo de casos de uso para el subsistema Escoger Algoritmo
Figura 11. Subsistema Escoger Algoritmo
Descripcin del modelo: El usuario tiene dos opciones al momento de escoger un
algoritmo: una es Conteo de Cajas y la otra Variograma. Este ltimo permite hacer cuatro
barridos diferentes a la imagen: sentido Oeste Este, Norte Sur, segn curva de Hilbert
o segn curva de Peano.
3. Modelo de casos de uso para el subsistema Definir parmetros del algoritmo
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Figura 12. Subsistema Definir parmetros del algoritmo
Descripcin del modelo: De acuerdo al algoritmo escogido, el usuario debe definir
ciertos parmetros antes de solicitar el clculo de la dimensin:
Algoritmo de conteo de cajas: debe definir el nmero de iteraciones, es decir, el
mximo nmero de cajas a construir.
Variograma: en los cuatro tipos de barridos, se debe definir el paso h inicial y el
final. Solamente para Hilbert y Peano, adems del paso h, se debe definir la
cantidad de iteraciones para generar la curva, que corresponde al nmero de
veces que se quiere aplicar las Transformaciones Lineales.
4. Modelo de casos de uso para el subs istema Visualizar resultados
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Figura 13. Subsistema Visualizar resultados
Descripcin del modelo: Por omisin, el sistema mostrar la Tabla de Resultados y el
valor de la dimensin; al usuario se le dar la opcin de ver la grfica y a su vez, poder
editarla y ver sobre sta, el ajuste lineal.
4.2.3 Diagramas de secuenc ia
1. Secuencia para calcular dimensin por Conteo de Cajas
Descripcin del modelo: Para calcular la dimensin fractal por conteo de cajas, se debe
abrir la imagen y luego, escoger alguno de los posibles tamaos y as poder aplicar este
algoritmo. Una vez definido el tamao, se definen los parmetros, (en este caso son las
iteraciones). Estando aqu, ya se puede solicitar al sistema el clculo de dimensin.
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Figura 14. Diagrama de Secuencia para obtener dimensin por Conteo de Cajas
2. Secuencia para obtener dimensin por Variograma Horizontal
Descripcin del modelo: Para calcular la dimensin fractal por Variograma Horizontal,
se debe abrir la imagen y si se desea, escoger alguna regin de sta. Luego, se define el
comienzo y final del paso hy as el usuario puede calcular la dimensin fractal por medio
de este mtodo.
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Figura 15. Secuencia para obtener dimensin por variograma Horizontal
3. Secuencia para obtener dimensin por Variograma Vertical
Descripcin del modelo: Para calcular la dimensin fractal por Variograma Vertical, se
debe abrir la imagen y si se desea, escoger alguna regin de sta. Luego, se define el
comienzo y final del paso hy as el usuario puede calcular la dimensin fractal por medio
de este mtodo.
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Figura 16. Secuencia para obtener dimensin por variograma Vertical
4. Secuencia para obtener dimensin por Variograma Hilbert
Descripcin del modelo: Para calcular la dimensin fractal por Variograma Hilbert, se
debe abrir la imagen y luego, escoger alguno de los posibles tamaos disponibles. Una
vez definido el tamao, se ingresa las iteraciones para generar la curva y se concreta el
comienzo y final del paso h. Al completar estos pasos, el usuario puede solicitar al
sistema el clculo de la dimensin fractal.
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Figura 17. Secuencia para obtener dimensin por variograma Hilbert
5. Secuencia para obtener dimensin por Variograma Peano
Descripcin del modelo: Para calcular la dimensin fractal por Variograma Peano, se
debe abrir la imagen y luego, escoger alguno de los posibles tamaos disponibles. Una
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vez definido el tamao, se ingresa las iteraciones para generar la curva y se concreta el
comienzo y final del paso h. Al completar estos pasos, el usuario puede solicitar al
sistema el clculo de la dimensin fractal.
Figura 18. Secuencia para obtener dimensin por Variograma - Peano
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4.2.4 Diseo de la interfaz
1. Interfaz principal: Por medio de esta interfaz, el usuario puede cargar la imagen y
escoger la regin, que analizar. El tamao de la imagen depende del algoritmo que sedesee aplicar. A continuacin se especifica cada uno de esos tamaos:
Algoritmo de Conteo de cajas: permite lado de la imagen de 64, 128, 256 y 512
pixeles.
Algoritmo de Variograma Horizontal y Variograma Vertical: permiten cualquier
tamao de imagen.
Algoritmo de Variograma Hilbert: permite lado de la imagen de 64, 256 y 512
pixeles. Algoritmo de Variograma Peano: permite lado de la imagen de 36, 108 y 432
pixeles.
Figura 19. Interfaz principal
2. Interfaz para los algoritmos: Este mdulo permite al usuario:
1. Definir los parmetros, de acuerdo al algoritmo escogido:
Men estndar
Men
Escoger
tamao
Aqu se cargar la imagen
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Algoritmo de Conteo de Cajas: podr escoger desde 2 hasta 9 iteraciones. Si
escoge 2 iteraciones, se crearn 16 cajas de TAMAO/4 x TAMAO/4; 3
iteraciones, 64 cajas de TAMAO/8 x TAMAO/8. En general, si escoge n
iteraciones se crearn 4n
cajas, de lado TAMAO/2n
.NOTA: Ntese que no es til tener la opcin de escoger 1 iteracin, pues as se
generara solamente un punto y por lo tanto, no se podra hallar la pendiente de la
grfica.
Algoritmo de Variograma Horizontal y Variograma Vertical: El usuario definir
el comienzo y fin del paso h.
Algoritmo de Variograma Hilbert y Variograma Peano: En estos algoritmos esnecesario definir las iteraciones para generar cada una de estas curvas y adems,
el comienzo y fin del paso h. Entre ms iteraciones haya, la curva llenar ms la
imagen.
2. Visualizar los resultados: Los resultados que genera el clculo de la dimensin fractal
para cada imagen son: La tabulacin de los datos, la dimensin, la grfica y las opciones
para editar a esta ltima.
Figura 20. Interfaz para los algoritmos
Definicin de parmetros para elalgoritmo seleccionado
Men estndar
Tabulacin de los datos
Grfica de resultados
Dimensin Fractal
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4.3 IMPLEMENTACIN
Teniendo en cuenta los elementos hasta ahora diseados, se procedi a la fase de
codificacin y depuracin de cada uno de los algoritmos para el clculo de dimensinfractal.
4.3.1 Lenguaje de programacin
El lenguaje de programacin empleado fue MATLAB 6.5. MATLAB es el nombre
abreviado de MATrix LABoratory y es un programa para realizar clculos numricos con
vectoresy matrices. La razn principal por la que se escogi este lenguaje, es porque
ofrece gran facilidad al momento de trabajar con imgenes, pues declara a stas como
matrices, donde cada pxel ocupa una posicin (i,j), siendo i la fila y j la columna. Esta
ventaja no la ofrece ningn otro lenguaje de programacin.
4.3.2 Formato de las imgenes a analizar
La herramienta software fue diseada para admitir imgenes .tif, pues son las que genera
el microscopio electrnico de barrido.
Tiff un formato de archivo de imgenes y grficos. Contrariamente al formato estndar
JPEG, este formato comprime sin prdida de calidad, por lo que se utiliza para fotografa
digital de alta calidad y para el tratamiento de imgenes y grficos en procedimientos de
artes grficas.
La denominacin en ingls Tagged Image File Format (Formato de Archivo de Imgenes
con Etiquetas) se debe a que los ficheros TIFF contienen, adems de los datos de la
imagen propiamente dicha, "etiquetas" en las que se archiva informacin sobre las
caractersticas de la imagen, que sirve para su tratamiento posterior.
El formato de archivos TIFF maneja fcilmente todo tipo de espacios de color: Escala de
gris, RGB, CMYK y Lab. Este formato puede ser comprimido por medio del algoritmo
conocido como LZW.
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Debido a que en el desarrollo de Dimensin 1.0 se utiliza el comando imread de MATLAB
para leer la imagen, no se permite que sta haya sido comprimida con el algoritmo LZW,
porque MATLAB no la reconoce; por el contrario, la imagen debe tener la propiedad
compressin como uncompressed.
4.3.3 Implementacin de los algoritmos
A continuacin se explica el procedimiento llevado a cabo, para cada uno de los
algoritmos implementados.
1. Conteo de cajas: El subprograma que hace el clculo de la dimensin fractal por
medio del Conteo de Cajas, se llama cal_dim_conteo.m . Las variables de mayor
relevancia dentro de dicho subprograma se describen en la siguiente tabla.
Tabla 7. Variables Conteo de cajas
Variable Descripcin
areaCuadrados Es el rea, en pxeles, de las cajas construdas para cada iteracin. Por esoes igual a ladito2.
areaTotal Es el rea, en pxeles, de la imagen que se est estudiando. Por eso es iguala longitud2.
contador
Variable que aumenta si dentro del sector o caja que se est analizando seencuentra algn pxel gris. Ntese que al encontrar el primer pxel gris, no sesigue analizando esa caja y se pasa a la siguiente; esto se hace paradisminuir el tiempo de procesamiento, ya que con un solo valor que est engris, se considera que dentro de la caja analizada hay roca.
coordenadax Contiene la posicin de la columna, donde empieza cada caja.coordenaday Contiene la posicin de la fila, donde empieza cada caja.
cuadradosEs el nmero total de cajas que hay que construir dentro de la imagen. Es poresto, que para cada ITERACIN, van aumentando, pues el nmero total decajas es igual al rea total de la imagen dividida entre el rea de cada caja.
grisVector que contiene los valores que se tomarn como gris, es decir, los quecorresponden a roca. En el cdigo se aprecia que al leer la imagen, seconsidera como color gris los pixeles que tengan valores entre 101 y 255.
ITERACIONES Son las iteraciones que el usuario ha definido y se refiere al mximo nmerode cajas que se quieren construir.
ladito Para cada iteracin, esta variable guarda el la longitud del lado (en pxeles),de las cajas que se estn construyendo.longitud Es la longitud, en pxeles, del lado de la IMAGEN, que se va a analizar.
MAYORX yMAYORY
Es el (MAYORX, MAYORY) pxel de la imagen, que se encuentra en laesquina superior derecha de sta. Sus valores siempre sern M y N,respectivamente.
MENORX yMENOR Y
Es el (MENORX, MENORY) pxel de la imagen, que se encuentra en laesquina superior izquierda de sta. Siempre va a ser (1,1).
ocupados Lleva la cuenta del nmero de cajas que s tuvieron algn valor en gris.
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Aumenta si contador fue mayor que 0, es decir, si hubo algn pxel en gris.
2. Variograma: El mtodo del variograma, se implement, haciendo cuatro barridos
diferentes a la imagen. Las variables comunes usadas en los subprogramas para cada
barrido, se explican en la siguiente tabla.
Tabla 8. Variables variograma
Variable Descripcin
paso_inicial
Contiene el valor del paso con el que se quiere iniciar el barrido de laimagen. El nombre de la variable cambia segn el barrido que se esthaciendo: paso_inicial_OE, para variograma Oeste Este; paso_inicial_NS,para variograma Norte Sur; paso_inicial_P, para variograma Peano;paso_inicial_H, para variograma Hilbert; paso_inicial_POE, paravariograma Promedio Horizontal y paso_inicial_PNS, para variogramaPromedio Vertical.
paso_finalContiene el valor del paso con el que se quiere terminar el barrido de laimagen. El nombre de la variable cambia de manera similar a paso_inicial.Por ejemplo, paso_final_OE, es para variograma Oeste Este.
h Guarda el valor que va tomando el paso.x_actual Guarda el valor del color del pxel, ubicado en la posicin (i,j).
x_siguiente Guarda el valor del color del pxel, ubicado en la posicin (i+h,j+h).
varianza Vector que almacena en cada posicin, el valor de la semivarianzacorrespondiente al paso con el que se est barriendo la imagen.
vector_h Es el vector que contiene los valores comprendidos entre paso_inicial ypaso_final.
LOG_VECTOR_H Es el logaritmo de cada uno de los valores de vector_h.LOG_VARIANZA Es el logaritmo de cada uno de los valores de varianza.
dimensionEn esta variable, se almacena el valor de la dimensin fractal. Cambia sunombre de manera similar a paso_inicial.
Barrido en sentido Oeste Este: Tambin conocido como Variograma
Horizontal. Se recorre cada fila de la matriz de la imagen con el paso
especificado, guardando en un vector el valor de cada semivarianza. Al terminar
todas las filas, se hace el clculo de la dimensin fractal. El subprograma que
hace el clculo de la dimensin mediante este mtodo se llama
calc_dim_varOE.m. Este mtodo tiene una variante: el algoritmo HorizontalPromedio. Consiste en recorrer la imagen en el mismo sentido; pero por cada fila
se hace el clculo de la dimensin y al final se promedian todos estos valores para
obtener la dimensin neta. El subprograma que hace el clculo mediante este
mtodo, se llama calc_dim_varPOE.m.
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Barrido en sentido Norte sur: Tambin conocido como variograma Vertical. Se
recorre cada columna de la matriz de la imagen con el paso especificado,
guardando en un vector el valor de cada semivarianza. Al terminar todas las
columnas, se hace el clculo de la dimensin fractal. El subprograma que hace elclculo de la dimensin mediante este mtodo se llama calc_dim_varNS.m.
Similar al Barrido horizontal, el barrido vertical tambin tiene una variante, donde
se calcula la dimensin por cada columna. Al final, se hace un promedio
aritmtico para obtener la dimensin neta. El subprograma que hace el clculo por
este mtodo se llama calc_dim_varPNS.m.
Barrido segn curva de Hilbert: Para hacer el clculo por este mtodo, primero
se genera un perfil sobre la matriz de la imagen, siguiendo la forma de la curva deHilbert; dentro del programa, el vector curva almacena el nivel de gris de cada
posicin de dicho perfil. Luego, al perfil generado se le hace los diferentes
barridos segn el paso definido. El subprograma que hace el clculo por este
mtodo se llama calc_dim_varH. En la siguiente figura se explica grficamente
este proceso.
Figura 21. Barrido segn curva de Hilbert
Barrido segn curva de Peano: Es similar al barrido segn la curva de Hilbert.
La diferencia est en que el perfil aqu generado, se construye siguiendo la forma
curva
Nivel de gris Pxel 1Nivel de gris Pxel 2Nivel de gris Pxel 3Nivel de gris Pxel 4Nivel de gris Pxel 5Nivel de gris Pxel 6
.
.
.
.
1
23
56
7 8
910
11 12 13
14 15
16
1718
19
4
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de la curva de Peano. El subprograma que hace este clculo, se llama
calc_dim_varP.
4.3.4 Interfaz principal
La siguiente imagen corresponde a la pantalla principal de Dimensin 1.0:
Figura 22. Interfaz principal de Dimensin 1.0
Tal como se defini en las especificaciones de diseo de la interfaz, sta se compone de
tres partes:
1. Men estndar
Figura 23. Men estndar
Archivo: Contiene los submens Nuevo, para cargar una nueva imagen; Abrir,
para abrir una imagen; Cargar Directorio, para calcular la dimensin fractal a un
grupo de imgenes contenidas dentro de un directorio.
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Algoritmo: Tiene las opciones para escoger los diferentes algoritmos que se
pueden aplicar: Conteo de Cajas, Variograma Horizontal, Variograma Vertical,
Variograma - Hilbert, Variograma Peano, Variograma Promedio Horizontal y
Variograma Promedio Vertical.
Ayuda: Mediante esta opcin, se accede a la ayuda y a los crditos de Dimensin
1.0.
2. Barra de herramientas escoger tamao
Figura 24. Barra de herramientas para escoger tamao
3. Zona donde se carga la imagen
En esta zona el usuario visualizar la imagen que quiere analizar.
Puntero normal: Coloca el puntero en su forma por defecto
Zoom: Aumentar o disminuir alguna regin de la imagen
Definir tamao para aplicar algoritmo de Conteo de cajas
Definir tamao para aplicar algoritmo de Variograma Peano
Definir tamao para aplicar algoritmo de Variograma Hilbert
Definir tamao para aplicar algoritmo de Variograma Vertical
Definir tamao para aplicar algoritmo de Variograma Horizontal
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Figura 25. Zona donde se carga la imagen
4.3.5 Opciones de tamao para la imagen
Luego de haber cargado la imagen y escogido alguna de las opcion
