1.1.3 Mechanine energija. Potencialinu jegu laukai (Fizika.KTU.2006)

Energija – tai bendras kiekybinis materijos judėjimo ir sąveikos matas.

Kiekybinis materijos judėjimo matas yra apibūdinamas Kinetine energija.

Kiekybinis materijos sąveikos matas yra apibūdinamas Potencine energija.

Darbas – Energija – Jėgų laukas

© doc. dr. Vytautas Stankus, Fizikos katedra, KTU

Kūnams veikiant vienas kitą jėgomis, tarp jų vyksta energijos mainai. Kad apibūdinti energijos perdavimą kiekybiškai įvedama darbo sąvoka.

Mechaninis darbas – apibūdina veikiant jėgai vykstantį energijos perdavimoprocesą.

Skaitine verte darbas lygus veikiančios jėgos ir kieto kūno poslinkio vektoriaus sandaugai:

Mechaninis Darbas

Jeigu kūną veikia kelios jėgos, tai suminis darbas lygus visų atskirų jėgų atliekamųdarbų algebrinei sumai:

.11 1

rFFrrFAAN

ii

N

i

N

iii

.rFA

Mechaninis darbas yra skaliarinis dydis.

Pagal jėgos pobūdį mechaninis darbas yra skiriamas:

1. Pastovios jėgos darbas,2. Kintamos jėgos darbas.


Nekintant laike ir erdvėje jėgai atliekamas darbas yra vadinamas pastoviosjėgos darbu.

Jėgos kryptis nebūtinai turi sutapti su trajektorijos kryptimi.

Pastovios jėgos darbas

.coscos 1212121

SFrFrFrFA ii

N

ii

Šiuo atveju darbas yra lygus jėgos projekcijai trajektorijos ašyje ir nueito keliosandaugai.


Jėga, atliekanti darbą gali kisti laike ir erdvėje.

Šiuo atveju jėga patampa koordinatės ir laiko funkcija:

Kintamos jėgos darbui apskaičiuoti nueitą kelią padalijame į elementariuosiuskelius ds, kurie atitinka elementarų poslinkio vektoriaus dr dydį. Jo ribose jėga, o taip pat ir darbas nekinta.

Elementarusis darbas kelyje ds yra:

Kintamos jėgos darbas

.,cos dsFrdFrdFrdFdA

Elementarusis poslinkis erdvėje išsiskaido į komponentes, todėl:

),,( trFF

dzFdyFdxFrdFdA zyx

Kad surasti pilną darbą, reikia visus elementarius darbus integruoti išilgai erdvinės kreivės kreiviniu integralu:

. ss

dsFrdFA

Kintamos jėgos darbas baigtiniame kelyje skaitine verte lygus kūną veikiančiosjėgos projekcijos poslinkio vektoriaus kryptyje kreiviniam integralui.


Materialusis taškas juda erdvėje veikiamas atstojamosios jėgos:

Taško poslinkis per nykstamai trumpą laiką dt yra:

Tuomet atliekamas elementarus darbas:

Kinetinė energija

dt

vdmF

dtvrd

),cos( vdvvdmvvdvmdtvdt

vdmdA

dvvdvvd ),cos(

Elementariam pokyčiui: todėl: mvdvdA

Kinetinė energija yra kūno mechaninio judėjimo būsenos funkcija,ir yra lygi darbui, kurį reikia atlikti, kad šį kūną sustabdyti.

22

21

22

2

1

mvmvmvdvA Atstojamosios jėgos darbas yra lygus tam

tikro fizikinio dydžio, susijusio su kūno maseir greičiu, pokyčiui.

Jeigu tas pokytis teigiamas, darbas buvo atliktas padidinant kūno greitį.O jeigu v1 buvo lygus nuliui, darbas buvo atliktas perduodant m masės kūnui,energijos kiekį, kad jis įgytų greitį v2 arba v. Ši kūnui suteikta energijavadinama Kinetine energija ir žymima:

2

2mvWk


Naudojant kinetinės energijos išraišką materialiam taškui:

Besisukančio kūno kinetinė energija

,2

2ii

ki

vmW ,jei , tada:,ii Rv ,

22

222 ziiiki

IRmW

Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija lygi visų jįsudarančių materialiųjų taškų kinetinių energijų sumai:

,22

2

1

2

1

zN

izi

N

ikik

IIWW

Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija tiesiogiaiproporcinga kūno inercijos momento ir kampinio greičio kvadratui.


Kūnai gali sąveikauti (veikti vienas kitą jėga) dviem būdais:

1. Kontaktiniu būdu,2. Jėgos lauku.

Toliveikos ir artiveikos sąveikos?

Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduodaBaigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku.

Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga.

Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų):

1. Gravitacijos,2. Elektrinis ir magnetinis,3. Stiprusis,4. Silpnasis.

Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis.

Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuotrajektorijos.

Jėgų laukas

potF


Potencialinės jėgos kūną, esantį jėgų lauke, perkeldamos iš taško 1 į tašką 2erdvėje, atlieka darbą.Jėgų laukas atlikdamas darbą pakeičia kūno energetinę būseną.

Kūno padėties erdvėje funkcija, apibūdinanti jo energetinę būseną ir turintienergijos dimensiją, vadinama kūno potencine energija.

Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus potencinės energijos pokyčiui:

Potencinė energija

ppppotpot WWWrdFA 21

2

1

),,()( zyxWrW pp

Potencinės energijos tikroji vertė lygi potencialių jėgų atliktam darbui perkeliantkūną į tą erdvės padėtį, kur potencialinių jėgų poveikis lygus nuliui.

Šis dydis vadinamas potencialu.

Paprastai įvertinant kūno potencinę energiją, nulinis lygmuo pasirenkamas laisvai.Pavyzdžiui, sunkio jėgos P veikiamo kūno, nedideliame aukštyje h nuo Žemėspaviršiaus potencinė energija išreiškiama:

12)( ppp WWmghPhrW


Potencinę energiją turi ne tik kūnai esantys jėgų lauke, bet ir tarpusavyje sąveikaujančių tarpatominėmis jėgomis dalelių sistema – tamprusis kūnas.

Tamprųjį kūną deformuojant, atsiranda tamprumo jėga, veikianti kūną sudarančiųdalelių poslinkiams priešinga kryptimi.

Mažoms deformacijoms tamprumo jėgai nusakyti tinka Huko dėsnis: tamprumojėga F tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui:

Tampriai deformuoto kūno potencinė energija

22

22

21

21

1

2

kxkxkxdxWW

X

X

pp

21, xxxkxF

Nedeformuoto kūno potencinė energija yra lygi nuliui:tada deformuoto kūno potencinė energija yra lygi: ppp WWtadaW 21 ,0

2

2kxWp


Tarkime i-oji dalelė, veikiama potencialinių jėgų atstojamosios ir nepotencialiniųjėgų atstojamosios, pasislenka iš taško 1 į tašką 2. Šios jėgos atlieka darbą:

Energijos tvermės dėsnis

inepotpipikiki AWWWW ,2112

Skliaustuose esantys dydžiai yra dalelės pilnutinė energija esanti 1 ir 2 padėtyse.

12

2

1

2

1

.. kikinepotpotinepotipot WWrdFrdFAA

21 pipipot WWA kadangi:

inepotpikipiki AWWWW ,1122 )()(

)()( 222111 pikiipikii WWWirWWW

todėl: inepotiii AWWW ,12 Dalelės pilnutinės mechaninės energijospokytis yra lygus ją veikiančių nepotencialiniųjėgų atliktam darbui.

jeigu: , tai: ir 0, inepotA 012 ii WW constWWW iii 12

Tai reiškia, kad uždaros sistemos pilnutinė energija nekinta, tik vienos rūšiesgali virsti kita.

Pavyzdžiui, kūnui krintant iš aukščio h:


Tarkime dalelė, veikiama potencialinės jėgos:

pasislenka:

Potencialinės jėgos atliktas elementarus darbas:

Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys

yra lygus potencialinės energijos pokyčiui, kurį galima išskaidyti į komponentes:

tada:

zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

dzkdyjdxird

dzFdyFdxFrdFdA zpotypotxpotpotpot ...

dzdz

dWdy

dy

dWdx

dx

dWdWdA ppp

ppot

dzdz

dWdy

dy

dWdx

dx

dWdzFdyFdxF pppzpotypotxpot ...

dz

dWF

dy

dWF

dx

dWF p

zpotp

ypotp

xpot ... ,,

Matome, kad kiekvieną potencialinės jėgos narį atitinka neigiama potencinėsenergijos kitimo sparta erdvėje (išvestinė):


įstatę į

Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys

dz

dWk

dy

dWj

dx

dWiFkFjFiF ppp

zpotypotxpotpot

...

dz

dWF

dy

dWF

dx

dWF p

zpotp

ypotp

xpot ... ,,

Ši lygtis parodo kiekybinį potencialių jėgų ir potencinės energijos sąryšį erdvėje.

Bet kokios skaliarinės funkcijos gradientas yra vektorius, apibūdinantis to šiosfunkcijos kitimo spartą erdvėje. Teigiamas gradientas nukreiptas šios funkcijosdidėjimo kryptimi.

Šioje lygtyje gavome neigiamą gradientą, o tai reiškia, kad potencialinė jėgayra lygi potencinės energijos gradientui ir nukreipta didžiausia jos mažėjimo kryptimi.

gauname:zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

o tai yra:

ppot WgradF

arba: ppot WF


Centrinių jėgų laukas

Jeigu jėgų laukas:

1) Bet kokiame lauko taške esančius masės mi (i=1,2,3,…) materialiuosius taškuslaukas veikia atitinkamomis jėgomis Fi, kurių tąsos kertasi viename taške,2) Lauko jėgos modulis proporcingas atstumo iki šio taško kvadratui.

Tokį lauką vadiname centrinių jėgų lauku.

Gravitacijos laukas yra centrinių jėgų laukas.

Per gravitacijos lauką persiduoda dviejų kūnų turinčių mases m ir m1 sąveika. Šios sąveikos jėgos modulis pagal visuotinį traukos dėsnį yra lygus:

2211221 10*6720.6, kgNmGkur

r

mmGF

Visuotinis traukos dėsnis: du taškiniai kūnai traukia vienas kitą jėga, proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumui tarp jų centrų kvadratu,


Gravitacijos laukas – jo stipris

Visuotinės traukos dėsnio vektorinė išraiška:

Antro kūno masę nukėlę į kitą pusę gausime dydį, nepriklausantį nuo jo masės:

,321 r

r

mmGF

Kurio modulis:rr

mG

m

FE

31

2

2r

mGE

Gravitacijos lauko stipris – pagrindinė lauko charakteristika, savo moduliu irkryptimi lygi jėgai, kuria tas laukas veikia tame taške vienetinės masės kūną.

Jeigu erdvėje yra daug kūnų, jų suminis laukas apsirašo pagallaukų superpozicijos principą, t.y. lygus atskirų laukų stiprių sumai.

N

iiEE

1

Masės m kūno gravitacinio lauko stipris tiesiogiai proporcingas nuo kūno masei iratvirkščiai proporcingas atstumo iki jo centro kvadratui.

Lauką vadiname vienalyčiu, jeigu lauko stiprumo vektorius vienodas bet kokiame tolauko taške.

Lauką vadiname stacionariu, jeigu lauko stiprumo vektorius nekinta laike.


Gravitacijos laukas – jo potencialas

Gravitacijos laukas, perkeldamas m masės kūną iš padėties R į padėtį R+h, lygus:

,2

R

GM

hR

GMm

R

GMm

hR

GMmdr

r

MmGA

hR

R

Kadangi potencialinių jėgų darbas lygus sistemos potencinės energijossumažėjimui, gauname:

)( 211221 mWWWA ppp

r

mG

m

A 1 dydis, vadinamas lauko potencialu.

Lauko potencialas – energinė lauko charakteristika, apibūdinanti darbą perkeliantvienetinės masės kūną iš nagrinėjamo lauko taško į begalybę.

Lauko potencialas su lauko stipriu susijęs tokia pat priklausomybe, kaip ir potencialinė jėga su potencine energija

gradE

Ekvipotencialinis paviršius?


1.1.3 Mechanine energija. Potencialinu jegu laukai (Fizika.KTU.2006)

Documents

Transcript of 1.1.3 Mechanine energija. Potencialinu jegu laukai (Fizika.KTU.2006)