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Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-XMinicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X

Primeira aula: FundamentosPrimeira aula: Fundamentos

Laudo BarbosaLaudo Barbosa

(06 de Novembro, 2006)(06 de Novembro, 2006)

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)

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Plano de apresentaçãoPlano de apresentação

• Luz (Radiação eletromagnética)

• Radiação emitida por partículas eletricamente carregadas

• Raios-X: espectro contínuo, espectro discreto

• Geradores de Raios-X (alvo fixo, anodo rotatório, síncrotron)

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O que é um “campo” ?O que é um “campo” ?

Por exemplo: o campo gravitacional

Mm rGFr

Mm ˆ2.

Campo é o “veículo” ou “meio” que transmite a força

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Outros CamposOutros Campos

Campo Magnético

Campo Elétrico

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Descrição Matemática

Força Elétrica:

Campo Elétrico:

(A intensidade de campo elétrico é a força por unidade de carga)

Campo Magnético (é gerado por carga elétrica em movimento):

Força Magnética:

rkFr

Qq ˆ2.

rkEr

QqF ˆ2

2ˆ

rrvkqB

BvqF

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Descrição Matemática

Estão portanto definidos, por expressões matemáticas, os campos elétrico e magnético

Os campos não são tão “palpáveis” quanto as respectivas forças, mas parecem ser tão “reais” quanto elas

O campo elétrico, em particular, é tão mais intenso quanto maior for a carga que o gera

Podemos calcular a “quantidade” ou “intensidade” de campo elétrico através de uma superfície

dA

dΩ kQdddrdAnEdArkQ . de através Fluxo 2

2

V

4

4

A

)( , onde

)( . totalFluxo

dVrQ k

dVrkQdΩdAnE

o

oV

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Descrição Matemática

Esta descrição matemática nos conduz ao Teorema da Divergência:

o

EdVrdVE

dVEdAnE

VV

VA

4. )(.

..

O mesmo raciocínio nos conduz a:

)magnéticos monopolos existem não (pois 0. B

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Descrição Matemática

As expressões fundamentais obtidas para os campos elétrico e magnético se aplicam a fenômenos eletrostáticos [não envolvem a variável “tempo”]

o

E 4.

0. B

Necessitamos algo mais genérico para abordar fenômenos eletrodinâmicos

Para isto, consideremos o conceito de força eletromotriz:

= (Trabalho realizado pela força elétrica)/(unidade de carga elétrica)

Cq

ldEq

q

ldF

qW ldE

B

A

B

A

...

(*) A força eletromotriz, assim definida, é responsável pelas correntes e variações de tensão em circuitos elétricosE

A

B

q

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Descrição Matemática

Observação Experimental: variações de fluxo magnético geram força eletromotriz

A força eletromotriz induzida por variações do campo magnético é dada por:

Faraday] de [Lei . onde , A

dtdF dAnBFk

B

corrente

Área A, comprimento C

.. AC

dtd dAnBkldE

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Descrição Matemática

Outro teorema matemático:

[Teorema de Stokes]

C A

danEldE ..

0

0.

...

tB

tB

kE

dAnkE

dAnBkdAnEldE

A

C A Adtd

Obtemos mais uma equação fundamental:

k Eoooo t

B

11 ,

11

Descrição Matemática

Podemos obter outra equação, semelhante à anterior, relacionando os campos elétrico e magnético

Comecemos, para isto, explicitando a relação entre campo magnético e corrente elétrica:

3rrvkqB ] [ pois3 dt

dqdtld IkIBdv

rrld

ldlJkBl lx

lx

3

)()(

q

r l

Para generalizar, definimos a densidade de corrente sobre um elementro de trajetória e computamos:

ldkJkBlxlJ

||)(.'(...)

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Descrição Matemática

Para regimes estacionários, a expressão anterior se reduz a:

]0. [ pois JJkB

][ 0. " de Equação" deContinuidatJ

0. . 44

tEo

oJE

Para regimes dinâmicos, temos que levar em conta a conservação de carga elétrica

{(J dinâmico)

tE

ooooJB

14

13

Descrição Matemática

Finalmente, as 4 equações de Maxwell:

JB

E

B

E

oooo

oo

o

tE

tB

41

1

4

0

0.

.

Energia S ;0 ;0 4c

2212

2212

22

BEBE t

BtE

cc

coo

1

Consequências básicas:

• Os campos elétrico e magnético se comportam como ondas

• São ortogonais entre si

• Transportam energia expressa pelo vetor de Poyinting (S)

• Expressam os fenômenos de propagação da luz

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Radiação emitida por cargas elétricas em movimento

Podemos resolver as equações de Maxwell para situações como:

),(),( )(),( txvtxJtvxqtx

][ ;1 Cerenkov Radiação)(

122

2

cv

cq

dxdE d

o

titi exJtxJextx )(),( )(),(

O meio onde se propaga a carga q emite luz (E,B), tal que que:

No vácuo, para o caso em que a distribuição de carga é oscilante:

Campos E e B (Luz) são emitidos no espaço:

][ || ,||

][ ˆ ,||

|x| r para

|x| r para

3211

rr

ikr

EB

xBEB re

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Emissão por cargas aceleradas

Caso geral: partícula com carga elétrica q, movendo-se ao longo de uma trajetória dada por r(t), gerando campos E e B sobre uma posição data por x(t).

Rv

rx

n̂q Configuração no instante t

E

B

21

1

.).1(1

).1()(

4

||11 : ,

)(),(

),( )(3223

dtxd

cvonde c

c

RETdtd

Rnn

cRnnq

EntxB

txE no

ooEnEZero R

q ˆ 24

1

odtd EEZero

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Raios-X

É Luz ?

Vo

No final do século 19 (1895), estudando descargas elétricas produzidas em tubos de raios

catódicos, W. C. Rontgen observou que uma tela de

platinocianeto de bário disposta a uma certa distância do tubo

fluorescia quando era ativada a tensão. A descoberta foi comunicada à Wurzburg

Physico-Medical Society. Em 1896 já se produziam tubos

geradores de raios-x. Mesmo antes disto, já havia relatos de que placas fotográficas eram

impressionadas quando colocadas perto de tubos de

raios catódicos.

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Raios-X: Espectro Contínuo

O processo de Análise de Fourier permite decompor uma função em suas componentes espectrais

Caso uni-dimensional:

dtetxExdkF

dekFkdtxEtxki

txki

).(

).(21

),(),(

),(),(

t e são variáveis “recíprocas” : t tempo 1/t frequência

Caso do “espaço-tempo”

dtetfF

deFtfti

ti

)()(

)()( 21

k e x são variáveis “recíprocas” : x espaço k 1/λ, λ comprimento de onda

F(k,) fornece a decomposição de E(x,t) em termos das componentes espectrais

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Espectro Contínuo

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Raios-X

É partícula?

No início do século 20:

• Planck mostrou que a energia (radiação de corpo negro) é veiculada em “pacotes”, ou seja, distribuída em valores discretos e não continuamente;

• Para explicar o efeito foto-elétrico, Einstein propôs uma teoria segundo a qual a luz é composta por partículas (corpúsculos de luz, fótons);

• A teoria corpuscular (quântica) é mais abrangente que a teoria eletromagnética, mas guarda relações com ela:

• Energia do fóton = E = h, onde é a frequência da onda

• Momentum do fóton = P = h/λ, onde λ é o comprimento de onda

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Espectro Discreto

Na mecânica quântica, a ferramenta básica para se calcular a evolução física (dinâmica) de uma partícula é a equação de Schroedinger:

potencial energia à associadooperador )(

(complexo) estado devetor ),(),,,(

22

2

xVV

txtzyx

tiVm

Um sistema de duas partículas (m,M) pode ser reduzido a um sistema de uma só partícula, com massa reduzida µ=M.m/(M+m) .

Para o átomo de hidrogênio, supondo potencial Coulombiano, a equação de Schroedinger leva a uma solução em que a energia associada a cada estado físico é discreta:

) ... 2, 1,( 2222

42 6.132)4(

nn

eVn

eZn o

E

Sistemas mais complexos são tratados por métodos numéricos e/ou aproximativos, e também levam à quantização da energia

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Espectro Discreto

E > E1 E1Ef = E1 - E2

E = E1 + E3Ef

E2 E3

Hidrogênio puro é contido em um recipiente, que é submetido a

descargas elétricas (5KV). Os choques atômicos levam a

excitações das partículas, que ao se des-excitarem emitem radiação

característica, relacionada com as transições energéticas.

Hidrogênio Excitado

Linhas características

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Fontes de Raios-X

Gerador baseado em tubo, alvo fixo:

Elétrons são emitidos sob alta energia contra um alvo fixo. No momento do choque, a

desaceleração dos elétrons gera emissão de raios-x, desde que a energia de colisão seja

suficiente

[radiação de Brehmstrahlung]A desaceleração gera o espectro contínuo, o material do alvo gera radiação característica

A maior parte da energia de colisão é dissipada sob forma de calor

é necessário um circuito de refrigeração

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Geradores de Raios-X

Gerador baseado em tubo, anodo rotatório:

Mesmo princípio do caso “alvo fixo”, com a diferença que o alvo é mantido sob rotação, de modo que o aquecimento por unidade de área, devido às colisões, é reduzido. Em consequência, pode-se operar

sob alta potência (KVxmA), o que proporciona um ganho na intensidade do feixe de raio-x obtido.

Radiação síncrotron:

Partículas carregadas (elétrons, pósitrons) são mantidas em trajetória fechada, através de lentes elétricas e magnéticas. Nas regiões em que a trajetória é curvada (aceleração) há emissão de

radiação, denominada “síncrotron.”