1 ELECTROMAGNETISME II Les régimes variables et les équations de Maxwell.
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ELECTROMAGNETISME II
Les régimes variables et les équations de Maxwell
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Champ scalaire, champ de vecteur
Opérateurs différentiels et équations locales
Champ et symétrie (recherche des plans de symétrie et d’antisymétrie, vecteur ou vecteur polaire et pseudo-vecteur ou vecteur axial )
Champ uniforme
Champ stationnaire, permanent, constant
Fonction de plusieurs variables et différentielle de cette fonction
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Champ de vecteurs aLignes de champ
dOM x a = 0;
dOM = k a ; dx/ax = dy/ay = dz/az;
Circulation
CM1M2 = (M1,M2) a.dOM ;
l’intégrale est calculée le long de la courbe d’un point M1 à un point M2
Élément de surface orienté et flux
surface s’appuyant sur un contour orienté et « règle du tire bouchon de Maxwell »
surface fermée et « de l’intérieur vers l’extérieur »
S a.dS
dans le cas d’une surface fermée on parle de flux sortant
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f
grad f(x,y,z) = (f/x )ex +(f/y)ey +(f/z)ez
df = grad f . dOM : la circulation élémentaire de grad f est égale à la différentielle de la fonction f
le vecteur grad f est normal aux surfaces f = Cte et dirigé vers les valeurs croissantes de f
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur a
div a = ax/ x + ay/ y + az/ z
Définition intrinsèque de la divergence de a :
Soit leflux sortant de l’élement de volume
Alors div a = lim d0 (/ )
Interprétation de la divergence
on prend un champ a = OM
lignes de champ divergent ou
convergent à partir du point
O suivant le signe de alpha
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le rotationnel :
champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a
rot a = (az/y-ay/z)ex+ (ax/z-az/x)ey+(ay/x-ax/y)ez
On peut exprimer rot a à l’aide du déterminant d’une matrice
Définition intrinsèque du rotationnel :
(rot a).n = lim S 0 C/ S
Un contour fermé ,
un sens de circulation positif, une surface S,
un vecteur normal n et une circulation C
Interprétation physique du rotationnel
il évoque la rotation ……………………
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel
V = 2V/x2 + 2V/y2 + 2V/z2;
a = (ax) ex + (ay) ey + (az) ez ;
L’équation V = 0 porte le nom d’équation de Laplace
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Définition des opérateurs différentiels.
Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)
Tous ces opérateurs sont linéaires.
une constante
Op(a) = Op(a) ; Op(a1+a2) = Op(a1)+Op(a2)
Op(f) = Op(f): Op(f1+f2) = Op(f1) +Op(f2)
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Combinaison deux à deux des opérateurs différentiels du premier
Ordre
div(grad f) = f
div(rot a) = 0
rot (grad f) = 0
rot(rot a) =grad(div a) – a
Le vecteur Nabla en coordonnées cartésiennes :
= ex /x + ey /y + ez /z;
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Théorème de Green-Ostrogradsky
S fermée a.dS = V(S) divad
Pour démontrerce théorèmeil faut utiliser la définition intrinsèque de div a et découper le volume V en petits parallélépipèdes et prendre en compte que pour deux éléments de volume ayant une face commune l’aspect flux sortant ………..
À connaitre, très utile, pour une démonstration math rigoureuse voir cours d’analyse…….
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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique
Les champs et les opérateurs différentiels
Théorème de Stokes-Ampère
. fermée a.dl = () rot a . dS
circulation de a sur le contour fermé sur lequel s’appuye la surface ouverte ;
Le sens de dS est fixé par le sens positif de circulation sur Ce théorème est admis et à connaitre
La démonstration ….. Utilise définition intrinsèque de rot a
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 1. Champ électrique E pour une distribution de charges caractérisée par la densité volumique (P)
– rot E = 0 . (1)
– div E = /0 . (2)
Le champ E tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini de la
distribution de charges. Cette condition et les équations 1 et
2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ E.
Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky
permettent d’écrire les relations intégrales correspondantes
rot E = 0 C fermée E.dl = 0
div E = /0 S fermée E.dS = 1 V(S)d
Cette dernière relation exprime le théorème de Gauss
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
2. Potentiel électrique et équation de Poisson
V : E = - grad V . (3)
div grad V + /0 = 0
Equation de Poisson :
V + /0 = 0. (4)
Cette équation définit de façon unique une fonction V lorsque les conditions aux limites et sont données
Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux équations (1) et (2) pour le calcul de E
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L2 : RAPPELS (2)Les équations locales des régimes statiques
On déduit de ces équations le champ et le potentiel d’une charge ponctuelle :
E(M) = (1/ 40 )q(P) PM / PM3.
V(M) = (1/ 40)q(P) / PM +Cte
Pour une distribution de charges (P) on obtient :
E(M) = (1/ 40 ) ((P) PM / PM3)d.
V(M) = (1/ 40) ((P) / PM) d
L’expression de V correspond à V = 0 à l’infini. Ce choix peut
ne pas convenir si la distribution comporte des charges à l’infini
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L2 : RAPPELS (2)Les équations locales des régimes statiques
3. Loi de Coulomb
F = qE
4. Les équations locales + loi de Coulomb
Formulation des lois de l’électrostatique.
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 5. Continuité de V et discontinuité de E en présence d’une distribution superficielle de charges ( = dq/dS)
E2 – E1 = (/ 0) n12
La composante tangentielle de E est continue à la traversée d’une surface chargée
La composante normale de E subit une discontinuité égale à / 0 à la traversée d’une surface chargée
• 6. Le potentiel n’admet pas d’extremum en dehors des charges
• 7. Energie électrostatique d’une distribution de charge
Ue = D (P)V(P)d = 0 /2 espace E2 d .
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 1. Champ magnétique B pour une distribution volumique statique de courants j(P)
div B = 0. (5)
rot B = 0j. (6)
B tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini d’une distribution de courant.
Le théorème d’Helmholtz montre que les équations 5 et 6, avec la condition à l’infini, suffisent à déterminer parfaitement le champ B
Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent d’écrire les relations intégrales :
rot B = 0j C fermée B.dl = 0 S(C) jdS
div B = 0 S fermée B.dS = 0
La première relation traduit l’inexistence de charges
magnétiques, la seconde le théorème d’Ampère
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 2. Potentiel vecteur du champ magnétique
A : B = rot A (7)
Si A est solution A + grad f est aussi solution pour tout champ scalaire f
• Équation locale A, j :
A + 0j = 0 avec div A = 0. (8)
Avec = grad div A - rot rot A .
div A = 0 est obtenu en utilisant le fait que A n’est défini qu’à un gradient près.
• Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont équivalentes aux équations 7 et 8
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du potentiel et du champ pour une distribution volumique de courant :
A(M) = 0 /4 j (P) /PM d
B(M) = 0 /4 ( j (P) x PM) / PM3 d
• On sait que pour un circuit filiforme il suffit de remplacer jd par Idl on reconnaît alors la formule de Biot et Savart
B(M) = 0 /4 ( Idl(P) x PM) / PM3
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 3. Discontinuité du champ B dans le cas d’une distribution superficielle de courants
B2 – B1 = 0 ( jS x n12) .
La composante tangentielle de B subit une discontinuité à la traversée d’une nappe de courant
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 4. Action d’un champ magnétique– Force de Lorentz F = q(E + v x B)– Action mécanique exercées par B sur une boucle de
courant • df(P) = Idl(P) x B (P)
• d0 = OP x df , …..
• Soit M = IS le moment magnétique du circuit…..
Alors à l’échelle de la boucle de courant l’action mécanique se traduit essentiellement par un couple qui tend à orienter M selon B :
= M x B
et si on tient compte de l’inhomogénéité de B la résultante de la force de Laplace :
R = ( M.grad ) B
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L2 : RAPPELS (2)
Les équations locales des régimes statiques
• 5. Dipôle électrique• Soit p( O) (= q NP) alors V(M) et E(M)
V(M) = (1/ 40 ) ( p.OM )/OM3 .
E(M) = (1/ 40 ){3(p.OM)OM/OM5 – p/OM3}
• 6. Dipôle magnétique• Soit M (O) (= IS ) alors B(M) et A(M)
A(M) = (0 /4) (M x OM) / OM3
B(M) = (0 /4) {3OM(M .OM)/OM5 – M / OM3}