Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels Approche...
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Équations de fermeture des équations fluides
dans les magnétoplasmas non-collisionels
• Approche cinétique / Approche fluide
• Équations fluides et le problème de leur fermeture
• Différentes approches dans la littérature
• Nos résultats (Chust & Belmont, PoP, sous presse 2005)
Thomas Chust(CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France)
Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique »7-10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon
APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDEdu système couplé Vlasov-Maxwell
CINÉTIQUE
Intégration/ w
solution
Équation de Vlasov
Moments macroscopiquesn[t, r, w] et v[t, r, w]
Équations de Maxwell
f[t, r, w]
Système fluide
Intégration/ w
solution
FLUIDE
Deux approches différentes pour résoudrele même problème à partir de la même équation
En principe équivalentes mais en pratique …
SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV
0)().()(.)( fm
qff wt BwEw
Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) :
),,(),,( 000 wrwr tftf
Solution :),,( 000 wrt),,( wrt trajectoire
1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B
En pratique, des simplifications sont nécessaires :
linéarisation,
modèle 1- ou 2-D,
évolution quasi-statique,
nombre limité de particules …
2) Forme quelconque de f
Nombre infini de degrés de liberté
ÉQUATIONS FLUIDES
Intégration de Vlasov / w Équations exactes
.........
01
)()()()(
0)()()(
0)()()(
0)()(
sym
sym
nmchaleurdeflux
pression
nqnmnmimpulsion
nndensité
ct
ct
t
t
ppQΩv.QRQvQ
pΩvpQpvp
BvEpvvv
v
1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B
En pratique, il faut tronquer le système :
une équation de fermeture est nécessaire
2) Système d’équations infini (moments)
Forme quelconque de f
(généralement à l’ordre , ou )p Q R
CONDITIONS POUR UNE FERMETURE
Collisionel :
Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules
Nombre fini de degrés de liberté
Relation locale entre n, etpest possible
collisiont d collisionr l/1( )and
Non-collisionel :
Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion)
Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel
(opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann)
Pas de constrainte locale sur la forme de f
Q
PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES
1) Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres?)
2) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de , , , etc. ?)
3) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ?)
p Q R
Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés …
Fermeture « double-adiabatique » CGL :
1) Symétrie gyrotropique
2) Concerne l’ordre 3
3) Annulation du flux de chaleur
Exemple:
APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS
]1[0A ff
Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques
r
z
q
y
p
xpqr
N
rqpccca
1
0
en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1
avec
fonction de distribution de base (“ordre 0”)
Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977)Quelconque: Mintzer (1965)Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly …Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … 1) Choix ad hoc des symétries
2) Fermeture à l’ordre N3) Approximation dépendant de f0
APPROCHES LINÉAIRES
10 fff
Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma
1p 1Q 1R …
Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992)Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …)
Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …)Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)
Modèles formellement fluides des modes miroir, d’interchange … :
Modèles « Landau-fluides » :
1n
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1)
Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope
||00
00
00
p
p
p
p
)(|| yyzxxzyzyxzxzyyzxxzzz eeeeeeeeeeeeeeeeeeqeeeqQ
ct Ωd
thc VΩ /
cth ΩV ||||
Hypothèses intuitives :
Pas d'effets de fréquence fini:
Pas d'effets de rayon de Larmor fini:
Pas de résonance cyclotron:
(1) Condition de gyrotropie
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2)
)()()( N
ng
N
g
N TTT
)()(
)(d)(d
1Qvpppep
symtt
c
sym
z n
n
Ω
)(/)()(
)(d)(d
1 symsym
Rppv.QQQeQ nmn
n
Ωt
tc
z
… …
1
,dMax
cA
rthAt
Ω
V
),(Min ||
||
p
p
p
pA
N
th
N
ng nmV )(Tavec
nm
ppr ~
thth VVnmp | |
ththth VVVnmq | |
Hypothèse de compacité :
Condition “sls” de gyrotropie :
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3)
(2) Condition d’adiabaticité
zzt ppp )()(2)(d |||||||| Qvv
2/)()()()(2d || xxyyt ppp QQvv
1
)()()()(2d
)(2)()(2)(d
||
||||||||||
zzt
zzt
qqppp
qqppp
eevv
eevv
Condition d’adiabaticité :rth
tA V
d
Condition “sls” de gyrotropie
||||
||
||||
||,
||Max
pV
q
pV
q
thth
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4)
(3) Condition d’adiabaticité ||
1
)()()()(2d
)(2)()(2)(d
||
||||||||||
zzt
zzt
qqppp
qqppp
eevv
eevv
rth
tA V
d
||||22
||
||
||||
d
/)(,
/Max
th
t
ththththA VnVnVVV
Condition d’adiabaticité || :
)()(2d
)(2)(d
||
||||||||
vv
vv
ppp
ppp
t
t
||||
||
||||
||,
||Max
pV
q
pV
q
thth
Fermeture « double-adiabatique » CGL
(fermeture “gyrotropique-adiabatique”)
LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL)
tthV d||||
0d
nB
pt
0d 3||
2
n
pBt
Si
)()()()(2d
)(2)()(2)(d
||
||||||||||
zzt
zzt
qqppp
qqppp
eevv
eevv
Commeq
mnmt ]/)()(d[0)( pvBvE
négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité
(variations “temporelles”)
B
Bt )(d)()(|| vv
Ce sont de vraies lois fluides …
(variations “spatiales” ou résonance Landau)
Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable
Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …
LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES”
Si tthV d||||
)()()()(2d
)(2)()(2)(d
||
||||||||||
zzt
zzt
qqppp
qqppp
eevv
eevv
)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||
|||||||| zzzt rrpppnm
pqqq eeevv
)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm
pqq eeev
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1)
nmpr
nmppr
nmpr
/2
/
/3
2
||||||
2
||||||||||
)()()()(2d || zzt qqppp eevv
0)()( vnnt
0)()()( BvEpvvv nqnmnmt
||00
00
00
p
p
p
pavec
Équations fluides pour une espèce :
)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||
|||||||| zzzt rrpppnm
pqqq eeevv
)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm
pqq eeev
)(2)()(2)(d |||||||||| zzt qqppp eevv
thVV /||( quelconque)
Tout se joue dans la détermination des coefficients …
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2)
nmpr
nmppr
nmpr
/2
/
/3
2
||||||
2
||||||||||
thVV /||( quelconque)
Pour une fonction de distribution Maxwellienne :
1||||||
(fermeture normale)
Directement comparable aux modèles à 16-moments de Barakat & Schunk (1982)
Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003)
Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8-moments
Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3)
)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||
|||||||| zzzt rrpppnm
pqqq eeevv
)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm
pqq eeev
(variations “spatiales”)Si tthV d||||
0)(11)()(12)(
|| ||
|| ||||
|||| ||
||
|| ||
|| ||||||
|| ||
|| ||
||
||||
p
p
B
B
n
n
p
p
0)(1)(1212)()()(
||
||||
||
||
||
||||
||||||
||||||||
p
p
p
p
B
B
n
n
p
p
B
B
p
p
np
np )(1
/
/ ||
||
||
0/|||| np
fonction de distribution Maxwellienne :(fermeture normale)
2) Partie non-gyrotopique de mise à zéro comme avant: R
0)()( vnnt
0)()()( BvEpvvv nqnmnmt
||00
00
00
p
p
p
p
1) Expression entière de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : )(Q
with
FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1)(pas de restriction sur le flux de chaleur)
nmpr
nmppr
nmpr
/2
/
/3
2
||||||
2
||||||||||
3) Partie gyrotropique de calculée comme avant :Q
zzt ppp )()(2)(d |||||||| Qvv
2/)()()()(2d || xxyyt ppp QQvv
)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||
|||||||| zzzt rrpppnm
pqqq eeevv
)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm
pqq eeev
FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2)(pas de restriction sur le flux de chaleur)
)(/)()(
)(d)(d
1 symsym
Rppv.QQQeQ nmn
n
Ωt
tc
z
c
yy
c
yyxzz
ppp
nm
prrrq
)()()()()3()( |||||||||||||| ee
c
xx
c
xxyzz
ppp
nm
prrrq
)()()()()3()( |||||||||||||| ee
c
yy
c
yyxyy
rrrppp
nm
pq
)()2/()2/()()()( |||||||| ee
c
xx
c
xxyxx
rrrppp
nm
pq
)()2/()3/()()()( |||||||| ee
c
yyy
c
yyxxx
rrrrrr
ppp
nm
pq
)()2()()2/()(
)()()(3
||||x||||
||||
ee
e
c
xxx
c
xxyyy
rrrrrr
ppp
nm
pq
)()2()()2/()(
)()()(3
||||y||||
||||
ee
e
)2/()()(
||
rrqq
c
xzyyzxxxzyyz
eeee
)2/(2
)()(||
rrqc
zyzxxyz
ee
4) Partie non-gyrotropique de :Q
Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …
Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ?
UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ?
nm
ppr
(avec aucune restriction ?)
• Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture
• Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur.
• Ramos (2005) également mais juste formellement
Valable seulement pour une approche perturbative ?
CONCLUSION
Fermeture des équations fluides approximation des coefficients
Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs)
En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche)
Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique !
Condition de gyrotropie condition d’adiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)