ELECTROMAGNETISME –Equations du champ …
Transcript of ELECTROMAGNETISME –Equations du champ …
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
1/15
Leçon n°9 : Théorème d'Ampère
1. Le rotationnel en physique
Figure 1
Soient une courbe orientée C et un champ régulier ( ) A r uuuuur r
, c'estàdire :
A A et continus, x : la var iabled 'espace x
∂ ∀ ∂
uur uur
On nomme circulation C du champ ( ) A r uuuuur r
, de 1 vers 2 sur la courbe C , l'intégrale suivante:
2 2
1 1 C A d A T d
= • = • ∫ ∫ uuur uur uuur uuur
l l
C C
Figure 2
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
2/15
L'intégration sur une courbe fermée sur un seul tour sera notée:
C A d = • ∫ uuur uur
l Ñ C
Figure 3
Pour un champ régulier A ur , il est toujours possible de calculer la circulation de A
ur sur un
cercle orienté, de rayon ρ et centré sur le point M. La normale unitaire n r détermine
l'orientation du plan du cercle, son sens et celui de la circulation sur le cercle ρ γ sont liés par
la règle du "tirebouchon":
C A d ρ γ
= • ∫ uuuur uuur
l Ñ
Faisons tendre le rayon ρ vers zéro, la circulation qui en résulte sera notée dC :
0 0 dC lim C lim A d
ρ ρ → ρ → γ
= = • ∫ uuur uur
l Ñ
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
3/15
Figure 4
Simultanément, l'aire de la surface soustendue par le cercle devient un infiniment petite notée
dS , associée à l'élément de surface:
dS n dS = ur uur
Le rapport des deux infiniment petits dC dS
tend une limite finie; celleci ne dépend que des
seules propriétés du champ A ur au point M considéré.
Cette limite sera le module d'un vecteur colinéaire et de même sens que la normale n r , noté:
0 lim A d
dC rot A n n dS dS ρ
ρ →
γ •
= = ∫
uuur uur
uuuuuuuuuuuur uuur uur uur l Ñ
que l'on nomme: rotationnel de A ur .
En multipliant scalairement cette expression par n r :
dC rot A n dS •
= uuuuuuuuuuuur uuur uur
⇒
rot A n dS dC •
= uuuuuuuuuuuur uuur uur
⇒
dC rot A dS •
= uuuuuuuuuuuur uuuuur uuur
L'élément de circulation est égale localement au flux élémentaire du rotationnel.
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
4/15
( ) rot A uuuuuuuuuur uur
représente donc la circulation surfacique locale de A ur
sur une courbe fermée. Sa
direction est celle de la valeur locale la plus grande. Le sens est celui donné par la "règle du
tirebouchon".
Figure 5
Considérons une surface ouverte Σ qui s'appuie sur une courbe orientée fermée C . Pour la circulation autour des surfaces élémentaires, cumulons les effets de deux éléments de
surface adjacents,
Figure 6
on observe la neutralisation du courant dans le tronçon commun. La circulation active est
celle du périmètre commun aux deux éléments de surface.
Figure 7
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
5/15
Puis on recommence avec un troisième élément de surface adjacent. La encore la circulation
active est celle du périmètre commun.
Figure 8
En continuant de proche en proche on obtient finalement la somme des éléments de
circulation sur C :
dC A d = • ∫ ∫ uuur uur
l Ñ Ñ C C
Le cumul de tous les flux élémentaires à travers chacun des éléments de surface conduit
naturellement au flux du rotationnel à travers la surface orientée Σ , ce qui permet d'obtenir
l'expression du théorème de Stokes:
Figure 9
A dS A d rot Σ
= •
• ∫ ∫∫ uuuuuuuuuuuur uuur uur uuuur uuur
l Ñ C
Le rotationnel est noté, suivant les auteurs, à l'aide des symboles suivants:
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
6/15
( ) ( ) rot A A curl A A = ∇ ∧ = = ∇ × uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uur uur uur uur uur uur
En coordonnées cartésiennes, à partir des composantes du champ A ur :
x y z A A i A j A k = + + r ur uur uur
les composantes du rotationnel s'obtiennent par:
( ) x
y
z
A i x
rot A A A j y
A k z
∂ ∂ ∂ = ∇ ∧ =
∂ ∂
∂
r
uuuuuuuuuur ur uur uur uur
uur
y y z x z x A A A A A A i j k y z z x x y rot A
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= uuuuuuuuuuuuuru uuuur ur uur uur
Le rotationnel est un opérateur linéaire:
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 rot A A rot A rot A λ + λ = λ + λ uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuuu uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuru uuuur uuuuur uuuur uuuuur
En combinant le rotationnel avec les autres opérateurs vectoriels déjà rencontrés, il est aisé de
démontrer deux importantes formules. La première:
( ) rot gradf 0 = uuuuuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuur uur
sera utilisée pour déterminer si un champ de vecteur est un champ de gradient pur:
( ) ( ) ( ) rot A 0 f r / A r gradf = ⇒ ∃ = uuuuuuuuuur uuuuuuur uuuuuuuur uur ur ur ur
La seconde:
( ) div rot A 0
= uuuuuuuuuur uuur
au contraire permettra de savoir si un champ de vecteur est un champ de rotationnel pur:
( ) ( ) ( ) divB 0 A r / B r rot A = ⇒ ∃ = uuuuuuuuuur uuuuuur uur uur uur ur ur
Rappelons qu'un champ de vecteurs physiques vérifie le théorème de Helmholtz:
"Un champ de vecteur quelconque est la superposition d'un champ de gradient et d'un champ
de rotationnel".
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
7/15
2. Le potentiel vecteur
Figure 10
Le champ magnétique est établi à l'aide de la loi de Biot et savart:
0 2
d u dB 4 r I µ ∧ =
π
uuur uur uur l
La totalité du champ ( ) B r uuuuur r
, s'obtient grâce au principe de superposition:
B dB = ∫ uuur uuur
Ñ C
Calculons ( ) div B ur , pour cela déterminons préalablement ( ) div d B
ur :
( ) 0 2
I d u dB div 4 r
div
µ ∧ = π
uuur uur uur l
Choisissons les axes cartésiens de sorte que:
d d k = uur ur
l l
Figure 11
y x z u i j k r r r
⇒ = + + r ur uur uur
u y d x d d i j r r
∧ − = + ⇒ uuur r ur r l l l
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
8/15
( ) 0 3 3
I d 4 x y
y x dB 0 r r
div µ ∂ ∂ − π ∂ ∂
= + = ⇒ uuuur l
( ) ( ) dB dB div B div 0 div = = = ⇒ ∫ ∫ uuur uur uur
Ñ Ñ C C
( ) B 0 div = uuur
Cette équation est une des quatre équations de Maxwell. Elle signifie en particulier, compte
tenu des propriétés du rotationnel, qu'il existe un champ de vecteur A ur qui permet d'obtenir le
champ magnétique:
( ) ( ) ( ) B A r / B rot A div 0 = = ⇒ ∃ uuuuuuuuuur uuuuuuur uuur uur uur ur
A ur est désigné par l'appellation potentielvecteur. Remarquons qu'il est défini à un champ de
gradient arbitraire près, car:
( ) ( ) ( ) ( ) r , A' A grad rot A' rot A ∀ ϕ = + ϕ ⇒ = uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur uuuur uuur uuuur uuur ur
Par ailleurs: ( ) ( ) d B dB rot dA div 0 = = ⇔ uuuuuuuuuur uuur uuur ur
A partir de Biot et Savart:
0 2
d u dB 4 r I µ ∧ =
π
uur uur l
on obtient l'expression du potentielvecteur élémentaire:
0 d dA 4 r I µ
= π
uuur uur l
Figure 12
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
9/15
En un point M on obtient par superposition:
( ) 0 d A A r d
4 r I
= = µ
π ∫ ∫ uuur uuuuur r ur l
Ñ Ñ C C
Dans le cas d'une distribution continue de courant, comme dans le cas d'un plasma, en
introduisant la densité ( ) j r uuuur r
de courant
comme suit:
d d T = ur uur l l
posons: d I j
dS = , densité de courant
d I d j dS d T dS d j d j = = = τ ur ur ur uur
l l l
où: d I j j T T dS
= = ur uur uur
est le vecteur densité
de courant
et où: d dS d τ = l est l'élément de volume
Pour une distribution volumique de courants dans un domaine D :
( ) 0 j A r d r 4 µ
= τ π ∫∫∫ ur uuuuuuurur
D
Les expressions du potentielvecteur obtenues ne sont valides que pour des courants en
régime permanent. Il sera nécessaire de les compléter pour l'étude des régimes transitoires.
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
10/15
3. Théorème d'Ampère, (1827)
Soit B ur
le champ magnétique créé en M par le circuit C , dans lequel passe le courant permanent I.
Figure 15
D'après Biot et Savart et le principe de superposition:
0
2 I
4 dB d u B r
µ
π ∧ = = ∫ ∫
uuuuur uur uuur uuuuur l Ñ Ñ C C
Notre objectif est de déterminer la circulation de B ur sur une courbe quelconque fermée γ :
C B dM dM B dM dB γ γ γ
= • = • = • ∫ ∫ ∫ ∫ uuuuur uuuuur uuuuur uur uur uur
Ñ Ñ Ñ Ñ C
0 0 2 2
I 4
I d u dM d u C dM dB dM 4 r r γ γ γ
µ
π
µ ∧ • ∧ = • = • = π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
uuur uuuuur uuur uur uur uuuuur uuuuur uur l l Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ C C C
0 0 2 2 2
I I C C
4 4 dM d u u dM d C d d
r r γ γ γ γ
µ µ
π π • ∧ • ∧ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
uuuuur uuur uuuuur uuur uur uur l l Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
C C C
En ayant posé:
( ) 0 2 2
I u 4 r
d C dM d µ
• π
= ∧ r uuuuur uuur
l
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
11/15
Figure 16
Notons l'élément de surface: 2 2 dM d d S d S n ∧ = =
uuuuuur uuuuur uuur uur l
La circulation C C d γ
= ∫ Ñ est le résultat de la somme sur la courbe γ de :
0 0 2 2 2 2
I
4
I d S d S
4 u u dC r r
µ
π
µ
π = • = • ∫ ∫
uur uur uuuur uuuur Ñ Ñ C C
Figure 17
δ Σ représente un domaine infiniment petit (bande fermée de largeur infiniment petite)
0 0 2 2 2 2
I I d S d S
4 4 u u dC r r δΣ
µ µ •
π π = • = ∫∫ ∫
uur uur uuuur uuuur Ñ C
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
12/15
On remarque que cette intégrale, à un facteur près, est identique à l'expression de l'angle
solide dΩ :
2 2 d S u d r δΣ
• Ω = ∫∫ uur uuuur
Figure 18
C'est en fait l'angle solide prélevé dans l'espace lorsque l'on "regarde" la surface δ Σ (ou le
circuit C , car l'épaisseur de la bande est infiniment petite) depuis le point M.
Le déplacement dM uur
du circuit C engendre une surface Σ , dont dS r est l'élément de surface.
Figure 19
Après circulation sur γ (un tour), la surface fermée obtenue est du genre tore:
On distingue deux sortes de points M:
1°) si M est à l'extérieur du domaine limité par d 0 Σ ⇒ Ω =
2°) si M est à l'intérieur du domaine limité par d 4 Σ ⇒ Ω = π
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
13/15
Pour la circulation totale:
0 0 2 2 2
I I d S d
4 4 u C r Σ γ
µ µ Ω
π π = • = ∫ ∫∫ ∫
uur uuuur Ñ Ñ
C
Topologiquement, 2 cas sont possibles:
1°)
Figure 20
γ n'enlace pas C , alors pour tous les points M de γ l'angle solide d 0 C 0 Ω = ⇒ =
2°)
Figure 21
γ enlace C , alors pour tous les points M de γ l'angle solide:
0 2 0
I d 4 d 4 C 4 C I
4 Σ
µ Ω = π ⇒ Ω = π ⇒ = π = = µ
π ∫∫
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
14/15
Figure 22
En conclusion, pour une série de courants permanents: N 1 2 3 k I ,I ,I ...I ...I , seuls les courants
enlaçant la courbe γ , contribuent à la circulation sur γ , avec la valeur donné par l'expression
du théorème d'Ampère:
0 k enlacés
C B dM I γ
= • = µ ∑ ∫ uuuuuuur uuur
Ñ
Dans l'exemple de la figure 22, la valeur de la circulation sur la courbe γ vaut:
( ) 0 1 3 C I I = µ +
les autres courants n'étant pas enlacés par γ .
Dans le cas où la distribution des courants est continue:
Figure 23
0 enlacés I j dS Σ
µ • = ∫∫ uur uuuuur
ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique
Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
15/15
le théorème d'Ampère prend la forme:
0 C B dM j dS γ Σ
= • = µ • ∫ ∫∫ uuuuuuur uur uuuuur uuur
Ñ
En appliquant le théorème de Stokes à la circulation:
( ) B dM rot B dS γ Σ
• = • ∫ ∫∫ uuuuuuuuur uuuuur uuuur uur uur
Ñ
Il vient alors:
( ) 0 rot B j dS 0 Σ
− µ • = ∫∫ uuuuuuuuur ur uuuur uur
Cette relation étant vraie quelque soit la surface Σ qui s'appuie sur γ , on en déduit que:
0 rot A j
= µ uuuuuuuuuuuur uur uuur
Cette équation est l'expression locale du théorème d'Ampère, on la connaît sous le nom
d'équation de MaxwellAmpère. Elle n'est valable que pour un régime permanent. Elle sera
complétée pour les régimes transitoires afin d'obtenir une des quatre équations de Maxwell.