复习1. 偏导数的概念及有关结论• 定义 ; 记号 ; 几何意

义• 函数在一点偏导数存在

函数在此点连续• 混合偏导数连续 与求导顺序无关

2. 偏导数的计算方法

• 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法( 与求导顺序无关时 , 应选择方便的求导顺序 )

* 二、全微分在近似计算中的应用

第三节

一、全微分的定义

全 微 分

一、全微分的定义

由一元函数微分学中增量与微分的关系得

二元函数对 x 和对 y 的偏增量

二元函数对 x 和对 y 的偏微分

( Δ , ) ( , )f x x y f x y

( , Δ ) ( , )f x y y f x y

( , )xf x y x

( , )yf x y y

全增量的概念

),(),( yxfyyxxf

为函数在点 P 对应于自变量增量 的全增量，yx ,

),( yxfz ),( yx如果函数 在点 的某邻域内有定义，

),( yyxxP 设 为该邻域内的任意一点，

则称这两点的函数值之差

记为 ，即z

( , ) ( , ).z f x x y y f x y

其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y) 可微，

若函数在域 D 内各点都可微 ,

则称此函数在 D 内可微 .

定义 : 如果函数 z = f ( x, y ) 在定义域 D 的内点( x , y )

可表示成处的全增量 Δ ( Δ , Δ ) ( , )z f x x y y f x y

Δ Δ Δ ( ) ,z A x B y o 2 2(Δ ) (Δ )x y

d d Δ Δz f A x B y 记作

称为函数 在点 的全微分 , ( , )f x yΔ ΔA x B y ( , )x y

),(),( yxfyyxxfz 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微

当函数可微时 :

得 ( , )f x y

函数在该点连续

d dz f A x B y ( )z A x B y o

Δ 0Δ 0

lim Δxy

z

0

lim ( Δ Δ ) ( )A x B y o

0

Δ 0Δ 0

lim ( Δ , Δ )xy

f x x y y

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 :

(1) 函数可微 偏导数存在

(2) 偏导数连续 函数可微

Δ ( , ) ( , )x z f y f y

证: 得到对 x 的偏增量

Δx x x Δ (| Δ |)A x o x

Δ 0,y令

zx Δ 0

Δlim

Δx

x

z

x A

同样可证 ,z

By

因此有

d Δ Δz z

z x yx y

若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ,

则该函数在该点的偏导数 必存在 , 且有,z zx y

d Δ Δz z

z x yx y

定理 1( 必要条件 )

Δ Δ Δ ( ),z A x B y o 因函数在点 (x, y) 可微 , 故

反例 :

易知 但

因此 , 函数在点 (0,0) 不可微 .

注意 : 定理 1 的逆定理不成立 .

偏导数存在函数 不一定可微 !即 :

(0, 0) (0, 0) 0 ,x yf f

Δ [ ( 0, 0 )Δ ( 0, 0 )Δ ]x yz f x f y 2 2

Δ Δ

(Δ ) (Δ )

x y

x y

2 2

Δ Δ

(Δ ) (Δ )

x y

x y 2 2

Δ Δ(Δ ) (Δ )

x yx y

0

( )o

( , )f x y

2 2

2 2, 0

x yx y

x y

2 20, 0x y

函数

[ ( , )]f x y

定理 2 ( 充分条件 )

证：

若函数 的偏导数( , )z f x y ,z zx y

则函数在该点可微分 .( , )x y在点 连续，Δ ( Δ , Δ ) ( , )z f x x y y f x y

[ ( Δ , Δ ) ]f x x y y ( , Δ )f x y y

( , Δ )f x y y

1( Δ , Δ )Δxf x x y y x 2( , Δ )Δyf x y y y

1 2(0 , 1 )

[ ( , ) ]Δxf x y x [ ( , ) ]Δyf x y y

Δ 0Δ 0

lim 0xy

Δ 0Δ 0

lim 0,xy

注意到

故有

Δz

( , )Δ ( , )Δx yf x y x f x y y Δ Δx y

2 2

Δ Δ Δ Δ| | | |

(Δ ) (Δ )

x y x y

x y

Δ ( , )Δ ( , )Δx yz f x y x f x y y ( )o

0

所以函数 在点 可微 .

( , )z f x y ( , )x y

类似地可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .

例如 ,

习惯上把自变量的增量用微分表示 ,

记作

故有下述叠加原理

于是

Δu

xx

du Δu

yy

Δu

zz

du du

xx

du

yy

du

zz

d x u d y u dz u

称为偏微分 .d ,d ,dx y zu u u

d d d dx y zu u u u

的全微分为( , , )u f x y z三元函数

( cos )12 2

y

解 :

解 :

在点 (2,1) 处的全微分 . e x yz 例 1. 计算函数zx

e ,x yyzy

e x yx

2 2e , 2e(2,1) (2,1)

z zx y

2 2

(2,1)

d e d 2e dz x y 2e (d 2d )x y

例 2. 计算函数 的全微分 . sin e2

yzyu x

1 dx du e yzz dy e dyzy z

解

例 3 求函数 ，当 ， ，

时的全微分 .

)2cos( yxyz 4

x

y

d ,4

x dy

zx

sin( 2 ),y x y

cos( 2 ) 2 sin( 2 ),x y y x y zy

( , )4 ( , ) ( , )

4 4

d d dz z

z x yx y

2(4 7 ).

8

证 : 1) 因为

故函数在点 (0, 0) 连续 ;

所以

在点 (0,0) 可微 .

在点 (0,0) 连续且偏导数存在 ,

不连续 ,

但偏导数在点 (0,0)

函数例 4 证明

( , )f x y 2 2

1sin , ( , ) (0,0)xy x y

x y

0, ( , ) (0,0)x y

( , )f x y而

2 2

1sinxy

x y| |xy

00

lim ( , ) 0xy

f x y

(0,0)f

2) ( ,0) 0,f x (0,0) 0 ;xf 同理 (0,0) 0.yf

3) 当 时， ( , ) (0,0)x y

( , )xf x y y2 2

1sin

x y

2

2 2 3( )

x y

x y

2 2

1cos

x y

( , )P x y当 沿射线 趋于 时， y x (0,0)

( , ) (0,0)lim ( , )xx x

f x y

1sin

2 | |x

3

3

| |

2 2 | |

x

x 1

cos )2 | |x0

lim(| |x

x

( , )f x y 2 2

1sin , ( , ) (0,0)xy x y

x y

0, ( , ) (0,0)x y

极限不存在 , 在点 (0,0) 不连续 ;( , )xf x y

同理 , 在点 (0,0) 也不连续 .

( , )yf x y

则

4) 下面证明 在点 可微 :( , )f x y (0,0)

令 2 2(Δ ) (Δ ) ,x y

Δ (0,0)Δ (0,0)Δx yf f x f y

Δ Δ 1sin

x y Δx 0 0

( , )f x y 2 2

1sin , ( , ) (0,0)xy x y

x y

0, ( , ) (0,0)x y

( , ) (0,0) .f x y 在 可微

说明 : 此题表明 , 偏导数连续只是可微的充分条件 .

* 二、全微分在近似计算中的应用1. 近似计算

由全微分定义

( 可用于误差分析或近似计算 )

Δ ( , )Δ ( , )Δ ( )x yz f x y x f x y y o

dz

可知当 较小时 ,

及 有近似等式 :

| Δ |x | Δ |y

Δ d ( , )Δ ( , )Δx yz z f x y x f x y y

( Δ , Δ )f x x y y ( , )f x y ( , )Δ ( , )Δx yf x y x f x y y

, 则

则

的近似值 . 2.021.04例 5. 计算

设 ( , ) yf x y x

( , )xf x y 1 ,yy x ( , )yf x y lnyx x

取 1, 2,x y Δ 0.04, Δ 0.02x y

2.021.04 (1.04, 2.02 )f

(1, 2) (1, 2)Δ (1, 2)Δx yf f x f y

1 2 0.04 0 0.02 1.08

解 :

则

h

解 : 已知

2π ,V r h

半径由 20cm 增大到 20.05cm , 高度由 100cm 减少到

99cm ,体积的近似改变量 .

求此圆柱体例 6. 有一圆柱体受压后发生形变 ,

r

ΔV 2π Δrh r 2π Δr h

20, 100,r h Δ 0.05, Δ 1r h

2Δ 2π 20 100 0.05 π 20 ( 1)V 3200π (cm )

即受压后圆柱体体积减少了大约 3200π cm .

解：

故绝对误差约为

所以 S 的相对误差约为

求计算面积时的绝对误差与相对误差 .

计算三角形面积 . 现测得

12 sinS ab C

12.5 0.01, 8.3 0.01, 30 0.1a b C 例 7. 利用公式

δ δS a

Sa

δb

Sb

δC

SC

1sin δ

2 ab C 1sin δ

2 ba C1

cos δ2 Cab C

π12.5, 8.3, 30 , δ δ 0.01, δ

1800a b Ca b C

δ 0.13S

δ

| |S

S0.1325.94

0.5 %

2. 误差估计

则 z 的绝对误差界约为

z 的相对误差界约为

利用 Δ ( , )Δ ( , )Δx yz f x y x f x y y

分别表示 x , y , z 的绝对误差界 ,

令 δ , δ , δx y z

( , )( , )δ δ

( , ) ( , )yz x

x y

f x yf x y

z f x y f x y

δ | ( , ) |δ | ( , ) |δz x x y yf x y f x y

δ yδ

δzxz

( , )( , )δ δ

( , ) ( , )yz x

x y

f x yf x y

z f x y f x y

特别注意(1) z x y若 ， δ δδ x yz

z x y

(2) ,y

zx

若

2( )y

x x

y

xy1

x

δ δx y

x y

• 很小的数不能做除数， 结果的相对误差变大

类似可以推广到三元及三元以上的情形 .

解 : 由欧姆定律可知

所以 R 的相对误差约为

0.3 + 0.5

R 的绝对误差约为= 0.032 ( )

= 0.8

测得电压 U = 24 V,

0.3;

定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .

相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆

例 8. 在直流电路中 ,

( )24

46

UR

I

δδ δUR I

R U I

0.8 δ | |R R

内容小结

2. 重要关系 : 函数可导

函数可微

偏导数连续

函数连续

1. 微分定义 : 为例 )

( ( , )z f x y以

Δz ( , )Δ ( , )Δx yf x y x f x y y ( )o

2 2(Δ ) (Δ )x y

( , )d ( , )dx yf x y x f x y ydz

3. 微分应用• 近似计算

• 估计误差

绝对误差

相对误差

( , )Δ ( , )Δx yf x y x f x y yΔz

( Δ , Δ )f x x y y ( , )f x y ( , )Δ ( , )Δx yf x y x f x y y

( , )δ ( , )δ δ

( , ) ( , )yz x

x y

f x yf x y

z f x y f x y

δ | ( , ) |δ | ( , ) |δz x x y yf x y f x y

思 考 与 练 习

函数 ( , )z f x y 在 0 0( , )x y 可微的充分条件是 ( )

0 0( ) ( , ) ( , )A f x y x y在

0 0( ) ( , ) , ( , ) ( , )x yB f x y f x y x y 在 的某邻域内存在 ;

( ) Δ ( , )Δ ( , )Δx yC z f x y x f x y y 2 2( ) ( ) 0x y 时是无穷小量

;

2 2

Δ ( , )Δ ( , )Δ( )

(Δ ) (Δ )

x yz f x y x f x y yD

x y

2 2( ) ( ) 0x y 时是无穷小量 .

选择题

连续

当

当

二元函数 f(x ， y) 在点 (x0 ， y0) 处两个偏导数),(),,( 0000 yxfyxf yx 存在，是 f (x, y) 在该点连续的

（ A ）充分条件而非必要条件

（ B ）必要条件而非充分条件

（ C ）充分必要条件

（ D ）既非充分条件又非必要条件

0 0

0

0

0 0

0 0

( , ) ( , ) ,

( ) ( , )

( ) ( , )

( ) lim ( , ) lim ( , )

( ) lim ( , ) .

x y

x x y y

x xy y

f x y P x y f f

A f x y P

B f x y P

C f x y f x y

D f x y

在 的两个偏导数 都存在，则

在 点连续；在 点可微；

及 存在；

存在

( , ) ( , ) ( , )

( )

( )

( )

( ) .

z f x y x y f x y

A

B

C

D

设 在 处不连续，则 在该点处必无定义；极限必不存在；偏导数必不存在；必不可微

P75 题 5.

考虑二元函数 f (x , y) 的下面四条性质 在点 连续0 0( , )x y

(2) ( , ) , ( , )x yf x y f x y 在点 连续0 0( , )x y

(3) ( , )f x y 在点 可微分0 0( , )x y

0 0 0 0(4) ( , ), ( , )x yf x y f x y 存在

(1) ( , )f x y

若用 表示可由性质 P 推出性质 Q, 则下列四个选项中正确的是：

P Q

: (2) (3) (1)A : (3) (2) (1)B

: (3) (4) (1)C : (3) (1) (4)D

P129 题 1.

在充分，必要和充分必要三者中选择一个正确的填入下列空格中。

在点 可微分是 在该点( ),x y(1) ( , )f x y ( , )f x y

连续的 条件， 在点( ),x y( , )f x y

连续是 在该点可微分的 条件 .( , )f x y

在点 的偏导数 存在是 ( ),x y(2) = ( , )z f x y ,x yz z

在该点可微分的 条件，

导数 存在的 ( ),x y

( , )f x y

在点 可微分是函数在该点的偏( , )z f x y

,x yz z

P129 题 1.

在充分，必要和充分必要三者中选择一个正确的填入下列空格中。

的两个二阶混合偏导数 (4) = ( , )z f x y ,xy yxz z

在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏导数在 D内相等的 条件 .

的偏导数 在点 存在且(3) ( , )z f x y

连续是 在该点可微分的 条件( , )f x y

,x yz z ( ),x y

Δz2 , Δ 0.01

1 , Δ 0.03

x x

y y

0.0283 dz2 , Δ 0.01

1 , Δ 0.03

x x

y y

也可写作 :

当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.0283 , d z = 0.0278

3. P130 题 7求函数 当 x = 2 , y =1,△x = 0.01,

的全增量和全微分 .

2 2

xyx

zy

△y = 0.03 时

0.0278

(0,0,0)d (0,0,0)d (0,0,0)d (0,0,0)dy y zf f x f y f z

4. 设

解 : ( ,0,0)3 cos

xf x

x

(0,0,0)3 cos 0

x

xf

x x

14

利用轮换对称性 , 可得1

(0,0,0) (0,0,0)4y zf f

1(d d d )

4x y z

注意 : x , y , z 具有 轮换对称性

cos cos cos( , , ) ,

1 cos cos cosx y y z z x

f x y zx y z

( 0,0,0 )d .f求

答案 :

5. 已知 arctan , d .x y

z zx y

求

2 2

d dd

y x x yz

x y

作 业

• P75. 1(3, 4), 3, 6

提交时间： 2012年 3月 5日上午8:00