§7.2 §7.2 偏导数偏导数 偏导数的概念偏导数的概念

偏导数的几何意义偏导数的几何意义

偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系

小结小结

思考与练习思考与练习

高阶偏导数高阶偏导数

固定当的某一邻域内有定义，在点（设函数 yyxyxfz ),),( 00

相应的函数有增量时处有增量在而在 ,, 00 xxxy

),(),( 0000 yxfyxxfzx

如果极限

x

yxfyxxfx

),(),(lim 0000

0

的偏处对在点则称此极限为函数存在 xyxyxfz ),(),(, 00

记作导数,

偏导数的概念偏导数的概念

),(,,, 00

0

0

0

0

0

0yxfz

x

f

x

zx

yy

xxx

yy

xx

yy

xx

或

同理 , 如果极限y

yxfyyxfy

),(),(lim 0000

0

的偏处关于在（数存在，则称此极限为函 yyxyxfz ),),( 00

导数 , 记作

),(,,, 00

0

0

0

0

0

0yxfz

y

f

y

zy

yy

xxy

yy

xx

yy

xx

或

xyxDyxfz 处对于内每一点在平面区域如果函数 ),(),(

)(),() yxDyxfy 或内有对在函数的偏导数都存在，则称（或

偏导函数 , 简称偏导数 , 记作

,x

z

,),(

x

yxf

,z x ),,( yxf x

,y

z

,),(

y

yxf

,yz ),,( yxf y

解

根据偏导数的定义可知 , 求多元函数关于某个自变量的偏导数 ,

并不需要新的方法 , 只需将其他自变量看作常数 , 仅对一个自变量求导 , 因此 , 一元函数的求导法则和求导公式 , 对求多元函数的偏导数仍然适用 .

的偏导数。求 yxz 2sin2

求导，得看作常数，对视为求 xyx

z,

yxx

z2sin2

例 1

例 2

求导，得看作常数，对视为求 yxy

z,

yx

y

z2cos2 2

)5,0(),4,3(,),( 22yx ffyxyxyxf 求设

解2222

12

21),(

yx

x

yx

xyxf x

因为

22221

2

21),(

yx

y

yx

yyxf y

所以5

2

5

31)4,3( f 011)5,0( yf

y

z

x

zxz y

,的偏导数求例 3

解 1 yyxx

zxx

y

z y ln

的偏导数有简单的几何在点（二元函数 ),),( 00 yxyxfz 意义 .

000000 ),()),(,, MyxfzyxfyxM 上的一点，过为曲面（设

则导数程为截曲面得一曲线，其方作平面 ),,(, 00 yxfzyy

,),(00 xxyxf

dx

d xx TMMyxf 0000 ),( 的切线就是曲线在点即偏导数

000 ),( xxyxfx y 是曲面被平面数轴的斜率；同样，偏导对轴的斜率。对的切线所截成的曲线在点 yTMM y00

偏导数的几何意义偏导数的几何意义

)y,x( 00

0x 0y

如下图所示

.)( 0 续可导，则它在该点必连在我们知道，一元函数 xxfy

,),(),,( 00 的两个偏导数都存在即使在点但对于二元函数 yxyxfz

不一定连续。在点（函数 ),),( 00 yxyxf

例如

01

0),(

22

xy

xyyxyxf

0)(

lim)0,0()0,0(

lim)0,0(2

00

x

x

x

fxff

xxx

0)(

lim)0,0()0,0(

lim)0,0(2

00

y

y

y

fyff

yxy

偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系

而当）的两个偏导数都存在，在点（可见，函数 ,00),( yxf

时，有趋向于点沿直线（动点 )0,0(0), yyxM

0lim)0,(lim 2

00

xxf

xx

时，有趋向于点沿直线（当动点 )0,0(), xyyxM

11lim),(lim00

xx

xxf

不连续。点的极限不存在，当然在在点（可见， )0,0()0,0),( yxf

注注 : : 偏导数存在偏导数存在与连续的区别与连续的区别(1)(1) 偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续；(2)(2) 连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数；

高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数 . 例如设内具有偏导数：在区域函数 Dyxfz ),(

),,( yxfx

zx

),,( yxf

y

zy

一般来说 , 这两个偏导数还是 在对的函数，如果它们又存yx,

我们的二阶偏导数函数的偏导数，我们就定义或对 .),( yxfzyx

可定义二元函数的二阶偏导数如下

),()(2

2

yxfx

z

x

z

x xx

高阶偏导数高阶偏导数

),()(2

yxfxy

z

y

z

x yx

),()(2

2

yxfy

z

y

z

y yy

.),( 求偏导数先对自变量表示函数这里， xyxfzf xy

数。通常称为二阶混合偏导和 yxxy ff

),()(2

yxfyx

z

x

z

y xy

例 4

解

的所有二阶导数求xy

yxz

1

arctan

22 )1(

)()()1(

)1

(1

1

xy

yyxxy

xyyxx

z

222

2

22

2

1

1

)1)(1(

1

)()1(

1

xxy

y

yxxy

y

22 )1(

)()()1(

)1

(1

1

xy

xyxxy

xyyxy

z

222

2

22

2

1

1

)1)(1(

1

)()1(

1

yxy

x

yxxy

x

)1(

222

2

x

x

x

z

)1(

222

2

y

y

y

z

02

xy

z

02

yx

z

二阶以上的偏导数称为高阶偏导数

例 5 的所有二阶导数求 )2sin( yxez x

解 )2cos(2)2sin( yxeyxex

z xx

)2cos( yxey

z x

)2sin(4)2cos(2)2cos(2)2sin(2

2

yxeyxeyxeyxex

z xxxx

)2sin(2

2

yxey

z x )2sin(2)2cos(

2

yxeyxeyx

z xx

)2sin(2)2cos(2

yxeyxexy

z xx

上述例子中二阶混合偏导数都是相等的 , 但对许多二元函数来说 , 它们的二阶混合偏导数并不相等 , 也就是说两者相等是要有条件的 . 为此 , 给出下面的定理 :

定理 7.1xy

z

yx

zyxfz

22

,),( 的两个二阶混合偏导数如果函数

数必内这两个二阶混合偏导内连续，那么在该区域在区域D

相等 .

例 6 ),2,0,1(),1,0,0(,),,( 222xzxx ffzxyzxyzyxf 求设

)1,0,2(),0,1,0( zzxyz ff

解 因为 222 2,2,2 xyzfzxyfzxyf zyx

zfxfzf yzxzxx 2,2,2

0,2 zzxzz fyf

所以 2)2,0,1(,2)1,0,0( ff xx

0)1,0,2(,0)0,1,0( zzxyz ff

小结：小结： 在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。次序无关。

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