1 2 (ii) 1 2 1 2 2 compues… · Ket Ket Espacio H 2 Dimensión n ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1...
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SISTEMAS COMPUESTOS
PRODUCTO TENSORIALEspacio H1 Dimensión m
Espacio H Dimensión n
Ket
Ket
Espacio H2 Dimensión n Ket
ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 21 HHH Dimensión mn Ket
Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puedeSi a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a
H, entonces H es el producto tensorial de H1 y H2
PROPIEDADES:
21,,)( HHCccci 21,,)( HHCccci 212121 ,)( HHii i
2121)( iii
Notación ,
c11
BASES ORTONORMALES
11Hi
2Hj
21 HHji
cc
.
.13
12
22Hj
jlikklij nccccnccccijc nn
m
i
n
jij 2..........2322211..........131211 22322211131211
1 1
KET EN H
n
cccc
22
21
1
mncmcmcmc mnmmm
i j
..........321..................................................... 321
1 1
nc
c
.
.
2
23
mn
KK Kc
1 jniK )1(
cc
.
.32
31
OPERADORES
nc
.
.
.3
OPERADORES
A H ˆ H BA ˆˆ HH
m
m
cc
.
2
1
A 1H B 2H BA 21 HH
mnc..
jBiAcjicBA ijijˆˆˆˆ
ij ijdrs jjij
ijij
ij
ij
ij j
jBsiArcijˆˆ ij ijrsd sjriijd rsdj
ijij
ijij j
ijsjriij rs
ij
ijsjrirs cBAd
BABABA
A es una matriz
B t i
mm
ij
Representación matricial
BABABABABABA
BAm
m
............
ˆˆ22221
11211 B es una matriz
AijB es una matriz
nnnn
ˆˆ
BABABA mmmm ...
......
21BA es una matriz mnmn
SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS• Por simplicidad, supondremos el sistema compuesto por dos subsistemas de dos niveles.
Partícula 1 Espacio de Hilbert H1
Dimensión 2
Base de H1
11
1,0
Partícula 2 Espacio de Hilbert H2
Dimensión 2
Base de H2
10Dimensión 2 22
1,0
Sistema compuesto Espacio de Hilbert 21 HH
Base de 21 HH 21212121
11,01,10,00
Dimensión 4
ESTADO
2
1,21
jiij jic
ijij ijc
11|10|01|00||
Estados separables o no entrelazados“el estado de cada parte está definido”
|1>1 24232 1|0|| cc
12111 1|0|| cc
|0>1
SISTEMA 1 SISTEMA 2
2121 ||| 2121 |||
D d l t d d l i t l l t l i d Hilb t d t t i l d lDado el estado del sistema, el cual pertenece al espacio de Hilbert producto tensorial de los espacios de Hilbert asociados a los sistemas individuales, es posible expresar dicho estado a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados separables
cada parte del sistema tiene un estado definido.p
E t d t l d ( t l t)Estados entrelazados (entanglement)
“el estado de cada parte NO está definido”
2121 |||
el estado de cada parte NO está definido
Dado el estado del sistema, el cual pertenece al espacio de Hilbert producto tensorial de los i d Hilb t i d l i t i di id l NO ibl di hespacios de Hilbert asociados a los sistemas individuales, NO es posible expresar dicho
estado a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados entrelazados los estados individuales no están definidos.
Ejemplos: 11011
11012
¿Separable o no separable?
211
1102
1 ES SEPARABLE
Estado de la partícula 1 Estado de la partícula 2
1 1 00 112
1 1 00 11 0 1 0 12
1 0 SIN SOLUCION
ES ENTRELAZADO
, 02
SIN SOLUCION
Estados de Bell:
01102
1
1
01102
1Estado singlete
Invariancia rotacional: su
1
00112
1expresión es la misma,
independientemente de la base que se use del
00112
1espacio de Hilbert
Ejercicio: comprobar que los estados de Bell constituyen una base ortonormalortonormal.
La Conversión Paramétrica a la BajaLa Conversión Paramétrica a la BajaLa Conversión Paramétrica a la BajaLa Conversión Paramétrica a la Baja
Cono Ordinario
Cristal no lineal eoláser
A B
Cristal no lineal
Láser eolaser kkk
Los dos fotones tienenLos dos fotones tienen polarizaciones perpendiculares entre sí
Cono extraordinario
Seleccionando los rayos donde los conos se intersecan, se puede conseguir que el estado de la pareja sea uno de los
t t d d B llcuatro estados de Bell.
}|,{| 111 VH
1
}|,{| 222 VH
21212
1 HVVH
2121
''''2
1 HVVH INVARIANCIA ROTACIONAL 2
}'|,'{| 111 VH
ROTACIONAL
}'|,'{| 222 VH
Qubits múltiplesINFORMACIÓN CLÁSICA
SISTEMA 2SISTEMA 1
Sistema compuesto por dos bits clásicos
0SISTEMA 2
1
0SISTEMA 1
11
00 01 10 11El sistema formado por los dos bits 00, 01, 10, 11El sistema formado por los dos bits clásicos puede estar en 4 posibles estados
El i t f d l t bit 000, 001, 010, 011, 100, 101,
110 111
El sistema formado por los tres bits clásicos puede estar en 8 posibles estados
Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.110, 111
INFORMACIÓN CUÁNTICA|1>1
SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2
INFORMACIÓN CUÁNTICA
}11|,10|,01|,00{|
SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2
Base Computacional|0>1
11|10|01|00||
Base Computacional
11|10|01|00|| Para un sistema de n qubits:
• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.
• 2n es el número de estados de la base computacional.
• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.
• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en el universo Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar talel universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal cantidad de datos.