03Hidrostatica

Ficheiro:Hidrostatica.doc Pg.31de322 Herlander MATA-LIMA, PhD

3. HIDROSTTICA

3.1. Lei Hidrosttica de Presses

Therearenoshearstressesinfluidsatrest;henceonlynormalpressureforcesarepresent.Thereforethepressureatanypointinafluidatrestisthesameineverydirection.

Ahidrostticaocupasedoestudodefluidosemrepouso,razopelaqualaforadecontacto

exercida sobre uma rea tem apenas a componente vertical (normal). Designase por

pressoaforaaplicadaporunidadedesuperfcie(rea).

Admitindo um corpo de volume, limitado pela superfcie A, mergulhado numa massalquida; e considerando que dA representa um elemento de rea nessa superfcie e dF a

foraperpendicularqueactuasobreareaelementar(dA),verFigura3.1,apresso(p)

expressapor:

dAdFp = (3.1)

Ateno: a fora sempre perpendicular a superfcie,conformeilustraafiguraaolado.

Quando se considera toda a rea, o efeito da pressoproduzirumaforaresultante(impulsooupressototal)queobtidapelaequao:

=A

pdA ,ouquandoapressoamesmaemtodaarea pA= .

Figura3.1Representaodapressoexercidasobreumareaelementar.

DeacordocomaleidePascal(estabelecidaporLeonardodaVinci)emqualquerponto

nointeriordeumlquidoemrepouso,apressoamesmaemtodasasdireces.

Vamos demonstrar a lei considerando um prisma imaginrio de dimenses elementares:

comprimento dx, altura dz e espessura dy (ver Figura 3.2). O p a presso mdia em

qualquerdireconoplanodepapel,pxepzso,respectivamente,aspressesmdiasnas

direceshorizontalevertical.


x=cosz=sen

22 zx +=

xzarctg=

(a) Presso nas faces perpendiculares ao plano dopapel

(b)Revisobsicadatrigonometria

Figura3.2Prismaimaginrionointeriordeumlquidoemrepouso.

Pelofactodoprismaestaremequilbrio,osomatriodasforasnulo.

Portanto,paradirecodeX:

Destemodo,

sendypddydzpx = ,com ddzsen =

ddzdypddydzpx =

pdydzdydzpx = ppx =

ParadirecodeZ:

0=zF Destemodo,

dxdydzcosdypddxdypz 21+= ,com d

dxcos =

O terceiro termo

dxdydz21 de ordem superior em relao aos outros dois termos e

podeserdesprezado1.

1 Nota: na demonstrao acima desprezouse o peso pelo facto do prisma ser de dimenses elementares. A foracorrespondenteaopesodotringulodadapor:*readoprismatriangular*largura(i.e.*dxdz*dy).

dxdzdy

0=xF


ddxdypddxdypz =

pdxdydxdypz = ppz =

Finalmente,temseque

ppp zx == Nota:nademonstraoacimadesprezouseopesopelofactodoprismaserdedimenseselementares.

DeacordocomaleideStevin(pressoexercidaporumacolunalquida)adiferenade

pressesentredoispontosdemassadeumlquidoemequilbrioigualdiferena

deprofundidademultiplicadapelopesovolmicodolquido(e.g.gua=9800N/m3).

O somatrio das foras que actuam, navertical,sobreoprismadeveser:

0=yF Logo,

021 =+ AphAAp hpp = 21 hpp =

21

Figura3.3Ilustraodapressoexercida,porumacolunalquidaemrepouso,numprismaideal.

Finalmente,importareferirqueaHidrostticaestudafluidosemrepouso,considerandoa

massavolmicaconstante(=constante).

Portanto, de acordo com a Lei Hidrosttica de Presses, a presso num lquido emrepousoser:


tetanconszp =+ ou tetanconszpg =+1

(3.2)

onde:

ppressonumdadoponto(PascalouN/m2).Nota:1kgf/m2=9,8N/m2e

1bar=1,012*105N/m2;

zcotageomtricadoponto,aqueserefereapresso,emrelaoaumplanohorizontaldereferncia(m);

pesovolmico(N/m3);zp + cota piezomtrica em relao a um plano horizontal de referncia (assume uma

valorconstanteemtodosospontosdeumlquido)(m);e palturapiezomtrica(oude

presso)(m).

3.1.1. Presses Absolutas e Relativas

Entreapressoabsolutaerelativaexisteaseguinterelao:

aatmosfricrelativaabsoluta ppp += (3.3)Apresso exercidana superfcie de um lquido exercidapelos gases sobrejacentes (e.g.

pressoatmosfrica).

Considerandoapressoatmosfrica(verFigura3.4),temseaseguintesituao:

11 hpp a +=

212 hpp +=

( )212 hhpp a ++= Figura3.4Representaodapressonumpontonointeriordeumlquidoemrepouso.

Na hidrulica, geralmente, trabalhase com presses relativas (tambm pode receber a

designaodepressomanomtricaoupressoefectiva)vistoqueoqueinteressacalcular


oumediradiferenadepressoentreospontos.Assim,comoapressoatmosfricaactua

de igualmodo em todos os pontos comum no ser considerada. Ver a Figura3.5 que

correspondeumasituaoemquesepretendedeterminarapressoexercidapelamassa

lquidanaparededoreservatrio.

Figura3.5Pressoexercidapelolquido,emrepouso,naparededoreservatrio.

Comoapressoatmosfricaactuadeambososladosdaparede,elaanulasenoponto.Nota Importante: nocasodeestudodosgasesapressoatmosfricadeverser sempre

considerada. Salientese que a presso atmosfrica normal (i.e.correspondendo ao nvel mdio do mar) assume o valor de1,012x105 N/m2 (1,033x104 kgf/m2) que equivale uma altura de

colunadeguade10,33m(i.e., 3310,pa = m).

Exerccio3.1(modificadodeQuintela,2005:14)

Considereumreservatriodegua,comsuperfcie livrepressoatmosfricanormal,noqualmergulhamosextremosdeumtuboemUinvertido,cheiodegua(verFigura3.6).

Figura3.6ReservatriocomtuboemUinvertido(cheiodegua).

a) Calcularapresso(absolutaerelativa)nopontoAnointeriordotubo,situado6,0macimadasuperfcielivre.


b) CalcularaalturamximahparaquenohajavaporizaodaguanopontoB(ev=2450N/m2).

Resoluo:nasaladeaulas.

3.1.2. Medio das Presses: Tubo Piezomtrico e Manmetros Atcnicamaissimplesparamediodapressoconsistenousodeumtubopiezomtrico

(tambmconhecidocomopiezmetro).

Para o caso de escoamento sob presso no interior de um conduto (i.e. escoamento de

lquidosemsuperfcielivre),aalturapiezomtrica( p)correspondealturaaquesubiria

asuperfcielivredolquido(acimadoconduto),numtubo(geralmentevertical)depequeno

dimetro (convmque o dimetro seja>1cm para ser desprezvel os efeitos da tenso

superficialoudacapilaridade)designadoportubopiezomtrico(verFigura3.7).

Figura3.7Ilustraodotubopiezomtricoinseridonumcondutohorizontal.

Manmetro um instrumento utilizado para medir a presso. Utilizase uma coluna de

lquido para medir a diferena de presso entre um ponto e a atmosfera, ou entre dois

pontos,dosquaisnenhumestpressoatmosfrica.

O tubo piezomtrico supracitado s aplicvel em situaes em que se pretende medir

pequenaspresses(manomtricas)emlquidos(verFigura3.7).Porm,quandosetratade

presseselevadasprecisorecorreramanmetrosdelquido.

Omanmetro de coluna lquida (tcnicamuito antiga) pode ser simplesmente um tubo

transparente com a forma deU no qual se coloca uma certa quantidade de lquido (ver

Figura3.8).Olquidointroduzidonotuboterquerespeitarsseguintescondies:

i) ser imiscvel com o lquido (cuja presso se pretende medir) que se encontra nocondutoourecipiente;

ii) possuirdensidadesuperioradolquidoqueseencontranocondutoourecipiente.


OsmanmetrosdecolunalquidapodemseremU(sassimserpossvelmedirpresses

negativas)outerumanicacolunaquepodeserverticalouinclinada.

Figura3.8Ilustraodomanmetro(delquido)emU.

Questo:ComodeterminariaaspressesemX,Yeapressop(apressonalinhamdiado

conduto)dolquidoAnointeriordoconduto?

ApressoemX: pghphp aAaX +=+= ApressoemY: bBby ghhp == (porqueaextremidadedotuboestemcontactocomaatmosfera)

Apressonointeriordoconduto,p: bBaAyx ghpghpp =+= Para aprofundar este assuntodever consultar, por exemplo AzevedoNetto et al. (1998:

2729) e Massey (2002: 8384). O ltimo autor descreve (ver p. 9091) um outro

dispositivousadonamediodepresso,obarmetro.

QuandoofludoAgasosoeoBlquido,podesedesprezaroA.


Figura3.9 Manmetro. (a) Paramedir diferena de pressop em lquidos ou gases. (b) Paramedirpnoslquidosapenas(adaptadadeDaughertyetal.,1985:36). 3.1.3. Prensa hidrulica e o Macaco hidrulico Ofactodeumaumentodepresso,numfludoconfinado,ser transmitidouniformemente

atravs do fludo, aproveitado em dispositivos hidrulicos (e.g. prensa hidrulica e o

macacohidrulico)(Massey,2002:8485).

Figura3.9Prensahidrulica.

AoaplicarumapequenaforaFasobreumpistodereaAa(verFigura3.9)exerceseum

foraFB,sobreumpistodereaAB,sujeitandooaumapresso BB A/Fp = .

a

BaB

a

a

B

B

AAFF

AF

AF ==

(3.4)

B

BAA pzsyzp =+

syzzpp BABA +=

syypp BA +=

( )yspp BA 1=


3.2. Impulso Hidrosttica Por impulsohidrosttica (ousimplesmente impulso)entendesea foraaplicadasobre

superfciesmergulhadas.

Aspectosateremconsiderao:

apressodolquidoprovocaforassobreasuperfciecomaqualcontacta;

asforasdistribudassobreasuperfcietmumaresultante(estaforaresultantequenaprticainteressadeterminaragrandeza,adirecoealinhadeaco);

quandoa superfcieplanaehorizontal, o contacto como lquidoemrepousodorigem uma fora resultante (ou fora total) que corresponde ao produto da

presso(p)pelareadasuperfcie(A)(verFigura3.10)

ghApA == (3.5)

Nessasituao: i)adirecodeactuaodafora perpendicular ao plano (no sentidodo fludo para o plano); ii) o ponto deactuaodaforaocentride(centrodegravidade)doplano.

Figura3.10Pressoeimpulsosobresuperfciehorizontal.

quandoasuperfcienohorizontal,apressovariadepontoparaponto,sobreasuperfcie,eoclculodaforatotal(impulso)menossimples.

Ocentridedovolume,correspondeaocentrodeimpulso,dependedaformadovolumeconsiderado.Importareferirqueno exactamenteomesmoqueo centrodagravidade do corpoquedependedomodo comoopesoestdistribudopelocorpo(verMassey,2002:116).


3.2.1. Impulso sobre superfcie plana

Considereumasuperfcieplana,mergulhadanumlquidoemrepouso,quefazumngulocomasuperfcielivredolquido(verFigura3.11).

Figura3.11Impulsohidrostticasobresuperfcieplanainclinada.

Questo:comodeterminaraforaresultante(impulso)sobreumasuperfcieplanaeinclinada?

Regrasbsicas:

1. considerarqueoeixoOycoincidecomoplanoinclinado;

2. oeixoOxperpendicularaoeixoOy(i.e.Oxperpendicularaoplanoinclinado);

3. ter em ateno que qualquer rea elementar (ou poro) da superfcie submersa

estsobaacodeumaforadevidopressodolquido;

4. saber que sobre qualquer poro de superfcie (superfcie elementar) dA

mergulhadaaumaprofundidadehactuaumapressopquedadapor ghp = .Logo,aforacorrespondentesobreaporodasuperfcieser:

AghAp == ,com ysenh = (3.6a)


Agysen = (3.6b)onde: a fora elementar; h a profundidade da poro da rea A que serelacionacomacoordenadaypor ysenh = .

5. ter presente que no so exercidas foras tangenciais sobre o plano da superfcie

porque o lquido est em repouso. Logo, a fora perpendicular ao elemento (ou

poro) da superfcie que por ser plana faz com que todas as foras elementares

sejamparalelasentresi.

Portanto,aforatotal(impulsohidrosttica)queactuanumdosladosdasuperfcieplana

vemexpressadaseguintemaneira:

AygsenAgysenAA== (3.7a)

Nota: AyA omomentoestticodareaerespeitaacondio

0AyAyA

= (3.7b)onde:Aareatotaley0 ( )y ,x acoordenada(ouposio)docentrodegravidade.Finalmente,

AhgAygsen == 0 ,com 0ysenh = (3.7c)Alm dos aspectos supracitados, preciso conhecer a linha de aco da fora total

(perpendicularaoplano)edeterminaropontonoqualalinhadeacodaforaencontrao

plano.EstepontodesignaseporCentrodeImpulso(CI)ouCentrodePresso.

AdistnciaqueseparaoCIdasuperfciemedidasobreoplanoinclinadoeiguala:

distnciaaocentrodegravidade+umadistnciad (3.8a)

0AyId 'GG= (3.8b)


onde: IGG omomentode inrcia2dareadasuperfcieplanaemrelaoaoeixo0x,A a

readasuperfciee 0y acoordenadadocentrodegravidade(medida,desdeasuperfcie,sobreoplanoverticalouinclinadoemqueseencontraaplaca).

Quintela(2005:22)apresentaumatabelacomaposiodocentrodegravidade,reaeo

momentodeinrciaparavriasfigurasplanas.

QUADRO3.1Momentodeinrcia(IGG)ereadeformasgeomtricascomuns.

Designao Esquema rea(A) IGG

Rectngulo

ba 123baI 'GG =

Tringulo ba21

36

3baI 'GG =

Crculo

2R 44RI 'GG

=

Semicrculo

( )82 2R

8

4R

Parbola

bh32

3

2hb

2Momentodeinrciamedeadistribuiodamassadeumcorpoemtornodeumeixoderotao.


3.2.1.1. Impulso sobre superfcie plana premida em duas faces

No caso de superfcies planas premidas nas duas faces (i.e. nos dois lados) pelo mesmo

lquido e com superfcie livre do lquido exibindo uma diferena de nvelhs (ver Figura

3.12),aresultantedasforasdepressoser:

( ) dAhdAppdF s== 12 (3.9)onde:ehssoconstantes.

Figura3.12Superfcieplana(a)everticalpremidasnasduasfaces.

A impulso resultante, comopontodeaplicao (centrode impulso) coincidente como

centrodegravidadedasuperfcie,expressapelaequao:

Ahs = (3.10)Aequao(3.10)svalidaquandosedesprezaaespessuradasuperfcieondeexercidaa

impulsoexceptoquandosetratadeparedevertical.

3.2.2. Impulso sobre superfcie curva

Ao contrrio do que acontece com a superfcie plana, no caso das superfcies curvas a

resultante do sistema de foras de presso no uma fora nica. Nesse caso temse:

impulsovertical(v)eimpulsohorizontal(h).O clculo da impulso hidrosttica numa superfcie curva tem procedimento diferente

relativamente ao caso das superfcies planas (no se trata de algo complexo como vem

referido em muitos livros! apenas diferente!). O procedimento diferente devido aos

seguintesfactos:


1) asforasqueactuamsobrereaselementares(poresdasuperfcie)nosotodas

paralelas;

2) como as foras no so paralelas a simples soma algbrica das respectivas

grandezasnotemsignificado;

3) apenaspodemsersomadasascomponentesdasforasactuantes,segundodireces

especificadas, separadamente de modo a calcular as componentes da fora

resultante;

4) necessrio determinar as componentes horizontal e vertical da fora resultante

(total).

Analisemos os casos ilustrados nas figuras seguintes (Figura 3.13, 3.14) para melhor

compreenderasituao.

(a)Impulsosobresuperfciecurva (b)Componenteverticalehorizontaldaimpulso

(c) Volume vertical (L) e a projecoortogonaldarea(Apo)

Figura3.13Impulsohidrostticasobresuperfciecurva.

A impulso vertical (v) Acomponenteverticalda impulso igual aopesodovolumede lquido (L)delimitadopela superfciepremida,pelasprojectantesverticais tiradaspelo contornoda superfciee

pelasuperfcielivre(videequaodevnaFigura3.13b).

Lv = (3.11)A impulso horizontal (h) A componente horizontal da impulso igual impulso hidrosttica exercida sobre a

superfcie plana correspondente projeco ortogonal da superfcie curva num plano

perpendicular(videequaodehnaFigura3.13b).

L Apo + = 90 C


poCGh Ah = (3.12)onde: hCG altura da coluna do lquido at a centro da gravidade da superfcie plana

correspondenteprojecoortogonaldasuperfciecurva,Apoareadasuperfcieplana

correspondenteprojecoortogonaldasuperfciecurva,conformeindicaaFigura3.13b.

A impulso resultante ( fora total ou global, ) A impulso resultante, quando as componentes horizontal e vertical da fora so

coplanares3,obtmseatravsdaequao:

22hv += (3.13)

Adirecoda impulsodeterminadaatravsdongulo formadocomoplanohorizontal

(verFigura3.13a):

=

h

vtg ,sendo

=

h

varctg (3.14)

Ocasoanterior(representadonaFigura3.13)refereseumacomportacncava.Iremos

agora analisar uma situao correspondente impulso exercida sobre uma superfcie

cilndricaconvexa.

3Forasqueactuamnomesmoplano.


(a)Impulsosobresuperfciecilndrica (b)Forasactuantes

(c)Volume(L1)correspondenteaforaverticalv1 (d)Volume(L2)correspondenteaforaverticalv2

Figura3.14Impulsohidrostticasobresuperfciecurva.

A impulso vertical (v) DeacordocomaFigura3.14c,d:

21 vvv = ,com 11 Lv = e 22 Lv = (3.15)Aimpulsohorizontal(h)DeacordocomaFigura3.14b:

21 hhh = ,com 111 poCGh Ah = e 222 poCGh Ah = (3.16)

onde: hCG altura da coluna do lquido at a centro da gravidade da superfcie plana

correspondenteprojecoortogonaldasuperfciecurva,Apoareadasuperfcieplana

correspondenteprojecoortogonaldasuperfciecurva.

Nota:resolvaosexercciosdaFichas2B.Apsaresoluopoderconsiderarseumexpert

noassunto.


3.2.3. Impulso sobre corpos mergulhados

Conceitosasabersobreimpulsosobrecorposmergulhadosnumlquidoemrepouso:

umcorpototalouparcialmentemergulhadonumlquidoficasobaacodeumaforaglobalparacima(designadaporimpulso);

a impulso, para cima, exercida pelo lquido e devese ao facto da presso nasregiesinferioresdocorpo(Finf)sersuperiorpressonasregiessuperiores(Fsup)

verFigura3.15b;

aimpulsonotemcomponentehorizontalporqueasforasexercidaspelofludoemcadaladodocorposoiguais(equilibramse)Figura3.15b;

(a)CorpomergulhadocomcontornoABCD (b)Forasactuantes

Figura3.15Impulsosobrecorpomergulhado.

aforaparacima(representadanaFigura3.15bporFin,DAB)correspondeaopesodovolumedolquidodelimitadopelalinhaDABXXD;

a fora para baixo (exercida na superfcieDCB) corresponde ao peso do lquido naregioDCBXX;

olquidoexercesobreocorpoumaforaresultanteparacimaque:

( ) ( )( ) ( )( )X'DCBXlquidopesoX'DABXlquidopesoABCDemlquidoPeso = (3.17a)ABCDABCD g= (3.17b)


aimpulsoaresultantedaforaascendente(paracima)exercidapelolquidosobreocorpo( corpog= ).DeacordocomoprincpiodeARQUIMEDES4, aimpulso exercidasobreumcorpomergulhadoigualaopesodovolumedolquidodeslocado.

Quandoaimpulsomaiorqueopesodocorpo,esteflutua;

seocorpoestiverparcialmentemergulhadoaimpulsoserigualaopesodovolumedapartemergulhada(Figura3.16);

(a)Corpoparcialmentemergulhado (b)Partemergulhada

Figura3.16Impulsosobrecorpoparcialmentemergulhado.

quandoumcorpomergulhadonoestapoiado,oequilbrioapenasocorrequandoaimpulsosobreocorpoforrigorosamenteequivalenteaoseupeso.Seaimpulsofor

superioraopeso(e.g.ocasodobalonoar,bolhadearnagua)ocorposobeatque

asuamassavolmicamdiasejaequivalenteadofludoenvolvente.

3.2.4. Equilbrio de corpos flutuantes

Um corpo flutuante apresenta, necessariamente, o peso inferior ao peso do volume do

lquidoquepodedeslocar.

Portanto,paraqueocorpoflutueasuamassavolmicatemqueserinferioradolquido.

Nessecaso,opesototaldocorpovaiser igualaoprodutodovolumesubmersopelopeso

volmico(ouespecfico)docorpo.Aporosubmersadocorpodesignada,naliteratura

brasileira,porcarenaouquerena.

aindacomumdesignarseocentrodegravidadedapartesubmersaporcentrodecarena

quecorrespondeaopontodeaplicaodaimpulso.

Existemtrsestadospossveisdeequilbrio:

i. Equilbrio estvel quando sujeito a um deslocamento o corpo retoma a posio

original;

4SitecomilustraesdoprincpiodeArquimendes:http://www.grow.arizona.edu/GrowGrowResources.php?ResourceId=197


ii. Equilbrioinstvelnessecasoocorponoregressaaposioinicial,afastandose

cadavezmais;

iii. Equilbrio neutro ou indiferente quando sujeito a um deslocamento e depois

abandonado,permanecenanovaposio(noregressaposiooriginalenemse

afasta).

Para garantir oequilbrioestvel dum corpo flutuante necessrio que se cumpram as

seguintescondies:

ocentrodegravidade(CG)docorpodevesituarseabaixodaposiodometacentro(MC),i.e.CG


Exerccio 1

Considereumprismarectangulardemadeiracomasdimenses indicadasnaFiguraededensidade0,82.Verifiqueseoprismaflutuaremcondiesestveisnaposioindicada.

Figura3.17Corpoflutuante.

Resoluo:


Exerccio 2

Pretendese colocar uma bia cilndrica de 80 kg, com 1,50 m de altura e 1,0 m dedimetro, a flutuar com o eixo na vertical, em gua do mar com massa volmica 1026kg/m3. Agarrado ao centro da superfcie de topo da bia est um corpo com 10 kg demassa. Pretendese mostrar que haver instabilidade inicial, com a bia a flutuarlivremente.

Figura3.18Corpoflutuante.

Resoluo:


REFERNCIAS AZEVEDO NETTO, J.M., FERNANDEZ Y FERNANDEZ, M., ARAUJO, R., ITO, A.E. (1998).ManualdeHidrulica.8Edio,EditoraEdgarBlcher,SoPaulo.

DAUGHERTY, R.L., FRANZINI, J.B. & FINNEMORE, E.J. (1985). Fluid Mechanics withEngineeringApplications.8thEdition,McGrawHill,NewYork.

MASSEY,B.S.(2002).MecnicadosFluidos.FundaoCalousteGulbenkian,Lisboa.

QUINTELA,A.C.(2005).Hidrulica.9Edio,FundaoCalousteGulbenkian,Lisboa.

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