01ccde63bacbf3e53ceac5a7db1cf84a

7/25/2019 01ccde63bacbf3e53ceac5a7db1cf84a

http://slidepdf.com/reader/full/01ccde63bacbf3e53ceac5a7db1cf84a 1/4

1

XXIV Regionalen natprevar po matematikaza u~enicite od osnovnoto obrazovanie

01.04.2006 godinaIV oddelenie

1. Dolìnite na stranite na triagolnikot ABC se 54mm, 39mm i 47mm, a dolìnite nastranite na triagolnikot KLM se 8cm, 4cm i 5cm. Koj od niv ima pogolema obikolka?

Re{enie. (U~ebnik) Obikolkata na triagolnikot ABC e 54+39+47=140mm=14cm (10), aobikolkata na triagolnikot KLM e 8+4+5=17cm (7). Zna~i, triagolnikot KLM imapogolema obikolka (3).

2. Vo kamion so nosivost 5t natovareni se 68 vre}i po 50kg bra{no. U{te kolku takvivre}i moàt da se natovarat vo kamionot?Re{enie. (U~ebnik) Vo kamionot moàt da se natovarat 5000:50=100 vre}i po 50kg

bra{no (10). Toga{ moàt da se natovarat u{te 100−68=32 takvi vre}i (10).3. Edna kru{a ima masa kolku dve praski. Edna praska ima masa kolku osum slivi. Kolkuslivi imaat masa kolku edna kru{a?

Re{enie. (Num. 30-1) Ako edna praska ima masa kolku osum slivi toga{ dve praski }eimaat masa kolku 2⋅8=16 slivi (10). Bidej}i edna kru{a ima masa kolku dve praski, a dvepraski imaat masa kolku 16 slivi zaklu~uvame deka edna kru{a ima masa kolku 16 slivi (10).4. Tri drugari, Marko, Goce i Dame, dobile na ,,Bingo” 1000000 denari. Ako prikupuvaweto na liv~eto Marko dal 15 denari, Goce 16 denari i Dame 19 denari, kakotrite drugari }e ja podelat dobivkata?

Re{enie. (Num. 31-2) Liv~eto za igrata “Bingo” ~ini 15+16+19=50 denari (7). Toga{za eden vloèn denar pri kupuvaweto na liv~eto, od dobivkata se dobiva1000000:50=20000 denari (7). Zna~i Marko }e dobie 15⋅20000=300000 denari, Goce16⋅20000=320000 denari i Dame 19⋅20000=380000 denari (6).5. Dolìnata na otse~kata AB e za 2cm pogolema od dolìnata na otse~kata CD. Akodolìnata na otse~kata CD se zgolemi 3 pati, a dolìnata na otse~kata AB se zgolemi za10cm, }e se dobijat ednakvi otse~ki. Kolkavi sedolìnite na otse~kite AB i CD?

Re{enie. Od crteòt (5) e jasno deka koga otse~kataCD }e ja zgolemime 3 pati, toga{ sme ja zgolemile za 2 nejzini dolìni (5) i toa zgolemuvawe e 2+10=12cm (5).

Zna~i, 12 :2 6CD = =

cm, a 6 2 8AB = + =

cm (5).V oddelenie1. Rastojanieto pome|u telefonskite stolbovi na edna ulica dolga 1600m bilo 80m. Zaradi odredena potreba, tie bile razmesteni taka {to novoto rastojanie pome|ustolbovite e 50m. Kolku stolbovi po razmestuvaweto ostanale na istoto mesto?

Re{enie. (U~ebnik) Bidej}i NZS(80,50)=400 (7), dobivame deka nerazmestenistolbovi }e bidat onie koi se na prvoto mesto i na sekoi 400m (7). Zna~i, vkupnonerazmesteni stolbovi }e ima 1+1600:400=5 (6).2. Najdi go brojot na site tricifreni broevi koi se delivi so 15 i ~ij zbir na cifri epomal ili ednakov na 9.

Re{enie. (Num. 29-2) Od uslovot vo zada~ata, sleduva deka 3 e delitel na abc i 5 edelitel na abc , odnosno 3 e delitel na a+b+c i c∈{0,5} (5). Od vtoriot uslov a+b+c≤9,

dobivame deka gi barame tricifrenite broevi koi zavr{uvaat na 0 ili 5, a zbirot nanivnite cifri e 3, 6 ili 9 (5). Ako c=0 gi dobivame slednive broevi: 120, 210, 300, 150,510, 240, 420, 330, 600, 180, 810, 270, 720, 360, 630, 450, 540 i 900 (5). Ako c=5 gi dobivamebroevite: 105, 135, 225, 315 i 405. Zna~i, vkupno 23 broevi gi ispolnuvaat uslovite vozada~ata (5).3. Pravoagolnik so plo{tina 99cm

2 ima {irina 9cm. Presmetaj ja plo{tinata nakvadratot ~ij perimetar e ednakov na perimetarot na dadeniot pravoagolnik.

Re{enie. (Num. 31-1) Ako plo{tinata na pravoagolnikot e 99cm2, a {irinata 9cm

toga{ dolìnata na pravoagolnikot e 99:9=11cm (5). Perimetarot na pravoagolnikot eL=2⋅9+2⋅11=40cm (5). Toga{, perimetarot na kvadratot e 40cm, a negovata strana imadolìna 40:4=10cm (5). Kone~no, plo{tinata na kvadratot e P=10

2=100cm2 (5).

4. Razlikata na agolot α i negoviot naporeden agol β e 56o.

Presmetaj go komplementniot agol γ na agolot β.Re{enie. Neka α i β se naporedni agli koi go zadovoluvaatuslovot vo zada~ata. Ako ja konstruirame razlikata α−β kako nacrteòt (5), sleduva β+(α−β)+β=180

o (5). Zna~i, 2β+56

o=180o, a



2

ottuka β=(180o−56

o):2=62

o (5). Toga{ γ=90

o−62o=28

o (5).

5. Na otse~kata AB se rasporedeni to~kite: C , D, E , F po dadeniot redosled, taka {toCD DE EF = = . Rastojanieto me|u sredi{nite to~ki na otse~kite CD i EF e 12 cm, arastojanieto me|u sredi{nite to~ki na otse~kite AC i FB e 23 cm. Najdi ja dolìnata naotse~kata AB.

Re{enie. Neka G, H , K , L se sredi{ni to~ki naotse~kite AC , CD, EF , FB, soodvetno (crt.) (3). Bidej}iCD EF = , sleduva deka CH EK = a ottuka HD EK CD DE + = = (3). Toga{ imame12 2HD DE EK DE = + + = , pa 6DE = cm (3). Ottuka, dobivame 3 18CF DE = = cm

(2). Od druga strana, GL GC CF FL= + + , a2

AC GC AG = = i2

FB FL LB = = , pa

imame 23 182 2

AC FB = + + . Od poslednoto ravenstvo dobivame deka 5

2 2AC FB

+ = cm

(6). Spored toa 5 23 282 2

AC FB AB AG GL LB GL= + + = + + = + = cm (3).

VI oddelenie1. Vo edno u~ili{te od vkupniot broj u~enici 58% se mom~iwa. Kolku bile mom~iwa, akolku devoj~iwa ako brojot na mom~iwa i devoj~iwa se razlikuva za 72? Kolku vkupnou~enici imalo toa u~ili{te?

Re{enie. (U~ebnik) So x da go ozna~ime vkupniot broj na u~enici vo toa u~ili{te.

Od uslovot vo zada~ata imame 58 42 72100 x − = , a ottuka x=450 (10). Zna~i imalo vkupno

450 u~enici vo u~ili{teto i toa 58 450 261100

= mom~iwa i 450−261=189 devoj~iwa (10).

2. Kolku e 3171

od brojot( )

( )

15 31,5 : 2,51 1 4 21 : 2 53 6 3 38 51 1 610 12 54 7 12 8 73 : 75 3 8 11 3 4

⋅ +− + −

⋅ −− + +

+ ⋅ − ⋅

?

Re{enie. Da ja presmetame prvo vrednosta na dadeniot izraz. Imame:

( )

( )

15 31,5 : 2,51 1 4 21 : 2 53 6 3 38 51 1 610 12 54 7 12 8 73 : 75 3 8 11 3 4

⋅ +− + −

⋅ −− + +

+ ⋅ − ⋅

=

3 4 5 31 13 2 15 2 131 : 433 6 3539 8 6

17 84 7 12 11 75 53 11 12

⋅ ⋅ +−

⋅ − =+

+ ⋅ ⋅ ⋅

(4)

2 91 14313 13517 13 8 8 6

5 54 7 7

− +⋅ − =

+ ⋅ +(4)=

11 224313 13517 26 14

5 5 7

⋅ − =+

(4) 5 11 43 11 0513 43 13

⋅⋅ − =

⋅ (4). Kone~no, 31

71

od 0 e 0 (4).

3. Majstor i ~irak treba da napravat od beton edna plo~a so dimenzii 4m, 3m i 20cm kako i 4 ogradni yidovi so dimenzii 20cm, 3m i 25cm. Majstorot mu rekol na ~irakot dapresmeta i da go nara~a to~noto koli~estvo potreben beton. îrakot presmetal dekatreba da nara~a 30m

3 beton. Dali ~irakot zgre{il vo presmetkata?

Re{enie. (Num. 31-1) Potrebniot beton za da se napravi plo~a so dimenzii 4m, 3m i20cm e 4⋅3⋅0,2=2,4m

3 (7), a za 4 yidovi so dimenzii 20cm, 3m i 25cm e 4⋅0,2⋅3⋅0,25=0,6m

3 (7).

Zna~i vkupno se potrebni 3m3 beton (3), odnosno ~irakot zgre{il vo presmetkata (3).

4. Vo eden triagolnik razlikata na dvata vnatre{ni agli α i β e ednakva na trikratnatavrednost na tretiot agol γ . Dokaì deka α−γ=90

o.

Re{enie. (Num. 30-2) Od uslovot imame α−β=3γ i β=180o−α−γ od kade {to

3γ=α−(180o−α−γ )=2α+γ−180

o (10), a ottuka 2α−2γ=180

o, odnosno α−γ=90

o (10).

5. Dokaì deka me|u bilo koi 5 prirodni broevi koi ne se delivi so 3, moè da se najdat

3 broevi ~ij zbir e deliv so 3.Re{enie. Bidej}i pette broevi ne se delivi so 3, za niv vaì deka pri delewe so 3davaat ostatok 1 ili 2 (3). Toga{ barem tri od niv imaat ist ostatok (5). Zna~i, tie tribroevi moè da gi ozna~ime so 3k +1, 3m+1 i 3n+1 (2) ili so 3k +2, 3m+2 i 3n+2 (2). Toga{



3

3k +1+3m+1+3n+1=3(k +m+n+1) (4) ili 3k +2+3m+2+3n+2=3(k +m+n+2) (4). Zna~i, i vo dvataslu~ai nivniot zbir e broj deliv so 3.

VII oddelenie

1. Kru`niot lak nad osnovata na ramnokrak triagolnik e 25 od opi{anata kru`nica na

toj triagolnik. Najdi gi aglite na toj triagolnik.

Re{enie. (U~ebnik) Centralniot agol nad osnovata e 2 360 1445 ⋅ = (7). Toga{

agolot na triagolnikot sproti osnovata e 72o (7), a aglite na osnovata se 180 72

542

−=

(6).

2. Presmetaj ja vrednosta na izrazot 4 3 22005 2005

1x x x x

x − + −

− za x=2005.

Re{enie. (Num. 31-2) Da go uprostime izrazot4 3 22005 2005( )

1x x x x A x

x − + −

=−

.

Imame:

( )A x 4 2( ) 2005 ( 1)

1x x x x

x − − −

= =−

3 2( 1) 2005 ( 1)1

x x x x x

− − −=

−2 2( 1)[ ( 1) 2005 ]

1

x x x x x x

− + + −

−3 2 22005x x x x = + + − (15). Toga{

A(2005)=20053+20052+2005−20053=2005(2005+1)=4022030 (5).3. Dvocifren broj sobran so brojot zapi{an so istite cifri, no vo obraten red davabroj koj e kvadrat na nekoj priroden broj. Najdi gi site takvi dvocifreni broevi.

Re{enie. (Num. 30-2) Neka ab e baraniot broj. Od uslovot dobivame 10a+b+10b+a=n2

(n∈ô) od kade {to 11(a+b)=n2 (7). Bidej}i a+b<19, sleduva deka a+b=11 (7), odnosno

ab∈{29,38,47,56,65,74,83,92} (6). 4. Neka D e proizvolna to~ka na stranata AB od ramnostraniot triagolnik ABC . Neka E e to~ka takva {to triagolnikot CDE e ramnostran i pritoa to~kite B i E se na istastrana od pravata CD. Dokaì deka ~etiriagolnikot DBEC e tetiven.

Re{enie. Bidej}i 60ECD ∠ = , za da dokaème deka~etiriagolnikot DBEC e tetiven dovolno e da dokaème deka

120DBE ∠ = (5). Triagolnicite ADC i BEC se skladni bidej}iAC BC = , DC EC = i 60ACD DCB ∠ = −∠ =

DCE DCB ∠ −∠ BCE = ∠ (7). Od nivnata skladnost dobivame60EBC DAC ∠ = ∠ = (3). Kone~no,

60 60 120DBE DBC EBC ∠ = ∠ +∠ = + = (5).5. Najdi gi site dvocifreni broevi x za koi dve od slednivetvrdewa se vistiniti, a dve nevistiniti:1) x e deliv so 5; 2) x e deliv so 23; 3) x+7 e kvadrat na nekoj priroden broj; 4) x−10 ekvadrat na nekoj priroden broj.

Re{enie. Mnoèstvata koi soodvetstvuvaat na tvrdewata 1) − 4) se: Za 1) toa e mno-èstvoto A={10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95} (2), za 2) mnoèstvoto

B={23,46,69,92} (2), za 3) mnoèstvoto C ={18,29,42,57,74,93} (2) i za 4) mnoèstvoto D={11,14,19,26,35,46,59,74,91} (2). Toga{ A∩ B=∅, A∩C =∅, A∩ D={35}, B∩C =∅, B∩ D={46},C ∩ D={74} (3). Od A∩ D={35} i 35∉ B, i 35∉C zaklu~uvame deka 35 e broj za koj se to~nitvrdewata 1) i 4), a neto~ni tvrdewata 2) i 3) (3). Od B∩ D={46} i 46∉ A, i 46∉C zaklu~uvame deka 46 e broj za koj se to~ni tvrdewata 2) i 4), a neto~ni tvrdewata 1) i 3)(3). Od C ∩ D={74} i 74∉ A i 74∉ B zaklu~uvame deka 74 e broj za koj se to~ni tvrdewata 3) i4), a neto~ni tvrdewata 1) i 2) (3). Zna~i baranite dvocifreni broevi se 35, 46 i 74.

VIII oddelenie1. Od 3 decilitri sirup protiv ka{lica, koj sodrèl 10% destilirana voda, aptekarkatapodgotvila sirup za dete, koj trebalo da sodrì 40% voda. Kolku decilitri voda stavilavo trite decilitri sirup?

Re{enie. (U~ebnik) So x da go ozna~ime koli~estvoto voda (izrazeno vo decilitri)

{to aptekarkata go stavila vo trite decilitri sirup. Toga{, spored uslovite vozada~ata, ja dobivame ravenkata 10 403 (3 )

100 100x x ⋅ + = + (10). Taa e ekvivalentna so

3+10 x=12+4 x, 6 x=9 a ottuka x=1,5dl (10).



4

2. Tri profesori napi{ale zbirka zada~i po matematika i go razdelile honorarot voodnos 8:6:5. Ako honorarot bil razdelen vo odnos 7:5:4 toga{ eden od profesorite bidobil 250 denari pove}e otkolku {to dobil pri prvata podelba. Po kolku denari dobilsekoj od avtorite?

Re{enie. (Num. 31-1) Neka vkupniot honorar {to go dobile trojcata profesori e x

denari. Toga{ prviot profesor dobil 819

x denari, vtoriot 619

x denari i tretiot 519

x

denari (3). Ako honorarot se razdeli vo odnos 7:5:4, toga{ prviot bi dobil 716

x , vtoriot

516 x i tretiot 416 x denari (2). Bidej}i 8 719 16< , 6 519 16> i 5 419 16> (3), sleduva deka privtorata podelba prviot profesor bi dobil 250 denari pove}e otkolku pri prvata

podelba (3), odnosno 7 8 25016 19

x x − = (3). Ottuka, x=15200 (3). Zna~i, prviot profesor

dobil 6400 denari, vtoriot 4800 denari i tretiot 4000 denari (3). 3. Ako dolìnite na dve strani na eden triagolnik se 6cm i 12cm, a agolot me|u niv e 120

o, kolkava e

dolìnata na simetralata na toj agol?Re{enie. (Num. 31-2) Neka AM e simetralata na

∠ BAC =120o (crt.). Toga{ ∠ BAM =∠ MAC =60

o (3). Neka N

e to~ka na prodolènieto na stranata AB taka {to

6AN AC cm = =

(3). Bidej}i ∠ NAC =180

o

−120

o

=60

o

sleduva deka triagolnikot NAC e ramnostran (3). Toga{ od ∠CNA=∠ MAB=60o dobivamedeka CN i MA se paralelni otse~ki (3). So primena na Talesovata teorema za proporcio-nalni otse~ki dobivame deka : :AM NC AB NB = (3) od kade {to sleduva deka

12 6 46 12

AB NC AM cm NB

⋅ ⋅= = =+

(5).

4. Krug e vpi{an vo kruèn ise~ok (krugot gi dopira dvata radiusi ilakot na ise~okot). Radiusot na ise~okot e 3 pati pogolem odradiusot na krugot. Najdi go odnosot na plo{tinite na ise~okot ikrugot.

Re{enie. Krugot k (S , r ) e vpi{an vo kru`niot ise~ok AOB i zatoaS leì na simetralata na agolot AOB (5). Neka C e to~kata vo koja

k (S ,r ) go dopira radiusot OA. Toga{ triagolnikot OCS e pravoagolen,a od uslovot vo zada~ata imame 2OS r = . Bidej}i hipotenuzata natriagolnikot OCS e dva pati pogolema od katetata SC ( 2OS r = , SC r = ), sleduva deka agolot COS e agol od 30

o (5). Toga{ 60AOB ∠ = i zatoa

plo{tinata na kru`niot ise~ok AOB e 2 21

60 3(3 )360 2

P r r = π = π

(5). Plo{tinata na

krugot k (S , r ) e 22P r = π , pa toga{ 1

2

32

P p = (5).

5. Na sekoja od {este strani na edna kocka e zapi{an po eden priroden broj. Na sekoeteme go zapi{uvame proizvodot na trite broevi koi se zapi{ani na stranite koi goimaat soodvetnoto teme za zaedni~ko. Ako zbirot na broevite zapi{ani na temiwata e

2006, presmetaj go zbirot na broevite zapi{ani na stranite.Re{enie. Da ja ozna~ime kockata so ABCDEFGH . Neka na stranata ABCD e zapi{an brojot a1, na stranata EFGH brojot a2, na ABFE b1, na DCGH b2, na BCGF c1 i na ADHE c2 (3). Toga{ kaj temeto A e zapi{anbrojot a1b1c2, kaj B brojot a1b1c1, kaj C brojot a1b2c1, kaj D brojot a1b2c2, kaj E brojot a2b1c2, kaj F brojot a2b1c1, kaj G brojot a2b2c1 i kaj H brojota2b2c2 (3). Toga{, od uslovot vo zada~ata vaìa1b1c2+a1b1c1+a1b2c1+a1b2c2+a2b1c2+a2b1c1+a2b2c1+a2b2c2=2006 (3). Izrazot odlevata strana vo poslednoto ravenstvo }e go transformirame voa1b1c2+a1b1c1+a1b2c1+a1b2c2+a2b1c2+a2b1c1+a2b2c1+a2b2c2= a1b1(c2+c1)+a1b2(c1+c2)+a2b1(c2+c1)+a2b2(c1+c2)= =(c1+c2)(a1b1+a1b2+a2b1+a2b2)=(c1+c2)(a1(b1+b2)+a2(b1+b2))=(c1+c2)(b1+b2)(a1+a2) (5).

Zna~i (a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)=2006=1⋅2⋅17⋅59. Bidej}i a1, a2, b1, b2, c1, c2 se prirodni broevi,sleduva deka a1+a2>1, b1+b2>1 i c1+c2>1 (3) i zatoa, bez gubewe na op{tosta, moème dazememe deka a1+a2=2, b1+b2=17, c1+c2=59. Toga{ a1+a2+b1+b2+c1+c2=2+17+59=78 (3).

01ccde63bacbf3e53ceac5a7db1cf84a

Documents

Transcript of 01ccde63bacbf3e53ceac5a7db1cf84a