第九章 两因素的方差分析（ two-factors analysis

of variance ）或两种方式分组的方差分析（ two-way classification analysis of varianc

e ） 一、 模型的类型及交互作用的概念 在实际工作中，经常会遇到两种或两种以上的

因素，共同影响实验结果的情况。例如，一组病人同时服用两种药物，每一种药物又有不同的剂量（水平），如 A 药物有 5 个水平， B 药物有 3 个水，共有 5×3 ＝ 15 个剂量水平。需要 15 名病人参加实验，每人接受一种水平组合，象这样的分组方式称为交叉（ cross ）分组。

上面讲过，因素可分作固定因素和随机因素。在两因素实验中 :

• 当两个因素都是固定因素时，称为固定模型（ fixed model ）。

• 两个因素均为随机因素时，称为随机模型（ random model ）。

• 一个因素是固定因素，另一个因素是随机因素时，称为混合模型（ mixed model ）。

这三种模型虽然在计算方法上没有多大不同，但在检验以及对结果解释上却截然不同。尤其是在两因素之间存在交互作用时，不同类型模型的区别就更明显。为了下面叙述方便，介绍主效应与交互作用两个基本概念。

由于因素水平的改变而造成因素效应的改变，称为该因素的主效应（ main effect ）。例如有下面一组实验， A 因素有两个水平， A1 和A2 ； B 因素也有两个水平， B1 和 B2 。当 A

因素从第一个水平变化到第二个水平时， A 因素的主效应为 A2 水平的平均效应减去 A1 水平的平均效应。

A1 A2

B1

B2

18 24 38 44

62

3818

2

4424

2221112212

BABABABAA

同样， B 因素的主效应：

202

2418

2

4438

2212112221

BABABABAB

若 A 、 B 之间不存在交互作用，则

22212211 BABABABA

有时会发现，某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。例如：

A1 A2

B1

B2

18 28 30 22

A （在 B1 水平上）＝ A2B １－ A1B1 ＝ 28 － 18 ＝ 10

A （在 B2 水平上）＝ A2B2 － A1B2 ＝ 22 － 30 ＝－ 8

可以明显看出： A 的效应依 B 的水平而不同。这时我们说：在 A 和 B 因素见存在交互作用。交互作用的大小可用

12212211 BABABABA

来估计。上例的 A 、 B 间的交互作用： AB ＝18 ＋ 22―30―28 ＝— 18 。有时交互作用相当大，因素的主效应相对来说变得相当小。在上面例子中， A 因素的主效应： A ＝（ 28 ＋ 22 ）／ 2 －（ 18 ＋ 30 ）／ 2 ＝ 1 ，与交互作用的绝对值 18相比已经相当小，这时可认为不存在主效应。

当因素间存在交互作用时，对因素间交互作用的了解比只了解因素的主效应重要得多。因此，在两因素方差分析中，分解出因素的交互作用十分必要。两因素间是否存在交互作用，有专门的统计判断方法，一般情况下，可以根据专业知识判断。另外，做图法也能提供一些帮助。将上面两表的数据，可以做以下两图（图 2 － 1 ）。

B2

B1

A1 A2

B1

B2

A1 A2

a. 不存在交互作用 b. 存在交互作用

图 2—1 因素间交互作用的图示

当 A 、 B 之间不存在交互作用时，从 B1

变化到 B2 是不依 A 水平的不同而变化，所以

B1 － B1 ， B2 － B2 两线平行。当存在交互作

用时，Ａ的效应依Ｂ的水平而不同，所以 B1

－ B1 ， B2 － B2 两线不平行。直观图可以帮助

判断因素之间是否存在交互作用，但在处理数据时只凭图象是不行的，需要经过严格的数据分析之后，才能最后断定。

两因素实验的典型设计是：假定 A 因素有

a 水平， B 因素有 b 水平，则每一次重复都包

括 ab 次实验，并设实验重复次数 n 次， χijk 表

示 A 因素的第 i 水平， B 因素第 j 水平和第 k

次重复的观察值。数据将以下表的形式出现。

表 2 － 7 中 A 和 B 可以是固定因素，也可

以是随机因素，因而引出三种不同的统计模型。

表 2 － 7 两因素交互分组实验的一般格式

因素 B j ＝ 1 ， 2 ，…， b总计

B1 B2 … Bb

因素Ai∥

1 ，2 ，

∶ ，a

A1

Χ111Χ112∶Χ11n

Χ121Χ122∶Χ12n

…Χ1b1Χ1b2∶Χ1bn

Χ1··

A2

Χ211Χ212∶Χ21n

Χ221Χ222∶Χ22n

…

Χ2b1Χ2b2∶Χ2bn

Χ2··

∶ ∶ ∶ … ∶ ∶

Aa

Χa11Χa12∶Χa1n

Χa21Χa22∶Χa2n

…

Χab1Χab2∶Χabn

Χa··

总计 Χ·1· Χ·2· … Χ·b· Χ1··

表 2 － 7 中的各种符号做如下说明： i·· 表示 A因素第 i 水平的所有观察值的和； ·j· 表示 B 因素第 j 水平的所有观察值的和； ij· 表示 A 的第 i 水平和 B 的第 j 水平的所有观察值的和； ··· 表示所有观察值的综合。用公式表示为：

a

i

n

k

jjijkj

b

j

n

k

iiijki

bjan

xxxx

aibn

xxxx

1 1

1 1

,,2,1,,

,,2,1,,

a

i

b

j

n

kijk

n

k

ijijijkij

abn

xxxx

bj

ai

n

xxxx

1 1 1

1

,

,,2,1

,,2,1,,

二、 固定效应模型 1. 有重复实验时 有重复实验时，观察值可以以下线性统计模型描述：

)202(

,,2,1

,,2,1

,,2,1

nk

bj

ai

x ijkijjiijk

其中，是总体效应； i 是 A 因素第 i 水平的真正效应； j 是 B 因素第 j 水平的真正效应；（） i j 是在 i 和 j 之间的交互作用的效应；

i j k 是随机误差成份。当两因素均为固定因素时，各处理效应是距总平均效应的离差。因此，

)222(0

)212(0

1

1

b

jj

a

ii

交互作用的效应也是固定的，

)232(011

b

jij

a

iij

ij 是相互独立且服从 N （ 0 ， 2 ）的随机变量 （ 2·24 ）因实验共有 n 次重复，所以实验的总次数为 abn次。

交互分组两因素固定效应模型的方差分析的零假设为：

)272(,2,1

,,2,1,0:

)262(0:

)252(0:

03

2102

2101

bj

aiH

H

H

ij

b

a

方差分析的基本思想仍然是将总平方和分解。

)282(1 1 1

2

1 1 1

2

1

22

1 1 1

2

1 1 1

2

a

i

b

j

n

kijijk

a

i

a

i

b

jjiij

b

jji

a

i

b

j

n

kijijkjiijji

a

i

b

j

n

nijk

xx

xxxxnxxanxxbn

xxxxxxxxxx

xx

于是，总平方和可分解为：由于 A 因素所引起的平方和 SSA ， B 因素所引起的平方和 SSB ， A 、 B 交互作用所引起的平方和SSAB 及误差平方和 SSe 。分别是：

)322(

)312(

)302(

)292(

1 1 1

2

2

1

2

1

2

a

i

b

j

n

kijijke

jiijAB

b

jjB

a

iiA

xxSS

xxxxnSS

xxanSS

xxbnSS

从 (2·32) 式可以看出，为了得到误差平方和，至少要重复两次。有了误差平方和，才能把误差与交互作用分解开。

与每一平方和所相应的自由度为： A a － 1

B b － 1

AB 交互作用 （ a － 1 ）（ b － 1 ） 误差 ab （ n － 1 ） 总和 abn － 1

其中总自由度、 A 因素自由度和 B 因素自由度比较简单，分别为 abn － 1 ， a －１和b － 1 。交互作用的自由度，是两个因素全部水平的组合数减 1 ，再减 A 、 B 主效应自由度，即（ ab － 1 ）—（ a―1 ）—（ b―1 ）＝（ a―1 ）（ b―1 ）。误差自由度在每一因素组合内是 n － 1 ，共有 ab 种组合，故为ab （ n － 1 ）。各项的均方分别为：

)1(,

)1)(1(

1,

1

nab

SSMS

ba

SSMS

b

SSMS

a

SSMS

ee

ABAB

BB

AA

两因素固定模型方差分析表如下：

表 2 － 8 固定模型方差分析表（因素 A 、 B 固定型）

变差来源 平方和 自由度 均 方 F

因 素 A 因 素 B交互作用

AB误 差

SSA

SSB

SSAB

SSe

ａ－ 1ｂ－ 1

(a-1)(b-1)

ab(n-1)

MSA

MSB

MSAB

MSe

MSA ／MSe

MSB ／MSe

MSAB ／MSe

总 和 SST abn-1

实际计算时，可按下述方式进行。

)352(1

)342(1

)332(

1

22

1

22

1 1 1

22

b

jjB

a

iiA

a

i

b

j

n

kijkT

abn

xx

anSS

abn

xx

bnSS

abn

xxSS

其中 2··· ／ abn 称为校正项，用 C 表示。

为了得到 SSAB 需分两步计算。首先，由重复间的平均数，求出次总平方和（ subtotal sum of squares ） SSST ，

)362(1

1

2

1

2

a

i

b

jijST abn

xx

nSS

这一平方和由三部分构成： ABBAST SSSSSSSS

由此可以得出， AB 交互作用平方和 SSAB ， )372( BASTAB SSSSSSSS

而 )382( STTe SSSSSS

另一种计算交互作用平方和的方法，是通过计算重复间平方和得到误差平方和，

)392(1

1 1 1 1

2

1

2

a

i

b

j

a

i

b

jij

n

kijke x

nxSS

再由总平方和减去 A 因素、 B 因素及误差平方和，剩余的便是交互作用平方。

)402( eBATAB SSSSSSSSSS

例 2.3 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适的条件，设计了一个两因素试验。并得到以下结果（表 2 － 9 ）：

表 2 － 9 用不同原料与不同温度发酵的酒精产量

原料种类A

温 度 B

30℃ 35℃ 40℃

1

2

3

41492325

47595040

43355350

11132524

43383336

55384744

6222618

8221814

30332619

在这个试验中，温度和原料均为固定因素。每一处理有 4 次重复。因此可按上面叙述过的方法分析。将表中的每一数字均减去30 ，列成表 2 － 10.1 ，由表 2 － 10.1 中，可以计算出

00.196)4)(3)(3(

8422

abn

xC

及

a

i

b

jijST

a

i

b

j

n

kijkT

Cxn

SS

CxSS

1 1

2

1 1 1

2

50.5513196)22838(4

11

00.71701967366

表 2 － 10.1 发酵实验方差分析计算表 原料

A温度

Bij1 ij2 ij3 ij4 ij· 2

ij· ∑2ijk

1

2

3

303540

303540

303540

11-19-24

1713-22

13250

19-1718

298-8

583

-7-5-4

203

-12

2317-4

-5-6

-12

106

-16

2014-11

18-47-48

7630-58

6164-12

32422092304

5776900

3364

37214096

144

556 711 800

1630 278 948

1123 1174 146

∑＝84

22838 7366

利用 χij·列列成表 2 － 10.2 。

表 2 － 10.2 发酵实验方差分析表

温 度 Bi·· 2

i·· 30 35 40

原 1 料 2 A 3

18 -47 -48

76 30 -58

61 54 -12

-7748

113

59292304

12769

·j·

2·j·

155 47 -118

24025 2209 13924

8440158

21002

由表 2 － 10.2 中可以计算出

50.165650.551300.7170

75.80858.315017.155450.5513

58.3150196)40158()4)(3(

11

17.1554196)21002()4)(3(

11

1

2

1

2

STTe

BASTAB

b

jjB

a

iiA

SSSSSS

SSSSSSSS

Cxan

SS

Cxbn

SS

列成方差分析表： 表 2 － 11 发酵实验方差分析表

变差来源 平方和 自由度 均 方 F

原料 A温度 B

AB误 差

1554.173150.58808.75

1656.50

22 4

27

777.091575.29202.1961.35

12.67**25.68**

3.30*

总 和 7170.00 35** ＝ 0.01 * ＝ 0.05

原料和温度在 α ＝ 0.01 水平上拒绝 H0 ；交互作用在 α ＝ 0.05 水平上拒绝 H0 。因此酒精的产量不仅与原料与温度有关，而且与两者的交互作用也有关。

三、 随机效应模型 如果因素 A 和因素 B 都是随机因素，则构

成随机效应模型。例如，将同一种作物种在不同地块上，并施以不同数量的农家肥，考查不同地块和不同施肥量对作物产量的影响。不同地块是随机选出来的，属随机因素。农家肥的肥力水平，是很难人为控制的，即使施用相同的数量 , 其效应值也不会完全相同。因此，肥料也书随机因素。

随机效应模型的每一观察值，可用以下线性统计模型描述：

)442(

,,2,1

,,2,1

,,2,1

nk

bj

ai

x ijkijjiijk

零假设分别是：

0:

0:

0:

203

202

201

H

H

H

方差分析的方法与固定模型的分析一样，分别计算出 SST 、 SSA 、 SSB 和 SS e 。

对 H03 ： 2 ＝ 0 的检验统计量应当是（具 (a

－ 1) (b － 1) ， ab(n － 1)自由度）：

)452( e

AB

MS

MSF

与 F(a － 1) (b―1), ab ( n―1), 做比较，当 F＜ F 时，接受 H03 ： 2

＝ 0 的假设；若 F ＞ F ，拒绝H03 ： 2

＝ 0 的假设。

对 H01 ： 2 ＝ 0 的假设，使用统计量（具 (a －

1) ， (a － 1) (b － 1)自由度） )462(

AB

A

MS

MSF

与 F(a － 1), (a―1) (b―1), 做比较，当 F＜ F 时，接受 H01 ： 2

＝ 0 的假设；若 F＞ F ，拒绝 H01 ： 2

＝ 0 的假设。

对 H02 ： s2b ＝ 0 的假设，使用统计量（具 (b

－ 1) ， (a － 1) (b － 1)自由度）

)472( AB

B

MS

MSF

与 F(b － 1), (a―1) (b―1), 做比较，当 F＜ F 时，

接受 H02 ： 2 ＝ 0 的假设；若 F＞ F ，拒绝

H02 ： 2 ＝ 0 的假设。

表 2 － 14 随机效应模型方差分析表（因素 A 、 B 随机型）

变 差 来 源 平方和 自由度 均 方 F

因 素 A因 素 B

交互作用 AB误 差

SSA

SSB

SSAB

SS e

a － 1b － 1

(a － 1)(b－ 1)

ab(n － 1)

MSA

MSB

MSAB

MS e

MSA ／ MSAB

MSB ／ MSAB

MSAB ／ MS e

总 和 SST abn － 1

随机效应模型的方差分析表如下：

例 2.6 为了研究不同地块中施用不同数量农家肥对作物产量的影响，设计了一个两因素试验。试验结果列在下表中。

地 块 B

一号地 二号地 三号地

施肥量A

100kg200kg300kg400kg

8.69 8.47 8.88 8.7210.82 10.8611.16 11.42

8.80 8.74 9.68 9.5411.00 10.9210.97 11.13

9.49 9.37 9.39 9.5911.07 11.0111.00 10.90

解 前面已经说过，这是一随机模型。随机模型的各项平方和的计算与固定模型是一样的。将上表中的 ijk 每一个均减去 9.5列成下表：

表 2 － 15.1 作物产量方差分析计算表

施 地 肥 量 块 ij1 ij2 ij· 2

ij· ∑2ijk

一 100 二 三

-0.81-0.70-0.01

-1.03-0.76-0.13

-1.84-1.46-0.14

3.38562.13160.0196

1.71701.06760.0170

一 200 二 三

-0.620.18-0.11

-0.780.040.09

-1.400.22-0.02

1.96000.04840.0004

0.99280.03400.0202

一 300 二 三

1.321.501.57

1.361.421.51

2.682.923.08

7.18248.52049.4864

3.59204.26644.7450

一 400 二 三

1.661.471.50

1.921.631.40

3.583.102.90

12.81649.61008.4100

6.44204.81784.2100

13.62 63.5772 32.9218

利用 χijk列，列成下表：

表 2 － 15.2 作物产量方差分析计算表

地 块i· 2

i··一 二 三

施 肥 量

100200300400

-1.84-1.402.683.58

-1.460.222.923.10

-0.14-0.023.082.90

-3.44-1.208.689.58

11.83361.4400

75.342491.7764

·i·

2·i·

3.029.1204

4.7822.8484

5.8233.8724

和 13.62 65.8412

180.3924

由表 2 － 15.1 计算出

0592.247294.7)5772.63(2

11

1924.257294.79218.32

7294.7)2)(3)(4(

62.13

1 1

2

1 1 1

2

22

a

i

b

jijST

a

i

b

j

n

kijkT

Cxn

SS

CxSS

abn

xC

由表 2 － 15.2 计算出

229.1

1332.10592.241924.25

5008.07294.7)2)(4(

8412.651

3360.227294.7)2)(3(

3924.1801

1

2

1

2

BASTAB

STTe

b

jjB

a

iiA

SSSSSSSS

SSSSSS

Cxan

SS

Cxbn

SS

列成方差分析表 :

变 差 来 源 平方和 自由度 均 方 F

施肥量 A地 块 B

交互作用AB误 差

22.33600.50081.22291.1327

32 612

7.45530.25040.20380.0944

36.53**1.232.16

总 和 25.1924 23

** ＝ 0.01

从以上方差分析表中，可以看出所选择的不同地块对产量没有显著影响。但不同施肥两对产量的影响极为显著。

四、 混合模型 在两因素交叉分组实验中，若一个因素 ( 如 A 因

素 ) 是固定型，另一个因素 ( 如 B 因素 ) 是随机型，则称为混合模型。在混合模型中，每一观察值 χijk 的线性统计模型为：

)482(

,,2,1

,,2,1

.,2,1

nk

bj

ai

x ijkijjiijk

其中 i 是固定效应， j 是随机效应，交互作用 ()ij ，被认定随机效应。因为固定因素的全部交互作用效应之和为 0 ，所以在固定因素的某个水平上，交互作用的成分不是独立的。

对于 H01 ： αi ＝ 0 的检验的统计量为

（具 a―1 ， (a―1)(b―1)自由度）：

AB

A

MS

MSF

对于 H02 ：＝ 0 的检验的统计量为（具

b―1 ， ab(n―1)自由度）：

e

B

MS

MSF

对于 H03 ： σ 2 αβ ＝ 0 的检验的统计量为（具 (a － 1)(b―1) ， ab(n―1)自由度）：

e

AB

MS

MSF

混合模型方差分析表如下： 表 2 － 16 混合模型方差分析表（ A 固定， B 随

机） 变 差 来 源 平方

和自由度 均 方 F

因 素 A因 素 B

交互作用AB误 差

SSA

SSB

SSAB

SS e

a － 1b － 1

(a － 1)(b －1)

ab(n － 1)

MSA

MSB

MSAB

MS e

MSA ／MSAB

MSB ／ MSe

MSAB ／MS e

总 和 SST abn － 1

例 2·7 表 2 － 17 所列出的数据是四个受试者在四种速度下工作，即正常速度的 60％、 80％、100％、 120％所得到的能量消耗的比值，试验共有 16 种处理，每一处理重复观察 2 次，共做 32 次观察。

表 2 － 17　四个受试者在四种速度下工作的能量消耗

受 试 时 间 B

一 二 三 四

工 作 的 相对速度（ 正常速度的百分数） A

6080100120

2.70 3.301.38 1.352.35 1.952.26 2.13

1.71 2.141.74 1.561.67 1.503.41 2.56

1.90 2.003.14 2.291.63 1.053.17 3.18

2.72 1.853.51 3.151.39 1.722.22 2.19

解 首先，看因素的类型。因素 A 是从 60～120％这个范围内，人为地选出的四个水平，这四个水平是可以严格控制的，所以因素 A 为固定型；因素 B 的四个水平，是从受试者人群中随机抽取的，所以因素 B 为随机型。本试验属于混合效应模型。具体计算过程不再重复，下面给出方差分析表

表 2 － 18　能量消耗实验方差分析表

变 差 来 源 平方和 自由度 均 方 F

相对速度 A 实验对象 B交互作用 A误 差

3.99480.45418.41231.7902

3 3 916

1.33160.15140.93470.1119

1.42 1.358.35

总 和 14.6514 31

首先，检验假设 0: 2

03 H

35.81119.0

9347.0

e

AB

MS

MSF

因为 F＞ F9 ， 16 ， 0.05 ，所以 A 、 B 之间存在交互作用。检验

35.11119.0

1514.0

0: 202

e

B

MS

MSF

H

F＜ F3 ， 16 ， 0.05 ，所以实验对象个体之间的差异不显著。

最后，检验

42.19347.0

3316.1

0:01

AB

A

i

MS

MSF

H

F＜ F3 ， 16 ， 0.01 ，接受 H01 。因素 A 是不显著

的。在这四种速度下，工作的能量消耗没有显著不同。要提醒大家的是，在混合模型的方差分析时，正确区分因素的类型，正确地使用检验的统计量是非常重要的。

在随机效应模型和混合效应模型中，不设置

重复，同样会有固定效应模型中的问题，即因素的

假互作用与实验误差无法区分，全部归于误差项。

特别是混合模型中，随机因素的各水平之间实际存

在的差异，往往检验不出来，结果降低了实验的可

靠性。因此，在条件允许的情况下，不论哪一种模

型，最好都设重复。

五、两个以上因素的方差分析六、缺失数据的估计 弥补缺失数据的原则：使补上缺失的数据

之后，所得到的误差平方和最小。七、数据变换 对数变换、平方根变换、反正弦变换等等。