Оглавление

1 Дираковская формулировка квантовой меха-ники 61.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Дираковская формулировка квантовой меха-

ники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Временная эволюция состояний. . . . . . . . . 151.4 Гамильтоновы системы. Квантование. . . . . 201.5 Представления Шредингера и Гайзенберга . 261.6 Представление взаимодействия . . . . . . . . 301.7 Представления основных операторов . . . . . 321.8 Матрица перехода, волновая функция свобод-

ной частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9 Уравнение Шредингера в произвольном пред-

ставлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Гармонический осциллятор 492.1 Гамильтониан . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Операторы a и a+ . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Спектр и состояния осциллятора. Энергети-

ческое представление . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Волновые функции . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Когерентные состояния осциллятора . . . . . 58

3

3 Матрица плотности 623.1 Определение матрицы плотности . . . . . . . 623.2 Свойства матрицы плотности . . . . . . . . . 693.3 Эволюция во времени. Уравнение Лиувилля 713.4 Равновесная матрица плотности . . . . . . . . 734.5 Уравнение для матрицы плотности в коорди-

натном представлении . . . . . . . . . . . . . 77

4 Представления матрицы плотности 794.1 Функция Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Некоторые свойства преобразования Фурье.

Уравнение Мойала для функции Вигнера . . 834.3 Томографическое распределение . . . . . . . 884.4 Уравнение эволюции для томографического

распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 Представление вероятностей для дискретногоспектра на примере момента количества дви-жения 995.1 Оператор момента импульса, собственные со-

стояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Углы Эйлера и матрица поворота . . . . . . . 1055.3 Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-

Гордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Матрица поворота для j = 1/2 и 1 . . . . . . 1165.5 Угловой момент и система двух осцилляторов 1205.6 Представление матрицы плотности для си-

стемы с моментом j . . . . . . . . . . . . . . . 1225.7 Инвариантная формулировка томографии со-

стояний момента . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6 Перепутанные состояния (entanglement) 1286.1 Сепарабельные и перепутанные состояния . . 1286.2 Критерий сепарабельности . . . . . . . . . . . 131

4

6.3 Состояние Вернера . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Системы многих частиц 1357.1 Cистема связанных гармонических осцилля-

торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2 Cистемы тождественных частиц . . . . . . . . 1397.3 Операторы рождения и уничтожения. . . . . 1437.4 Представление чисел заполнения . . . . . . . 1477.5 Представление основных операторов . . . . . 1527.6 Матрица плотности в представлении чисел

заполнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.7 Большой канонический ансамбль . . . . . . . 1587.8 Понятие о парастатистике . . . . . . . . . . . 163

5

Глава 1

Дираковскаяформулировкаквантовой механики

1.1 Введение

Один из основных постулатов квантовой механики – прин-цип суперпозиции. Вспомним его суть: пусть задан какой-либо базис. Этот базис можно связать с собственными функ-циями соответствующего оператора физической величины.Тогда разложение функции состояния (волновой функции)системы по данным базисным функциям будет определятьсостояние в "системе координат", которая определена дан-ной физической величиной. В таком случае состояние пол-ностью определяется коэффициентами разложения Фурье.Соответственно, вместо функции состояния достаточно рас-смотреть только коэффициенты разложения, которые пред-ставляют его в данном базисе. Иными словами, выбираябазис, мы выбираем представление, в котором описываемлюбое состояние квантовой системы. Выбор базиса неод-

6

нозначен, причем не только с формальной стороны, но ипостольку поскольку физических величин много и им соот-ветствуют, вообще говоря, различные базисные функции. Всоответствии с этим и выбор представления данного состо-яния неоднозначен.

Перейдем к операторам. Задавая базис представления(состояния), мы полностью определим действие операто-ра на произвольное состояние, если известна матрица опе-ратора в данном базисе или, что то же, в данном пред-ставлении. Действительно, пусть ψn – базисные функциипредставления, тогда оператор f , действуя на них, вообщеговоря, изменяет их:

fψn = ϕ =∑

m

fmnψm, (1.1)

где

fmn =

∫ψ∗mϕdr =

∫ψ∗mfψndr. (1.2)

Подействуем на произвольное состояние

Ψ =∑

n

anψn (1.3)

оператором f :

fΨ = Φ =∑

n

anfψn =∑

n,m

fmnanψm. (1.4)

Как видно из этого примера, вместо волновой функции Ψдостаточно рассмотреть вектор-столбец

a =

a1a2a3...an...

(1.5)

7

Тогда действие оператора на состояние полностью опреде-ляется правилами умножения матрицы оператора на стол-бец, стоящий справа. Рассмотрим теперь среднее значениеоператора в данном состоянии. Сперва заметим, что

Ψ∗ =∑

m

a∗mψ∗m. (1.6)

Получаем:

〈f〉=∫Ψ∗fΨdr=

∑

m,n

a∗man

∫ψ∗mfψndr=

∑

m,n

a∗mfmnan. (1.7)

Таким образом, сопряженная волновая функция полностьюопределяется вектором-строкой с элементами

a∗ = (a∗1, a∗2, . . . , a

∗m, . . . ). (1.8)

Далее видим, что необходимое число получается опять всоответствии с правилами матричного умножения линей-ной алгебры.

1.2 Дираковская формулировка кванто-

вой механики

Итак, в предыдущем параграфе мы увидели, что, во-первых,описание состояния квантовой системы с помощью волно-вой функции не представляется единственным способом,во-вторых, необходимые физические величины получаютсяв линейном векторном пространстве, в котором состоянияпредставлены векторами, а операторы – матрицами. Такимобразом, основные постулаты квантовой механики можносформулировать в более общем виде: в виде дираковской

формулировки квантовой механики.

8

1. Множество всех состояний квантовой системы со-ставляет пространство состояний, элементы этого простран-ства – вектора состояний – будем обозначать как |ψ〉.

2. В силу принципа суперпозиции, пространство состо-яний линейно. Т.е. если два состояния |ψ1〉 и |ψ2〉 – какие-либо два вектора состояний, то линейная комбинация |ψ〉 =c1|ψ1〉+c2|ψ2〉 тоже вектор состояния из этого же простран-ства. Пространство состояний полное.

3. Согласно представлениям о взаимодействии макро-скопической системы с микросистемой измерение какой-либо физической величины связано, вообще говоря с из-менением состoяния квантовой системы. Иными словами,при извлечении значения физической величины f состо-яние |ψ〉 → |ϕ〉. Процедуре изменения состояния долженсоответствовать оператор f , определенный в этом же про-странстве состояний, который соответствующим образомизменяет состояние: f |ψ〉 = |ϕ〉.

4. Значение физической величины получается в резуль-тате сравнения состояния системы до и после измерения.Как хорошо понятно, существенной характеристикой век-тора является его направление, поэтому от несущественныххарактеристик следует избавиться. В линейной алгебре длявыделения существенной характеристики вводится поня-тие скалярного произведения. Мы видели, что при зада-нии состояния в виде векторов нам понадобились вектора-столбцы и сопряженные к ним вектора-строки. Соответ-ственно, наряду с "прямым"пространством состояний сле-дует определить также и сопряженное пространство состо-яний, элементы которого будем обозначать как 〈ψ|. Тогда

|ψ〉+ = 〈ψ|.

Вектор |ψ〉 называют кeт-вектором, а сопряженный к нему〈ψ| – бра-вектором в соответствии с двумя "половинка-

9

ми"английского слова bracket. 1

Теперь можно ввести скалярное произведение двух век-торов |ψ〉 и |ϕ〉 в комплексном векторном пространстве со-стояний как

C = 〈ϕ|ψ〉; C∗ = 〈ψ|ϕ〉.Соответственно, если

|ψ〉 = c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉, то 〈ψ| = c∗1〈ψ1|+ c∗2〈ψ2|.

Согласно определению скалярного произведения

1) 〈ϕ|(c|ψ〉) = c〈ϕ|ψ〉,

2) 〈ϕ|(c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉) = c1〈ϕ|ψ1〉+ c2〈ϕ|ψ2〉.Поскольку число 〈ψ|ψ〉 = ‖ψ‖2 конечно, будем полагать всевектора состояний нормированными на единицу ‖ψ‖2 = 1.

Вновь вернемся к действию оператора на вектор состо-яния: f |ψ〉 = |ϕ〉, очевидно, что, вообще говоря, изменяетсякак "направление"вектора, так и его норма: ‖ϕ‖2 6= 1. По-этому число

〈ψ|ϕ〉 = 〈ψ|f |ψ〉 = f (2.1)

непосредственно связано с соответствующей физическойвеличиной. Положим, что так получаемое число и есть ис-комая физическая величина, поэтому соотношение (2.1) на-до понимать как определение оператора соответствующейфизической величины.

Дальнейшие постулаты о полноте описания квантовойсистемы и об уравнении, которому подчиняются состояния,сформулируем так.

1Как рассказывают очевидцы, на семинаре в институте Физиче-ских Проблем во время выступления П.А.М.Дирака сам Л.Д.Ландаупереводил тогда новые термины как "ско"и "бка".

10

Постулат о степени полноты описания квантовой си-стемы : cуществует максимально возможное число физи-ческих величин, которые могут быть одновременно точноизмерены для данной системы. Совокупность этих физиче-ских величин называется полным набором. Обычно числовеличин, входящих в полный набор, меньше того, которыйследовал бы из классических соображений. Как правило,поэтому выбор физических величин, входящих в полныйнабор, неоднозначен. Тем не менее, задав какой-либо пол-ный набор, мы задаем полное (с точки зрения квантовоймеханики) описание состояния системы. Возможность раз-личных выборов полных наборов имеет глубокий смысл.Действительно, выбирая различные наборы, мы по-разному(с разных позиций) описываем одно и то же состояние кван-товой системы, или иными словами, по разному представ-ляем состояние системы. С этой неоднозначностью связаноочень большое удобство и преимущество квантовой меха-ники: существование различных представлений.

Уравнение, которому подчиняется волновая функция.

В нерелятивистской квантовой механике это – уравнениеШредингера:

i~∂

∂t|ψ〉 = H|ψ〉 (2.2)

Здесь H – оператор Гамильтона (энергии). Суть постула-та заключается в том, что эволюция состояния квантовойсистемы полностью определяется ее энергией. Таким обра-зом, гамильтониан – “главный” oператор в квантовой ме-ханике.

Перечисленные постулаты не исчерпывают всех посту-латов квантовой механики. Более того, в различных по-собиях (или учебниках) система постулатов может бытьсформулирована в другой последовательности и в боль-шем объеме, однако здесь представлены наиболее общие

11

постулаты. Расширение данной системы связано с разви-тием уже отдельных постулатов.

Вновь вернемся к определению (2.1). Очевидно, что

f = 〈ψ|(f |ψ〉) ≡ (〈ψ|f)|ψ〉, (2.3)

т.е. оператор может действовать как вправо на вектор кет,так и влево на вектор бра. Очевидно также, что, вообщеговоря,

〈ψ|f 6= 〈ϕ|,однако можно найти соответcтвующий оператор

〈ϕ|ψ〉 = (〈ψ|ϕ〉)∗ = (〈ψ|f |ψ〉)∗ ≡ 〈ψ|f+|ψ〉, (2.4)

т.е.〈ψ|f+ = 〈ϕ|,

где f+ – эрмитовски сопряженный оператор, действующийв сопряженном пространстве так же, как f в "прямом".

Поскольку физические величины действительны, соот-ветствующие им операторы эрмитовы. Как и для волновыхфункций вновь поставим задачу на собственные значения:

f |ψ〉 = f |ψ〉. (2.5)

Для оператора физической величины собственные векторасоставляют базис, а собственные значения действительны.Поскольку состояние (2.5) определяется значением физи-ческой величины f , вместо "абстрактной"буквы ψ удобнопоставить соответствующее значение физической величи-ны, тогда уравнение (2.5) перепишется в виде

f |f〉 = f |f〉. (2.5a)

Например, для оператора энергии следовало бы собствен-ные вектора записать так:

H|E〉 = E|E〉. (2.6)

12

Если спектр оператора дискретен, удобно вместо соб-ственного значения записывать его “номер”, т.е. если, на-пример, E → En, тогда |En〉 ≡ |n〉. Соответственно

H|En〉 → H|n〉 = En|n〉. (2.7)

Любой вектор состояния можно задать в "системе от-счета"(базисе) оператора f :

|ψ〉 =∑

n

an|fn〉

|ψ〉 =

∫a(f)|f〉df (2.8)

|ψ〉 =∑

n

an|fn〉+∫a(f)|f〉df.

В таком случае говорят, что состояние |ψ〉 задано в пред-ставлении f . Причем

an = 〈fn|ψ〉, а a(f) = 〈f |ψ〉. (2.9)

Если для дискретного спектра все просто и очевидно, тодля непрерывного спектра возникает вопрос, а именно. Умно-жим скалярно вторую строчку выражения (2.8) слева набра-вектор 〈f |, чтобы определить соответствующий коэф-фициент Фурье:

a(f) = 〈f |ψ〉 =∫a(f ′)〈f |f ′〉df ′. (2.10)

Чтобы удовлетворить это равенство, Дираку потребова-лось ввести δ-функцию. Таким образом, соотношение орто-гональности для базисных векторов непрерывного спектрадолжно иметь вид

〈f |f ′〉 = δ(f − f ′). (2.11)

13

Напомним некоторые свойства δ-функции:∫f(x)δ(x− a)dx = f(a); (2.12)

∫f(x)δ(ax)dx =

1

af(0), т.е. δ(ax) =

1

aδ(x); (2.13)

∫f(x)δ(ϕ(x))dx =

1

(dϕ/dx)0f(x0), (2.14)

В последнем соотношении производная берется в точке x0 :ϕ(x0) = 0.

Кроме того следует обязательно помнить интегральноепредставление δ-функции:

+∞∫

−∞

eiαxdx = 2πδ(α). (2.15)

Устроим теперь такую конструкцию:

Pψ = |ψ〉〈ϕ|. (2.16)

Умножение строки на столбец дает число, а умножениестолбца на строку – матрицу. Таким образом составлен-ное выражение поэтому представляет оператор. Посмот-рим, как он действует на произвольное состояние:

Pψ|χ〉 = (|ψ〉〈ϕ|) |χ〉 = c|ψ〉, (2.17)

где c = 〈ϕ|χ〉. Как видим, оператор (2.16) проектирует про-извольное состояние на состояние |ψ〉 с весом c – это про-екционный оператор.

Вернемся теперь к разложению (2.8) и подставим явныйвид коэффициентов Фурье:

|ψ〉 =∑

n

〈fn|ψ〉|fn〉 =

=∑

n

|ψ〉|fn〉〈fn| =(∑

n

|fn〉〈fn|)|ψ〉. (2.18)

14

Видно, что выражение в скобках – единичный оператор:∑

n

|fn〉〈fn| = 1. (2.19)

1.3 Временная эволюция состояний.

Как следует из постулата, определяющего эволюцию состо-яния системы, необходимо решить временное дифферен-циальное уравнение (2.2), а для этого следует задать на-чальное условие. Выберем формально начальный моментвремени t0 = 0, тогда начальное условие запишется в виде

|Ψ(t)〉|t=0 = |Ψ0〉. (3.1)

Рассмотрим сперва случай консервативной системы, когдагамильтониан явно от времени не зависит. Проинтегрируемформально уравнение (2.2) и учтем, что гамильтониан отвремени не зависит:

|Ψ(t)〉 = |Ψ0〉 −i

~H

∫ t

0dt′|Ψ(t′)〉 (3.2)

Получившееся интегральное уравнение будем решать мето-дом итераций. В нулевом приближении вектор состоянияот времени не зависит и совпадает с начальным условием:|Ψ(0)(t)〉 = |Ψ0〉. Первое приближение получим, подставив вуравнение (3.2) вектор состояния в нулевом приближении:

|Ψ(1)(t)〉 = |Ψ0〉 −i

~Ht|Ψ0〉 =

(1− i

~Ht

)|Ψ0〉

Второе приближение получится после подстановки первогоприближения в исходное уравнение (3.2):

|Ψ(2)(t)〉 =[1− i

~Ht+

(− i

2!~

)2H2t2

]|Ψ0〉.

15

Продолжая так до ∞, получаем ряд:

|Ψ(t)〉 =n=∞∑

n=0

1

n!

(− i

~Ht

)n|Ψ0〉 ≡ U(t, 0)|Ψ0〉. (3.3)

Оператор U(t, 0) определяет эволюцию состояния от задан-ного начального значения, до значения в текущий моментвремени t и называется оператором эволюции. Обычно рядв формуле (3.3) записывают в виде операторной экспонен-ты:

U(t, 0) = exp

(− i

~Ht

). (3.4)

Таким образом, будем понимать под функцией от опера-тора ряд Тейлора по степеням оператора, а именно:

F (f) =n=∞∑

n=0

1

n!F (n)(0)fn. (3.5)

Пусть |φn〉 – собственная вектор оператора f с собствен-ным значением fn, тогда он будет и собственным векторомоператора F (f). Действительно, пусть f |φn〉 = fn|φn〉, то-гда и f2|φn〉 = fnf |φn〉 = f2n|φn〉. Соответственно, fk|φn〉 =fkn |φn〉, и

F (f)|φn〉 =n=∞∑

n=0

1

n!F (n)(0)(fn|φn〉) =

=n=∞∑

n=0

1

n!F (n)(0)fn|φn〉 = F (fn)|φn〉.

Теперь легко видеть, что для собственной функции га-мильтониана выполняется соотношение

U(t, 0)|ψE〉 = e−i~−1Et|ψE〉.

16

Разлагая произвольное начальное состояние в ряд по соб-ственным функциям гамильтониана (т.е. по решениям ста-ционарного уравнения Шредингера), получаем общий видвременной зависимости волновой функции консервативнойсистемы:

U(t, 0)|Ψ0〉=e−i~−1Ht

∑

E

aE |ψE〉=∑

E

aEe−i~−1Et|ψE〉. (3.6)

Легко убедиться, что оператор, обратный к оператору эво-люции совпадает с эрмитовски сопряженным:

U+(t) =(e−i~

−1Ht)+

= ei~−1H+t = ei~

−1Ht,

поскольку U+U = 1. Такие операторы называются уни-

тарными.Пусть есть f – оператор некоторой физической вели-

чины2. Тогда по определению среднее значение (наблюдае-мая) равно:

〈f〉 ≡ f = 〈Ψ(t)|f |Ψ(t)〉. (3.7)

В общем случае полученная величина зависит от времени:f = f(t). Найдем производную по времени от выражения(3.7). Например, если в качестве рассматриваемой физиче-ской величины выбрать координату частицы r, тогда

d

dtr = v −→ d

dt〈r〉 = 〈v〉.

Определим производную по времени от оператора как

d

dtf , если 〈 d

dtf〉 = d

dt〈f〉. (3.8)

2Вообще говоря, может быть взят произвольный оператор, одна-ко для физической величины дальнейшее изложение будет иметь нестоль абстрактный характер.

17

Перепишем выражение (3.7), определив временную зави-симость волновой функции через оператор эволюции:

〈f〉 = 〈Ψ0|U+(t)fU(t)|Ψ0〉

и продифференцируем по времени. Получаем:

d

dt〈f〉 = 〈Ψ0|

(∂

∂tU+(t)

)fU(t) + U+(t)f

(∂

∂tU(t)

)+

+U+(t)

(∂f

∂t

)U(t)

|Ψ0〉. (3.9)

Получим частную производную по времени от оператораэволюции:

∂

∂tU(t) =

∂

∂te−i~

−1Ht = −i~−1HU(t),

или

i~−1∂

∂tU(t) = HU(t). (3.10)

Уравнение (3.10) имеет вид, аналогичный уравнению Шре-дингера для волновой функции. Для эрмитовски сопря-женного оператора легко записать уравнение, эрмитовскисопряженное полученному:

−i~−1 ∂∂tU+(t) = U(t)H.

Подставим теперь полученное уравнение (3.10) в выраже-ние (3.9) и получим:

d

dt〈f〉 = 〈Ψ0|U+(t)

i

~

(Hf − f H

)+∂f

∂t

U(t)|Ψ0〉 =

〈Ψ(t)|i

~

(Hf − f H

)+∂f

∂t

|Ψ(t)〉.

18

Согласно принципу соответствия мы должны отождествить

с производной оператора по времени следующее выраже-ние

df

dt=∂f

∂t+i

~

(Hf − f H

)≡ ∂f

∂t+i

~

[H, f

]. (3.11)

Выражение в квадратных скобках называется коммута-

тором операторов. Итак, мы встретились с новым важнымпонятием. Для любых двух операторов коммутатором на-зывается оператор, который действует на произвольнуюфункцию так же, как действуют два оператора на эту жефункцию в разной последовательности:[A, B

]= F , причем FΨ = A

(BΨ

)− B

(AΨ). (3.12)

Легко видеть, что в общем случае производная по време-ни от оператора отлична от нуля, даже если сам операторявно от времени не зависит. В этом случае производная повремени есть просто коммутатор оператора с гамильтони-аном:

df

dt=i

~

[H, f

]. (3.13)

Производная по времени отлична от нуля лишь в том слу-чае, когда оператор коммутирует с гамильтонианом. Этоочень важный случай, поскольку тогда и среднее значениевеличины (наблюдаемой) не зависит от времени. Величина,сохраняющаяся во времени называется интегралом движе-ния. Мы знаем, что интегралы движения в классическоймеханике играют важную роль. Не менее важную (можетбыть даже более важную) роль играют интегралы движе-ния и в квантовой механике.

Рассмотрим в качестве примера оператор скорости, ко-торый по определению есть производная по времени от опе-ратора координаты. Поскольку последний явно от времени

19

не зависит, имеем:

v ≡ dr

dt=i

~

[H, r

]=i

~

[T , r

]+i

~[U(r), r] ,

где T – оператор кинетической энергии. Очевидно, второйкоммутатор равен нулю, поскольку оператор координатыкоммутирует сам с собой, с любой степенью и, соответ-ственно, с произвольной функцией оператора координаты.Осталось вычислить коммутатор с оператором кинетиче-ской энергии:

[T , r

]=

[p2

2m, r

]= −i~ p

m.

Мы здесь воспользовались очень полезной формулой:[AB, C

]=[A, C

]B + A

[B, C

](3.14)

Окончательно получаем:

v =p

m.

1.4 Гамильтоновы системы. Квантова-

ние.

Итак, мы видим, что оператор Гамильтона играет исклю-чительную роль в описании эволюции квантовых систем.Однако, как мы знаем, функция Гамильтона играет оченьважную роль и в задачах классической механики. Дей-ствительно, как мы знаем, состояние классической систе-мы полностью определяется заданием точки в ее фазовомпространстве, т.е. заданием совокупности пар обобщенныхкоординат и импульсов:

(q, p) = (q1, q2, . . . , qN ; p1, p2, . . . , pN ), (4.1)

20

где N – число степеней свободы системы.Все физические величины такой системы (энергия, им-

пульс, момент импульса и т.п.) будут выражаться в виденекоторых функций обобщенных координат и импульсов,которые имеют вполне определенное значение в каждом со-стоянии системы (4.1). Это так называемые динамическиефункции, которые обозначим как b(q, p). Если это аналити-ческие функции, их можно представить в виде степенныхрядов вида:

b(q, p) =

=∞∑

n1=0

. . .∞∑

nN=0

∞∑

m1=0

. . .∞∑

mN=0

βn1...mNqn1

1 . . .qnNN pm1

1 . . . pmN

N , (4.2)

где βn1...mN– некоторые вещественные постоянные. Функ-

ции такого вида всегда могут быть представлены в видеряда или интеграла Фурье:

b(q, p) =

=

∫dk1. . .dkNdl1. . .dlNβk1...lN exp

[iN∑

n=1

(knqn + lnpn)

], (4.3)

где βk1...lN – некоторые, вообще говоря сингулярные, функ-ции k и l.

В результате эволюции системы физические величиныклассической системы могут изменяться, поскольку изме-няется положение точки в фазовом объеме. Изменение по-ложения точки задается траекторией, которая определяет-ся как решение системы уравнений Гамильтона:

qn =∂H(q, p)

∂pn,

pn =−∂H(q, p)

∂qn. (4.4)

21

Если заданы условия в начальный момент времени t0 =0 : qn(0) = q0n, pn(0) = p0n, решение (q, p) определяетсяединственным образом, причем через каждую точку фазо-вого пространства проходит одна и только одна траекто-

рия, удовлетворяющая уравнению (4.4).Рассмотрим теперь как изменяется во времени динами-

ческая функция системы на траектории. Будем считать,что коэффициенты βn1...mN

в уравнении (4.2) явно от вре-мени не зависят, тогда

b(q, p) =N∑

n=1

(∂b

∂qnqn +

∂b

∂pnpn

)=

=N∑

n=1

(∂b

∂qn

∂H

∂pn− ∂b

∂pn

∂H

∂qn

)= [b,H]P . (4.5)

Здесь введено определение скобки Пуассона:

[b, c]P =N∑

n=1

(∂b

∂qn

∂c

∂pn− ∂b

∂pn

∂c

∂qn

). (4.6)

Упражнения.

1. Показать, что скобки Пуассона антисимметричны от-носительно перестановки динамических функций:

[b, c]P = −[c, b]P .

2. Доказать тождество Якоби:

[b, [c, d]P ]P + [c, [d, b]P ]P + [d, [b, c]P ]P = 0. (4.7)

3. Показать, что для любого скалярного, не зависящегоот q и p, параметра скобка Пуассона равна нулю:

[b, α]P = 0.

22

Наконец, легко убедиться, что скобки Пуассона удовле-творяют следующим соотношениям (правилам):

[(b+ c), d]P =[b, d]P + [c, d]P ,

[αb, c]P =α[b, c]P , (4.8)

[bc, d]P = [b, d]P c+ b[c, d]P .

Используя правила (4.8) можно вычислить скобку Пуас-сона любых двух динамических функций, если известнатаблица скобок Пуассона обобщенных координат и импуль-сов – канонически сопряженных переменных. Эту таблицулегко получить:

[qn, qm]P = 0, [pn, pm]P = 0, [qn, pm]P = δnm. (4.9)

Итак, мы видим, что производная по времени дина-мической функции в классической механике определяет-ся скобкой Пуассона этой функции с гамильтонианом. Со-гласно принципу соответствия динамическим функциям –физическим величинам в квантовой механике соответству-ют операторы. Изменение оператора во времени определя-ет изменение во времени соответствующей физической ве-личины. Мы видели, что производные операторов во вре-мени определяются коммутатором – квантовым аналогомскобки Пуассона. Легко видеть, что основные правила дляклассических скобок Пуассона справедливы и для комму-таторов в квантовой механике. Тогда чисто формально,согласно принципу соответствия следует переписать полу-ченные для классических динамических функций соотно-шения для операторов в квантовой механике, заменив вез-де классические скобки Пуассона на “квантовые”:

[a, b]P −→ −i

~[A, B], (4.10)

где A и B – операторы, соответствующие физическим ве-личинам a и b.

23

В соответствии с этим мы теперь можем дополнить

нашу систему постулатов еще одним, представляющимквантовое выражение классических соотношений (4.9), вы-ражающим одновременно и фундаментальный принцип неопре-деленностей Гайзенберга:

[ql, qk] = 0, [pl, pk] = 0, [ql, pk] = i~δlk. (4.11)

Если операторы каких-либо физических величин не ком-мутируют, говорят, что такая классическая система “кван-туется”. Заметим также, что соотношения (4.8) для ско-бок Пуассона остаются справедливыми и для коммутато-ров операторов в квантовой механике.

Упражнения.

Используя коммутационные соотношения (4.11) и пра-вила (4.8), вычислить коммутаторы:

1. [x, plx] = i~∂∂px

plx;

2. [px, xl] = −i~ ∂∂x x

l;

Легко видеть, что, исходя из определения функции отоператора, можно обобщить результаты упражнения:

[x, F (px)] =i~∂F (px)

∂px,

[px, G(x)] =− i~∂G(x)

∂x. (4.12)

Рассмотрим теперь как реализовать на практике прин-цип соответствия, иными словами, как сопоставить дина-мическим функциям классической механики операторы вквантовой механике. Проблема состоит в том, что в отли-чие от физических величин операторы неперестановочны,однако всем физическим величинам должны соответство-вать эрмитовы операторы, тогда как не любая комбинация

24

некоммутирующих операторов будет эрмитовым опера-

тором. Действительно, пусть два эрмитовых оператора Aи B соответствующие физическим величинам a и b не ком-мутируют между собой: [A, B] = iC, тогда физической ве-личине ab нельзя поставить в соответствие оператор AB,поскольку он неэрмитов. Легко в этом убедиться, взяв эр-митово сопряжение от произведения (AB)+ = B+A+ =BA = AB − iC. Ситуацию можно поправить, симметризо-вав операторное выражение: (AB+ BA)/2, которое теперьуже эрмитово.

В этом простом примере не возникло сложностей и неод-нозначностей, однако стоит взять более сложное выраже-ние, например, a2b, как сразу же возникает альтернати-ва: эрмитовыми будут (A2B + BA2)/2, ABA, а также ихлинейная комбинация. Какое выражение будет правиль-ным? Для адекватного описания систем не может бытьникакой неоднозначности, должно существовать однознач-

ное правило сопоставления. Правило соответствия посту-

лируется, его нельзя доказать. Можно постулировать по-разному, но на протяжении всех рассуждений и вычисле-ний это правило не может изменяться. Наиболее часто ис-пользуется правило, сформулированное Г. Вейлем и име-ющее вид, аналогичный представлению в виде интегралаФурье для классических динамических функций (4.3).

Правило соответствия. Всем классическим динамиче-ским функциям в квантовой механике соответствуют опе-раторы, которые могут быть представлены в виде:

B(q, p) =

∫dkdlβ(k, l) exp(ikq + ilp), (4.13)

где β(k, l) –некоторая числовая, возможно сингулярная, функ-ция чисел k, l. Здесь для простоты опустили индексы уN -мерных векторов. Требование эрмитовости накладываетограничения на функцию β

25

β∗(k, l) = β(−k,−l). (4.14)

Cледует заметить, что согласно правилу соответствия,функция β(k, l) в уравнении (4.13) та же самая, что вуравнении (4.3). Отметим также, что данная функция мо-жет явно зависеть от времени: β(k, l; t).

Упражнения.

1. Показать, что классической динамической функцииx2px соответствует эрмитов оператор (x2px+xpxx+pxx2)/3.

2. Доказать, что если коммутатор двух операторов A иB есть c-число, справедливо представление (“расцепление”экспонент):

exp(A+ B) = exp(A) exp(B) exp

(−12[A, B]

).

1.5 Представления Шредингера и Гай-

зенберга

Рассмотрим теперь формальное решение временного урав-нения Шредингера в произвольном случае, когда гамиль-тониан может явно зависеть от времени.

Проинтегрируем вновь формально уравнение (2.2) повремени, однако теперь мы не имеем права выносить опе-ратор Гамильтона из-под знака интеграла:

|Ψ(t)〉 = |Ψ(0)〉 − i

~

∫ t

t0

H|Ψ(t′)〉dt′. (5.1)

Подставим под интеграл формальное решение (5.1) и по-лучим вновь интегральное уравнение:

|Ψ(t)〉 = |Ψ(0)〉+(− i

~

)∫ t

t0

H(t′)|Ψ(0)〉dt′+

26

+

(− i

~

)2 ∫ t

t0

H(t′)dt′∫ t′

t0

H(t′′)|Ψ(t′′)〉dt′′. (5.2)

Продолжая эту процедуру бесконечно, получим ряд:

|Ψ(t)〉 =(1 +

(− i

~

)∫ t

t0

H(t′)dt′+

+

(− i

~

)2 ∫ t

t0

H(t′)dt′∫ t′

t0

H(t′′)dt′′ + . . .

)|Ψ(0)〉. (5.3)

Обозначим получившийся операторный ряд U(t, t0), тогдавыражение (5.3) можно записать в виде

|Ψ(t)〉 = U(t, t0)|Ψ(0)〉 ≡ U(t, t0)|Ψ(t0)〉. (5.4)

Здесь U(t, t0) – оператором эволюции для системы, котораяможет быть неконсервативной. Начальный момент време-ни не обязательно выбирается t0 = 0. В частности,

|Ψ(t)〉 = U(t,−∞)|Ψ(−∞)〉. (5.5)

Если H(t) не зависит от t (т.е. равен H0), ряд (5.3)можно формально свернуть, и мы получаем уже извест-ный результат для консервативной системы. По аналогиис этим принято записывать и общий ряд в виде экспонен-ты. Сделаем все верхние пределы интегрирования в ряде(5.3) одинаковыми. Поскольку при этом увеличивается об-ласть интегрирования, следует поделить каждое слагаемоена соответствующее число перестановок:

U(t, t0) =

(1 +

(− i

~

)∫ t

t0

H(t′)dt′ +

+1

2!

(− i

~

)2 ∫ t

t0

dt′∫ t

t0

dt′′H(t′)H(t′′)+

27

+1

3!

(− i

~

)3 t∫

t0

dt′t∫

t0

dt′′t∫

t0

dt′′′H(t′)H(t′′)H(t′′′) + . . .

=

=T exp

− i

~

t∫

t0

H(t′)dt′

.

Итак, динамическое поведение квантовой системы опреде-ляется оператором эволюции.

Упражнение

Показать, что оператор эволюции унитарен и для некон-сервативных систем.

Как хорошо известно из курса линейной алгебры, уни-тарные операторы определяют некоторые линейные уни-тарные преобразования. В частности, мы видели, что пе-реход от одного представления к другому также осуществ-ляется унитарными преобразованиями. Пусть в каком-либопредставлении |f〉 произвольное состояние Ψ(t) имеет вид

|Ψ(t)〉 =∑

af (t)|f〉.С другой стороны,

|Ψ(t)〉 =U(t, 0)|Ψ(0)〉 ==∑

af (0)U(t, 0)|f〉 =∑

af (0)|f(t)〉. (5.6)

Мы видим, что можно свести действие оператора эволю-ции к воздействию на базисные состояния представления.Но состояния |f(t)〉 отличаются от состояний |f〉, поэтомуполученное представление отличается от первоначального.В соответствии с этим различают два представления со-стояния: представление Шредингера, когда во времени из-

меняется состояние, но не изменяются базисные векто-

ра: состояние |Ψ(t)〉 определяется набором af (t). И соответ-ственно представление Гайзенберга, когда изменяются во

28

времени базисные вектора представления, но само состо-

яние остается неизменным: состояние |Ψ(t)〉 определяет-ся набором чисел af (0), которые от времени не зависят.Как помним из линейной алгебры, преобразование базис-ных векторов и преобразование вектора (физической систе-мы) взаимно обратны. Поэтому если мы определим пред-ставление Шредингера, как преобразование вектора состо-яния во времени с помощью оператора эволюции, то видвектора состояния в представлении Гайзенберга |ΨH(t)〉 по-лучается в результате обратного преобразования:

|ΨH(t)〉 =U+(t, 0)|Ψ(t)〉 ==U+(t, 0)U(t, 0)|Ψ(0)〉 = |Ψ(0)〉, (5.7)

т.е. действительно, вектор состояния квантовой системы впредставления Гайзенберга не зависит от времени.

При переходе от представления Шредингера к пред-ставлению Гайзенберга следует также проделать унитар-ное преобразование для всех операторов. Действительно,поскольку вид оператора определяется из условия соответ-ствия его среднего значения физической величине, имеем:

〈A〉 =〈Ψ(t)|A|Ψ(t)〉 ==〈Ψ(0)|U+(t, 0)AU(t, 0)|Ψ(0)〉 = 〈AH(t)〉. (5.8)

Здесь AH(t) = U+(t, 0)AU(t, 0) – оператор в представленииГайзенберга.

Как видим, в представлении Гайзенберга оператор обя-зательно зависит от времени, даже если в представленииШредингера он от времени не зависел. Таким образом, по-скольку в представлении Гайзенберга вектор состояния независит от времени, вся временная эволюция квантовой си-стемы переносится на операторы. Поэтому следует напи-

29

сать уравнение движения для операторов:

d

dtAH(t) = U+(t, 0)

(∂

∂tA

)U(t, 0)+

+

(∂

∂tU+(t, 0)

)AU(t, 0) + U+(t, 0)A

(∂

∂tU(t, 0)

). (5.9)

Легко видеть, что оператор эволюции подчиняется уравне-нию

i~∂

∂tU(t, 0) = HU(t, 0). (5.10)

Поэтому получаем уравнение Гайзенберга, определяющееизменение операторов во времени и "заменяющее"уравнениеШредингера для вектора состояния:

dAH(t)

dt=∂AH∂t

+i

~

[H, AH

]. (5.11)

Упражнения.

1. Найти в представлении Гайзенберга операторы коор-динаты и импульса свободной частицы.

2. Найти оператор спина электрона в однородном маг-нитном поле B в представлении Гайзенберга. Считать, чтодругих взаимодействий, изменяющих спиновое состояниеэлектрона нет.

1.6 Представление взаимодействия

Представление взаимодействия широко используется прирешении нестационарных задач теории возмущений, когдагамильтониан системы имеет вид

H = H0 + V (t) (6.1)

30

Очевидно, стационарня задача, когда возмущение от вре-мени не зависит V (t) = V (0) представляется частным слу-чаем. Однако надо помнить, что в нестационарном случаерассматриваются совсем другие задачи. В отсутствие зави-сящего от времени оператора V (t) уравнение Шредингерасводилось к стационарному, а временная зависимость век-тора состояния определялась с помощью "простого"оператораэволюции

U0(t) = exp

(− i

~H0t

). (6.2)

В случае, когда гамильтониан зависит от времени, те-ряет смысл говорить об уровнях энергии, поскольку энер-гия системы E не сохраняется. Поэтому в нестационарномслучае и задача формулируется об изменении состояний.Пусть возмущение мало, тогда видно, что в каждый мо-мент времени основное поведение системы определяетсяневозмущенным гамильтонианом H0, а V (t) слегка "под-правляет"изменение во времени Ψ(0)(t). Исходя из этих со-ображений будем искать точную волновую функцию Ψ(t)в виде

Ψ(t) = U0(t)ΨI(t), (6.3)

где ΨI(t) = ΨI(0), если V (t) = 0.Поскольку оператор эволюции подчиняется уравнению

i~∂

∂tU0(t, t0) = H0U0(t, t0) (6.4)

уравнение Шредингера принимает вид

i~∂U0∂tΨI(t)+i~U0

∂ΨI(t)

∂t= H0U0ΨI(t)+V (t)U0ΨI(t). (6.5)

В силу уравнения (6.4) остается только два слагаемых. Умно-жим получившееся уравнение слева на U+0 и получим

i~∂

∂tΨI(t) = U+0 V (t)U0ΨI(t) ≡ VI(t)ΨI(t). (6.6)

31

Это так называемое представление взаимодействия. Как иследовало ожидать, ΨI(t) изменяется только за счет возму-щения VI(t), но на "собственное"изменение оператора VI(t)"накладывается"эволюция невозмущенной системы:

VI(t) = U+0 (t)V (t)U0(t) = ei~−1H0tV (t)e−i~

−1H0t (6.7)

1.7 Представления основных операторов

Рассмотрим теперь некоторые основные физические вели-чины и соответствующие им операторы. Прежде всего за-метим, что состояние частицы (квантовой системы) в точкеr по определению задается вектором состояния |r〉, состоя-ние частицы с импульсом p –вектором |p〉.

Поскольку координата – физическая величина, соглас-но введеным определениям, ей соответствует оператор r,для которого вектора |r〉 – собственные вектора с соответ-ствующими собственными значениями:

r|r〉 = r|r〉. (7.1)

Здесь r - собственное значение оператора координаты, ионо соответствует тому, что частица находится в точке cкоординатами r.

Те же самые слова можно произнести и для импульсачастицы:

p|p〉 = p|p〉. (7.2)

Здесь p - собственное значение оператора импульса, и оносоответствует тому, что частица обладает импульсом p.

ОператорPr = |r〉〈r| (7.3)

проектирует любой вектор на базисный вектор состоянияс координатой r:

Pr|ψ〉 = |r〉〈r|ψ〉 = 〈r|ψ〉|r〉 (7.4)

32

Здесь проекция 〈r|ψ〉 показывает, как выглядит состoяние|ψ〉 в точке r. Но это не что иное как по определению вол-новая функция. Таким образом

ψ(r) = 〈r|ψ〉. (7.5)

Соответственно мы рассматриваем состояние в координат-ном представлении. Полное разложение вектора |ψ〉 пред-ставляется в виде интеграла

|ψ〉 =∫〈r|ψ〉|r〉dr. (7.6)

Пусть теперь |ψ〉 ≡ |p〉, тогда

Pr|p〉 = |r〉〈r|p〉 = 〈r|p〉|r〉. (7.7)

Но волновая функция 〈r|p〉 описывает состояние частицы сопределенным импульсом, т.е. свободную частицу, а потомуэто есть не что иное как волна де Бройля 3:

〈r|p〉 = ψp(r) = Aei~−1pr. (7.8)

Теперь мы понимаем, что волновая функция непрерывногоспектра должна быть нормирована на δ-функцию:

∫ψ∗p′(r)ψp(r)dr = |A|2

∫ei~

−1(p−p′)rdr =

= |A|2 (2π~)3 δ(p− p′). (7.9)

Таким образом

ψp(r) =1

(2π~)3/2ei~

−1pr. (7.10)

3Это утверждение будет доказано строго ниже, исходя из комму-тационных соотношений

33

Действие операторов на собственные вектора представ-ляется тривиальным: получаются собственные значения.Вся проблема состоит в том, чтобы определить, как дей-ствуют операторы на произвольные вектора состояний. Спер-ва определим, как действие операторов выглядит в соб-ственном базисе (в "собственной системе отсчета"), а за-тем увидим, как они выглядят в "несобственной системеотсчета". Подействуем сперва на произвольный вектор со-стояния оператором координаты r:

r|ψ〉 = |ϕ〉, (7.11)

где |ϕ〉 неизвестный пока вектор. В базисе собственных со-стояний оператора координаты вид "неизвестного"состоянияполучается разложением его по базису соcтояний |r〉. Про-екции этого разложения по определению дают значения (вид)состояния |ϕ〉 в точке с координатой r, т.е. волновую функ-цию. Имеем:

〈r|ϕ〉 = ϕ(r) = 〈r|r|ψ〉 = 〈r|r1r|ψ〉 = 〈r|r∫dr′|r′〉〈r′|ψ〉 =

=

∫dr′〈r|r|r′〉〈r′|ψ〉 =

∫dr′rδ(r− r′)ψ(r) = rψ(r). (7.12)

Как видим, действие оператора координаты на произволь-ное состояние в собственном представлении сводится к умно-жению состояния на значение координаты. Причем мы ви-дим, что при переходе от векторов состояний к волновымфункциям интегрирование по всем матричным элементами проекциям "уходит"и можно говорить о том, что опера-тор координаты есть простая операция умножения на самукоординату. Такое свойство связано с локальностью опе-ратора. Тем не менее, строго говоря, мы всегда должныпомнить, что оператор в каком-либо представлении естьвполне определенная матрица. Однако, как только что мы

34

видели, для волновых функций этот факт оказывается "спря-танным". Поэтому общепринято говорить, что действие опе-ратора координаты ( а соответственно и любой функции отоператора координаты ) на волновую функцию сводится кпростому умножению.

Упражнение

Используя свойство функции от оператора F (f)ψn =F (fn)ψn, если fψn = fnψn, показать, что

〈r|U(r)|r′〉 = U(r)δ(r− r′) (7.13)

ПримерОпределим оператор трансляции Ta на расстояние a его

действием на вектора состояний с определенной координа-той |r〉 следующим образом:

Ta|r〉 = |r+ a〉.

Посмотрим теперь, как действует этот оператор на произ-вольный вектор состояния |ψ〉. По определению

Ta|ψ〉 = |φ〉.

Теперь надо найти связь двух состояний |ψ〉 и |φ〉 в ко-ординатном представлении, т.е. волновых функций. Вновьбудем действовать по определению. Спроектируем полу-ченные состoяния на состояние |r〉:

〈r|Ta|ψ〉 = 〈r|φ〉 = φ(r).

Выражение слева "расщепим"единичным оператором 1r:

〈r|Ta1r|ψ〉 =∫dr′〈r|Ta|r′〉〈r′|ψ〉 =

∫dr′〈r|r′ + a〉ψ(r′) =

∫dr′δ(r− r′ − a)ψ(r′) = ψ(r− a).

35

Или окончательно в координатном представлении

Taψ(r) = ψ(r− a).

Заметим, что полученный результат отличается от "при-вычного". Все дело в том, что привычное определение опе-ратора трансляции его действием на волновую функциюобратно нашему определению. Как видно, мы здесь опреде-лили оператор трансляции его действием на базисные век-тора, что в линейной алгебре означает преобразование си-стемы координат. Определяя же оператор трансляции егодействием на волновую функцию, мы не изменяем базис-ные вектора, но смещаем саму физическую систему, что влинейной алгебре означает преобразование пространства.Как хорошо известно, это обратные друг по отношению кдругу преобразования. Такая ситуация часто встречаетсяне только в квантовой механике, но и вообще в физике, по-этому следует быть очень внимательным при выполнениикаких-либо преобразований. Ясно, что окончательный (фи-зический) результат не зависит от того, что преобразуется,но ни в коем случае нельзя смешивать различные преоб-

разования в одной задаче! Поэтому лучше всего придер-живаться всегда какого-либо одного типа преобразований:либо преобразовывать базисные вектора (систему коорди-нат, отсчета), либо преобразовывать физическую систему(пространство).

Упражнения

1. Найти эрмитовски сопряженный оператор трансля-ции T+a .

2. Найти вектор кет:

T+a |r〉.3. Найти бра-векторы:

〈r|Ta 〈r|T+a .

36

Подействуем теперь оператором импульса на произволь-ный вектор:

p|ψ〉 = |χ〉. (7.14)

В базисе собственных состояний |p〉 вид "неизвестного"состоянияполучается разложением его по данному базису. Проекцииэтого разложения по определению дают значения (вид) со-стояния |χ〉 в точке с импульсом p. Имеем:

〈p|χ〉 = χp = 〈p|p|ψ〉 = 〈p|p1p|ψ〉 = 〈p|p∑

p′

|p′〉〈p′|ψ〉 =

∑

p′

〈p|p|p′〉〈p′|ψ〉 =∑

p′

pδp,p′ψp′ = pψp. (7.15)

Таким образом, получаем, что, как и для оператора коор-динаты в координатном представлении, действие операто-ра импульса в собственном представлении сводится к про-стому умножению функции в импульсном представлениина значение импульса.

1.8 Матрица перехода, волновая функ-

ция свободной частицы.

Посмотрим теперь, какой вид имеет состояние |χ〉 в коор-динатном представлении. Для этого спроектируем его напроизвольный базисный вектор |r〉:

〈r|χ〉 = χ(r) = 〈r|p|ψ〉 = 〈r|p1r|ψ〉 = 〈r|p∫dr′|r′〉〈r′|ψ〉 =

=

∫dr′〈r|p|r′〉〈r′|ψ〉 =

∫dr′〈r|p|r′〉ψ(r). (8.1)

37

Как видим, для дальнейшего продвижения вперед следу-ет понять, что представляет собой матрица оператора им-пульса в координатном представлении 〈r|p|r′〉. Для отве-та на этот вопрос нужно воспользоваться уже известны-ми соотношениями, а именно: нам известен вид матрицыоператора импульса в собственном представлении и видсобственных состояний оператора импульса в координат-ном представлении. Поэтому "расщепим"матричный эле-мент оператора импульса в координатном представлениидвумя единичными операторами:

〈r|p|r′〉 = 〈r|1pp1p′ |r′〉 = 〈r|∫dp|p〉〈p|p

∫dp′|p′〉〈p′|r′〉 =

=

∫ ∫dpdp′〈r|p〉〈p|p|p′〉〈p′|r′〉. (8.2)

В последней формуле осталось неизвестным только вы-ражение 〈r|p〉, которое с формальной стороны есть мат-

рица перехода от координатного к импульсному представ-лению. С другой стороны, если рассматривать вектор |p〉как состояние системы с определенным импульсом, дан-ный матричный элемент есть не что иное, как волновая

функция частицы с определенным импульсом. но опреде-ленным импульсом обладает свободная частица, следова-тельно это – волновая функция свободной частицы. Можнопостулировать вид этой волновой функции, тем более, чтоисторически это и был один из первых постулатов кванто-вой механики: волна де-Бройля, однако мы останемся наболее общих позициях и останемся в рамках принятых по-стулатов, а именно: коммутационных соотношений (4.11),исходя из которых получим выражение для искомой мат-рицы перехода-плоской волны.

Решение задачи носит формальный характер и получа-ется с помощью некоторого искусственного приема. Введем

38

операторQ(a) = exp

(−i~−1ap

), (8.3)

где a – пока некоторый произвольный параметр.Вычислим коммутатор, используя соотношение (4.12):

[r, Q

]= i~

∂Q

∂p= aQ. (8.4)

Подействуем теперь на собственный вектор оператора ко-ординаты произведением операторов:

rQ|r0〉 =(Qr+ aQ

)|r0〉 = (r0 + a)Q|r0〉

Таким образом видим, что вектор Q|r0〉 есть собственныйвектор оператора координаты с собственным значением (r0+a). Из эрмитовости оператора координаты сразу вытека-ет требование действительности параметра a. Таким об-разом оператор (8.3) оказывается унитарным, а, следова-тельно, обратный совпадает с эрмитовски сопряженным.Никаких других ограничений на параметр a нет, поэтомуспектр оператора координаты оказывается непрерывным инеограниченным. Соответственно получаем:

〈r0 + a|r0 + a〉 = 〈r0|Q+Q|r0〉 = 〈r0|r0〉. (8.5)

Собственные векторы с непрерывным спектром нормиро-ваны на δ-функцию, а из последнего соотношения видно,что нормировка не зависит от собственного значения опе-ратора координаты.

Выберем в качестве параметра какое-либо собственноезначение оператора координаты (радиус-вектор) и подей-ствуем оператором (8.3) на собственный вектор операторакоординаты с собственным значением, равным нулю:

Q(r)|0〉r = exp(−i~−1rp

)|0〉r = |r〉. (8.6)

39

Таким образом любой собственный вектор оператора коор-динаты может быть получен действием оператора сдвига(8.3) на “основной” собственный вектор оператора коорди-наты.

Упражнение.

Чему равен оператор Q+(a)rQ(a)?

Проделаем теперь аналогичные выкладки для собствен-ных векторов оператора импульса. Введем оператор сдвигав импульсном пространстве:

P (k) = exp(i~−1kr

). (8.7)

Легко показать, что[p, P (k

]= kP (k

и, соответственно,

P (k)|p0〉 = |k+ p0〉. (8.8)

Как и для собственных векторов оператора координаты,любой собственный вектор оператора импульса (состояниес определенным импульсом) можно получить, подейство-вав оператором сдвига (8.7) на “основной” собственный век-тор оператора импульса:

P (p)|0〉p = |p〉. (8.9)

Теперь мы готовы вычислить матричный элемент иско-мой матрицы перехода:

〈r|p〉 = 〈r|e(i~−1pr)|0〉p.

Далее вспомним, что если f |f〉 = f |f〉, то F (f)|f〉 = F (f)|f〉,поэтому

〈r|e(i~−1pr) = e(i~−1pr)〈r|.

40

Таким образом получаем:

〈r|p〉 = e(i~−1pr)〈r|0〉p.Выразим в полученной формуле вектор бра через “основ-ной” и получим

〈r|p〉 = e(i~−1pr)r〈0|e(i~

−1rp)|0〉p = e(i~−1pr)

r〈0|0〉p. (8.10)

Осталось найти константу r〈0|0〉p. Для этого воспользуем-ся условием нормировки и полноты системы собственныхвекторов:

δ(p− p′) = 〈p|p′〉 =∫dr〈p|r〉〈r|p′〉.

Подставляя полученное выражение для матрицы перехода(8.10), получаем:

|r〈0|0〉p|2∫dre(i~

−1(p′−p)r) = δ(p− p′).

Подставляя известное значение интеграла, получаем иско-мый нормировочный множитель:

|r〈0|0〉p|2 = (2π~)−3. (8.11)

Теперь можем записать окончательное выражение для мат-рицы перехода или нормированной на δ-функцию волно-вую функцию свободной частицы:

〈r|p〉 = ψp(r) =1

(2π~)3/2ei~

−1pr. (8.12)

Подставим теперь в формулу (8.5) полученное выражениедля матрицы перехода (8.12). Поскольку матрица операто-ра импульса в собственном представлении есть δ-функция,один интеграл по p′ сразу "снимается"и получаем:

〈r|p|r′〉 = 1

(2π~)3

∫dppei~

−1p(r′−r) =

41

= i~∂

∂r′

(1

(2π~)3

∫dpei~

−1p(r′−r)

)= i~

∂

∂r′δ(r− r′). (8.13)

Итак, матрица оператора импульса в координатном пред-ставлении есть производная от δ-функции.

Упражнение

Показать, что

〈p|r|p′〉 = −i~ ∂

∂p′δ(p− p′). (8.14)

Теперь можно вернуться к определению вида неизвест-ной функции χ(r). Подставляя формулу (3.12) в подынте-гральное выражение (3.17), получаем

χ(r) =

∫dr′(i~

∂

∂r′δ(r− r′)

)ψ(r′) = −i~ ∂

∂rψ(r). (8.15)

Таким образом действие оператора импульса на волновуюфункцию сводится к ее дифференцированию.

Упражнение

Показать, что

〈r|p2|r′〉 = −~2 ∂

2

∂r′2δ(r− r′). (8.16)

Запишем теперь уравнение Шредингера в координат-ном представлении. Для этого спроектируем уравнение (2.2)на произвольный базисный вектор оператора координаты.Получаем

i~∂

∂t〈r|Ψ〉 = 〈r|H|Ψ〉. (8.17)

42

Оператор, стоящий справа, следует преобразовать по ужезнакомой схеме. "Расщепим"его единичным оператором

〈r|H|Ψ〉=〈r|H 1r|Ψ〉=∫dr′〈r|H|r′〉〈r′|Ψ〉=

∫dr′H(r, r′)Ψ(r′).

Как и следовало ожидать, уравнение формально имеет ин-тегральный вид, однако подставляя результаты, получен-ные в упражнениях, легко видеть, что уравнение Шредин-гера в координатном представлении имеет "привычный"дифференциальный вид

i~∂

∂tΨ(r, t) = − ~

2

2m∆Ψ(r, t) + U(r)Ψ(r, t). (8.18)

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера в импульс-ном представлении. Как мы видели только что, необходимопросто получить вид стационарного уравнения Шрединге-ра, поскольку оператор дифференцирования по времениникаких проблем не вызывает. Итак, по известной схемепроводим преобразования:

〈p|H|Ψ〉 = 〈p|H 1p|Ψ〉 =∫dp′〈p|H|p′〉〈p′|Ψ〉 =

=

∫dp′

(〈p|T |p′〉+ 〈p|U |p′〉

)Ψ′p.

С оператором кинетической энергии разобраться также просто, как и с оператором потенциальной в коорди-натном представлении:

∫dp′〈p|T |p′〉Ψ′p =

∫dp′

p′2

2mδ(p− p′)Ψ′p =

p2

2mΨp. (8.19)

Немного сложнее обстоит дело с оператором потенциаль-ной энергии, поскольку матричный элемент 〈p|U(r)|p′〉 нам

43

пока неизвестен. Вновь поступим в соответствии со знако-мой схемой: "расщепим"его единичными операторами

〈p|U(r)|p′〉=〈p|1rU(r)1r′ |p′〉=∫ ∫

drdr′〈p|r〉〈r|U(r)|r′〉〈r′|p′〉.

Вновь появился знакомый матричный элемент операторапотенциальной энергии в координатном представлении исоответствующие волновые функции. После одного инте-грирования по координате r′ получаем

〈p|U(r)|p′〉 =∫dr

1

(2π~)3e−i~

−1(p−p′)rU(r) =

=1

(2π~)3Up−p′ . (8.20)

Итак, матричный элемент оператора потенциальной энер-гии в импульсном представлении есть образ Фурье. Урав-нение Шредингера становится интегральным. Сделаем за-мену переменной: p− p′ = q, тогда p′ = p− q и dp′ = dq.Получаем

p2

2mΨp +

∫dq

(2π~)3UqΨp−q = EΨp. (8.21)

Как видно из структуры уравнения, в потенциале части-ца получает или передает импульс, но так, чтобы полныйимпульс сохранился.

ПримерНайти уровень энергии и волновую функцию связанно-

го состояния частицы в поле одномерной δ-ямы:

V (x) = −~2

mκ0δ(x)

44

Решим задачу в p-представлении. Для этого прежде всегозаметим, что образ Фурье от потенциала есть просто const:

Vq =

∫e−iqx/~V (x)dx = −~

2

mκ0.

Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном пред-ставлении принимает простой вид

p2

2mψp −

~κ0

2πm

+∞∫

−∞

dqψp−q = Eψp.

Обозначим+∞∫

−∞

dqψp−q =

+∞∫

−∞

dpψp = C.

Поскольку E < 0, получаем выражение для функции

ψp =~κ0C

2πm(p2/2m+ |E|) .

Согласно определению константы C, получаем уравнение,из которого находится уровень энергии:

C =

+∞∫

−∞

~κ0C

2πm(p2/2m+ |E|)dp.

Вводя безразмерную переменную p/√2m|E| = z, получаем

~κ0

π√2m|E|

+∞∫

−∞

dz

z2 + 1= 1.

Поскольку интеграл равен π, получаем уровень энергии:

E = −~2κ20

2m.

45

Волновая функция равна

ψp =~κ0C

π(p2 + ~2κ20).

Неизвестная константа C определяется из условий норми-ровки:

+∞∫

−∞

|ψp|2dp = 1, или |C|−2 =(

~κ

π

)2 +∞∫

−∞

dp

(p2 + ~2κ20)2.

Интеграл легко вычисляется с помощью методов ТФКП:следует взять вычет в полюсе второго порядка, напримерв верхней полуплоскости в точке z = i~κ0, после чего полу-чаем C =

√2π~κ0, и, соответственно, нормированная вол-

новая функция в p-представлении имеет вид

ψp =

√2

π~κ0· 1

p2/~2κ20 + 1.

1.9 Уравнение Шредингера в произволь-

ном представлении

Мы получили вид основных операторов в координатном(x-представлении) и в импульсном (p-представлении). Ис-пользуя стандартную схему, нетрудно получить и другиерезультаты, позволяющиe связать общий подход дираков-ского формализма с представлениями волновой функции.

Изложенное выше можно применить для произвольно-го представления. Пусть есть некоторый базис |fn〉, ска-жем, набор собственных векторов эрмитова оператора (опе-ратора какой-либо физической величины) f :

f |fn〉 = fn|fn〉. (9.1)

46

Пусть нужно решить стационарное уравнение Шредингера

H|ψ〉 = E|ψ〉,

тогда вектор состояния |ψ〉 в представлении собственныхсостояний оператора f имеет вид

|ψ〉 =∑

an|fn〉, где an = 〈fn|ψ〉. (9.2)

Запишем стационарное уравнение Шредингера в “f -пред-стaвлении”. Для этого спроектируем его на произвольныйвектор базиса |fn〉 так же, как мы это делали для p- илиx-представлений:

〈fn|H|ψ〉 = E〈fn|ψ〉 = anE. (9.3)

В уравнении (9.3) “расщепим” матричный элемент единич-ным оператором

〈fn|H 1n|ψ〉 =∑

n′

〈fn|H|fn′〉〈fn′ |ψ〉 =∑

n′

Hnn′an′ .

Подставляя результат в уравнение (9.3), получаем одно-родную систему алгебраических уравнений относительно“переменных"an:

∑

n′

(Hnn′ − Eδn,n′

)an′ = 0, (9.4)

которое имеет нетривиальное решение, если

det(Hnn′ − Eδn,n′

)= 0. (9.5)

Уравнение (9.5), как хорошо известно, называется секу-лярным. Собственные значения матрицы Hnn′ определя-ют энергетический спектр, а коэффициенты an определяютнужные суперпозиции для собственных состояний гамиль-тониана. Эта схема очень полезна для численных расчетов.

47

Рассмотрим теперь, как осуществляется формальныйпереход от одного представления к другому. Иными сло-вами, если заданы состояние |ψ〉 и оператор F в представ-лении состояний |fn〉 (в f -представлении), какой вид ониимеют в представлении состояний |gα〉 (g-представлении)?Вновь сделаем стандартное преобразование:

〈fn|F |fn′〉 = F fnn′ =∑

α,alpha′

〈fn|gα〉〈gα|F |gα′〉〈gα′ |fn′〉. (9.6)

С другой стороны очевидно, что

|fn〉 =∑

α

〈gα|fn〉.|gα〉 =∑

α

Sαn|gα〉, (9.7)

где Sαn – матрица перехода от одного базиса к другому.Тогда уравнение (7.16) перепишется в виде

F fnn′ =∑

α,alpha′

S−1nαFgαα′Sα′n, (9.8)

гдеF gαα′ = 〈gα|F |gα′〉 − (9.9)

– g-представление оператора F .Иными словами:

F (f) = S−1(f ← g)F (g)S(f ← g). (9.10)

Очевидно, S –унитарная матрица.

48

Глава 2

Гармоническийосциллятор

2.1 Гамильтониан

Эта система хорошо всем известна из классической меха-ники: частица движется под действием гармонической си-лы F = −kr. Поскольку F = −∇U(r), в этом случае по-тенциальная энергия есть U(r) = kr2/2. Это изотропныйгармонический осциллятор. Нам нужно определить спектри состояния осциллятора, а для этого необходимо решитьстационарное уравнение Шредингера:

(p2

2m+ U(r)

)ψ(r) = Eψ(r). (1.1)

Видно, что в данной задаче разделяются переменные, по-скольку(1

2m(p2x + p2y + p2z) +

1

2k(x2 + y2 + z2)

)ψ(r) =Eψ(r). (1.2)

Будем искать решение в виде произведения ψ(r) = ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z),тогда задача (1.1) распадается на три совершенно одина-

49

ковых одномерных задачи(p2α2m

+1

2kx2α

)ψα(xα) = Eαψα(xα); E =

∑

α

Eα. (1.3)

Таким образом задача свелась к решению одномерного урав-нения Шредингера, которое в координатном представле-нии имеет вид:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2+kx2

2ψ(x) = Eψ(x). (1.4)

Прежде чем приступить к решению уравнения, вспомнимосновные свойства решения одномерного уравнения Шре-дингера.

1. Поскольку U(x)|x→∞ → ∞, движение финитно (су-ществуют только связанные состояния);

2. cпектр только дискретный и

3. при этом невырожден.

2.2 Операторы a и a+

Как хорошо известно, классический осциллятор колеблет-ся с частотой ω =

√k/m, при этом потенциальная энергия

равна U(x) = mω2x2/2. Уравнение удобно решать, введябезразмерные (“осцилляторные") единицы. Начнем с энер-гии. Поскольку ~ω имеет размерность энергии, тогда еди-ница энергии

E0 = ~ω, соответственно E = E0ε. (2.1)

Далее обезразмерим уравнение (1.4) на единицу энергии:(

p2

2m~ω+mω2

2~x2)ψ = εψ. (2.2)

50

Таким образом получаем единицы длины и импульса

x0 =

√~

mω, p0 =

√~ωm. (2.3)

Соответственно

x = x0Q, p = p0P.

Гамильтониан осциллятора принимает вид

H =1

2

(P 2 + Q2

). (2.4)

Вычислим коммутатор безразмерных операторов Q и P :

[P , Q

]=

1

p0x0[x, p] = −i. (2.5)

Гамильтониан (2.4) есть квадратичная форма, которую удоб-но факторизовать линейным преобразованием. Для про-стых чисел факторизация элементарна, если ввести ком-плексные линейные комбинации, например, a2 + b2 = (a +ib)(a − ib). Для операторов можно проделать аналогичноелинейное преобразование, но при этом надо помнить, что,в отличие от чисел, операторы некоммутативны. Введемнеэрмитовы операторы

a =1√2

(Q+ iP

), и a+ ≡ (a)+ = 1√

2

(Q− iP

). (2.6)

Соответственно, обратное преобразование есть:

Q =1√2(a+ a+), P =

1

i√2(a− a+). (2.7)

Подставим это линейное преобразование в квадратичнуюформу:

P 2 + Q2 = aa+ + a+a. (2.8)

51

Вычислим коммутационное соотношение для операторов aи a+:

[a, a+] =1

2

[(Q+iP

),(Q− iP

)]=i

2

([P , Q

]−[Q, P

]). (2.9)

С учетом коммутатора (2.9) гамильтониан (2.4) принимаетвид:

H = ~ω

(a+a+

1

2

). (2.10)

2.3 Спектр и состояния осциллятора. Энер-

гетическое представление

Итак, нам нужно решить стационарное уравнение Шредин-гера, т.е. найти спектр и собственные состояния гамиль-тониана (2.10). Решим эту задачу, используя дираковскийформализм в энергетическом представлении:

H|ν〉 = Eν |ν〉, (3.1)

где Eν собственные значения состояний |ν〉. Значение энер-гии в собственном состоянии есть просто среднее значениегамильтониана (2.10):

Eν = 〈ν|H|ν〉 = ~ω

(〈ν|a+a|ν〉+ 1

2

). (3.2)

Очевидно 〈ν|a+a|ν〉 = ||a|ν〉||2 = ν ≥ 0. 1 Итак, спектросциллятора имеет вид

Eν = ~ω

(ν +

1

2

). (3.3)

Осталось только определить, какие значения может прини-мать неотрицательное число ν. Для этого воспользуемся

1Напомним, что (f |ψ〉)+ = 〈ψ|f+.

52

коммутационными соотношениями (2.9), тем самым пока-жем, какую важную роль играют коммутационные соотно-шения для операторов в квантовой механике. Ответим навопрос, как действуют операторы a и a+ на собственные со-стояния гамильтониана? Для этого достаточно вычислитькоммутатор

[a, a+a] = [a, a+]a+ a+[a, a] = a. (3.4)

Совершенно аналогично получаем

[a+, a+a] = −a+. (3.5)

Итак, нам нужно определить вектор a|ν〉 = |φ〉. Посколькусостояния |ν〉 составляют базис, очевидно можно записать

|φ〉 =∑

ν

αν |ν〉. (3.6)

Подействуем на него оператором ν = a+a :

ν|φ〉 = νa|ν〉 = (aν−a|ν〉 = a(ν−1)|ν〉 = (ν−1)a|ν〉 = (ν−1)|φ〉,

Итак, в сумме (3.6) осталось только одно слагаемое:

|φ〉 = αν−1|ν − 1〉, или a|ν〉 = αν−1|ν − 1〉. (3.7)

Таким образом оператор a уменьшает квантовое число νна единицу, это понижающий оператор.

Совершенно аналогично имеем

a+|ν〉 = αν+1|ν + 1〉. (3.8)

Подействовав n раз оператором a на состояние |ν〉, получимсостояние |ν − n〉. Поскольку спектр гамильтониана (2.10)дискретен и невырожден, а также E > 0, получаем, что

53

должно существовать минимальное число ν0 ≥ 0, соответ-ствующее минимальному значению энергии E0. Посколь-ку это минимальное число соответствует низшему уровнюэнергии, должно обязательно выполняться условие

a|ν0〉 = 0 и, соответственно 〈ν0|a+ = 0. (3.9)

Тогда получаем

〈ν0|a+a|ν0〉 = ν0 = 0. (3.10)

Согласно соотношениям (3.7) получаем, что квантовые чис-ла ν должны быть целыми и неотрицательными: ν = n и

H|n〉 = En|n〉, En = ~ω

(n+

1

2

), n = 0, 1, 2, . . . . (3.11)

Итак, соотношения (3.11) есть решение задачи в энергети-ческом представлении.

Найдем теперь коэффициенты в соотношениях (3.7).Поскольку

a|n〉 = αn−1|n− 1〉 → |αn−1|2 = n, и αn−1 = eiϕ√n.

Выберем фазу ϕ = 0, чтобы коэффициенты были действи-тельными, тогда

a|n〉 = √n|n− 1〉. (3.12)

Коэффициенты αn определяются следующим образом:

a+a|n〉 = √na+|n− 1〉 = √nαn−1|n〉 = n|n〉.

Таким образом αn−1 =√n или

a+|n〉 =√n+ 1|n+ 1〉. (3.13)

54

Состояние |ν = 0〉 ≡ |0〉 для осциллятора основное.Согласно соотношению (3.13) с его помощью можно опре-делить любое возбужденное состояние осциллятора. Дей-ствительно,

a+|0〉 = |1〉,

a+|1〉 =√2|2〉, |2〉 = 1√

2a+|1〉 = (a+)2√

2|0〉,

a+|2〉 =√3|3〉, |3〉 = 1√

3a+|2〉 = (a

+)3√3!|0〉, . . .(3.14)

Таким образом получаем простое соотношение:

|n〉 = (a+)n√n!|0〉. (3.15)

2.4 Волновые функции

Найдем теперь волновые функции состояний осциллятора,т.е. получим решение задачи в координатном представле-нии: ψn(x) = 〈x|n〉. Перейдем к координатному представ-лению в условии

a|0〉 = 0→ 〈x|a|0〉 = 0.

Для этого воспользуемся стандартной процедурой теориипредставлений:

〈x|a∫dx′|x′〉〈x′|0〉 =

∫dx′

1√2

(〈x|x|x′〉+ i〈x|p|x′〉

)ψ0(x

′) = 0.

Удобнее сперва решить задачу в безразмерных единицах.Как помним из предыдущих лекций, операторы координа-ты и импульса в координатном представлении локальны,

55

поэтому интегральное уравнение преобразуется к диффе-ренциальному:

(Q+ i(−i d

dQ

)ψ(Q) = 0. (4.1)

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого по-рядка (4.1) легко решается: получается гауссова экспонен-та. Нормированная волновая функция равна:

ψ0(Q) =1

π1/4e−

1

2Q2

. (4.2)

В размерных единицах:

ψ0(x) =1

π1/4√x0e− x2

2x20 =

(mωπ~

)1/4e−

mωx2

2~ . (4.3)

Зная основное состояние, легко построить любое возбуж-денное:

ψn(x) = 〈x∣∣∣∣(a+)n√n!

∣∣∣∣x〉.

В безразмерных единицах получаем:

ψn(Q) =1

2n/2√n!

(Q− d

dQ

)ne−Q

2/2. (4.4)

Сooтветственно, в размерных единицах

ψn(x) =

=1√n!

(mωπ~

)1/4(mω2~

)n/2(x− ~

mω

d

dx

)nexp

(−mωx

2

2~

). (4.5)

Как хорошо известно, в результате выполнения дифферен-цирования появляется предэкспоненциальный многочленn-й степени – полином Эрмита Hn(Q), для которого гаус-сова экспонента exp(−Q2/2) есть производящая функция.

56

Совершенно аналогично определяется вид волновой функ-ции осциллятора в импульсном представлении 〈p|n〉 = an(p).Опять сперва определим вид волновой функции основногосостояния:

〈p|0〉 = 〈p|a∫dp′|p′〉a0(p′) = 0. (4.6)

В p-представлении в безразмерных переменных получаетсятакое же дифференциальное уравнение(id

dP+ iP

)a0(P ) = 0, и a0(P ) =

1

π1/4e−P

2/2. (4.7)

В размерных единицах легко получаем

a0(p) =1

(πm~ω)1/4e−p

2/2m~ω.

Результат, впрочем, вполне очевиден, если вспомнить, чтообраз Фурье от гауссовой экспоненты также есть гауссоваэкспонента.

Посмотрим теперь, как выглядит соотношение неопре-деленностей для координаты и импульса в произвольномсостоянии осциллятора. Поскольку

〈m|a|n〉 = √nδm,n−1, 〈m|a+|n〉 =√n+ 1δm,n+1, (4.8)

легко получить

〈m|x|n〉 = x0√2

(√nδm,n−1 +

√n+ 1δm,n+1

)(4.9)

и аналогичное выражение для оператора импульса.Таким образом видим, что 〈n|x2k+1|n〉 = 0, но 〈n|x2k|n〉 6=

0. Иными словами, средние значения координат и импуль-са в любом состоянии осциллятора равны нулю. Поэто-му определение дисперсии сводится к вычислению сред-них значений от квадратов этих операторов: ∆x2 = x2 и

57

∆p2 = p2. Получаем:

〈n|x2|n〉 = x202〈n|((a+)2 + a+a+ aa+ + a2

)|n〉 = x20

(n+

1

2

).

Совершенно аналогично имеем:

〈n|p2|n〉 = p20

(n+

1

2

).

Таким образом соотношение неопределенностей принимаетвид:

〈(∆x)2〉〈(∆p)2〉 ≡ 〈x2〉〈p2〉 = ~2

(n+

1

2

). (4.10)

Как видно из формулы (4.10), в основном состоянии до-стигается минимум соотношения неопределенностей. Ины-ми словами, основное состояние осциллятора представляетсобой наиболее классичную систему.

2.5 Когерентные состояния осциллято-

ра

Мы видели, что оператор a неэрмитов, однако ни что немешает нам рассмотреть формально задачу на собственныезначения и состояния этого оператора:

a|α〉 = α|α〉. (5.1)

Здесь α – любое, в общем случае комплексное, число.Решим сразу эту задачу в координатном представле-

нии. Используем для простоты безразмерные переменные

〈Q|a|α〉 = α〈Q|α〉, (5.2)

58

или1√2

(Q+

d

dQ

)ψα(Q) = αψα(Q). (5.3)

Уравнение практически ничем не отличается от уравнения(4.1), поэтому сразу получаем (нормированное) решение

ψα(Q) =1

π1/4eα

2−(<α)2e−1

2(Q−

√2α)2 . (5.4)

Как видим, это основное состояние осциллятора, у которо-го “положение равновесия"(среднее значение координатыx) сдвинуто на

√2α. Поэтому в этом состоянии миними-

зируется соотношение неопределенностей. Состояние (5.4)называется когерентным. Рассмотрим некоторые его заме-чательные свойства.

Разложим “неизвестное"состояние |α〉 по известным ба-зисным состояниям гармонического осциллятора

|α〉 =∑

n

Cα,n|n〉. (5.5)

Подействуем на разложение (5.5) оператором a :

a|α〉 = α∑

n

Cα,n|n〉 =∑

n

Cα,na|n〉 =∑

n

Cα,n√n|n− 1〉.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

Cα,n =α√nCα,n−1, или Cα,n =

αn√n!Cα,0.

Таким образом разложение (5.5) принимает вид

|α〉 = Cα,0∑

n

αn√n!|n〉.

Отнормируем полученное выражение:

1 = 〈α|α〉 = |Cα,0|2∑

n

|α|2nn!

= |Cα,0|2 e|α|2

.

59

Таким образом нормированное разложение (5.5) для коге-рентного состояния принимает вид

|α〉 = e− 1

2|α|2 ∑

n

αn√n!|n〉. (5.6)

Согласно принципу суперпозиции квадраты модулей коэф-фициентов в разложении (5.6) определяют вероятности об-наружить n-е возбужденное состояние осциллятора с энер-гией En = ~ω(n+ 1/2). Видно, что вероятности обнаруже-ния соответствующего состояния осциллятора определяют-ся распределением Пуассона:

wn = |Cα,n|2 =(|α|2

)n

n!e−|α|

2

. (5.7)

Согласно свойствам распределения Пуассона среднее зна-чение возбужденного n-го уровня (или энергии) определя-ется как

n = |α|2. (5.8)

Система когерентных состояний |α〉 неортогoнальна, но пол-на. Действительно,

〈α′|α〉 = e−(1/2)(|α′|2+|α|2)∑

n′,n

αn(α′∗)n√n′!n!

〈n′|n〉 =

= e−(1/2)(|α′|2+|α|2)

∞∑

n

(αα′∗)n

n!= e−(1/2)(|α|

2−2α′∗α+|α|2) =

= e−(1/2)|α−α′|2 .

Проверим теперь свойство полноты системы состояний. Па-раметр-переменная α = <α + i=α принимает все возмож-ные значения в комплексной плоскости, поэтому условиеполноты выглядит как

∫d2α

π|α〉〈α| = 1. (5.9)

60

Действительно, убедимся, что оператор (5.9) единичный.Проделаем стандартные выкладки из теории представле-ний:

〈m|n〉 = δmn = 〈m|∫d2α

π|α〉〈α||n〉 =

∫d2α

π〈m|α〉〈α|n〉.

Далее воспользуемся выражением (5.6) и подставим его вподынтегральное выражение:

〈m|n〉 =∫αm(α∗)n√m!√n!e−|α|

2 d2α

π.

Сделаем в комплексной плоскости стандартную замену пе-ременных:

α = |α|eiϕ; |α|2 = y; d2α = |α|d|α|dϕ = 1

2dydϕ.

Продолжая выкладки, получаем:

1

2π√m!√n!

∫ ∞

0y(m+n)/2e−ydy

∫ 2π

0ei(m−n)ϕdϕ =

=δmnn!

∫ ∞

0yne−ydy = δmn.

Таким образом показали, что неортогональная система ко-герентных состояний полна.

Когерентные состояния широко используются для опи-сания свободного электромагнитного поля в квантовой ме-ханике, однако убедиться в этом мы сможем после того, какувидим, как описывается квантованное электромагнитноеполе.

61

Глава 3

Матрица плотности

3.1 Определение матрицы плотности

Вернемся к формуле (1.7) главы 1, определяющей среднеезначение оператора, но перепишем ее в дираковских обо-значениях, полагая, что можно выбрать какой-либо дис-кретный базис |n〉 :

f=∑

n,n′

〈n′|c∗n′ f cn|n〉 =∑

n,n′

c∗n′cn〈n′|f |n〉 =∑

n,n′

fn′nc∗n′cn. (1.1)

В формуле (1.1) произведение коэффициентов разложения(параметров, определяющих состояние в данном базисе)можно рассматривать как матрицу. Обозначим ее так:

ρnn′ = cnc∗n′ , (1.2)

тогда определение (1.1) перепишется в виде следа произве-дения матриц оператора и вновь введенной (1.2):

f =∑

n,n′

fn′nρnn′ ≡∑

n,n′

ρnn′fn′n = Trf ρc, (1.3)

62

где введен новый оператор:

ρc : ρnn′ = 〈n|ρ|n′〉. (1.4)

Вспомним, что произведение векторов состояния в “обрат-ном” порядке (вектор кет слева от вектора бра), представ-ляет собой оператор, и перепишем определение оператораρc в другом виде:

ρc =∑

n,n′

cnc∗n′ |n〉〈n′| =

∑

n

cn|n〉∑

n′

c∗n′〈n′| = |Ψ〉〈Ψ|. (1.5)

Действительно, для так введенного оператора получаем:

〈n|ρc|n′〉 =∑

k,k′

ckc∗k′〈n′|k〉〈k′|n〉 =

∑

k,k′

ckc∗k′δn′,kδk′,n = cnc

∗n′ .

Заметим, что выполняется условие нормировки состоя-ния: ∑

n

|cn|2 = 1.

Введенная нами матрица ρc эрмитова, действительно:

ρ+c =∑

n,n′

(cnc∗n′)∗(|n〉〈n′|)+ =

∑

n,n′

c∗ncn′ |n′〉〈n| = ρc. (1.6)

Видно, что след матрицы оператора ρc равен единице:

Trρc =∑

n

cnc∗n|n〉〈n| =

∑

n

|cn|2〈n|n〉 =∑

n

|cn|2 = 1, (1.7)

соответственно, диагональные матричные элементы опре-деляют вероятности обнаружения системы в данном соб-ственном состоянии.

Если квантовая система может быть описана векторомсостояния |Ψ〉, говорят, что она находится в чистом состо-

янии. Для замкнутых систем такая ситуация имеет место

63

всегда по определению. Введенная выше матрица (1.2) на-зывается матрицей плотности чистого состояния, а опе-ратор (1.4), соответственно оператором плотности или ста-

тистическим оператором, который удовлетворяет усло-вию чистого состояния:

ρ2c = (|Ψ〉〈Ψ|)2 = |Ψ〉 (〈Ψ||Ψ〉) 〈Ψ| = |Ψ〉〈Ψ| = ρc. (1.8)

Вообще говоря, для чистого состояния введение матри-цы плотности совершенно не обязательно, поскольку при-водит к переписыванию привычных выражений в другомвиде. Однако ситуация радикально изменяется, если мырассматриваем незамкнутую систему или статистиче-

ский ансамбль одинаковых систем. В этом случае систему(ансамбль) уже нельзя описать вектором состояния. Пред-ставим себе ансамбль совершенно одинаковых замкнутыхсистем. Мы понимаем, что состояние каждой системы опре-деляется вектором состояния |Ψ〉. В собственных состояни-ях этой системы определен полный набор квантовых чи-сел, однако само состояние может быть и несобственным,а некоторой суперпозицией:

|Ψ〉 =∑

n

cn|n〉, (1.9)

где n обозначает полный набор величин, определяющихсобственное состояние системы. Иными словами, в данномсостоянии |Ψ〉, вообще говоря значения физических вели-чин не определены, а получаются в результате измерений сопределенными вероятностями |cn|2. Соответственно, каж-дая система в рассматриваемом ансамбле одинаковых си-стем тоже может находиться в своем состоянии |Ψa〉 с неко-торой вероятностью wa, уже не имеющей отношения к чи-сто квантовым свойствам системы, а определяемой спосо-

бом создания (приготовления) данной системы в ансамбле.

64

Если мы теперь зададимся вопросом: чему равно среднеезначение данной физической величины по ансамблю?, мыдолжны будем усреднить выражение (1.1) по всему ан-самблю, т.е. просуммировать средние значения данной ве-личины в каждой системе ансамбля с вероятностью суще-ствования системы в данном состоянии в ансамбле:

fans =∑

a

wafa =∑

a

wa〈Ψa|f |Ψa〉,∑

a

wa = 1. (1.10)

Подставим в определение (1.10) разложение вектора |Ψ〉 пособственным состояниям (1.9):

fans =∑

a

wa∑

na,n′a

c∗n′acna〈n′a|f |na〉. (1.11)

Поскольку все системы ансамбля совершенно одинаковы,это означает, что

〈n′a|f |na〉 = 〈n′a′ |f |na′〉 = 〈n′|f |n〉 = fn′n.

Следовательно матричный элемент оператора не зависитот суммирования по системам ансамбля, но зависит толькоот состояния, в котором находится данная система, и егоможно вынести из-под знака суммирования по ансамблю:

fans=∑

n,n′

〈n′|f |n〉∑

a

wac∗n′acna=

∑

n′,n

fn′nρnn′=Tr(f ρ). (1.12)

Здесь введено обозначения для матрицы плотности ансам-бля систем (подсистем):

ρnn′ =∑

a

wac∗n′acna , (1.13)

Соответственно,

ρ =∑

n,n′

∑

a

wac∗n′acna |n〉〈n′|.

65

Вычислим, как и в случае чистого состояния, след матрицы(1.13):

Trρ =∑

n

ρnn =∑

a

wa∑

n

|cna|2 =∑

a

wa = 1. (1.14)

Здесь мы учли условие нормировки состояния каждой си-стемы в ансамбле и вновь получили условие (1.7).

Вычислим теперь квадрат матрицы (1.13):

ρ2 =∑

a,a′

∑

na,n′a

∑

ma′ ,m′

a′

wawa′c∗n′acnac

∗m′

a′cma′|na〉〈n′a||ma′〉〈m′a′ |.

Поскольку состояния в различных системах ансамбля ор-тогональны 〈n′a|ma′〉 = δn′mδaa′ , получаем

ρ2 =∑

a

w2a∑

na,ma,m′

a

c∗macnac

∗m′

acma |n〉〈m′| =

=∑

a

w2a∑

na,m′

a

cnac∗m′

a|n〉〈m′|

∑

m

|cma |2 =

=∑

a

w2a∑

na,m′

a

c∗m′

acna |n〉〈m′| 6= ρ.

Возьмем теперь след от квадрата матрицы плотности:

Trρ2 =∑

a

w2a∑

na

|cna |2 =∑

a

w2a ≤ 1 (1.15)

Как видим, при определении различных физических ве-личин ансамбль систем можно теперь рассматривать какодну систему находящуюся в некотором состоянии, кото-рое, однако нельзя выразить в виде суперпозиции (1.9),и поэтому оно не может быть определено в виде некото-рого вектора. Действительно, при исследовании системы

66

мы получаем не просто собственные значения с определен-ными квантовыми вероятностями, но еще с вероятностя-ми статистическими, определяющими вклад данной си-стемы в ансамбль. Такие состояния называют смешанны-

ми, их можно описать матрицей плотности, которую всегда

можно представить в виде:

ρ =∑

a

wa|χ〉〈χ|, (1.16)

где |χ〉 собственные состояния подсистем – суперпозиции(1.9). Если все wa = 0 за исключением одного, приходим кпредставлению матрицы плотности для чистого состояния(1.5).

Смешанные состояния возникают и при рассмотрениинезамкнутых систем, т.е. подсистем некоторых систем. Есте-ственно, в общем случае рассматриваемая подсистема вза-имодействует со всей системой, однако вектор состоянияполной системы можно всегда представить в виде суперпо-зиции состояний двух невзаимодействующих систем: инте-ресующей нас подсистемы и остальной части полной систе-мы. Обозначим состояния подсистемы латинскими буква-ми |n〉, а состояния остальной части системы – греческими|α〉, тогда состояние всей системы можно записать в виде:

|Ψ〉 =∑

n,α

cnα|n〉|α〉. (1.17)

Пусть теперь нам нужно определить значение какой-либовеличины f , описывающей подсистему, тогда этой вели-чине соответствует оператор, действующий только на со-

стояния подсистемы. Однако среднее значение данного

67

оператора мы должны взять по состоянию всей системы:

f = 〈Ψ|f |Ψ〉 =∑

n′,α′,n,α

c∗n′α′cnα〈α′|〈n′|f |n〉|α〉 =

=∑

n′,n

|〈n′|f |n〉∑

α′,α

c∗n′α′cnα〈α′|α〉. (1.18)

Во второй сумме формулы (1.18) стоит скалярное произ-ведение ортогональных векторов, поэтому ее можно рас-сматривать как усреднение коэффициентов суперпозиции(1.17) по состояниям части системы внешней, по отноше-нию к подсистеме. В результате такого усреднения остаетсяматрица, зависящая только от состояний подсистемы:

ρn,n′ =∑

α

c∗n′αcnα, (1.19)

которую теперь можно также рассматривать как матрицуоператора ρ по состояниям подсистемы:

ρn,n′ = 〈n|ρ|n′〉.Соответственно, перепишем выражение (1.18) с помощьютак введенной матрицы плотности подсистемы:

f = 〈f〉 =∑

n′,n

〈n|f |n′〉〈n′|ρ|n〉 =

∑

n

〈n|f(∑

n′

|n′〉〈n′|)ρ|n〉 ≡ Tr(f ρ). (1.20)

Здесь мы воспользовались свойством полноты системы со-стояний: ∑

n′

|n′〉〈n′| = I .

Как из формулы (1.19), так и из определения (1.20) легкополучить, что

Trρ =∑

n,α

|cnα|2 = 1, (1.21)

68

и для f = 1 :〈1〉 = 1 = Trρ1 = Trρ.

3.2 Свойства матрицы плотности

Сформулируем полученные результаты в виде общей свод-ки свойств матрицы плотности.

1. Матрица плотности эрмитова:

ρ+ = ρ, т.е. ρn′n = ρ∗nn′ . (2.1)

Из эрмитовости матрицы плотности следует действи-тельность диагональных матричных элементов ρnn.

2. Cлед матрицы плотности равен единице:

Trρ =∑

n

ρnn = 1. (2.2)

3. Эрмитова матрица плотности всегда может быть при-ведена к диагональному виду с помощью некоторогоунитарного преобразования S :

ρnδnn′ ≡ wnδnn′ =∑

kk′

Sknρkk′S+k′n′ . (2.3)

Следовательно, оператор ρ всегда можно представитьв диагональной форме:

ρ =∑

ν

ρν |ν〉〈ν|. (2.4)

4. Матрица плотности положительно определена. Этоследует из требования неотрицательности среднегозначения оператора с неотрицательными собственны-ми значениями. Действительно, рассмотрим среднее

69

значение оператора ρ в произвольном состоянии си-стемы |χ〉, выбрав диагональное представление (1.6):

〈χ|ρ|χ〉 =∑

ν

ρν〈χ|ν〉〈ν|χ〉 =∑

ν

ρν |〈ν|χ〉|2 ≥ 0, (2.5)

в силу эрмитовости матрицы плотности.

Из этого свойства следует физический смысл диаго-нальных матричных элементов. Поскольку рассмот-ренный оператор выделяет определенное состояниесистемы (подсистемы), его среднее значение имеет смыслвероятности обнаружения системы в данном состо-янии, следовательно, диагональные матричные эле-менты матрицы плотности имеют смысл вероятно-

сти нахождения системы в чистом состоянии |k〉, т.е.

ρkk = wk. (2.6)

Соответственно, Trρ =∑

k wk = 1 – есть полная ве-роятность нахождения системы в каком-либо из всехвозможных ортогональных состояний.

5. Свойство 3) с учетом свойств 2) и 4) приводит к важ-ному следствию:

∑

n

ρ2nn =∑

n

w2n ≤(∑

n

wn

)2=

=

(∑

n

ρnn

)2= (Trρ)2 = 1. (2.7)

Понимая, что левую часть соотношения (7.14) можнозаписать в представлении, когда матрица плотностинедиагональна, получаем обобщение:

Tr(ρ)2 =∑

nn′

|ρnn′ |2 ≤ 1. (2.8)

70

Равенство выполняется только в единственном слу-чае, когда система находится в чистом состоянии.

Величина (2.8) таким образом имеет очень важное зна-чения для характеристики системы, поэтому имеет своеобозначение:

Tr(ρ)2 = µ − параметр чистоты. (2.9)

В квантовой механике большую роль играют амплиту-ды перехода между различными состояниями. Например,пусть система находится в состоянии |ψ〉, тогда амплиту-да перехода в состояние |ϕ〉 есть скалярное произведениеэтих двух состояний, соответственно, вероятность перехо-да из исходного состояния в другое есть квадрат модуляамплитуды перехода:

wψ→ϕ = |〈ψ|ϕ〉|2.

Как помним, матрица плотности чистого состояния опре-деляется простой формулой (1.5), поэтому для вероятностиперехода можно записать:

wψ→ϕ =〈ψ|ϕ〉(〈ψ|ϕ〉)∗ = 〈ψ|(|ϕ〉〈ϕ|)|ψ〉 ==Tr|ϕ〉〈ϕ||ψ〉〈ψ| = Tr

(ρϕρ

+ψ

). (2.10)

Для определения вероятности перехода (2.10) есть свой тер-мин fidelity.

3.3 Эволюция во времени. Уравнение Ли-

увилля

Уравнение, определяющее временную эволюцию матрицыплотности получим, выбрав для определенности вид мат-рицы плотности для ансамбля подсистем (некогерентной

71

смеси) (1.13), указав явную зависимость состояний от вре-мени:

ρ(t) =∑

a

wa|ψa(t)〉〈ψa(t)|. (3.1)

Вспомним, что изменение состояния во времени определя-ется оператором эволюции, и перепишем выражение (3.1)в виде:

ρ(t) =∑

a

waU(t)|ψa(t0)〉〈ψa(t0)|U+(t) = (3.2)

=U(t)

(∑

a

wa|ψa(t0)〉〈ψa(t0)|)U+(t) = U(t)ρ(t0)U

+(t).

Продифференцируем уравнение (3.2) по времени, под-ставим определение производных по времени для операто-ра эволюции и получим:

∂ρ(t)

∂t= − i

~

[H, ρ(t)

]. (3.3)

Уравнение (3.3) называется уравнением Лиувилля и оно эк-вивалентно уравнению Шредингера для состояния.

Запишем теперь определение среднего значения какой-либо величины:

〈A〉 = Tr(Aρ(t)

)≡ Tr

(AU(t)ρ(t0)U

+(t)).

Вспоминая, что под знаком Tr операторы можно цикличе-ски переставлять, получим:

〈A〉 = Tr(U+(t)AU(t)ρ(t0)

)= Tr

(AH(t)ρ(t0)

), (3.4)

где AH(t) – оператор в представлении Гайзенберга.Для консервативной системы, когда гамильтониан явно

от времени не зависит, оператор эволюции имеет простойвид, и можно записать:

ρ(t) = e−i~−1Htρ(t0)e

i~−1Ht. (3.5)

72

Если состояния, представляющие матрицу плотностиобладают определенной энергией (собственные состояниягамильтониана – решения стационарного уравнения Шре-дингера), получаем, что диагональные матричные элемен-ты не зависят от времени, а недиагональные осциллируютс частотами перехода между соответствующими уровнямиэнергии:

ρnk(t) = ρnk(t0)ei~−1(Ek−En)t = ρnk(t0)e

iωknt. (3.6)

Среднее значение величины (3.4) теперь можно записатькак:

〈A〉 =∑

k,n

Aknρnk(t0)eiωknt. (3.7)

В заключение этого параграфа полезно записать оператор-ное уравнение (3.3) в виде системы уравнений в каком-либоопределенном дискретном базисе:

i~∂ρnk∂t

=∑

m

(Hnmρmk − ρnmHmk) . (3.8)

3.4 Равновесная матрица плотности

Итак, мы видели, что матрица плотности позволяет описы-вать свойства ансамбля систем и, таким образом, имеет тоже значение, что и вектор состояния в квантовой механикепри описании замкнутых систем. Следовательно, матрицаплотности должна содержать всю необходимую информа-цию с точки зрения статистической механики. Статисти-ческие свойства систем характеризуются такой важнейшейхарактеристикой как энтропия, которая определяется как

S = −∑

k

wklnwk, (4.1)

73

где wk – вероятность нахождения системы в состоянии k.Естественно, поэтому выполняются условия

∑

k

wk = 1, 0 ≤ wk ≤ 1, (4.2)

где суммирование ведется по всем состояниям.Смысл энтропии состоит в том, что ее можно интер-

претировать как некоторую меру недостатка информации

о системе. В частности, если система находится в чистомсостоянии |ν0〉, отлично от нуля только wν0 = 1. В этомслучае энтропия равна нулю: информация максимальна,т.е. полная с точки зрения (квантовой) механики.

Представим себе теперь ансамбль систем, которые с рав-ными вероятностями находятся во всех возможных состо-яниях. В таком случае энтропия максимальна, посколь-ку мы обладаем минимальной информацией. Убедимся вэтом, воспользовавшись методом неопределенных множи-телей Лагранжа, проварьировав выражение (4.1) при усло-вии (4.2): ∑

k

(1 + lnwk + λ) δwk = 0, (4.3)

где λ – неопределенный множитель.Поскольку каждая из вариаций δwk независима, урав-

нение (4.3) удовлетворяется, если

lnwk = −(1 + λ).

Как видим, вероятность не зависит от состояния, мы неможем различить состояния систем в ансамбле, а поэтомуне обладаем никакой информацией. Поскольку λ не зави-сит от состояния, энтропия с полученными вероятностямимаксимальна.

Вспомним теперь основные свойства матрицы плотно-сти, рассмотренные в параграфе (3.2), а именно, свойство

74

(7.7) и (7.8). Следовательно можно выразить энтропию со-гласно определению (4.1) через матрицу плотности в диа-

гональном представлении:

S = −∑

ν

ρν lnρν . (4.4)

Обратим внимание, что выражение (4.4) можно перепи-сать, используя выражение (1.6):

S = −∑

ν,ν′,ν′′

〈ν ′|(ρν |ν〉〈ν|)|ν ′′〉〈ν ′′|(lnρν |ν〉〈ν|)|ν ′〉 = −Trρν lnρν .

Здесь ρν обозначает матрицу плотности, записанную в диа-гональном представлении.

Поскольку от диагонального представления всегда мож-но перейти к произвольному, запишем теперь определениеэнтропии через оператор ρ в общем виде:

S = −Trρlnρ. (4.5)

В дальнейшем будем использовать термины как матрица

плотности, так и статистический оператор.Определим теперь вид статистического оператора в рас-

смотренном выше случае, когда все состояния ансамбля си-стем равновероятны. Проварьируем определение (4.5) приусловии равенства единице следа оператора:

Tr(1 + lnρ+ λ)δρ = 0,

или

ρ =1

1 + λ− c− число. (4.6)

Зададим теперь дополнительные сведения об ансамблесистем. А именно, пусть ансамбль характеризуется энер-

гией, которая согласно свойствам матрицы плотности по

определению есть

〈E〉 = E = TrρH, (4.7)

75

где H – гамильтониан систем ансамбля.Вновь потребуем максимума энтропии, но теперь еще

при одном дополнительном условии (4.7):

Tr(1 + lnρ+ λ+ βH)δρ = 0.

Поскольку все вариации произвольны, получаем

lnρ = −1− λ− βH,

илиρ = e−(1+λ)e−βH . (4.8)

Первая экспонента в формуле (4.8) может быть выраже-на через статистическую сумму из условия нормировкиматрицы плотности Trρ = 1 :

e1+λTre−βH ≡ Z. (4.9)

Можно теперь переписать выражение (4.8), используя опре-деление (4.9):

ρ = Z−1e−βH . (4.10)

Оставшийся неопределенный параметр β находится из усло-вия (4.7):

〈E〉 = Z−1TrHe−βH = − ∂

∂βlnZ. (4.11)

Таким образом, параметр β определяется величиной сред-ней энергии. В термодинамическом пределе

β =1

T. (4.12)

Здесь и далее мы измеряем температуру в единицах энер-гии ( или полагаем постоянную Больцмана k = 1.)

76

4.5 Уравнение для матрицы плотности

в координатном представлении

Запишем уравнение Лиувилля (3.3) для матрицы плотно-сти в координатном представлении, воспользовавшись ме-тодами теории представлений, изложенными в главе 11:

〈x| ˆρ(t)|x′〉+ i〈x|Hρ(t)|x′〉 − i〈x|ρ(t)H|x′〉 = 0. (5.1)

Обозначим для краткости матричные элементы в коорди-натном представлении как:

〈x|A|x′〉 ≡ Axx′ . (5.2)

В обозначениях (7.5) уравнение (5.1) принимает вид:

∂

∂tρxx′(t) + i

∑

y

Hxyρyx′ − i∑

y

ρxyHyx′ = 0 (5.3)

Для непрерывного базиса все суммы имеют смысл инте-гральных и поэтому заменяются интегралами, а матрич-ные элементы представляются ядрами этих интегральныхоператоров. Следовательно, можно записать в координат-ном представлении:

H(x)ρ(x, y) ≡∫H(x, x′)ρ(x′, y)dx′ =

∑

x′

Hxx′ρx′y. (5.4)

Иными словами, можно суммирование обозначить как∑

x′

Hxx′ρx′y = H(x)ρ(x, y). (5.5)

1В этом параграфе мы полагаем все константы единицами: ~ =1, m = 1 и т.д.

77

Совершенно аналогично записывается это соотношение в“обратном” порядке:

∑

y

ρxyHyx′ = Htr(x′)ρ(x, x′, t). (5.6)

Таким образом, уравнение Лиувилля в координатном пред-ставлении (5.3) принимает вид:

∂

∂tρ(x, x′, t) + iH(x)ρ(x, x′, t)− iHtr(x′)ρ(x, x′, t) = 0 (5.7)

Гамильтониан частицы в координатном представлении име-ет дифференциальную форму:

H(x) =p2

2+ U(x) = −1

2

∂2

∂x2+ U(x) (5.8)

и в силу эрмитовости

Htr(x) = H(x),

поэтому уравнение (5.7) можно переписать в форме диф-ференциального уравнения:

∂

∂tρ(x, x′, t)− i

2

(∂2

∂x′2− ∂2

∂x2

)ρ(x, x′, t)+

+(U(x)− U(x′)

)ρ(x, x′, t) = 0. (5.9)

78

Глава 4

Представления матрицыплотности

4.1 Функция Вигнера

В предыдущих главах мы видели, что между классическими квантовым описанием систем существует принципиаль-ное отличие: вместо физических величин, задаваемых чис-ловыми функциями, определены операторы, подчиняющи-еся определенной алгебре. Физические величины определя-ются средними значениями соответствующих операторов.Принципиальное отличие заключается в том, что опера-торы между собой не всегда коммутируют, что означаетневозможность одновременной измеримости соответствую-щих физических величин. В классической механике такихпроблем нет. Однако в 1932 году Е. Вигнер открыл такоепредставление в квантовой механике, которое оказываетсянаиболее близким к классическим представлениям. ПодходВигнера затем в 1949 году был более полно развит Дж.Мойалем. Такое представление задается функцией Вигне-ра W (q, p), где q и p – обобщенные координаты и импульс

79

частицы (физические величины).Запишем (одночастичную) матрицу плотности в коор-

динатном представлении, считая спектр дискретным:

ρ(r, r′) =∑

n

wnϕn(r)ϕ∗n(r

′). (1.1)

Как помним, диагональный элемент матрицы плотности вкоординатном представлении определяет вероятность об-наружить частицу в точке с координатой r).

Совершенно аналогично в импульсном представлениидиагональный элемент ρ(p,p) определяет вероятность об-наружить частицу с значением импульса p.Установим связьмежду этими величинами.

Запишем матрицу плотности в импульсном представле-нии:

ρ(p,p′) =∑

n

wnϕn(p)ϕ∗n(p

′) =

=

∫drdr′ρ(r, r′) exp

(i

~(pr− p′r′)

). (1.2)

Матрица плотности в координатном представлении удоб-на для вычисления средних значений функций координат:

〈V (r)〉 = TrV ρ

Trρ=

∫drρ(r, r)V (r)∫drρ(r, r)

. (1.3)

Импульсное представление удобно для вычисления сред-них значений функций импульсов (например, кинетическойэнергии):

〈W (p)〉 = TrWρ

Trρ=

∫(dp/(2π~)3)ρ(p,p)W (p)∫(dp/(2π~)3)ρ(p,p)

. (1.4)

В классической механике такая задача решалась бы с по-мощью одной функции распределения в фазовом простран-стве F (p, r), которая имеет смысл плотности вероятности.

80

Причем распределение вероятности в координатном про-странстве определяется просто частичным интегрировани-ем по импульсному пространству:

f(r) =

∫F (p, r)

dp

(2π~)3, (1.5)

а распределение вероятности в импульсном пространстве,соответственно, интегрированием по координатной частифазового пространства:

f(p) =

∫F (p, r)dr. (1.6)

Возникает естественное желание построить и в кван-товой механике такую функцию распределения, котораябы удовлетворяла условиям (1.5) и (7.2). Для этого рас-смотрим диагональные компоненты матрицы плотности вимпульсном представлении (1.2), которые определяют ве-роятности и должны соответствовать функции распреде-ления. Поскольку искомая функция должна одновремен-но зависеть как от импульсов, так и от координат, про-ведем “частичное” преобразование Фурье в формуле (1.2),рассматривая формально матрицу плотности в координат-ном представлении как функцию переменных (x+ x′)/2 и(x − x′)/2. Переходя затем к новым обозначениям x/2 →r, x′ → u, и оставляя преобразование только по перемен-ной u, получаем функцию Вигнера:

W (p, r) =

∫duρ

(r+

u

2, r− u

2

)e−i~

−1pu. (1.7)

Формула (1.7) обратима, и для матрицы плотности можнозаписать выражение через функцию Вигнера:

ρ(r, r′) =∫

dp

(2π~)3W

(p,

r+ r′

2

)ei~

−1p(r−r′). (1.8)

81

Упражнение. Получить обратное преобразование (1.8).Убедимся, что функция Вигнера удовлетворяет необ-

ходимым условиям. Прежде всего проинтегрируем по им-пульсу:∫

dp

(2π~)3W (p, r)=

∫duρ

(r+

u

2, r− u

2

)(∫ du

(2π~)3e−i~

−1pu

)=

=

∫duρ

(r+

u

2, r− u

2

)δ(u) = ρ(r, r) = f(r).

Таким образом, получили, что первое условие (1.5) выпол-няется. Для проверки выполнения второго условия (7.2)проделаем выкладки в “обратном” порядке:

f(p) =ρ(p,p) =

∫drdr′ρ(r, r′) exp

(− i

~p(r− r′)

)=

=

∫dxduρ

(x+

u

2,x− u

2

)e−i~

−1pu =

∫dxW (p,x).

При преобразовании интеграла мы сделали замену пере-менных:

r = x+u

2, r′ = x− u

2.

Легко видеть, что введенная таким образом функция Виг-нера W (p, r) позволяет получать средние значения вели-чин, зависящих только либо от координат, либо от импуль-сов. Нельзя получить правильный результат для функций,зависящих одновременно и от импульсов, и от координат.В этом нет ничего удивительного, поскольку координатыи импульс в квантовой механике связаны соотношениемнеопределенностей. Рассмотрим этот вопрос более подроб-но.

82

4.2 Некоторые свойства преобразования

Фурье. Уравнение Мойала для функ-

ции Вигнера

Дальнейшее изложение материала в той или иной степенибудет связано с преобразованием Фурье матрицы плотно-сти, а также соответствующих операторов. Поэтому удобновспомнить некоторые полезные соотношения. Для просто-ты будем рассматривать одномерное преобразование. Намногомерный случай все результаты можно легко распро-странить.

Пусть дано преобразование Фурье некоторой функцииf(x), т.е. 1

f(x) =1√2π

∫f(k)eikxdk (2.1)

и, соответственно,

f(x) =1√2π

∫f(x)e−ikxdx. (2.2)

Продифференцируем выражение (7.3) по координате и по-лучим:

∂

∂xf(x) =

1√2π

∫ [ikf(k)

]eikxdk.

Иными словами, мы можем формально установить соот-ветствие:

∂

∂xf(x) −→ ikf(k). (2.3)

Умножим теперь выражение (7.3) на x :

xf(x) =1√2π

∫f(k)xeikxdk. (2.4)

1Мы здесь применяем так называемое симметричное преобразо-вание Фурье, хотя в физике пре переходе от координатного к им-пульсному представлению чаще всего используется несимметричноепреобразование.

83

Поскольку можно представить

xeikx = −i ∂∂k

(eikx),

выражение (2.4) можно переписать как

xf(x) =1√2π

∫f(k)

(−i ∂∂k

)eikxdk. (2.5)

Беря интеграл по частям и считая значение подынтеграль-ной функции на бесконечно удаленных пределах равнымнулю, получаем:

xf(x) =1√2π

∫ (i∂

∂kf(k)

)eikxdk. (2.6)

Следовательно, имеет место соответствие:

xf(x) −→ i∂

∂kf(k). (2.7)

Можно сказать, если имеется некоторое выражение

Φ

(x,

∂

∂x

)f(x), (2.8)

его образ Фурье дается выражением

Φ

(i∂

∂k, ik

)f(k). (2.9)

Применим теперь полученные соотношения для матри-цы плотности в координатном представлении и функцииВигнера. Действительно, как следует из формул (1.7) и(1.8), рассматриваемые функции связаны между собой пре-образованием Фурье. Запишем указанные соотношения в

84

одномерном случае в безразмерной форме, как и все осталь-ное в этом параграфе, в момент времени t = 0 :

W (q, p) =

∫ρ(q +

u

2, q − u

2

)e−ipudu (2.10)

и обратное преобразование:

ρ(x, x′) =∫W

(x+ x′

2, p

)eip(x−x

′)dp. (2.11)

Умножим соотношение (2.11)на x и занесем эту пере-менную под знак интеграла:

xρ(x, x′) =∫W

(x+ x′

2, p

)xeip(x−x

′)dp. (2.12)

Возникает соблазн поступить так же, как и в предыдущемслучае: продифференцировать по p а затем проинтегриро-вать по частям. Однако такая простая процедура в данномслучае привела бы к ошибке, поскольку функция Вигнеразависит от q и p, следовательно прежде, чем дифференци-ровать, следует перейти от переменной x к собственным

переменным. Согласно определению мы должны под ин-тегралом сделать замену: x = q + (x − x′)/2, после чеговыполнить дифференцирование по импульсу p. Итак, пе-репишем соотношение 2.12) c учетом замечания:

xρ(x, x′) =∫W

(x+ x′

2, p

)(q +

x− x′2

)eip(x−x

′)dp =

=

∫W (q, p)

(q − i

2

∂

∂p

)eip(x−x

′)dp. (2.13)

Теперь в формуле 2.13) можно выполнить интегрированиепо частям и получить искомое соотношение:

xρ(x, x′) −→(q +

i

2

∂

∂p

)W (q, p). (2.14)

85

Совершенно аналогично выглядит соотношение для второйпеременной x′ :

x′ρ(x, x′) −→(q − i

2

∂

∂p

)W (q, p). (2.15)

Выполним теперь дифференцирование матрицы плот-ности по координатам:

∂

∂xρ(x, x′) =

∫∂

∂x

[W

(x+ x′

2, p

)eip(x−x

′)

]dp. (2.16)

Вновь, учитывая связь переменной x с собственными пере-менными функции Вигнера q = (x+ x′)/2, получаем:

∂

∂x

[W

(x+ x′

2, p

)eip(x−x

′)

]=1

2

∂

∂qW (q, p)eip(x−x

′)+

+ipW (q, p)eip(x−x′) =

(1

2

∂

∂q+ ip

)W (q, p)eip(x−x

′). (2.17)

Подставляя полученное соотношение (2.17) в формулу (2.16),имеем:

∂

∂xρ(x, x′) −→

(1

2

∂

∂q+ ip

)W (q, p). (2.18)

Дифференцирование по “штрихованной” переменной даетаналогичное соответствие:

∂

∂x′ρ(x, x′) −→

(1

2

∂

∂q− ip

)W (q, p). (2.19)

Теперь можно получить уравнение Мойала для функ-ции Вигнера. Очевидно, полученные соотношения (2.12)-(2.19) остаются справедливыми в произвольный момент вре-мени t, поэтому уравнение Лиувилля-фон Ноймана для мат-рицы плотности в координатном представлении (см. фор-мулу (5.9) глава 3) можно легко переписать для функцииВигнера.

86

Запишем уравнение (5.9), формально заменив соответ-ствующие произведения и производные соотношениями (2.12)-(2.19). При этом оператор потенциальной энергии, будучифункцией оператора координаты понимается, как обычнов квантовой механике, в смысле ряда Тейлора по степенямоператора. Имеем:

i∂

∂tW (q, p, t) =

1

2

[(1

2

∂

∂q+ ip

)2−(1

2

∂

∂q− ip

)2]W (q, p, t)+

+

[U

(q +

i

2

∂

∂p

)− U

(q − i

2

∂

∂p

)]W (q, p, t). (2.20)

Первая квадратная скобка уравнения (2.20) сильно упро-щается, и получаем:

i∂

∂tW = ip

∂

∂qW +

[U

(q +

i

2

∂

∂p

)− U

(q − i

2

∂

∂p

)]W. (2.21)

Здесь для простоты опущены аргументы функции Вигне-ра.

Мы предполагаем, что функция потенциальной энергииможет быть разложена в ряд Тейлора, поэтому:

U

(q +

i

2

∂

∂p

)=

∞∑

n=0

U (n)(q)

n!

in

2n∂n

∂pn. (2.22)

Разность потенциальных энергий дает чисто мнимую функ-цию: 2

[U

(q +

i

2

∂

∂p

)− U

(q − i

2

∂

∂p

)]=

=i∞∑

n=0

U (2n+1)(q)

(2n+ 1)!

(−1)n4n

∂2n+1

∂p2n+1. (2.23)

2Ряд (2.22) по сути дела представляет собой разложение по степе-ням ~ (напомним, что в данном параграфе мы положили постояннуюПланка ~ = 1).

87

Таким образом, уравнение Мойала (2.21) действительно,что соответствует уравнению для наблюдаемой величины.

4.3 Томографическое распределение

Рассмотрим простой пример: одномерный гармоническийосциллятор с массой m = 1, частотой ω = 1 и положимтакже постоянную Планка ~ = 1. В дальнейшем будем при-держиваться (если особо не оговорено) такой системы еди-ниц. Как хорошо известно (см. Гл. 2), волновая функцияосновного состояния есть:

ψ0(x) =1

π1/4e−x

2/2. (3.1)

Матрица плотности осциллятора в каком-либо (чистом) со-стоянии ψ равна

ρψ(x, x′) = ψ(x)ψ∗(x′), или ρψ(x, x) = |ψ(x)|2. (3.2)

Формулу (3.2) можно “обратить”, выразив волновую функ-цию через матрицу плотности:

ψ(x) =ρψ(x, x

′)

ρψ(0, x′)

√ρψ(0, 0). (3.3)

Заметим, что для чистого состояния, которое есть супер-позиция состояний, такой же простой формулы (3.3) не су-ществует: для матрицы плотности принцип суперпозициине выполняется, поскольку она определяется квадратич-ной связью. Действительно, пусть есть чистое состояние ввиде суперпозиции:

ψ(x) = αψ1(x) + βψ2(x),

88

тогда такому чистому состоянию соответствует матрицаплотности

ρψ(x, x′) =|α|2ψ1(x)ψ∗1(x′) + |β|2ψ2(x)ψ∗2(x′)++αβ∗ψ1(x)ψ

∗2(x

′) + α∗βψ2(x)ψ∗1(x

′).

Отсутствие принципа суперпозиции для матрицы плотно-сти вовсе не означает, что матрица плотности не описыва-ет квантовой интерференции чистых состояний: он можетбыть представлен в более сложном виде.

Запишем теперь матрицу плотности основного осцил-лятора, находящегося в основном состоянии:

ρ0(x, x′) =

1√πe−x

2/2−(x′)2/2. (3.4)

Запишем функцию Вигнера (1.7) одномерного гармониче-ского осциллятора, находящегося в основном состоянии:

W0(q, p) =

∫due−ipuρ0(q +

u

2, q − u

2) = 2e−q

2−p2 . (3.5)

Функция Вигнера действительна и нормирована:∫dqdp

2πW0(q, p) = 1

Функция Вигнера позволяет также определить квадрат мо-дуля волновой функции основного состояния как в коорди-натном, так и импульсном представлении:

∫dp

2πW0(q, p) =

1√πe−q

2

= |ψ0(q)|2, (3.6)∫dq

2πW0(q, p) =

1√πe−p

2

= |ψ0(p)|2. (3.7)

Иными словами, интегрируя функцию Вигнера, можно по-лучить функцию распределения по импульсу или коорди-нате. Таким же свойством обладает совместная функция

89

распределения вероятностей в фазовом пространстве клас-сического осциллятора. Поскольку Вигнер использовал пре-образование Фурье, имеет место обратное преобразованиеот функции Вигнера к матрице плотности:

1

2π

∫dpW0

(x+ x′

2, p

)eip(x−x

′) = ρ0(x, x′). (3.8)

Таким образом, информация, содержащаяся в функции Виг-нера такая же, как и в матрице плотности, однако интер-претация ее не так проста и очевидна, как это могло быпоказаться из предыдущего примера.

Рассмотрим первое возбужденное состояние осциллято-ра

ψ1(x) =

√2√πxe−x

2/2. (3.9)

Матрица плотности осциллятора в первом возбужденномсостоянии есть

ρ1(x, x′) =

2√πxx′ exp

(−x

2

2− (x

′)2

2

). (3.10)

Легко получить функцию Вигнера этого же состояния:

W1(q, p) = 2(2q2 + 2p2 − 1) exp(−q2 − p2). (3.11)

Функция Вигнера по-прежнему нормирована на единицу иобладает свойством (3.6), однако при малых значениях q иp она становится отрицательной и поэтому не может бытьинтерпретирована как функция распределения вероятно-стей. Это объясняется принципиальной невозможностьюописания квантовых систем в фазовом пространстве из-засоотношения неопределенностей для импульса и координа-ты. Таким образом параметры q и p в функции Вигнера неесть настоящие координата и импульс осциллятора. Сама

90

же функция Вигнера не имеет смысла распределения веро-ятностей, однако ее часто называют квазивероятностью иона широко используется в квантовой оптике.

Тем не менее, распределение вероятностей ввести мож-но. Рассмотрим гауссово распределение для координаты,зависящее от двух параметров µ и ν :

w0(x, µ, ν) =1√

π(µ2 + ν2)exp

(− x2

µ2 + ν2

), (3.12)

связанное с функцией Вигнера основного состояния осцил-лятора обратимым преобразованием Фурье:

w0(x, µ, ν) =

∫dkdqdp

(2π)2W0(q, p)e

−ik(x−µq−νp). (3.13)

Обратное преобразование формулы (3.13) дает функ-цию Вигнера:

W0(q, p) =

∫dxdµdν

2πw0(x, µ, ν)e

i(x−µq−νp). (3.14)

Можно непосредственным вычислением убедиться, чтодля первого возбужденного состояния также существуетраспределение

w1(x, µ, ν) = w0(x, µ, ν)2x2

µ2 + ν2, (3.15)

связанное с функцией Вигнера W1(q, p) такими же форму-лами (3.13) и (3.14):

w1(x, µ, ν) =

∫dkdqdp

(2π)2W1(q, p)e

−ik(x−µq−νp). (3.16)

и

W1(q, p) =

∫dxdµdν

2πw1(x, µ, ν)e

i(x−µq−νp). (3.17)

91

Заметим, что эмпирически найденная связь функцийВигнера с распределениями для основного (3.13) и (3.14)и первого возбужденного состояний осциллятора (3.16) и(3.17) совершенно не зависит от состояния осциллятора,поэтому она может быть распространена как на другие со-стояния, так и на другие системы. Таким образом можнозаписать для произвольной функции Вигнера произвольной

системы связь с томографическим распределением:

W (q, p) =

=1

2π

∫dxdµdν w(x, µ, ν) exp (−i(µq + νp− x)) . (3.18)

Обратное преобразование есть:

w(x, µ, ν) =

=1

(2π)2

∫dkdqdpW (q, p) exp (−ik(x− µq − νp)) . (3.19)

Учитывая связь функции Вигнера с матрицей плотно-сти, запишем также связь матрицы плотности с томогра-фическим распределением:

ρ(x, x′) =

=1

2π

∫dµdy w(y, µ, x− x′) exp

[i

(y − µx+ x′

2

)]. (3.20)

Упражнение Получить формулу (3.20), подставив ввыражение матрицы плотности через функцию Вигнера(3.8) определение (3.18).

Определение функции Вигнера через матрицу плотно-сти (1.7) можно записать в несколько иной форме. Запи-шем его через матрицу плотности в координатном пред-ставлении в одномерном случае, убрав явную зависимостьаргументов от параметра интегрирования u :

W (q, p) =

∫dzdz′duρ(z, z′)δ

(z − q − u

2

)δ(z′ − q + u

2

)e−ipu.

92

Выполняя интегрирование по параметру u, получаем ин-теграл только по аргументам матрицы плотности:

W (q, p) = 2

∫dzdz′ρ(z, z′)e−i2p(z−q)δ(z + z′ − 2q). (3.21)

Теперь можно получить обратное преобразование для (3.20),выразив томографическое распределение через матрицу плот-ности:

w(x, µ, ν) =

=1

2π|ν|

∫dzdz′ρ(z, z′)exp

[−iz−z

′

ν

(x− µz+z

′

2

)]. (3.22)

Упражнение Получить формулу (3.22), подставив ввыражение томографического распределения (3.19) опре-деление функции Вигнера в форме (3.21).

Сравнивая формулы (3.21) и (3.22), можно заметить,что функция квазираспределения Вигнера W (q, p) и клас-сическое (томографическое) распределение вероятностей w(X,µ, ν),причем последнее есть положительная нормированная функ-ция, получены путем похожих интегральных преобразова-ний матрицы плотности.

Разница между двумя рассматриваемыми функциямиопределяется разницей ядер интегральных преобразований.Как видно из формулы (3.21) ядро интегрального преобра-зования для функции Вигнера есть

KW (z, z′; q, p) = 2e−i2p(z−q)δ(z + z′ − 2q). (3.23)

В случае преобразования симплектической томографии (3.22)ядро имеет вид:

Kw(z, z′;x, µ, ν)=

1

2π|ν|exp[−iz−z

′

ν

(x−µz+z

′

2

)]. (3.24)

93

Ключ к решению задачи о построении распределениявероятностей, задающего квантовое состояние, дает анализдиагональных элементов матрицы плотности. Посколькутолько диагональные элементы матрицы плотности опре-деляют распределение вероятностей, очевидно, что из рас-пределения вероятностей нельзя найти недиагональные эле-менты матрицы плотности, поскольку для этого требуетсязнание не только модуля, но и фазы. Поэтому уместно за-дать такой вопрос: мы знаем модуль (квадрат модуля) вол-новой функции только в одной системе отсчета в фазовомпространстве. Что изменится, если мы будем знать модульволновой функции во многих системах отсчета, описыва-емых набором параметров (например, параметров поворо-та)?

В таком случае распределение w(x, θ) = |ψ(, θ)|2 зави-сит от двух переменных, а задача восстановления по функ-ции двух переменных другой функции двух переменныхρ(x, x′) уже не представляется заведомо невыполнимой. Имен-но эта программа и реализуется при задании квантовых со-стояний функциями распределения вероятностей. А имен-но, строятся только диагональные элементы матрицы плот-ности, но в ансамблях систем отсчета, задаваемых доста-точным набором параметров. Затем по известной диаго-нали матрицы плотности как функции параметров системотсчета вычисляются недиагональные элементы матрицыплотности с использованием нетривиальных, но не оченьсложных интегральных преобразований.

Данная программа проходит как для непрерывных пе-ременных типа координаты, так и для дискретных наблю-даемых типа спина, но со своими особенностями при ис-пользовании ансамблей систем отсчета, в которых зада-ется диагональ матрицы плотности. Для координаты си-стемы отсчета задаются в фазовом пространстве, причемиспользуются такие параметры, отличающие системы, как

94

поворот осей и изменение масштаба. В случае спина ис-пользуются системы отсчета в обычном (конфигурацион-ном) пространстве, а в качестве параметров, отличающихэти системы, выбираются углы Эйлера.

4.4 Уравнение эволюции для томогра-

фического распределения

Уравнение эволюции для томографического распределенияполучается из уравнения Мойала (2.21) после установле-ния соответствий дифференцирования и умножения меж-ду функцией Вигнера W (q, p, t) по своим переменным исоответствующими операциями для томографической ве-роятности w(X,µ, ν, t) по своим собственным переменным.Это соответствие устанавливается аналогично соответстви-ям (2.12)-(2.19) между операциями для матрицы плотностии функции Вигнера.

Установим сперва чему соответствует операция умно-жения функции Вигнера на обобщенную координату длятомографической вероятности. Запишем формально (рас-сматриваем момент времени t = 0):

qW (q, p) =1

2π

∫dxdµdνw(x, µ, ν)qe−i(µq+νp−x). (4.1)

Умножение экспоненты под знаком интеграла можно за-менить дифференцированием по параметру µ. Это мож-но сделать, поскольку сама экспонента зависит только откомбинации µq. После этого проинтегрируем по частям иполучим:

qW (q, p)=1

2π

∫dxdµdν

(−i ∂∂µw(x, µ, ν)

)e−i(µq+νp−x). (4.2)

Здесь, однако, мы не можем сказать, что умножению наобобщенную координату функции Вигнера соответствует

95

взятие производной от томографической вероятности, по-скольку интегральное преобразование связывает между со-бой все три аргумента томографического распределения сдвумя аргументами функции Вигнера. Поэтому пойдем те-перь в обратном направлении и определим, чему соответ-ствует взятие производной от томографического распреде-ления по одному из параметров:

∂

∂µw(x, µ, ν) =

∂

∂µ

1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)e−ik(x−µq−νp) =

=1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)

(ikqe−ik(x−µq−νp)

)=

=1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)

(iqi

∂

∂xe−ik(x−µq−νp)

)=

=− ∂

∂x

1

(2π)2

∫dqdpdkqW (q, p)e−ik(x−µq−νp). (4.3)

Теперь можно записать искомое соответствие:

qW (q, p) = −(∂

∂x

)−1 ∂

∂µw(x, µ, ν). (4.4)

Здесь смысл обратной производной определен выражением(4.3).

Как видно из формулы (4.3) умножению функции Виг-нера на обобщенную координату соответствует взятие про-изводной от томографической вероятности по “сопряжен-ной” переменной (с определенным “довеском”.) Можно пред-положить, что взятию производной от функции Вигнерапо обобщенной координате будет соответствовать опера-ция умножения но соответствующую сопряженную пере-менную томографической вероятности. Иными словами, воз-никает соответствие, аналогичное соответствию между раз-личными представлениями операторов в квантовой меха-нике (например, вид оператора координаты в координат-

96

ном и импульсном представлениях). Поэтому сразу рас-смотрим обратное соотношение, а именно:

µw(x, µ, ν) =1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)µe−ik(x−µq−νp) =

=1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)

(1

ik

∂

∂q

)e−ik(x−µq−νp). (4.5)

Продифференцируем выражение (4.5) по координате:

µ∂

∂xw(x, µ, ν) =

− 1

(2π)2

∫dqdpdkW (q, p)

∂

∂qe−ik(x−µq−νp). (4.6)

Интегрируя по частям правую часть выражения (4.6), по-лучаем искомое соотношение:

∂

∂qW (q, p) = µ

∂

∂xw(x, µ, ν). (4.7)

Полученные соответствия можно условно записать в виде:

q −→ −(∂

∂x

)−1 ∂

∂µ,

∂

∂q−→ µ

∂

∂x. (4.8)

Здесь взятие “обратной производной” (∂/∂x)−1 следует по-нимать как взятие неопределенного интеграла по соответ-ствующей переменной.

Упражнение.Получить соответствия умножению на обобщенный импульси взятию по нему производной:

pW (q, p) =−(∂

∂x

)−1 ∂

∂νw(x, µ, ν); (4.9)

∂

∂pW (q, p) =ν

∂

∂xw(x, µ, ν). (4.10)

97

Уравнение для томографического распределения полу-чается в результате подстановки полученных соотношений(4.8) и (4.9) в уравнение Мойала (2.21):

∂w

∂t−µ ∂

∂νw − i

[U

(−(∂

∂x

)−1 ∂∂µ− iν2

∂

∂x

)−

− U(−(∂

∂x

)−1 ∂∂µ+iν

2

∂

∂x

)]w = 0. (4.11)

Так же, как и в формуле (2.23) видно, что в выражении вквадратных скобках уравнения (4.11) остается только мни-мая часть функции потенциальной энергии, поэтому мож-но записать:

∂w

∂t− µ ∂

∂νw − 2ImU

(iν

2

∂

∂x−(∂

∂x

)−1 ∂∂µ

)w = 0. (4.12)

Упражнение.Показать, что для одномерного гармонического осцилля-тора с гамильтонианом (в безразмерных единицах)

H =p2

2+q2

2(4.13)

уравнение эволюции для томографического распределениявероятности имеет вид:

w − µ ∂

∂νw + ν

∂

∂µw = 0. (4.14)

98

Глава 5

Представлениевероятностей длядискретного спектра напримере моментаколичества движения

Прежде чем начать изложение соответствующего представ-ления напомним основные положения квантовой теории мо-мента количества движения.

5.1 Оператор момента импульса, собствен-

ные состояния

В последующем изложении мы часто будем рассматриватьпримеры, связанные с преобразованием поворота системотсчета. Как хорошо известно из курса квантовой механи-ки (и механики вообще), с преобразованиями поворота свя-

99

зано понятие момента количества движения. Свойствамомента импульса нами будет часто использоваться, по-этому напомним некоторые основные свойства операторамомента импульса, его значения и собственные состояния,а также рассмотрим некоторые важные понятия, связан-ные со сложением моментов различных систем.

В качестве определения момента импульса квантовойсистемы примем выражение для оператора поворота нанекоторый угол Ω относительно оси, направление которойзадается единичным вектором N:

RN(Ω) = eiΩ(Nj), при [jα, jβ ] = ieαβγ jγ , (1.1)

где j – есть оператор полного момента квантовой системыи, соответственно, [j2, jα] = 0.

Состояния с определенным значением момента в стан-

дартном представлении j2, jz определяются из системыуравнений:

j2|Λ,m〉 = Λ|Λ,m〉,jz|Λ,m〉 = m|Λ,m〉. (1.2)

Очевидно, квадрат проекции не может превосходить квад-рат всего момента, поэтому оператор j2 можно считать“главным"в системе уравнений (1.2), и на возможные зна-чения квантового числаm накладываются ограничения |m|2 ≤Λ. Для решения системы (1.2) поступим так же, как прирешении задачи для изотропного гармонического осцилля-тора. Введем вместо эрмитовых операторов jx и jy неэрми-товы операторы

j± = jx ± ijy,которые, как легко убедиться, удовлетворяют коммутаци-онным соотношениям

[jz, j±] = ±j±, [j+, j−] = 2jz, [j2, j±] = 0. (1.3)

100

Квадрат момента при этом выражается через так введен-ные операторы следующим образом

j2= j2z+1

2

(j+j− + j−j+

)= j2z+jz+j−j+= j2z−jz+j+j−. (1.4)

Подействуем оператором j+ на произвольное состояниев системе (1.2):

j+|Λ,m〉 = |Φ〉 =∑

m′

am′ |Λ,m′〉, (1.5)

поскольку оператор j+ коммутирует с оператором j2 ине коммутирует с jz. Подействуем теперь оператором jz на“неизвестное"состояние |Φ〉 и воспользуемся коммутацион-ным соотношением:

jz|Φ〉 = jz j+|Λ,m〉 = (j+jz + j+)|Λ,m〉 = (m+ 1)|Φ〉.

Таким образом получили, что неизвестное состояние |Φ〉есть собственное состояние оператора jz с собственным зна-чением (m+1), поэтому в сумме (1.5) остается только однослагаемое с m′ = m+ 1 :

j+|Λ,m〉 = am+1|Λ,m+ 1〉. (1.6)

Таким образом, оператор j+ повышает проекцию моментана ось квантования на единицу – повышающий оператор.Совершенно аналогично получим, что

j−|Λ,m〉 = am−1|Λ,m− 1〉, (1.7)

и j− – понижающий оператор.Обозначим максимальное значение проекции момента

буквой j :maxm = j, (1.8)

101

тогда обязательно должны получить

j+|Λ, j〉 = 0. (1.9)

Поскольку для все возможных m при заданной вели-чине момента импульса значение Λ одно и то же, дляm = j получаем

j2|Λ, j〉 ==(j2z+jz+j−j+

)|Λ, j〉= (j2+ j)|Λ, j〉= j(j+1)|Λ, j〉, (1.10)

т.е. Λ = j(j + 1) – определяется максимальной проекцией

на ось квантования. Исходя из полученного результата лег-ко видеть, что минимальное значение проекции моментана ось квантования minm = −j. Таким образом в дира-ковском векторе состояния обычно указывают не квадратмомента, а максимальное значение его проекции:

|Λ,m〉 ≡ |j(j + 1),m〉 ≡ |j,m〉. (1.11)

Найдем теперь матричные элементы am. Вспомним, что(j+|j,m〉

)+= 〈j,m|j−, тогда 〈j,m|j−j+|j,m〉 = |am+1|2.

С другой стороны

j−j+|j,m〉 (j(j + 1)−m(m+ 1)) |j,m〉 ≡ (j−m)(j+m+1)|j,m〉,

соответственно

am+1 = eiφ√(j −m)(j +m+ 1). (1.12)

Обычно выбирают значение фазы φ = 0. Таким образом,можно записать

j+|j,m〉 =√(j −m)(j +m+ 1)|j,m+ 1〉,

j−|j,m〉 =√(j +m)(j −m+ 1)|j,m− 1〉. (1.13)

102

Проекция момента может принимать значения−j ≤ m ≤ j,а поскольку при этом “соседние"значения проекции отли-чаются на единицу, всего при данном значении моментаможет быть N = 2j различных состояний. Или иными сло-вами максимальная проекция равна

j =N

2, т.е. j = 0,

1

2, 1,

3

2, 2, . . . (1.14)

Соответственно, проекция момента может принимать толь-ко либо целые, либо полуцелые значения.

Теперь можно выразить любое состояние |j,m〉 черезодно состояние с максимальной проекцией |j, j〉. Действи-тельно,

|j, j−1〉= 1√2j

(j−|j, j〉

)=

1√2j · 1

(j−|j, j〉

),

|j, j−2〉= 1

2√2j−1

(j−|j, j−1〉

)=

1

2!√2j(2j−1)

(j−)2|j, j〉,

Полученные результаты легко обобщить:

|j,m〉 =√

(j +m)!

(2j)!(j −m)!(j−)j−m

|j, j〉. (1.15)

Итак, исходя только из коммутационных соотношений, по-лучили вектора состояний и значения квантовых чисел,описывающих систему, обладающую определенным момен-том количества движения. Однако, вспоминая результаты,полученные при решении задачи о движении частицы вцентральном поле в координатном представлении, вспоми-наем, что проекция орбитального момента по своему фи-

зическому смыслу может принимать только целые значе-ния. Полученные нами полуцелые значения не могут бытьсвязаны с орбитальным моментом, а, значит, с вращени-ем квантовой системы (частицы). Вместе с тем мы видим,

103

что при преобразованиях поворота имеется две возмож-ности преобразования вектора состояния системы: с по-мощью как целого, так и полуцелого значения момента.Если преобразование состояния системы с помощью цело-го момента может быть интерпретирована как вращениесистемы, то в другом случае ни о каком вращении речибыть не может, поскольку при вращении на угол 2π си-стема должна была бы вернуться в исходное положение,а в нашем случае состояние отличается знаком. Таким об-разом, для полуцелых значений j мы обязаны допустить,что система обладает внутренними степенями свободы, ко-торые проявляются при преобразовании поворота в состо-янии системы и по своим свойствам аналогичны моментуколичества движения. Такой момент называют собствен-ным моментом или спином системы. Очевидно, что с та-кой позиции собственный момент может принимать такжеи целые значения. Иными словами, спин системы можетбыть как целым, так и полуцелым, но орбитальный моментможет быть только целым. Поскольку спин системы опи-сывает внутренние степени свободы квантовой системы, онимеет всегда определенное для данной системы значение,которое не может изменяться, поскольку в противном слу-чае его изменение означало бы изменение внутренних сте-пеней свободы, а значит и самой системы. Таким образомспин – чисто квантовая характеристика системы.

В отличие от спина, орбитальный момент может прини-мать самые разные значения, а поскольку размерная фи-зическая величина есть M = ~l, в классическом пределе(~ → 0) должна соответствовать “обычному” моменту ко-личества движения, значения квантового числа, описываю-щего орбитальный момент должны стремиться к бесконеч-ности l→∞ так, что величинаM оставалась конечной.

104

5.2 Углы Эйлера и матрица поворота

Вновь вернемся к оператору конечных вращений. Как сле-дует из предыдущего параграфа, оператор поворота отно-сительно некоторой оси n на угол φ для состояний с мо-ментом j определяемый формулой (1.1), “не перемешива-ет” базисные вектора состояний с различными моментами(оператор jn коммутирует с со всеми проекциями операто-ра момента). Поэтому, можно записать

Rn(φ)|j,mj〉 =∑

m′

D(j)m′m(n, φ)|j,m′j〉, (2.1)

гдеD(j)m′m(n, φ) = 〈j,m′j |Rn(φ)|j,mj〉− (2.2)

матричные элементы соответствующего разложения “ново-го” вектора состояния, получившегося в результате преоб-разования поворота по “старым” состояниям (базису). Опе-рацию поворота относительно некоторой оси n на угол φможно выразить через три угла Эйлера α, β, γ, совокуп-ность которых обычно обозначают одной буквой o. В этомслучае матричные элементы (2.2) называются функциямиВигнера (или просто D-функциями).

Напомним (на всякий случай) определение углов Эй-лера, которые позволяют совместить две произвольно ори-ентированные системы координат, имеющие общее начало.Обычно считают одну из систем координат неподвижной(лабораторной), а другую – подвижной (или связанной скакой-либо физической системой) (см рис.) Будем совме-щать лабораторную систему с подвижной.

1. Сперва делают поворот на угол α относительно осиz, который описывается оператором Rz(α).

2. Затем поворачивают на угол β относительно оси y′:

Ry′(β) = Rz(α)Ry(β)R−1z (α)

105

Рис. 2.1: Схема поворотов на углы Эйлера

106

илиRy′(β)Rz(α) = Rz(α)Ry(β). (2.3)

3. Последний поворот совершается на угол γ относи-тельно оси z′′:

Rz′′(γ) = (Rz(α)Ry(β))Rz(γ) (Rz(α)Ry(β))−1 ,

т.е.

Rz′′(γ)Rz(α)Ry(β) =Rz′′(γ)Ry′(β)Rz(α) =

=Rz(α)Ry(β)Rz(γ). (2.4)

Поскольку выше описан поворот системы координат, по-ворот физической системы для которой записан операторповорота (1.1), описывается оператором, обратным по от-ношению к оператору. Получаем:

Rn(φ) = e−ijzγe−ijyβe−ijzα. (2.5)

Таким образом для определенияD-функции получаем фор-мулу

D(j)m′m(α, β, γ) = 〈j,m′j |e−ijzγe−ijyβe−ijzα|j,mj〉 =

=e−im′γ〈j,m′|e−ijyβ |j,m〉e−imα= e−im′γe−imαdjm′m(β). (2.6)

Как видим, основная сложность – получить выражениядля функции d

(j)m′m(β). Мы здесь не будем приводить об-

щее выражение для D-функций: его можно найти в любойкниге, в которой рассматривается группа вращений. Мыпокажем, как ее можно относительно легко получить са-мостоятельно в некоторых частных случаях на двух при-мерах.

107

5.3 Сложение моментов. Коэффициен-

ты Клебша-Гордана

Рассмотрим две невзаимодействующие системы (частицы)с моментами j1 и j2. Тогда состояние первой системы опре-деляется вектором |n1, j1,m1〉, а состояние второй – |n2, j2,m2〉.Здесь n1 и n2 обозначают остальные квантовые числа изполного набора физических величин. Состояние системыдвух невзаимодействующих частиц определяется вектором

|n1, j1,m1;n2, j2,m2〉 =|n1, j1,m1〉|n2, j2,m2〉 ≡≡|j1,m1〉|j2,m2〉. (3.1)

Очевидно, операторы, действующие на первую систему, недействуют на вторую и наоборот (соответственно они меж-ду собой коммутируют)

f1|n1, j1,m1〉 =|Φ1〉 ≡≡

∑

n′1,j′

1,m′

1

〈n′1, j′1,m′1|f1|n1, j1,m1〉|n′1, j′1,m′1〉.

(3.2)

Аналогично и для второй системы:

f2|n2, j2,m2〉 = |Φ2〉, (3.3)

ноf1|n2, j2,m2〉 = |n2, j2,m2〉f1. (3.4)

Поэтому имеем:

f1|n1j1m1;n2j2m2〉 = |Φ1;n2j2m2〉 ≡ |Φ1〉|n2, j2,m2〉, (3.5)

f2|n1j1m1;n2j2m2〉 = |n1j1m1; Φ2〉 ≡ |n1, j1,m1〉|Φ2〉. (3.6)

108

Соответственно, если оператор f12 = f1f2, то согласно фор-муле (3.4)

f1f2|n1, j1,m1;n2, j2,m2〉 = f1|n1, j1,m1〉f2|n2, j2,m2〉 == |Φ1〉|Φ2〉 ≡ |Φ1; Φ2〉. (3.7)

Как видим, действие оператора f1f2 на вектор состояния|n1, j1,m1;n2, j2,m2〉 = |n1, j1,m1〉|n2, j2,m2〉 определяетсясогласно правилу прямого произведения. Действительно,пространство состояний всей системы имеет ранг, равныйпроизведению рангов пространств состояний каждой си-стемы. Количество базисных векторов равно произведениюсоответствующих чисел для каждой системы. Таким об-разом, вектор состояния всей системы есть прямое произ-ведение векторов состояний каждой подсистемы. Соответ-ственно и произведение операторов отличается от обычно-го (внутреннего) матричного произведения, поскольку этоопять прямое произведение операторов. Обычно знак пря-мого произведения (или суммы) не выделяют особо, считаяэтот факт очевидным, однако об этом всегда нужно пом-нить. Иными словами, строже было бы записать определе-ние (s2) так:

|n1, j1,m1;n2, j2,m2〉 = |n1, j1,m1〉 ⊗ |n2, j2,m2〉. (3.8)

То же самое уточнение следует сделать и для произве-дения операторов. Итак, будем сейчас рассматривать толь-ко состояния с определенным моментом и для простотыопустим набор остальных квантовых чисел (но они всегдаесть!). Для изолированной замкнутой системы, каковой ипредставляется наша система двух невзаимодействующихчастиц, E, P, M – интегралы движения. Поэтому в нашемслучае должен сохраняться полный (суммарный) моментколичества движения

M = M1 +M2; M→ ~J; M1,2 → ~j1,2. (3.9)

109

Состояния системы описываются линейными комбинация-ми (2j1+1) ·(2j2+1) независимых векторов |j1,m1〉|j2,m2〉.Это есть размерность пространства состояний системы двухчастиц с моментами j1 и j2. Наша задача состоит в том,чтобы описать состояния всей системы с полным момен-том J, образованным двумя независимыми моментами j1 иj2, которые в свою очередь сами по себе в отдельности со-храняются, поскольку частицы между собой не взаимодей-ствуют. Иными словами, мы здеcь имеем интегралы дви-жения j21, j

22, J

2, Jz, которые и должны быть включены вполный набор физических величин. Или, как принято гово-рить, задать представление, в котором описывается нашасистема.

Легко показать, что операторы

Jz = j1z + j2z; J2 = j21 + j22 + 2(j1j2)

между собой коммутируют, а остальные компоненты удо-влетворяют известным коммутационным соотношениям длямомента:

[J2, Jz] = 0, [Jα, Jβ ] = ieαβγ Jγ . (3.10)

Соответственно

J2|j1, j2, J,M〉 = J(J + 1)|j1, j2, J,M〉,Jz|j1, j2, J,M〉 = M |j1, jl2, J,M〉

. (3.11)

Прежде всего заметим, что, по определению J = maxM =j1 + j2. Такое состояние одно:

|J, J〉 = |j1+j2, j1+j2〉 = |j1, j1〉|j2, j2〉,|J, J−1〉 = |j1+j2, j1+j2 − 1〉 ∝ J−|J, J〉

. (3.12)

Подействуем оператором J− на состояние с максимальнойпроекцией

J−|J, J〉 =√2J |J, J − 1〉 =

=√2j1|j1, j1 − 1〉|j2, j2〉+

√2j2|j1, j1〉|j2, j2 − 1〉.

110

Получаем состояние с проекцией на 1 меньше:

|J, J − 1〉 =

=

√j1

j1+j2|j1, j1−1〉|j2, j2〉+

√j2

j1+j2|j1, j1〉|j2, j2−1〉. (3.13)

Легко видеть, что существует вторая линейно независимая(ортогональная к первой) линейная комбинация

|J , j1 + j2 − 1〉 =

=

√j2

j1+j2|j1, j1−1〉|j2, j2〉 −

√j1

j1+j2|j1, j1〉|j2, j2−1〉. (3.14)

Поскольку это состояние не относится к состоянию с пол-ным моментом J = j1 + j2, оно должно соответствоватьсостоянию с другим полным моментом. Поскольку макси-мальная проекция равна j1+j2−1, по определению следуетположить J = j1 + j2 − 1.

Действуя теперь понижающим оператором на состоя-ния |J = j1 + j2,M = j1 + j2 − 1〉 и |J = j1 + j2 − 1, M =j1 + j2 − 1〉, получим два линейно независимых состояния,относящихся к соответствующим полным моментам. Oд-нако, если J − 1 6= 0, наряду с получающимися вектора-ми можно построить третий, линейно независимый, орто-гональный к двум полученным вектор. Как и прежде, этотвектор должен быть отнесен к состоянию с полным момен-том J = j1 + j2 − 2. Продолжая процедуру, видим, чтоновые линейно независимые вектора могут быть постро-ены до тех пор, пока проекция не понизится до значенияM = |j1−j2|. Таким образом, получаем, что полный моментсистемы двух частиц с моментами j1 и j2 может приниматьзначения

|j1 − j2| ≤ J ≤ (j1 + j2). (3.15)

111

Это так называемое неравенство треугольника. Если j2 <j1, получается всего 2j2 + 1 различных значений, которыеможет принимать полный момент системы двуx частиц.Полное же число состояний всей системы остается неиз-менным:

J=j1+j2∑

J=|j1−j2|(2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1). (3.16)

Таким образом, пространство (2j1+1)(2j2+1) состоянийс базисными векторами |j1,m1〉|j2,m2〉 разбилось на 2j2+1инвариантных подпространства независимых состояний сбазисными векторами соответственно:

|J = j1 + j2, j1, j2,M〉, . . . , |J = |j1 − j2|, j1, j2,M〉.

Этот результат можно представить в виде

|j1, j2, J,M〉 =∑

m1+m2=M

CJ,Mj1,m1;j2,m2|j1,m1〉|j2,m2〉. (3.17)

Коэффициенты CJ,Mj1,m1;j2,m2составляют матрицу, которая

осуществляет необходимое разбиение пространства. Они на-зываются коэффициентами Клебша-Гордана. Остановимсякратко на их свойствах.

Согласно общему правилу, коэффициенты разложения(3.17) определяются при помощи скалярного произведенияна соответствующий сопряженный вектор:

CJ,Mj1,m1;j2,m2= 〈j1,m1|〈j2,m2||J,M〉. (3.18)

Обратный переход от описания состояний в базисе |j1, j2, J,M〉к описанию состояний в базисе |j1,m1〉|j2,m2〉 осуществля-

112

ется с помощью обратной матрицы

|j1,m1〉|j2,m2〉 ==

∑

M = m1 +m2;|j1 − j2| ≤ J ≥ |j1 + j2|

(C−1

)J,Mj1,m1;j2,m2

|j1, j2, J,M〉, (3.19)

которая также находится по определению

(C−1

)J,Mj1,m1;j2,m2

=〈j1, j2, J,M |j1,m1〉|j2,m2〉 =

=(〈j2,m2|〈j1,m1|j1, j2, J,M〉

)∗. (3.20)

Можно показать, что коэффициенты Клебша-Горданамогут быть выбраны все действительными. Имея обрат-ную матрицу (3.20), сразу получаем соотношения ортого-нальности:

〈j1j2; JM |j1m1〉|j2m2〉〈j2m2|〈j1m1|j1j2; J ′M ′〉 == δJJ ′′δMM ′ , (3.21)

и наоборот:

〈j2m2|〈j1m1|j1j2; JM〉〈j1j2; JM |j1m′1〉|j2m′2〉 == δm1m′

1δm2m′

2. (3.22)

Итак, CJ,Mj1,m1;j2,m2– унимодулярная матрица ортогонально-

го преобразования базиса.Матрица коэффициентов Клебша-Гордана разбивает пол-

ное пространство (2j1 + 1)(2j2 + 1) на инвариантные под-пространства меньшего ранга, соответствующие данномузначению полного момента.

Пример. Построить состояния с определенным пол-ным моментом |l1, l2, L,M〉 для случая l1 = l2 = 1.

113

В данном примере мы должны получить 9 состояний:5 состояний с L = 2; 3 – c L = 1 и 1 – с L = 0. Преждевсего следует построить состояния с максимальным зна-чением L = 2. Состояния с максимальной и минимальнойпроекциями мы знаем:

|1, 1, 2,±2〉 = |1,±1〉|1,±1〉.

Далее, согласно изложенной процедуре, получаем состоя-ния с проекциями ±1:

|1, 1, 2,±1〉 = 1√2(|1, 0〉|1,±1〉+ |1,±1〉|1, 0〉) .

Вновь действуя понижающим оператором на состояние сM = +1, получим последнее из состояний с L = 2:

|1, 1, 2, 0〉 = 1√6

(|1,−1〉|1,+1〉+ |1,+1〉|1,−1〉+2|1, 0〉|1, 0〉

).

Для построения состояний с моментом L = 1, воспользу-емся соотношениями ортогональности для коэффициентовКлебша-Гордана (2.19) и (2.20). Вначале выпишем явныйвид уже известных коэффициентов:

C2,±21,±1,1,±1 = 1, C2,±11,±1,1,0 = C2,±11,0,1,±1 =1√2,

C2,01,±1,1,∓1 =1√6, C2,01,0,1,0 =

√2

3.

Теперь запишем соотношение ортогональности для M ′ =M = +1, L′ = 2, L = 1:

1√2

(C1,+11,+1,1,0 + C1,+11,0,1,+1

)= 0.

114

Для значений M ′ = M = 1 и L′ = L = 1 соотношение ор-тогональности есть просто условие нормировки, и мы по-лучаем

|1, 1, 1,+1〉 = 1√2

(|1, 0〉|1,+1〉 − |1,+1〉|1, 0〉

).

Вектор состояния |1, 1, 1,−1〉 получается отсюда тривиаль-но. Теперь применим понижающий оператор L− к получен-ному состоянию:

|1, 1, 1, 0〉 = 1√2(|1,−1〉|1,+1〉 − |1,−1〉|1,+1〉) .

Осталось построить последний вектор с L = 0. Вновь вос-пользуемся соотношениями ортогональности для состоя-ний с M ′ =M = 0:

L′= 2, L= 0 :1√6

(C0,01,+1,1,−1+C

0,01,−1,1,+1

)+

2√6C0,01,0,1,0= 0;

L′= 1, L= 0 :1√2

(C0,01,+1,1,−1−C0,01,−1,1,+1

)= 0. (3.23)

Решая уравнения (3.17) и используя условия нормировки,получаем

|1, 1, 0, 0〉 = 1√3(|1,−1〉|1,+1〉+ |1,−1〉|1,+1〉 − |1, 0〉|1, 0〉) .

Очень часто вместо коэффициентов Клебша-Гордана удоб-но использовать их выражение через 3j-символы Вигнера,которые связаны соотношением:

CJ,Mj1,m1;j2,m2=(−1)j1−j2+M

√2J + 1

(j1 j2 Jm1 m2 −M

). (3.24)

3j-символы обладают свойствами симметрии, некоторые изкоторых мы перечислим.

115

Симметрия по отношению к перестановке столбцов:(j1 j2 j3m1 m2 m3

)= (−1)j1+j2+j3

(j2 j1 j3m2 m1 m3

). (3.25)

Симметрия по отношению к замене знака проекций:(j1 j2 j3m1 m2 m3

)=(−1)j1+j2+j3

(j1 j2 j3−m1 −m2 −m3

). (3.26)

Сумма проекций равна нулю:

m1 +m2 +m3 = 0. (3.27)

Кроме перечисленных важных свойств, приведем оче-видную, но очень полезную формулу:

(j j 0m −m 0

)= (−1)j−m 1√

2j + 1. (3.28)

Более подробное изложение свойств 3j-символов мож-но найти в учебниках по квантовой механике или в специ-альной литературе, посвященной представлениям группывращений.

Упражнения.1. Записать соотношения ортогональности для 3j-символов.2. Получить формулу (3.28).

5.4 Матрица поворота для j = 1/2 и 1

Получим сперва матрицу конечных вращений – функциюdjm′m(β) – для системы с моментом j = 1/2. Матричныеэлементы определяются для оператора поворота относи-тельно оси y. Воспользуемся результатами из курса кван-товой механики для спина 1/2:

e−iΩ(sn) = cosΩ

2− i(σn) sin Ω

2.

116

Для того, чтобы получить вид матричных элементов опе-ратора поворота, достаточно записать в соответствующемпредставлении спиновые операторы. Поэтому для функцииd1/2m′m(β) получаем:

d1/2m′m(β) =

(cosβ/2 − sinβ/2sinβ/2 cosβ/2

). (4.1)

Упражнение.Получить выражение для функции D1/2(α, β, γ).

Для момента j = 1 выражение для d-функции можнополучить двумя способами. Поскольку они весьма поучи-тельны, рассмотрим оба.

Первый способ состоит в установлении соответствия меж-ду векторами и собственными функциями оператора мо-мента. Вновь сошлемся на сведения из курса квантовой ме-ханики: при преобразовании поворота собственные функ-ции оператора момента выражаются линейными комбина-циями этих же функций, записанных в “новой” системекоординат. Собственно, это утверждение лежит в основеопределения матрицы конечных вращений. Посмотрим наданное утверждение с несколько иных позиций. Для мо-мента j = 1 существуют всего три линейно независимыхфункции: Y 10 (θ, ϕ) и Y 1±1(θ, ϕ). Можно рассматривать этитри функции как компоненты трехмерного вектора, законпреобразования компонентов которого определяется мат-рицей D1(θ, ϕ).

Рассмотрим теперь компоненты обычного радиус-вектораr = (x, y, z), которые преобразуются в соответствии с мат-рицей поворота в декартовой системе координат. Матрицаповорота на угол β относительно оси y имеет вид:

Py(β) =

cosβ 0 sinβ0 1 0

− sinβ 0 cosβ

. (4.2)

117

Заметим, что матрица (4.2) определяет преобразова-ние действительных компонент и поэтому действительна.Сферические функции комплексны, поскольку записаныне в действительных декартовых, а в комплексных “цир-кулярных” координатах. Поэтому следует перевести ком-поненты радиус-вектора в декартовых координатах в ком-поненты в циркулярных координатах:

ρ0 = z, ρ±1 = ∓1√2(x± iy) . (4.3)

Переход к представлению (4.3) осуществляется с помощьюунитарной матрицы преобразования:

C=

−1/√2 0 1/

√2

−i/√2 0 i/

√2

0 1 0

, C+=

−1/√2 i/

√2 0

0 1 0

1/√2 i/

√2 0

. (4.4)

Теперь легко получить искомое выражение для матрицыконечных вращений D(1) на угол β относительно оси y :d(1)(β) = C+Py(β)C.

d(1)(β) =

−1/√2 i/

√2 0

0 1 0

1/√2 i/

√2 0

·

·

cosβ 0 sinβ0 1 0

− sinβ 0 cosβ

·

−1/√2 0 1/

√2

−i/√2 0 i/

√2

0 1 0

=

=

(1 + cosβ)/2 − sinβ/

√2 (1− cosβ)/2

sinβ/√2 cosβ − sinβ/

√2

(1− cosβ)/2 sinβ/√2 (1 + cosβ)/2

. (4.5)

Результат (4.5) можно получить, использовав результатыпредыдущего параграфа, посвященного сложению момен-тов. Мы знаем, что в результате сложения двух моментов

118

1/2 получаются состояние с моментом 0 и три состояния смоментом 1. Эти четыре состояния получилось в результа-те разбиения пространства четырех состояний, образован-ного прямым произведением подпространств двух состоя-ний на два инвариантных подпространства. Следователь-но, для получения матрицы d(1) следует прямое произве-дение матриц (4.1) привести к квазидиагональному видудвух подматриц. Запишем прямое произведение двух мат-риц (4.1):

d1/2(β)⊗ d1/2(β) =(cos β2 − sin β

2

sin β2 cos β2

)⊗(cos β2 − sin β

2

sin β2 cos β2

)=

=

cos2 β2 − cos β2 sinβ2 − sin β

2 cosβ2 sin2 β2

cos β2 sinβ2 cos2 β2 − sin2 β2 − sin β

2 cosβ2

sin β2 cos

β2 − sin2 β2 cos2 β2 − cos β2 sin

β2

sin2 β2 sin β2 cos

β2 cos β2 sin

β2 cos2 β2

=

=1

2

1+cosβ − sinβ − sinβ 1−cosβsinβ 1+cosβ −(1−cosβ) − sinβsinβ −(1−cosβ) 1+cosβ − sinβ

(1−cosβ) sinβ sinβ 1+cosβ

.

(4.6)

При сложении двух моментов 1/2 состояния с противопо-ложными проекциями перемешиваются с одинаковыми “ве-совыми” множителями 1/

√2. В матрице (4.6) состояниям

с суммарной проекцией стоят во вторых и третьих стро-ках и столбцах. Для того, чтобы привести нашу матрицу кквазидиагональному виду следует провести унитарное пре-образование

C=

1√2

0 1√20

0 1 0 0− 1√

20 1√

20

0 0 0 1

, C

+=

1√20 − 1√

20

0 1 0 01√20 1√

20

0 0 0 1

. (4.7)

119

Искомая матрица представлена матрицей третьего ран-га в получающемся разбиении, которое записывается в ви-де прямой суммы:

C+(d1/2(β)⊗ d1/2(β)

)C = d(0) ⊕ d(1) =

=

1 0 0 0

0 (1 + cosβ)/2 − sinβ/√2 (1− cosβ)/2

0 sinβ/√2 cosβ − sinβ/

√2

0 (1− cosβ)/2 sinβ/√2 (1 + cosβ)/2

. (4.8)

Очевидно, для состояния с нулевым моментом матрица сво-дится к числу d(0) = 1.

5.5 Угловой момент и система двух ос-

цилляторов

Теорию углового момента можно изложить на языке по-вышающих и понижающих операторов системы двух од-номерных гармонических осцилляторов (операторов “рож-дения” и “уничтожения”). Этот метод изложения принад-лежит Йордану и Швингеру. Введем операторы уничтоже-ния и рождения двух осцилляторов, соответственно a, a+

и b, b+, удовлетворяющие коммутационным соотношениямповышающих и понижающих операторов для гармониче-ского осциллятора:

[a, a+] = 1, [b, b+] = 1, [a, b] = [a, b+] = 0. (5.1)

Определим теперь операторы из билинейных комбинаций:

j+ = a+b, j− = ab+, jz =1

2

(a+a− b+b

), (5.2)

а также оператор квадрата момента

j2 =a+a+ b+b

2

(a+a+ b+b

2+ 1

). (5.3)

120

Упражнения

1 Убедиться путем прямого вычисления, что операторы(5.2) удовлетворяют коммутационным соотношениям дляоператора углового момента: [jz, j±] = ±j±, [j+, j−] =2jz.2 Прямыми вычислениями показать, что j2z+(j+j−+j−j+)/2имеет вид (5.3).

Из определений (5.2) и (5.3) следует, что состояния мо-мента j с определенной проекцией |j,m〉 можно выразитьчерез состояния системы двух невзаимодействующих гар-монических осцилляторов |na, nb〉, где na, nb = 0, 1, 2, . . .В этом случае максимальная проекция j определяется изсуммы квантовых чисел двух осцилляторов:

2j = na + nb. (5.4)

Иными словами, состояния системы двух осцилляторов сзаданной энергией EN = na + nb + 1 отвечают набору ба-зисных векторов углового момента |j,m〉, где

m =na − nb2

, j =na + nb2

. (5.5)

Задачи1 Получить формулы 1.13), определяющие действие повы-шающего и понижающего операторов момента импульса,зная действие операторов рождения и уничтожения осцил-ляторов на собственные векторы:a+a|na, nb〉 = na|na, nb〉, a+|na, nb〉 =

√na + 1|na+1, nb〉, . . .

2 Получить выражение для оператора конечных вращений(2.5), используя определения (5.2).

3 Получить выражение для коэффициентов Клебша-Горда-на Cjmj1m1,j2m2

, используя представление момента в виде си-стемы двумерных осцилляторов.

121

5.6 Представление матрицы плотности

для системы с моментом j

Для системы с определенным моментом количества движе-ния j матрица плотности может быть представлена в видематрицы ранга 2j + 1 с матричными элементами в базисесобственных состояний момента:

ρ(j)mm′ = 〈jm|ρ(j)|jm′〉, m, m′ = −j,−j+1, . . . , j−1, j. (6.1)

Используя представление с помощью проекционных опера-торов, для оператора плотности можем записать:

ρ(j) =

j∑

m,m′=−jρ(j)mm′ |jm〉〈jm′|. (6.2)

Диагональные элементы матрицы плотности определяют(положительное) распределение вероятности измерения со-ответствующего значения проекции на ось квантования z:

ρ(j)mm = w0(m). (6.3)

Очевидно, распределение (6.3) нормировано:

j∑

m=−jw0(m) = 1. (6.4)

Запишем теперь представление оператора плотности в дру-гой, повернутой системе отсчета. Для этого следует проде-лать соответствующее преобразование базисных векторов:

ρ(j)m1m2=(D(j)ρ(j)D(j)

+)m1m2

. (6.5)

Диагональные матричные элементы матрицы (6.5) опре-деляют вероятности измерения соответствующей проекции

122

момента на ось квантования z′ в системе отсчета, поверну-той относительно исходной на углы Эйлера α, β, γ. Такимобразом, “новые” вероятности также зависят от этих углов.Обозначим их как:

w(m1, α, β, γ) =

=

j∑

m1,m2=−jD(j)m1m′

1

(α, β, γ)ρ(j)m′

1m′

2

D(j)∗m1m′

2

(α, β, γ). (6.6)

Вспомним свойство D-функций:

D(j)m′m(α, β, γ) = (−1)m

′−mD(j)−m′−m(α, β, γ) (6.7)

и получим, что распределение вероятности (6.6) не зависитот угла γ, поэтому:

w(m1, α, β, γ) ≡ w(m1, α, β). (6.8)

ПримерРассмотрим систему со спином j = 1/2, находящуюся в со-стоянии с проекциейm = +1/2. Это состояние описываетсяматрицей плотности

ρ+ =

(1 00 0

). (6.9)

В этом случае томографическое распределение вероятно-сти есть:

w(+1

2, α, β) = cos2

β

2, w(−1

2, α, β) = sin2

β

2. (6.10)

Обратим теперь выражение (6.6), т.е. выразим матри-цу плотности через томографическое распределение веро-ятности. Поскольку рассматриваемое выражение представ-ляет собой скаляр, умножим его на D-функцию Вигнера с

123

фиксированной нулевой проекцией в первом индексе и про-интегрируем по всем углам Эйлера:

∫(−1)m1w(m1, α, β)D

(j3)0m3

(α, β, γ)dω

8π2=

j∑

m1,m2=−jρ(j)m′

1m′

2

(−1)m1

∫dω

8π2D(j)m1m′

1

(α, β, γ)D(j)∗m1m′

2

(α, β, γ)D(j3)0m3

(α, β, γ)= (6.11)

=

j∑

m1,m2=−j(−1)m′

2ρ(j)m′

1m′

2

(j j j3m1 −m1 0

)(j j j3m′1 −m′2 m3

).

Здесь мы воспользовались известным свойствомD-функцийВигнера:

∫dω

8π2D(j1)m1m′

1

(ω)D(j2)m2m′

2

(ω)D(j3)m3m′

3

(ω) =

=

(j1 j2 j3m1 m2 m3

)(j1 j2 j3m′1 m′2 m′3

). (6.12)

Здесь∫dω =

2π∫

0

dα

π∫

0

sinβdβ

2π∫

0

dγ. (6.13)

Дальнейшие преобразования требуют применения соотно-шений ортогональности для 3j-символов:

(2j + 1)

j1∑

m1=−j1

j2∑

m2=−j2

(j1 j2 jm1 m2 −m

)(j1 j2 j′

m1 m2 −m′)=

=δjj′δmm′ ; (6.14)j1+j2∑

j=|j1−j2|

j∑

m=−j(2j + 1)

(j1 j2 jm1 m2 −m

)(j1 j2 jm′1 m′2 −m

)=

=δm1m′

1δm2m′

2. (6.15)

124

Умножим выражение (6.11) на соответствующий 3j-символВигнера и просуммируем по проекции m1 :

(2j3 + 1)

j∑

m1=−j

(j j j3m′1 −m1 0

)∫(−1)m1

dω

8π2w(m1, α, β)·

·D(j3)0m3(α,β,γ)=

j∑

m′

1=−j

j∑

m′

1=−j(−1)m′

2ρ(j)m′

1m′

2

(j j j3m′1 −m′2 m3

). (6.16)

Умножим полученное выражение (6.16) на вигнеровскийсимвол

(23 + 1)

(j j j3m′′1 −m′′2 m3

)

просуммируем по переменным j3 и m3 и получим:

2j∑

j3=0

j3∑

m3=−j3(2j3 + 1)

2j∑

m1=−j

∫(−1)m1w(m1, α,β)D

(j3)0m3

(α,β,γ)×

×(

j j j3m1 −m1 0

)(j j j3m′1 −m′1 m3

)dω

8π2=

=(−1)m′

2ρ(j)m1m′

1

. (6.17)

Таким образом, задача обращения формулы (6.6) решена.Итак, если дано томографическое распределение веро-

ятности для произвольного момента (спина), можно ре-конструировать матрицу плотности состояния с помощьюполученных соотношений. Этот результат позволяет изме-рять состояния момента, измеряя лишь проекцию на дан-ную ось. Получаемая экспериментальная функция распре-

деления вероятностей, зависящая от двух углов, позволяетполностью реконструировать информацию о квантовом со-стоянии момента. Это означает, что распределение вероят-ностей может быть использовано для описания квантовогообъекта вместо комплексных функций и матрицы плотно-сти.

125

5.7 Инвариантная формулировка томо-

графии состояний момента

Состояния момента могут быть определены в инвариант-ной форме связи распределения вероятностей и оператораплотности. Определим функцию на сфере единичного ра-диуса:

Φ(j3)j,m′

1m′

2

(α, β) =

=(−1)m′

2

j3∑

m3=−j3D(j3)0m3

(α, β, γ)

(j j j3m′1 −m′2 m3

)(7.1)

и, соответственно, оператор:

A(j3)j (α,β)=(2j3+1)

2j∑

m′

1=−j

j∑

m′

2=−jΦ(j3)j,m′

1m′

2

(α,β)|jm′1〉〈jm′2|. (7.2)

Если теперь, используя выражения (7.1) и (7.2) определитьоператор на сфере

Bjm1(α, β)=(−1)m1

2j∑

j3=0

(j j j3m1 −m1 0

)A(j3)j (α,β), (7.3)

оператор плотности можно записать в виде:

ρ(j) =

j∑

m1=−j

∫w(m1, α, β)B

jm1(α, β)

dω

8π2. (7.4)

Суммирование по всем возможным проекциям означает усред-нение оператора (7.3) по распределению вероятностей:

ρ(j) =

∫dω

8π2〈Bj

m1(α, β)〉, (7.5)

126

где

〈Bjm1(α, β)〉 =

j∑

m1=−jw(m1, α, β)B

jm1(α, β). (7.6)

Если некоторая наблюдаемая определяется оператором K,ее можно описать функцией

φ(j)K (m1, α, β) = TrKB

jm1(α, β). (7.7)

При таком определении среднее значение этой наблюдае-мой определяется “обычной” формулой теории вероятно-стей:

〈K〉 =j∑

m1=−j

∫dω

8π2w(m1, α, β)φ

(j)K (m1, α, β). (7.8)

Таким образом, наблюдаемую величину – спин систе-мы можно описать с помощью некоторой c-числовой функ-цией, зависящей от параметров системы отсчета. Средниезначения при этом вычисляются, используя эту функциютак же, как в стандартной теории вероятностей.

127

Глава 6

Перепутанныесостояния(entanglement)

6.1 Сепарабельные и перепутанные со-

стояния

Рассмотрим матрицу плотности системы двух частиц соспинами j1 и j2 соответственно. Состояния такой системыделятся на два принципиально различных типа: сепара-бельные и перепутанные. Сепарабельными называются со-стояния, матрица плотности которых представима в видесуммы:

ρ =∑

k

pkρj1k ⊗ ρ

j2k . (1.1)

Здесь положительные числа pk ≥ 0 и удовлетворяют усло-вию: ∑

k

pk = 1. (1.2)

128

Набор чисел k произволен. В частности, эти числа могутпринимать непрерывные значения, в таком случае суммследует понимать в интегральном смысле и заменять сум-мирование интегрированием по области изменения непре-рывной переменной – индекса k :

∫dk. Матрицы плотно-

сти ρk как для подсистемы со спином j1, так и для подси-стемы со спином j2. могут быть в общем случае неортого-нальными, т.е.:

ρj1k ρj1k′ 6= 0, ρ

j2k ρ

j2k′ 6= 0. (1.3)

При усреднении сепарабельной матрицы плотности (1.1)по степеням свободы подсистемы со спином j2 получаетсяматрица плотности, которая описывает только подсистемусо спином j1, при этом она равна:

ρ1 = Trj2ρ =∑

k

pkρj1k . (1.4)

Совершенно аналогично определяется матрица плотностивторой подсистемы:

ρ2 = Trj1ρ =∑

k

pkρj2k . (1.5)

Здесь мы воспользовались условием нормировки матрицыплотности:

Trρj1k = 1, Trρj2k = 1.

Рассмотрим случай, когда сепарабельная матрица плот-ности имеет вид:

ρ = ρj11 ⊗ ρj21 . (1.6)

Очевидно, для состояния системы с матрицей плотности(1.6) состояния двух подсистем полностью независимы, ины-ми словами, корреляции подсистемы со спинами j1 и j2 от-сутствуют. Это, в частности означает, что среднее от про-изведения любых двух операторов, действующих на состо-яния различных подсистем равны произведению средних

129

для каждой подсистемы:

〈f(j1)g(j2)〉 = Trρf(j1)g(j2) = 〈f(j1)〉〈g(j2)〉. (1.7)

Здесь

〈f(j1)〉 = Trf(j1)ρ(j1)1 , 〈g(j2)〉 = Trg(j2)ρ(j2)1 .

В случае чистых состояний подсистем, матрица плотности(1.6) может быть выражена через собственные векторы со-стояний |j1〉 и |j2〉 :

ρ = |j1〉〈j1| ⊗ |j2〉〈j2|. (1.8)

Для сепарабельной матрицы плотности общего вида (1.1)состояния двух подсистем уже не независимы и для сред-них величин возникают корреляции, которые, однако, име-ют специальный вид:

〈f(j1)〉 =∑

k

pk〈f(j1)〉(k),

〈g(j2)〉 =∑

k

pk〈g(j2)〉(k) (1.9)

и〈f(j1)g(j2)〉 =

∑

k

pk〈f(j1)〉(k)〈g(j2)〉(k). (1.10)

Здесь

〈f(j1)〉(k) = Trf(j1)ρ(j1)k , 〈g(j2)〉(k) = Trg(j2)ρ(j2)k . (1.11)

Состояния называются перепутанными (entangled states),если их матрицы плотности не могут быть представлены ввиде суммы (1.1) ни для каких положительных чисел pk,удовлетворяющих условию нормировки (1.2).

130

6.2 Критерий сепарабельности

Существует необходимое условие сепарабельности состоя-ний (критерий Переса). Он основан на следующем свой-стве произвольной матрицы плотности, а именно: если да-на некоторая матрица плотности ρ, то транспонированнаяк ней матрица R, т.е.

R = ρt (2.1)

удовлетворяет всем свойствам матрицы плотности. Дей-ствительно:

TrR =Trρt = 1, (2.2)

R+ =(ρt)+= ρt = r, (2.3)

R =ρt ≥ 1. (2.4)

Последнее условие неотрицательности матрицы следует изтого, что собственные значения матрицы ρ и транспони-рованной к ней ρt одинаковы. Поскольку собственные зна-чения матрицы плотности неотрицательны, следовательноони неотрицательны и для матрицы R.

Воспользуемся свойствами (2.2) и рассмотрим преобра-зованную сепарабельную матрицу плотности (1.1) вида ρP ,а именно:

ρP =∑

k

pkρ(j1)k ⊗ (ρ(j2)k )t. (2.5)

Поскольку матрицы (ρ(j2)k )t являются допустимыми мат-рицами плотности (они удовлетворяют всем критериям!),новая матрица ρP также удовлетворяет всем требованиямпо построению: эрмитова, неотрицательна и нормирована.Преобразование, которое мы сделали с матрицей плотностиρ называют преобразованием частичного транспонирова-

ния. Свойство сепарабельных состояний переходить при

131

частичном транспонировании в другую допустимую мат-рицу плотности называют критерием сепарабельности Пе-

реса. Это свойство оказывается необходимым условием, од-нако не достаточно в общем случае.

6.3 Состояние Вернера

Рассмотрим в качестве примера состояние системы двухспинов 1/2, описываемых матрицей плотности вида (состо-яние Вернера):

ρW =

1+p4 0 0 p

2

0 1−p4 0 0

0 0 1−p4 0

p2 0 0 1+p

4

. (2.1)

Здесь p – непрерывный параметр.Матрица плотности (2.1) соответствует оператору плот-

ности ρ, матричные элементы которого вычислены в стан-дартном базисе независимых состояний двух спинов:

|1〉 = |+〉|+〉, |2〉 = |+〉|−〉,|3〉 = |−〉|+〉, |4〉 = |−〉|−〉. (2.2)

Собственные значения матрицы плотности ρW (2.2) равны:

ρ1 =1 + 3p

4, λ2,3,4 = λ1− p4. (2.3)

Для того, чтобы собственные значения матрицы плотности(2.3) были положительными, параметр p может приниматьзначения:

−13< p < 1. (2.4)

Таким образом, интервал возможных значений параметраp (2.4) описывает состояния Вернера.

132

Можно убедиться, что операция частичного транспони-рования переводит матрицу плотности состояния Вернерав матрицу

ρPW =

1+p4 0 0 0

0 1−p4

p2 0

0 p2

1−p4 0

0 0 0 1+p4

. (2.5)

Легко видеть, что так построенная матрицы эрмитова иимеет единичный след.

Собственные значения матрицы (2.5) равны:

λP1 =1− 3p4

, λP2,3,4 =1 + p

4. (2.6)

Условие положительности матрицы ρPW выполняется дляинтервала значений параметра

−1 < p <1

3. (2.7)

Таким образом приходим к выводу, что при значениях

1

3< p < 1 (2.8)

состояние Вернера оказывается перепутанным, посколькунеобходимое условие сепарабельности 2.7) для этих значе-ний параметра p нарушено.

В более общем виде матрица плотности такого типа мо-жет быть представлена в виде:

ρ =

R11 0 0 R120 ρ11 ρ12 00 ρ21 ρ22 0R21 0 0 R22

, Trρ = 1, ρ+ = ρ. (2.9)

133

Условие неотрицательности матрицы плотности ρ (2.9) да-ют неравенства:

det

(ρ11 ρ12ρ21 ρ22

)≥ 0, det

(R11 R12R21 R22

)≥ 0. (2.10)

Условия эрмитовости и неотрицательности означают:

ρ11 ≥ 0, ρ22 ≥ 0, R11 ≥ 0, R22 ≥ 0. (2.11)

Преобразование частичного транспонирования дает эрми-тову матрицу с единичным следом:

ρP =

R11 0 0 ρ120 ρ11 R12 00 R21 ρ22 0ρ21 0 0 R22

. (2.12)

Условие неотрицательности матрицы ρP задает неравен-ствам:

R11R22 ≥ |ρ12|2, ρ11ρ22 ≥ |R12|2 . (2.13)

При нарушении неравенств (2.13) матрица плотности (2.9),удовлетворяющая условиям (2.10) и (2.11) описывает пере-путанные состояния. Как видим, состояние Вернера (2.1)представляет частный случай состояния (2.9).

134

Глава 7

Системы многих частиц

7.1 Cистема связанных гармонических

осцилляторов

Прежде чем перейти к изучению систем многих частиц,рассмотрим систему с большим числом степеней свободы:N связанных одномерных гармонических осцилляторов. Дляэтой системы гамильтониан можно записать в виде

H =∑

k

P 2k2mk

+∑

k,l

VklQkQl, (1.1)

где Qk и Pk – операторы обобщенных координат и импуль-сов, которые удовлетворяют известным коммутационнымсоотношениям:[

Qk, Ql

]=[Pk, Pl

]= 0,

[Qk, Pl

]= i~δkl, (1.2)

а матрица связи действительна и симметрична: Vkl = Vlk.Приведем гамильтониан (1.1) к более симметричному

виду, сделав замену переменных

qk =√mkQk, pk =

1√mk

Pk (1.3)

135

и введя переопределение

Ukl =2√mkml

Vkl,

тогда коммутационные соотношения останутся прежними(1.2), а гамильтониан примет вид:

H =1

2

∑

k

p2k +1

2

∑

k,l

Uklqkql. (1.4)

Будем считать, что матрица Ukl невырождена и поло-жительно определена, тогда ее можно диагонализовать. Диа-гонализация по сути дела означает переход к нормальным

координатам qα. Пусть переход к нормальным координа-там осуществляется с помощью ортогональной матрицы:

qα =∑

k

Cαkqk, qk =∑

α

Ckαqα (1.5)

где ∑

k

CαkCβk = δαβ ,∑

α

CαkCαl = δkl.

Поскольку матрица Cαk диагонализует матрицу связи, мож-но записать1: ∑

k,l

CkαVklClβ = ω2αδαβ . (1.6)

Следовательно∑

k,l

Uklqkql =∑

k,l

Ukl∑

α

Ckαqα∑

β

Clβ qβ =∑

α

ω2αq2α.

Поскольку операторы координаты и импульса канони-чески сопряжены, нормальные компоненты импульса так-же определяются матрицей Cαk :

pα =∑

k

Cαkpk, pk =∑

α

Ckαpα, (1.7)

1Матрица связи положительно определена!

136

причем[qα, pβ ] = i~δαβ. (1.8)

Подставляя все введенные обозначения и определения вформулу (1.4), получаем гамильтониан в виде суммы га-мильтонианов несвязанных осцилляторов:

H =1

2

∑

α

(p2α + ω2αq

2α

). (1.9)

Таким образом можно сделать вывод, что состояние си-стемы осцилляторов можно представить в виде прямого

произведения состояний одномерных осцилляторов, соот-ветствующих нормальным степеням свободы. Посколькусостояние одномерного осциллятора определяется толькоодним квантовым числом n, имеем:

|Ψ〉 = |n1〉 ⊗ |n2〉 ⊗ · · · ⊗ |nN 〉 ≡N∏

α=1

⊗|nα〉. (1.10)

Здесь мы явно написали знак прямого произведения, по-скольку пространство состоянийN осцилляторов имеет раз-мерность произведения размерностей пространств состоя-ний одномерных осцилляторов. Очень часто знак прямогопроизведения ⊗ опускают для простоты, или считая этосамо собой разумеющимся, однако по крайней мере одинраз все нужно написать в явном виде. Энергия системыосцилляторов равна сумме энергий. Соответственно, как идля одного одномерного осциллятора удобно ввести повы-

137

шающий и понижающий операторы:

aα =1√2

(√ωα~qα +

i√~ωα

pα

),

a+α =1√2

(√ωα~qα −

i√~ωα

pα

), (1.11)

qα =

√~

2ωα

(a+α + aα

), pα = i

√~ωα2

(a+α − aα

). (1.12)

Так введенные нами операторы удовлетворяют коммутаци-онным соотношениям:

[aα, aβ] =[a+α , a

+β

]= 0,

[aα, a

+β

]= δαβ . (1.13)

Учитывая определения операторов и их коммутационныесоотношения (1.13), запишем гамильтониан (1.1) в виде:

H =∑

α

~ωα

(a+α aα +

1

2

). (1.14)

Соответственно, собственные состояния задаются совокуп-ностью N чисел nα и их можно записать как

|Ψ〉 ≡ |n1n2, . . . nN 〉 =[∏

α

(a+α )nα

√nα!

]|00 . . . 0〉, (1.15)

а уровни энергии равны:

En1,n2,...nN =∑

α

(nα + 1/2) ~ωα. (1.16)

Энергия основного состояния |00 . . . 0〉 равна∑

α ~ωα/2 идля системы с бесконечным числом степеней свободы об-ращается в бесконечность. Поэтому обычно энергию систе-мы переопределяют, отсчитывая от энергии основного со-стояния. В таком случае в формулах (1.14) и (1.16) 1/2 вскобках исчезает.

138

Подводя итог параграфа, можно сказать, что системасвязанных осцилляторов может быть представлена как ан-

самбль независимых осцилляторов, а энергия системы рав-на сумме энергий всех независимых подсистем. При этомзаметим, что если рассматривать только энергию системы(1.16), ее можно представить как сумму энергий

N =∑

α

nα

осцилляторов, из которых nα описываются одинаковой ча-стотой ωα и находятся на первом возбужденном уровне.Теперь в нашем описании получили, что все nα осцилля-торов неразличимы, что выражается множителем

√nα! в

знаменателе. Заметим, что nα! – число перестановок оди-наковых (тождественных) осцилляторов.

7.2 Cистемы тождественных частиц

Перейдем к рассмотрению систем тождественных частиц.Как известно, есть два принципиально разных “сорта"частиц,которые отличаются своими свойствами относительно пе-рестановки их в системе. Поскольку тождественные части-цы физически неразличимы, отличие в описании этих двухсортов частиц может быть выражено только лишь в раз-личном поведении состояний (волновых функций) относи-тельно перестановки частиц местами. Мы видели в преды-дущем параграфе, что состояние системы независимых ча-стиц может быть записано в виде прямого произведенияодночастичных состояний. Если мы условно пронумеруемвсе эти независимые различные частицы и в произведенииместо каждого сомножителя в прямом произведении будетсоответствовать частице с данным номером, тогда такое

139

N -частичное состояние будет записано в виде:

|ψ〉 = |ψ1〉|ψ2〉 . . . |ψN 〉. (2.1)

Поскольку все одночастичные состояния определены в сво-

их одночастичных пространствах, скалярное произведе-ние двух N -частичных состояний есть

〈ϕ|ψ〉 =(〈ϕ1|〈ϕ2| . . . 〈ϕN |)(|ψ1〉|ψ2〉| . . . |ψN 〉) ==〈ϕ1|ψ1〉〈ϕ2|ψ2〉 . . . 〈ϕN |ψN 〉. (2.2)

Волновая функция N -частичного состояния (2.1) мо-жет быть записана как

ψ(r1, r2, . . . rN)=〈r1|〈r2|. . .〈rN ||ψ〉=ψ(r1)ψ(r2) · · ·ψ(rN). (2.3)

Волновая функция (2.3) не обладает никакой симметриейотносительно перестановки частиц, поскольку они в дан-ном случае все различимы.

Систему N независимых тождественных частиц такжеможно описать на языке одночастичных состояний, однаков силу неразличимости частиц мы теперь не можем прону-меровать их. Поэтому мы можем только констатироватьфакт, что в данном N -частичном состоянии представленыN , вообще говоря различных, одночастичных состояния.Сохраняя теперь вместо нумерации частиц нумерацию со-

стояний, мы должны полностью симметризовать или ан-тисимметризовать N -частичное состояние тождественныхчастиц. Как известно, симметричными состояниями опи-сываются бозе-частицы, а антисимметричными – ферми-

частицы. Введем параметр ζ, который принимает значе-ния

ζ =

+1 для бозе-частиц,−1 для ферми-частиц.

(2.4)

Для тождественных частиц имеет место свойство:

|ψ1〉. . .|ψi〉. . .|ψk〉. . .|ψN〉=ζ|ψ1〉. . .|ψk〉. . .|ψi〉. . .|ψN〉. (2.5)

140

Теперь состояние (2.5) можно выразить через одночастич-ные состояние, проведя все возможные перестановки:

|ψ1, ψ2, . . . , ψN〉ζ=1√N !

∑

P

ζP |ψP (1)〉|ψP (2)〉. . .|ψP (N)〉, (2.6)

где символ P означает все перестановки N аргументов.Нам нужно уметь переходить от векторного представления(2.6) к волновым функциям. Для этого следует определитьскалярное произведение таких (анти)симметризованных вы-ражений. Запишем вектор бра:

ζ〈ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN | =∑

Q

ζQ〈ϕQ(1)|〈ϕQ(2)| · · · 〈ϕQ(N)|

и найдем скалярное произведение его с вектором (2.6):

ζ〈ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN |ψ1, ψ2, . . . , ψN 〉ζ =

=1

N !

∑

Q,P

ζQζP〈ϕQ(1)|〈ϕQ(2)|· · ·〈ϕQ(N)||ψP (1)〉|ψP (2)〉. . .|ψP (N)〉=

=1

N !

∑

Q,P

ζQζP 〈ϕQ(1)|ψP (1)〉〈ϕQ(2)|ψP (2)〉· · ·〈ϕQ(N)|ψP (N)〉=

=1

N !

∑

Q,P

ζQζP〈ϕ1|ψPQ−1(1)〉〈ϕ2|ψPQ−1(2)〉· · ·〈ϕN |ψPQ−1(N)〉=

=1

N !

∑

PQ−1

ζPQ−1〈ϕ1|ψPQ−1(1)〉〈ϕ2|ψPQ−1(2)〉· · ·〈ϕN |ψPQ−1(N)〉.

Обозначая перестановку PQ−1 = R и учитывая, что оста-ющееся независимое суммирование

∑Q = N !, получаем:

ζ〈ϕ1. . .ϕN |ψ1. . .ψN 〉ζ=∑

R

ζR〈ϕ1|ψR(1)〉· · ·〈ϕN |ψR(N)〉. (2.7)

141

Можно заметить, что для ферми-частиц сумма (2.7) пред-ставляет собой детерминант матрицы

−〈ϕ1, . . . , ϕN |ψ1, . . . , ψN 〉− =

=det

〈ϕ1|ψ1〉 . . . 〈ϕ1|ψN 〉. . . . . . . . .

〈ϕN |ψ1〉 . . . 〈ϕN |ψN 〉

. (2.8)

Легко видеть, что никакие две ферми-частицы не могутнаходиться в одинаковом состоянии.

Для бозе-частиц вместо детерминанта в выражении (2.7)стоит полностью симметричная сумма скалярных произве-дений, которая называется перманентом.

В дальнейшем остается условиться, как нумеровать од-ночастичные состояния. Очевидно, для описания одноча-стичных состояний удобно выбрать ортонормированный ба-

зис |βi〉, где βi полный набор квантовых чисел, необходи-мых для описания данных одночастичных состояний. Мож-но пронумеровать в порядке возрастания какой-либо ве-личины, скажем, энергии. Тогда N -частичное состояниеможно записать как |β1, β2 . . . βN〉, где β1 ≤ β2 . . . βN длябозе-частиц. Поскольку ферми-частицы не могут находить-ся в одинаковых состояниях |αi〉, следует оставить строгиенеравенства в определении N -частичного состояния|α1, α2, . . . αN 〉 и α1 < α2 < · · · < αN . Полученное так N -частичное состояние для ферми-частиц нормировано, а длябозе-частиц не будет нормированным, если в |βi〉 состояниинаходится ni > 1 частиц. Нормировка достигается делени-ем на корень квадратный из соответствующего числа пе-рестановок. Таким образом можно записать:

|β1, β2 . . . βN 〉√n1!n2! . . .

; β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN для бозе-частиц, (2.9)

|α1, α2, . . . αN 〉; α1 < α2 < · · · < αN для ферми-частиц.

142

Итак, совокупность состояний (2.9) составляет базис впространстве N -частичных состояний соответственно бозе-и ферми-систем. Если мы рассматриваем системы с пере-менным числом частиц, пространство состояний таких си-стем должно быть прямой суммой пространств всех воз-можных N -частичных состояний:

|Ψ〉 = |ψ(1)〉⊕|ψ(2)〉⊕· · ·⊕|ψ(N)〉⊕· · · =∑

N=1

⊕|ψ(N)〉. (2.10)

Очевидно, по определению состояния в подпространствах сразным числом частиц ортогональны. Обычно вместо зна-ка прямой суммы пишут знак обычного суммирования, по-лагая такое представление очевидным. Мы также для про-стоты в дальнейшем будем писать вместо знака ⊕ знакобычного суммирования, полагая, что это не приведет вдальнейшем к недоразумениям. Пространство состояний(2.10) называется пространством Фока.

7.3 Операторы рождения и уничтоже-

ния.

Вернемся к определению действия операторов на векторысостояний. Как помним, действие любого оператора на про-извольный вектор состояния в общем случае приводит кизменению вектора. Для того, чтобы построить оператор,выбирают некоторое представление, в котором операторвсегда можно записать в виде матрицы. Вид матрицы опре-деляется выбором базиса:

|ψ〉 =∑

n

cn|n〉,

f |ψ〉 =∑

n,k

fkncn|k〉. (3.1)

143

Здесь fkn = 〈k|f |n〉, и можно определить ck =∑

n fkncn,тогда

f |ψ〉 ≡ |ϕ〉 =∑

k

ck|k〉.

На первый взгляд мы ничего нового не написали, а всеголишь занимались переобозначениями. Однако попробуемобъяснить словами проведенные манипуляции. Как видноиз формулы (3.1) действие оператора на состояние в вы-бранном представлении сводится к тому, что состояние |n〉“заменяется"на другое состояние |k〉. Эту замену формаль-но также можно описать, введя новые операторы, позво-ляющие заменять одно состояние на другое. Проще всеготакую операцию определить, разбив ее на два этапа: напервом этапе избавляемся от “старого”состояния, а на вто-ром этапе вводим “новое”. Определим оператор, которыйпозволяет избавляться от существующего состояния:

an|n〉 = |0〉, (3.2)

где новый вектор |0〉 будет обозначать, что это состояниепустое. Теперь из этого пустого состояния необходимо по-лучить другое состояние. Для этого определим второй опе-ратор, который создает искомое состояние:

a+k |0〉 = |k〉. (3.3)

Тогда состояние |n〉 переходит в состояние |k〉 простым дей-ствием:

|k〉 = a+k an|n〉.Имея операторы a+k в количестве, равном числу состо-

яний (вообще говоря бесконечном), можно построить всесостояния из одного “пустого", а произвольный вектор со-стояния и оператор в формуле (3.1), соответственно пред-

144

ставить в виде:

|ψ〉 =∑

n

cna+n |0〉,

f |ψ〉 =∑

n,k

cnfkna+k an|n〉. (3.4)

Как видим из полученной формулы (3.4) роль базисныхвекторов взяли на себя операторы a+k и единственный век-тор |0〉. В обычном случае смысл введения новых операто-ров кажется весьма сомнительным, однако при описаниисистем тождественных частиц аппарат, использующий та-кие операторы, становится наиболее адекватным.

Определим оператор a+(ϕ) таким образом, что при дей-ствии на любое N -частичное состояние он переводит его вN + 1-частичное следующим образом:

a+(ϕ)|ψ1, . . . , ψN 〉 = |ϕ,ψ1, . . . , ψN 〉. (3.5)

Такой оператор a+(ϕ) называется оператором рождения.Введенный таким образом оператор неэрмитов, поскольку(a+(ϕ)|ψ1, . . . , ψN 〉

)+= 〈ψ1, . . . , ψN |a(ϕ) = 〈ϕ,ψ1, . . . , ψN |.

Сопряженный оператор a(ϕ) называется оператором уни-

чтожения. Действительно, по определению

〈ψ1 . . . ψN |a(ϕ)a+(ϕ)|ψ1 . . . ψN 〉=〈ψ1 . . . ψN |ψ1 . . . ψN 〉= |c|2,

следовательно вектор a(ϕ)a+(ϕ)|ψ1, . . . , ψN 〉 N -частичныйи, таким образом, оператор уничтожения переводит N +1-частичное состояние в N -частичное. Определим теперьдействие оператора уничтожения на N -частичное состоя-ние.

Вычислим матричный элемент

C(ϕ) = 〈χ1, . . . , χN−1|a(ϕ)|ψ1, . . . , ψN 〉 =

145

=(〈ψ1 . . . ψN |a+(ϕ)|χ1 . . . χN−1〉

)∗=〈ψ1 . . . ψN |ϕ, χ1 . . . χN−1〉∗.

Cогласно определению скалярного произведенияN -частичныхсостояний (2.7) получаем

C∗(ϕ) =N∑

k=1

ζk−1〈ψk|ϕ〉〈ψ1 . . . ψk−1ψk+1 . . . ψN |χ1 . . . χN−1〉.

В силу произвольностиN−1-частичного состояния 〈χ1 . . . χN−1|окончательно имеем:

a(ϕ)|ψ1 . . . ψN 〉=N∑

k=1

ζk−1〈ϕ|ψk〉|ψ1 . . . ψk−1, ψk+1 . . . ψN 〉. (3.6)

Определим теперь перестановочные соотношения длявведенных операторов рождения и уничтожения. Легко ви-деть, что

a+(ϕ1)a+(ϕ2) = ζa+(ϕ2)a

+(ϕ1). (3.7)

Соответственно для операторов уничтожения также

a(ϕ1)a(ϕ2) = ζa(ϕ2)a(ϕ1).

Иными словами операторы рождения и, соответственно,операторы уничтожения между собой коммутируют длябозе-частиц и антикоммутируют для ферми-частиц.

Получим теперь перестановочные соотношения междуоператорами рождения и уничтожения. Имеем:

a(ϕ1)a+(ϕ2)|ψ1 . . . ψN 〉 = a(ϕ1)|ϕ2, ψ1 . . . ψN 〉 =

=〈ϕ1|ϕ2〉|ψ1 . . . ψN 〉+

+N∑

k=1

ζk〈ϕ1|ψk〉|ϕ2, ψ1 . . . ψk−1, ψk+1 . . . ψN 〉. (3.8)

146

Действие операторов в обратном порядке дает:

a+(ϕ2)a(ϕ1)|ψ1, . . . , ψN 〉 =

=N∑

k=1

ζk−1〈ϕ1|ψk〉a+(ϕ2)|ψ1, . . . , ψk−1, ψk+1, . . . , ψN 〉 =

=N∑

k=1

ζk−1〈ϕ1|ψk〉|ϕ2, ψ1, . . . , ψk−1, ψk+1, . . . , ψN 〉. (3.9)

Умножим выражение (3.9) на ζ и вычтем его из (3.8). Врезультате получим:

a(ϕ1)a+(ϕ2)− ζa+(ϕ2)a(ϕ1) = 〈ϕ1|ϕ2〉. (3.10)

Если одночастичные состояния представляют собой орто-нормированнный базис |α〉, коммутатор (3.10) принимаетпростой вид:

aαa+α′ − ζa+α′ aα = δαα′ . (3.11)

7.4 Представление чисел заполнения

Для системы тождественных частиц по сути дела не име-

ет смысла перечислять все одночастичные состояния, вкоторых находятся N частиц, тем более если мы рассмат-риваем состояние, которое представляется суперпозициейнекоторых базисных состояний. Действительно, для систе-мы ферми-частиц, никакое одночастичное состояние не мо-

жет повториться, поэтому есть смысл только указать,представлено ли данное одночастичное состояние или нет.Для системы бозе-частиц никаких ограничений на этот счетнет, поэтому нам нужно знать только сколько частиц нахо-дится в данном одночастичном состоянии. Иными словами,нам следует перейти от избыточно детального представле-ния (2.6) и, соответственно, базиса (2.9) к представлению, в

147

котором содержится информация только о том, представ-лено ли данное одночастичное состояние в рассматривае-мом N частичном и сколько частиц в нем находится. Такоепредставление называется представлением чисел заполне-

ния. Для построения данного представления следует рас-смотреть случаи бозе- и ферми-частиц раздельно.

Бозе-частицы. Этот случай в некотором смысле про-ще, поэтому рассмотрим его первым. Как следует из ввод-ных замечаний к этому параграфу, следует ограничитьсятолько рассмотрением базисных состояний (2.9). Для бозе-частиц запишем:

|n1, n2, . . . 〉 =1√

n1!n2! . . .|β1 . . . β1︸ ︷︷ ︸

n1

, β2 . . . β2︸ ︷︷ ︸n2

, . . . 〉. (4.1)

Если теперь предположить, что каждое nβ может прини-мать любое целое неотрицательное значение (nβ = 0, 1, 2, . . . ),множество всех векторов (4.1) составляет базис в простран-стве состояний (2.10). Для базисных ортонормированныходночастичных состояний операторы рождения и уничто-жения удовлетворяют простым коммутационным соотно-шения, которые в точности совпадают с коммутационнымисоотношениями для повышающих и понижающих операто-ров системы связанных гармонических осцилляторов:

[aβ, aβ′ ] = [a+β , a

+β′ ] = 0, [aβ, a

+β′ ] = δββ′ . (4.2)

Заметим, что в физике очень часто возбужденные состоя-ния можно описать как системы элементарных возбужде-ний – квазичастиц, которые описываются бозевскими илифермиевскими функциями. Если эти возбуждения описы-ваются гамильтонианом осцилляторного типа, состояния втакой системе, имеющей вообще говоря, переменное чис-ло частиц, описываются состояниями (4.1), однако для них

148

можно ввести операторы рождения и уничтожения, кото-рые удовлетворяют коммутационным соотношениям (4.2),связав их с обобщенными импульсами и координатами. Вобщем случае коммутационные соотношения (4.2) следуютиз свойств симметрии относительно перестановки частиц.

Подействуем операторами рождения и уничтожения насостояния (4.1):

a+β |n1, n2, . . . 〉 =√nβ + 1|n1, n2, . . . , nβ + 1, . . . 〉,

aβ|n1, n2, . . . 〉 =√nβ|n1, n2, . . . , nβ − 1, . . . 〉. (4.3)

Легко видеть, что эрмитов оператор

Nβ = a+β aβ (4.4)

есть оператор числа частиц в данном одночастичном со-стоянии. Соответственно оператор полного числа частицесть

N =∑

β

a+β aβ . (4.5)

Для ферми-частиц базисное состояние (2.9) можно за-писать как

|n1, n2, . . . 〉 = |α1, α2, . . . 〉, где nα = 0, 1. (4.6)

Операторы рождения и уничтожения для ферми-частицудовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

aα, aα′ = a+α , a+α′ = 0, aα, a+α′ = δαα′ , (4.7)

гдеA,B = AB +BA − антикоммутатор.

149

Подействуем теперь операторами рождения и уничтоже-ния на базисные состояния ферми-системы в представле-нии чисел заполнения:

a+α |n1, n2 . . . 〉=

0, если nα = 1,|n1, n2 . . . 1︸︷︷︸

α

. . . 〉, если nα = 0,

aα|n1, n2 . . . 〉=

0, если nα = 0,|n1, n2 . . . 0︸︷︷︸

α

. . . 〉, если nα = 1. (4.8)

Легко видеть, то операторы числа частиц в одночастичномсостоянии и полного числа частиц равны:

Nα = a+αaα, N =∑

α

a+αaα, (4.9)

Из антикоммутационных соотношений (4.7) и определения(4.9) следует

aαa+α = 1−Nα.

До сих пор мы рассматривали дискретные квантовыечисла, между тем, с одной стороны, весьма часто базисныесостояния могут определяться непрерывным спектром, а, сдругой стороны, часто состояния удобно описывать непре-рывными волновыми функциями. Заметим при этом, чтосостояния непрерывного спектра нормированы на δ-функцию.Например, пусть одночастичный базис определяет состоя-ния с определенным значением импульса (свободные ча-стицы) и 〈p′|p〉 = δ(p′−p), тогда коммутационные соотно-шения (3.10)перепишутся

ap′ a+p − ζa+p ap′ = δ(p′ − p). (4.10)

Можно также определить операторы рождения и уничто-жения частицы в точке пространства r. В этом случае

150

принято вводить немного новое обозначение для полевого

ψ-оператора, соответственно ψ+(r) и ψ(r), тогда

ψ(r′)ψ+(r)− ζψ+(r)ψ(r′) = δ(r− r). (4.11)

Вспомним, что операторы рождения и уничтожения в опре-деленном смысле эквивалентны состояниям, поэтому со-вершенно аналогично можно переходить от одного пред-ставления операторов к другому с помощью соответствую-щих матриц перехода. Например, мы помним, что переходот координатного к импульсному представлению осуществ-ляется с помощью матрицы перехода, которая есть по сутидела волна де-Бройля, поэтому можно записать связь: 2

ψ(r) =

∫dp

(2π~)3/2ei~

−1prap,

ψ+(r) =

∫dp

(2π~)3/2e−i~

−1pra+p . (4.12)

Обратное преобразование имеет вид:

ap =

∫dr

(2π~)3/2e−i~

−1prψ(r),

a+p =

∫dr

(2π~)3/2ei~

−1prψ+(r). (4.13)

Соотношения (4.12) можно обобщить и на любой другой,в частности дискретный, базис. При этом легко видеть чтороль матрицы перехода будет играть соответствующая вол-

новая функция дискретного одночастичного базиса ϕn(r):

ψ(r) =∑

n

ϕn(r)an, ψ+(r) =∑

n

ϕ∗n(r)a+n . (4.14)

2Иногда соотношение (4.12) опеределяют “несимметрично”, по от-ношению к обратному преобразованию, тогда знаменатель в подын-тегральном выражении равен 1, а в формуле (4.13) равен (2π~)3.

151

Соотношения (4.12) и (4.14) определяют операторы уни-чтожения и рождения рождения частицы в точке r, приописании ее состояний в соответствующих представлени-ях.

С помощью ψ-операторов можно записать оператор плот-

ности числа частиц

ρ(r) = ψ+(r)ψ(r) (4.15)

и соответственно полное число частиц есть

N =

∫drρ(r) =

∫drψ+(r)ψ(r).

7.5 Представление основных операторов

Получим теперь выражение основных операторов в пред-ставлении вторичного квантования. Основы для данногоописания заложены в начале параграфа 5.3. Покажем, чтолюбой одночастичный оператор f можно записать в виде:

f =∑

n,k

fnk|n〉〈k|, (7.1)

где |n〉 - одночастичный базис. Действительно, подействуемоператором (7.1) на произвольную одночастичную функ-цию:

f |ψ〉 =∑

n,k

fnk|n〉〈k|ψ〉 =∑

n,k

fnkck|n〉

Получили выражение, совпадающее с формулой (3.1).При описании любой многочастичной системы вводятся

операторы, которые действуют только на состояние одной

частицы – одночастичные операторы; операторы, которыеописывают взаимодействие двух частиц – двухчастичные

операторы и т.д. Очевидно, запись этих операторов в пред-ставлении вторичного квантования будет различной.

152

Определим действие одночастичных операторов на N -частичное состояние |ψ〉ζ . Очевидно, что в линейной ком-бинации (2.6) одночастичный оператор может действоватьтолько на одну частицу. Поскольку в системе тождествен-ных частиц она может находиться в любом состоянии, од-ночастичный оператор должен подействовать на все одно-частичные состояния, в которых может находиться части-ца.

Мы видели, что одночастичный оператор заменяет однобазисное состояние на другое с весом, равным соответству-ющему матричному элементу (7.1). Поэтому мы должныобобщить такой подход на симметризованное многочастич-ное базисное состояние. Пусть |ϕ〉 – одно из нормированныходночастичных базисных состояний. Определим действиеоператора a+(ϕ1)a(ϕ2) на N -частичное состояние |ψ〉ζ :

a+(ϕ1)a(ϕ2)|ψ〉ζ =

=

N∑

k=1

ζk−1〈ϕ2, ψk〉|ϕ1, ψ1, . . . , ψk−1, ψk+1, . . . , ψN 〉. (7.2)

Заметим далее, что в формуле (7.2) можно поставить со-стояние |ϕ1〉 на место состояния |ψk〉 :

ζk−1|ϕ1, ψ1, . . . , ψk−1, ψk+1, . . . , ψN 〉 ==|ψ1, . . . , ψk−1, ϕ1, ψk+1, . . . , ψN 〉.

Таким образом, любой одночастичный оператор можно пред-ставить в виде:

f (1) =∑

m,n

fmna+man, (7.3)

где an ≡ a(ϕn).Пример.

Пусть в качестве одночастичного базиса выбраны собствен-

153

ные состояния гамильтониана одной (невзаимодействую-щей с другими частицами) частицы:

H|n〉 = En|n〉,

тогда в представлении вторичного квантования

H =∑

n

Ena+n an. (7.4)

Упражнения.1. Записать оператор импульса в импульсном представле-нии.2. Выразить оператор импульса через полевые операторыи записать его в координатном представлении.3. Записать гамильтониан в импульсном представлении.4. Выразить гамильтониан через полевые операторы и за-писать его в координатном представлении.

Рассмотрим теперь представление операторов, описы-вающих взаимодействие двух частиц – двухчастичное вза-

имодействие: V (r1 − r2) = V (r2 − r1). Легко видеть, чтосказанное об одночастичном операторе аналогичным обра-зом обобщается и на двухчастичный случай: здесь одновре-менно должны измениться два одночастичных состояния вN -частичном состоянии |ψ〉ζ . Пусть в качестве одночастич-ного базиса выбраны состояния с дискретным спектром также как и в формуле (7.3), тогда можно записать:

V (2) =1

2!

∑

m,m′,n,n′

Vmn,m′n′a+ma

+n an′am′ , (7.5)

где матричный элемент

Vmn,m′n′ = 〈m,n|V |m′, n′〉 ≡ 〈m|(〈n|V |n′〉

)|m′〉,

154

а коэффициент перед знаком суммирования учитывает чис-ло перестановок одинаковых частиц.

Совершенно аналогично можно записать в представле-нии вторичного квантования любой оператор n-частичноговзаимодействия, не забывая при этом число перестановокn!.

Упражнения.

1. Записать оператор парного взаимодействия через поле-вые операторы.2. Записать оператор парного взаимодействия в импульс-ном представлении.3. Записать оператор n-частичного взаимодействия в пред-ставлении вторичного квантования.

7.6 Матрица плотности в представлении

чисел заполнения

Мы получили выражение для матрицы плотности (стати-стического оператора) для ансамбля систем с определен-ной полной энергией (канонический ансамбль), при этоммы считали, что в каждой подсистеме ансамбля число ча-стиц (состояний) не может измениться. Матрица плотностиимела вид

ρ = Z−1e−βH , (6.1)

где статистическая сумма определена как

Z = Tre−βH , (6.2)

а β > 0 – некоторый параметр. Очевидно, вычислять следоператора удобно в представлении, когда операторная экс-понента диагональна, т.е. в базисе собственных состоянийгамильтониана. Такая возможность реально представляет-ся в случае, когда можно рассматривать невзаимодейству-ющие подсистемы. То же самое можно сказать и о самой

155

подсистеме, состоящей из многих тождественных частиц:корректно определить состояния можно только в прибли-жении невзаимодействующих частиц, когда хорошо опре-делены одночастичные состояния. Поскольку в дальней-шем для нас важное значение будет играть тип частиц,выделим в одночастичных наборах величин в явном видепроекцию спина частицы и определим полный набор вели-чин для одночастичных состояний как |ν, σ〉. Тогда гамиль-тониан H0 системы невзаимодействующих тождественныхчастиц имеет вид:

H0 =∑

ν

∑

σ

ενa+ν,σaν,σ. (6.3)

Напомним, что энергия одночастичного состояния εν не за-висит от спинового состояния.

Запишем теперь матрицу плотности с гамильтонианом(6.3):

ρ = Z−1exp

(−β∑

ν

∑

σ

ενa+ν,σaν,σ

)(6.4)

и, соответственно, статистическую сумму:

Z =∑

nν,σ

exp

(−β∑

ν

∑

σ

ενnν,σ

),∑

ν

∑

σ

nν,σ = N. (6.5)

Здесь мы учли, что

ζ〈ψ|a+ν,σaν,σ|ψ〉ζ = nν,σ.

Суммирование в формуле (6.5) при дополнительном усло-вии фиксированного числа частиц не позволяет продвинуть-ся далее этой записи, поскольку многочастичные состоянияимеют определенную перестановочную симметрию, что де-лает невозможным факторизацию выражения и, соответ-ственно, сведение его к вычислению одночастичных ста-тистических сумм. Действительно, для бозе-частиц числа

156

nν,σ могут принимать любые целые неотрицательные зна-чения, тогда как для ферми-частиц nν,σ = 0, 1.

Для сравнения рассмотрим ансамбльN различимых ча-стиц, которые тем не менее описываются совершенно оди-наковыми наборами квантовых чисел и обладают одина-ковым энергетическим спектром (в этом случае квантовоечисло σ = 0). Пусть в состоянии с набором чисел ν на-ходится nν частиц, тогда число состояний в ансамбле длятакой одночастичной конфигурации равно

Γν =N !

nν1 !nν2 ! . . ., (6.6)

а статистическая сумма такого канонического ансамбля рав-на

Z =∑

nν;∑nν = N

Γνe−β∑

ν

ενnν=

∑

nν;∑nν = N

N !∏nν !

∏

ν

e−βενnν .

Обратим теперь внимание на то, что числа состояний (6.6)есть полиномиальные коэффициенты, поэтому можем окон-чательно записать:

Z =

(∑

ν

e−βεν

)N= ZN1 . (6.7)

Для ферми и бозе статистик полиномиальный коэффици-ент в результате суммирования не возникает, поэтому ста-тистическая сумма не факторизуется, т.е. не содится к од-

ночастичной статсумме Z1.Оказывается факторизацию мож-но провести, если снять ограничение на фиксированное чис-

ло частиц. Но в таком случае рассматриваемые ансамбличастиц будут отличаться от канонических.

157

7.7 Большой канонический ансамбль

Рассмотрим теперь ансамбль подсистем большой замкну-той изолированной системы, который может обмениватьсяне только энергией, но и частицами с остальной частьюсистемы. Такой ансамбль называется большим канониче-

ским. Очевидно, распределение будет отличаться от полу-ченного ранее канонического распределения, поскольку по-явилась дополнительная (макроскопическая) степень сво-боды, которая позволяет ввести дополнительное статисти-ческое понятие. Поскольку речь идет об обмене частица-ми, число частиц в подсистемах ансамбля не фиксировано,следовательно нам придется определять наряду со среднейэнергией среднее число частиц 〈N〉 :

〈N〉 = TrNρ = Tr

(∑

ν,σ

a+ν,σaν,σ

)ρ ≡ Tr

(∑

ν,σ

nν,σ

)ρ.

(7.1)Далее найдем экстремум энтропии при условии нормиров-ки матрицы плотности и значений средних энергии и числачастиц. В результате вариации по матрице плотности по-лучаем:

Tr(ln ρ+ 1 + α+ βH + λN

)δρ = 0. (7.2)

Здесь введен дополнительный неопределенный множительЛагранжа λ, который удобно переопределить как λ = −βµ.Такой выбор знака нового параметра µ будет понятен ни-же. Решение уравнения (7.2) есть:

ρ = Z−1e−β(H−µN), (7.3)

158

где нормировочный множитель есть большая статисти-

ческая сумма:

Z = Tre−β(H−µN) =

=∞∑

N=0

∑

nν,σ;∑nν,σ = N

exp

(βµ∑

ν,σ

nν,σ

)exp

(−β∑

ν,σ

εν,σnν,σ

). (7.4)

Дополнительное суммирование по числу частиц в формуле(7.4) позволяет факторизовать большую статистическуюсумму для бозе- и ферми-частиц. Перепишем выражение(7.4) в виде

Z =∞∑

N=0

∑

nν,σ;∑nν,σ = N

∏

ν

∏

σ

exp (β(µ− εν)nν,σ) . (7.5)

Теперь нам нужно поменять местами знаки суммированияпо всем без ограничения числам частиц N и произведенияпо одночастичным состояниям частиц в ансамбле. Такаяперестановка напоминает сведение многомерного интегра-ла к произведению одномерных интегралов по независи-мым переменным. Итак, в нашем выражении (7.5) прово-дится двойное суммирование произведений двух сомножи-телей со степенями, зависящими от переменных суммиро-вания, при этом во всем выражении встречаются сомно-жители со всеми возможными степенями. В такой суммеможно выбирать любой порядок суммирования, например,зафиксировав степень одного сомножителя провести сум-мирование по всем степеням другого сомножителя, а затемпровести суммирование по всем степеням первого сомно-жителя. Легко видеть, что в этом случае сумма произве-дений сводится к произведению сумм. Эти рассужденияможно проиллюстрировать наглядной схемой.

159

Пусть ансамбль состоит из двухуровневых подсистем,т.е. ν = 1, 2 и соответственно имеем nν = n1, n2. Нам нужновычислить сумму

Z2 =∞∑

N=0

∑

n1;n2n1 + n2 = N

an1bn2 =∞∑

N=0

N∑

n=0

aN−nbn. (7.6)

Представим полученную сумму (7.6) в виде схемы:

1a+ ba2 + ab+ b2

a3 + a2b+ ab2 + b3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Легко видеть, что суммирование по строкам данной схемыесть суммирование произведений, а суммирование “по диа-гоналям”, дающее тот же результат, есть произведениесумм:

Z2 =∞∑

N=0

∑

n1;n2n1 + n2 = N

an1bn2 =

( ∞∑

n=0

an

)( ∞∑

k=0

bk

). (7.7)

Для многоуровневых систем результат легко обобщается.Применим полученный результат для систем бозе и фер-

ми частиц:Z =

∏

ν

∏

σ

∑

nν,σ

eβ(µ−εν)nν,σ . (7.8)

Далее в формуле (7.8) проведем суммирование для двухсортов частиц раздельно. Для ферми-частиц nν,σ = 0, 1,поэтому получаем

ZF =∏

ν

∏

σ

(1 + eβ(µ−εν)

). (7.9)

160

Для бозе-частиц никаких ограничений на число частиц вданном одночастичном состоянии нет, поэтому суммиро-вание приводит к сумме бесконечной геометрической про-грессии, однако для сходимости результата необходимо на-ложить ограничение на величину параметра µ. Посколькуэнергия каждой частицы ограничена, необходимо, чтобыпри достаточно больших n члены суммы убывали, поэто-му

µB < 0 (7.10)

и получаем

ZB =∏

ν

∏

σ

(1− eβ(µ−εν)

)−1. (7.11)

Ограничений на параметр µF ферми-системы нет. Резуль-таты (7.9) можно (7.11) объединить одной записью, введязнакомый параметр ζ :

Zζ =∏

ν

∏

σ

(1− ζeβ(µ−εν)

)−ζ. (7.12)

Итак, для систем невзаимодействующих тождественныхчастиц факторизуется большая статистическая сумма,однако следует заметить, что теперь сомножители (одно-частичные статсуммы) соответствуют не реальным отдель-ным частицам, а индивидуальным одночастичным состо-

яниям, поэтому в сумме всегда присутствует бесконечное

число сомножителей. Такая, на первый взгляд абстракт-ная, ситуация на самом деле полностью отражает свойствасистем тождественных частиц: не имеет значения какая ча-стица находится в системе с данной энергией, важно сколь-

ко частиц и в каких состояниях составляют данный ан-самбль.

Мы логично подошли к выводу, что для системы тож-дественных частиц важную роль (даже, может быть более

161

важное чем сама функция распределения) играет среднеечисло частиц в данном квантовом состоянии 〈nν,σ〉.

Запишем матрицу плотности большого каноническогоансамбля ρG в представлении вторичного квантования:

ρG =Z−1 exp(β∑

ν,σ

(µ− εν)a+ν,σaν,σ)=

=Z−1 exp(β∑

ν,σ

(µ− εν)nν,σ). (7.13)

По определению среднее число частиц в состоянии |ν, σ〉есть

〈nν,σ〉 = Tr nν,σρG. (7.14)

Запишем выражение (7.14) в явном виде и учтем, переста-новочные ссотношения для операторов рождения и уни-чтожения, а именно: операторы числа частиц в разных со-стояниях между собой перестановочны, поэтому при вы-числении следа с оператором nν,σ “зацепится” только одинсомножитель в факторизованной сумме. Получаем:

〈nν,σ〉 =

=

∑

nν,σ

nν,σeβ(µ−εν)nν,σ

∏ν′,σ′ 6=ν,σ

∑nν,σ

eβ(µ−εν)nν,σ

∏все (ν,σ)

∑nν,σ

eβ(µ−εν)nν,σ=

=

∑nneβ(µ−εν)n

∑neβ(µ−εν)n

(7.15)

Последнее слагаемое в формуле (7.15) можно выразить ввиде производной:

〈nν,σ〉 =∂

∂(βµ)ln

(∑

n

exp (β(µ− εν)n)). (7.16)

162

Полученная в выражении (7.16) уже вычислена для ферми-и бозе-систем:

〈nν,σ〉ζ =∂

∂(βµ)ln(1− ζeβ(µ−εν)

)−ζ=

1

eβ(εν−µ) − ζ . (7.17)

Таким образом получаем распределение Бозе

〈nν,σ〉B =1

eβ(εν−µ) − 1 (7.18)

и распределение Ферми:

〈nν,σ〉F =1

eβ(εν−µ) + 1. (7.19)

Отметим, что в полученных формулах распределений сред-нее число частиц не зависит от проекции спина, однаконельзя забывать, что состояние обязательно определяетсянабором ν, σ, поэтому в распределении Ферми (7.19) наданном уровне энергии могут находиться 2s+ 1 частицы сразными проекциями спина, а для бозе-частиц таких огра-ничений нет. Тем не менее при выполнении суммированиянельзя забывать различные спиновые состояния.

7.8 Понятие о парастатистике

Рассмотрим системы, описываемые статистикой, которуюможно рассматривать как “гибрид” статистик Ферми и Бо-зе, т.е. в каждом состоянии ν такой системы может нахо-диться не более p частиц. Если p = 1, имеем статистикуФерми, а если p → ∞ – статистику Бозе. В таком случаеговорят, что система описывается парастатистикой. Мыне будем здесь пытаться ввести многочастичный форма-лизм чисел заполнения, как это делали для существующихферми- и бозе-частиц, но получим только функцию распре-деления, аналогичную распределениям (7.1) и (3.3), исходя

163

из комбинаторных представлений для нахождения наибо-лее вероятного распределения.

Поскольку в каждом состоянии |ν〉 может находитьсяне более p частиц (p ≥ 1), следует сперва определить ста-тистический вес каждого состояния. Статистический вессостояния, когда в нем находится n частиц есть: γν(n). Та-ким образом каждое состояние обладает статистическимвесом

Γν =

p∑

n=0

γν(n). (8.1)

Соответственно, в каждом состоянии может находиться чис-ло частиц:

Nν =

p∑

n=0

nγν(n). (8.2)

Полное число состояний в такой системе (статистическийвес) равно:

Γ =∑

ν

Γν !

γν(0!)γν(1)! . . . γν(p)!. (8.3)

Найдем экстремум числа состояний (8.3) при условиях:

N =∑

ν

Nν , E =∑

ν

ενNν . (8.4)

Обычно ищется экстремум не самой функции (8.3), а еелогарифма, т.е. статистической энтропии при вариации попеременным γν . Составим функционал:

Φ = lnΓ− βE + βµN =

=∑

ν

[ln Γν !−

∑

n

(ln γν(n)! + βενγν(n)n− βµγν(n)n)]. (8.5)

164

Далее заменим по формуле Стирлинга с точностью до пред-экспоненциального множителя все

ln γν(n)! ≈ γν(n) ln γν(n)− γν(n)и проварьируем функционал (8.5) по переменным γν(n) :

∑

ν

[∑

ν

(ln γν(n) + βενn− βµn) δγν(n)]= 0. (8.6)

Решением уравнения (8.6) будет экспонента

γν(n) = e−β(εν−µ)n, (8.7)

а частная статистическая сумма (статистический вес Γν)равна сумме конечной геометрической прогрессии:

Γν =

p∑

n=0

e−β(εν−µ)n =1− e−β(εν−µ)(p+1)1− e−β(εν−µ) . (8.8)

Теперь нам осталось определить среднее число частиц всостоянии ν. Процедура совершенно аналогична, проделан-ной для распределения Ферми и Бозе:

〈nν〉 =p∑

n=0

nΓ−1ν γν(n) =

∑pn=0 ne

−β(εν−µ)n∑p

n=0 e−β(εν−µ)n =

=∂

∂(βµ)ln

(p∑

n=0

e−β(εν−µ)n).

Сумма под знаком логарифма посчитана и равна (8.8), по-этому окончательно получаем

〈nν〉 =1

eβ(µ−εν) − 1 −p+ 1

eβ(µ−εν)(p+1) − 1 . (8.9)

Как видно, формула (8.9) при p = 1 переходит в распреде-ление Ферми (7.19), а при p → ∞ – в распределение Бозе(7.18).

165