微積分精華版 Essential Calculus

歐亞書局

第 7 章無窮級數

微積分精華版 Essential Calculus

歐亞書局第 7 章無窮級數

7.1 數列 7.2 級數和收斂 7.3 積分檢定和互比檢定 7.4 其他收斂檢定 7.5 泰勒多項式和近似值 7.6 冪級數 7.7 以冪級數表示函數 7.8 泰勒和馬克勞林級數


7.1 數列數列數列數列一詞的意義是指將一組數依序排列，另一種說法是把

數列（ sequence ）定為一個以正整數為定義域的函數，雖然將數列看成函數，習慣上一向是以足碼記號表示此一函數，而非以標準的函數記號來表示。例如將下面這個數列

看成函數時， 1 對到 a1， 2 對到 a2 … 等， a1 , a2 , a3 , ..., an , ... 稱為此一數列的各項（ terms ）， an 是第 n 項，數列的全體以 {an} 表示。

p.318


例 1 依序排出數列

p.318


c. 假設遞迴（ recursively defined ）數列 {cn} 的第一項 c1

是 25 ，並且 cn+1 = cn – 5 ，則此數列的前四項依序是

25, 25 – 5 = 20, 20 – 5 = 15, 15 – 5 = 10, . . .

p.318


{an} 是一個數列， L 是一個實數。如果任予一個 ε> 0，都

能找到 M > 0 ，使得 n > M 可以推得 |an – L| <ε，我們就稱

數列 {an} 的極限（ limit ）是 L，記成

以 L 為極限的數列，也可稱為收斂到 L 的數列，或是簡稱為

收斂（ converge）數列；如果數列的極限不存在就稱為發散（ diverge）數列。

定義數列的極限

p.319


圖 7.1 只要 n > M ，數列的每一項都在 L 上，下 ε 單位之內。

p.319


已知函數 f 在 x →∞ 時有極限 L ，亦即

如果 f (n) = an， n 是正整數，則數列 {an} 亦以 L 為極限

p.319

定理 7.1 數列的極限


例 2 求數列的極限已知數列的一般項為，求此數列的極限。

解由定理 1.9 我們有

再利用定理 7.1 得出

p.319

歐亞書局第 7 章無窮級數 p.320

定理 7.2 數列極限的性質


例 3 決定數列的斂散性

p.320

a. 我們可以將數列的分子分母同除以 n 得到

因此數列收斂到。b. 由於數列 {bn} = {3 + (–1)n} 依序為 2, 4, 2, 4,. . .

其中， 2 和 4 輪流出現，因此極限不存在，也就是說此數列發散。


例 4 利用羅必達規則決定數列的收斂求證數列收斂。

解考慮函數

應用兩次羅必達規則，得到

由於 f (n) = an ，利用定理 7.1 得出

所以數列收斂到 0 。


定理 7.3 求數列極限的夾擠定理


例 5 應用夾擠定理求證數列收斂，並求其極限。

解先找可以夾住 {cn} 的兩個收斂數列，取 an = –1/2n， bn

=

1/2n 這兩個數列都趨近於 0 ，將 n ! 與 2n 比較，可以看出

而且


這表示，只要 n ≥ 4 ，就有 2n < n! ，因此

如圖 7.2 所示。所以由夾擠定理，得到

p.321


圖 7.2n ≥ 4 時， (–1)n/n! 夾在 – 1/2n 和 1/2n 之間。

p.321


如果，則。

證明考慮 {|an|} 和 {–|an|} ，因為它們都收斂到 0 ，並且

–|an| ≤ an ≤ |an|

再利用夾擠定理可知 {an} 也收斂到 0 。

p.321

定理 7.4 絕對值定理


例 6 求數列的第 n 項已知數列 {an} 的前五項是

請自行選擇 an 的一般項，並決定 {an} 的斂散性。解注意到分子是 2 的連續次方，而分母是正奇數，發現到規律是

利用羅必達規則求 f (x) = 2x/(2x – 1) 的極限，得到

因此， {an} 發散。


如果一個數列 {an} 的各項是遞增的

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ．．．≤ an ≤ ．．．

或是遞減

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ．．．≥ an ≥ ．．．

我們就稱 {an} 是單調（ monotonic ）數列。

p.323

單調數列的定義


決定下列各數列是否單調。

解a. 數列以 2、 4 交替出現，因此不是單調數列。b. 由於，後項大於前項，所以是單調數列。

c. 非單調，因為 c1 = 1， c3 = 9/7 而 c2 = 4/3， c2 > c1， c2 > c3 （但是如果第一項不計的話， c2, c3, c4 , ... 是單調數列），如圖 7.3 所示。

p.323

例 7 決定數列是否單調


圖 7.3


1. 如果有一個實數 M ，使得數列 {an} 中的每一項都滿足 an ≤ M ，就稱數列 {an} 有上界（ bounded above ），而稱 M 是 {an} 的一個上界（ upper bound ）。

2. 如果有一個實數 N ，使得數列 {an} 中的每一項都滿足 an ≥ N ，就稱數列 {an} 有下界（ bounded below ），而稱 N 是 {an} 的一個下界（ lower bound ）。

3. 如果數列 {an} 同時有上界和下界，就稱 {an} 是有界（ bounded ）數列。

p.323

有界數列的定義


完全性（ complete ）是實數的一個重要的性質。對完全性一個非正式的描述是說實數線沒有任何的間隙。實數的完全性可以保證如果一個數列有上界的話，就一定會有一個最小上界（ least upper bound ）。

定理 7.5 單調有界數列如果 {an} 是一個單調有界的數列，則 {an} 一定收斂。

p.323


圖 7.4每一個遞增並且有界的數列都會收斂。

p.324


a. 數列 {an} = {1/n} 滿足有界並且單調，因此，由定理 7.5

此數列收斂。

b. 發散數列 {bn} = {n2/ (n + 1)} 滿足單調但非有界（此數列有下界，但無上界）。

c. 發散數列 {cn} = {(–1)n} 滿足有界但非單調。

p.324

例 8 單調有界數列


7.2 級數和收斂無窮級數無窮級數如果 {an} 是一個無窮數列，則

就是一個無窮級數〔 infinite series ，簡稱級數（ series）〕，a1, a2, a3, … 稱為級數的項（ terms ）。

p.325


以 Sn = a1 + a2 + ．．． + an 表無窮級數 Σan 的部分和（ nth

partial sum ）。如果數列 {Sn} 收斂到 S ，則級數 Σan 收斂，並且以 S 為

級數和（ sum of the series ）表成

S = a1 + a2 + ．．． + an + ．．．或 Σan = S 。

如果 {Sn} 發散，則 Σan 發散。

級數收斂或發散的定義


a. 級數

的部分和如下。

p.326

例 1 級數的收斂和發散


圖 7.5


由於所以此級數收斂，其和為 1 。

b. 級數

的第 n 個部分和為

由於 Sn 的極限是 1 ，所以此級數收斂，其和為 1 。c. 級數

的部分和 Sn = n ，部分和發散，所以原級數也發散。

p.327


圖 7.6


例 1(b) 中的級數是一個所謂的望遠鏡級數（ telescoping

series），有如一個用無窮多個由大到小的套筒套成的望遠鏡，以下列形式呈現

p.327


求級數的和。

解以部分分式的方法，將級數的一般項改寫為

這是一個望遠鏡級數，第 n 個部分和是

所以級數收斂，其和為 1 ，亦即

p.327

例 2 改寫為望遠鏡級數


幾何級數幾何級數例 1(a) 中的級數稱為幾何級數（ geometric series ），幾

何級數一般的形式是

定理 7.6 幾何級數的收斂和發散如果幾何級數的公比為 r ，當 | r | ≥ 1 時，級數發散；而

當0 < | r | < 1 時，級數收斂，其和為


例 3 幾何級數的收斂和發散a. 幾何級數

公比 r = ½ ，首項 a = 3 。因為 0 < | r | < 1 ，級數收斂，其和

為

b. 幾何級數

公比 r = 3/2 ，因為 | r | ≥ 1 ，級數發散。

p.328


請將 0.08 化為分數。解

首項 a = 8/102 ，公比 r = 1/102 ，所以

你可以用電算器計算 8 除以 99 ，看看結果是否為 0.08 。

例 4 循環小數化為分數

p.329


如果 Σan = A， Σbn = B ，而 c 是一個實數，則下列級數會收斂到等號右邊的和。

p.329

定理 7.7 無窮級數的性質


定理 7.8 收斂級數一般項的極限

定理 7.9 利用一般項檢驗發散

p.329


雖然一般項的極限是 0 ，卻不能結論此級數是否收斂。

例 5 利用一般項檢驗發散

p.330


一皮球從 6 呎的高度落下，每次反彈的高度都是上一次的3/4 ，求皮球經歷的總垂直距離。證明如圖 7.7 所示，總距離是

例 6 小皮球彈跳問題

p.330


圖 7.7每次反彈高度是前次的四分之三。


7.3 積分檢定和互比檢定

定理 7.10 積分檢定如果 f 在 [1,∞) 上是一個非負的、連續並且遞減的函數，令 an = f (n) ，則

同時收斂，或同時發散。


圖 7.8


應用積分檢定討論級數的斂散性。

解函數 f (x) = 1/(x2 + 1) 恆正並且連續。求 f 的導函數

當 x > 1 時， f '(x) 恆負，所以 f 遞減，因此滿足積分檢定的條件。從 1 到 ∞ 積分得到

因此原級數收斂。

p.332

例 1 應用積分檢定


圖 7.9因為瑕積分收斂，所以原級數也收斂。


pp-- 級數與調和級數級數與調和級數

稱為 p- 級數（ p-series ），其中 p 是一個正數，判斷 p- 級數的斂散性非常簡單，當 p = 1 時，級數

稱為調和級數（ harmonic series ）。一個廣義調和級數（ general harmonic series ）形如 Σ1/(an + b) 。


定理 7.11 p- 級數的收斂和發散

p- 級數

1. 當 p > 1 時， p- 級數收斂，而2. 當 0 < p ≤ 1 時， p- 級數發散。


a. 由定理 7.11 ，調和級數發散。

b. 由定理 7.11， p = 2 時下列級數收斂。

例 2 p- 級數的收斂和發散

p.334


決定級數是否收斂。

解此級數與發散的調和級數類似，如果一般項比調和級數的一般項大的話，此級數就一定發散，但是，它的一般項事實上比較小，應用積分檢定令

首先，在 x ≥ 2 的範圍， f (x) 恆正並且連續。其次將 f (x) 改寫

為 (x ln x)–1 並求其導函數得到

p.334

例 3 檢定級數的斂散性


可以看出當 x ≥ 2 時， f '(x) < 0 ，所以 f 遞減，結論是 f (x) 在

[2, ∞) 上滿足積分檢定的條件。再將 f (x) 從 2 積分到，得到

所以原級數發散。

p.334


已知 0 < an ≤ bn 對所有 n 都成立。

1. 如果收斂，則收斂。

2. 如果發散，則發散。

定理 7.12 （直接）互比檢定

p.335



解　此級數很像

逐項比較得到

不等式不適用發散檢定的先決條件（定理 7.12 ），不妨選另

一個發散級數來比較。

p.335

例 4 應用（直接）互比檢定


此時逐項比較，得到

由定理 7.12 （直接）互比檢定得知此級數發散。

p.335


假設 an > 0， bn > 0 並且

其中 L 是一個有限的正數，則 Σan 和 Σbn 同時收斂或同

時

發散。

p.336

定理 7.13 極限互比檢定



解　參考分子和分母的最高次，我們選擇與

比較，因為

根據極限互比檢定，此級數收斂。

p.337

例 5 應用極限互比檢定


正項和負項輪流出現的級數，稱為交錯級數（ alternating

series ）。

定理 7.14 交錯級數檢定令 an > 0 ，交錯級數

只要滿足下列兩個條件

交錯級數就會收斂。

p.338

7.4 其他收斂檢定


決定級數是否收斂？

解　因為

對所有 n 都成立，並且當 n → ∞ 時， 1/n → 0 ，由交錯級數

檢定得知此級數收斂。

例 1 利用交錯級數檢定

p.339


a. 交錯級數

符合檢定的第二個條件， an + 1 ≤ an 恆成立，但不符合第一個條件，不過由於一般項不趨近到 0 ，此級數發散。

b. 交錯級數

符合第一個條件，一般項趨近於 0 ，但不符合第二個條件，不過由於 S2N 實際上是調和級數的第 N 個部分和，由於調和級數發散，所以此級數也發散。

p.340

例 2 無法引用交錯級數檢定的情形


如果一個收斂的交錯級數一般項滿足 an+1 ≤ an ，則其餘項 RN = S – SN 的絕對值滿足

定理 7.15 交錯級數的餘項


求下列級數前六項的和以估計 S 。

解　由於

原交錯級數收斂。前六項的和是

p.340

例 3 求交錯級數的近似值


再看餘項 RN = S – SN ，得到

所以和 S 介於 0.63194 – 0.0002 和 0.63194 + 0.0002 之間，亦

即0.63174 ≤ S ≤ 0.63214

p.341


如果級數 Σ|an| 收斂，則級數 Σan 也會收斂。

定理 7.16 的逆敘述不正確，例如，交錯調和級數（ alternating harmonic series ）

收斂，但是調和級數發散，這種收斂稱為條件（ conditiona

l ）收斂。

p.341

定理 7.16 絕對收斂


絕對和條件收斂的定義

1. 如果 Σ|an| 收斂，我們稱 Σan 絕對收斂（ absolutely

convergent ）。

2. 如果 Σan 收斂但是 Σ|an| 發散，我們稱 Σan 條件收斂（ conditionally convergent ）


決定下列級數是否收斂，並區分絕對和條件收斂。

解a. 由於一般項不趨近於 0 ，此級數發散。

例 4 絕對和條件收斂

p.342


b. 由交錯級數檢定可知此級數收斂，但是因為 p- 級數

發散，所以原級數是條件收斂。c. 此級數並非交錯，但是因為

是收斂的幾何級數，利用定理 7.16 ，可以推得原級數是絕對收斂（注意到絕對收斂是比收斂更強的結論）。

p.342


交錯調和級數收斂到 ln 2 ，亦即

請重排此一級數以得出不同的和。解　重排如下

p.342

例 5 級數的重排


重排之後，得到的和是原來和的一半。

p.343


令 Σan 表一個一般項不為 0 的級數。

1. 如果，則 Σan 絕對收斂。

2. 如果或，則 Σan 發散。

3. 如果，本檢定暫無結論。

p.343

定理 7.17 比例檢定


決定級數的斂散性。

解 |an + 1/an| 的極限小於 1 ，級數收斂。

p.344

例 6 利用比例檢定


決定級數的斂散性。

解 |an + 1/an| 的極限大於 1 ，級數發散。

p.344

例 7 利用比例檢定



解 |an + 1/an| 的極限是 1 。

比例檢定無法判定，我們可以試一試其他的檢定，例如，交錯級數檢定。

p.344

例 8 比例檢定失效


先證 an + 1 ≤ an ，令

導函數是

當 x > 1 時，導數恆負，所以 f 是遞減函數。再由羅必達規則

因此，由交錯級數檢定，此級數收斂。

p.345


令 Σan 表一個級數。

1. 如果，則 Σan 絕對收斂。

2. 如果或，則 Σan 發散。

3. 如果，本檢定暫無結論。

p.345

定理 7.18 根式檢定



解　利用根式檢定，計算如下

由於極限值小於 1 ，原級數絕對收斂（因此原級數收斂）。

p.345

例 9 利用根式檢定


檢定斂散性的指導原則1. 觀察一般項是否趨近於 0？如果不是的話，級數發散。2. 是否級數有特別的形式──幾何級數， p- 級數、望遠鏡

級數，或交錯級數？3. 積分檢定，比例檢定或根式檢定能否用上？4. 是否能有一個恰當的已知級數可以用來互相比較？

p.345


7.5 泰勒多項式和近似值基本函數的多項式近似如果要找一個多項式 P 近似另一個函數 f ，方法是先在 f

的定義域中選一個點 c ，讓 P 和 f 在 c 取同樣的值，亦即

從幾何的觀點看來， P(c) = f (c) 等於是要求 P 的圖形過點 (c, f (c)) 。一多項式在 (c, f (c)) 的切線斜率也和 f 相同。

在以上這兩個要求下，我們可以得到一個 f 的最佳線性近似。

p.347


圖 7.10

在 (c, f (c)) 附近 P 的圖形近似 f 的圖形。

p.347


求與 f (x) = ex 在 x = 0 的值和斜率都符合的一次多項式P1(x) = a1 + a1x

解　因 f (x) = ex 且 f '(x) = ex。 f (x) 在 x = 0 的值和斜率分別是f (0) = e0 = 1 和 f '(0) = e0 = 1

因為 P1(x) = a0 + a1x ，由條件 P1(0) = f (0) 可得 a0 = 1 ，又因

P1'(x) = a1 ，由條件 P1'(0) = f ' (0) 可得 a1 = 1 。因此，

P1(x) = 1 + x 。

圖 7.11 是 P1(x) = 1 + x 和 f (x) = ex 的圖形。

p.348

例 1 f(x) = ex 的一次多項式近似


圖 7.11

P1 是 f (x) = ex 的一次多項式近似。

p.348


圖 7.12P2 是 f (x) = ex 的二次多項式近似。


例 2 f (x) = ex 的三次多項式近似列表說明多項式

和 f (x) = ex 在 x = 0 附近近似的情形。解　以電腦計算作出下表，注意到兩者在 x = 0 時相合，但當 x 遠離 0 時近似的準確度逐漸遞減。


圖 7.13P3 是 f (x) = ex 的三次多項式近似。


如果 f 在 c 有 n 階導數則

稱為 f 在 c 的 n 次泰勒多項式（ nth Taylor polynomial for f

at

c ），如果 c = 0 ，則

也稱為 f 的 n 次馬克勞林多項式（ nth Maclaurin polynomial

for f ）。

n 次泰勒多項式和 n 次馬克勞林多項式的定義


例 3 f (x) = ex 的馬克勞林多項式

p.349

求 f (x) = ex 的 n 次馬克勞林多項式。

解　從前一頁的討論， f (x) = ex 的 n 次馬克勞林多項式是


例 4 求 ln x 的泰勒多項式求 f (x) = ln x 在 c = 1 的泰勒多項式 P0、 P1、 P2、 P3 和

P4 。

解 f (x) 在 c = 1 展開，得到下列數據：


因此，相關的泰勒多項式如下：

p.350


圖 7.14 比較了 P1、 P2、 P3、 P4 和 f (x) = ln x 的圖形。注意到

在 x = 1 附近圖形非常貼近，例如， P4(0.9) ≈ – 0.105358 ，而

ln(0.9) ≈ –0.105361 。

p.350


圖 7.14當 n 遞增時，在 x = 1 附近，圖形 Pn 近似圖形 f (x) = ln x 的情形越來越好。


求 f (x) = cos x 的馬克勞林多項式 P0 、 P2 、 P4 和 P6 ，並以

P6 (x) 求 cos (0.1) 的近似值。

解　在 c = 0 展開 f (x) ，得到下列數據：

繼續微分，可以看出 1， 0，– 1， 0 的規律重複出現，因此得出馬克勞林多項式。

p.350

例 5 求 cos x 的馬克勞林多項式


以 P6 (x) 代 x = 0.1 得到 cos (0.1) ≈ 0.995004165 ，此近似值與

計算器符合到 9 位小數。圖 7.15 比較了 f (x) = cos x 和 P6 的

圖形。

p.351


圖 7.15在 (0, 1) 附近， P6 的圖形可以近似 f (x) = cos x 的圖形。


求 f (x) = sin x 在 c =π/6 的第三個泰勒多項式。解 f (x) 在 c =π/6 展開，得到下列數據。

p.351

例 6 求 sin x 的泰勒多項式


所以， f (x) = sin x 在 c =π/6 展開的第三個泰勒多項式是

圖 7.16 比較了 f (x) = sin x 和 P3 的圖形。

p.351


圖 7.16在 (π/6, ½) 附近， P3 的圖形可以近似 f (x) = sin x 的圖形。


利用第四個馬克勞林多項式求 ln (1.1) 的近似值。解　由於 1.1 比較靠近 1 ，我們應該用函數 g(x) = ln (1 + x)

的馬克勞林多項式。

注意所得的數據與例 4 相同，因此 g(x) = ln (1 + x) 的第四個馬克勞林多項式是

p.352

例 7 以馬克勞林多項式求近似值


與例 4 的差異只是此處以 x 代替了例 4 中的 x – 1 。再以P4 (0.1) 求近似值得到

ln (1.1) = ln(1 + 0.1) ≈ P4(0.1) ≈ 0.0953083

若將例 4 中的 x 以 1.1 代入，所得與此處相同。

p.352


泰勒多項式的餘項我們定義 f (x) 被泰勒多項式 Pn(x) 近似的餘項（ remainder ）如下：

也就是說 Rn(x) = f (x) – Pn(x)， Rn(x) 的絕對值稱為近似值的誤

差（ error ），亦即

p.352


如果 f 在一個含 c 的區間 I 上可以連續微分 n + 1 次，則對任一個 I 中的 x ，都會在 x 和 c 之間存在一點 z

使得

式中

p.353

定理 7.19 泰勒定理


f (x) = sin x 的第三個馬克勞林多項式是

請以 P3(0.1) 近似 sin (0.1) 並決定近似值的準確度。解　由泰勒定理，得到

式中， 0 < z < 0.1 ，因此

p.353

例 8 決定近似值的準確度


由於 f (4)(z) = sin z ，誤差 |R3(0.1)| 的大小可以估算如下

這表示0.099833 < sin(0.1) = 0.099833 + R3(x) < 0.099833 + 0.000004

0.099833 < sin(0.1) < 0.099837

p.354


如果要求近似 ln(1.2) 精確到 0.001 ，則在 c = 1 要取幾次的泰

勒多項式？解　先將 f (x) = ln(x) 的 (n + 1) 次導函數算出

由泰勒定理，誤差 |Rn(1.2)| 的大小可以估算如下

p.354

例 9 要求準確度的近似值


式中 1 < z < 1.2 ，此時 (0.2)n+1/zn+1(n + 1) 小於 (0.2)n+1/n + 1 。所以，我們要求一個 n 值使得

以 n 代一些值試試，只要取 n = 3 就可以滿足所求。

p.354


7.6 冪級數

冪級數的定義 x 表一個變數，形狀如下的無窮級數

稱為一個冪級數。一般說來，如果以 x – c 代換 x ，得到形狀如下的冪級數

稱為一個以 c 為中心的冪級數（ power series centered at c ），c 為常數。

p.355


a. 下面是一個以 0 為中心的冪級數。

b. 下面是一個以 – 1 為中心的冪級數。

c. 下面是一個以 1 為中心的冪級數。

p.356

例 1 冪級數


圖 7.17冪級數的定義域只有三種形式：一個點，一個以 c 為中心的區間（可能包含端點）或是實數全體。


一個以 c 為中心的冪級數，必滿足下列三者之一。1. 此級數只在 c 收斂。2. 存在一個實數 R > 0 ，使得此級數在 |x – c| < R 時絕對收斂，

而在 |x – c| > R 時發散。3. 對所有的 x ，此級數絕對收斂。R 稱為此冪級數的收斂半徑（ radius of convergence ），如果級數只在 c 收斂，收斂半徑 R = 0 ；而如果級數對所有的 x 都收斂，則收斂半徑 R = ∞ ，至於收斂區間（ interval of

convergence ）就是使此冪級數收斂的 x 全體。

p.356

定理 7.20 冪級數的斂散性


例 2 求收斂半徑

求　　　的收斂半徑。

解 x = 0 代入得到

如果 |x| > 0 ，令 un = n ! xn ，則有

由比例檢定得知，級數除了在中心 0 之外，到處發散，因此

收斂半徑 R = 0 。


例 3 求收斂半徑求的收斂半徑。

解 x ≠ 2 時，令 un = 3(x – 2)n ，則有

由比例檢定得知， |x – 2| < 1 時級數收斂， |x – 2| > 1 時級數發

散，因此收斂半徑 R = 1 。


求的收斂半徑。

解　令 un = (–1)n x2n+1/(2n + 1) ! 則有

對任意 x ，此極限為 0 。由比例檢定得知，級數到處收斂，因

此收斂半徑 R = ∞ 。

p.357

例 4 求收斂半徑


函數 f (x) 以冪級數表示如下

假設收斂半徑 R > 0 ，則在區間 (c – R, c + R) 上 f 可微（因此

連續）。 f 的導函數和反導數可以逐項計算如下：

p.358

定理 7.21 以冪級數定義的函數的性質


以上兩式以 f (x) 右端逐項微分和積分得出的冪級數，其收斂

半徑和 f (x) 一樣都是 R 。但收斂區間可能因為各自在端點的

行為而有差異。

p.358


考慮冪級數

求下列各冪級數的收斂區間。a. ∫f (x) dx b. f (x) c. f '(x)

解　由定理 7.21 ，得到

和

p.358

例 5 f(x) ， f '(x) 和∫ f(x) dx 的收斂區間


由比例檢定，每一個冪級數的收斂半徑都是 R = 1 ，考慮 (–1, 1) 和端點，得到a.

在 x = ±1 收斂，收斂區間是 [–1, 1] ，見圖 7.18(a) 。b.

在 x = –1 收斂，而在 x = 1 發散，收斂區間是 [–1, 1) ，見圖 7.18(b) 。

c.

在 x = ±1 發散，收斂區間是 (–1, 1) ，見圖 7.18(c) 。


圖 7.18


幾何冪級數考慮 f (x) = 1/(1 – x)， f 的形式和下列幾何級數的求和公式非常相似。

換句話說，令 a = 1， r = x ，一個以 0 為中心代表 1/(1 – x) 的

冪級數是

當然，冪級數只能在 (–1, 1) 代表 f (x) = 1/(1 – x) ，而 f (x) =

1/(1 – x) 卻是除了 x = 1 之外，到處都有定義，如圖 7.19 所示。如要在其他區間以冪級數代表 f ，需要不同的冪級數。

7.7 以冪級數表示函數


圖 7.19

p.360


求一個以 0 為中心的冪級數代表。解　先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式。

這表示 a = 2 ，而且 r = –x/2 ，所以代表 f (x) 的冪級數是

此冪級數在

時收斂，收斂區間是 (–2, 2) 。

p.361

例 1 求以 0 為中心的幾何冪級數


例 2 求以 1 為中心的幾何冪級數求一個以 1 為中心的冪級數代表　　　。解　先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式

這表示 a = 1 ，而且 r = 1 – x = – (x – 1) 。所以代表 f (x) 的冪

級數是

此冪級數在 | x – 1| < 1 時收斂，收斂區間是 (0, 2) 。


令 f (x) =Σanxn， g(x) =Σbnx

n，則

p.362

冪級數的運算規則


求一個以 0 為中心的冪級數代表。解　先將 f (x) 寫成部分分式

再將兩個幾何冪級數

和

p.362

例 3 兩個冪級數的和


相加，得到下面的結果。

此冪級數的收斂區間是 (–1, 1) 。

p.362


求一個以 1 為中心的冪級數代表 f (x) = ln x 。解　從例 2 得知

將此冪級數積分得到

令 x = 1 ，求出 C = 0 ，因此

注意此冪級數在 x = 2 收斂。這就是先前曾經提過積分可能會改變在收斂區間端點的斂散性。

p.362

例 4 積分求冪級數


求一個以 0 為中心的冪級數代表 g(x) = arctan x 。

解　由於 Dx [arctan x] = 1/(1 + x2) ，我們可以從

將式中的 x 代以 x2 而得

兩邊同時積分，得到

p.363

例 5 積分求冪級數


以三角等式

求 π 的近似值。解　個別級數各取五項計算得到

與 π 近似到 10–7 。

例 6 π 的近似值


定理 7.22 收斂冪級數的形式如果冪級數 Σan (x – c)n 在一個含 c 的開區間 I 上代表函

數 f ，亦即對所有 I 中的 x 恆有 f (x) =Σan (x – c)n 則

an = f (n)(c)/n! ，且

7.8 泰勒和馬克勞林級數


如果函數 f 在 x = c 無窮次可微，則我們稱下列級數

為 f (x) 在 c 的泰勒級數（ Taylor series for f (x) at c ）；如果

c = 0 ，此級數也稱為 f 的馬克勞林級數（Maclaurin series

for

f ）。

p.366

泰勒和馬克勞林級數的定義


例 1 寫下冪級數寫下 f (x) = sin x 的馬克勞林級數，並討論收斂區間。

解　連續微分 f (x) 得出


等，從三階導數之後數字出現規律性，因此，冪級數為

由比例檢定得知此級數對所有的 x 都收斂。

p.367


圖 7.20


定理 7.23 泰勒級數的斂散性

如果對區間 I 中所有的 x 都有，則 f 的泰勒級數會收斂並且收斂值等於 f (x) ，

p.367


求證對所有的 x， f (x) = sin x 的馬克勞林級數都收斂到 sin x 。

解　利用例 1 的結果，我們要證明

對所有的 x 都成立。由於f (n+1)(x) = ± sin x 或 f (n+1)(x) = ± cos x

所以 |f (n+1)(z)| ≤ 1 恆成立，固定 x ，應用泰勒定理（定理7.19 ）推得

p.368

例 2 一個收斂的馬克勞林級數


從 7.1 節關於指數和階乘收斂快慢的討論，我們知道對固定的 x

再由夾擠定理，得知對任意的 x ，當 n → ∞ 時， Rn(x) → 0 恆

成立。由定理 7.23 ，對所有的 x， sin x 的馬克勞林級數都會

收斂到 sin x 。


圖 7.21

當 n 增加的時候， Pn 的圖越來越像正弦函數。


求泰勒級數的指導原則1. 連續微 f (x) 若干次後，在 x = c 求各階導數

f (c), f '(c), f ''(c), f '''(c), …, f (n)(c), …

看看是否能找出規律。2. 以係數 an = f (n)(c)/n! 寫下泰勒級數

並決定收斂區間。3. 在收斂區間中，決定此一冪級數是否收斂到 f (x) 。

p.368


假設 k 非正整數，求 f (x) = (1 + x)k 的馬克勞林級數並決定收

斂區間。解　連續微分，得到

p.369

例 3 二項級數


寫下馬克勞林級數

由於 an+1/an → 1 ，應用比例檢定得知收斂半徑 R = 1 ，所以級數在區間 (–1, 1) 上收斂到某一個函數。

p.369


求的馬克勞林級數。解　由例 3 中所得的二項級數

令代入得

此一冪級數在 – 1 ≤ x ≤ 1 上收斂。

p.369

例 4 求二項級數


求　　　　　　的馬克勞林級數。解　利用冪級數

以　　代 x 得出

此一冪級數對所有 x ≥ 0 都收斂。

p.370

例 5 從基本表求冪級數


求下列各馬克勞林級數的前三項。 a. ex arctan x b. tan x

解 a. 利用表格中 ex 和 arctan x 的馬克勞林級數，得到

把兩式乘開，以升冪排列

例 6 冪級數的乘除

p.371


所以，。b. 利用表格中 sin x 和 cos x 的馬克勞林級數得到

以長除法進行，

p.371


所以，。


例 7 定積分的冪級數近似法

利用冪級數求的近似值，準確到 0.01 。

解　將 ex 的級數中以 – x2 代 x 後得出


對前四項求和，得出

從交錯級數檢定，得知誤差小於。

p.372

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