고등학생을 위한 고급미적분학 -...

THE ESSENTIAL ELEMENTS OF

ADVANCED CALCULUS FOR HIGHSCHOOL STUDENTS

고등학생을�위한�고급미적분학+ 다변수함수,�복소수함수

2013

이슬비는 여러분을 사랑합니다

수학�나라의�앨리스http://www.aliceinmathland.com

고등학생을�위한�고급미적분학

지은이 이슬 | [email protected]

펴낸곳 학 나라의 앨리스 | http://aliceinmathland.com

이슬 | http://iseulbee.com

발행일 2013 3월 1일

이 책의 모든 작권 지 이에게 있습니다.

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표지�사진�설명

번지점프

점프하여 내려오는 동안 낙하하는 몸은 최저점에 도달할 때까지 중력의 영향을 받아

가속도 운동한다. [관련단원 : 함수의 미분법, 함수의 적분법]

김연아�선수의� 2012� NRW트로피�대회�모습

빙판 위에서는 몸에 가해지는 알짜힘 벡터의 방향과 스케이트 날의 방향이 평행해야

넘어지지 않는다. [관련단원 : 평면도형과 공간도형]

놀이공원의�대관람차

일정한 각속도로 원운동하는 대관람차에서 시간에 따른 탑승자의 위치는 사인 함수와 코사인 함수로

나타낼 수 있다. [관련단원 : 삼각함수, 극좌표]

남해대교

현수교의 다리를 지지하는 구조물의 모양은 현수선이라고 불리는 쌍곡선코사인 함수의 그래프로

표현된다. [관련단원 : 쌍곡선함수]

이 과목에서 공부하는 내용은 자연 현상을 수학적으로 분석하고 이해하기 위해 필요한 내용이다.

일상생활에서 접하는 다양한 상황 속에 수학적 원리가 숨겨져 있다.

리 말

미 분학 미분과 분 이용하여 함 의 질 히고 이를 이용하여 다양한 를 해결하는 학의 분야입니다.

미분 본래 함 의 변 계산하는 법이고 분 본래 함 의 그래 로 둘러싸인 도 의 이를 계산하는 법

입니다. 그러나 뉴 , 라이 니 같 학자들에 의하여 미분과 분의 연 이 지고 그 부 미분과 분이

하나로 합쳐 미 분학이라는 이름 로 연구 시작하 습니다. 늘날 미 분학 리학, 공학, 경 학, 통계학 등

학 의 거의 모든 분야에 요한 역할 하고 있습니다.

이 책 고등학 과 과 학부 과 의 미 분학 내용 담 재로 , 고등학 미 분학 업 재나 학부 미

분학 학습 한 복습 재로 사용할 있습니다. 1단원부 7단원 지는 고등학 과 의 미 분학과 하학에

내용 담고 있 며 8단원과 9단원 학부 과 의 내용 담고 있습니다. 각 단원별로 핵심 내용 리하고

요한 를 실어 학습자가 미 분학의 내용 이해하고 이를 용하여 다양한 를 해결하는 능 를 있도

록 하 습니다.

이 책이 미 분학 공부하는 많 분들께 도움이 를 랍니다.

2013 시작하는 겨울, 이슬

01 집합과 함수 10~17쪽

01. 명제와 조건

02. 집합의 연산

03. 진리집합과 한정명제

04. 실수와 복소수

05. 방정식

06. 부등식

07. 함수

08. 합성함수와 역함수

02 수열의 극한과 함수의 극한 20~35쪽

01. 수열의 뜻

02. 등차수열과 등비수열

03. 수열의 합

04. 여러 가지 수열의 합

05. 수열의 수렴과 발산

06. 수열의 극한에 관한 성질

07. 등비수열의 극한

08. 무한급수

09. 무한등비급수

10. 양항급수★

11. 한 점에서의 함수의 극한

12. 무한대에서의 함수의 극한

13. 좌극한과 우극한

14. 함수의 극한에 관한 성질

15. 함수의 연속

16. 연속함수의 성질

03 여러 가지 함수 38~53쪽

01. 삼각함수의 뜻

02. 일반각과 호도법

03. 삼각함수의 그래프

04. 삼각함수의 성질

05. 사인법칙과 코사인법칙

06. 삼각함수의 덧셈정리

07. 삼각함수의 극한

08. 삼각함수의 활용

09. 지수의 확장

10. 지수함수의 그래프

11. 지수함수의 극한

12. 로그의 뜻

13. 상용로그와 자연로그

14. 로그함수의 그래프

15. 로그함수의 극한

16. 역삼각함수와 쌍곡선함수★

04 함수의 미분법 56~65쪽

01. 미분계수

02. 도함수

03. 여러 가지 미분법

04. 지수함수와 로그함수의 미분법

05. 삼각함수의 미분법

06. 고계도함수

07. 평균값 정리

08. 함수의 그래프

09. 로피탈의 법칙과 테일러의 정리★

10. 역도함수

05 함수의 적분법 68~77쪽

01. 구분구적법과 정적분

02. 정적분의 성질

03. 부정적분

04. 여러 가지 함수의 부정적분

05. 여러 가지 적분법

06. 이상적분★

07. 테일러 급수★

08. 도형의 넓이와 부피

09. 속도와 가속도

10. 질량과 무게중심★

차례 _ Contents

06 행렬과 일차변환 80~87쪽

01. 행렬의 뜻

02. 행렬의 곱셈

03. 역행렬

04. 연립일차방정식

05. 일차변환

06. 여러 가지 일차변환

07. 합성변환과 역변환

08. 도형의 변환

07 평면도형과 공간도형 90~101쪽

01. 포물선

02. 타원

03. 쌍곡선

04. 이차곡선의 활용

05. 공간도형

06. 좌표공간

07. 벡터의 뜻

08. 벡터의 성분

09. 벡터의 내적

10. 직선의 방정식

11. 평면의 방정식

12. 벡터의 활용★

08 다변수함수의 미적분 104~115쪽

01. 다변수함수와 벡터함수★

02. 극한과 연속★

03. 편미분★

04. 전미분★★

05. 곡선과 곡면★

06. 미분의 활용★

07. 중적분★

08. 반복적분★

09. 중적분의 변수변환★★

10. 선적분★★

11. 면적분★★

12. 그린의 정리와 스토크스의 정리★★

09 복소수함수 118~123쪽

01. 복소평면★

02. 복소수함수★

03. 복소수함수의 미분★★

04. 복소수함수의 적분★★

05. 테일러 급수와 로랑 급수★★

06. 유수를 이용한 적분법★★

A 부록 124~172쪽

• 주요 공식 ∙ 정리 증명

• 문제 정답과 간략한 해설

• 상용로그표

• 삼각함수표

• 기본함수의 미적분 공식

• 참고서적

※ 별이 한 개 붙은 단원은 고급과정이며 별이 두 개 붙은 단원은 학부과정입니다.

늘날 학에 다루는 부분의 내용 명 집합의 개 탕 로 한다. 또한 학

개체를 분 하는 주 도구는 함 이다. 라 학 공부를 시작하는 데에 있어 명 ,

집합, 함 의 본 인 개 과 질 살펴보는 것 매우 요한 일이다.

한편 미 분학에 다루는 함 는 부분 의 집합 의역과 공역 로 하므로 미 분

학 공부하 해 는 식의 질에 익 해야 한다.

이 단원에 는 미 분학 공부하 해 요한 명 , 집합, 체계, 함 의 개 과 본

질 살펴본다.

학 습 목 표

|

명제의 성질을 이용하여 기본적인 증명을 할 수 있다.

|

집합의 연산을 이해하고 집합의 다양한 연산을 할 수 있다.

|

실수와 복소수의 성질을 이용하여 수의 연산을 할 수 있다.

|

다양한 형태의 방정식과 부등식을 풀 수 있다.

|

함수의 개념을 이해하고 함수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

10 고급미적분학

1 ‘ 많 는다’, ‘키가 크다’라고 했 다 타내어라.

⑴ → ⑵ → ⑶ ～ → ～

⑷ ∧ ⑸ ∨ ⑹ ～ ∧

2 다 같 미 가지는 것 찾 라. (단, 상 역 실 체 집합 다.)

⑴ ∼ ⑵ ∼

⑶ ∼ ⑷ ≤

⑸ ⑹ ≠

3 ‘ 가 보다 크 는 다’ 역, , 우 하고 각각 참, 거짓 라.

4 다 에 ‘ ’ 한 필 건과 충 건 각각 찾 라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

5 건 , 가 다 과 같 주어 는 한 어 건 지 말하여라.

⑴

⑵

⑶

정답 138쪽

0101명제와�조건명제와�조건

개념 핵심정리 (1) 명제 : 참 는 거짓 한 가지 만 결 는 학

(2) 조건 : 변 값에 라 참, 는 거짓 결 는 학

(3) 부정 : ‘가 니다’ 부정 라고 ∼ 타낸다.

(4) 가정과 결론 : ‘ 다’ → 타낸다. 가정, 결론 라고 다.

① → → 역 라고 다.

② ∼ → ∼ → 이라고 다.

③ ∼ → ∼ → 대우라고 다.

(5) 명제의 합성

① ‘ 그리고 ’ ∧ 타낸다.

② ‘ 는 ’ ∨ 타낸다.

(6) 함의문 : → 가 참 것 ⇒ 타낸다.

① ⇒ 에 한 충분조건, 한 필요조건 라고 다.

② → → 가 참 것 타내 는 필요충분조건

다라고 말한다.

⇒ 정답 138쪽

집합과 함수 11

1 집합 에 한 다 지 것 ?

① ∈ ② ⊂ ③ ∈

④ ∈ ⑤ ⊂

2 집합 에 하여 ∩ , 만 시키는 집합 개

하여라.

3 집합 , 에 하여 ∩ , 실

값 하여라.

4 집합 에 하여 다 하여라.

⑴ × ⑵ × × ⑶ × × ×

⑷

⑸

⑹

∩

5 체집합 ⋯ 고 { 는 } 다 하여라.

⑴ ∪∪ ⋯ ∪ ⑵ ∩∩∩

⑶

⑷

⑸

⑹

6 60 학생에게 A, B 게 하 니 A 학생 36 , B 학생 41 , A

B 지 못한 학생 4 었다. A만 학생 하여라.

정답 138쪽

0202집합의�연산집합의�연산

개념 핵심정리 (1) 부분집합

① 든 원 가 에 할 ⊂ 타내고 는 부분집합 다라고 말한다.

② ⊂ 지만 ≠ 는 진부분집합 다라고 말한다.

③ 든 집합들 멱집합 라고 고 타낸다.

(2) 집합의 연산

① ∪ ∈ ∨ ∈ ② ∩ ∈ ∧ ∈

③

∪∪ ⋯ ∪ ④

∩∩ ⋯ ∩

⑤ × ∈ ∧ ∈

⑥

× ×⋯× ⋯ ∈ . 특

.

⑦ ∖ ∈ ∧ ∉ ( 라고 타내 도 한다.)

⑧ ∈ ∧ ∉ (단, 는 체집합)


1 건 ‘ ’, 건 ‘ ’라고 하 . 진리집합 , 진리집합

라고 했 다 것 ? (단, 체집합 든 실 집합 다.)

① ⊂ ② ⊂ ③

④ ⊂ ⑤ ∩

2 건 , 진리집합 각각 , 라고 하 . ⊂ 다 것 ?

① ⇒ ② ∼ ⇒ ③ ⇒ ∼

④ ⇒ ⑤ ∼ ⇒ ∼

3 다 말하여라.

⑴ 상에는 고 마 지 못하는 사람 다.

⑵ 든 는 하 다.

⑶ 는 심시간에 거 피 것 다.

⑷ 짱 는 도 하고 도 한다.

4 , , 가 실 , 다 진리집합과 진리집합 같 것 ?

①

② 는 짝 는 짝

③

④

⑤

★5 든 사람 집합 라고 하고 ‘는 다’라고 하 . ‘ 든

사람에게는 가 다’ 한 사용하여 타내어라.

정답 138쪽

0303진리집합과�한정명제진리집합과�한정명제

개념 핵심정리 (1) 진리집합 : 건 가 참 도 하는 들 진리집합 라고 다.

진리집합 다.

(2) 한정명제 : ‘ 든 ~에 하여 … 다’ 는 ‘… ~가 재한다’라는 말 들어간 한

정명제라고 다. 한 에는 재 가 다.

① 전칭명제 : ‘집합 든 원 에 하여 가 항상 참 다’ ∀ ∈

한다. ∀∈ ∃∈ ∼ 다.

② 존재명제 : ‘집합 원 에 가 참 도 하는 것 하 상 재한

다’ ∃∈ 한다. ∃∈ ∀∈ ∼ 다.

집합과 함수 13

1 다 복 계산 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷ ÷

2 , 다 하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ÷ ⑹ ÷

3 실 , 가 만 시킬 , 값 하여라.

4 실 , 값 하여라.

5 실 , 에 하여

가 립할 값 하여라.

6 집합 가 평 에 타내는 도 하여라.

7 실 , 가 에 하여 만 시킬 , 크 비 하여라.

★8 { 과 }라고 하 . 든 실 , 에 하여 사

에 원 가 재함 하여라.

정답 138쪽

0404실수와�복소수실수와�복소수

개념 핵심정리 (1) 실수 : 직 에 타낼 는 실수라고 다.

※ 실수의 조밀성 : ≠ 사 에 리 리 가 재한다.

(2) 복소수 : 곱하여 는 는 개가 는 그 하 타내고 허수단위라

고 다. 실 , 에 하여 타낼 는 복소수라고 다.

① 에 실수부분, 허수부분 라고 다.

복 실 Re , 허 Im 타낸다.

② 에 ≠ 허수, , ≠ 순허수, 실수라고 다.

③ 켤레복소수라고 다.

④ 절댓값 라고 다.

(3) 덧셈과 곱셈의 성질 : 과 곱 에 한 , 결합 , 립한다.

(4) 집합의 표기 : 복 집합 ℂ, 실 집합 ℝ, 리 집합 ℚ, 집합 ℤ, 연 집합 ℕ


1 다 식 해 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2 다 연립 식 어라.

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

3 다 식 어라.

⑴

⑵

⑶

⑷

4 실 에 다 리 식 어라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

5 실 값에 라 리 식 실근 개 가 어떻게 변하는지 사하여라.

정답 138쪽

0505방정식방정식

개념 핵심정리 (1) 방정식의 해 : 등식 질 용하여 (상 ) 변 한다.

(2) 다항방정식 : 변 2차 하 식 해하여 해 한다.

(3) 이차방정식 : 차 식 해는

± .

(4) 분수방정식 : 변에 공 곱한 후 해 하고 연근 한다.

(5) 무리방정식 : 변 곱하여 해 하고 연근 한다.

(6) 연립방정식 : 가감 과 용하여 가 하 식 변 하여 다.

집합과 함수 15

1 다 차 등식 어라.

⑴ ⑵

⑶ ≥ ⑷

⑸ ≤ ⑹

⑺ ⑻

2 다 등식 어라.

⑴ ⑵ ≥

⑶ ⑷ ≤


⑴

⑵ ≥

4 다 연립 등식 어라.

⑴ ≥

⑵ ≤

⑶

≤

≥ ⑷

≥

≤

⑸

≤

⑹

≥

≤

정답 139쪽

0606부등식부등식

개념 핵심정리 (1) 부등식의 풀이

① 등식 질 용하여 주어진 식

, ≥ , , ≤

하 꾼다. (단, 는 다항식)

② 식 해 경계 하는 값 에 사하여

등식 해 한다.

③ 한 해 에 연근 한다.

(2) 부등식과 함수의 그래프

① 등식 해는 함 그래프 들 쪽에 는 들

다.

② 등식 해는 함 그래프 들 래쪽에 는

들 다.

(3) 연립부등식의 풀이 : 연립 든 등식 해 각각 한 공통 ( 집합) 한다.


1 다 에 함 가 닌 것 ?

① ② ③

④ ⑤

2 다 함 역 하여라. (단, 역 한다.)

⑴ ( 든 실 )

⑵ ( ≥ )

⑶ ( ≥ )

3 다 함 함 것 각각 찾 라.

⑴ 역과 공역 실 체 집합

⑵ 역과 공역 실 체 집합

⑶ 집합 ≥ 에 하여 → ,

⑷ 연 체 집합 ℕ에 하여 ℕ → ℕ,

4 집합 , 에 하여 , 다 하여라.

⑴ 에 함 개 ⑵ 에 함 개

⑶ 에 개 ⑷ 에 상 함 개

5 다 에 , 항등함 , 상 함 각각 찾 라. (단, 역과 공역 ℝ 한다.)

① ② ③ i f ≥

i f

④ ⑤

정답 139쪽

0707함수함수

개념 핵심정리 (1) 함수 : 집합 원 집합 에 하 시키는 계 함수라고 다.

① 정의역, 공역 라고 다.

② 함 고 역 , 공역 것 → 타낸다.

③ 함 값들 ∈ 치역 라고 다.

④ ⊆ 에 한 상 ∈ 한다.

(2) 함수의 분류

① 역 든 원 , 에 하여 ≠ 마다 ≠ 일대

일함수라고 다.

② 가 함 ( 공역)( 역) 일대일대응 라고 다.

③ 역 원 가 개 상수함수라고 다.

④ 항등함수라고 다.

집합과 함수 17

1 역과 공역 실 체 집합 함 에 하여

∘ ∘ 하고, 합 함 역 각각 하여라.

2 다 함 , 에 하여 ∘ ∘ 가 립하 한 필

충 건 ?

① ② 는 ③ 는

④ ⑤

3 함 , , 에 하여 다 합 함 하여라.

⑴ ∘ ∘ ⑵ ∘ ∘

4 차함 역함 하여라.

5 함 에 하여 , 값 하여라.

6 함 에 하여 , 립할 값 하여

라.

★7 든 실 에 하여 함 역 하여라. (단, 는

지 는 다.)

★8 함 ℝ → ℝ

i f is rational

i f is irrational

라고 할 , ∘ 역 하여라.

정답 139쪽

0808합성함수와�역함수합성함수와�역함수

개념 핵심정리 (1) 합성함수 : 함 → → 가 주어 원 에

시키는 함 합성함수라고 ∘ 타낸다.

(2) 역함수 : → 가 , 각 원 에 하여 가 는

원 는 단 하 가 재한다. 에 시키는 함 역함수라고 고

타낸다.

(3) 역함수의 성질 → 가

① 역함 → 가 재한다.

②

③ ∘ ∘ 는 항등함 다.

④ 그래프 그래프는 직 에 하여 다.

극한 한 번의 시행 로 얻 없는 결과를 학 인 상황에 분 하고 찰할

있도록 해주는 용한 도구이다. 곡 의 울 나 이 또는 도 의 이나 부 를 구할

확한 값 구하 해 극한이 사용 다.

특히 함 의 극한 미분과 분 의하 해 인 개 이며, 열의 극한 함

의 극한 이해하 해 드시 요한 개 이다. 라 미 분 공부하 해 는

열과 함 의 극한 확하게 이해하고 그 질 자 롭게 사용할 있어야 한다.

이 단원에 는 열의 극한과 함 의 극한 의하고 그 다양한 질 살펴본

다.

학 습 목 표

|

수열의 개념을 이해하고 수열의 일반항을 구할 수 있다.

|

합 기호의 성질을 이해하고 수열의 합을 구할 수 있다.

|

수열의 수렴과 발산을 판별하고 수열의 극한을 구할 수 있다.

|

무한급수의 수렴과 발산을 판별하고 무한급수의 합을 구할 수 있다.

|

함수의 극한을 이해하고 함수의 극한을 구할 수 있다.

|

연속함수의 개념을 이해하고 함수의 연속성을 판별할 수 있다.

|

연속함수의 성질을 이용하여 다양한 문제를 해결할 수 있다.


1 다 열 규 찾 보고, 12 항 하여라.

⑴ , , , , , ⋯ ⑵

,

,

,

,

, ⋯

2 다 열 첫째항 5 항 지 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

3 다 열 항 하여라.

⑴ , , , , , ⋯ ⑵ ⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋯

⑶ , , , , ⋯ ⑷ , , , , , ⋯

4 다 건 만 시키는 열 첫째항 10 항 지 하여라.

⑴ ,

⑵ ,

5 다 건 만 시키는 열 첫째항 10 항 지 하여라.

, ,


, , , , , , , , ⋯

정답 139쪽

0101수열의�뜻수열의�뜻

개념 핵심정리 (1) 수열

① 열한 것 수열 라고 다.

② 열 각 항 라고 차 , , , ⋯과 같 타낸다.

③ 열 역 연 집합 함 라고 생각할 다.

④ 항 개 가 한 열 무한수열 라고 항 개 가 한 열 유한수열

라고 다.

(2) 일반항

① 열 항 과 같 타낸다. 타내는 식 일반항 라고 다.

② 항 열 타낸다.

※ 열 , , , ⋯과 같 에 라 가 달라진다.

수열의 극한과 함수의 극한 21

1 다 등차 열 항 하여라.

⑴ 첫째항 , 공차가 ⑵ 첫째항 , 공차가

⑶ , , , , ⋯ ⑷ , , , , ⋯

⑸ 5 항 , 8 항 ⑹ 4 항 , 10 항

2 다 등비 열 항 하여라.

⑴ 첫째항 , 공비가 ⑵ 첫째항 , 공비가

⑶ , , , , ⋯ ⑷ ,

,

,

, ⋯

⑸ 3 항 , 6 항

3 항 다 과 같 등차 열 첫째항과 공차 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

4 다 각 열 등차 열 도 , 하여라.

⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , ⋯

5 다 열 등비 열 도 , 각각 하여라.

⑴ , , , , , ⋯ ⑵

, , , , , ⋯

6 과 사 에 어 체가 등차 열 도 할 , 하여라.

7 사 에 어 체가 등비 열 도 할 , 하여라.

정답 140쪽

0202등차수열과�등비수열등차수열과�등비수열

개념 핵심정리 (1) 등차수열 : 첫째항 차 한 하여 만든 열 등차수열 라고 , 하

는 한 공차라고 다.

(2) 등비수열 : 첫째항 차 한 곱하여 만든 열 등비수열 라고 , 곱하

는 한 공비라고 다.

(3) 등차수열과 등비수열의 일반항

① 첫째항 고 공차가 등차 열 항 :

② 첫째항 고 공비가 등비 열 항 :


1 다 등차 열 합 하여라.

⑴ ⋯

⑵ ⋯

⑶ 첫째항 , 공차가 등차 열 첫째항 항 지 합

⑷ 첫째항 , 공차가 등차 열 첫째항 항 지 합

⑸ 첫째항 , 항 , 항 개 가 등차 열 든 항 합

⑹ 첫째항 , 항 , 항 개 가 등차 열 든 항 합

2 다 등비 열 합 하여라.

⑴ 첫째항 , 공비가

등비 열 첫째항 항 지 합

⑵ 첫째항 , 공비가 등비 열 첫째항 항 지 합

⑶ ⋯

3 다 합 ∑ 사용하여 타내어라.

⑴ ⋯ ⑵ ⋯

⑶

⋯

⑷ ⋯

4

,

, 다 식 값 하여라.

⑴

⑵

정답 140쪽

0303수열의�합수열의�합

개념 핵심정리(1) 합의 기호 : ⋯ 간단

타낸다.

(2) ∑의 성질

①

②

③

④

(3) 등차수열의 합 : 첫째항 , 공차가 등차 열 첫째항 항 지 합

(4) 등비수열의 합 : 첫째항 , 공비가 등비 열 첫째항 항 지 합

① ≠

②


1 다 합 하여라.

⑴ ⋯ ⑵ ⋯

⑶ ⋯ ⑷ ⋯


⑴

⑵

⑶ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⑷ ⋯


⑴ ⋅

⋅

⋅

⋯

⑵ ⋅

⋅

⋅

⋯

4 다 열 계차 열 하여라.

⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , , ⋯


⑴ , , , , , ⋯ ⑵ , , , , , ⋯

정답 140쪽

0404여러�가지�수열의�합여러�가지�수열의�합

개념 핵심정리 (1) 자연수의 거듭제곱의 합

①

②

③

(2) 계차수열

① 계차 열 뜻 : 열 에 는 열

계차수열 라고 다.

② 열 계차 열

(단, ≥ )


1 다 열 극한값 하여라.

⑴ ,

,

,

, ⋯ ⑵

,

,

, ⋯

⑶

,

,

,

, ⋯ ⑷ ,

,

,

, ⋯

2 다 열 , 산 사하여라.

⑴ , , , ⋯ ⑵

,

,

, ⋯

⑶ , , , , , , ⋯ ⑷

,

,

,

,

, ⋯

3 다 열 , 산 사하고, 하 극한값 하여라.

⑴

⑵ ⑶

4 열 항 다 과 같 , 산 사하고, 하 극한값 하고, 산

하 산 태 사하여라.

⑴ sin

⑵ ⑶

정답 140쪽

0505수열의�수렴과�발산수열의�수렴과�발산

개념 핵심정리 (1) 수열의 수렴 : 한 열 에 한없 커질 값 한 값 에 한없

가 워지 ‘ 열 에 수렴한다’라고 말하고 극한 는 극한값 라고

다. 것 다 과 같 타낸다.

lim → ∞

는 ‘ → ∞ → ’

(2) 수열의 발산 : 열 하지 발산한다고 말한다.

① 값 한없 커질 값 한없 커지 ‘ 열 양의 무한대로 발산한

다’라고 말한다. 것 다 과 같 타낸다.

lim → ∞

∞ 는 ‘ → ∞ → ∞ ’

② 값 한없 커질 값 한없 지 ‘ 열 음의 무한대로 발산한

다’라고 말한다. 것 다 과 같 타낸다.

lim → ∞

∞ 는 ‘ → ∞ → ∞ ’

③ 열 산하지만 한 에 산하지 고 한 에도 산하지

‘ 진동한다’라고 말한다.


1 다 극한값 하여라.

⑴ lim → ∞

⑵ lim → ∞

⑶ lim → ∞

2 열 에 하고 열 에 할 , 다 열 극한값 , 타

내어라.

⑴ ⑵ ⑶

(단, ≠ )


⑴ lim → ∞

⑵ lim

→ ∞

⑶ lim

→ ∞

⑷ lim → ∞

⑸ lim → ∞

⑹ lim

→ ∞

4 다 극한값 하여라. (단, 는 상 다.)

⑴ lim → ∞

sin ⑵ lim

→ ∞

cos ⑶ lim

→ ∞

sin

5 열 든 연 에 하여 등식

만 시킬 , 극한값 하여라.

정답 140쪽

0606수열의�극한에�관한�성질수열의�극한에�관한�성질

개념 핵심정리 (1) 극한과 사칙계산 : 열 , 하고 lim → ∞

, lim → ∞

① lim → ∞

② lim → ∞

③ lim → ∞

(는 상 ) ④ lim → ∞

⑤ lim → ∞

(단, ≠ )

(2) 극한과 부등호 : 열 , 하고 lim → ∞

, lim → ∞

① 든 연 에 하여 ≤ ≤ .

② 조임정리 : 열 든 연 에 하여 ≤ ≤ 고

lim → ∞

.


1 다 한등비 열 , 산 사하여라.

⑴

⑵ ⑶ ⑷


⑴ lim → ∞

⑵ lim → ∞

⑶ lim → ∞⋅

⋅

⑷ lim → ∞

3 다 열 , 산 사하여라.

⑴

(단, ) ⑵

(단, ≠ )

⑶

⑷

(단, ≠ )

4 한등비 열 cos 가 하도 실 값 하여라.

5 열 ,

만 시킬 lim

→ ∞

값 하여라.

★6 열 , 만 시킬 lim

→ ∞

값 하여라.

★7 2L 담 는 비커 A, B에 각각 1L 들어 다 비커 A에 들어 는

비커 B에 담고, 그 다 비커 B에 들어 는

비커 A에 담는다. 같

과 계 복하 비커 A에 들어 는 어 에 가 워지는지 하여라.

(단, 하지 는다고 가 한다.)

정답 140쪽

0707등비수열의�극한등비수열의�극한

개념 핵심정리 (1) 무한등비수열의 수렴과 발산 : 한등비 열 에 하여

① lim → ∞

∞ ( 산)

② lim → ∞

( )

③ lim → ∞

( )

④ ≤ 진동한다. ( 산)


1 다 한 , 산 사하여라.

⑴ ⋯ ⑵

⋯

⑶ ⋯ ⑷

⋯

2 다 한 합 하여라.

⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞

3

∞

하고

∞

,

∞

∞

값 하여라.

4 다 한 가 산함 하여라.

⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞

⑷

∞

⑸

∞

⑹

∞

5 한

⋯ 합 하여라.

6 열 에 하여 , 립할

∞

값 하여라.


⋯

⋯

⋯

정답 141쪽

0808무한급수무한급수

개념 핵심정리 (1) 무한급수

① 열 에 하여

∞

lim → ∞

무한급수라고 다.

②

한 부분합 라고 다.

③ ① 한 가 에 할 무한급수의 합 라고 다.

(2) 무한급수의 수렴과 일반항 : 한

∞

하 lim → ∞

다.


1 다 한등비 , 산 사하고, 하 그 합 하여라.

⑴

⋯ ⑵ ⋯

⑶

⋯ ⑷ ⋯

⑸

∞

⑹

∞

2 다 한등비 가 하도 실 값 하여라.

⑴ ⋯ ⑵

⋯


⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞

4 공비가 같 한등비 열 , 에 하여

,

∞

,

∞

가 립할

∞

값 하여라.

5 한등비 용하여 다 타내어라.

⑴ ⑵

6 어 공 공 에 지 에 직 어뜨리 어진 만큼 어 는 과

한 복한다고 한다. 공 지상 m 에 지 에 직 어뜨 , 공

지 움직 거리 하여라.

정답 141쪽

0909무한등비급수무한등비급수

개념 핵심정리 (1) 무한등비급수 : 등비 열 한 무한등비급수라고 다.

(2) 무한등비급수의 수렴과 발산 : 첫째항 , 공비가 등비 열 한

∞

⋯

에 하여 다 립한다.

① 한등비 는 하고 그 합

다.

② ≥ 한등비 는 산한다.



⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞


⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞

3 등식 sin ≤ 용하여 다 한 , 산 사하여라.

⑴

∞

sin

⑵

∞

sin

⑶

∞

sin


⑴

∞

sin

⑵

∞

⑶

∞

★5 열 에 하고 든 연 에 하여 ≥ ≥ 만 시키 한

∞

함 하여라.

정답 141쪽

1010양항급수양항급수★

개념 핵심정리 (1) 양항급수의 뜻

① 든 항 상 열 양항수열 라고 다.

② 항 열 한 양항급수라고 다.

※ 보통 항 라고 하 든 항 보다 큰 경우 미한다.

(2) 두 양항급수의 비교 : 과 항 열 다 립한다.

① 든 연 에 하여 ≤ 고

∞

하

∞

도 한다.

②

하고

∞

하

∞

도 한다.

(3) 양항급수의 수렴과 발산 : 항 열 다 립한다.

① 한 합 열 든 항 어 한 고 값보다

한

∞

한다.

② lim → ∞

,

∞

하고

∞

산한다.

③ lim → ∞

,

∞

하고

∞

산한다.



⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim

→


⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim

→

3 다 극한 사하여라.

⑴ lim →

⑵ lim

→


⑴ lim →

sin ⑵ lim →

cos

⑶ lim →

tan ⑷ lim → sin

cos

★5 다 등식 립하도 상 , 값 하여라.

⑴ lim →

⑵* lim

→ cos

sin

정답 142쪽

1111한�점에서의�함수의�극한한�점에서의�함수의�극한

개념 핵심정리 (1) 함수의 수렴 : 함 에 값 가 니 에 한없 가 워질

값 한 값 에 한없 가 워지 는 에 수렴한다고 말한다.

값 에 한없 가 워질 극한값 는 극한 라고 다. 것 다

과 같 타낸다.

lim →

는 ‘ → → ’

(2) 함수의 발산

① 함 에 값 가 니 에 한없 가 워질 값 한없

커지 는 양의 무한대로 발산한다고 말한다. 것 다 과 같 타낸다.

lim →

∞ 는 ‘ → → ∞ ’

② 함 에 값 가 니 에 한없 가 워질 값 한없

지 는 음의 무한대로 발산한다고 말한다. 것 다 과 같 타낸다.

lim →

∞ 는 ‘ → → ∞ ’


1 다 극한 사하고, 하 극한값 하여라.

⑴ lim → ∞

⑵ lim

→ ∞

⑶ lim → ∞

⑷ lim → ∞

2 다 극한 사하고, 하 극한값 하여라.

⑴ lim → ∞

⑵ lim → ∞

⑶ lim → ∞

⑷ lim → ∞

★3 함 ℝ → ℝ가 다 과 같 주어 다.

i f is rational

i f is irrational

다 극한 사하여라.

⑴ lim →

⑵ lim → ∞

⑶ lim →

⑷ lim → ∞

정답 142쪽

1212무한대에서의�함수의�극한무한대에서의�함수의�극한

개념 핵심정리 (1) 함수의 수렴

① 함 에 값 한없 커질 값 한 값 에 한없 가

워지 , 것 다 과 같 타낸다.

lim → ∞

는 ‘ → ∞ → ’

② 함 에 값 한없 질 값 한 값 에 한없 가

워지 , 것 다 과 같 타낸다.

lim → ∞

는 ‘ → ∞ → ’

(2) 함수의 발산

① 함 에 값 한없 커질 값 한없 커지 , 것

다 과 같 타낸다.

lim → ∞

∞ 는 ‘ → ∞ → ∞ ’

② 함 에 값 한없 커질 값 한없 지 , 것

다 과 같 타낸다.

lim → ∞

∞ 는 ‘ → ∞ → ∞ ’

③ ①, ② 비슷한 다 극한도 한다.

lim → ∞

∞ , lim → ∞

∞



⑴ lim →

⑵ lim

→

2 다 극한 사하여라. (단, 는 보다 크지 다.)

⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim →

3 ≤ ≤ 에 함 그래프가 쪽 그림

과 같 , 다 극한 사하여라.

⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim →

⑸ lim →

★4 쪽 그림과 같 곡 P 지 고

OP 에 직 직 편과 편 각각 , 라

고 할 ,

lim → ∞

값 하여라. (단, )

정답 142쪽

1313좌극한과�우극한좌극한과�우극한

개념 핵심정리 (1) 좌극한과 우극한

① 값 보다 크 에 한없 가 워지는 것 → 타낸다.

② 값 보다 에 한없 가 워지는 것 → 타낸다.

③ → 값 한 값 에 한없 가 워지 에

우극한 라고 고, 것 다 과 같 타낸다.

lim →

는 ‘ → → ’

④ → 값 한 값 에 한없 가 워지 에

좌극한 라고 고, 것 다 과 같 타낸다.

lim →

는 ‘ → → ’

⑤ 극한과 우극한 산하는 경우도 비슷한 한다.

(2) 극한과 좌 ․ 우극한의 관계

lim →

lim →

lim →


1 lim → ∞

, lim → ∞

, 다 극한값 하여라.

⑴ lim → ∞

⑵ lim → ∞


⑴ lim →

⑵ lim

→

⑶ lim → ∞

⑷ lim

→ ∞

⑸ lim → ∞

⑹ lim

→ ∞

⑺ lim → ∞

⑻ lim →

3 다 등식 립하도 상 , 값 하여라.

⑴ lim →

⑵ lim

→


⑴ lim →

cos

⑵ lim

→ ∞

sin

5

만 시키는 함 에 하여 lim

→ ∞ 하여라.

정답 142쪽

1414함수의�극한에�관한�성질함수의�극한에�관한�성질

개념 핵심정리 (1) 극한과 사칙계산 : lim →

, lim →

① lim →

② lim →

③ lim →

(는 상 ) ④ lim →

⑤ lim →

(단, ≠ )

질 → ∞ → ∞ 에도 립한다.

(2) 극한과 부등호 : lim →

, lim →

① 에 가 운 든 에 하여 ≤ ≤

② 조임정리 : 에 가 운 든 에 하여 ≤ ≤ 고

lim →


1 다 함 가 주어진 에 연 지 사하여라.

⑴

i f ≠

i f

( )

⑵ i f ≥

i f ( )

⑶

i f ≠

i f

( )

2 다 함 가 에 연 지 사하여라. (단, 는 보다 크지 )

⑴

i f ≠

i f

⑵ ( ≤ ≤ )

★3 다 함 가 에 연 도 , 값 하여라. (단, ≠)

i f ≠

i f

정답 142쪽

1515함수의�연속함수의�연속

개념 핵심정리 (1) 점에서의 연속 : 함 가 다 건

(ⅰ) 에 함 값 가 다

(ⅱ) → 가 한다

(ⅲ) 에 함 값과 극한값 같다

만 시킬 ‘는 에 연속 다’라고 말한다.

(2) 구간 : 실 , 에 하여 다 과 같 한다.

① ② ≤ ≤

③ ≤ ④ ≤

⑤ ∞ ⑥ ∞

⑦ ∞ ≤ ⑧ ∞ ≤

⑨ ∞ ∞ ℝ

※ 여 간 열린구간, 간 닫힌구간 라고 , 한쪽 닫

고 한쪽 열 는 간 반닫힌구간 는 반열린구간 라고 다.

(3) 구간에서의 연속 : 함 가 어 간에 하는 든 에 연 , 는 그

간에 연속 다 는 연속함수 다라고 말한다.

※ 함 가 어 간에 연 필 충 건 그 간에 그래프가 어지지

타 는 것 다.


1 다 함 연 사하여라.

⑴ ⑵

2 다 식 주어진 에 실근 가짐 하여라.

⑴ ( )

⑵ ( )

⑶ sin

3 살 동욱 몸 게는 각각 kg, kg 다. 살 동욱 몸 게는

각각 kg, kg 었다고 한다. 사람 살 살 지 어도 몸 게가

같 는지 하여라.

★4 함 그래프가 쪽 그림과 같 함 함 ∘ 가

연 하여라.

5 실 체 집합에 함 , 에 하여 다 것 찾 라.

⑴ lim →

가 하 lim →

lim →

어도 하 는 한다.

⑵ lim →

가 산하 lim →

lim →

는 산한다.

⑶ lim →

, lim →

가 하 lim →

도 한다.

⑷ lim →

, lim →

가 하 lim →

도 한다.

⑸ lim →

, lim →

가 하 lim →

도 한다.

⑹ lim →

, lim →

가 하 lim →

도 한다.

정답 142쪽

1616연속함수의�성질연속함수의�성질

개념 핵심정리 (1) 연속함수와 사칙계산 : 함 , 가 연 다 함 도 연 다.

① ② ③

④ ⑤

(단, ≠ )

(2) 최대 ․ 최소 정리 : 함 가 닫 간 에 연 는 간에 드시

값과 값 가진다.

(3) 중간값 정리 : 함 가 닫 간 에 연 고 ≠

사 에 는 값 에 하여 실 가 열린 간 에 재한다.

삼각함 의 연구는 직각삼각 의 각의 크 변의 이의 의 계에 심 갖는 데에

부 시작 었다. 모든 다각 여러 개의 직각삼각 로 나 있 에 삼각함

는 로부 천 학의 연구나 량 또는 건축에 많이 사용 었다.

한편 지 함 로그함 는 일 한 로 변 하는 값 나타내거나 계산하 해 연

구 시작하 다. 자연 상에는 원소의 붕 , 개체 의 변 , 감각의 역치 등 일 한

로 변 하는 값 많이 견할 있다. 라 지 함 로그함 는 늘날 자연

상 연구하는 데에 요한 요한 함 이다.

이 단원에 는 삼각함 , 지 함 , 로그함 의 뜻과 질 살펴보고, 이들 함 의 극한

살펴본다.

학 습 목 표

|

일반각에 대한 삼각함수의 값을 구할 수 있다.

|

삼각함수의 그래프를 그릴 수 있다.

|

삼각함수의 공식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

|

삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

|

지수함수와 로그함수의 개념을 이해하고 그 성질을 활용할 수 있다.

|

상용로그를 이용하여 수의 크기를 가늠할 수 있다.

|

지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.

|

역삼각함수와 쌍곡선함수의 정의를 말할 수 있다.


1 쪽 그림 각 에 하여 다 삼각함 값 하여라.

⑴ sin ⑵ cos ⑶ tan

⑷ sin ° ⑸ cos° ⑹ tan°

⑺ sin ° ⑻ cos° ⑼ tan°

2 다 삼각함 값 하여라.

⑴ sin ⑵ cos ⑶ tan

⑷ sin ⑸ cos ⑹ tan

⑺ sin ⑻ cos ⑼ tan

3 다 건 만 시키는 는 사 각 지 하여라.

⑴ sin cos ⑵ sin tan

4 각 에 하여 다 등식 각각 하여라.

⑴ sin cos ⑵ sec tan ⑶ sin ° cos

정답 142쪽

0101삼각함수의�뜻삼각함수의�뜻

개념 핵심정리 (1) 삼각함수 : 향 뻗 직 원 심

시계 향 만큼 한 직 원과 만 는

P 라고 할 다 과 같 한다.

① sin

(사 ) ② cos

( 사 )

③ tan

(탄 트) ④ cot

( 탄 트)

⑤ cosec

( 시컨트) ⑥ sec

(시컨트)

(2) 삼각함수의 부호 : P 에 삼각함 는 다 과 같다.

(3) 각의 이름 : P 에 라 각 한다. 들어 P 가 3사 에

3사 각 라고 다. 다 사 에 해 도 마찬가지 한다.

여러 가지 함수 39

1 다 각 사 각 지 하여라.

⑴ ° ⑵ ° ⑶ °

⑷ ° ⑸ ° ° × (단, )

2 다 각 크 도 타내어라.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

3 다 각 크 십 타내어라.

⑴

⑵ ⑶ ⑷

4 다 각 타 는 동경 각 하여라.

⑴

⑵

⑶ ⑷

5 지 가 원에 가 원주각 크 하여라.

6 각 에 하여 동경과 동경 에 하여 , 값 하여라.


⑴ sin

⑵ cos

⑶ tan

⑷ sin

⑸ cos

⑹ tan

⑺ sin

⑻ cos

정답 143쪽

0202일반각과�호도법일반각과�호도법

개념 핵심정리 (1) 시초선과 동경 : 쪽 그림과 같 OP 가 고 어 는 OX

에 하여 O 심 하여 ∠X OP 만들 ,

OX ∠X OP 시초선, OP ∠X OP 동경 라고 다.

(2) 일반각 : 동경 OP가 타내는 한 각 크 라 할 ,

°×

타내어지는 각 동경 OP 가 타내는 일반각 라고 다.

(3) 호도법 : 라 용하여 각 하는

① 지 가 같 채 심각 크

1 라디안 한다.

② rad

°≒ ° , rad ° , °

rad

③ 도 단 라 생략한다.


1 다 함 주 , 값, 값 하고 그래프 그 라.

⑴ sin

⑵ sin ⑶ sin ⑷

sin

⑸ cos ⑹ cos ⑺ cos

⑻ cos

2 다 함 주 하고 그래프 그 라. 한 그래프 근 하여라.

⑴ tan ⑵ tan ⑶ tan

⑷ tan

3 함 cos 그래프가 쪽 그림과 같

값 하여라. (단, , )

정답 143쪽

0303삼각함수의�그래프삼각함수의�그래프

개념 핵심정리 (1) 사인 함수와 코사인 함수의 그래프

① 역 ℝ 고 역 다.

② 주 가 주 함 다.

③ 사 함 그래프는 원 에 하여 고( 함 ),

사 함 그래프는 에 하여 다(우함 ).

(2) 탄젠트 함수의 그래프

tan

① 역

( ) 한 실 체 집합 고, 역 ℝ 다.

② 그래프는 원 에 하여 고, 근 직

( ) 다.

③ 주 가 주 함 다.


1 가 3사 각 고 cos

, sin , tan 값 하여라.

2 sin

, cos

다 삼각함 값 하여라.

⑴ cosec ⑵ sec ⑶ cot

3 sin cos

, 다 식 값 하여라.

⑴ sin cos ⑵ sin cos

4 다 등식 립함 보여라.

⑴ sin

cos ⑵ cos

sin

5 다 식 간단 하여라.

⑴ sin

cos cos

sin ⑵ sin cos sin cos

⑶ cos

sin

sin

cos

⑷ cos cos

cos cos

정답 143쪽

0404삼각함수의�성질삼각함수의�성질

개념 핵심정리 (1) 삼각함수 사이의 관계

sec cos

cosec sin

tan cos

sin cot

sin cos tan sec cot cosec

(2) 의 삼각함수

sin sin cos cos tan tan





(5)

의 삼각함수

sin

cos cos

sin tan

tan


1 ∆ABC에 다 하여라.

⑴ °, °, ,

⑵ , , ° , 각

⑶ °, , ,

⑷ ,

⑸ , , ,

2 ∆ABC에 하여 다 하여라.

⑴ sin sin sin

⑵ sin sin

3 ∆ABC에 다 계가 립할 , 삼각 어 삼각 지 라.

⑴ sin sin ⑵ sin sin sin

⑶ cos cos ⑷ sin cos sin

4 다 건 만 시키는 삼각 ∆ABC 하여라.

⑴ , , ° ⑵ , , °

⑶ , , ⑷ , ,

5 ∆ABC , 원 지 라고 할 다 하여라.

⑴

⑵ sin sin sin ⑶ sin

sin sin

정답 143쪽

0505사인법칙과�코사인법칙사인법칙과�코사인법칙

개념 핵심정리 (1) 사인법칙 : ∆ABC 원 지 라고 하

sin

sin

sin

.

(2) 코사인법칙

① cos cos

cos cos

cos cos

② cos

cos

cos

(3) 삼각형의 넓이 : ∆ABC 라고 하

sin

sin

sin .



⑴ sin ° ⑵ cos ° ⑶ cot° ⑷ sec°

2 다 식 값 하여라.

⑴ sin °cos ° cos °sin ° ⑵ cos °cos ° sin °sin °

3 다 sin 타내어라. (단, , ≤ )

⑴ sin cos ⑵ sin cos

4 실 , 에 하여 sin sin , cos cos

cos 하여라.

5 직 , 루는 각 크 하여라.

6 함 sin cos 값과 값 하여라.

7 다 공식 도하여라.

⑴ cos cos sin cos sin

⑵ sin sin cos ⑶ cos sin

8 다 사 리 하는 과 다. 빈 에 맞 말 어라.

지 원에 내 하는 삼각 ABC 각 크 각각 , , 라고 하 . 그러

사 에 하여 , , 고, 사

에 하여 cos 다. 한 다. 라

sin sin sin cos cos sin .

정답 144쪽

0606삼각함수의�덧셈정리삼각함수의�덧셈정리

개념 핵심정리 (1) 삼각함수의 덧셈정리

① sin sin cos cos sin

② cos cos cos sin sin

③ tan tan tan

tan tan

(2) 삼각함수의 합성 : sin cos sin

단 sin

cos



⑴ lim →

sin ⑵ lim →

cos ⑶ lim →

tan


⑴ lim →

cos

sin ⑵ lim

→

sin

cos


⑴ lim →

sin ⑵ lim

→

tan

⑶ lim → sin

tan ⑷ lim

→

sinsin


⑴ lim →

sin ⑵ lim

→

sin

⑶ lim →

cos

⑷ lim →

tan

5 다 등식 립하도 상 , 값 하여라.

⑴ lim → sin

⑵ lim

→ cos


⑴ lim →

sin sin ⑵ lim

→

cos cos

★7 쪽 그림과 같 지 가 고 심각 크 가

채 OAB에 색 한 라고 하 .

lim→

값 하여라.

정답 144쪽

0707삼각함수의�극한삼각함수의�극한

개념 핵심정리 ⑴ 삼각함수의 극한 : 사 , 사 , 탄 트는 역 든 에 연 다.

⑵ 특수한 꼴의 극한 : 단 가 라

① lim →

sin ② lim

→

tan


1 쪽 그림과 같 km 어진 해 가에 지 A , B에 등

C 라본 각 크 가 각각 °, ° , A지 에 등

C 지 거리 하여라.

2 쪽 그림과 같 어 는 강 다. 강가 A지 과

건 편 D 지 사 거리 하 해 량 하 니 다

과 같 값 얻었다.

AB m , AC m , ∠BAD ∠CAD °

A지 에 D 지 에 는 거리 하여라.

3 쪽 그림과 같 °에 해 는 도시 A , B 경도

차가 ° 다. A도시에 도 라 B도시 지 동할 , 움직

거리 하여라. (단, 지 한 라고 가 하고, 지

지 는 km , 지 시한다.)

4 평 에 쪽 그림과 같 직 과 원

각각 A , B라고 할 , 직 OB 울

에 한 식 타내어라. (단, O 는 원 다.)

5 다 삼각 식 해 하여라.

⑴ sin ⑵ cos

⑶ tan ⑷ cos cos

정답 144쪽

0808삼각함수의�활용삼각함수의�활용

개념 핵심정리 (1) 삼각함수를 활용한 문제 해결

① 주어진 상 에 고 과 연결하여 삼각 만든다.

② 삼각 에 사 과 사 용하여 원하는 각 크 한다.

(2) 삼각방정식의 일반해

① sin ≤ 한 해 라고 하

② cos ≤ 한 해 라고 하 ±

③ tan (는 실 ) 한 해 라고 하


1 다 거듭 곱근 실 것 하여라.

⑴ 곱근 ⑵ 곱근

⑶ 곱근 ⑷ 여 곱근

2 다 값 하여라.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺

⑻


⑴ ⑵ ⑶

⑷ ÷

⑸

⑹

⑺ ⑻

4 다 식 간단 하여라.

⑴

× ⑵

÷

⑶

5 다 식 간단 하여라. (단, , )

⑴ ⑵ ÷

⑶

⑷

정답 144쪽

0909지수의�확장지수의�확장

개념 핵심정리 (1) 거듭제곱근 : 실 연 에 하여 만 시키는 제곱근 라고

다.

① 곱근 에 것 타낸다.

② 고 곱근 타낸다.

(2) 지수의 확장 : 에 밑, 지수, 거듭제곱 라고 다.

① 정수 지수 : ≠ 고 ,

.

② 유리수 지수 : 고 ,

.

③ 실수 지수 : 고 가 리 래 째 리 지 타낸

한 라고 할 lim → ∞

.

(3) 지수법칙 : , 고 , 가 실

① ② ÷ ③ ④


1 다 함 그래프 그 라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

2 다 크 비 하여라.

⑴

,

⑵ , ⑶ ,

3 역 ≤ ≤ 함

값과 값 하여라.

4 다 식 어라.

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸ ⋅ ⑹


⑴ ⑵ ≥ ⑶

⑷

≤

⑸ ⋅ ⑹ ≤

정답 144쪽

1010지수함수의�그래프지수함수의�그래프

개념 핵심정리 (1) 지수함수 : , ≠ 지수함수라고 다.

(2) 지수함수 의 성질 ( , ≠ )

① 역 ∞ ∞ 고 역 ∞ 함 다.

② 가하는 함 고 감 하는 함 다.

③ 그래프는 지 고 근 가진다.



⑴ lim → ∞

⑵ lim → ∞


⑴ lim →

⑵ lim → ∞

⑶ lim → ∞

⑷ lim → ∞

⑸ lim → ∞

⑹ lim → ∞


⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim → ∞

⑸ lim →

sin cot ⑹ lim →

★4

다 에 답하여라.

⑴ 열 가 열 보여라.

⑵ 연 에 하여 ≤ 보여라.

⑶ lim → ∞

하여라.

정답 145쪽

1111지수함수의�극한지수함수의�극한

개념 핵심정리 (1) 지수함수의 극한

① 지 함 는 역 든 에 연 다.

② lim → ∞

∞ , lim → ∞

다.

③ lim → ∞

, lim → ∞

∞ 다.

(2) 오일러 상수 의 정의

lim →

lim → ∞

≒ ⋯


1 다 등식 그 사용하여 타내어라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

2 다 등식 만 시키는 값 하여라.

⑴ log ⑵ log

3 , , 가 닌 다 등식 립함 하여라.

⑴ log (단, 는 실 ) ⑵ log

log (단, )

⑶ log log ⑷ log log log


⑴ log ⑵ log

⑶ log

⑷ log


⑴ log log

⑵ log log

⑶ log log log ⑷ log log log

6 log , log 다 , 식 타내어라.

⑴ log ⑵ log ⑶ log

⑷ log

정답 145쪽

1212로그의�뜻로그의�뜻

개념 핵심정리 (1) 로그 : , ≠ , 만 시키는 실 로그라

고 log 타낸다.

log

다. 여 진수라고 다. 별다 언 없 log 라고 쓰 는 닌

고 것 한다.

(2) 로그의 성질 : , ≠ , ,

① log , log ② log log log

③ log

log log ④ log log (는 실 )

(3) 로그의 밑 변환 공식 : , ≠ , , ≠ ,

log log

log


1 다 상용 그 값 하여라.

⑴ log ⑵ log ⑶ log

⑷ log

2 log 용하여 다 상용 그 지 가 하여라.

⑴ log ⑵ log ⑶ log ⑷ log

3 log , log 다 에 답하여라.

⑴ 리 가?

⑵ 리 가?

⑶ 래 째 리에 처 닌 가 타 는가?

⑷ 래 째 리에 처 닌 가 타 는가?


⑴ ln ⑵ ln

⑶

ln ⑷ log

5 어 미생 개채 는 매 시간 % 하게 가하여 시간 후 개체 는 처

가 다고 한다. 미생 개체 가 매 시간 24% 하게 가할 ,

10시간 후에는 처 가 는지 상용 그 용하여 하여라.

정답 145쪽

1313상용로그와�자연로그상용로그와�자연로그

개념 핵심정리 (1) 상용로그 : 그 상용로그라고 다. log 간단 log 타낸다.

※ 주 사용 는 상용 그 값 : log , log

(2) 지표와 가수 : 상용 그는

log log ( ≤ log )

타낼 다. log 지표라고 , log 값 log

가수라고 다.

(3) 지표와 가수의 성질

① 리 상용 그 지 는 다.

② 래 째 리에 처 닌 가 타 는 상용 그 지 는

다. 타낸다. � log

③ 열 같고 만 다 들 상용 그 는 같다.

(4) 자연로그 : 그 자연로그라고 다. log 간단 ln 타낸다.

(5) 지수함수의 밑 변환 : ln



⑴ log ⑵ log

⑶ log

⑷ log ⑸ log ⑹ log

2 다 크 비 하여라.

⑴ log , log ⑵ log , log ⑶

log ,

log

3 다 함 값과 값 하여라.

⑴ 역 함 log

⑵ 역 함 log

4 다 식 어라.

⑴ log ⑵ log

⑶ log log ⑷ log log

⑸ log log ⑹ log


⑴ log ⑵ log ≤ log

⑶ log ≥ log ⑷ log ≤ log

정답 145쪽

1414로그함수의�그래프로그함수의�그래프

개념 핵심정리 (1) 로그함수 : , ≠ log 로그함수라고 다.

(2) 로그함수 log 의 성질 ( , ≠ )

① 역 ∞ 고 역 ∞ ∞ 함 다.

② 가하는 함 고 감 하는 함 다.

③ 그래프는 지 고 근 가진다.

④ 지 함 역함 다.



⑴ lim →

ln ⑵ lim

→

log

⑶ lim →

⑷ lim

→

2 함

에 하여 lim

→ ∞

⋯

극한값 하여라.


⑴ lim →

ln log ⑵ lim

→

4 lim →

lim →

값 하여라.

5 열 항 에 하여

립할 lim → ∞

값 하여라.

6 함 역함 라 할 , lim →

값 하여라.

★7 다 등식 립하도 상 , 값 하여라. (단, ≠ )

⑴ lim →

sin ln

⑵ lim

→ sin

ln

정답 146쪽

1515로그함수의�극한로그함수의�극한

개념 핵심정리 (1) 로그함수의 극한

① 그함 는 역 든 에 연 다.

② lim → ∞

log ∞ , lim →

log ∞ 다.

③ lim → ∞

log ∞ , lim →

log ∞ 다.

(2) 자주 사용되는 극한 : , ≠ 다 립한다.

① lim →

ln ② lim

→

log ln

③ lim →

④ lim

→

ln


1 다 함 값 하여라.

⑴ sin

⑵ sin

⑶ cos

⑷ cos

⑸ tan ⑹ tan

⑺ sinh ⑻ cosh


⑴ sin cos

⑵ cos tan

( )

⑶ sintan


⑴ cosh sinh

⑵ tanh sech

⑶ coth cosech

⑷ sinh sinh cosh cosh sinh

⑸ cosh cosh cosh sinh sinh

★4 다 등식 립함 보여라.

⑴ sinh ln ∞ ∞

⑵ cosh ln ≥

⑶ tanh

ln

정답 146쪽

1616역삼각함수와�쌍곡선함수역삼각함수와�쌍곡선함수★

개념 핵심정리 (1) 역삼각함수 : 삼각함 역 하여 도 만들어 역함 한다.

① 크사 : sin ≤ ≤

≤ ≤

② 크 사 : cos ≤ ≤ ≤ ≤

③ 크탄 트 : tan ∈ℝ

≤ ≤

(2) 쌍곡선함수

① 곡 사 : sinh

, 곡 시컨트 : cosech sinh

② 곡 사 : cosh

, 곡 시컨트 : sech cosh

③ 곡 탄 트 : tanh cosh

sinh , 곡 탄 트 : coth tanh

미분이란 본래 아주 작게 작 조각이라는 뜻이다. 원이나 포 과 같 매끄러운 곡

아주 작 조각 로 잘라 확 해보면 분처럼 보인다. 라 미분 곡 의

구하는 것과 같다. 그런데 곡 로 나타나는 함 의 그래 의 그 에 함 가

변 하는 과 같 므로 미분 이용하여 함 가 얼마나 빠르게 변 하는지 알아볼

있다.

우리가 연구하는 많 자연 상 그래 로 표 는데, 미분 함 의 그래 를 분

하는 데에 매우 용한 도구이다. 라 늘날 자연 상 연구하는 데에 미분이 매우

요한 역할 하고 있다.

이 단원에 는 미분의 개 과 여러 가지 함 의 미분법 살펴보고, 미분의 질 활용하

여 다양한 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

미분계수와 도함수의 개념을 이해하고 함수를 미분할 수 있다.

|

지수함수, 로그함수, 삼각함수의 도함수를 구할 수 있다.

|

평균값 정리를 이용하여 미분의 성질을 증명할 수 있다.

|

미분의 성질을 이용하여 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

|

로피탈의 법칙과 테일러의 정리를 이용하여 극한에 관한 문제를 해결할 수 있다.

|

역도함수의 개념을 이해하고 여러 가지 함수의 역도함수를 구할 수 있다.


1 다 에 답하여라.

⑴ 값 에 지 변할 함 평균변 하여라.

⑵ 값 에 지 변할 , 평균변 하여라.


⑴ ′, ′ 하여라.

⑵ ′, ′, ′ 하여라.

⑶ ′, ′ 하여라.

3 함 가 에 미 가능할 , 다 극한값 ′ 식 타내어라.

⑴ lim →

⑵ lim

→

⑶ lim →

⑷ lim

→

4 다 함 에 연 과 미 가능 사하여라.

⑴ i f ≥

i f ⑵ i f is rational

i f is irrational

⑶

sin

i f ≠

i f ⑷

sin

i f ≠

i f

정답 147쪽

0101미분계수미분계수

개념 핵심정리 (1) 평균변화율 : 함 에 값 에 지 변할 다 과 같 한다.

① ( )

② ( )

③ (평균변 )

(2) 미분계수 : 함 실 에 하여 극한

lim →

lim

→

가 재하 함 는 에 미분 가능하다고 말하고, 극한값 ′

타내 , 에 순간변화율 는 미분계수라고 다.

(3) 미분의 의미

① 에 미 계 ′는 에 그래프

울 같다.

② 가 간 든 에 미 가능하다는 것 함 그래프가 뾰 한 없

매 럽다는 것 미한다.

→ 라 에 가 미 가능하 에 는 연 다.

함수의 미분법 57

1 다 함 미 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

2 다 함 그래프 에 식 하여라.

⑴ , ⑵ ,

⑶ , ⑷ ,


⑴ ⋯ ′ 하여라.

⑵ ⋯ ′ 하여라.

4 다 함 가 에 미 가능하도 상 , 값 하여라.

i f

i f ≥

5 , ′ 만 시키는 차함 하여라.

6 함 에 하여 , ′ 립할 다 극한값 하여라.

lim →

정답 147쪽

0202도함수도함수

개념 핵심정리 (1) 도함수 : 함 가 역 든 에 미 가능할 ′에 시키는 함

도함수라고 , 것 다 과 같 타낸다.

′, ′ ,

,

도함 하는 것 미분한다고 말한다.

(2) 미분법 기본 공식

① ′ ( 연 )

② ′ ( 상 )

③ ′ ′

④ ± ′ ′± ′ (복 동 )

⑤ ′ ′ ′

⑥

′

′ ′ (단, ≠ )



⑴ 고 ′ 하여라.

⑵ 가 닌 리 고 ′ 하여라.

2다 함 미 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷ ⑸ ⑹

3 다 매개변 함 에

에 한 식 타내어라.

⑴ , ⑵

,

⑶ , ⑷

,

4 다 함 에

하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

5 삼차함 역함 라 할 ′ 값 하여라.

정답 147쪽

0303여러�가지�미분법여러�가지�미분법

개념 핵심정리 (1) 합성함수의 미분법 : , 가 미 가능하

⋅

′ ′

(2) 매개변수로 표현된 함수의 미분법 : ,

′

′

(3) 음함수의 미분법 : 타 는 함 양함수라고 고

타 는 함 음함수라고 다. 함 미 할 에는 합 함 미 용

하여 변 미 한 후 ′에 하여 어 다.

(4) 역함수의 미분법 : 가 미 가능하고

′ ′

′


1 다 함 도함 하여라.

⑴ log ⑵ ln ⑶ ln log

⑷

⑸ ln ⑹

⑺ ln ⑻ ln ⑼


⑴ (단, ) ⑵

⑶ ln (단, ) ⑷

3 미 가능한 함 가 , ′ 만 시키고 ln 라고 할

lim →

값 하여라.

4 함 에 하여 도함 하여라.

5 곡 ln 에 식 하여라.

6 함 역함 라 할 ′ 값 하여라.

정답 147쪽

0404지수함수와�로그함수의�미분법지수함수와�로그함수의�미분법

개념 핵심정리 (1) 지수함수의 도함수

①

②

ln (단, )

(2) 로그함수의 도함수

①

ln

(단, ) ②

log ln

(단, , )

(3) 로그미분법 : 과 지 에 변 포함하는 지 태 함 복 한 함 도함

할 에는 변에 연 그 취한 후 변 미 한다.

(4) 의 미분 : 가 실 도함 는 ′ .


1 다 함 미 하여라.

⑴ sin ⑵ cos ⑶ sin

⑷ sin

cos ⑸ sin ⑹ cos

⑺ cos ⑻ tan

tan ⑼

sin

sin cos


⑴ tansin ⑵ sec ⑶ cot

⑷ ln cos ⑸ ln sin ⑹ cosectan

3 함 sin cos 에

하여라. (단, )

4 매개변 다 함 에

하여라.

⑴ cos , sin

⑵ sin cos , cos sin

5 함 cos 역함 라고 할 ′ 값 하여라.

정답 148쪽

0505삼각함수의�미분법삼각함수의�미분법

개념 핵심정리 (1) 기본삼각함수의 미분법

①

sin cos ②

cos sin ③

tan sec

(2) 역삼각함수의 미분법

①

sin

( )

②

cos

( )

③

tan

( ∞ ∞)

(3) 쌍곡선함수의 미분법

①

sinh cosh ②

cosh sinh

③

tanh sech ④

cosech cosech ⋅coth

⑤

sech sech ⋅tanh ⑥

coth cosech


1 다 함 계도함 하여라.

⑴ sin cos ⑵ tan

⑶ ln ⑷

⑸ sin ⑹ sin

2 다 함 에

하여라. (단, ≠ , ≠ , , )

⑴ ⑵ sin , cos

3 함 가 다 과 같 , , , , , , 에 하여 하여라.

⑴ ⑵ sin

⑶ cos ⑷ ln

⑸

⑹ (단, , ≠ )

4 함 실 에 하여 ″ ′ 만 시킬 ,

상 , 값 하여라.


⑴ 함 cos 가 등식 ″ ′ 만 시킬 , 상 값 하여라.

⑵ 함 sin 가 등식 ″ ′ 만 시킬 , 상 값 하여라.

6 연 고 다 하여라.

⑴ ∈ 고 ∈ ∈ 다.

⑵ ∈ 고 ∈ ∈ 다.

⑶ ∈ 고 ∈ℝ ∈ 다.

정답 148쪽

0606고계도함수고계도함수

개념 핵심정리 (1) 고계도함수

① 함 미 한 함 계도함수라고 타낸다.

② ≥ 고계도함수라고 다.

③ 것 한다.

④ 계도함 다 과 같 타낸다.

″, ″,

,

(2) 미분 가능한 함수들의 모임

① 간 에 연 함 들 타낸다.

② 간 에 미 가능한 함 들 타낸다.

③ 간 에 미 가능한 함 들 타낸다.

④ 간 에 계도함 가 연 함 들 타낸다.


1 함 가 닫 간 에 연 고 열린 간 에 미 가능하

′ 가 사 에 재함 하여라.

2 함 가 닫 간 에 연 고 열린 간 에 미 가능할 다

하여라.

⑴ ∈ 에 하여 ′ 는 에 가한다.

⑵ ∈ 에 하여 ′ 는 에 감 한다.

⑶ ∈ 에 하여 ′ 는 에 상 함 다.

3 다 하여라.

⑴ 가 립한다.

⑵ 실 에 하여 sin ≤ 가 립함 하여라.

⑶ 실 , 에 하여 sin sin ≤ 가 립한다.

4 다 함 가 에 가상태 지 감 상태 지 사하여라.

⑴ , ⑵

ln ,

5 다 함 가 감 사하여라.

⑴ ⑵ ln (단, )

⑶ ⑷

6 함 가 에 가상태에 한 상 값

하여라.

정답 148쪽

0707평균값�정리평균값�정리

개념 핵심정리 (1) 평균값 정리 : 함 가 닫 간 에 연 고

열린 간 에 미 가능할

′

가 사 에 재한다.

(2) 함수의 증가와 감소 : 함 가 닫 간 에 연 고 열린 간 에 미

가능할 다 립한다.

① ∈ 에 하여 ′ 는 에 가한다.

② ∈ 에 하여 ′ 는 에 감 한다.

③ ∈ 에 하여 ′ 는 에 상 함 다.


1 다 함 극값 하고, 그래프 개 그 라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷


⑴ 삼차함 가 에 극 값 가질 , 상 , 값

하여라.

⑵ 삼차함 는 에 극 값 갖고 에 극

값 가진다고 한다. 상 , , 값과 극 값 하여라.

3 함 sin 가 간 ∞ ∞에 항상 가하도 실 값 하여라.


⑴ ⑵

⑶ cos ( ≤ ≤ ) ⑷ ln ( )

5 다 함 값과 값 하여라.

⑴ ( ≤ ≤ )

⑵ cos ( ≤ ≤ )

정답 149쪽

0808함수의�그래프함수의�그래프

개념 핵심정리 (1) 극대와 극소

① 함 가 에 연 고 경계 가 가상태에 감 상태

는 에 극댓값 가진다고 말한다.

② 함 가 에 연 고 경계 가 감 상태에 가상태

는 에 극솟값 가진다고 말한다.

③ 극 값과 극 값 통틀어 극값 라고 다.

(2) 함수의 볼록 : 함 가 닫 간 에 연 고 열린 간 에 미 가능

할 다 립한다.

① ∈ 에 하여 ″ 는 에 래 볼 하다.

② ∈ 에 하여 ″ 는 에 볼 하다.

③ 함 가 경계 볼 한 향 는 에 변곡점

가진다고 말한다.

(3) 이계도함수 판정법 : 함 에 하여 ′

① ″ 는 에 극 값 가진다.

② ″ 는 에 극 값 가진다.



⑴ lim →

⑵ lim

→ sin

cos ⑶ lim

→ tan

⑷ lim → sin

ln ⑸ lim

→ ∞

ln ⑹ lim

→ ln

ln

⑺ lim→

ln⑻ lim

→

ln cos

tan ⑼ lim

→ ∞

2 다 함 에 하여 심 하는 차 러 다항식 하여라.

⑴ , , ⑵ sin , ,

⑶ cos , , ⑷ ln , ,

⑸ tan , , ⑹

, ,

★3 다 에 답하여라.

⑴ ≤ 에 하여 만 시키는 다항식 하여라.

⑵ 러 상 값 래 째 리 지 하여라.

⑶ 함 tan 용하여 값 래 째 리 지 하는 식 만들어라.

정답 149쪽

0909로피탈의�법칙과�테일러의�정리로피탈의�법칙과�테일러의�정리★

개념 핵심정리 (1) 로피탈의 법칙 : 함 , 가 포함하는 간에 미 가능하고 ′≠ ,

→ ′

′ 극한 재하 다 립한다.

lim →

lim → ′

′

건 신에 다 건 에도 립한다.

lim →

lim →

∞ 는 lim →∞

lim →∞

는 lim →∞

lim →∞

∞

(2) 테일러 다항식 : 가 포함하는 열린 간에 미 가능할 다항식

′

″ ⋯

심 하는 차 테일러 다항식 라고 다.

한 차 러 다항식 나머지라고 다.

(3) 테일러의 정리 : 가 포함하는 열린 간 에 미 가능하고 가

에 하고 ≠ 가 심 하는 러 다항식

만 시키는 가 사 에 재한다.


1 다 함 역도함 하여라.

⑴ ⑵

⑶ cos ⑷ sin

⑸ ⑹

2 미 공식 ln ′ ′

용하여 다 함 역도함 하여라.

⑴ cot ⑵ tan

⑶

⑷ ln

3 미 공식 ′ ′′ 용하여 다 함 역도함 하여라.

⑴ ⑵ sin cos

⑶ sin sin cos ⑷

4 함 가 ′ cos , 만 시킬 값 하여라.

정답 149쪽

1010역도함수역도함수

개념 핵심정리 (1) 역도함수 : 미 가능한 함 에 하여 ′ 역도함수

는 초기함수라고 다. 역도함 는 미 거꾸 하여 얻 함 다.

(2) 역도함수의 성질

① 한 함 역도함 는 여러 개가 재한다.

② 가 역도함 상 가 재한다.

한 함 역도함 들 상 만 다 다.

(3) 여러 가지 함수의 역도함수 (단, 는 상 )

함수 역도함수

( ≠ )

ln

sin cos

cos sin

( , ≠ ) ln

분이란 잘게 자른 것 는다는 뜻이다. 곡 로 둘러싸인 도 의 이를 구하 해

이 도 이를 구하 쉬운 작 조각들로 자른 뒤 각 조각의 이를 구하고 그 값

하여 도 의 이의 근삿값 구할 있다. 여 에 극한 이용하면 도 의 이의

확한 값 구할 있다. 이러한 의미에 분 도 의 이를 구하는 것이라 할 있다.

본래 분 미분과는 별도로 연구 었 나 뉴 과 라이 니 가 미분과 분의 계를

규명하면 부 미분과 분 함께 어 연구 시작하 다. 늘날 분 단 히 도

의 이나 부 를 구하는 데에만 사용 는 것이 아니라 미분과 마찬가지로 함 의 질

히고 자연 상 연구하는 요한 도구로 사용 고 있다.

이 단원에 는 분의 개 과 다양한 함 의 분법 살펴보고, 분 활용하여 여러

가지 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

구분구적법, 정적분, 부정적분의 개념을 설명할 수 있다.

|

부정적분을 이용하여 정적분을 계산할 수 있다.

|

부분적분법과 치환적분법을 이용하여 정적분을 계산할 수 있다.

|

이상적분의 개념을 이해하고 이상적분의 수렴과 발산을 판별할 수 있다.

|

함수의 테일러 급수를 구하고 테일러 급수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

|

적분을 활용하여 도형의 체적, 속도, 가속도, 질량에 관한 문제를 해결할 수 있다.


1 다 타내어라.

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

sin

⑺

ln ⑻

⑼

⑽

2 용하여 다 값 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

3 함 가 에 연 , 쪽 그림 용하

여 다 등식 하여라.

lim → ∞

lim → ∞

단

정답 150쪽

0101구분구적법과�정적분구분구적법과�정적분

개념 핵심정리 (1) 구분구적법 : 도 피 할 , 주어진 도 본도 ( 피

하 운 ) 할하여 할 본도 피 합 근삿값 하

고, 근삿값 극한 피 하는

(2) 정적분 : 함 가 간 에 연

lim → ∞

lim → ∞

한다. 단

(3)

에 피 함 , 상 , 아래끝, 위끝 라고

적분구간 라고 다. 한

하는 것 ‘를

에서 까지 적분한다’고 말한다.

함수의 적분법 69

1 본 리 용하여 다 값 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

sin

⑸

⑹


⑴

⑵

⑶

sin cos ⑷

⑸

sin

cos ⑹

3 , , 가 미 가능한 함 다 등식 립함 하여라.

⑴

⑵

⑶ lim →

⑷ lim →

⑸

′ ′

정답 150쪽

0202정적분의�성질정적분의�성질

개념 핵심정리 (1) 정적분의 기본정리 : 함 가 에 연 고 ′

가 립한다. [ , 미 거꾸 해 계산할 다.]

(2) 정적분의 기본 성질

①

②

③

④

⑤

±

±

(3) 적분과 미분의 관계 : 함 가 간 에 연


1 다 하여라.

⑴ ⑵

⑶ cos ⑷ sin

⑸ ⑹

2 다 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

3 다항함 , 에 하여

,

립한다. , , 함 , 하여라.

4 다항함 그 에 하여

,

가 립할 , 함 하여라.

정답 150쪽

0303부정적분부정적분

개념 핵심정리 (1) 부정적분의 뜻 : 미 하여 가 는 함 부정적분 라고 고

타낸다. [ 역도함 같 미 다.] 과 같

타내는 는 계산할 사용하 다. [ 가 해

진 라는 뜻 고 가 해지지 라는 뜻 다.]

(2) 함 하 라고 할 , 상 에 하여

타내어진다. 원시함수, 적분상수라고 다.

(3) 부정적분의 성질

①

②

③ ④ ± ±


1 다 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

2 다 하여라.

⑴ cos ⑵ sin

cos

⑶ sin

⑷ sin cos

3 다 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

4 미 가능한 함 , 에 하여

,

가 립한다. , , ln ln 값 각각 하여라.

정답 151쪽

0404여러�가지�함수의�부정적분여러�가지�함수의�부정적분

개념 핵심정리 (1) 치환적분법

′′

(2) 부분적분법

′ ′

(3) 기본함수의 부정적분

①

(≠ ) ② ln

③ ④ ln

( , ≠ )

⑤ ln ln ⑥ log ln

ln

⑦ sin cos ⑧ cos sin

⑨ tan ln cos


1 다 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

⑸

⑹


⑴

⑵

sin cos

⑶

⑷

ln

⑸

⑹

⑺

⑻

sin

⑼

⑽

cos

3 다항함 가 든 실 에 하여 만 시키고

,

값 하여라.

정답 151쪽

0505여러�가지�적분법여러�가지�적분법

개념 핵심정리 (1) 치환적분법을 이용한 적분의 계산

① 는다.

②

′ 한다.

③ ′ ′ ′ 꾼다.

④ 변 에 하여 한다.

⑤ ④에 한 식에 하여 에 한 식 타낸다.

(2) 부분적분법을 이용한 정적분의 계산

① 하 운 함 ′ 고 미 하 운 함 다.

② ′ 하여 다 식에 한다.

′ ′

③ 여러 해 계산 는 경우도 다.


1 다 상 , 산 여 사하고, 하 값 하여라.

⑴

∞

⑵

∞

⑶

∞

⑷ ∞

⑸

∞

⑹

∞

sin

⑺ ∞

∞

⑻

∞

ln

⑼

∞

∞

2 다 상 , 산 여 사하고, 하 값 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

sin

⑸

ln

⑹

∞

★3 함 가 ∞에 감 하는 연 함 연 에 하여 라

고 하 . 상

∞

가 할 필 충 건 한

∞

하는 것

하여라.

★4 함 가 ∞에 연 고 에 하여 ≤ ≤ 라고

하 . 상

∞

가 하

∞

도 함 하여라.

정답 151쪽

0606이상적분이상적분★

개념 핵심정리 (1) 길이가 무한인 구간에서의 적분

① 함 가 ∞에 연

∞

lim → ∞

② 함 가 ∞ 에 연 ∞

lim → ∞

(2) 적분 구간의 끝점에서 불연속인 함수의 적분

① 함 가 에 연 고 에 연

lim →

② 함 가 에 연 고 에 연

lim →

(3) 이상적분의 수렴과 발산 : (1)~(2) 이상적분 는 특이적분 라고 다.

① 상 에 극한 하는 경우 이상적분이 수렴한다고 말하고 그 극한값 적

분값 라고 다.

② 상 에 극한 산하는 경우 이상적분이 발산한다고 말한다.


1 주어진 심 하는 다 함 러 하여라.

⑴ sin , ⑵ cos ,

⑶ , ⑷ ln ,

⑸ sin ,

⑹ cos ,

2 다 함 맥클라린 하여라.

⑴ ⑵ sin ⑶

⑷ tan ⑸

⑹ sin

3 항 다 과 같 러

∞

간 하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷

⑸ ⑹

★4 다 등식 하여라.

⑴

⋯

⑵

∞

sin

정답 152쪽

0707테일러�급수테일러�급수★

개념 핵심정리 (1) 테일러 급수 : 함 가 에 미 가능하고 ∈ 를

중심으로 하는 의 테일러 급수(Taylor series) 다 과 같 한다.

∞

심 경우 맥클라린 급수(Maclaurin series)라고 다.

(2) 테일러 급수의 성질 : 심 하는 러 라고 하 .

① 가 하는 들 집합 간 다. 간 수렴구간 라고 다.

② 간 심 다. 간 수렴반경 라고 다.

(단, 간 에 는 각각 할 도 고 하지 도 다.)

③ 수렴반경공식 : 러 에 계 라고 할

lim → ∞

lim

→ ∞

④ 간 내 에 함 미 하거 한 것 러 항마다

미 하거 한 것과 동 하다.

(3) 해석적 함수 : 러 가 하는 함 는 같 도 고 같지

도 다. 만 가 간에 러 가 에 하

그 간에 해석적인 함수라고 다.


1 다 평 도 하여라.

⑴ 포 과 러싸 도

⑵ 곡 러싸 도

⑶ 곡 과 그리고 직 , 러싸 도

⑷ 곡 sin 그리고 직 , 러싸 도

⑸ 곡 ln 과 그리고 직 , 러싸 도

⑹ 곡 그리고 직 러싸 도

⑺ 곡 과 , 러싸 도

⑻ 가 타원 러싸 도

2 다 체도 피 하여라.

⑴ 가 고 가 뿔

⑵ 지 고 가 원 지 지 고 과 ° 각 루는 평

도 도

⑶ 곡 , , , 직 러싸 도 하여 시

킬 생 는 체

⑷ 가 원 과 러싸 도 하여

시킬 생 는 체

⑸ 지 가 고 심 사 거리가 개 가 겹 는

⑹ 단 지 가 원통 직 할 겹 는

정답 152쪽

0808도형의�넓이와�부피도형의�넓이와�부피

개념 핵심정리 (1) 도형의 넓이 : 함 가 간 에 연 라고 하 .

① 곡 직 러싸 도 는

.

② 곡 직 러싸 도 는

.

(2) 도형의 부피

① 간 에 에 직 평 단 체도 피는

.

② 간 에 곡 시킨 체 피는

.


1 지상에 쪽 ms 도 진 돌 후 지상 라고 하

계가 립한다. 다 에 답하여라.

⑴ 진 후 3 후 도 가 도 하여라.

⑵ 돌 고 에 도달하는 것 후 지 하여라.

⑶ 돌 에 어지는 간 도 하여라.

2 평 움직 는 P 시각 에 가 , 타내

어질 , 후 P 도 가 도 하여라.

3 다 곡 하여라.

⑴ ≤ ≤ ln 곡

⑵ ≤ ≤ 곡 cos , sin

4 가 지 겉 하여라.

5 처 가 , 처 도가 , 시각 가 , 도가 , 가 도가 등가

직 운동 하는 체에 하여 다 등식 하여라.

⑴ ⑵

정답 153쪽

0909속도와�가속도속도와�가속도

개념 핵심정리 (1) 직선 위의 운동 : 직 움직 는 P 시각 에 가

① 도 : 시각 에 P 도는 ′

② 가 도 : 시각 에 P 가 도는 ′ ″

(2) 평면 위의 운동 : 평 움직 는 P 시각 에 가

① 시각 에 P 도 : ′ ′

② 시각 에 P : ′ ′

③ 시각 에 P 가 도 : ″ ″

④ 시각 에 P 가 도 크 : ″ ″

(3) 곡선의 길이와 회전체의 겉넓이

① ≤ ≤ 곡 는

′

② ≤ ≤ 곡 , 는

′ ′

③ 간 에 곡 시킨 체 는

′


1 에 여 는 단 단 가진 막 에 다 과 같 도 가 주어 , 막 질

량과 질량 심 하여라.

⑴ , ≤ ≤

⑵ , ≤ ≤

⑶ , ≤ ≤

⑷ , ≤ ≤

2 다 역 차지하고 도가 상 평 질량 심 하여라.

⑴ 포 과 직 러싸 역

⑵ 포 과 러싸 역

⑶ 포 과 러싸 역

⑷ 포 직 러싸 역

3 가 10m 막 가 에 지

여 다. 막 가 단 단 갖고 ≤ ≤ 각

에 도가 kgm , 막

질량 심 하여라.

4 쪽 그림과 같 삼각 체가 다. 각 에

체 도가 cm 할 다 하여

라.

⑴ 삼각 질량

⑵ 삼각 질량 심

⑶ 삼각 질량 심

정답 153쪽

1010질량과�질량중심질량과�질량중심★

개념 핵심정리 (1) 질량과 질량중심 : 체가 에 에 지 여 고, ≤ ≤ 각

에 체 단 도가

① 체 질량 :

② 체 질량 심 :

를 계산할 에는 각각의 를 하나의 개체로 생각하는 것이 보통이지만, 경우에 라

는 여러 개의 를 어 하나의 개체로 생각하는 것이 편리할 가 있다. 특히 여러 개의

를 직사각 모양 로 어 생각하면 편리한 경우가 많 데, 그 같이 를 것

행 이라고 부른다.

행 연립일차 식 푸는 데에 이용 다. 또한 행 좌표평면이나 좌표공간의

로 간주 도 하며, 그러한 이동시키는 변환 로 간주 도 한다. 특히 여러 가

지 변환 행 로 나타내면 행 의 질 이용하여 그러한 변환 연구할 있 에

매우 편리하다.

이 단원에 는 행 의 뜻과 연산, 일차변환의 개 과 질 살펴보고, 행 과 일차변환

이용하여 여러 가지 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

행렬의 뜻을 알고 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 할 수 있다.

|

정사각행렬의 행렬식과 역행렬을 구할 수 있다.

|

역행렬을 이용하여 연립일차방정식을 풀 수 있다.

|

일차변환의 개념을 이해하고 여러 가지 일차변환을 행렬로 나타낼 수 있다.

|

합성변환과 역변환의 개념을 이해하고 이들을 구할 수 있다.

|

일차변환을 이용하여 도형을 변환할 수 있다.


1 × 행 행 하여라.

2 다 등식 만 시키는 상 , 값 각각 하여라.

⑴

⑵

3 다 계산하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

4 행 에 하여 만 시키는 행 하여라.

5 행 ,

에 하여 만 시키는 행 하여라.

6 행 ,

, 에 하여 만 시키는 실

, 값 하여라.

정답 153쪽

0101행렬의�뜻행렬의�뜻

개념 핵심정리 (1) 행렬의 뜻

① 행렬 : 개 는 직사각 열하여 어 타낸 것.

② 성분 : 행 루는 각각 는 .

③ 행과 열 만 는 에 는 성분 라고

같 타낸다.

④ 개 행과 개 열 루어진 행 × 행렬 라고 특 × 행

차 정사각행렬 라고 다.

⑤ 든 행 영행렬 라고 고 타낸다.

(2) 행렬의 합, 차, 상수배

① ± ± ±

± ± ②

(3) 행렬의 연산의 성질 : 같 행 , , 실 , 에 하여

① ②

③ ④

⑤ ,

행렬과 일차변환 81

1 다 곱 계산하여라.

⑴ ⑵

⑶

2 행 에 하여 하여라.

3 행 ,

에 하여 하여라.

4 행 ,

, 에 하여 다 하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

5 행 ,

에 하여 다 하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

6 행 에 하여 하여라.

7 행 에 하여 가 립할 값 하여라.

정답 153쪽

0202행렬의�곱셈행렬의�곱셈

개념 핵심정리 (1) 행렬의 곱

,

(2) 단위행렬 : 든 각 고 다 사각행 차 단 행 는 간단

단 행 라고 고 주 타낸다.

(3) 행렬의 곱의 성질 : 합과 곱 는 행 , , 실 에 하여

①

② ,

③

④

⑤

개

⋯ , ,


1 다 행 역행 재하는지 별하고, 재하 역행 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷ ⑸

⑹

2 다 행 역행 재하는지 별하고, 재하 역행 하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

3 차 사각행 , 에 하여 다 하여라.

⑴ 다. ⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

정답 154쪽

0303역행렬역행렬

개념 핵심정리 (1) 이차정사각행렬의 역행렬

(단, ≠ )

(2) 행렬식

① 의미 : 행 역행 갖는지 별하는 식 행 식 라고 다. 행 행 식

det 는 타낸다. det ≠ 에만 는 역행 가진다.

② 이차정사각행렬의 행렬식 : det

③ 여인수 : × 차 행 식에 가 한 행과 열 없 행 식 소행

렬식 라고 다. 그리고 여인수라고 다.

④ 일반적인 행렬의 행렬식 : 한 행 는 한 열 행 에 각각 여 곱하고, 그 값들

한다.

⑤ 전치행렬의 행렬식 : 행 열과 행 꾼 행 행 라고 고

타낸다. det det 가 립한다.

(3) 일반적인 행렬의 역행렬 : 차 사각행 역행

det

×( 여 )


1 역행 용하여 다 연립 차 식 어라.

⑴

⑵

⑶

2 다 직 계 말하여라.

⑴ ,

⑵ ,

⑶ ,

3 역행 용하여 다 연립 차 식 어라.

⑴

⑵

⑶

4 역행 용하여 다 연립 차 식 어라. (단, 는 상 )

⑴

⑵ sin cos

cos sin

5 다 등식 만 시키는 실 , 에 하여 값 하여라.

cos cos

6 다 식 해가 , 에도 재하도 하는 값 하여라.

정답 154쪽

0404연립일차방정식연립일차방정식

개념 핵심정리 (1) 연립일차방정식의 행렬표현

① 연립 차 식

는 행

타낼 다.

② 미지 가 개 연립 차 식 차 사각행 에 하여

타낼 다. 계수행렬 라고 다.

(2) 연립일차방정식의 해

① 연립 차 식 해는 다.

② 해가 하게 재할 필 충 건 det ≠ 것 다.

③ det 해는 많거 재하지 는다.


1 다 차변 행 하여라.

⑴ ′

′ ⑵ ′

′

2 1 차변 에 하여 겨지는 각각 하여라.

3 다 건 만 시키는 차변 행 하여라.

⑴ → , →

⑵ → , →

4 평 에 차변 P , Q , 그리고 상 에 하여 다 립함 하여라.

(1) P P

(2) P Q P Q

5 평 에 다 A , B가 고, AB 내 하는 P 라고 하 .

가 평 에 차변 AB 내 하는 P

하여라.

정답 154쪽

0505일차변환일차변환

개념 핵심정리 (1) 변환 : 평 P P ′′ ′ 시키는 함 평

변 라고 , 것

→ ′ ′

과 같 타낸다. P 는 변 에 하여 P ′′ ′ 겨진다고 말

한다.

(2) 일차변환 : 평 변 → ′ ′에

′ ′

(, , , 는 상 )

같 ′ , ′ 상 항 없는 , 차식 타내어질 , 변 일차변환

라고 , 식 일차변환 를 나타내는 식 라고 다.

(3) 일차변환의 행렬 : 차변 행

′ ′′

,

,

용하여 ′ 타낼 다. 행 차변 타내는 행

는 일차변환 의 행렬 라고 다.

(4) 차원 공간에서의 일차변환 : , ′ 차원 공간 열한 × 행

고 가 차 사각행 → ′ 타 는 변

일차변환 라고 다. 일차변환 의 행렬 라고 다.


1 닮 비가 닮 변 에 하여 P , Q 겨지는 각각 P ′ , Q ′ 라

고 하 . 다 하여라.

⑴ PQ P ′ Q ′ ⑵ ∆OPQ ∆OP ′Q ′

2 평 에 다 변 에 하여 겨지는 하여라.

⑴ 에 한 변 ⑵ 에 한 변

⑶ 원 에 한 변 ⑷ 직 에 한 변

⑸ 직 에 한 변 ⑹ 원 심 ° 시키는 변

3 원 심 만큼 동하 겨질 ,

값 하여라. (단, ≤ )

4행

타 는 차변 에 하여 A는 B , B는 C 겨진다.

B 가 , AC 하여라.

5 행 cos sin sin cos 타 는 변 에 하여 겨지는 P 라고

하 . ≤ ≤

P 가 그리는 도 하여라.

★6 평 에 직 에 한 변 행 하여라. (단, ≠ )

정답 155쪽

0606여러�가지�일차변환여러�가지�일차변환

개념 핵심정리 (1) 대칭변환 : 직 는 에 하여 동시키는 변 대칭변환 라고 다.

① 에 한 변 : ② 에 한 변 :

③ 직 에 한 변 :

④ 원 에 한 변 :

(2) 닮음변환 : 는 변 닮음비가 인 닮음변환 라고 다.

① 닮 비가 닮 변 :

② 항등변환 : 닮 비가 닮 변 (보통 타낸다)

(3) 회전변환 : 원 심 시계 향 시키는 변 회전변환 라고 다.

① 원 심 만큼 하는 변 : cos sin sin cos


1 차변 , 타내는 행 각각 ,

다 하여라.

⑴ 합 변 ∘ ∘ 타내는 행 각각 하여라.

⑵ ∘ ∘ 에 하여 가 겨지는 하여라.

2 차변 , , 타내는 행 , , 가 각각

,

,

, 합 변 ∘ ∘ 변 식 하여라.

3행

타 는 차변 에 하여 겨지는

하여라.

4 행 에 하여 타 는 차변 에 하여 P 가

겨진다. , 행 타 는 차변 에 하여 P 가 겨지는 하

여라.

5 차변 , 항등변 에 하여 다 립함 하여라.

⑴ ⑵ ∘

⑶ ∘ ⑷ ∘ ∘

★6 변 과 합 변 용하여 삼각함 리 도하여라.

⑴ sin sin cos cos sin

⑵ cos cos cos sin sin

정답 155쪽

0707합성변환과�역변환합성변환과�역변환

개념 핵심정리 (1) 합성변환 : 변 → ′ ′, ′ ′ → ″ ″에 하여

″ ″ 는 변 합성변환 라고 고

∘ → ″ ″

타낸다.

(2) 합성변환의 행렬 : 차변 행 고 차변 행 , 변 합

한 차변 ∘ 행 다.

(3) 역변환 : 변 → ′ ′에 하여 ′ ′ 는 변

역변환 라고

′ ′ →

타낸다.

(4) 역변환의 행렬 : 차변 행 역변 행 다.


1 차변 → 에 하여 직 겨지는 도

식 하여라.

2 차변 ′′

에 하여 다 에 답하여라.

⑴ 직 가 겨진 직 울 하여라.

⑵ 원 가 겨진 도 하여라.

3 직 원 심 °만큼 시킨 직 식 하여라.

4 행 타 는 차변 에 하여 직 겨진 직 ′ 라고

하 . 과 ′ 직 , 값 하여라.

5 다 도 식 하여라.

⑴ 원 가 , 한 타원

⑵ 원 심 지한 채 가 , 한 타원

6 행 타 는 차변 에 하여 직 직 겨질 ,

실 , 곱 값 하여라.

7 행 타 는 차변 에 하여 직 든 직

겨질 , 실 , 값 하여라.

정답 155쪽

0808도형의�변환도형의�변환

개념 핵심정리 (1) 도형의 변환 : 평 도 변 → ′ ′에 하여 도

식 다.

(2) 여러 가지 변환

① 도 향 만큼, 향 만큼 평행 동한 도

식 다.

② 도 심 가 , 심 한

도 식

다.

③ 도 원 심 시계 향 만큼 시킨 도 식

cos sin sin cos 다.

랑스의 철학자 데카르트는 평면이나 공간의 로 나타내는 법 고안하

다. 그러한 들로 이루어진 평면 좌표평면, 공간 좌표공간이라고 부른다. 모든 도

들의 집합 로 생각할 있 에 좌표평면과 좌표공간 이용하면 도 연구할

도 나타내는 식 연구하면 다.

또한 좌표평면과 좌표공간의 벡 로 간주하면 벡 의 질 이용하여 도 연구

할 있고, 또 로 도 의 질 이용하여 벡 를 연구할 있다. 뿐만 아니라 좌표

벡 를 이용하여 연구한 도 의 질 높 차원의 공간에 있는 도 에도 용할

있 므로 단히 용하다.

이 단원에 는 이차곡 , 공간도 , 좌표공간, 벡 의 개 과 여러 가지 도 의 식

살펴보고, 벡 를 활용하여 다양한 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

포물선, 타원, 쌍곡선의 정의를 말하고 도형의 방정식을 구할 수 있다.

|

공간도형의 성질을 이해하고 삼수선의 정리를 활용할 수 있다.

|

좌표공간의 개념을 이해하고 공간의 점을 좌표로 나타낼 수 있다.

|

벡터의 개념과 성질을 이해하고 벡터의 연산을 할 수 있다.

|

직선과 평면을 벡터의 방정식으로 나타낼 수 있다.

|

벡터를 활용하여 공간도형에 관한 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.


1 다 포 식 하여라.

⑴ , ⑵ ,

⑶ , ⑷ ,

2 다 포 과 식 하고, 그 그래프 그 라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

3 다 건 만 시키는 취 식 하여라.

⑴ F 과 직 같 거리에 는

⑵ F 직 같 거리에 는

⑶ F 직 같 거리에 는

⑷ F 과 직 같 거리에 는

4 A 포 움직 는 P 가 다. 포 F라 할 ,

삼각 APF 값 하여라.

5 다 포 식 하여라.

⑴ , ⑵ ,

⑶ , ⑷ ,

⑸ 포 원 심 ° 시킨 포

⑹ 원 심 ° 시키 고 는 포

정답 155쪽

0101포물선포물선

개념 핵심정리 (1) 이차곡선 : 계 가 실 고 차식 곱 해 지 는 에 한 차

식 타 는 곡 이차곡선 라고

다.

(2) 포물선 : 평 에 F 지 지 는 직

, F 거리 거리가 같 들 집합 포물

선 라고 다. F 포 초점 라고 고

포 준선 라고 다.

(3) 포물선의 방정식

① 가 F 고 포 식

다.

② 가 F 고 포 식 다.

평면도형과 공간도형 91


⑴ F , F ′ 거리 합

⑵ F , F ′ 거리 합

⑶ F , F ′ 거리 합

⑷ F , F ′ 거리 합

2 다 타원 , 심 , 짓 , , 단 하여라.

⑴

⑵

⑶ ⑷

3 F 지 고 울 가 직 타원 만 는 A , B

C 짓 하는 삼각 ABC 하여라.

4 다 타원 식 하여라.

⑴ 타원 원 심 ° 시킨 타원

⑵ 타원 타원 심 심 ° 시킨 타원

⑶ F , F ′ 거리 합 들 취

5 타원 러싸 도 하여라.

정답 156쪽

0202타원타원

개념 핵심정리 (1) 타원 : 평 에 F , F′ , F , F′

거리 합 한 들 타원 라고 다.

F F′ 타원 초점 라고 다.

(2) 타원의 방정식

① F 과 F′ 에 거리 합

타원 식

(단, , )

는 , 단 는 , 짓 는 ± , ± , 심

는 다.

② F F′ 에 거리 합 타원 식

(단, , )

는 , 단 는 , 짓 는 ± , ± , 심

는 다.



⑴ F , F ′ 거리 차가

⑵ F , F′ 거리 차가

⑶ F , F′ 거리 차가

⑷ F , F′ 거리 차가

⑸ F , F′ 거리 차가

⑹ F , F′ 거리 차가

2 다 곡 , 심, 짓 , 주 , 근 식 하여라.

⑴

⑵

⑶ ⑷

3 가 각각 , 고 지 는 곡 식 하여라.

4 다 곡 식 하여라.

⑴ 과 근 하고 , 곡

⑵ 직 , 가 근 고 , 곡

정답 156쪽

0303쌍곡선쌍곡선

개념 핵심정리 (1) 쌍곡선 : 평 에 F , F′ , F , F′

거리 차가 한 들 쌍곡선 라고 다.

F F′ 곡 초점 라고 다.

(2) 쌍곡선의 방정식

① F 과 F′ 에 거리 차가 타

원 식

(단, , )

는 ± , 주 는 , 짓 는 ± ,

심 는 다.

② F 과 F′ 에 거리 차가 타원 식

(단, , )

는 ± , 주 는 , 짓 는 ± ,

심 는 다.

③ 곡

근 식 ±

다.


1 다 하여라.

⑴ 타원 직 가 에 만 도 하는 실

⑵ 포 직 한 에 만 도 하는 실

⑶ 곡 직 만 지 도 하는

2 다 하여라.

⑴ 포 에 하고 울 가 직 식

⑵ 포 에 하고 울 가 직 식

⑶ 에 포 에 그 식

⑷ 타원 에 하고 울 가 직

⑸ 타원 에 하고 울 가 직

⑹ 지 고 타원 에 하는 직 식

⑺ 곡 에 하고 울 가 직 식

⑻ 지 고 곡 에 하는 직 식

3 타원 러싸 역 심 하 취 피 하

여라.

★4 포 심 한 취 사 에 과 평행한 향 쪽

에 래쪽 빛 가 들어 , 사 빛 는 드시 포 지

하여라.

★5 원뿔 평 단 어 는지 사하여라.

정답 156쪽

0404이차곡선의�활용이차곡선의�활용

개념 핵심정리 (1) 이차곡선과 직선의 위치 관계 : 차곡 과 직 연립하여 얻

차 식 별식 라고 할

① 다 에 만 다.

② 한 에 만 다.

③ 만 지 는다.

(2) 접선의 방정식

① 1 : 함 미 용하여 울 한다.

② 2 : 곡 식 다 과 같 꾼다.

차항 :

→

→ 차항 :

→

→


1 쪽 그림과 같 각 에 다 하여라.

⑴ BHIC 평행한

⑵ CIJD 만 는

⑶ DJKE EKLF

2 쪽 그림 사 체에 리 OA , OB , OC는 각각

직 다. 짓 A에 리 BC에 내린 D 라 하

고, 짓 O 에 AD 에 내린 H라고 할 , 다

하여라.

⑴ OD ⊥BC ⑵ OH⊥평 ABC

정답 157쪽

0505공간도형공간도형

개념 핵심정리 (1) 공간에서 평면의 결정조건

① 평행한 직 ② 한 에 만 는 직

③ 한 직 과 그 에 지 한 ④ 직 에 지 다

(2) 공간에서 두 직선의 위치관계

① 한다. ② 한 에 만 다.

③ 평행하고 만 지 는다. ④ 에 다.

(3) 직선과 평면의 위치관계

① 직 평 에 포함 다. ② 한 에 만 다. ③ 평행하고 만 지 는다.

(4) 두 평면의 위치관계

① 한다. ② 한 직 에 만 다. ③ 평행하고 만 지 는다.

(5) 삼수선의 정리

평 에 지 P , O 지 지 는 직 , 직

H에 하여 다 립한다.

① PO ⊥ , OH⊥ PH⊥ ② PO ⊥ , PH⊥ OH⊥

③ PH⊥, OH⊥, PO ⊥OH PO ⊥

(6) 정사영의 길이와 넓이

① AB 평 사 A ′B ′ , 직 AB 평 가 루는 각

크 라고 하 A′B ′ AB cos .

② 평 에 는 도 , 도 평 사 ′ 라

고 할 , 평 , 가 루는 각 크 라고 하 ′ cos .


1 쪽 그림 직 체에 A , B , C는 각각 , ,

고 O 는 원 다. OA , OB , OC , 다

하여라.

⑴ D ⑵ E ⑶ G ⑷ F

2 다 사 거리 하여라.

⑴ A , B ⑵ O , A

3 A , B 에 같 거리에 는 P 하여라.

4 A , B 에 하여 AB 내 하는 P

하는 Q 하여라.

5 다 식 하여라.

⑴ 심 고 지 가

⑵ 심 원 고 지 는

⑶ A , B 지 하는

정답 157쪽

0606좌표공간좌표공간

개념 핵심정리 (1) 좌표공간 : 공간 한 O 심 직 하는 , ,

하여 공간상 P P 같

타낸 것 공간좌표라고 고, 러한 공간 좌표공간 라고

다.

(2) 좌표공간에서 두 점 사이의 거리

공간에 A , B 사 거리는

AB

(3) 선분의 내분점과 외분점 : 공간에 A , B 에 하여

① AB 내 하는 P 는

P

② AB 하는 Q 는

Q

(4) 구의 방정식 : 심 C 고 지 가 식


1 쪽 그림과 같 한 리 가 체에 다

크 하고 같 평행한 찾 라.

⑴ AB ⑵ AC ⑶ CD ⑷ BG

⑸ EH ⑹ CE ⑺ HG ⑻ BC

2 쪽 그림 직 체에 AB , AD , AE 라고 할 ,

다 , , 타내어라.

⑴ BC ⑵ DH ⑶ FB ⑷ GH

⑸ EC ⑹ AG ⑺ HF ⑻ CE

3 , 가 쪽 그림과 같 주어질 , 다

그림 타내어라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

정답 157쪽

0707벡터의�뜻벡터의�뜻

개념 핵심정리 (1) 벡터 : 크 향 함께 갖는 벡터라고 다.

① 시 A 고 B AB 타낸다.

② 한 타낼 에는 , , , ⋯ 같 타낸다.

③ AB AB 크기라고 고 AB 타낸다.

④ 크 가 1 단위벡터라고 다.

크 가 0 영벡터라고 타낸다.

⑤ 에 하여 크 가 같고 향 타낸다.

(2) 벡터의 합과 차

① 합 : ABBCAC

② 차 :

(3) 벡터의 실수배

① ≠ , 는

∙ 향 같고, 크 는 다.

∙ 향 고, 크 는 다.

∙ 다.

② , 실 에 하여 다.

(4) 벡터의 평행 : ⫽ (는 닌 실 )


1 A , B 각각 , 라고 할 , AB 내 하는 P

는

하여라. (단, , )

2 사각 ABCD 변 AB , CD 각각 M , N 라고 할 , AD BC MN

하여라.

3 , , , 다 타내어라.

⑴ ⑵

4 공간 A , B , C , D 에 하여 다

에 답하여라.

⑴ AB , CD 타내어라.

⑵ 사각 ABCD 는 어 사각 지 말하여라.

정답 158쪽

0808벡터의�성분벡터의�성분

개념 핵심정리 (1) 위치벡터 : 한 O 시 하는 OP O 에 한 P 위치벡터라고

다. 시 O 는 평 는 공간 원 는다. A ,

B 각각 , 라고 하 AB 가 립한다.

(2) 평면벡터의 성분 : 평 E , E 각각 단

, 타낸다.

① 평 는

타낼 다. 실 , 성분

라고 , 성분, 성분 라고 다.

② 평 는 용하여 타낸다.

(3) 공간벡터의 성분 : 공간에 E , E , E

각각 단 , , 타낸다.

① 공간 는

타낼 다. 실 , ,

성분 라고 , 성분, 성분, 성분 라고 다.

② 는 용하여 타낸다.

(4) 벡터의 연산 : , ,

① ± ± ± ± ② (단, 는 실 )

(5) A , B 에 하여

① AB

② AB


1 다 내 하여라.

⑴ , ⑵ ,

2 다 가 루는 각 크 하여라.

⑴ , ⑵ ,

3 다 가 직 도 실 값 하여라.

⑴ , ⑵ ,

4 , 에 하여 다 립함 하여라.

⑴

⋅ ⑵ ⋅

⑶ ⋅≤ ⑷ ≤

5 사 체 OABC에 OA⊥BC , OB⊥CA OC⊥AB 하여라.

정답 158쪽

0909벡터의�내적벡터의�내적

개념 핵심정리 (1) 벡터의 각 : 평 는 공간에 가 닌 , 에 하

여 OA , OB , ∠AOB , 가 루는

각 라고 다. (단, ≤ ≤ )

(2) 벡터의 내적 : 가 닌 , 가 루는 각 크 가 , cos

내적 라고 , ⋅ 타낸다.

⋅ cos

다. 단, 는 는 ⋅ 한다.

(3) 벡터의 내적과 성분

① , , ⋅

② , , ⋅

(4) 두 벡터가 이루는 각 : 가 닌 , 가 루는 각 크 라고 할

cos

⋅

(5) 벡터의 내적과 수직, 평행 조건 : 가 닌 , 에 하여

① 직 건 : ⊥ ⋅

② 평행 건 : ⫽ ⋅ ±


1 다 직 식 하여라.

⑴ 지 고, 에 평행한 직

⑵ 지 고, 향 가 직

⑶ 지 고, 에 평행한 직

⑷ 지 고, 향 가 직

⑸ 지 고 직 , , 에 평행한 직 (단, 는 실 )

⑹ , 지 는 직

⑺ , 지 는 직

2 다 직 루는 각 크 하여라.

⑴

,

⑵

,

3 직

,

에 하여 다 하여라.

⑴ 직 평행할 , 값

⑵ 직 직 , 값

정답 158쪽

1010직선의�방정식직선의�방정식

개념 핵심정리 (1) 직선의 방정식

① A 지 고, 에 평행한 직 식

(단, ≠ )

직 방향벡터라고 다.

② 다 A , B 지 는 직 식

(단, ≠ , ≠ , ≠ )

(2) 두 직선의 평행과 수직

직 , 향 가 각각 , ,

① ⫽ (단, ≠ )

② ⊥ ⋅


1 다 평 식 하여라.

⑴ 지 고, 에 직 평

⑵ 지 고, 가 평

⑶ 지 고, 직

에 직 평

⑷ 과 지 는 직 에 직 고, 지 는 평

⑸ A , B , C 지 는 평

⑹ A , B , C 지 는 평

2 다 하여라.

⑴ 평 직

⑵ 평 과 직

⑶ 평 , 식

⑷ 평 , 식

3 다 평 루는 각 크 하여라.

⑴ ,

⑵ 과

4 평 , 직 상 값 하여라.

5 평 , 에 하여 다 하여라.

⑴ 평 평행할 , 값 ⑵ 평 직 , 값

정답 158쪽

1111평면의�방정식평면의�방정식

개념 핵심정리 (1) 평면의 방정식 : A 지 고, 에 직 평 식

평 법선벡터라고 다.

(2) 두 평면의 평행과 수직

평 , 가 각각 , ,

① ⫽ ⫽ ≠

② ⊥ ⊥⋅

(3) 점과 평면 사이의 거리 : A 과 평 사 거리는


1 가 다 과 같 × 하여라.

⑴ , ⑵ ,

⑶ , ⑷ ,

2 다 하여라.

⑴ × ⑵ × ⑶ ×

3 P , P , P , P P P 지 거리 하여라.

4 직 사 거리

하여라.

5 평 가 만 는 직 향 하여라.

6 kg 체에 달 지 과 ° 각도 향 N 당겨 체 평

m만큼 동시 다. 체에 한 하여라.

7 직

계 하여라.

정답 159쪽

1212벡터의�활용벡터의�활용★

개념 핵심정리 (1) 벡터의 외적 : , 에 하여

× sin

한다. 여 는 가 루는 각 크 다.

(2) 외적의 성질

① × × ② × ⊥ , × ⊥

(3) 공간에서 점과 직선 사이의 거리 : P 직 주어 고, 단 향 라고

하 . 한 P 라고 할 , P 사 거리는 PP × 다.

(4) 공간에서 직선과 직선 사이의 거리 : 직 , 주어 고 , 단 향 가 각

각 , , P , Q 가 각각 , 라고 하 . 과 사 거리는

PQ ⋅ × 다.

(5) 일의 양 : 체에 가하여 향 거리만큼 움직 게 하

⋅ cos 다.

우리가 지 지 공부한 함 는 독립변 가 하나인 함 이다. 즉 의 값이 해질 마다

의 값이 하나씩 결 를 의 함 라고 부른다. 그런데 실생활에 나타나는 상

하나의 값에만 향 보다는 여러 가지 값에 향 는 경우가 많다. 컨

자동차의 연 에는 엔진효 뿐만 아니라 차의 구조, 다른 부품의 능, 운 식 등 다양

한 요소가 향 미친다.

이처럼 여러 개의 변 에 의하여 함 값이 결 는 함 를 다변 함 라고 부른다. 실생

활의 부분의 상 다변 함 이 에 실 상 분 하고 연구하 해 는

다변 함 의 질 이용해야 한다.

이 단원에 는 다변 함 의 개 , 극한, 미분, 분, 분과 면 분의 개 살펴보

고, 이들 이용하여 다양한 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

유클리드 공간, 다변수함수, 벡터함수의 개념을 이해하고 설명할 수 있다.

|

다변수함수와 벡터함수의 극한, 편미분, 전미분을 계산할 수 있다.

|

미분을 활용하여 곡선과 곡면의 성질을 분석할 수 있다.

|

다변수함수의 중적분을 계산할 수 있다.

|

변수변환을 이용하여 중적분을 계산할 수 있다.

|

선적분과 면적분의 개념을 이해하고 선적분과 면적분을 계산할 수 있다.


1 다 x에 하여 x가 재하는 공간 차원 하고 x 크 하여라.

⑴ x ⑵ x

2 x y 에 하여 다 하여라.

⑴ x ⊥y가 도 하는 값 ⑵ x⫽y가 도 하는 값

3 실 ℝ x, y에 하여 다 하여라.

⑴ x x ⑵ x⋅y≤ x y ⑶ x y≤ x y

4 다 함 타내 한 하여라.

⑴ ⑵ ⑶ sin ⑷ ln

5 다 함 타내 한 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷ sin cos

정답 159쪽

0101다변수함수와�벡터함수다변수함수와�벡터함수★

개념 핵심정리 (1) 변수 : 함 에 하여 가 에 독립변수, 종속변수라고 다.

(2) 유클리드 벡터공간

① ⋯ 들 ℝ 타낸다.

② ℝ 원 생각할 ℝ 차원 유클리드 벡터공간 는 간단 차원 공간

라고 다.

③ ℝ 원 같 타내는 신 보통 x 같 타낸다. x

보통 신과 동 한 사용하여 ⋯ 과 같 타낸다.

④ 째 고 다 든 e 타낸다. 특 ℝ 는 ℝ

에 해 는 e , e , e 각각 i , j , k 타낸다.

⑤ ℝ x 크기 x

한다.

(3) 변수에 따른 함수의 분류

① 다변수함수 : 역 ℝ 함 변수함수라고 다. 특 ≥ 변 함

다변수함수 는 다변함 라고 다. x ⋯ 고 가 변 함

x ⋯ 타낸다.

② 벡터함수 : ≥ 공역 ℝ 함 벡터함수라고 다. f 공역 ℝ

함 f 째 라고 하 f ⋯ 다.

③ 벡터수열 : ≥ ℝ 들 루어진 열 벡터수열 라고 다.

다변수함수의 미적분 105

1 다 집합 ℝ에 열린집합 는 닫 집합 는지 별하여라.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

⑸ ∪ ⑹ ⑺ ∪ ⑻ ∪

⑼ ℤ ⑽ ℚ ⑾ ℝ ⑿ ∅

2 다 열 x가 하는지 별하고, 하 그 극한 하여라.

⑴ x

⑵ x sin

cos

tan

⑶ x i cos j sin k ⑷ x e log e ln e

3 다 함 f 가 에 하는지 별하고, 하 그 극한 하여라.

⑴ f ⑵ f

⑶ f

⑷ f sin cos ⑸ f i

sin j

k

★4 다 하여라.

⑴ 열린집합들 합집합 열린집합 다. ⑵ 닫 집합들 집합 닫 집합 다.

⑶ a는 열린집합 다. ⑷ 한집합 닫 집합 다.

정답 159쪽

0202극한과�연속극한과�연속★

개념 핵심정리 (1) 구의 방정식 : a 에 하여 다 과 같 한다.

① 심 a 고 지 구면 : a x x a

② 심 a 고 지 열린구 : a x x a

③ 심 a 고 지 닫힌구 : a x x a≤

(2) 열린집합과 닫힌집합 : , 가 ℝ 집합 라고 하 .

① 든 x에 하여 x ⊆ 가 재하 열린집합 라고 다.

② 여집합 ℝ∖가 열린집합 닫힌집합 라고 다.

(3) 수열의 극한 : x가 열 고 x가 라고 하 . 만 → ∞ x x

값 에 하 x는 x에 수렴한다고 말하고 x x 극한 라고 다. 것

lim → ∞

x x 같 타낸다.

(4) 집합의 집적점 : ⊆ ℝ , a∈ℝ 라고 하 . 만 든 항 ∖a에 하 a에

하는 열 x가 재하 a 집적점 라고 다.

(5) 함수의 극한 : a가 집 고 f 가 역 함 라고 하 . 만 L

재하여 x a → , x ≠ a f x L → 립하 f 는 a에서 L에 수렴한다고

말하고 L a에 f 극한 라고 다. 것 limx → a

f x L 타낸다.

(6) 함수의 연속 : 가 열린집합 고 a∈ f 가 역 함 라고 하 . 만 a에

f 가 하고 f 극한값과 함 값 같 f 는 a에서 연속이다라고 말한다.


1 다 함 편도함 하여라.

⑴ ⑵ sin

⑶ ⑷

⑸ cos ⑹ log

2 다 함 계편도함 하여라.

⑴ ⑵ sin

⑶ ⑷ ln

3 다 함 f 도함 는 편도함 하여라.

⑴ f ⑵ f

⑶ x x ⑷ f i j k

★4 다 하여라.

⑴ f limx → a

f x limx → a x lim

x → a x lim

x → a x 다.

⑵ limx → a

f x L 고 lim → ∞

x a lim → ∞

f x L 다.

⑶ x 든 항 에 하고 가 닫 집합 lim → ∞

x a a∈ 다.

⑷ f 가 a에 편미 가능해도 f 는 a에 연 닐 다.

정답 160쪽

0303편미분편미분★

개념 핵심정리 (1) 편미분 : 다변 함 공역 ℝ , 하 에 하여 미 한 것 편미분

라고 다. ⋯ 에 하여 편미 한 편도함수

는

는

타낸다. 에 한 편도함 는 다 과 같 다.

⋯ lim

→

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

lim →

x e x

(2) 고계편도함수 : 함 에 하여 미 한 후 다시 에 하여 미 한 것 이계편도함

수라고

같 타낸다. 마찬가지 함 편미 한 도함 계편도함수라고 다.

(3) 벡터함수의 미분 : f ⋯ f 미 각 미 한 것과 같

다.


1 함 f cos ln 가 에 미 가능한지 별하여라.

2 다 함 가 에 미 가능한지 별하여라.

i f ≠

i f

3 다 함 미 행 하여라.

⑴ f ⑵ f i j j

⑶ f → ⑷ f i j k

⑸

⑹

4 f , g f∘ g g∘ f 미 행

각각 하여라.

5 f 에 하여 f ≠ 한 , 건 하여라.

정답 161쪽

0404전미분전미분★★

개념 핵심정리 (1) 전미분 : a∈ ⊆ ℝ 고 가 열린집합 든 에 함 → ℝ

편도함 가 연 라고 하 . a에 f 미 다 과 같 한다.

fa

a

×

① 미 fa는 × 행 동시에 행 타 는 차변 다.

② 행 fa a에 f 전미분행렬 는 야코비안 행렬 라고 다.

③ 든 에 편도함 가 연 는 에 연 다. 가 a에 미

가능하 는 a에 연 다.

(2) 전미분의 성질 : ∈ℝ, a∈ℝ 고 f , g가 a에 미 가능할

① f ga fa ga

② f a fa

③ f ⋅ga fa⋅ga

(3) 전미분의 연쇄법칙 : f∘ ga fgaga

(4) 편미분의 연쇄법칙 : ⋯ 실 함 고 g ⋯ 함

g ⋯

⋯

.


1 다 ℝ에 같 곡 타내는 함 찾 라.

⑴ r cos sin , ∈ ⑵ r , ∈

⑶ r , ∈ ⑷ r sin cos , ∈

2 다 곡 매개변 함 하여라.

⑴ ℝ에 원 에 하여 향 뻗 가

⑵ ℝ에 심 고 지 원

⑶ ℝ에 지 고 심 -평 에 원

⑷ ℝ에 원 과 평

3 다 곡 매개변 함 하여라.

⑴ ℝ에 원 지 고 가 평

⑵ ℝ에 들 가 닌 들

⑶ ℝ에 과 는 심 한 취

⑷ ℝ에 심 고 지

4 다 함 가 타내는 곡 향 하여라.

⑴ sin , ≤ .

⑵ , ≤ ≤ , ≤ ≤ .

정답 161쪽

0505곡선과�곡면곡선과�곡면★

개념 핵심정리 (1) 곡선

① 역 닫 간 고 연 함 r 곡선함수 는 곡 매개변 함

라고 다. 한 곡 함 역 타 는 집합 곡선 라고 다. r

시작점, r 종점 라고 , 시 과 통틀어 끝점 라고 다.

② 든 에 미 가능하고 도함 가 연 미 계 가 닌 곡 함 갖는

곡 매끄러운 곡선이라고 다.

③ 같 곡 닫힌곡선 라고 다.

④ 하고 겹 는 없는 곡 단순곡선 라고 다.

(2) 곡면

① 단 닫 곡 러싸 차원 역 역 갖는 연 함 곡면

함수 는 곡 매개변 함 라고 다. 한 곡 함 역 타 는 집합

곡면 라고 다. 곡 경계선 라고 다.

② 든 에 미 가능하고 도함 가 연 비 행 식 닌 곡 함

갖는 곡 매끄러운 곡면 라고 다.

③ 에 하여 N × 에 해 주어진 방향 라고 다.


1 다 함 울 하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

⑸ sin cos ⑹

2 다 함 에 하여 ∇⋅ 하여라.

⑴ ⑵

⑶ sin cos ⑷ ln

3 다 함 u에 하여 향도함 u 하여라.

⑴ , u

⑵ , u

⑶ , u e

4 함 a 가 다 과 같 , 곡 에

평 식 하여라.

⑴ , a ⑵ sin , a

⑶ , a ⑷ , a

5 함 r , ∈ 타 는 곡 에 곡

식 하여라.

정답 161쪽

0606미분의�활용미분의�활용★

개념 핵심정리 (1) 기울기 연산자 : ∇

⋯

(2) 함수의 기울기 : ⋯ 기울기 ∇

⋯ 한다.

(3) 방향도함수 : u가 단 a에 u 향 방향도함수는

u a lim →

a u a ∇a⋅u

여 u가 단 가 닌 경우에는 u 누어 단 만든 식에 한다.

(4) 곡면의 접평면 : 곡 a 에 하여 에

곡 평 식 다.

① x 라고 하 식 a ∇a⋅x a 타낼 다.

② 에 곡 는 a b 다.

(5) 곡선의 방향벡터 : 곡 r 에 곡 에

하는 향 는 r ′ 다.


1 다 집합 에 타내어라.

⑴ ,

⑵ sin , ×

⑶ , × ×

⑷

,

⑸

ln ,

2 다 집합 에 하여라.

⑴ ,

⑵ ,

⑶ , × ×

3 도 피 용하여 다 집합 에 하여라.

⑴ ,

⑵ ,

⑶ ,

⑷ , ≤

★4 함 가 × 에 연 다 등식 립함 하여라.

xx

정답 162쪽

0707중적분중적분★

개념 핵심정리 (1) 직사각형 영역에서의 중적분 : 실 함 가 × 에 연 거 는

들 가 연 것들 가 한 곡

xx lim → ∞

lim → ∞

라고 한다. 에 중적분 라고 다. 등식에 우변 구분구적법

라고 다. ≥ 중적분도 비슷한 한다.

(2) 특성함수 : 가 집합 , 원 에 해 는 값 갖고, 원 에 해 는

값 갖는 함 특성함수라고 타낸다.

(3) 일반적인 영역에서의 중적분 : 가 단 닫 곡 러싸 역 고 ×

가 포함하 가 에 연 에 다 과 같 한다.

xx


1 다 복 값 하여라.

⑴

⑵

⑶

cos ⑷

⑸

sin ⑹

⑺

⑻

sin (단, )

2 다 역 가 사 가능 는 사 가능 지 사하고, 가능한 경우 ⑵-① 는 ⑵-②

타내어라.

⑴ , , 짓 하는 삼각 러싸 역

⑵ 원 러싸 역

⑶ ≤ ≤

⑷ ≤ ≤ ≥

3 다 역 에 값 하여라.

⑴ , 는 원 러싸 역

⑵ , ≤ ≤

⑶ , 는 상 원 러싸 역

⑷ , ≤ ≤ ≥

⑸ , (단, )

⑹ x x, ⊆ ℝ (단, )

정답 162쪽

0808반복적분반복적분★

개념 핵심정리 (1) 반복적분을 이용한 중적분의 계산 : 가 × 에 각 변 에 하여 변

가능할

xx

(2) 푸비니의 정리 : 단 닫 곡 러싸 역 가

① ≤ ≤ ≤ ≤ , 과 는 연 함

② ≤ ≤ ≤ ≤ , 과 는 연 함

타 고 가 에 연 에 다 과 같 계산 다.

xx

(3) 영역의 구분 : 단 닫 곡 러싸 평 역 에 하여

① ⑵-①과 같 타낼 사영 가능 영역 라고 다.

② ⑵-② 같 타낼 사영 가능 영역 라고 다.


1 다 역 에 값 하여라.

⑴ , 는 평 , , , 러싸 역

⑵ , 는 , , ≥ 러싸 역

⑶ , 는 , , , 러싸 역

2 다 하여라.

⑴ , , , 러싸 역 피

⑵ 쪽 포 러싸여 고 쪽 원

러싸여 닥 러싸 역 피

⑶ 지 러싸 차원 역 피 겉


⑴

, ≤ ≤ ≤ ≤ (단, )

⑵

sin cos , 는 직 , , ,

러싸 역

★4 변 변 용하여

∞

값 하여라.

정답 162쪽

0909중적분의�변수변환중적분의�변수변환★★

개념 핵심정리 (1) 중적분의 변수변환 : 가 ℝ 열린집합 고 → ℝ 든 에 연

편도함 가지 에 비 행 식 값 니고 가 닫 집합

⊆ 고 가 에 연 다 립한다.

uu

x xx.

(2) 여러 가지 변수변환

① 극좌표 : ℝ 에 하여 , 향 시

하고 O 에 하여 지 는 직 동경 하는 각)

cos , sin .

② 원기둥좌표 : ℝ 에 하여 극 가 cos , sin

cos , sin , .

③ 구면좌표 : ℝ 에 하여 과 는 라고

하고 -평 에 사 라고 하 ,

향 시 하고 동경 하는 각), 향 시

하고 동경 하는 각) 라고 할

sin cos , sin sin , cos .


1 다 곡 하여라.

⑴ , ∈

⑵ , 에 하여 지 는 곡

⑶ sin i cos j k, ∈

2 다 과 같 주어진 함 곡 에 하여, 매개변 함 하고 에

하여라.

⑴ , 는 , ≥ 주어진 곡

⑵ , 는 , , , 1 사 에 곡

⑶ , 는 곡

⑷ , 는 , , 는 삼각

3 다 과 같 주어진 함 F 곡 에 하여, 는 F 향 하여라.

⑴ F , 는 그래프 고 에 하여 지

는 곡

⑵ F , 는 과

향에 라보 시계 향 주어진 곡

⑶ F , 는 향

에 라보 시계 향 주어진 곡

정답 163쪽

1010선적분선적분★★

개념 핵심정리 (1) 실수함수의 선적분 : 가 ℝ 매 러운 곡 고 → ℝ 곡 함

→ ℝ가 연 함 다 과 같 한다.

① 에 선적분 :

′

② 곡 길이 :

′

(2) 벡터함수의 선적분 : 가 ℝ 매 러운 곡 고 → ℝ 곡 함

T가 단 라고 하 . F → ℝ 연 함 는 F 유향

선적분 다 과 같 한다.

F⋅T

F⋅

F⋅′

향 방향선적분 라고 도 한다.

(3) 조각마다 매끄러운 곡선에서의 적분 : , , ⋯ , 가 각각 매 러운 곡 고 곡 들

합집합 가 에 연 함 다 과 같 한다.

①

②

F⋅T

F⋅T


1 다 과 같 주어진 함 곡 에 하여, 매개변 함 하고 에

하여라.

⑴ , 는 곡 -평 쪽 평

, 사 에 는

⑵ , 는 , ≤ ≤ , ≤ ≤ 곡

⑶ , 는 곡 원

쪽에 는

2 다 과 같 주어진 함 F 곡 에 하여, 에 F 향 하여라.

⑴ F , 는 린포 ( ≤ ≤ )에 향하는

가 주어진 곡

⑵ F , 는 린 원 , ≤ ≤ 에

향하는 가 주어진 곡

⑶ F cos ln , 는 곡 원

쪽에 여 는 에 쪽 가리키는 가 주어진 곡

⑷ F , 는 곡 함 cos sin , ≤ ≤ ,

≤ ≤ 갖는 원 에 쪽 향하는 가 주어진 곡

정답 163쪽

1111면적분면적분★★

개념 핵심정리 (1) 실수함수의 면적분 : 가 ℝ 매 러운 곡 고 → ℝ 곡 함 라고 하

. → ℝ가 연 함 다 과 같 한다.

① 에 면적분 :

N

특 곡 식 다 과 같 계산 다.

② 곡 넓이 :

N

(2) 벡터함수의 면적분 : 가 ℝ 매 러운 곡 고 → ℝ 곡 함

가 매 러운 단 닫 곡 러싸 역 라고 하 . 한 에 해 주어진 단

n 라고 하 . 에 n 향 연 함 F → ℝ 향

다 과 같 한다.

F⋅n

F∘ ⋅N

(3) 조각마다 매끄러운 곡면에서의 적분 : 가 매 러운 곡 , , ⋯ , 합집합 고, 각

각곡 향 어 지 다 과 같 한다.

①

②

F⋅n

F⋅n



⑴ F sin , 는 직 , 러싸 1 사

역 경계

⑵ F ln , 는 , , , 짓 하

는 사각 에 시계 향 주어진 곡

2 다 과 같 주어진 함 F 곡 에 하여, 에 F 향 하여라.

⑴ F , 는 직 체집합 × × 경계

⑵ F , 는 원 , ≤ ≤ 과 원

≤ , 루어진 곡


⑴ F , 는 원 과 에

향에 내 다보 시계 향 주어진 곡

⑵ F , 는 곡 과 에

향에 내 다보 시계 향 주어진 곡

정답 164쪽

1212그린의�정리와�스토크스의�정리그린의�정리와�스토크스의�정리★★

개념 핵심정리 (1) 회전과 발산 가 ℝ 집합 고 , , 가 에 연 도함 갖는 실 함

F 다 과 같 한다.

① F의 회전 : curlF ∇ × F ② F의 발산 : divF ∇⋅F

(2) 그린의 정리 : 가 매 러운 단 닫 곡 러싸 차원 역 고 가

역 고 도함 가 연 실 함 라고 하 . F 다 립한다.

F⋅T

(3) 발산 정리(가우 리) : 가 매 러운 단 닫 곡 러싸 차원 역 고 단

가 n , , 가 역 고 도함 가 연 실 함 라고 하 .

F 다 립한다.

F⋅n

divF

(4) 스토크스의 정리 : 가 ℝ 매 러운 단 닫 곡 고 곡 함 → ℝ

계편도함 가 연 가 매 러운 단 닫 곡 에 하여 러싸 역 라고 하

. 한 단 가 n 라고 하 . F → ℝ 연 도함 가지는

함 다 립한다.

F⋅T

curlF⋅n

복소 는 개의 부분 가지고 있는 라는 의미이다. 즉 같이 실 부분과 허

부분 가지고 있는 를 복소 라고 부른다. 에 복소 는 다항 식의 해를 구하

해 만들어 다. 그 당시 복소 는 인 로 만들어진 라는 인식이 강했 에 실

가 아닌 복소 는 허구의 라는 뜻 로 허 라는 이름이 붙여 다.

그러나 그 후 복소 는 평면벡 처럼 다루어질 있 며 실 를 이용하여 해결하 어

운 를 복소 를 이용하여 쉽게 해결할 있다는 사실이 다. 욱이

리 상 할 실 를 사용하는 것보다 복소 를 사용하는 것이 편리할 가

많다. 라 늘날 복소 는 자 학, 공학, 리학 등 다양한 분야에 요한 자리를

차지하고 있다.

이 단원에 는 복소평면, 복소 함 의 질, 복소 함 의 미분법과 분법 살펴보고

복소 함 의 질 이용하여 다양한 를 해결하는 법 살펴본다.

학 습 목 표

|

복소평면의 개념을 이해하고 복소수를 극형식으로 나타낼 수 있다.

|

복소수함수의 개념을 이해하고 복소수함수의 미분과 적분을 할 수 있다.

|

복소수함수의 테일러 급수와 로랑 급수를 구할 수 있다.

|

복소수함수의 유수를 구하고 유수를 이용하여 적분을 계산할 수 있다.


1 다 복 편각 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2 다 복 극 식 타내어라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

3 복 과 가 다 과 같 주어 다.

cos

sin

, cos

sin

다 계산 결과 극 식 타내어라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷

4 하여라.

5 복 에 다 식 든 해 하여라.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

정답 164쪽

0101복소평면복소평면★

개념 핵심정리 (1) 복소평면 : , 가 실 , 복 타내는 평 복소평면

라고 다. 복 평 에 가 실수축, 허수축 라고 다. 허

에는 신 한다.

(2) 복소수의 극형식 : , 가 실 고 라고 하 .

① 편각 : P 에 하여 향 시 하고 OP 동경 하는

각 크 편각 라고 arg 타낸다. arg 값 에 하는

것 Arg 타낸다. (Arg 값 하는 는 필 에 라 다 게 할

다.)

② 극형식 : 크 가 고 편각 하 라고 할 복

cos sin 타낸 것 극형식 라고 다.

(3) 복소수의 곱

① 복 , 에 하여

, arg arg arg

② 드무아브르의 정리 : cos sin cos sin .

복소수함수 119

1 지 용하여 다 삼각함 리 하여라.

⑴ sin sin cos cos sin

⑵ cos cos cos sin sin

2 다 함 타 한 실 함 , 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷ sin

3 다 값 타내어라. (단, , 는 실 )

⑴ ⑵

⑶ sin ⑷ cos ln

⑸ ln ⑹ ln

⑺ Ln ⑻

4 복 에 하여 다 극한값 하여라.

⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

cos ⑷ lim →

sin

정답 165쪽

0202복소수함수복소수함수★

개념 핵심정리 (1) 복소수함수 : 역과 공역 ℂ 집합 함 복소수함수라고 다. 가 복

함 고 , ℝ ℝ 함 , 에 하여

타낼 다. (단, , 는 실 )

(2) 오일러 항등식 : 실 에 하여 cos sin .

[ 라 복 극 식 cos sin 타낼 다.]

(3) 여러 가지 복소수함수

① 밑이 인 지수함수 : 실 , 에 하여 cos sin .

② 삼각함수 : 복 에 하여 sin

, cos

.

③ 로그함수 : , 가 실 고

ln ln ln ln arg , Ln ln Arg .

④ 지수함수 : 복 , 에 하여 ln .

(4) 복소수함수의 극한 : 복 함 복 , 에 하여, 값 에 가 워

짐에 라 값 에 가 워지 에 는 에 수렴한다고 말하고

에 극한값 라고 다. 것 lim →

타낸다.



⑴ ⑵

⑶ sin ⑷ cos

⑸ tan ⑹ Ln

⑺ (단, ≠ , ∈ℂ) ⑻ sinh


⑴ sin ⑵ sin

⑶

cos ⑷ tan

★3 함 sin cos 에 하여 다 에 답하여라.

⑴ 가 함 보여라.

⑵ 가 미 가능한 함 가 도 하는 함 하여라.

4 함 ln 에 하여

하여라.

★5 다 극한값 하여라.

⑴ lim →

⑵ lim

→

cos ⑶ lim

→

sin

cos

정답 165쪽

0303복소수함수의�미분복소수함수의�미분★★

개념 핵심정리 (1) 복소수함수의 미분 : ′

lim

→

(2) 코시-리만 방정식 : 복 함 가 열린집합 에 미

가능할 필 충 건 실 함 , 가 든 에 연 편도함 갖고 다

등식 만 시키는 것 다.

,

등식 만 시키는 실 함 , 켤레함수라고 다.

(3) 라플라스 방정식 : 복 함 가 열린집합 에 미 가

능하 다 등식

,

만 시킨다. 등식 만 시키는 실 함 , 각각 조화함수라고 다.

복소수함수 121

1 다 경 에 하여

값 하여라.

⑴ 포 ,

⑵ , , 는 다각

⑶ 과 는

2 다 경 라 지

값 하여라.

⑴

⑵ , , 는 다각

3 , 는 곡 가 함 그래프 주어

값 하여라.

4 , 는 곡 가 함 그래프 주어

값 하여라.

5 복 평 상 주어 다. 체가 곡 라

지 움직 한 하여라.

정답 166쪽

0404복소수함수의�적분복소수함수의�적분★★

개념 핵심정리 (1) 정의역이 실수집합인 복소수함수의 적분 : 함 역 고 공역 ℂ

.

(2) 복소수함수의 적분 : 복 함 가 복 평 상 매 러운 곡

포함하는 없는 열린집합에 연 고 ,

.

(3) 적분 공식 : 가 복 평 상 매 러운 단 닫 곡 고 복 함 가 포함하

고 없는 열린집합 에 미 가능하 가 러싸

① 코시의 정리 :

② 코시의 적분 공식 :


1 다 함 러 하여라. (단, 심 한다.)

⑴ ⑵ sin

⑶ cos ⑷

2 다 에 함 극 하여라.

⑴

, ⑵

cos ,

⑶

sin , ⑷

,

3 다 함 랑 하여라. (단, 심 한다.)

⑴ ⑵ cos

⑶

sin ⑷

⑸ ⑹ sin

⑺ cos

⑻

정답 166쪽

0505테일러�급수와�로랑�급수테일러�급수와�로랑�급수★★

개념 핵심정리(1) 복소수함수의 테일러 급수 :

∞

(2) 특이점과 극 : 복 함 에 하여 다 과 같 한다.

① 특이점 : 가 미 가능한 특이점 라고 다.

② 고립특이점 : 가 특 고 가 ∖에 미 가능하게 는

가 재할 고립특이점 라고 다.

③ 극 : 가 고립특 고 에 미 가능하지만

에 미 가능할 위수 인 극 라고 다.

특 가 극 단순극 라고 다.

(3) 로랑 급수 : 가 고립특 고

라고 하 . 에 가 운 든 에 하여 다 등식 립한다.

∞

∞

∞

∞

로랑 급수라고 다. 우변 첫 째 주부라고

째 해석부라고 다. [실 랑 할 에는 같 공식

사용하 보다는 한등비 질과 러 용하는 경우가 많다.]

복소수함수 123

1 에 다 함 하여라.

⑴ cos ⑵

sin ⑶

⑷ ⑸ sin

⑹

cot coth

2 다 함 든 극 에 하여라.

⑴

⑵

sin

3 가 원

값 하여라.

★4 다 값 하여라.

⑴

∞

⑵

∞

∞

⑶

cos sin

⑷

sin

⑸

cos

cos ⑹

sin

⑺

∞

cos ⑻

∞

∞

sin

⑼

∞

sin ⑽

∞

sin

★5 한

∞

sin 값 하여라.

정답 166쪽

0606유수를�이용한�적분법유수를�이용한�적분법★★

개념 핵심정리 (1) 유수 : 가 복 함 특 에 랑 계 에

유수라고 고 res 타낸다. 특 가 에 극 가질

에 는 다 과 같다.

res lim →

.

(2) 유수 정리 : 복 함 가 없는 연결 열린집합 , , ⋯ , 한

에 미 가능하고 가 에 포함 고 , , ⋯ , 감싸는 단 닫 곡

res .


02 수열의 극한과 함수의 극한

등차수열의 합 첫째항 고 공차가 등차 열 첫째

항 항 지 합 라고 하

⋯,

⋯

므 등식 변변 하

다. 라 합 다 과 같다.

□

등비수열의 합 첫째항 고 공비가 등비 열 첫째

항 항 지 합 라고 하 ≠

⋯ ,

⋯

므 등식 변변 빼

다. 라 합 다 과 같다.

한편 합 다 과 같다.

⋯ □

의 합 에 , , ⋯,

차 하

⋅ ⋅,

⋅ ⋅,

⋅ ⋅,

⋮

⋅ ⋅

므 등식 변변 하

⋯ ⋯

⋅

다. 식 변 하 다 얻는다.

□

의 합 에 , , ⋯,

차 하여 합과 같 공식 도

한다. □

계차수열을 이용한 수열의 일반항 열 에 하여

라고 하 . 그러

,

,

,

⋮

. □

수열의 극한의 정의 열 에 한다는 것

에 하여 연 재하여

마다 립하는 것 다.

수열의 극한에 관한 성질 에 하고 에

할 다 립한다.

⑴ lim→∞

⑵ lim→∞

⑶ lim→∞

⑷ lim→∞

(단, ≠)

⑸ 든 연 에 하여 ≤ ≤ .

증명 ⑴

∃

→

,

∃

→

므 max 라고 하

≤

.

⑶ 라고 하 . 계 므 ∀

재한다. 한

∃

→

,

∃

→

.

라 max 라고 하

≤

≤

주요�공식 ∙정리�증명

주요 공식 ∙정리 증명 125

⑵ 라고 하 → 므

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞lim→∞

⑷ 라고 하 .

∃

→ min

므

⋅

다. lim→∞

므

lim→∞

lim

→∞

⋅

.

⑸ 라 는 다.

∃ →

∃ →

므 max 에 하여

다. 것 ≤ 라는 사실에 다. □

수열의 극한의 조임정리 에 하고 든

연 에 하여 ≤ ≤ 에 한

다. 것 열 극한에 한 질 ⑸에 하여 하다.

등비수열의 극한 ⑴ 라고 하

≥

고 → ∞ 므 → ∞ 다.

⑵ 에는 당연 → 다.

⑶

므

→ ∞ 다.

라 → 므 → 다.

⑷ 당연 → 다.

⑸ , , , , ⋯ 진동한다.

⑹ 므 → ∞ 다.

라 산한다. □

무한급수의 수렴과 일반항

∞

하

lim →∞

lim →∞

lim→∞

lim →∞

∞

∞

. □

무한등비급수 첫째항 , 공비가 등비 열 에

하여

∞

lim→∞

다. 라 가 할 필 충 건 것

, 그 합

다. □

양항급수의 유계판정법 항 가 할 필 충 건

합 열 계 것 다.

증명 항 열 한 합 라고 하 .

그러 ≥ 므 단 가 열

다. 라 단 리에 하여 극한 할

필 충 건 계 것 다. □

양항급수의 비교 항 열 , 에 하여 ≤

고 열 한 가 하 한 도

한다.

증명 한 가 하 한

합 계 므 한 는 한다. □

양항급수의 비교 2 항 열 , 에 하여

하고

∞

하

∞

도 한다.

증명 에 한다고 하 . 특 한 항 후 는

립하므 립한다.

∞

∞

하므

∞

도 한다. □

양항급수의 비 판장법 항 열 고

에 한다고 하 .

⑴ 만 재한다.

특 한 항 후 는 므 한

는 공비가 등비 보다 천천 커진다. 공비

가 한등비 는 하므 한 도

한다.

⑵ 만 에 하지 므

한 도 하지 는다. □


양항급수의 제곱근 판정법 항 열 고

에 한다고 하 .

⑴ 만 재한다.

특 한 항 후 는 므 다.

한 는 공비가 등비 보다 천천 커

진다. 공비가 한등비 는 하므

한 도 한다.

⑵ 만 에 하지 므

한 도 하지 는다. □

교대급수 판정법 에 하는 감 열 한

∞

한다.

증명 ,

라고 하 짝 항

가하고 항 감 하 → 므 짝 항

과 항 동 한 값에 한다. □

함수의 극한의 정의 가 역 집 ,

함 가 에 에 한다는 것

에 하여 가 재하여 마

다 립하는 것 다.

함수의 극한과 좌우극한의 관계 고 실 에 하

여 필 충 건

것 다. 라 에 극한

할 필 충 건 에 극한과 우극한

동 한 값에 하는 것 다. □

수열의 극한과 함수의 극한의 관계 역 고

가 집 라고 하 . → → 필

충 건 ∈, ≠, → 든 열

에 하여 → 것 다.

증명 → 고 ⊆ ∖, → 라고 하 .

에 하여 함 극한 만 시키는

가 재한다. 그리고 ⇒ 만 시키는

연 재한다. ⇒ 립

하므 → 다.

역 가 에 에 하지 는다고 가 하 .

그러 당한 재하여 연 에

하여

∧ ≥

∈가 재한다. 에 하지만

에 하지 는다. □

함수의 극한에 관한 성질

lim →

, lim →

다 립한다.

⑴ lim →

⑵ lim →

⑶ lim →

⑷ lim →

(단, ≠)

⑸ 에 가 운 든 에 하여 ≤ ≤ .

증명 에 하고 든 항 , 공통 역

에 하 ≠ 열 라고 하 . 그러 열 극한

질에 하여

lim →

± lim→∞

±

lim→∞

± lim→∞

lim →

± lim →

±

lim →

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim →

lim →

lim →

lim

→∞

lim

→∞

lim→∞

lim →

lim →

lim →

lim→∞

≤ lim →∞

lim →

가 립한다. □

함수의 극한의 조임정리 가 , , 공통 역 집

고 → 가 동 한 값 에 하

에 가 운 든 에 하여 ≤ ≤

→ 는 에 한다. 사실 함 극한

에 한 질 ⑸에 하여 하다. □

연속함수의 유계 성질 함 가 닫 간 에 연

라고 하 . 만 가 에 계가 니라

든 항 에 하는 열 재하여

→ ∞ 만 시킨다. 계 한 열 므

하는 열 가진다. 열 에

한다고 하 연 함 질에 하여 →

다. 것 → ∞ 라는 사실에 다. 가

에 래 계가 니라고 가 해도 다. □

연속함수의 최대 최소 정리 함 가 닫 간 에

연 라고 하 . 그러 는 에 계 므

재하여 든 ∈ 에 하여 ≤

다. 만 가 에 값 갖지 는다


다. 그러한 에 가 것 택하 .

에 연 므

에 계 다. 그러 는 에 얼마든지 가 워질

므 는 에 가 워질 다. 는

한 커질 다. 것 므 는 에

값 가진다. 값에 한 도 같

다. □

연속함수의 중간값 정리 가 닫 간 에 연

고 라고 하 . 에 하는 에

만 시키는 것들만 라고 하 . 그러

는 계 므 쪽 값(상한) 가진다. 그 값

라고 하 만 시킨다. □

03 여러 가지 함수

사인법칙 ∆ABC 원 심 O , 원 지

라고 하 ∆ABC는 ∠A 크 에 라 다

과 같 가지 경우 누어진다.

(ⅰ) ° (ⅱ) ° (ⅲ) °

(ⅰ) sin sin ′ BA′

BC

(ⅱ) sin

(ⅲ) sin sin ′ sin ′ BA′

BC

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 ∠A 크 에 계없

sin

, sin

가 립한다. 같

sin

, sin

도 립함 다. 라 다 얻는다.

sin

sin

sin

□

코사인법칙 ∆ABC에 사

에 하여

cos cos

cos cos

cos cos

가 립한다. 한 식 연립하 사

cos

가 다. □

삼각형의 넓이 쪽 그림 삼각 에

변 는 고 는 sin

므 삼각 는

sin

가 다. 것 가 직각 거 각 에도

동 하게 립한다. □

삼각함수의 덧셈정리 쪽 그림에

Pcos sin , Qcos sin

고 ∠POQ 다.

삼각 POQ에 사 에 하여

PQ OP OQ ⋅OP⋅OQ⋅cos

다. 여 OPOQ 므 식

cos cos sin sin

⋅⋅⋅cos

고, 식 리하 다 얻는다.

cos cos cos sin sin

여 에 신

cos cos cos sin sin

고, 다시 식에 신

sin sin cos cos sin

얻는다. □

삼각함수의 합성 ≠, ≠

sin

, cos

가 는 각 는 에 단 하 가 재한다.

각 에 하여

sin cos

sin

cos cos sin sin cos

sin . □

sin 의 극한 쪽 그림에

∆OAB ( 채 OAB) ∆OAT

므

sin

tan

고, 식 변 하

sin cos

다. 여 에 → 극한 취하

lim→

sin . □


로그의 성질 , ≠ , , 므

그 에 하여 다 과 같 질 얻는다.

log , log

, , log , log

그 에 하여 , 므

,

,

(는 실 )

다. 라 그 에 하여 다 얻는다.

log log log ,

log

log log ,

log log . □

로그의 밑 변환 공식 , ≠, , ≠,

log , log , 므

다. 그 에 하여 log 므

log log log

다. 라 변 log 타내 다 립한다.

log log

log □

지수함수와 로그함수의 극한 , ≠ 다 극한

주 사용 다.

⑴ lim →

ln ⑵ lim

→

log ln

⑶ lim →

⑷ lim

→

ln

증명 ⑴ lim →

lnlim

→

ln

lim →

ln

lnlim →

ln .

⑵ 변 공식 용하여

log ln

ln

꾼다.

⑶ 므 ln .

한 → → 므

lim→

lim

→ln

lim

→

ln

lnlim→

ln

.

⑷ 고 ⑶과 같 사용한다. □

04 함수의 미분법

미분 가능성과 연속성 함 가 에 미 가능하

다고 하 . 그러

lim →

lim →

′ lim →

′ ⋅

므 는 에 연 다. □

다항함수의 미분

′ lim →

lim →

⋯

lim →

⋯ . □

미분법 기본 공식 함 , 가 미 가능하 ,

도 미 가능하 ≠ 에 도 미 가능하다.

한 다 립한다.

⑴

′ ′

⑵

′ ′

⑶

′ ′ (단, ≠)

증명 극한 질에 해 다 얻는다.

lim→

lim→

lim

→

′ ′ .

lim

→

lim→

′ ′ .

lim

→

lim→

′ ′

. □


합성함수의 미분법 , 가 미 가능하다고

하 . 변 니

lim

→

lim →

⋅

′ ′

⋅

.

한편 변 하게

⋅

가 립한다. □

역함수의 미분법 함 가 에 연 고 미 가능하

함 라고 하 . 그리고 역함 라고 하 .

그러 ∈ 에 하여 가 에 미 가능

하고 다 등식 립한다.

′ ′

증명 는 에 가 는 감 함 가 다.

가 가함 라고 하 . 에 하고 ≠

열 에 하여 라고 하 →

고 다 등식 립한다.

′ lim→∞

lim→∞

′

. □

지수함수의 도함수 ⑴

′ lim →

lim →

.

⑵

′ lim →

lim →

ln . □

로그함수의 도함수 ⑴ ln

′ lim →

ln ln

lim →

ln

.

⑵ log ln

ln 므

′

⋅ln

ln

. □

의 미분법 라고 하 .

⑴ 경우 연 므

′

.

⑵ 경우, 라고 하 . 여 , 는

다. 므

다. 변 에 하여 미 하

′

고 식 리하

′

.

⑶ 리 경우

ln

므 변 에 하여 미 하

′ ln ⋅

⋅ . □

기본삼각함수의 미분법 항등식

cos cos sin

용하

sin ′ lim →

sin sin

lim →

sin coscossin sin

lim →

sin cos lim

→

cossin

sin lim →

sin

cos lim →

sin

lim →

sin

lim →

sin

cos

× cos cos.

cos′ sin

′ cos

sin

tan ′ cos

sin ′ cos

sin ′cos sin cos′

cos

sec

cosec′ sin

′ sin

cossin

sin

cos

coseccot.

sec′ cos

cos

sin cos

cos

sin sectan .

cot′ sin

cos ′ sin

cosec. □


역삼각함수의 미분법 ⑴ sin라고 하 sin 고

식 변 미 하 ′ cos 다. 라

′ cos

sin

.

⑵ cos라고 하 cos 고 식 변 미

하 ′ sin 다. 라

′ sin

cos

.

⑶ tan라고 하 tan 고 식 변 미

하 ′ sec 다. 라

′ sec

tan

. □

롤의 정리 함 가 에 미 가능하고 에

연 ′ ∈ 가 재

한다.

증명 가 에 상 가 니라고 하 . 는 에

값 과 값 가진다. 만 라

택하고, 라

택한다. 그러 는 에 극값 가지므 ′

다. □

평균값 정리 함 가 에 미 가능하고 에

연 다 등식 만 시키는 ∈ 가 재한다.

′

증명 함

라고 하고 에 에 리 용한다. □

함수의 증가와 감소 함 가 에 미 가능하다고

하 . 든 에 하여

(1) ′ ≥ 는 에 단 가한다.

(2) ′ 는 에 가한다.

(3) ′ ≤ 는 에 단 감 한다.

(4) ′ 는 에 감 한다.

증명 라고 하

′

∈ 가 재한다.

미 계 ′ 에 라 도

달라지므 리 결과 얻는다. □

도함수가 0인 함수 든 ∈ 에 ′

는 에 상 함 다. 냐하 ′ ≥

동시에 ′ ≤ 다. □

05 함수의 적분법

정적분의 기본정리 가 에 연 고 함 값

가 역도함 라고 하 .

그림에 같 , 그래

프, 러싸 라고 하 .

라고 하 . 한 에 값 ,

값 라고 하 . 그러

≤ ≤

므

≤

≤

얻는다. 각 변에 → 극한 취하 가 연

함 라는 질에 하여 → , → 므

≤ ′ ≤

얻는다. ′ 다. 그런 ′ 므

′ ′ , 는 상 함 다.

라 쓸 다.

다. 하 다.

다. 다시 여 에 하

얻는다. □

정적분의 기본 성질 역도함 용하여 계산할

므 , 뺄 , 상 에 한 질 도

함 질과 동 하다. 다 립한다.

①

②

③

±

±

. □


치환적분법

′ ′ ′

므 변 에 하여 하

′ ′ . □

부분적분법

′ ′ ′

므 변 에 하여 하

′ ′

다. 것 리하

′ ′

다. ( 상 는 우변 에 포함 어 다.) □

입체도형의 부피 가 지 에 직 평

주어진 도 랐 단 는 함

다. 라고 하 .

닫 간 등 한 차

, , , ⋯, ,

라 하고, 각 간 라고 하 . 그러

가 고 가 개 체도 피

합

므 주어진 체도 피 는 에 하

여 다 과 같다.

lim→∞

lim→∞

□

회전체의 부피 닫 간 에 곡

하여 시킬 생 는 체 피

하여 보 .

그림과 같 가 지 에 직 평

체 , 단 지 가 원

므 그 는

다. 라 하는 체 피 는 다 과 같다.

□

곡선의 길이 매개변 , ≤ ≤

타 곡 하여 보 .

곡 시각 에 가 는

고 는 P 가 평 에 시

각 시각 지 움직 거리 같다.

그림과 같 매개변 가 지 변할 ,

P 는 Q 지 움직 다고 하 .

그러 가 충

PQ 거 같다.

피타고라 리에 하여 다 과 같 쓸 다.

≒PQ

그러므 다 얻는다.

lim

→

lim

→

라 곡 , ≤ ≤

다 과 같다.

한편 함 ≤ ≤ 매개변 용하여

다 과 같 타낼 다.

, ≤ ≤


그러므 곡 ≤ ≤ 다 과

같다.

′

′ . □

회전체의 겉넓이 닫 간 에 곡

하여 시킬 생 는 체 겉

해보 .

그림과 같 매개변 가 지 변할

≒PQ

≒ ′ ′

므 PQ 하여 시킬 생 는

근삿값

′

다. 라 하는 는 다 과 같다.

′ □

06 행렬과 일차변환

회전변환의 행렬 평 P 원

심 각 만큼 한 P′ ′ ′ 라고 하 .

Q , R 원 심 각 만큼

한 각각 Q′ , R′ 라고 하

Q′ cos sin

R ′ cos

sin

R ′ sin cos 다.

직사각 OQ′P′R′에 각 OP′ , Q′R′

하므

′

cos sin ,

′

sin cos

다. 라 다 립한다.

′ cos sin ′ sin cos

것 행 용하여 타내 다 과 같다.

′′

cos sin sin cos

□

도형의 변환 식 타내는 도 평 에

변 → ′ ′ 에 하여 도

식 해보 . ′ ′ 므

′ ′

다. 것 에 하 다 얻는다.

□

07 평면도형과 공간도형

포물선의 방정식 닌 실

에 하여 평

F 하고,

직 하는

포 식 하여 보

.

포 P 에

에 내린 H라고 하 H

다. PF , PH 고 포

에 하여 PFPH 므

다. 식 변 곱하여 리하 다 과 같다.

… ①

역 P 가 식 ① 만 시키 PFPH

므 P는 F , 포

다. 라 ① 하는 포 식 다.

포 짓 원 고, 식 다. □

타원의 방정식 평 F , F′

하고, F , F′에 거리 합

타원 식 하여 보 .

타원 P 라고 하

PF , PF′


타원 에 하여 PFPF′ 므

다. 식 변 곱하여 리하

다. 다시 변 곱하여 리하

다. 여 므

다. 식 변 누 다 과 같다.

… ②

역 P 가 ② 만 시키 PFPF′ 므

P는 F , F′ 에 거리 합

타원 다. 라 ②는 하는 타원

식 다. □

쌍곡선의 방정식 평 F , F′

하고, F , F′에 거리 차가

곡 식 하여 보 .

곡 P 라고 하

PF , PF′

고, 곡 에 하여

PFPF′

므

±

±

다.

식 변 곱하여 리하

±

다. 다시 변 곱하여 리하

다. 여 므

다. 식 변 누 다 과 같다.

… ③

역 P 가 ③ 만 시키 PFPF′

므 P는 F , F′ 에 거리

차가 곡 다. 라 ③ 하는 곡

식 다. □

이차곡선의 접선의 방정식 차곡

… ④

에 식 해보 . ④

변 에 하여 미 하 함 미 에 하여

′ ′

고, 식 리하

′

므 식

다. 식 변 하 다 과 같다.

… ⑤

한편 곡 므 ④에 하

… ⑥

므 ⑥ ⑤에 하여 리하

다. 컨 차곡 에

식 차곡 식에 다 과 같 꾸 다.

차항 :

→

→ 차항 :

→

→


벡터의 내적 래 그림과 같 가 닌 평

, 가 루는 각 크 라 하 .

OA , OB A, B ∆OAB에

사 에 하여

AB OA OB OA×OB cos

므 다 립한다.

AB OA

OBOA OB cos

⋅

등식 타내

⋅

므 것 리하

⋅

다. 식 는 에도 립한다.

같 공간 , 에

하여

⋅

립함 다. □

직선의 방정식 공간에 A 지 고,

가 닌 에 평행한 직

식 하여 보 .

그림과 같 직 P 라고

하 AP⫽ 므 AP 실 가 재한다.

A, P 각각 , 라고 하 AP

므 다 립한다.

, (는 실 ) … ⑦

역 ⑦ 만 시키는 하는 P는

직 에 다. 라 ⑦ A 지 고 에

평행한 직 타낸다.

직 식 ⑦ 타내어 보 .

, ,

므 ⑦에

, , (는 실 ) … ⑧

≠ , ⑧에 거하 다 얻는다.

□

평면의 방정식 공간에 한 A 지

고, 에 직 평 식 하

여 보 .

그림과 같 평 P 라고

하 AP⊥ 므 AP⋅ 다. A, P

각각 , 라고 하 AP 므

⋅ … ⑨

립한다. 역 ⑨ 만 시키는

하는 P는 평 에 다. 라 ⑨는 A 지

고 에 직 평 타낸다.

평 식 ⑨ 용하여 타내

어 보 . , ,

므 고, 것 ⑨에

하

⋅

므 다 얻는다.

□

점과 평면 사이의 거리 평 에 지

한 A 과 평 사 거리 하여

보 .

A에 평 에 내린 H 라

고 하 A 평 사 거리는 AH 크

같다.


AH는 평 평행하므

AH 만 시키는 실 가 재한다.

므

, , … ⑩

다. 그런 H는 평 므

다. 여 에 ⑩ 하

므

다. 라 다 얻는다.

AH

□

08 다변수함수의 미적분

전미분의 연쇄법칙 함 g가 a에 미 가능하고

함 f가 ga에 미 가능하 , f∘g는 a에 미 가

능하 다 등식 립한다.

f∘ga fgaga

여 우변 곱 행 곱 다.

증명 a∈ℝ, b≔ga∈ℝ, fb∈ℝ라고 하 .

T fgaga라고 하 T는 × 행 과 ×

행 곱 므 × 행 다. 그런 f∘g 미

도 × 행 므 T 크 는 우리가 하는 것과

한다.

limh →hfgah fga Th

립함 보여 한다. 크 가 h k에 하여

h gah ga gah , … ①

k fbk fb fbk … ②

라고 하 .

리 가 에 하여

h → hh → ,

k → kk →

다. h 고 시키고 k gah ga라고 하 . ①, ②

에 하여

fgah fga fbk fb fbk k

fbgah h k

Th fbh k

므

fgah fga Th fbh k

Th Th

얻는다. 각 에 하여 h →

Thh →

해 한다.

h → hh → 고 fbh는 행 곱 므

h → Thh → fb

립한다. 한편 삼각 등식 용하 ①

k gah ga gah h

≤ ga⋅h h

얻는다. h 크 가 므 kh는 계 다. k

Th 므 k ≠ 라고 가 하 .

k → h → 므 , h →

h

Th h

k⋅k

k→

다. 라 f∘g는 a에 미 가능하 , 미 계 는

fgaga가 다. □

편미분의 연쇄법칙 미 연쇄 용하 행 f

g 든 계산하지 고 도 특 편미 계

할 다. 들어 ⋯ 미 가능한 실

함 고 g ⋯ 미 가능한 차원 함

g ⋯ 라고 하 . ∇ 고 g

째 행 에 한 ≔ ⋯ 계편미

계 루어 므 , 연쇄 과 행 곱 에

하여 ⋯ 에 하여 다 얻는다.

⋯

□

접평면의 정의 가 ℝ 집합 고 c∈라고 하 .

n 가진 평 가 c에 에 한다는 것

가 c 갖고, c에 하는 열 c∈∖c

에 하여 다 만 시키는 것 다.

lim→∞

n⋅c c

c c


곡면의 접평면 가 ℝ 열린집합 고 a∈ 함

→ ℝ가 a에 미 가능하다고 하 . 그러 곡

x ∈ℝ x x∈

는 a a에 평 가지 , 평 는

n ∇a

a

a ⋯ a … ③

다. 평 식 다 과 같다.

a ∇a⋅xa … ④

증명 c∈ 고 c ≠a a c → a a라고

하 . c a a라고 하 a → a 다. 크 가 충

h에 하여 h ah a ∇a⋅h라

고 하고, n ③과 같 하 . 그러

c c a a a a ≥ a a

므 ③에 하여

≤ n⋅c c

c c ≤a a

a a

얻는다. h → hh → 므 c≔ a a

에 하여 ③ 립한다.

한 ④가 주어진 평 식 다는 것 평

식 질에 하여 하다. □

곡면 의 접평면 경우 함 가

에 미 가능하 곡 에

곡 평 식

. □

직사각형 영역에서의 중적분과 반복적분

함 가 × 에 편 가능할

xx

계산하 다 과 같다.

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

.

같

xx

도 립한다. □

푸비니의 정리 단 닫 곡 러싸 역 가

≤ ≤ ≤ ≤

타 고 과 는 연 함 는 에 연 함

라고 하 . ⊆ × , 택하고

직사각 역 라고 하 . 그러

xx

x xx

… ⑤

다. 그런 고 에 하여

므 것 ⑤에 하 다 등식 얻는다.

xx

□

중적분의 변수변환 가 ℝ 열린집합 고 →

ℝ가 든 에 연 편도함 가지 에

비 행 식 값 니고 가 닫 집합

⊆ 고 가 에 연 함 라고 하 .

, 에 하여

×

라고 하 . 그러 는 다.

다 에 한 상 해보 . 가

연 편도함 가지므 , 값 주

평행사변 에 가 워진다. 라

평행사변 라고 가 하고 하 . 에 하여

, ,

,

겨진다.


평행사변 짓 에 한 변

용하여 하

≒ det

다. 가 미 가능하므

lim →

det

x

다. 라 가 x 포함하는 집합

비는 x 다.

u x라고 하 x가 하는 변 함에 라

u가 하는 도 변 하는 그 변 비 x

다. 라 합 함 u x 할 에는

변 량만큼 곱해주어 한다. 라 다 등식 얻

는다.

uu

x xx

것 ≥ 에도 동 하게 립한다. □

09 복소수함수

오일러 항등식 러 하

⋯

다. 여 에 하

⋯

고 것 실 허 누

(실 )

⋯ cos ,

(허 )

⋯ sin

므 다 등식 얻는다.

cos sin

참고 등식 리가 니 다. □

밑이 인 함수 러 항등식에 하여

cos sin

다. □

삼각함수 지 함 에 하여

cos sin ,

cos sin

므 식 연립하여 sin cos 하

sin

, cos

얻는다. □

로그함수 , 가 실 고

ln ln ln ln ln

ln arg . □

지수함수 복 , 에 하여 ln . □

코시-리만 방정식 복 함 역 열린집

합 라고 하 . 실 , 에 하여 함 값

타하 . ∈에 하여

′ 가 재하 ∈ℝ

′ lim →

lim →

′ lim →

lim →

므 식 실 허 비 하 다 얻는다.

,

□

라플라스 방정식 시-리만 식 등식 변 한

편미 하

므 다 얻는다.

에 해 도 동 한 등식 얻 다. □

여 에 지 고등학 학 과 학

학 재 참고하 란다.


01 집합과 함수

01. 명제와 조건

1. ⑴ 많 키가 크다.

⑵ 키가 크 많 는다.

⑶ 많 지 키가 크지 다.

⑷ 많 고 키도 크다.

⑸ 많 거 키가 크다.

⑹ 많 지 고 키가 크다.

2. ⑴과 ⑹, ⑵ ⑸,

⑶과 ⑷.

3. 역 : 가 는 1보다 크다. (거짓)

: 가 보다 크지 는 가 니다. (참)

우 : 가 가 니 는 보다 크지 다. (참)

4. ⑴ 충 건 ⑵ 충 건

⑶ 필 건 ⑷ 계없

5. ⑴ 필 충 건 ⑵ 충 건

⑶ 필 건

02. 집합의 연산

1. ④

2. 개

3.

4. ⑴ , , , , , ,

, ,

⑵ , , , ,

, ⋯,

⑶

⑷ , , , ,

, ⋯,

⑸ , , , ,

, ⋯,

⑹ , , , ,

, , ,

5. ⑴

⑵

⑶ ⋯

⑷ ⋯

⑸

⑹

6.

03. 진리집합과 한정명제

1. ②

2. ②

3. ⑴ 상에 고 마 지 못하는 사람 없다.

⑵ 하 지 도 다.

⑶ 는 심시간에 도 지 고 피 도 지 겠다.

⑷ 짱 는 못하거 못한다.

4. ①

5. ∀∈ ∃∈

04. 실수와 복소수

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

3. ,

4. ,

5. , ,

6. 심 고 지 원 내

7. ≤

8. 실 , 가 주어 다고 하 . 그러 는

다. 므

연 가 재한다.

택하 는 사 에 는 원

가 다.

05. 방정식

1. ⑴ 는

⑵

는

⑶ 는

⑷ 는 ±

⑸ 는 는

±

⑹ ± 는 ±

문제�정답과�간략한�해설

문제 정답과 간략한 해설 139

2. ⑴ , ,

⑵ , ,

⑶ , 는 ,

⑷ ± , ∓

는 ± , ± (복 동 )

⑸ ± , ± (복 동 )

⑹ , 는 ,

3. ⑴

⑵

⑶ 는 는 는

⑷ 는 ±

4. ⑴

⑵ 는

⑶ 는

⑷ 는

5.

경우 해는 없다.

는 경우 1개 해 가진다.

≤

경우 다 2개 해 가진다.

06. 부등식

1. ⑴

⑵

⑶ ≤ 는 ≥

⑷

⑸

⑹ 해가 없다

⑺ 해가 없다

⑻ 는 든 실

2. ⑴ 는

⑵ ≤ ≤ 는 ≥

⑶

⑷ 는 ≤ ≤

3. ⑴ 는

는

⑵ ≤ 는 ≥

4. ⑴ ≤

⑵ ≤ 는 ≤

⑶ 는 ≤ ≤

⑷ 는

⑸

⑹ ≤ ≤ 는 ≤ ≤

07. 함수

1. ②

2. ⑴ { 는 실 }

⑵ ≥

⑶ ≥

3. ⑴

⑵ 어느 것도 님

⑶

⑷ 함

4. ⑴

⑵ ⋯ (단, ≤ )

⑶ ⋯ ⋅ (단, )

⑷

5. : ②, ④

항등함 : ④

상 함 : ③

08. 합성함수와 역함수

1. ∘ , 역 ≤

∘ , 역 ≥

2. ③

3. ⑴ ∘ ∘

⑵ ∘ ∘

4.

5.

,

6. ,

7.

8.

02 수열의 극한과 함수의 극한

01. 수열의 뜻

1. ⑴

⑵

2. ⑴ , , , ,

⑵ , , , ,

⑶ ,

,

,

,

⑷

,

,

,

,


3. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

4. ⑴ , , , , , , , , ,

⑵ , , , , , , , , ,

5. , , , , , , , , ,

6.

02. 등차수열과 등비수열

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2. ⑴ ⋅ ⑵ ⋅

⑶ ⑷ ⋅

⑸ ⋅

3. ⑴ 첫째항 : , 공차 :

⑵ 첫째항 : , 공차 :

⑶ 첫째항 :

, 공차 :

⑷ 첫째항 : , 공차 :

4. ⑴ , ⑵ ,

5. ⑴ , ⑵ ,

6. , ,

7. , ,

03. 수열의 합

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2. ⑴

⑵

⑶

3. ⑴

⑵

⑶

⑷

4. ⑴ ⑵

04. 여러 가지 수열의 합

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

3. ⑴

⑵

4. ⑴ , , , , ⋯ ⑵ , , , , , ⋯

5. ⑴ ⑵

05. 수열의 수렴과 발산

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ 한 산 ⑵ 한 산

⑶ 진동 ⑷ 에

3. ⑴ 에 ⑵ 한 산

⑶ 진동

4. ⑴ 진동 ⑵ 진동

⑶ 한 산

06. 수열의 극한에 관한 성질

1. ⑴ ⑵

⑶

2. ⑴ ⑵

⑶

3. ⑴

⑵

⑶ ∞ ⑷

⑸

⑹

4. ⑴ ⑵

⑶

5.

07. 등비수열의 극한

1. ⑴ 에 ⑵ 에

⑶ 진동 ⑷ 에

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

3. ⑴ 에 ,

에 ,

에 한다.

⑵ 에 ,

에 ,

산한다.


⑶ 에 ,

에 ,

산,

에 한다.

⑷ 에 ,

에 ,

에 한다.

4. ≤

5.

6.

7.

L

08. 무한급수

1. ⑴ 한 산

⑵

에

⑶ 한 산

⑷

에

2. ⑴ ⑵

⑶

3.

4. ⑴ 합 하

고 → ∞ 식 산한다.

⑵ 합 하


⑶ 합 하


⑷ lim→∞

항 에 하지 므

주어진 한 는 산한다.

⑸ 항 에 하지 므 주어진

한 는 산한다.

⑹ lim→∞

항 에 하지 므

주어진 한 는 산한다.

5.

6.

7.

09. 무한등비급수

1. ⑴

에 ⑵ 산

⑶

에 ⑷ 산

⑸ 산 ⑹

에

2. ⑴

⑵

3. ⑴

⑵

⑶

4.

5. ⑴

⑵

6. m

10. 양항급수

1. ⑴ ⑵

⑶

2. ⑴ 산 ⑵

⑶

3. ⑴ ⑵

⑶

4. ⑴ ⑵ 산

⑶

5. 주어진 한 합 열

라고 하 짝 째 항 감 하고 째

항 가한다. 그런 에 하므

짝 째 항과 째 항 동 한 값에 한다.


11. 한 점에서의 함수의 극한

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

3. ⑴ ∞ 산 ⑵ ∞ 산

4. ⑴ 에 ⑵ 에

⑶ 에 ⑷ 에

5. ⑴ , ⑵ ,

12. 무한대에서의 함수의 극한

1. ⑴ 에 ⑵ 에

⑶ ∞ 산 ⑷ ∞ 산

2. ⑴ ∞ 산 ⑵ ∞ 산

⑶ 에 ⑷ 에

3. ⑴ 산(진동) ⑵ 산(진동)

⑶ 에 ⑷ 에

13. 좌극한과 우극한

1. ⑴ 에

⑵ ( 극한) , (우극한) 므 산

2. ⑴ ( 극한) , (우극한) 므 산

⑵ ( 극한) , (우극한) 므 산

⑶ 에

⑷ ∞ 산

3. ⑴ 에 ⑵ 산

⑶ 에 ⑷ 에

⑸ 에

4. , 므 하는 값 .

14. 함수의 극한에 관한 성질

1. ⑴ ⑵

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹ ∞

⑺

⑻

3. ⑴ , ⑵ ,

4. ⑴ ⑵

5.

15. 함수의 연속

1. ⑴ (함 값) , (극한값) 므 연

⑵ ( 극한) , (우극한) 므 연

⑶ (함 값) , (극한값) 므 연

2. ⑴ ( 극한), (우극한) 브 연

⑵ ( 극한)(우극한)(함 값) 므 연

3. ,

16. 연속함수의 성질

1. ⑴ 든 실 에 하여 연

⑵ ≠ 든 에 하여 연

2. ⑴ 라고 하 는 든 실

에 하여 연 고

,

므 간값 리에 하여 가

에 재한다.

⑵ 라고 하 는 든 실

에 하여 연 고

,


에 재한다.

⑶ sin 라고 하 는 든 실

에 하여 연 고

,


에 재한다.

3. 살 몸 게 , 살 동욱 몸 게

, 라고 하 는 연 함

고 , 므 가

과 사 에 하 상 재한다. 사람 10살

17살 지 어도 한 상 몸 게가 같 다.

4. , , , ,

5. ⑶, ⑹

03 여러 가지 함수

01. 삼각함수의 뜻

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

⑼


2. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

⑼

3. ⑴ 1 사 는 3 사

⑵ 2 사 는 2 사

4. ⑴ sin cos

.

⑵ sec cos

cos

cos sin

cos

sin

tan .

⑶ sin °

cos .

02. 일반각과 호도법

1. ⑴ 2 사 ⑵ 4 사

⑶ 3 사 ⑷ 2 사

⑸ 4 사

2. ⑴

⑵

⑶

⑷

3. ⑴

°⑵

°

⑶ ⑷

4. ⑴

(∈ℤ) ⑵

(∈ℤ)

⑶ (∈ℤ) ⑷

(∈ℤ)

5.

6.

는

7. ⑴

⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

03. 삼각함수의 그래프

1. ⑴ (주 ), ( 값), ( 값)

⑵ (주 )

, ( 값), ( 값)

⑶ (주 ), ( 값), ( 값)

⑷ (주 ), ( 값)

, ( 값)

⑸ (주 ), ( 값), ( 값)

⑹ (주 ), ( 값), ( 값)

⑺ (주 ), ( 값), ( 값)

⑻ (주 )

, ( 값), ( 값)

2. ⑴ (주 )

⑵ (주 )

⑶ (주 ) ⑷ (주 )

3. cos

,

04. 삼각함수의 성질

1. sin cos

,

tan cos

sin

.

2. ⑴ cosec sin

⑵ sec cos

⑶ cot sin

cos

3. ⑴

⑵

4. ⑴ sin

sin

sin

sin

cos

⑵ cos

cos

cos

cos

sin .

5. ⑴ cos

⑵

⑶ ⑷ sin

05. 사인법칙과 코사인법칙

1. ⑴ ⑵ °,

⑶ ⑷ °

⑸ °

2. ⑴ sin sin sin

sin sin sin .

⑵ sin sin sin .

3. ⑴ 등변삼각

⑵ ° 직각삼각

⑶ 등변삼각 는 ° 직각삼각

⑷ 등변삼각


4. ⑴ ⑵

⑶ sin

, ∆ABC

⑷ cm

5. ⑴

sin

⋅

.

⑵

sin

⋅sin ⋅sin ⋅sin

sin sin sin .

⑶

sin

⋅sin

sin ⋅sin

sin ⋅sin

sin

sin sin sin

sin sin

sin sin sin

.

06. 삼각함수의 덧셈정리

1. ⑴

⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ sin °

⑵ cos°

3. ⑴ sin

⑵ sin

4.

5.

6. ( 값) , ( 값)

7. ⑴ cos cos cos sin sin cos sin

cos cos cos

sin sin .

⑵ sin sin cos cos sin sin cos

⑶ cos cos⋅

sin

.

8. sin , sin , sin , cos , cos cos

07. 삼각함수의 극한

1. ⑴ ⑵ ⑶

2. ⑴ ⑵

3. ⑴

⑵

⑶

⑷

4. ⑴ ⑵

⑶

⑷

5. ⑴ , ⑵ ,

6. ⑴ cos ⑵ sin

7.

08. 삼각함수의 활용

1.

km

2. m

3. km

4.

5. ⑴

⑵ ±

⑶

⑷

09. 지수의 확장

1. ⑴ ⑵ ±

⑶ ± ⑷

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺ ⑻

3. ⑴ ⑵

⑶

⑷

⑸ ⑹

⑺ ⑻

4. ⑴

⑵ ⑶

5. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

10. 지수함수의 그래프

2. ⑴

⑵

⑶


3. 값 , 값

.

4. ⑴

⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

5. ⑴

⑵ ≤

⑶ ⑷ ≥

⑸ ⑹ ≤

11. 지수함수의 극한

1. ⑴ ⑵

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

3. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

4. ⑴ , 누 등식에 하여

가 립한다. 여 에 하

얻는다. 변 해하

고 변

누

얻는다.

⑵ 항 리 등비 열 합 공식에 하여

C

⋅

⋅

≤

⋯

≤

⋯

≤

.

⑶ 커지지만 지 못하므 한 값

에 한다.

12. 로그의 뜻

1. ⑴ log ⑵ log

⑶ log

⑷ log

2. ⑴

⑵

3. ⑴ log 라고 하 그 에 하여

다. , ≠ 므 다.

⑵ log

log

log.

⑶ loglog log⋅log

log .

⑷ logloglog log⋅log

log⋅log

log .

4. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

5. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

6. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

13. 상용로그와 자연로그

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ 지 , 가

⑵ 지 , 가

⑶ 지 , 가

⑷ 지 , 가

3. ⑴ 리 ⑵ 리

⑶ 래 리 ⑷ 래 리

4. ⑴ ⑵

⑶ ln ⑷

5.

14. 로그함수의 그래프

2. ⑴ log log

⑵ log log

⑶

log

log


3. ⑴ 값 , 값 .

⑵ 값 , 값 .

4. ⑴

⑵

⑶ ⑷

⑸ 는

⑹ 는

5. ⑴

⑵

≤

⑶ ⑷ ≤

15. 로그함수의 극한

1. ⑴ ⑵ ln

⑶ ⑷ ln

2.

3. ⑴ log ⑵

4.

5.

6.

7. ⑴ , ⑵ ,

16. 역삼각함수와 쌍곡선함수

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

2. ⑴ sin , cos 라 하 ,

sin , cos 므 sin cos 다.

sin cos

므 , cos

cos 다.

라

다.

⑵ cos라 하 , cos 다.

, 므 다.

, sin 므

cos sin sin

라

tan

tancos

sin tantan cos.

⑶ 한 등식

tan

cos

변 하

tan cos

다.

cos tan

고 변 곱하

cos tan

다. sin cos 용하

sin tan

므 곱근 취하

sintan

.

3. 곡 함 지 용하 주 게

다.

4. sinh라고 하 sinh 고 곡 함

에 하여

다. 것 변 하

다. 에 한 차 식 생각하고 해 하

므 그 에 하여

ln .같 ⑵도 다.

한편 tanh라고 하 tanh 므 곡 함

에 하여

고 것 에 한 식 보고 해 하

다. 라

ln

.


04 함수의 미분법

01. 미분계수

1. ⑴ ⑵

2. ⑴ ′ , ′

⑵ ′ , ′ , ′

⑶ ′ , ′

3. ⑴ ′ ⑵ ′

⑶ ′ ⑷ ′

4. ⑴ 연 , 미 가능

⑵ 연 , 미 가능

⑶ 연 , 미 가능

⑷ 연 , 미 가능, ′

02. 도함수

1. ⑴ ′

⑵ ′

⑶ ′

⑷ ′

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

3. ⑴ ⑵

4. ,

5.

6.

03. 여러 가지 미분법

1. ⑴ 라고 하 는 연 다.

므 변 에 하여 미 하

′

⋅ .

⑵ 닌 , 에 하여

라고 하

므

다. 함 미 용하여 미 하

′

다.

′

.

2. ⑴ ′

⑵ ′

⑶ ′

⑷ ′

⑸ ′

⑹ ′

3. ⑴ ⑵

⑶

⑷

4. ⑴

⑵

⑶

⑷

5.

04. 지수함수와 로그함수의 미분법

1. ⑴ ′ ln

log

⑵ ′

⑶ ′ ln

⑷ ′

⑸ ′ ln ⋅ln

⑹ ′

⑺ ′ ln

⑻ ′

⑼ ′

ln

2. ⑴ ′ ln

⑵ ′

⑶ ′ ln ln

⑷ ′

3.

4. ′

ln ln

5.

6.


05. 삼각함수의 미분법

1. ⑴ ′cos

⑵ ′

sin

⑶ ′ sin

cos

⑷ ′ sin

⑸ ′ sin cos

⑹ ′

sin

⑺ ′ cos

sin

⑻ ′ tan

sec

⑼ ′ sin

sin

2. ⑴ ′ cossecsin

⑵ ′ sectan

⑶ ′ cotcosec

⑷ ′ coseccosec cot

⑸ ′ lnsin cot

⑹ ′ seccosectan cottan

3.

sin

cos

4. ⑴

tan

⑵

cot

5. ′

06. 고계도함수

1. ⑴ ″ sin cos

⑵ ″ sectan

⑶ ″

⑷ ″

⑸ ″ cos sin sin

⑹ ″ cos

2. ⑴

⑵ cos

sin

3. ⑴ ⋯

⑵ , ,

⑶ , ,

⑷

⑸ ,

,

,

⑹ ln

4.

,

5. ⑴ ⑵

6. 다 등식에 하여 립한다.

⑴ .

⑵

C .

⑶ .

07. 평균값 정리

1. 가 에 상 가 니라고 하 . 는 에

값 과 값 가진다. 만 라

택하고, 라

택한다. 그러 는 에 극값 가지므

′ 다.

2. 라고 하

′

∈ 가 재한다.

미 계 ′ 에 라

도 달라지므 원하는 결과 얻는다.

3. ⑴ 라고 하 . 평균값 리에 하여

′


다. 라 가 립한다.

⑵ sin 라고 하 . ≠ 평균값 리에

하여

′

만 시키는 가 과 사 에 재한다.

sin sin cos≤

다. 라 sin ≤ 가 립한다. 에

는 sin 므 sin ≤ 가 립한다.


⑶ sin 라고 하 . 에는 당연

sin sin

가 립한다. 에는 평균값 리에 하여

sin sin cos


sin sin cos≤

므 sin sin ≤ 가 립한다.

4. ⑴ 감 상태 ⑵ 가상태

5. ⑴ ∞에 가하고 ∞ 에 감 한다.

⑵ ∞에 가하고 에 감 한다.

⑶ ∞ 과 ∞에 가하고

에 감 한다.

⑷ ∞ 에 가하고 ∞에 감 한다.

6. ≤

08. 함수의 그래프

2. ⑴ ,

⑵ , , , 극 값

3. ≥

5. ⑴ 값 , 값

⑵ 값

, 값

09. 로피탈의 법칙과 테일러의 정리

1. ⑴

⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

⑺ ⑻ ∞ ⑼

2. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

3. ⑴ ≔ , 라고 하 . ∈ 과

∈ 에 하여 ≤ 므

≤

다. 라 고 ∈ ∈ 가

재하여

≤

만 시킨다. 하는 다항식

다.

⑵ ⑴에 한 다항식 에 하

≒ ⋯ ≒

얻는다.

⑶ tan라고 하고 ≤

만 시키는 다항식 하 .

⋯

므 ≤

≤

다. 라 충 하다.

⋯

계산하 값 래 째 리 지

하게 할 다.

10. 역도함수

1. ⑴

⑵

⑶ sin

⑷

cos

⑸

⑹

ln

2. ⑴ ln sin ⑵ ln cos

⑶ ln ⑷ lnln

3. ⑴ ⑵ sin

⑶ sincos ⑷

4.


05 함수의 적분법

01. 구분구적법과 정적분

1. ⑴ lim →∞

⑵ lim→∞

⑶ lim→∞

⑷ lim→∞

⑸ lim→∞

⑹ lim→∞

sin

⑺ lim→∞

ln

⑻ lim→∞

⑼ lim→∞

⑽ lim→∞

2. ⑴

⑵

⑶ ⑷

3. 에 하여

다. 그런

lim→∞

므

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

.

02. 정적분의 성질

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸ ⑹ ln

2. ⑴

⑵ ln

⑶ ⑷

⑸ ln ⑹

3. ⑴ 는 연 함 므 가능하고 역도함 가 재

한다. 역도함 하 라고 하

⑵ 역도함 하 라고 하

′ ′

⑶ 역도함 하 라고 하

lim →

lim →

′

⑷ 역도함 하 라고 하

lim →

lim →

′

⑸ 역도함 하 라고 하

′ ′ ′ ′

′ ′

03. 부정적분

1. ⑴

⑵

⑶ sin

⑷

cos

⑸

⑹

ln

2. ⑴

⑵

⑶


⑷

⑸

⑹

3. ,

는 ,

4.

04. 여러 가지 함수의 부정적분

1. ⑴

⑵

⑶

⑷ ln

2. ⑴

sin ⑵ cos

⑶

sin ⑷

cos

3. ⑴

⑵ ln

⑶ ⑷ ln

ln

4. ln

, ln

05. 여러 가지 적분법

1. ⑴

⑵

⑶

ln

⑷ ln

⑸

ln

⑹ ln ln

2. ⑴ ln ⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

⑺ ⑻

⑼ ⑽

3.

06. 이상적분

1. ⑴ ∞ ⑵ ⑶ ∞

⑷ ⑸

⑹

⑺ ⑻ ∞ ⑼

2. ⑴ ∞ ⑵ ∞ ⑶

⑷ cos

⑸ 산 ⑹ 산

3. 다 그림 보 .

그림 통해 다 등식 얻는다.

≤

,

≤

.

각 등식에 → ∞ 극한 취하 원하는 결 얻

는다.

4. 함 ≥ ,

,

라고 하 . 그러 ≥

≤ ≤

가 립한다. 한 , 는 ∞에 가하 극한

lim →∞

는 한다. 그 극한값 라고 하 . 라 → ∞

값 커지지만 보다 커질 는 없

므 한 값에 가 워진다.

lim →∞

∞

가 한다.


07. 테일러 급수

1. ⑴

⋯

⑵

⋯

⑶

⋯

⑷

⋯

⑸

⋯

⑹

⋯

2. ⑴

⋯

⑵

⋯

⑶ ⋯

⑷

⋯

⑸

⋯

⑹

⋯

3. ⑴ ⑵

⑶

⑷

⑸ ⑹ ∞ ∞

4. ⑴ tan 맥클라린 는

tan

⋯

고 는 에 한다. 라 등

식 에 립한다. 하

⋯

얻는다.

⑵ ≤ ≤ 에 하여

cos sin

sin

므 변 하

sin

sin

cos

얻는다.

sin

라고 하

sin

cos

다. 는 에 미 가능하고

′ sin

cos

cos

므

lim→∞

′

다. 한편 ≠ 평균값 리에 하여

′

가 사 에 재한다. 라

lim→∞

lim→∞

′

다. 여

lim→∞

∞

sin

므

∞

sin

얻는다. 하

∞

sin

얻는다.

08. 도형의 넓이와 부피

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸ ⑹

⑺

⑻

2. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹


09. 속도와 가속도

1. 도는 쪽 ms, 가 도는 래쪽

ms.

2. 도는 , 가 도는 .

3. ⑴

⑵

4.

5. ⑴ 가 도 하 도는 다. 처

도가 므 식 값

어 한다. 라 므 도는 다.

⑵ 도 하 는

다. 처 가 므 식 값

어 한다. 라 므 는

다.

10. 질량과 무게중심

1. ⑴ 질량 , 질량 심

⑵ 질량 , 질량 심

⑶ 질량 , 질량 심

⑷ 질량 , 질량 심

2. ⑴

⑵

⑶

⑷

3. 질량

kg⋅m

고

kg

므 질량 심

≒ m .

4. ⑴ ≤ ≤ 에 하여 , 므

삼각 질량

⋅ (g).

⑵ ≤ ≤ 에 하여 므

g⋅cm .

라 질량 심 는

cm .

⑶ ≤ ≤ 에 하여

므

g⋅cm .

라 질량 심 는

cm .

06 행렬과 일차변환

01. 행렬의 뜻

1.

2. ⑴ , ⑵ ,

3. ⑴ ⑵

⑶

⑷

4.

5.

6. ,

02. 행렬의 곱셈

1. ⑴ ⑵ ⑶

2.

3. ,

4. ⑴ ⑵

⑶

⑷ ⑸

⑹

5. ⑴ ⑵

⑶

⑷ ⑸

⑹

6.

7.


03. 역행렬

1. ⑴ 역행 재하지 는다.

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹ 역행 재하지 는다.

2. ⑴

⑵

⑶ 역행 재하지 는다.

⑷

⑸

⑹

3. ⑴ 므 역행 재한다. 라

가 립한다.

⑵ 므 는 역행 다.

라 다.

⑶ 므 는 역행 다.

라 다.

⑷ 행 곱 질에 하여

므 는 역행 다. 라

다.

⑸ 행 곱 질에 하여

므 는 역행 다. 라

다.

⑹ 행 곱 질에 하여

⋯ ⋯

므 역행 다. 라

다.

04. 연립일차방정식

1. ⑴ ,

⑵ 해가 없다

⑶ 든 , (해가 많다)

2. ⑴ 한 에 만 다.

⑵ 만 지 는다.

⑶ 한다.

3. ⑴ , ,

⑵

,

,

⑶ 든 , , (해가 많다.)

4. ⑴ ≠ 해는

,

.

에는 해가 없다.

⑵ cos , sin

5.

6.

05. 일차변환

1. ⑴ ⑵

2. ⑴ ,

⑵ ,

3. ⑴

⑵

4. P , Q P , Q 라고 하 . 그

리고 타내는 행 라고 하 . 그러

P

P ,

P Q

P Q

가 립한다.

5. AB 내 하는 는

P

고 에 하여 겨지는 하

P :

P :

다. 것 A B 내 하는

한다.


06. 여러 가지 일차변환

1. ⑴ ⑵

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

3. ⑴

4. ⑴

5. ⑴

6. 직 에 한 변 라고 하고 행

라고 하 . 한 P 가 P′ ′ ′ 겨진다

고 하 . PP′

′

′ 직 에 므

′ ′

얻는다. 한 PP′ 과 직 가 직 므

′ ′

얻는다. 식 ′ , ′에 하여

′

,

′

므 하는 행 다 과 같다.

07. 합성변환과 역변환

1. ⑴ ∘ 타내는 행 : ,

∘ 타내는 행 :

⑵ ∘에 하여 겨지

∘에 하여 겨진다.

2. →

3.

4.

5. 행 , 행 , 행 라고 하 .

그러 행 질에 하여 다 립한다.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

등식 원하는 결과 얻는다.

6. 원 심 만큼 하는 변 라고 하고, 원

심 만큼 하는 변 라고 하 . 그러

∘는 원 심 만큼 하는 변

다. 행 , 행 라고 하 ∘

행 다. 그런

cos sin sin cos , cos sin

sin cos 므 계산하

cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin 다. 행 ∘ 행

cos sin sin cos

같 므 행 비 하

sin sin cos cos sin ,

cos cos cos sin sin

얻는다.

08. 도형의 변환

1.

2. ⑴ (변함없 )

⑵ ( )

3. ⑴

4. ⑴

5. ⑴

⑵

6.

7. ,

07 평면도형과 공간도형

01. 포물선

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ,

⑵ ,

⑶ ,

⑷ ,

3. ⑴

⑵

⑶

⑷


4.

5. ⑴

⑵

⑶

( ° 시킨 )

⑷

⑸

⑹

02. 타원

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

2. ⑴ : ± , 심 : ,

짓 : ± , ± ,

: , 단 : .

⑵ : ± , 심 : ,

짓 : ± , ± ,

: , 단 : .

⑶ : ± , 심 : ,

짓 : ± , ±

: , 단 : .

⑷ : ± , 심 : ,

지 : ± , ± ,

: , 단 : .

3.

4. ⑴

⑵ 주어진 타원 식 다.

것 평행 동하 ,

다시 동하

,

다시 평행 동하 하는 타원 식

⑶ ± 거리 합

루어진 타원 식

다. 타원 원 심 ° 시키

⋅

⋅

.

5.

03. 쌍곡선

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

2. ⑴ : ± , 심 : ,

짓 : ± , 주 : ,

근 : ±

.

⑵ : ± , 심 : ,

짓 : ± , 주 : ,

근 : ±

⑶ : ± , 심 : ,

짓 : ± , 주 : ,

근 :

,

⑷ : ± , 심 : ,

짓 : ± , 주 : ,

근 : ±

.

3.

4. ⑴ ± 고 근 ± 곡

원 심 ° 시키

⋅

⋅

.

⑵ ⑴에 한 곡 향 만큼,

향 만큼 평행 동하

⋅

⋅

.

04. 이차곡선의 활용

1. ⑴

⑵ , ,

⑶ , , , ,

2. ⑴

⑵

⑶ 는

⑷ ± ⑸ ±


⑹ 는

⑺ ± ⑻

3.

4. 사 포함하는 평 단 포

다. ′ 므 포

에 식

다.

직 사 에 에 평행한 빛

사 었 사 빛 향 하 . 울 가

과 루는 각 크 라고 하 사 빛

향 루는 각 크 는 다.

tan

tan

tan

tan

므 사 빛 직 울 는

다. 라 에 사 빛 직 식

다. 직 값에 상 없 지 는 하 .

직 식 변 하

고, 에 한 항등식 계 비 에 하여

,

어 한다. 사 빛

드시 지

, 포 동 하다.

5. 평 울 에 라 단 달라진다.

⑴ 평 원뿔 과 평행하 단 원 러싸

다.

⑵ 평 원뿔 보다 울어 지만 보다는

울어 단 타원 러싸

다.

⑶ 평 만큼 울어 단 포

러싸 다.

⑷ 평 보다 울어 원뿔 짓

지 지 단 곡 러싸 도

다.

05. 공간도형

1. ⑴ EKLF

⑵ BHIC , DJKE, ABCDEF , LKJIHG

⑶ 직 EK

2. ⑴ OD⊥OB , OA⊥OC 므 OA⊥(평 OBC).

BC 는 평 OBC 에 고, AD⊥BC 므

삼 리 ②에 하여 OD⊥BC .

⑵ 주어진 건에 하여 AD⊥BC , OH⊥AD 고

⑴에 하여 OD⊥BC 므 삼 리 ③에

하여 OH⊥(평 ABC).

06. 좌표공간

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ⑵

3.

4. P , Q

5. ⑴

⑵

⑶

07. 벡터의 뜻

1. ⑴ 크 : , 평행한 : AB , DC , EF , HG , BA ,

CD , FE , GH .

⑵ 크 : , 평행한 : AC , EG , CA , GE .

⑶ 크 : , 평행한 : CD , BA , GH , FE , DC ,

AB , HG , EF .

⑷ 크 : , 평행한 : BG , AH , GB , HA .

⑸ 크 : , 평행한 : EH , AD , BC , FG , HE ,

DA , CB , GF

⑹ 크 : , 평행한 : CE , EC .

⑺ 크 : , 평행한 : HG , EF , AB , DC , GH ,

FE , BA , CD .

⑻ 크 : , 평행한 : BC , AD , EH , FG , CB ,

DA , HE , GF .

2. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺ ⑻


08. 벡터의 성분

1. AP BP 므

AP

AB . … ①

OA , OB , OP 므

AP OP OA , … ②

AB OB OA . … ③

②, ③ ①에 하

.

∴

.

2. A, B , C , D , M, N 각각 , , , ,

, 라고 하 . 그러

AD BC

MN

3. ⑴ ⑵

4. ⑴ AB , CD

⑵ AB CD 가 평행하고 가 같 므

주어진 사각 평행사변 다.

09. 벡터의 내적

1. ⑴ ⑵

2. ⑴

⑵

3. ⑴ ⑵

4. ⑴ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

.

⑵ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⑶ 시- 등식에 하여

⋅

≤

.

변에 곱근 취하 원하는 등식 얻는다.

⑷ ⑴에 하여

⋅

≤

변에 곱근 취하 원하는 등식 얻는다.

5. O 원 하고 A, B , C 각각 , ,

라고 하 .

OA ⊥BC 므 ⋅ ⋅ ⋅ .

OB ⊥CA 므 ⋅ ⋅ ⋅ .

등식 결합하 ⋅ ⋅ .

라 OC⋅AB ⋅ ⋅ ⋅

므 OC⊥AB .

10. 직선의 방정식

1. ⑴

⑵

⑶

, ⑷ ,

⑸

⑹

⑺

2. ⑴

⑵

3. ⑴ ⑵

11. 평면의 방정식

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2. ⑴ ⑵

⑶

⑷

3. ⑴

⑵

4.

5. ⑴ ⑵

6. ⑴


12. 벡터의 활용

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2. ⑴ ⑵ ⑶

3.

4.

5. 평 과 같다.

× .

6. N⋅m 는 J

7. 직 향 가 평행하지 직 거리가

므 직 한 에 만 다.

08 다변수함수의 미적분

01. 다변수함수와 벡터함수

1. ⑴ 차원,

⑵ 차원,

2. ⑴

⑵ 재하지 는다.

3. ⑴ x

x.

⑵ x 는 y 경우는 x⋅y x y 므

하게 립한다. x≠ 고 y≠ 라고 하

. 그러 실 에 하여

≤ xy xy⋅xy

x x⋅y y

립한다. 식에 x⋅yy 하

≤ x x⋅y x yx⋅y

립한다. 식 변 하 x⋅y ≤ x y

얻는다. 등식 변에 곱 취하 원하는

등식 얻는다.

⑶ ⑵에 하여

xy x x⋅yy

≤ x xyy xy

변에 곱 취하 원하는 등식 얻는다.

4. ⑴

⑵

⑶ sin

⑷ ln

5. ⑴ ±

⑵ (단, ≠)

⑶

± (단, ≥ )

⑷

sin

(단, ≠)

02. 극한과 연속

1. ⑴ 열린집합 ⑵ 닫 집합

⑶ 어느 것도 니다. ⑷ 열린집합

⑸ 열린집합 ⑹ 닫 집합

⑺ 열린집합 ⑻ 닫 집합

⑼ 닫 집합 ⑽ 어느 것도 니다.

⑾ 열린집합 동시에 닫 집합 다.

⑿ 열린집합 동시에 닫 집합 다.

2. ⑴ 에 한다.

⑵ 에 한다.

⑶ 산한다.

⑷ ln 에 한다.

3. ⑴ 에 한다.

⑵ 에 한다.

⑶ 산한다.

⑷ 에 한다.

⑸ 에 한다.

4. ⑴ , , ⋯, 열린집합 고 들 합집합

라고 하 . x∈ x∈ 가 재한다. 가

열린집합 므 x ⊆ 가 재한다.

x ⊆ ⊆ 므 는 열린집합 다.

⑵ , , ⋯, 닫 집합 고 들 집합

라고 하 . 그러

ℝ∖ ℝ∩

ℝ∩∩∩ ⋯ ∩

ℝ∩∪

∪ ⋯ ∪

ℝ∩∪ℝ∩

∪ ⋯ ∪ℝ∩

ℝ∖∪ℝ∖∪ ⋯ ∪ℝ∖

다. 마지막 식 열린집합들 합집합 므 열린집

합 다. 라 ℝ∖가 열린집합 므 는 닫 집

합 다.

⑶ x∈ a라고 하 . 그리고 xa라고 하

. 그러 x ⊆ a 므 a는 열린집합

다.

⑷ 가 한집합 라고 하 . 그리고

x x ⋯ x, ℝ∖

라고 하 .


x에 하여

x x, x x, ⋯, x x

므 들 가 값 택하여도

다. 그 값 라고 하 . 그러 ≤ ≤

에 하여 x ∉ x 므 x ⊆

다. ℝ∖가 열린집합 므 는 닫 집합

다.

03. 편미분

1. ⑴

,

.

⑵

cos,

cos.

⑶

,

.

⑷

,

.

⑸

sin ,

sin ,

.

⑹

ln

ln

,

ln

ln

,

log lnlog .

2. ⑴

,

,

,

,

,

.

⑵

cos,

cos,

sin ,

cos sin ,

cos sin ,

cos sin .

⑶

,

,

,

,

,

.

⑷

,

,

,

,

,

.

3. ⑴ f′

⑵

f ,

f .

⑶

,

,

.

⑷

f i j k ,

f i j k ,

f i j k .

4. ⑴ x → a fx → L 라고 하 . 그리고

L

라고 하 . 그러

x ≤ fx L,

x ≤ fx L,

x ≤ fx L

립한다. 그런 x → a

fx L →

므 x → a

x → ,

x → ,

x →

다. 한

fx L≤

x

므 역도 립한다.


⑵ → ∞ x a → 므

fxL → 다.

⑶ ℝ∖라고 하 . 그러 는 열린집합 다.

결 에 하여 a∉라고 가 하 . 그러 a∈

다. 그런 가 열린집합 므 a ⊆

가 재한다. 한편 x가 a에 하므 가

커짐에 라 x는 a에 가 워진다. 가 충 커

지 x a 가 립한다. 것 x∈ a

미한다. 그런 a ⊆ 므 는

므 x ∉가 립한다. 것 x 든

항 에 한다는 에 다. 라 a∈ 다.

⑷ a 라고 하고 함

i f

i f ≠

하 . 그러 는 a에 편미 가능하고

다. 그러 는 a에 연 니다.

04. 전미분

1. 포함하는 열린집합 고 f

든 편도함 가 에 연 므 f는 에 미

가능하다.

2. 에 가 재하지 므 는 에 미

가능하지 다.

3. ⑴ f

⑵ f

⑶ f

⑷ f

⑸

⑹

4. f ,

fg

,

g

,

gf

,

f∘g fg g

,g∘ f g f f

x x x

.

(단, x )

5. ≠

05. 곡선과 곡면

1. ⑴과 ⑵, ⑶과 ⑷

2. ⑴ r , ∈

⑵ r cos sin , ∈

⑶ r cos sin , ∈

⑷ r cos sin sin , ∈

3. ⑴ , ∈ℝ

⑵ , ∈

는 coscos sin cos sin ,

∈ ×

⑶ , ∈

⑷ sin cos sin sin

cos , ∈ × .

4. ⑴ cos cos

⑵

06. 미분의 활용

1. ⑴ ∇

⑵ ∇

⑶ ∇

⑷ ∇

⑸ ∇ cossin coscos

⑹ ∇

2. ⑴

⑵

⑶ cos sin

⑷

3. ⑴

⑵

⑶


4. ⑴

⑵

⑶

⑷

5. r , r′ 므

식

.

07. 중적분

1. ⑴ lim→∞

lim→∞

⑵ lim→∞

lim→∞

sin

⑶ lim → ∞

lim → ∞

lim → ∞

⑷ lim→∞

lim→∞

⑸ lim→∞

lim→∞

lim→∞

ln

2. ⑴ ⑵

⑶

3. ⑴ ⑵

⑶

⑷

4. lim→∞

lim→∞

lim → ∞

lim → ∞

lim→∞

.

같

xx

도 립한다.

08. 반복적분

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺ ⑻

2. ⑴ 사 가능, 사 가능.

≤ ≤ ≤ ≤ ,

≤ ≤ ≤ ≤ .

⑵ 사 가능, 사 가능.

≤ ≤ ≤ ≤ ,

≤ ≤ ≤ ≤ .

⑶ 사 가능도 니고 사 가능도 니다.

⑷ 사 가능 니지만 사 가능 다.

max ≤ ≤

≤ ≤ .

3. ⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

09. 중적분의 변수변환

1. ⑴

⑵

⑶

2. ⑴

x

⑵ 주어진 역 라고 하고, -평 에 사 시

킨 역 라고 하

x

cos

.

⑶ ( 피)

, (겉 )

3. ⑴

cos

sec

sec tan

sec tan sec

ln .

⑵ , 변 변 하

sin cos

sin cos

sin sin cos .


4.

∞

라고 하

∞

∞

,

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

므 ,

.

10. 선적분

1. ⑴ 주어진 곡 과 는

므 는 .

⑵ , ′ 므 곡 는

.

⑶ 주어진 곡 원뿔 에 여

지 연결

어 다.

′ sin cos cossin

므 곡 는

′

.

2. ⑴ cos sin , ≤ ≤ 라고 하

′ 므

cos⋅sin ⋅ .

⑵ cos sin , ≤ ≤ 라고 하

′ sin cos cos

므

cossin cos

여 cos 변 변 하

cossin

므 계산하

.

⑶ sin sin cos , ∈ 라고 하

′ cos sin cos sin

sin cos

므

sin cos .

⑷ , , 곡 함 각각

, ≤ ≤ ,

, ≤ ≤ ,

, ≤ ≤

라고 하

.

3. ⑴ , ≤ ≤ 라고 하

F⋅′ ⋅

므

F⋅T

.

⑵ cos sin , ≤ ≤ 라고

하

F⋅′ cos sin

⋅ sin cos

cossin

므

F⋅T

cossin

.

⑶ ≥ 과 ≤

누 , 과 곡 함 는 각각

cos cos sin , ∈ ,

cos cos sin , ∈

다.

F⋅′ cos ,

F⋅′ sin

므

F⋅T

cos

,

F⋅T

sin

,

F⋅T

.

11. 면적분

1. ⑴ ,

≤ ≤ ≤ ≤ ,

N ,

.


⑵ , × ,

N ,

.

⑶ coscos sin cos sin ,

× , N cos ,

.

2. ⑴ , ,

N . 에 주어진 향과

므 계산한 꾸 다.

F⋅n

.

⑵ cos sin , × ,

N cos sin ( 향),

F⋅n .

⑶ , ,

N ( 향),

F⋅n

.

⑷ N coscoscos,

cossin cos, cossin ,

F⋅N sin sincos,

F⋅n .

12. 그린의 정리와 스토크스의 정리

1. 그린 리 용하여 계산한다.

⑴

F⋅T

sin

⑵

F⋅T

ln .

2. 산 리 용하여 계산한다.

⑴

F⋅n

⑵

F⋅n

cos sin

.

3. 크 리 용하여 계산한다.

⑴ 곡 , ≤ 는 고,

에 하여 도 향 시계 향

다. 라 curl F 다.

F⋅T

cos sin cos

.

⑵ 곡 , ≤ 는

고, 에 하여 도 향 시계

향 , 것 에 주어진 향과 다.

라 계산한 꾸어주 다.

F⋅T

sin sin

.

09 복소수함수

01. 복소평면

1. ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹ 각

2. ⑴ cos

sin

⑵ cos

sin

⑶ cos

sin

⑷ cos sin

3. ⑴ cos

sin

⑵ cos

sin

⑶

cos

sin

⑷

cos

sin

4. cos

sin


5. ⑴ cos

sin

, .

⑵ cos

sin

, .

⑶ cos

sin

,

⋯ .

⑷ cos

sin

, ⋯ .

02. 복소수함수

1. ⑴ sin

sin cos cos sin .

⑵ cos

cos cos sin sin .

2. ⑴ , .

⑵ , .

⑶ cos, sin

⑷

sin ,

cos.

3. ⑴ ⑵ cossin

⑶

⑷

⑸ ln

, ∈ℤ

⑹ ln , ∈ℤ

⑺ ln

⑻

, ∈ℤ

4. ⑴ ⑵

⑶

⑷

03. 복소수함수의 미분

1. ⑴ ′ ⑵ ′

⑶ ′ cos ⑷ ′ sin

⑸ ′ sec ⑹ ′

⑺ ′ ln ⑻ ′ cosh

2. ⑴ ′ sin cos

⑵ ′ sin cos

⑶ ′

sin cos

⑷ ′

sec

3. ⑴

sin sin cos,

sin sin cos,

cos sin cos,

sin sin cos,

.

⑵ 시-리만 식에 하여

sin sin cos,

cos cos sin

다. 처 식 에 하여 하

cos cos

sin cos

sin cos

다. 것 째 식에 하

sin cos cos ′

sin cos sin

므 ′ 는 상 함 다.

sin cos . ( 는 상 )

4. 함 미 에 하여

므

.


5. ⑴

⑵

⑶

04. 복소수함수의 적분

1. ⑴

.

⑵ , 는 라

고 , 는 라

므 하는 값

.

⑶

.

2. ⑴

⑵ 과 는 라

고 는 라

므 하는 값 .

3.

.

4.

.

5.

⋅ Re

⋅ Re

Re

Re

.

05. 테일러 급수와 로랑 급수

1. ⑴

⑵

⋯

⑶

⋯

⑷

⋯

2. ⑴ ⑵

⑶ (극 님) ⑷

3. ⑴

⑵

⋯

⑶

⋯

⑷

⋯

⑸

⋯

⑹

⑺ ⋯

⋯

⑻

⋯

06. 유수를 이용한 적분법

1. ⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

2. ⑴ 는 에 극 가지 ± 에 단

극 가진다.

res

, res

,

res

.

⑵ 는 , ∈ℤ에 극 가진다.

각 에 하

res lim →

sin

.

극한에 라고 하

lim →

sin

sin sin cos .


3. 피 함 가 에 극 가지 ± 에

단 극 가진다. 각 극에 하

res

, res

res

므 리에 하여 값 다 과 같다.

cos

4. ⑴

⑵

⑶ ⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

⑼

⑽

한 는 [6] Ch.7 참 하라.

5. 복 함 용해 .

∞

sin

∞

cos

∞

∞

∞

므 하

∞

sin

.

못 타 견하 지 에게

보내주 . 보낼 ‘고등학 고 미 학

2013 3월 ’ 라고 주 . 견한 내용 미

었 도 므 , 보내 에

지에 하여 신 비 해보 .

-� 168 -

수 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374

1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755

1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106

1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430

1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732

1.5 .1761 .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014

1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279

1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529

1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765

1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989

2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201

2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3324 .3345 .3365 .3385 .3404

2.2 .3424 .3444 .3464 .3483 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598

2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784

2.4 .3802 .3820 .3838 .3856 .3874 .3892 .3909 .3927 .3945 .3962

2.5 .3979 .3997 .4014 .4031 .4048 .4065 .4082 .4099 .4116 .4133

2.6 .4150 .4166 .4183 .4200 .4216 .4232 .4249 .4265 .4281 .4298

2.7 .4314 .4330 .4346 .4362 .4378 .4393 .4409 .4425 .4440 .4456

2.8 .4472 .4487 .4502 .4518 .4533 .4548 .4564 .4579 .4594 .4609

2.9 .4624 .4639 .4654 .4669 .4683 .4698 .4713 .4728 .4742 .4757

3.0 .4771 .4786 .4800 .4814 .4829 .4843 .4857 .4871 .4886 .4900

3.1 .4914 .4928 .4942 .4955 .4969 .4983 .4997 .5011 .5024 .5038

3.2 .5051 .5065 .5079 .5092 .5105 .5119 .5132 .5145 .5159 .5172

3.3 .5185 .5198 .5211 .5224 .5237 .5250 .5263 .5276 .5289 .5302

3.4 .5315 .5328 .5340 .5353 .5366 .5378 .5391 .5403 .5416 .5428

3.5 .5441 .5453 .5465 .5478 .5490 .5502 .5514 .5527 .5539 .5551

3.6 .5563 .5575 .5587 .5599 .5611 .5623 .5635 .5647 .5658 .5670

3.7 .5682 .5694 .5705 .5717 .5729 .5740 .5752 .5763 .5775 .5786

3.8 .5798 .5809 .5821 .5832 .5843 .5855 .5866 .5877 .5888 .5899

3.9 .5911 .5922 .5933 .5944 .5955 .5966 .5977 .5988 .5999 .6010

4.0 .6021 .6031 .6042 .6053 .6064 .6075 .6085 .6096 .6107 .6117

4.1 .6128 .6138 .6149 .6160 .6170 .6180 .6191 .6201 .6212 .6222

4.2 .6232 .6243 .6253 .6263 .6274 .6284 .6294 .6304 .6314 .6325

4.3 .6335 .6345 .6355 .6365 .6375 .6385 .6395 .6405 .6415 .6425

4.4 .6435 .6444 .6454 .6464 .6474 .6484 .6493 .6503 .6513 .6522

4.5 .6532 .6542 .6551 .6561 .6571 .6580 .6590 .6599 .6609 .6618

4.6 .6628 .6637 .6646 .6656 .6665 .6675 .6684 .6693 .6702 .6712

4.7 .6721 .6730 .6739 .6749 .6758 .6767 .6776 .6785 .6794 .6803

4.8 .6812 .6821 .6830 .6839 .6848 .6857 .6866 .6875 .6884 .6893

4.9 .6902 .6911 .6920 .6928 .6937 .6946 .6955 .6964 .6972 .6981

5.0 .6990 .6998 .7007 .7016 .7024 .7033 .7042 .7050 .7059 .7067

5.1 .7076 .7084 .7093 .7101 .7110 .7118 .7126 .7135 .7143 .7152

5.2 .7160 .7168 .7177 .7185 .7193 .7202 .7210 .7218 .7226 .7235

5.3 .7243 .7251 .7259 .7267 .7275 .7284 .7292 .7300 .7308 .7316

5.4 .7324 .7332 .7340 .7348 .7356 .7364 .7372 .7380 .7388 .7396

상용로그표� (1)

-� 169 -

수 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.5 .7404 .7412 .7419 .7427 .7435 .7443 .7451 .7459 .7466 .7474

5.6 .7482 .7490 .7497 .7505 .7513 .7520 .7528 .7536 .7543 .7551

5.7 .7559 .7566 .7574 .7582 .7589 .7597 .7604 .7612 .7619 .7627

5.8 .7634 .7642 .7649 .7657 .7664 .7672 .7679 .7686 .7694 .7701

5.9 .7709 .7716 .7723 .7731 .7738 .7745 .7752 .7760 .7767 .7774

6.0 .7782 .7789 .7796 .7803 .7810 .7818 .7825 .7832 .7839 .7846

6.1 .7853 .7860 .7868 .7875 .7882 .7889 .7896 .7903 .7910 .7917

6.2 .7924 .7931 .7938 .7945 .7952 .7959 .7966 .7973 .7980 .7987

6.3 .7993 .8000 .8007 .8014 .8021 .8028 .8035 .8041 .8048 .8055

6.4 .8062 .8069 .8075 .8082 .8089 .8096 .8102 .8109 .8116 .8122

6.5 .8129 .8136 .8142 .8149 .8156 .8162 .8169 .8176 .8182 .8189

6.6 .8195 .8202 .8209 .8215 .8222 .8228 .8235 .8241 .8248 .8254

6.7 .8261 .8267 .8274 .8280 .8287 .8293 .8299 .8306 .8312 .8319

6.8 .8325 .8331 .8338 .8344 .8351 .8357 .8363 .8370 .8376 .8382

6.9 .8388 .8395 .8401 .8407 .8414 .8420 .8426 .8432 .8439 .8445

7.0 .8451 .8457 .8463 .8470 .8476 .8482 .8488 .8494 .8500 .8506

7.1 .8513 .8519 .8525 .8531 .8537 .8543 .8549 .8555 .8561 .8567

7.2 .8573 .8579 .8585 .8591 .8597 .8603 .8609 .8615 .8621 .8627

7.3 .8633 .8639 .8645 .8651 .8657 .8663 .8669 .8675 .8681 .8686

7.4 .8692 .8698 .8704 .8710 .8716 .8722 .8727 .8733 .8739 .8745

7.5 .8751 .8756 .8762 .8768 .8774 .8779 .8785 .8791 .8797 .8802

7.6 .8808 .8814 .8820 .8825 .8831 .8837 .8842 .8848 .8854 .8859

7.7 .8865 .8871 .8876 .8882 .8887 .8893 .8899 .8904 .8910 .8915

7.8 .8921 .8927 .8932 .8938 .8943 .8949 .8954 .8960 .8965 .8971

7.9 .8976 .8982 .8987 .8993 .8998 .9004 .9009 .9015 .9020 .9025

8.0 .9031 .9036 .9042 .9047 .9053 .9058 .9063 .9069 .9074 .9079

8.1 .9085 .9090 .9096 .9101 .9106 .9112 .9117 .9122 .9128 .9133

8.2 .9138 .9143 .9149 .9154 .9159 .9165 .9170 .9175 .9180 .9186

8.3 .9191 .9196 .9201 .9206 .9212 .9217 .9222 .9227 .9232 .9238

8.4 .9243 .9248 .9253 .9258 .9263 .9269 .9274 .9279 .9284 .9289

8.5 .9294 .9299 .9304 .9309 .9315 .9320 .9325 .9330 .9335 .9340

8.6 .9345 .9350 .9355 .9360 .9365 .9370 .9375 .9380 .9385 .9390

8.7 .9395 .9400 .9405 .9410 .9415 .9420 .9425 .9430 .9435 .9440

8.8 .9445 .9450 .9455 .9460 .9465 .9469 .9474 .9479 .9484 .9489

8.9 .9494 .9499 .9504 .9509 .9513 .9518 .9523 .9528 .9533 .9538

9.0 .9542 .9547 .9552 .9557 .9562 .9566 .9571 .9576 .9581 .9586

9.1 .9590 .9595 .9600 .9605 .9609 .9614 .9619 .9624 .9628 .9633

9.2 .9638 .9643 .9647 .9652 .9657 .9661 .9666 .9671 .9675 .9680

9.3 .9685 .9689 .9694 .9699 .9703 .9708 .9713 .9717 .9722 .9727

9.4 .9731 .9736 .9741 .9745 .9750 .9754 .9759 .9763 .9768 .9773

9.5 .9777 .9782 .9786 .9791 .9795 .9800 .9805 .9809 .9814 .9818

9.6 .9823 .9827 .9832 .9836 .9841 .9845 .9850 .9854 .9859 .9863

9.7 .9868 .9872 .9877 .9881 .9886 .9890 .9894 .9899 .9903 .9908

9.8 .9912 .9917 .9921 .9926 .9930 .9934 .9939 .9943 .9948 .9952

9.9 .9956 .9961 .9965 .9969 .9974 .9978 .9983 .9987 .9991 .9996

상용로그표� (2)

-� 170 -

각() sin cos tan 각() sin cos tan

0° 0.0000 1.0000 0.0000 45° 0.7071 0.7071 1.0000

1° 0.0175 0.9998 0.0175 46° 0.7193 0.6947 1.0355

2° 0.0349 0.9994 0.0349 47° 0.7314 0.6820 1.0724

3° 0.0523 0.9986 0.0524 48° 0.7431 0.6691 1.1106

4° 0.0698 0.9976 0.0699 49° 0.7547 0.6561 1.1504

5° 0.0872 0.9962 0.0875 50° 0.7660 0.6428 1.1918

6° 0.1045 0.9945 0.1051 51° 0.7771 0.6293 1.2349

7° 0.1219 0.9925 0.1228 52° 0.7880 0.6157 1.2799

8° 0.1392 0.9903 0.1405 53° 0.7986 0.6018 1.3270

9° 0.1564 0.9877 0.1584 54° 0.8090 0.5878 1.3764

10° 0.1736 0.9848 0.1763 55° 0.8192 0.5736 1.4281

11° 0.1908 0.9816 0.1944 56° 0.8290 0.5592 1.4826

12° 0.2079 0.9781 0.2126 57° 0.8387 0.5446 1.5399

13° 0.2250 0.9744 0.2309 58° 0.8480 0.5299 1.6003

14° 0.2419 0.9703 0.2493 59° 0.8572 0.5150 1.6643

15° 0.2588 0.9659 0.2679 60° 0.8660 0.5000 1.7321

16° 0.2756 0.9613 0.2867 61° 0.8746 0.4848 1.8040

17° 0.2924 0.9563 0.3057 62° 0.8829 0.4695 1.8807

18° 0.3090 0.9511 0.3249 63° 0.8910 0.4540 1.9626

19° 0.3256 0.9455 0.3443 64° 0.8988 0.4384 2.0503

20° 0.3420 0.9397 0.3640 65° 0.9063 0.4226 2.1445

21° 0.3584 0.9336 0.3839 66° 0.9135 0.4067 2.2460

22° 0.3746 0.9272 0.4040 67° 0.9205 0.3907 2.3559

23° 0.3907 0.9205 0.4245 68° 0.9272 0.3746 2.4751

24° 0.4067 0.9135 0.4452 69° 0.9336 0.3584 2.6051

25° 0.4226 0.9063 0.4663 70° 0.9397 0.3420 2.7475

26° 0.4384 0.8988 0.4877 71° 0.9455 0.3256 2.9042

27° 0.4540 0.8910 0.5095 72° 0.9511 0.3090 3.0777

28° 0.4695 0.8829 0.5317 73° 0.9563 0.2924 3.2709

29° 0.4848 0.8746 0.5543 74° 0.9613 0.2756 3.4874

30° 0.5000 0.8660 0.5774 75° 0.9659 0.2588 3.7321

31° 0.5150 0.8572 0.6009 76° 0.9703 0.2419 4.0108

32° 0.5299 0.8480 0.6249 77° 0.9744 0.2250 4.3315

33° 0.5446 0.8387 0.6494 78° 0.9781 0.2079 4.7046

34° 0.5592 0.8290 0.6745 79° 0.9816 0.1908 5.1446

35° 0.5736 0.8192 0.7002 80° 0.9848 0.1736 5.6713

36° 0.5878 0.8090 0.7265 81° 0.9877 0.1564 6.3138

37° 0.6018 0.7986 0.7536 82° 0.9903 0.1392 7.1154

38° 0.6157 0.7880 0.7813 83° 0.9925 0.1219 8.1443

39° 0.6293 0.7771 0.8098 84° 0.9945 0.1045 9.5144

40° 0.6428 0.7660 0.8391 85° 0.9962 0.0872 11.4301

41° 0.6561 0.7547 0.8693 86° 0.9976 0.0698 14.3007

42° 0.6691 0.7431 0.9004 87° 0.9986 0.0523 19.0811

43° 0.6820 0.7314 0.9325 88° 0.9994 0.0349 28.6363

44° 0.6947 0.7193 0.9657 89° 0.9998 0.0175 57.2900

45° 0.7071 0.7071 1.0000 90° 1.0000 0.0000

삼각함수표

-� 171 -

(는 상 )

sec

sinh

ln

csc

cosh

sin cos

ln

sinh cosh

tanh

cos sin

log ln

cosh sinh

coth

tan sec

sin

tanh sech

sech

cot csc

cos

coth csch

csch

sec sec tan

tan

sech sech tanh

csc csccot

cot

csch csch coth

(≠) coth ln sinh

ln sech tansinh

sin cos csch cothcosh

cos sin sech tanh

tan ln sec ln cos csch coth

cot ln sin csch coth sech

sec ln sec tan lntan

sech coth csch

csc ln csc cot lntan

sin

cos

sec tan ±

ln ±

csc cot

tan

cot

sectan sec

ln

csccot csc ±

ln ±

cos

sec

ln

±

± ±

ln ±

sinh cosh

sin

cosh sinh sin

sin cos

tanh ln cosh cos

cos sin

기본함수의�미적분�공식

참고

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[2] Elliott Mendelson, 3000 Solved Problems in CALCULUS, McGraw Hill (1988)

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[6] Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John J. Schiller, Dennis Spellman, Schaum’s Outlines of

COMPLEX VARIABLES (2ed), Mc-Graw Hill (2009)

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[8] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed), McGraw Hill (1976)

[9] WilliamR. Wade, An Introduction to Analysis (4ed), Prentice Hall (2009)

[10] 横田壽, 確実に身につく微分積分, ソフトバンククリエイティブ (2012)

[11] 슬비, 맛 는 해 학 (4 ), 학 라 리 (2012)

[12] 3 , 포 고 하 , 한 공사 (2012)

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[15] 욱 12 , 고등학 학 과 ( 학, 학 I, 학 II, 과 통계, 하 ), 책 신사고 (2009)

∇×∇ ∞

∞

∞

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