ميل مستقيم بمعلومية نقطتينD8%B7%C2… · Web view2 تمارين (5) (...
Transcript of ميل مستقيم بمعلومية نقطتينD8%B7%C2… · Web view2 تمارين (5) (...
س = ) كانتأ س ( = )1،ص 1إذا ب ، ( 2،ص 2، أ النقطتين بين البعد فإن
العالقة من يتعين بس = ) ب مربع= + 2 (1ص – 2ص + ) 2 (1س – 2أ السينات فرق مربع
الصادات فرق**************************************************************
أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد
ب = ) وحدات 5 = 25 = 16 +9 = 2(4 + )2(3 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 – 4أ**************************************************************
أ = ) - كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد85
الهندسة
الثالث للصفاإلعدادى
بين البعدنقطتين
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
ب = ) وحدات 41 = 16 +25 = 2(4 + )2(5 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 + 4أ**************************************************************
أ = ) - كانت ب ( = ) 2، 2إذا ب ( 6، -4، ، أ بين البعد أوجد
ب = ) وحدات 10 = 100 = 64 +36 = 2(8 + )2(6 = )2 (6 + 2 + ) 2 (2 + 4أ**************************************************************
أ = ) - كانت ب ( = ) -0، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد
ب = )- وحدات 5 3 = 45 = 36 +9 = 2(6 + )2(3 = )-2 (0 – 6 + ) 2 (1 + 4أ**************************************************************
أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد
ب = ) وحدات 5 = 25 = 16 +9 = 2(4 + )2(3 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 – 4أ
أ = ) كان س،( = ) 2، 1إذا ب ب ( = 6، أ طول وحدات 5وكان
قيمةس أوجد
ب = 5أ
س 5 = 2 (2 – 6 + )2 (1 –س ) 0 = 8 –س 2 – 2بالتربيع
0 ( = 2س () +4 –س ) 25 = 2(4 + )2 (1 –س )
2س = -4س = 0 = 25 – 16 +1س +2 – 2س
***************************************************************
أ = ) كان ب( = ) ( = 2، 1إذا أ طول وكان س س، ب وحدات 5،
قيمةس أوجد
ب = 5أ
2 ÷0 = 20 –س 6 – 2س 2بالتربيع 5 = 2 (2 –س + ) 2 (1 –س )
0 = 10 –س 3 – 2س 25 = 2 (2 –س + ) 2 (1 –س )
86
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
0 ( = 2س () +5 –س ) 0 = 25 –4س+4 – 2س+1س +2 – 2س
2س = -5س =
***************************************************************
أ = ) - كان س،( = ) 2، 1إذا ب ب ( = 6، أ طول وحدات 41وكان
قيمةس أوجد
ب = 41أ
س 41 = 2 (2 – 6 + )2 (1س ) + 0= 24 –س 2 + 2بالتربيع
0 ( = 6س () +4 –س ) 41 = 2(4 + )2 (1س ) +
6س = -4س = 0 = 41 – 16 +1س +2 +2س
(= أ النقط أن ب ( = ) 2، 1إثبت جـ ( = ) 4، 2، على ( 8، 4، تقع
واحدة أستقامة
ب = ) 5 = 4 +1 = 2(2 + )2(1 = )2 (2 – 4 + ) 2 (1 – 2أ
جـ = ) 5 3 = 5 × 9 = 45 = 36+9 = 2(6 +)2(3 = )2 (2 – 8 + ) 2 (1 – 4أ
جـ = ) 5 2 = 5×4= 20= 16+4 = 2(4 + )2(2 = )2(4 – 8 + )2(2 – 4ب
جـ + = أ جـ ب ب واحدة أ أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ
***************************************************************
الدائرة = محيط أن كذلك طنق = 2الحظ الدائرة مساحة ،،،، نق ط2
87
ب ب، أ نوجد واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ أن الثباتأن نجد جـ أ ، جـ
االكبر = البعد بعدين أصغر مجموع
مالحظة
دائرة علىمحيط تقع جـ ، ب ، أ أن الثباتنثبتأن م مركزها
نق = = = جـ م ب م أ م
مالحظة
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
***************************************************************
أ )- النقط أن ب( )1، 1إثبت ،0 ،4( جـ( على( 1، 3، تقعم ) مركزها واحدة دائرة نصف( 2، 1محيط طول وأوجد
ومساحتها ومحيطها 0قطرها
أ = ) 5 = 1 + 4 = 2 (1 – 2 + ) 2 (1 + 1م
5 = 4+1 = 2 (2 – 4 + ) 2 (0 – 1مب = )
جـ = ) 5 = 1 + 4 = 2 (1 – 2 + ) 2 (1 – 3م
واحدة = = دائرة علىمحيط تقع جـ ، ب ، أ جـ م ب م أ م
نق = 5ويكون
الدائرة = نق = 2محيط 2سم14 = 5ط × × 2ط
نق = ط الدائرة 2سم15.7 = 5ط = × 2 (5ط = ) 2مساحة
أضالعه نوجد الضالعه بالنسبة المثلث نوع لمعرفةكان فإذا الثالثة
االضالع( = = 1) المثلثمتساوى يكون جـ أ جـ ب ب أجـ( = 2) ب الساقين ≠ب المثلثمتساوى يكون جـ أب( 3) جـ ≠أ المثلثمختلفاالضالع ≠ب يكون جـ أ
********************************************************أ = ) فيه إلذى جـ ب أ المثلث نوع ب ( = ) 5، 3بين ،5 ،1 ) ،
( 1، 1جـ = ) الساقين متساوى أم االضالع متساوى
ب = ) 20 = 16 + 4 = 2 (1 – 5 + ) 2 (5 – 3أ
جـ = ) 4 = 16 = 0 + 16 = 2 (1 – 1 + ) 2 (1 – 5ب
جـ = ) 20 = 16 + 4 = 2 (1 – 5 + ) 2 (1 – 3أ
********************************************************
88
مثال
الحــــــــــــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــل
مالحظة
مالحظة
أضالعه نوجد لزواياه بالنسبة المثلث نوع لمعرفة
جـ أ ، جـ ب ، ب أ الثالثةكان فاذا
االخرين( = 1) الضلعين مربعى مجموع االكبر المثلث ] مربع يكون
] الزاوية قائماالخرين( < 2) الضلعين مربعى مجموع االكبر المثلث ] مربع يكون
الزاوية [ منفرجالمثلثحاد( > ] 3) يكون االخرين الضلعين مربعى مجموع االكبر مربع
الزوايا [********************************************************************
أ = ) فيه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )5، 4إثبت جـ( = ) -2، 3، ،3 ،4)
مساحته واوجد الزاوية قائم أ
ب = ) (10 = 9 + 1 = 2 (2 – 5 + ) 2 (3 – 4أ ب ) 10 = 2أ
جـ = ) (40 = 4 + 36 = 2 (2 – 4 + ) 2(3+3ب جـ ) 40=2ب
جـ = ) (50 = 1 +49 = 2 (4 – 5 + ) 2 (3 +4أ 50 = 2أجـ )
) جـ) ب = ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب قائم جـ ب أ المثلثاالرتفاع = × = القاعدة 2سم10 = 40 × 10مساحته
أ = ) فى الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )4، 5إثبت جـ( = ) 2، 3، ،1 ،3)
الزاوية منفرج
ب = ) (8 = 4 + 4 = 2 (2 – 4 + ) 2 (3 – 5أ ب ) 8 = 2أ
جـ = ) (5 = 1 + 4 = 2 (2 – 3 + ) 2 (1- 3ب جـ ) 5=2ب
جـ = ) (17 = 1 +16 = 2 (3 – 4 + ) 2 (1 - 5أ 17 = 2أجـ )
) جـ) ب < ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب منفرج جـ ب المثلثأ*******************************************************************
أ = ) فيه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )5، 4إثبت جـ( = ) 2، 6، ،3 ،3)
الزاوية حاد
89
12
12
مثال
الحــــــــــــــل
مثالحـــــال
ـــــــل
مثالحـــــال
ــــــل
ب = ) (13 = 9 + 4 = 2 (2 – 5 + ) 2 (6 – 4أ ب ) 13 = 2أ
جـ = ) (10 = 1+ 9 = 2(3 – 2 + ) 2(6- 3ب جـ ) 10=2ب
جـ = ) (5 = 4 +1 = 2 (3 – 5 + ) 2 (3 -4أ 5 = 2أجـ )
ب) ( جـ > ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب حاد جـ ب المثلثأ*******************************************************************
ء جـ ب أ الرباعى الشكل أن الثباتء( = = = 1) ب جـ أ ، ء أ جـ ب ، ء جـ ب أ أن نثبت مستطيلء( = = = = 2) ب جـ أ ، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن نثبت مربعجـ( = = = 3) أ ، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن نثبت ء ≠معين بء( = = 4) أ جـ ب ،، ء جـ ب أ أن نثبت أضالع متوازىنثبتأن( 5) منحرف شبه
) ء) أ اليوازى جـ ب ، ء جـ يوازى ب أ أ ) ء) جـ اليوازى ب أ ، ء أ يوازى جـ ب ب
كان فإذا الميل باستخدام وذلكء = // جـ ب أ فان ء جـ ميل ب أ ميل
( أ النقط أن )4، 1إثبت ب( ،4 ،9-( جـ( ء( = ) -12، 1، ،4 ،7) مساحته وأوجد رؤوسمربع هى
ب = ) 34 = 25 + 9 = 2 (4 – 9 + ) 2 (4 – 1أ
جـ = ) 34 = 9 + 25 = 2(9 – 12 + ) 2(1 +4ب
ء = )- 34 = 25 + 9 = 2(7 – 12 + ) 2(4 +1جـ
أ = ) 34 = 9 + 25 = 2(4 – 7 + ) 2 (4+ 1ء
القطران
90
مثال
الحـــــــــــل
مالحظة
جـ = ) 68 = 64 + 4 = 2 (4- 12 + ) 2 (1 + 1أ
ء = ) 68 = 4 + 64 = 2(7 – 9 + ) 2(4 +4ب
ء = = = = ب جـ أ ،، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن ء بما جـ ب أ الشكل
مربع ضلعه = = ) طول مربع 34 = 2 (34مساحته
********************************************************س، = ) أ النقطة كانت من ( 1إذا متساويين بعدين على
(= ،( 2، 4النقطتينب أحسبقيمةس( 3، 3جـ = )
جـ = أ ب أبالتربيع 2 (1 – 3 + ) 2(3 –س = ) 2(1 – 2 + )2(4 –س )
2 (1 – 3 + ) 2(3 –س = ) 2(1 – 2 + )2(4 –س )
4 +9س + 6 – 2س = 1 + 16س +8 – 2س
13س +6 = - 17س +8 -
س8س +6 = -13 – 17 س 2 = 4
2س =
االتية [ 1] النقاط من زوج كل بين البعد أوجد-( = ) أ) ب( = )1، 4أ ،4 ،7-( = ) أ ( ) ب( = )2، 1ب ،3 ،5 )
( = ) أ) ب ( = ) 3، -1جـ ،5 ،3 ( = ) أ( ) ب ( = )2، -0ء ،3 ،4 )
س، [ = ) -2] أ كان ب ( = )1إذا ب ( = 3، 2، أ قيمة 5وكانطول أوجد
س
91
تمارين (5)
مثال
الحــــــــــــــــــل
س، [ = ) 3] أ كانت ب ( = ) -2إذا ب( = 8، 3، أ وحدات 10وكانطول
قيمةس أوجد طوليةأ [ = ) 4] كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( = 3، أ وكانطول ص أوجد 13،
قيمةص أ [ = )-5] النقط أن ب( = )2، -2إثبت جـ ( = )2، 0، على ( 4، 1، تقع
واحدة أستقامةأ [ = )-6] النقط أن ب( = ) 1، 1إثبت جـ ( = ) 3، 1، على ( 6، 4، تقع
واحدة أستقامةأ [ = )7] النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب ( = ) 1، -7إثبت جـ( 3، -1، ،
( =3 ،3 )
الساقين متساوى [8( = أ [ النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب ( = ) 3، 2إثبت جـ ( =4، 1، ،
مثلث ( 2، 1)-البعد ) ( قانون بأستخدام مساحته وأوجد الزاوية قائم
أ [ = )-9] النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب( = ) 1، -4إثبت جـ( = )5، -0، ،
مثلث ( 4، 1مساحته وأوجد الزاوية قائم
أ[ = ) 10] كانت ب ( = )-2، 1إذا جـ( = ) -5، 3، ء ( = )7، 2، إثبتأن( 4، 2،
الشكلأضالع متوازى ء جـ ب أ
[11(= أ [ النقط أن ب( = )-9، 5إثبت ،2 ،2( = جـ( ء( = )6، 1، هى ( 5، 2،
رؤوسمعين مساحته وأوجد
[12(= أ [ النقط رؤوسه الذى الشكل أن ب( = )-2، 3إثبت جـ( = )2، 3، ،0- ،1)
،(= مساحته( 5، 0ء وأوجد مربع يكون
[13( = أ[ كان =)4، -1إذا ب( جـ( = )4، -10، ء( = )2، 9، الشكل( 2، 2، أن إثبتالساقين منحرفمتساوى شبه ء جـ ب أ
92
[14-(= أ[ النقط رؤوسه الذى ء جـ ب أ الشكل أن ب( = )2، -3إثبت ،5 ،2 )، (6، 3جـ = )
منحرف ( 4، 1ء = )- هىرؤوسشبه
أ[ = )-15] النقطة كانت النقطتين ( 1إذا من متساويين بعدين على ص ،
=)-3، 2ب=) جـ( ،2 ،1)
قيمةص أوجدس،[ = ) 16] أ النقطة كانت النقطتينب( =0إذا من متساويين بعدين على
(2 ،3 ) ،قيمةس ( 3، 0جـ = ) أوجد
أ[ = )-17] كانت ب ( = ) - ( = 3، 1إذا أ وكان ك ، ك أوجد 10ب وحداتطولية
ك قيمةأ [ = ) 18] حيث زواياه حيث من جـ ب المثلثأ نوع ب ( = ) 1، 2إبحث ،5 ، 1 ) ،
(5، 5جـ = )
أ[ = )19] النقط رؤسه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )4، 5إثبت جـ( =2، 1، ،
-(1 ،0)
الزاوية منفرجأ [ = ) 20] النقط رؤوسه الذى جـ ب أ المثلث أن ب( = )4، 3إثبت ،4
،1 )،الزوايا( 1، 1جـ = ) حاد
أ[ = )21] النقط أن ب( = )5، 0إثبت ،2 ،3-(= جـ ( على( 1، -2، تقع
دائرة محيط-( = حيثم م مركزها ومساحتها ( 2، 1واحدة محيطها وأوجد
أ[ = )22] النقط أن ب( = )-5، 1إثبت جـ( = )5، 5، على( 4، 2، تقع
واحدة دائرة محيطم = ) - ومساحته ( 1، 2مركزها محيطها وأوجد
93
أ [ = )23] النقطة كانت مركزها( 3، 2إذا التى الدائرة محيط على تقع
طول( 2، -1م = ) - أوجدالدائرة هذه نصفقطر
[24( أ [ فيه مثلث جـ ب ب( )2، -2أ جـ( )4، 8، ،5 ،7 )
فىب- 1 الزاوية قائم جـ ب أ أن إثبتجـ- 2 ب أ برؤوس المارة الدائرة مركز أوجد[25-(= أ[ النقط أن =)4، 2إثبت ب( جـ( = )1، -3، رؤوسمثلث( 5، 4، هى
الساقين متساوىمساحته وأوجد
[26( أ[ النقط كانت ب ( = )0، 5إذا جـ ( ) 3 2، 7، أ ( 3 2، 3، أن إثبتمثلث جـ ب
مساحته وأوجد االضالع متساوى
س = ) أحداثياتأ كانت س ( = ) 1،ص 1إذا ب فإن ( 2،ص 2،،ب = ) منتصفأ (ـــــــــــــــــــ، ـــــــــــــــ أحداثيات
***************************************************************
أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 3، منتصفأ أوجد
( = ) ( = ) ( = ، ، ب ( 4، 2منتصفأ
***************************************************************
أ = ) كانت ب ( = ) 5، -1إذا ب ( 3، 3، منتصفأ أوجد
( = ) ( = ) ( = ، ، ب ( 1، -2منتصفأ
***************************************************************
أ = ) كانت جـ( = ) 4، 2إذا أوجد( 3، 1، ب منتصفأ جـ وكانت
أحداثياتب
94
+1س2س
ص+1ص2
1+32
2+62
42
82
1+32
- 5+3 2
42
- 2 2
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
نقطة أحداثياتالتنصيف
س،ص = ) ( 6ص + = 4 2س + = 2نفرضأنب
س( = ) ( = 3، 1) 2 = 4 – 6ص = 0 = 2 – 2،
(2، 0أحداثياتب = = ) 3 = 1
***************************************************************
س، = ) أ كانت ب ( = ) -1إذا جـ ( = )3، وكانت ص هى ( 2، 1،
ب منتصفأقيمتىس،ص أوجد
س ( = ) ( 2، 1) 4ص+ = 1 2 = 3 –،
3 = 1 – 4ص = 5 = 3+2س =
1 = 2=
أ = ) كانت ب ( = ) 1، 2إذا ،5- ،1( جـ ( ء ( = ) 5، 6، إثبت ( 7، 3،الشكل أن
أضالع متوازى ء جـ ب أ
(=) ( = ، جـ أ ء( = 3، 4منتصف منتصفب جـ أ منتصف االخر منهما ينصفكال ء ب ، جـ أ
(=) ( = ، ء متوازى ( 3، 4منتصفب ء جـ ب أ الشكل
أضالع ***************************************************************
أ = ) كانت ب( = )-1، -3إذا ،5 ،2-(= جـ( رؤوسمتوازى ( 4، 2، ، االضالع
الراسء أحداثيات أوجد ء جـ ب أ
) ( = ) ( ) ( = ، ، ص س، ء نفرضأن
االضالع = متوازى قطرا ، أضالع متوازى ء جـ ب أ
=
االخر - منهما = 5ينصفكال =2 1س+ ص+1
= س = منتصفبء جـ أ =6=5+1منتصف -1ص
2-=195
س+ 22
ص+ 42
س+ 22
ص+ 42
3 – س 2
ص + 12
3 – س 2
ص + 12
2+62
1+52 - 1+7 2
5+32
3 -(+ 2 ) 2
- 1+4 2
س+ 5 -2
ص+ 22
12
32
س+ 5 -2
ص+ 22 س+ 5 -
2 ص+ 2
212
12
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
ء) ( = ) ( = ) أحداثيات ، ،6- ،1)
***************************************************************-(= أ كانت ب( = ) 1، 3إذا التى ( 5، 5، النقط أحداثيات أوجد
أربعة إلى ب أ تقسممتساوية أجزاء
( = ) ( = ) ( = ، ، ب منتصفأ ( 3، 1ء
- ( = ) ( = ) ( = ، ، ء أ منتصف ( 2، 1جـ
( = ) ( = ) ( = ، ، ب منتصفء ( 4، 2هـ
**************************************************************أ = ) فيها بقطر أ التى الدائرة مركز ب( = ) -2، 1أوجد ،5 ،4 )
-( = ) ( = ) ( = ، ، الدائرة (3، 2مركز
يأتى( 1) مما كال التنصيففى نقطة أحداثيات أوجد( = ] أ] ب( = ) 0، 1أ ،3 ،6-( = ] أ ( ] ب ( = )5، 3ب ،1 ،3)
-( = ] أ] ب( = )-3، 4جـ ،2 ،7( = ] أ( ] ب( = )1، 2ء ،5- ،7 )
(2- ( = أ( كانت جـ ( = ) 4، 1إذا أوجد ( 3، 2، ب منتصفأ جـ وكانت
أحداثياتب كانتب( = ) 3) جـ( = )5، -2إذا أوجد ( 4، 1، ب منتصفأ جـ وكانت
أ أحداثياتس،( = ) 4) أ كانت ب( = ) -3إذا جـ ( = ) 1، ، ص جـ( 5، 1، وكانت
أوجد ب منتصفأقيمتىس،ص
أجزاء( 5) أربعة إلى الداخل من ب أ تقسم التى النقط أحداثيات أوجد
حيث متساويةب( = )2، 0أ=) ،4 ،10)
96
000 بهءجأ- 3+5
21+5
222
62
- 3+1 2
1+32
- 2 2
42
- 1+5 2
3+52
42
82
1 -(+ 5 ) 2
2+42
- 4 2
6تمارين 2(4)
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
أجزاء( 6) أربعة إلى الداخل من ب أ تقسم التى النقط أحداثيات أوجد
حيث متساويةب( = )1، 2أ = )- ،6 ،5)
أ( = ) -7) حيث فيها بقطرا أ التى الدائرة مركز ب ( = )4، 1أوجد ،3 ، 6 )
أ( = ) 8) فيه أضالع متوازى ء جـ ب جـ( = )-1، 4أ أحداثيات ( 7، 2، أوجد
قطريه تقاطع نقطةأ( =)9) النقط أن ب( = )-2، -3إثبت جـ( = )0، 5، ء( = )7، -0، هى ( 9، -8،
رؤوس التنصيف ) ( بأستخدام أضالع متوازى
أ( = ) 10) كانت ب ( = )2، -5إذا جـ ( = )-2، 3، ثالثرؤوس ( 1، 3،
لمتوازى متتاليةء الراسالرابع أحداثيات أوجد ء جـ ب أ االضالع
س،( = ) -11) النقطأ كانت ب ( = ) 1إذا جـ ( = )5، 3، ء ( = ) 2، ، ص ،4 ، رؤوس( 1
قيمتىس،ص أوجد ء جـ ب أ االضالع متوازىأ( = ) 12) كانت ب( = )-3، 5إذا س، ( = ) 1، جـ ، ص ء ( = ) 1، ،1 ،3)
رؤوسمتوازى قيمتىس،ص أوجد ء جـ ب أ االضالع
نقطتين بمعلومية مستقيم ميلس ) بالنقطتين المار س( )1،ص 1المستقيم العالقة ( 2،ص 2، من يتعين
ـــــــــــــــــــــم =
97
1ص – 2ص1س – 2س
مثال
مثال
الميـــــــــــــــــــــل
ميل أوجد بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد
بالنقطتين المار المستقيمب( = ) -2، -1أ ( = )-7، 4،( ) 2، 1 ) ،5 ،1 )
=ـــــــــــــــــــــم = = ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =
= = ـــــــــــــــــــ
ميل أوجد بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد
بالنقطتين المار المستقيم ونقطة ( 4، 3أ( = ) -6، 4،( ) 1، 0 )
االصل
=ـــــــــــــــــــــم= = ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــم =
=ـــــــــــــــ
ميل كان إذا بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد
بالنقطتين المار المستقيم-( 1 ،2( )،4 ،5- ( )1 ،2 ( )،3 ) يساوى ك فما 2،
ك قيمة
2م= = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =
2 = ـــــــــــــــــــــ
بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد-( 1 ،2( )،4 ،5 )
8 = 2 –ك
10 = 2 + 8ك= = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =
98
الحــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــل
1ص – 2ص1س – 2س
1ص – 2ص1س – 2س
1ص – 2ص1س – 2س
7 – 2 4 – 1
53
6 – 1 4 – 0
54
5 – 2 4 –-( 1)
35
الحــــــــــــل 1ص – 2ص
1س – 2س5 – 2 4 –-( 1)
35
مثال
1ص – 2ص1س – 2س
1 –-( 2)-5 –-( 2)
3 -4
- 3 4
الحــــــــــــل
1ص – 2ص1س – 2س
0 – 4 0 –-( 3)
- 4 3
مثال
الحــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــل
1ص – 2ص1س – 2س
2 ك - 3+ 1 =2
2 ك - 4 =2
هامة :- مالحظـــــــاتصفر( 1) أو سالب أو حقيقىموجب عدد يكون المستقيم ميلوهو( ) ( = 2) صفر السينات محور يوازى أفقى مستقيم أى ميل
) = ثابت ) ص معادلته الذى المستقيم(3) ( = ) ( معرف( غير اصادات محور يوازى رأسى مستقيم أى ميل
معادلته الذى المستقيم وهو) = ثابت ) س
الميل( ) ( 4) كان إذا أما شكله يكون موجب المستقيم ميل كان إذا
) ( شكله يكون سالبميله = كان إذا معرف ) ( 0أما غير ميله كان وإذا شكله يكون
) ( شكله يكونم( = 5) القانون طريق عن بيانيا مستقيم ميل إيجاد يمكنأستقامة( 6) على تقع جـ ، ب ، أ أن الثبات الميل فكرة أستخدام يمكن
بإستخدام الميل أن نثبت واحدةجـ ، ب النقطتين بإستخدام الميل يساوى ب ، أ النقطتين
ل المستقيم ميل اوجد المقابل الشكل من
الميل = =
***************************************************************
أ = ) النقط أن ب ( = )2، 1إثبت جـ ( = )4، 2، على ( 8، 4، تقع
واحدة أستقامة
ب = = = أ جـ = = = 2ميل ب ميل ،،،،،،،2
جـ = ب ميل ب أ ميل
99
10
التغيرالرأسى التغير
4 – 2 2 – 1
21
8 – 4 4 – 2
42
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
التغيرالراسى التغير
32 3
2
واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ النقط
أ = ) النقط أن ب ( = )3، 1إثبت جـ ( = )1، -5، تنتمى ( 1، 3،
واحد لمستقيم
ب = = = - أ جـ = = 1ميل ب ميل 1= -ــــــــ،،،،
جـ = ب ميل ب أ ميل واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ النقط
***************************************************************
أ = ) النقط كانت ب ( = ) -1، 4إذا جـ ( = ) 7، 2، تنتمى ( 3، ص ،
واحد لمستقيمقيمةص . أوجد ثم المستقيم ميل أوجد
المستقيم = = 1 = -1 =-ــــــميل
قيمةص = - 1اليجاد
ص واحد لمستقيم تنتمى 5 = -7 –النقط
- = جـ ب 2 = 7 +5ص = -1ميل
***************************************************************
بالنقطتين ) المار المستقيم ميل كان ،ص (5،( ) 2، -1إذا
قيمةص 3يساوى أوجد
المستقيم = 12 = 2ص +3ميل
2 – 12ص = 3 =
10ص = 3 =
***************************************************************
( جـ النقطة )-1، 8هل أ( بالنقطتين المار للمستقيم ، 1تنتمىب( )3 ،2 ،5 )
100
- 1 - 3 5 – 1
- 4 4
1 – -( 1 ) 3 - 5
2-2
7 – 1 -2 – 4
6-6
– ص 7
3-( -2) – ص 75
( 2 )- – ص 5 – 1
2 ص +4
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
جـ = = = = ب ميل ،،،، ب أ = ـــــ ميل
ب أ جـ ميل ب ميلب أ للمستقيم تنتمى ال جـ النقطة
شكل( 1) مبينا االتية النقاط من زوج بكل المار المستقيم ميل أوجد
المستقيمب ( = ) 3، 1أ[ = )1] ،4 ،5[ ) 2-(= ( 5، 1،ص( = )2، 1س[
ن( = ) 3، 0مـ[ =)3] ء ( = ) 2، 1جـ[ = ) 4 ( ]0، 4، ،3 ،2 )
ب( = )1، 3هـ[ = )5] ل( = ) -3، 1ع[ = )-6 ( ]5، 3، ،5 ،6 )
**************************************************************
بالنقطتين( )2 ) المار المستقيم ميل كان يساوى ( 4،( ) 2، 1إذا ص ،
قيمةص 1 أوجد***************************************************************
بالنقطتين( )3) المار المستقيم ميل كان ، ( )-2إذا ص 2يساوى ( 4، 3،
قيمةص فما***************************************************************
أ( = ) 4) النقط أن ب ( = )1، -2إثبت جـ ( = )2، 3، تنتمى( 5، 4،
واحد لمستقيم***************************************************************
أ( = )5) النقط أن ب( = ) 3، 1إثبت جـ ( = )1، -5، على ( 1، 3، تقع
واحدة أستقامة**************************************************************
(6(= أ( النقط كانت ب ( = ) 8، 0إذا جـ ( = ) -5، 5، على ( 5، تقع ص ،
واحدة أستقامةقيمةص أوجد ثم المستقيم ميل أوجد
**************************************************************101
5 – 3 2 –-( 1)
23
5 – 1 2 – 8
4 -6
- 2 3
تمارين (1)
أ( = )7) النقط كانت س، ( = ) 1، -2إذا ب جـ( ) 2، تنتمى ( 5، 4،
أوجدس واحد لمستقيم***************************************************************
المستقيم( 8) ميل كان أ = ) 3إذا أ 2يساوى 5س ( +1 –ص قيمة فما***************************************************************
أ( = ) +9) ص المستقيم ميل كان أ 5يساوى 3س ( +1إذا قيمة فما**************************************************************
من( 10) الصاداتفىكال محور من المقطوع والجزء الميل أوجد
االتية المستقيمات5س +4ص = 3( 2س 6 – 5ص( = 1
0 = 3س +4 –ص( 4 6س = 2 –ص 3( 3
***************************************************************
المستقيمان أن 0 = 1ص +6 –س 4، 0 = 5ص +3 –س 2إثبت
متوازيان
2م = 1م = = 1م
متوازيان = = = 2م المستقيمان***************************************************************
المستقيمان أن متوازيان 7س +2،ص = 0 = 5ص +3 –س 6إثبت
2م = 1م 2 = = 1م
متوازيان 2 = 2م المستقيمان***************************************************************
بالنقطتين ) المار المستقيم أن يوازى ( 1، 3، ( ) -5، 2إثبت
الذى المستقيم102
ميلى بين العالقةالمتوازيين تساوى المستقيمين مستقيمين توازى إذا
ميالهما
- 2 -3
23 - 4
-646
23
- 6 -3
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
0 = 7ص +5 –س 4معادلته
2م = 1م = = = ــــــــــــــــــــــ = 1م
متوازيان = = = 2م المستقيمان
المستقيمانأس كان المار 0 = 5ص +6 –إذا والمستقيم
( 1، 0بالنقطتين )
أ( 3، 3، ) قيمة أوجد متوازيان
متوازيان = ـــــــالمستقيمان
12أ = 3 2م = 1م
4أ = ــــــــــــ = ــــــ
***************************************************************
معادلته الذى المستقيم كان يوازى 0 = 1ص +4 –س 6إذا
بالنقطتين الما المستقيمقيمةص ( 1، ( ) 3، 1 ) - أوجد ص ،
متوازيان = المستقيمان 3 = 3 –ص 2م = 1م
= 6=3+3ص =
***************************************************************
المستقيمانكس كان المستقيم 0 = 1ص +4 –إذا يوازى
معادلته الذى
ك 0 = 3ص + 2س - 5 قيمة أوجد
103
1ص – 2ص1س – 2س
1 – 5 -3 – 2
- 4 -5
45
معامل- س
معاملص
- 4 -5
45
أ- -6
3 – 13 – 0
أ6
23
64
3 – ص 1+ 1
32
3 – ص 2
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
متوازيان 20ك = 2المستقيمان
ك = 2م = 1م10ك = =
( أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن )-2، 1إثبت ب( ،3 ،5-( جـ( ،2 ،7 )، متوازى( 4، 2ء)
أضالع
جـ = = = = = = ميلب ب أ 2ميل
ء = = = = = أ ميل ء جـ 2ميل
ء = = أ جـ ب ميل ، ء جـ ميل ب أ ميل // ء جـ ب ء // أ أ جـ ب أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل
***************************************************************
-( أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن )0، 1إثبت ب( ،7 ،4( جـ( ،5،
8( ء( شبه( 6، 1،منحرف
جـ = = = = = = - ميلب ب أ 2ميل
104
كل أن نثبت أضالع متوازى ء جـ ب أ أن الثباتمتوازيين متقابلين ضلعين
مالحظة
5 - 2 -3-1
3-4
- 3 4
7 – 5 -2-(-3)
21
4 – 7 2-(-2)
- 3 4
4 – 2 2 - 1
21
ضلعين توازى نثبت منحرف شبه ء جـ ب أ أن الثباتاالخرين الضلعين توازى وعدم
مالحظة
4 - 0 7-(-1)
48
12
8 – 4 5 – 7
4-2
6 – 8 1-5
- 2 -4
6 – 0 1-(-1)
62
12
ك- -4
- 5 -2
202
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
ء = = = = = = أ ميل ء جـ 3ميل
جـ = ب ميل ، ء جـ ميل ب أ ء ميل أ منحرف شبه ء جـ ب أ الشكل
بالنقطة )- المار المستقيم معادلة المستقيم( 2، 1أوجد ويوازى
بالنقطتين ) (1، 0المار
( 5 ،4 )
= = المطلوب م = = الموازىم
-( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س +3 = 10 –ص 5وميله(
3
العالقة من معادلته 0 = 3س -3 – 10 –ص 5تتعين
0 = 13 –س 3 –ص 5م = ـــــــــــــــــــ
***************************************************************
بالنقطة ) المار المستقيم معادلة المستقيم( 2، 1أوجد ويوازى
ميله = الذى
= = المطلوب م = الموازىم
( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم 3 –س 3 = 8 –ص 4وميله(
العالقة من معادلته 0 = 3س +3 – 8 –ص 4تتعين
0 = 5 –س 3 –ص 4م = ـــــــــــــــــــ
***************************************************************
بالنقطة ) المار المستقيم معادلة المستقيم( 3، -1أوجد ويوازى
معادلته الذى0 = 1س +5 –ص 4
105
353
5
1ص –ص 1س –س
35
2 – ص 1س +
34
34
343
4
1ص –ص 1س –س
34
2 – ص 1 –س
- 5 -4
54
54
3 ص + 1 –س
4 – 1 5 - 0
35
54
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
= = المطلوب م = = الموازىم
( بالنقطة يمر المطلوب = 3، -1المستقيم س -5 = 12ص +4وميله(
5
العالقة من معادلته 0 = 5س +5 – 12ص +4تتعين
0 = 17س +5 –ص 4م = ـــــــــــــــــــ
أ( = )1) كانت ب( = )3، 2إذا جـ( = )2، 4، أب( //6، 0ء( = )5، 2، أن إثبت
ء جـ(2(= أ( كانت ب( = )-3، 2إذا جـ( = )4، 1، ء( = )3، 5، أ( 4، 7، أن إثبت
ء // ب جـء( // 3) جـ ب أ أن علم إذا ك قيمة أوجد ياتى مما كال فى
( = ] أ] ب( = ) 5، 2أ ،3- ،1- ( = ) ، ك جـ ء( = ) 2، ،1 ،4)
(= ] [، ك أ ب( = )3ب جـ( = )4، 1، ء ( = )-3، 0، ،3 ،2 )
(= ] أ] ،( = ) -5، 2جـ ك ب جـ( = )4، ،4 ،1 ( = ) ، ك ء ،10 )
(4-(= أ( كان =)4، 2إذا ب( ،5- ،3(= جـ( ء( =) 1، 7، الشكل( 8، 0، أن إثبت
ء جـ ب أأضالع متوازى
أ( = ) 5) كانت ب( = )-9، 5إذا جـ( =)2، 2، ء ( = )6، 1، أن( 5، 2، إثبت
الشكل أضالع متوازى ء جـ ب أ
(6-(= أ( كانت ب( = )0، 1إذا جـ( = )4، 7، ء( = ) 8، 5، أن( 6، 1، إثبت
ء جـ ب أ الشكلمنحرف شبه
(7-(= أ( كانت ب( =)2، -3إذا جـ( = )2، 5، ء( =)-6، 3، أن( 4، 1، إثبت
ء جـ ب أ الشكل106
54
1ص –ص 1س –س
( 2تمارين)
منحرف شبهالجزء( 8) من وحدات ثالث يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد
ويوازى الصادات لمحور الموجببالنقطتين ) المار ( 5، 3،( ) 2، 1المستقيم
السالب( 9) الجزء من وحدتان يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد
المستقيم ويوازى الصادات لمحوربالنقطتين )- ( 5، 3،( )2، 1المار
بالنقطة( )10) المار المستقيم معادلة المستقيم ( 3، 2أوجد ويوازى
0=3ص +5 –س 4
المستقيم( 11) ويوازى االصل بنقطة المار المستقيم معادلة أوجد
2س +3ص = 5
بالنقطة( )12) الما المستقيم معادلة المستقيمص( 3، 1أوجد ويوازى
5س +2=
أس( +13) المستقيم كان الما 0=7ص -3إذا المستقيم يوازى
(4، 1،( )-3، 2بالنقطتين )
أ قيمة أوجد
المستقيمس( 14) كان بالنقطتين 5ص = –إذا المار المستقيم يوازى
(، ( 5، 4،( ) 3أ
أ قيمة أوجدالمستقيمان( 15) كان ص + +2إذا متوازيان 0 = 1أص +–،س 0 = 1س
أ قيمة أوجدالمستقيمانكس( 16) كان 0 = 3كص +–س 8، 0 = 1ص +2 –إذا
ك أوجد متوازيانبالنقطتين( )17) المار المستقيم كان س، ( ) 3، 2إذا محور ( 5، يوازى
قيمةس أوجد الصادات
107
بالنقطتين( )18) المار المستقيم كان محور ( 5، ( )3، 2إذا يوازى ،ص
قيمةص أوجد السيناتالنقط( )19) كانت ب ( = )-4، 3إذا ،3- ،1( )،2 ) أستقامة على تقع ص ،
قيمةص أوجد واحدةالنقط( )20) كانت س، ( ) 8، 4،( ) 2، 0إذا أستقامة ( 11، على تقع
قيمةس أوجد واحدةبالنقطتين( )21) المار المستقيم كان يوازى ( 5، 1،( )-3، 1إذا
بالنقطتين المار المستقيم( 3 ،5 ) بينس،ص ( ) العالقة أوجد ص س، ،
(22( أ( كان ) 5، 1إذا س،( ب ،3( جـ( ء( )7، 4، جـ( // 1، 2، ب ء أ وكان
قيمةس أوجداالتية( 23) العبارات أكملالسينات- = ...............1 لمحور الموازى المستقيم ميلالصادات- = .................2 لمحور الموازى المستقيم ميلالمستقيمص- = 3 يساوى ..................5 –س 2ميلالسيناتهى- ..........................4 محور معادلةالصاداتهى- .......................5 محور معادلةالمستقيمص- = 6 يساوى ......................5ميلالمستقيمس- = 7 يساوى .....................3ميلمعادلتهص- = 8 الذى محور .......................3المستقيم يوازىمعادلتهس- = 9 الذى محور .......................3المستقيم يوازى
بالنقطة- ) 10 المار المستقيم السينات ( 3، 2معادلة محور ويوازى
هى ........................بالنقطة- ) 11 المار المستقيم الصادات ( 3، 2معادلة محور ويوازى
هى ........................المستقيمينس- = 12 بين تساوى .............5،س = 3الزاويةالمستقيمينص- = 13 بين تساوى ..............4،س = 2الزاوية
108
***************************************************************
المستقيمان أن 0 = 1ص +4س + 6، 0 = 5ص +3 –س 2إثبت
متعامدين
1 = × = -2م × 1م = = 1م
متعامدان = = 2م المستقيمان***************************************************************
المستقيمان أن س = +2، 0 = 5ص +3س + 6إثبت متوازيان 7ص
1 × = -2 = -2م × 1م 2 = = -1م
متعامدان = 2م المستقيمان***************************************************************
بالنقطتين ) المار المستقيم أن عمودى ( 1، 3، ( ) -5، 2إثبت
الذى المستقيم على0 = 7ص +4س +5معادلته
1 = × = -2م × 1م = = = ــــــــــــــــــــــ = 1م
متعامدين = = = 2م المستقيمان
المستقيمانأس كان المار 0 = 5ص +6 –إذا والمستقيم
( 1، 0بالنقطتين )
109
المستقيمين ميلى حاصلضرب1المتعامدين=-
- 2 -3
23 - 6
4- 3 2
- 6 3
1ص – 2ص1س – 2س
1 – 5 -3 – 2
- 4 -5
45
معامل- س
معاملص
- 5 4
- 5 4
ميلى بين العالقةالمتعامدين المستقيمين
23
- 3 2
12
12
45
- 5 4
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
أ( 3، 3، ) قيمة أوجد متعامدان
متعامدان 1 = -1 × = -ـــــــالمستقيمان
18أ = - 2 1 =-2م × 1م
9أ = - 1ــــــــــــ =- × ــــــ
***************************************************************
معادلته الذى المستقيم كان عمودىعلى 0 = 1ص +6س + 4إذا
بالنقطتين المار المستقيمقيمةص ( 1، ( ) 3، 1 ) - أوجد ص ،
متعامدان × = - 1 = -1المستقيمان
3 = -3ص - +1 =-2م × 1م
6ص = 6=-3-3ص - = -1 × =-
***************************************************************
المستقيمانكس كان عمودىعلى 0 = 1ص +4 –إذا
معادلته الذى المستقيم
ك 0 = 3ص + 2س - 5 قيمة أوجد
متعامدان 8ك = -5المستقيمان
ك = 1 =-2م × 1م-= × 1
- = 1
بالنقطة )- المار المستقيم معادلة على( 2، 1أوجد وعمودى
بالنقطتين المار المستقيم
110
أ- -6
3 – 13 – 0
أ6
23
- 4 6
3 – ص 1+ 1
- 2 3
3 – ص 2
ك- -4
- 5 -2
- 8 5
أ 218
3 ص- +3
ك 58
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
( 0 ،1 ( )،5 ،4 )
= = المطلوب م = = العمودىم
-( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س -5 = -6 –ص 3وميله(
5
العالقة من معادلته 0 = 5س +5 +6 –ص 3تتعين
0 = 1 –س 5ص +3م = ـــــــــــــــــــ
***************************************************************
بالنقطة ) المار المستقيم معادلة على( 2، 1أوجد وعمودى
ميله = الذى المستقيم
= = المطلوب م = العمودىم
( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س +4 = -6 –ص 3وميله( 4
العالقة من معادلته 0 = 4 –س 4 +6 –ص 3تتعين
0 = 10 –س 4ص +3م = ـــــــــــــــــــ
***************************************************************
بالنقطة ) المار المستقيم معادلة على( 3، -1أوجد وعمودى
معادلته الذى المستقيم0 = 1س +5 –ص 4
= = المطلوب م = = العمودىم
( بالنقطة يمر المطلوب = 3، -1المستقيم س4 = -15ص +5وميله( +4
العالقة من معادلته 0 = 4 –س 4 +15ص +5تتعين
0 = 11س +4ص +5م = ـــــــــــــــــــ
111
35- 5
3
1ص –ص 1س –س
- 5 3
2 – ص 1س +
34
34
- 4 3- 4
3
1ص –ص 1س –س
- 4 3
2 – ص 1 –س
- 5 -4
54- 4
5
1ص –ص 1س –س
- 4 5
3 ص + 1 –س
4 – 1 5 - 0
- 5 3
- 4 5
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
(= أ النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب( = )2، -2إثبت جـ( = )4، 8، ،
5 ،7 )
الزاوية . قائم مثلث
ب م ب م 1= = = أ جـ م × أ 1 = -ب
جـ م جـ 3= = = أ ب ب أ
جـ م فىب 1 = = = -ب الزاوية قائم جـ ب أ المثلث***************************************************************
(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)0، 3إثبت ب ( ،0- ،4 )، (4، -5جـ=)-
ء = )- معين ( 0، 2،
أضالع متوازى أن الثبات أضالع متوازى الشكل أن أوال نثبت
القطرين تعامد نثبت معينب م جـ م= = = أ = = =أ
جـ م م = = = ب ء صفر 2= = = -ب
ء م جـ م= = جـ ء م × أ 1 × = -2 = -ب ء م ء= = = أ ب جـ أ صفر
ب م ء م= أ ء // جـ جـ ب معين أ ء جـ ب أ الشكل
جـ م ء م= ب ء // أ أ جـ ب
أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل
112
4 -(- 2 ) 8 - 2
66
7 -( - 2 ) 5 - 2
93
7 – 4 5 - 8
3-3
- 4 – 0 0 – 3
- 4 -3
43
- 4+4 -5-0
صفر-5
0 + 4 -2+5
43
0 – 0 -2-3
صفر-5
- 4 - 0 -5 -3
- 4 -8
12
0 – 4 0+ 2
- 4 212
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)-1، 5إثبت ب ( ،1- ،3 )، (0، 3جـ=)-
ء = ) مستطيل ( 4، 3،
م أضالع متوازى الشكل أن أوال ب نثبت جـ م× أ (1= -ب ( ب ق
=90 ب م جـ م= = = أ ء م× ب ( = 1 = -جـ ( جـ 90ق
ء م أ م × جـ ( = 1 = -ء ( ء 90قجـ م ) ( = = = = ب أ 90ق
ء م قوائم= = = جـ زواياه جميع ء جـ ب أ المتوازى
ء م مستطيل = = = أ ء جـ ب أ الشكلب م ء م= أ ء // جـ جـ ب أجـ م ء م= ب ء // أ أ جـ ب
أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل**************************************************************
(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)1، 1إثبت ب ( ،0 ،4(= جـ( ،3 ،5)
ء = ) مربع ( 2، 4،
م أضالع متوازى الشكل أن أوال ب نثبت جـ م× أ (1= -ب ( ب ق
=90 ب م جـ م 3= = =-أ ء م× ب ( = 1 = -جـ ( جـ 90ق
ء م أ م × جـ ( = 1 = -ء ( ء 90قجـ م ) ( = = = ب أ 90ق
زواياه جميع متوازى ء جـ ب أ الشكل
قوائم ء م مستطيل 3= = = -جـ ء جـ ب أ الشكل
المستطيل ليكون القطرين تعامد نثبت
مربعء م جـ م= = أ 2= = = أ
ب م ء م= أ ء // جـ جـ ب أ
113
- 3 – 1 -1 – 5
- 4 -6
23
0+3-3+1
3-2
4 – 0 3+3
46
4 - 1 3 - 5
3-2
23
- 3 2
- 3 2
4 – 1 0 – 1
3-1
5 – 4 3 - 0
13
2 - 5 4 - 3
- 3 1
2 - 1 4 – 1
13
5 – 1 3 – 1
42
2 – 4 4 – 0
- 2 4
- 1 2
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
جـ م ء م= ب م // أ ء أ جـ ء ب = = = ب
ء ب جـ أ أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكلقطراه مستطيل ء جـ ب أ الشكل
) مربع ) متعامدان
( أ النقط كانت )3، 1إذا ب( ،3 ،2( جـ ( ،0 ) رؤوسمثلث هى ك ،
فىب الزاوية قائمك قيمة أوجد
فىب = - الزاوية قائم 1المثلث
ب م جـ م× أ 6 = - 2 –ك 1 = -ب
2+6ك = -1 × = -
4ك = -1 × = -
***************************************************************
( أ النقط كانت ) 3إذا ) ، ك ب ، ك ،5( جـ ( رؤوسمثلث( 1، 0، هى
أ فى الزاوية قائمك قيمة أوجد
فىب = - الزاوية قائم 1المثلث
ب م جـ م× أ ك 3 + 9 = - 5ك +6 – 2ك 1 = -أ
0 = 14ك +9 – 2ك 1 × = -
0 ( = 7 –ك () 2 –ك ) 1 × = -
7ك = 2ك =
**************************************************************
هامة مالحظةتساوى = = ثابت ص ثابت، المستقيمينس بين 90الزاوية
114
2 – 3 3 – 1
2 – ك 0 - 3
- 1 2
2 – ك -3
2 – ك 6
5 – ك ك – 3
1 – ك 3 - 0
5 – ك ك – 3
1 – ك 3 - 0
5 ك + 6 – 2 كك 3 – 9
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
المستقيمينس = بين الزاوية 90تساوى 4،ص = 3فمثالالمستقيمينس- بين 90تساوى 0 = 3،ص +0 = 1 –الزاوية
المستقيمان( 1) أن س = +0 = 1ص +5س + 3إثبت متعامدان 2،صالمستقيمانس( 2) أن ص + = 2، 0 = 1ص +2 –إثبت متعامدان 3سبالنقطتين( ) 3) المار المستقيم أن على( 5، 3،( ) 2، 1إثبت عمودى
بالنقطتين المار المستقيم ( 1 ،2 ( )،4 ،0 )
المستقيم( 4) أن المار 0 = 2ص +4س +3إثبت المستقيم على عمودى
(2، 1بالنقطتين )
( ،4 ،6)
المستقيمانكس( 5) كان متعامدان 0 = 1 –ص 2س + 3، 5ص = 6 –إذا
ك قيمة أوجدء( 6) جـ على بعمودى أ أن علم إذا ك قيمة أوجد االتية الحاالت فى
(= ] أ] ب( = )2، 1أ جـ( = )5، 3، ،2- ،1- (= )، ك ء ،3 )
( = ] أ] ب( = )3، 1ب ،4- ،1 (= )، ك جـ ك( = ) - (5، ، ك ء ،(= ] أ] ( = )2جـ ب ، ك جـ ( = )5، 1، ،1 ،4 ( = ) ، ك ء ،5)
وعمودىعلى( 7) االصل بنقطة المار المستقيم معادلة أوجد
0= 2ص +4 –س 3المستقيم
بالنقطة( ) 8) المار المستقيم معادلة على( 3، -2أوجد عمودى
3س+5المستقيمص =
بالنقطة( )-9) المار المستقيم معادلة على( 2، -1أوجد وعمودى
بالنقطتين المار المستقيم ( 2 ،0 ( ) ،5 ،4 )
115
تمارين (3)5
3
الجزء( 10) من وحدات ثالث يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد
الصاداتوعمودى لمحور الموجبالمستقيم 0ص = 5 –س 4على
الجزء( 11) من وحدات أربعة يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد
الصاداتوعمودى لمحور السالببالنقطتين ) المار المستقيم ( 1، 4، ( ) 5، 1على
أ( = )12) النقط أن ب( = ) 2، 3إثبت جـ( = )-4، -1، هىرؤوس( 0، 1،
الزاوية قائم مثلث(13(= أ( النقط أن ب( =)3، 5إثبت جـ( = ) 2، -3، هىرؤوس ( 5، 0،
الزاوية قائم مثلث(14-(= أ( النقط أن =)3، 1إثبت ب( ،5 ،1(= جـ( ،6 ،4(= ء( هى( 6، 0،
رؤوسمستطيل (15(= أ( النقط أن 3إثبت 3،(= ب( ،5 ،9-(= جـ( ء( = )-7، 1، هى( 1، 3،
رؤوسمعين (16(= أ( النقط أن =)1، 1إثبت ب( ،0 ،4(= جـ( ،3 ،5(= ء( هى( 2، 4،
رؤوسمربع بالنقطتين( 17) المار المستقيم على العمودى المستقيم ميل أوجد
=)3، -2أ=) ب( ،3 ،5)
النقطة ) الصاداتفى محور ويقطع م ميله الذى جـ (0المستقيم ،] الصادات] محور من جـ يقطع
جـ = + مس العالقةص من معادلته تتعين**************************************************************
ميله = الذى المستقيم معادلة الصادات 2أوجد محور ويقطع
النقطة ) ( 3، 0فى
3جـ = 2م =
116
مث ال
الحــــــــــــــــــل
والجزء ميله بمعلومية مستقيم معادلةالصادات محور من المقطوع
= ص = + جـ مس المستقيمص 3س +2معادلة
***************************************************************
ميله = الذى المستقيم معادلة الصادات 3أوجد محور ويقطع
النقطة ) ( 4، -0فى
4جـ = -3م =
= ص = + جـ مس المستقيمص 4س - 3معادلة
***************************************************************
ميله = الذى المستقيم معادلة ثالثوحدات 5أوجد ويقطع
لمحور الموجب الجزء منالصادات
3جـ = 5م =
= ص = + جـ مس المستقيمص 3س +5معادلة
***************************************************************
ميله = الذى المستقيم معادلة ثالثوحدات 2أوجد ويقطع
لمحور السالب الجزء منالصادات
3جـ = -2م =
= ص = + جـ مس المستقيمص 3س - 2معادلة
المقطوع والجزء االتية المستقيمات من كال ميل أوجد
الصادات محور من بواسطتها
4 –س 3ص( = 2 )5س +2ص( = 1)
3الميل = 2الميل =
117
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مث ال
الحــــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
= الصادات محور من المقطوع من 5الجزء المقطوع الجزء
- = الصادات 4محور
******************************* ******************************
5 –س 3ص = 2( 4س )4 – 3ص( = 3)
الميل = 4الميل = -= الصادات محور من المقطوع من 3الجزء المقطوع الجزء
= الصادات محور****************************** ******************************
س( = +5) 0 = 6 –س 5 –ص 3( 6 )5ص
الميل = = الميل= الصادات محور من المقطوع من 5الجزء المقطوع الجزء
= الصادات 2محور
******************************* ******************************
1س = 3ص( + 8 )0 = 7س +2ص( - 7)
س 3 – 1ص = 7 –س 2ص = 3الميل = -2الميل =
-= الصادات محور من المقطوع من 7الجزء المقطوع الجزء
= الصادات 1محور
******************************** ******************************
س = +2( 9) (4 –س 3)2ص( = 10 )5ص
6الميل = × = = ــــــالميل =
= من المقطوع الجزء الصادات محور من المقطوع الجزء
- = الصادات 8محور
المستقيم ميل مع 12ص = 3س +2أوجد تقاطعه نقط أوجد ثم
االحداثيات محورى118
32- 5
2
23
53
23
13
1321
312
165
2
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
محور = = مع التقاطع نقط اليجاد الميل
السينات 0نضعص =
نضع الصادات محور مع التقاطع نقط 12س = 2اليجاد
6س = 0س =
=12ص=3 السيناتفى 4ص محور يقطع المستقيم
(0، 6النقطة )
الصاداتفى ) محور يقطع (4، 0المستقيم
المستقيم ميل كان أس = + 2إذا أ 3يساوى 5ص قيمة أوجد
3 = ــــــ 0 = 5 –أس –ص 2
المستقيم = 6أ = 3ميل
= 3
أ = ) ص المستقيم ميل كان أوجد 3يساوى 4س ( + 2 –إذا
أ قيمة
المستقيم = 2+3أ = 3ميل
5أ = 3 = 2 –أ
المستقيم ميل كان أ = ) +3إذا أوجد 4يساوى 1س ( +2ص
أ قيمة
المستقيم = 12 = 2أ + 4ميل
2 – 12أ =
10أ = 4 =
119
معامل- س
معــامل
- 2 3
معامل- س
معــامل
أ2
2 أ + 3
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مثا ل
الحــــــــــــــــــل
مستقيم معادلة على تمارين
والجزء ميلة بمعلوميةالصادات محور من المقطوع
ميله( = 1) الذى المستقيم معادلة االتجاه 3أوجد من وحدتان ويقطع
الصادات لمحور الموجبخمسوحداتمن( = 2) ويقطع ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
الصادات لمحور الموجب االتجاهميله( = 3) الذى المستقيم معادلة وحداتمن 4أوجد ثالث ويقطع
الصادات لمحور السالب االتجاهميله( = -4) الذى المستقيم معادلة االتجاه 3أوجد من وحدتان ويقطع
الصادات لمحور الموجبمن( = 5) وحدتان ويقطع صفر ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
الصادات لمحور الموجب االتجاهميله( = 6) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 3أوجد محور ويقطع
( 4، 0النقطة )
ميله( = 7 ) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 3أوجد محور ويقطع
( 3، -0النقطة )
ميله( = -8) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 2أوجد محور ويقطع
( 5، 0النقطة )
ميله( = 9) الذى المستقيم معادلة المستقيم 3أوجد 5 –س 4ويوازى
0 = 1ص +
المستقيمص( = = 10) ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة 2أوجد
5س +
المستقيم( = 11) ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة ص =3أوجد
س 4 – 5ميله( = 12) الذى المستقيم معادلة المستقيم 3أوجد على 4وعمودى
0 = 1ص +5 –س
المستقيم( = 13) على وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
5س +2ص =
120
23
34
25
34
25
المستقيم( = 14) وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة ص 3أوجدس 4 – 5= المار( = 15) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
بالنقطتين (1 ،2( )،5 ،7)
المار( = 16) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
بالنقطتين-(1 ،2( )،1- ،3)
المار( = 17) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
بالنقطتين (0 ،5( )،4 ،0)
المستقيم( = 18) على وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد
بالنقطتين المار(1- ،2( )،5 ،2)
معادلة أوجد( 19)
ميله = المستقيم الذى
المستقيم وعمودى على
بالنقطتين المار-(1- ،2( ) ،3 ،5)
121
13
- 4 3
32
- 3 5
23
للزاوية :- القياسالستينىالدرجة القياسوحداته أنواع من نوع القياسالستينى
والثانية والدقيقة 60الدقيقة ) = // 60 = /1دقيقة ( 60الدرجة ) = / 60 = 1
ثانية ( أو ودقائق درجات أو درجاتفقط من الزاوية تتكون وقد
فمثال وثوانى ودقائق درجاتأ) ( = ب ) ( = 100ق ق أو جـ ) ( = 150 /40 ق أو 15// 35 /
70 طريقتين بأحدى درجات إلى والثوانى الدقائق تحويل ويمكن=================================================
==============بالدرجات التالية الزوايا من أكتبكال
( 100 /25أ ) ( ب ) 15// 30/ 120 الحــــــــــــــــــــــل
أ) ( األولى الطريقة
25/ 100 = i 100 = + 100 + 0.41666667 = 100.41666667الحاسبة ) ( بااللة الثانية الطريقة
122
األساسية المثلثية النسبالحادة للزاوية
2560
100 ,,,,40 ,,,, =100.4166666
مثال
) 120 /30 //15ب)االولى الطريقة
15// 30/ 120 = i 120 + + i 120= ـــــــــــــــ + i 0.5 + 0.00416667 = 120.5041667
الحاسبة ) ( بااللة الثانية الطريقة
===============================================================
والدقائق بالدرجات األتية الزوايا من أكتبكالوالثوانى
( 54.36أ ) ( 100.5ب )الحــــــــــــــــــــل
الحاسبة االلة بأستخدام
54.36 = 36 // 21/ 54 i ) 100.5ب)
الحاسبة بأستخدام
====================================================================
الحادة للزاوية المثلثية النسبجميع إيجاد يمكن الزاوية قائم مثلث فى تقع حادة زاوية أى
الزاوية القائم المثلث أضالع بمعلومية لها المثلثية النسبوهى حادة زاوية الى مثلثية نسب ثالث توجد
بالرمز( ) ( )1) وباالنجليزية جا بالرمز له ويرمز الزاوية جيب
Sin)
وباالنجليزية( ) ( 2) جتا بالرمز له ويرمز الزاوية تمام جيب
(Sinبالرمز )
بالرمز( ) ( )3) وباالنجليزية ظا بالرمز له ويرمز الزاوية ظل
tan)
123
3060
1560 × 60
120 ,,,,30 ,,,, =120.504166630 ,,,,
54.36 =shif ,,,, =54 21 36
100.5 =shif ,,,, =100 30
مثال
أ = = = جاجـ = جا
أ = = = = جتا جتاجـ
أ = = = = ظا ظاجـ********************************************************
الحظأن فيكون والمجاور المقابل وضع يتغير أ لزاوية بالنسبة
ب ) ( ) ( أ والمجاور جـ ب المقابل********************************************************
) جـ :- ) أ أن ب = ) (2الحظ (2أ جـ + ) 2ب
ب ) ( (2أ جـ = ) جـ ) (– 2أ 2ب
) جـ ) (2ب جـ = ) ب ) (– 2أ 2أ
أكمل المقابل الزاوية القائم المثلث منجـ( = ...... )1) أ( = .......3جا جاأ( = .......6جتاجـ( = ........ )3 ) جتاجـ( = ......... )7) أ( = ........ 10ظا ظا
========================================================================
ب = حيثأ فىب الزاوية قائم مثلث جـ ب ب 5أ ، سمأوجد 12جـ = سم
جا أن أثبت ثم أ لزاوية المثلثية الدوال جتا + 2جميع أ =2أ1
الحـــــــــــــــــــــــــــــلجـ) ( ب = ) (2أ جـ + ) (2أ 2ب
( = 5)2( + 12) 2 = 25+144 = 169124
أ
جـبالمقاب
المجا
الوتر
المقابل
الوتــ
ب أجـ أالمجاور
جـ بجـ أ
المقـــابل
ب أ ب
أ
جـب
أ
جـ
س3
س4
س5
المقابل
جـ بجـ أالمجاور
ب أجـ أ
المقـــابل
ب أ ب
*
جـب
أ
بجـ
س5
سم12
مثال
مثال
جـ = سم 13 = 169أأ = = = جا
جتا + 2جا 2 + ) (2أ = ) (2أأ = = = ــــــجتا
1 = ــــــــــ = ـــــــــ + ــــــــ = أ = = = ــــــظا
===================================================================
كان فإذا فىب الزاوية قائم مثلث جـ ب ب = 2أ جـ 3أ أالمثلثية النسب فأوجد
جـ للزاوية األساسيةالحــــــــــــــــــــــــــل
ب = 2 جـ 3أ أ =
) جـ) 2 (2 = ) 2ب – ( 3) 2 = 4 – 3 = 1
جـ = 1ب
جـ = = = = ظا جتاجـ جـ 3جا
سع = ، فىع الزاوية قائم مثلث سم،س 7سصعسم 25ص =
من كال قيمة أوجدظاص( × )1 ) جا + 2جا( 2ظاس ص 2س
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــل 2(7 )– 2(25 = )2سع ) (– 2سص = ) (2عص) (
= 625 – 49 = 576 سم 24 = 576عص =
ظاص × = × = 1ظاس
جا + 2جا 1 = - = = =2 + ) (2ص = ) (2س
125
المقابل
المجاالوتــورالمقـــابل
بجـ
1213
ب أجـ أ
بجـ
513
125
1213
513
144169
25169
169169
أب
جـ أ
3 2
أ
جـب
32
3 2
12
3 1
س
ص عس25سم7
م
مثال
س24 24 7
7 242425
7 24
576625
49625
576 + 49 625
625625
مثال
=================================================
========================
جـ = = أ ب أ فيه الساقين مثلثمتساوى جـ ب ، 5أ سم
جـ = سم 8بجـ لزاوية األساسية المثلثية الدوال جميع أوجد
الحــــــــــــــــــــــل جـ فينصفب جـ علىب عمودى ء أ نرسم
ء أ نوجد ثمء) ( ب = ) (2أ ء ) (– 2أ 9 = 16 – 25 = 2ب
= ء سم 3أظاجـ = = = = = = جتاب جاب
=======================================================
=======================
أكمل ( 1 ) المقابل الشكل فىجاس ( = .........أ
= ) جتاس ..........ب
ظاس ( = ...........جـ
جاع( = جتاع = ............ ء ظاع = .............، ،........
االلة أستخدام بدون لها المثلثية الدوال إيجاد يمكن بعضالزوايا هناك
هذه تسمى ولهذا الحاسبةالخاصة بالزوايا الزوايا
للزاويتين المثلثية الدوال ، 30اليجاد ثالثينى 60 مثلث برسم نقوم
ستينى
126
أ
جب س4س4
س5س5
ء
المقابل الوت
المجاورالوتر
المقابل
المجاو
35
45
34
تدريصسب
عس9م
س40م
لبعض المثلثية النسبالخاصة الزوايا
مثال
للزاوية المقابل الضلع أن المعروف نصف 30من يساوىجـ = = أ فإن ل أب فرضأن وإذا الوتر ل 2طول
جـ ب بإيجاد قمنا وإذا) جـ) (2ب جـ = ) ب ) (– 2أ (2 = ) 2أ 2ل ) (– 2ل
جـ = 2ل 3 = 2ل – 2ل 4 = ب ل 3فيكون = = = 60جا ـــــــــ = = = 30جا
ــــــ = = = 60جتا= = = 30جتا
3 = = = 60ظا = = = 30ظا
=======================================================
================================
للزاوية المثلثية الدوال الزاوية 45اليجاد قائم مثلث نفرضوجود
زواياه الثالثة 45أحدى الزاوية فتكون المثلثسيكون 45 أن أى أيضا
الضلع نوجد ل ، ل طوليهما ساقيه نفرضأن الساقين مثلثمتساوى
الوتر وهو الثالثجـ) ( (2أ ب = ) (2أ جـ + ) 2ل 2 = 2ل + 2ل = 2بجـ = ل 2أ
للزاوية المثلثية الدوال تكون كالتالى 45وبالتالى تكون ـــــــــ = = = 45جا
ــــــــــ = = = 45جتا
1 = = = 45ظا
المقادير من كال قيمة أوجد الحاسبة أستخدام بدون
االتية 30جا 60جتا + 30جتا 60جا( 1)
الحـــــــــــــــــــــــــل
127
أ
جـب 30
60ل2ل
ل 3
المقابل المجاورالوتالوترالمقــا
بل المجاو
لل2
12
ل 3 ل2
32
ل ل3
المقابل الوت
المجاورالوترالمقــا
بل المجاو
1 3
لل2
12
ل 3 ل2
32
ل 3 ل
أ
جـب
ل 2
ل
ل 45i
45i
المقابل المجاورالوتالوترالمقــا
بل المجاو
لل 2
لل 2لل
12
12
32
3212
12
34
14
44
مثال
1المقدار = × + × = + = =
********************************************************
60جتا - 45ظا + 45 2جا( 2)
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل1 - = 1 = + – 1 + 2المقدار = ) (
********************************************************
45جتا 45جا + 60 2ظا + 60 2جا( 3)
الحـــــــــــــــــــــــــــل + = = 3 + × = +2 (3المقدار =) ( + )
=================================================
=======================
30 2جتا + 60ظا 60جا – 30جا 60جتا( 4)
الحــــــــــــــــــل = - + 2 + ) (3المقدار = × - ×
= 1 = -
********************************************************
مالحظات فمثال( ) 1) لها المتتمة الزاوية تمام جيب يساوى الزاوية جيب
= (60جتا = 30جا
زاوية( = ) (2) الى أ ظا
أن إثبت الحاسبة أستخدام بدون
128
12
12
12
32
2 12
12
34
12
3+ 12+2 4
174
12
12
12 3
2 3
214
32
34
32
- 1 2
12 جـــا
أ
2ظا – 60 3جتا 9 = 30 3جا( 4 )45جتا 45جا 2 = 45ظا( 1)
45
الحـــــــــــــــــــــل
الحـــــــــــــــــــــــــل = 3االيمن = ) (1االيمن =
1 × = 2 × × = 2االيسر =
× -9 = 2(1 )– 3 ) (9االيسر =
1
متساويان الطرفان - = 1 =
1 – 30 2جتا 2 = 60جتا( 2)
60جا – 30جتا 60جتا( 5الحــــــــــــــــل )
صفر = 30جا االيمن =
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــلااليمن = × - × 1 × - 2 =1 – 2 ) (2االيسر=
- = 1 = صفر = - =
متساويان 30 2جا 2 – 1 = 60جتا( 3) الطرفانالحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
االيمن= × 2 – 1 ) ( = 2 – 1االيسر =
= 1 = -
متساويان الطرفان
129
12
12
3 2
34
32
12
12
12
18
12
12
98
18
12
12
32
32
34
34
12
12
12
214
12
12
كيفيحزن رب عنده من
ويغفر يقدر ويستر
ويرى ويرزقوبيده ويسمع
مقاليد
قيمةسحيث أوجد الحاسبة إستخدام س > >0بدون
أن 90 تحقق التى
60جا 30جا 4ظاس( = 4 )45جتا 45جا 2ظاس( = 1)
الحـــــــــــــــــــل
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل × ×4ظاس × × = 2ظاس =
× 4ظاس × = 2ظاس =
3ظاس = 1ظاس =
س = 45س = 60
جا( = 5 )60جا 2ظاس = 3( 2) 60ظا 30جتاس
الحـــــــــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل جتاس × = × 2ظاس = 33ظـــــــاس = 3
جتاس = = ظاسفى ومقاما بسطا 30س = 3بالضرب
ظاس = × ــــــــــ ظاس =
ــــــ ظاس =
130
12
12
12
32
12
32
34
3 12
32
3 3
3 3
3 3
33 313
تقل الكثرت راياتالباطل وقم
مثال
30س =
للزوايا المثلثية ، 60، 30تلخيصالدوال 45
********************************************************الحاسبة :- االلة بأستخدام لزاوية االساسية المثلثية الدوال إيجاد
من كال قيمة أوجد مثال200ظا( 3 )120جتا( 2 )50جا( 1)
الحــــــــــــــــــــل الحاسبة( 1) االلة بأستخدام
0.766044443 = 50جا
********************************************************الحاسبة( 2) االلة بأستخدام
0.5 = - 120جتا
********************************************************الحاسبة( 3) االلة بأستخدام
0.363970234 = 200ظا
131
306045
جا
جتا
31ظا
12
12
1212
32
3 2
1 3
nis 05 = 0.766044443
soc 021 = - 0.5
nat 002 = 0.363970234
المثلثية الدوال أحدى علمت إذا زاوية إيجاد
لها :-********************************************************
أن :- تحقق سالتى قيمة أوجد مثال 0.45جاس( = 1)
0.125جتاس( = 3)
0.6124ظاس( = 5)
الحــــــــــــــــــــــــــــــل جيببها( = 1) التى الزاوية الحاسبة 0.45اليجاد االلة بأستخدام
26 /44 //37س = ********************************************************
تمامها( =2 ) جيبب التى الزاوية االلة 0.125اليجاد بأستخدام
الحاسبة
82 /49 //9س = ********************************************************
التىظلها( = 1 ) الزاوية الحاسبة 0.6124اليجاد االلة بأستخدام
31 /28 //59س =
132
shift sin 0.45 = 26 44 37
shift cos 0.125 = 82 49 9
shift tan 0.6124 = 31 28 59
طوله حائطرأسى 10سلم على العلوى بطرفه يستند م
وبطرفه 7أرتفاعه مالتى قياسالزاوية أوجد أرضأفقية على السفلى
االرض مع السلم يصنعهاالحــــــــــــــــــل
جاجـ = جـ ) ( = 44 /25 //37ق
********************************************************
طوله حائطرأسى 7سلم على العلوى بطرفه يستند م
أرض السفلىعلى وبطرفهالحائط عن يبعد السفلى الطرف كان فإذا 5أفقية
التى قياسالزاوية أوجد أمتاراالرض مع السلم يصنعها
الحــــــــــــــــــل جتاجـ =
جـ ) ( = 44 /24 //55 ق
********************************************************
أرتفاعه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند 7سلم
السفلىعلى وبطرفه ماالرض عن يبعد السفلى الطرف كان فإذا 4أرضأفقية
التى قياسالزاوية أوجد ماالرض مع السلم يصنعها
133
أ
جب
م7م 10
االرض
7 10
أ
جب
م 7
م 5
5 7
مثال
مثال
الحــــــــــــــــــل ظاجـ =
جـ ) ( = 60 /15 //18ق
طوله حائطرأسى 10سلم على العلوى بطرفه يستند م
أرض السفلىعلى وبطرفهقياسها االرضزاوية مع يصنع السلم كان فإذا 50أفقية
الحائط أرتفاع أوجدالحــــــــــــــــــل
= 50جا
ب = م 7.66 = 50جا 10أ
********************************************************
طوله حائطرأسى 7سلم على العلوى بطرفه يستند م
أرض السفلىعلى وبطرفهقياسها زاوية االفقى مع يصنع السلم كان فإذا أفقية
السفلى 40 الطرف بعد أوجد الحائط عن
الحــــــــــــــــــل = 40جتا
جـ = م 5.36 = 40جتا 7ب
********************************************************
134
أ
جب
م7
م 4
7 4
أ
جب
م7م 10
االرض
أ ب10
أ
جب
م 7 جـ ب7
مثال
مثال
مثال
50
40
أرتفاعه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند 7سلم
السفلىعلى وبطرفه مزاوية االفقى مع يصنع السلم كان فإذا أرضأفقية
السلم 35قياسها طول أوجد الحــــــــــــــــــل
= 35جا
جـ × = 35جا 7أ
جـ = م 12.2 = ــــــــــــ أ
وبطرفه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند سلم
فإذا أرضأفقية على السفلىقياسها زاوية االفقى مع يصنع السلم أوجد 35كان
الطرف أن علم إذا السلم طولالحائطمسافة عن يبعد م 6السفلى
الحــــــــــــــــــل = 35ظا
ب = 35ظا 6أ
********************************************************
ساقيه الساقينطوال مثلثمتساوى جـ ب سم 10أ
سم 12وقاعدته = زواياه قياسجميع أوجد
الحــــــــــــــــــــل ء ب أ فى
135
أ
جب
م7 7 جـ أ
735جا
35
أ
جب
م7 أ ب635
أ
م 10م 10
مثال
مثال
ء) ( (2أ ب = ) (– 2أ ء ) 2ب
= 100 – 36 = 64
= ء سم 8أجـ ) ( = ــــــجتاب = 53 /7ق
= ) ( ب 53 /7ق = ) ( أ 106 /14 - 180 [ = 53 /7 + 53 /7 ] – 180ق
= 46/ 73 i ********************************************************
ظا كان قيمةسحيث 1س = 3إذا س > >0أوجد
90
الحــــــــــــــل 45س = 3 1س = 3ظا ظا = 3ظا 15س = 45س
136
جـءب م 6م 6
610
مثال