第 8 章 线性动态电路分析

本章重点换路定律8-1

电路初始值与稳态值的计算8-2

一阶电路的零输入响应8-3

一阶电路的零状态响应8-4

一阶电路的全响应8-5

一阶电路的三要素法8-6

了解电路的过渡过程，掌握换路定律；

掌握电路初始值、稳态值的确定；

掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响 应； 掌握一阶电路的三要素法；

学习目标

含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。动态电路

当动态电路状态发生改变时 (换路 )，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。

特点

8.1 换路定律1. 电路的过渡过程

S 未动作前，是一个稳定状态 ( 稳态 )

S 接通电源后，经过一定时间后，进入另一稳定状态 ( 稳态 )

i = 0, uC = 0

i = 0, uC= US

S+

–uCUS

R

C

i

S+

–uCUS

R

C

i

uC

tt1

US

O初始状态 暂态 新稳态

过渡过程产生的原因1. 电路中含有动态元件 ( 内因 )

能量不能跃变

2. 电路结构或电路参数发生变化 ( 外因 )

支路的接入、断开；开路、短路等

S+

–uCUS

R

C

i

元件参数的变化换路

2. 换路定律

在换路瞬间，如果流过电容元件的电流值为有限值，其电容电压不能跃变；若电感元件两端的电压为有限值，其电感电流不能跃变。

换路定律用公式可表示为：

)0()0(

)0()0(

CC

LL

uu

ii

如果把换路发生的时刻取为计时起点，即取为

t=0 ，以 t=0- 表示换路前的一瞬间， t=0+ 表示换路后的一瞬间。

① 电容电流和电感电压为有限值是换路定 律成立的条件。

② 换路定律反映了能量不能跃变。

注意

1) 、由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-) ；2) 、由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+) ；

iL(0+)=0 时电感相当于开路； iL(0+)≠0 时相当电流源；

4) 、由 t=0+ 的等效电路图，根据稳态电路的分析方法 进而求出其它响应的 0+ 时刻的值。

3) 、画出 t=0+ 的等效电路图： uC(0+)=0 时电容相当于短路； uC(0+)≠0 时相当电压源；

8.2 电路初始值与稳态值的计算1. 电路初始值的计算

求解初始值的一般步骤：

2. 电路稳态值的计算1). 电路的稳态值是指电路换路后到达新的稳定状态时的电压、电流值，用 和 表示。

2). 直流激励下的动态电路，当电路到达新的稳定状态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由此画出 时的等效电路，其分析方法与直流电路完全相同。

)(u )(i

t

例

求 iC(0+) , uL(0+) , iC(∞) , uL(∞)

S(t=0)

+ –uL

C uC

L

IS R

iL

+

–

8.3 一阶电路的零输入响应

1. 一阶电路

只含有一个独立储能元件的动态电路。

2. 一阶电路的零输入响应

在一阶电路中，若输入激励信号为零，仅由储能元件的初始储能所激发的响应。

uC(0+ ）

R

＋

1 SiC (0+)

－

t=0＋

－US C

2

3. RC 电路的零输入响应

t=0 时，开关由 1合向 2，电容器将向电阻器释放能量。d

dCu

i Ct

0d

d

t

uRCu C

C

0R Cu u

RC

t

C Uu

0e

RC

t

C Uu

0e

)0( t

利用分离变量法对其求解，得到电容上的零输入响应电压为：

进而得到电容上的零输入响应电流为：

0de

d

tC RC

C

u Ui C

t R

令 =RC, 称为 RC 电路的时间常数，当 R 的单位为， C 的单位为 F 时， 的单位为 s .

uc , ic 以同一指数规律衰减到零，

衰减快慢取决于 。

的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 越大暂态过程延续的时间越长。在相同的电压条件下，在 R为定值时， C越大， 越大，则电容储存的电荷和电场能量越多，放电时间就越长；在 C为定值时， R越大， 越大，则放电电流越小，放电时间变长。因此，可以通过改变 R或 C的值，来改变电路的时间常数，进而改变电容放电的时间。

U0

uC

O t

1 > 2 > 3

从理论上讲 t 时 , 电路才能达到稳态 . 但实际上一般认为经过 3 ~ 5 的时间 , 暂态过程结束 ,

电路已达到新的稳态 .

t 0 2 3 4 5

U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 t

c eUu

0

例 . 换路前电路处于稳态， t = 0 时开关 S断开，

求 t > 0 时的响应 uC(t) 和 u1(t) 。

R 2

S

0.02 Fu1

1.5V

( t

R

R1 u

C

4 9

3. RL 电路的零输入响应换路前电路已达到稳定状态。 t=0 时，开关由 1合向 2，电感储存的磁场能量通过电阻进行释放。

d

dL

L

iu L

t

d0

dL

L

iLi

R t

0R Lu u

＋S

－

R1

＋

－uR L uL

R

1

iL

t=0＋

－US

2

－

R1

＋

－uR L uL

R

1

iL

t=0＋

－US

2

0e e 0

t tL L

SR RL

Ui I t

R

0e e 0

t tL L

SR RL

Ui I t

R

利用分离变量法对其求解，得到电感上的零输入响应电流为：

进而得到电容上的零输入响应电流为：

/0e

tL L R

L

diu L RI

dt

令 =L/R RL 电路的时间常数，其大小同样反映了 RL 一阶电路暂态过程进行的快慢程度。

①一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。

( ) (0 )e 0t

f t f t

iL(0+)= iL(0 － )

uC (0+) = uC (0 － )RC 电路：

RL 电路：

一阶电路零输入响应分析归纳

如果用 表示电路的响应， 表示初始 值，则一阶电路零输入响应的一般表达式为

)(tf )0( f

②衰减快慢取决于时间常数。

= R C

= L/R

R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。

RC电路

RL电路

8.4 一阶电路的零状态响应1. 一阶电路的零输入响应电路换路时储能元件没有初始储能，电路仅由外加电源作用产生的响应。

2. RC 电路的零状态响应

R

＋

SiC

uC－

t=0＋

－US C

uC (0)=0 Sd

dUu

t

uRC C

C

ScR Uuu

回路电压方程满足 KVL

C S (1 )t

RCu U e

C S (1 )t

RCu U e

)0( t

电容上的零状态响应电压为：

电容上的零状态响应电流为：

C sC ( )

t

RCdu U

i t C edt R

t

iCuC

iC

uC

US

iC(0+)

0

0.632US

τ

RC 电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流 iC 按指数规律衰减；电容电压 uC 按指数规律增加。

3. RL 电路的零状态响应 R

＋

SiL

uL

－

t=0＋

－US

L

＋ uR－

S(1 e ) 0

tL

RL

Ui t

R

Sd

dURi

t

iL L

L

电感上的零状态响应电流、电压分别为：

LSL e 0

tL

Rdi

u L U tdt

RL 电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压 uL 按指数规律衰减 ( 即只存

在过渡过程中 ) ；电感电流 iL 按指数规律上升。 在 RL 零状态响应电路中，电感元件是

建立磁建立磁场场的过程。

iL , uL

tO

uL

iL

R

US

US

①一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；

一阶电路零状态响应分析归纳

( ) ( ) 1-e 0t

f t f t

= R CRC 电路：

RL 电路：

② 如果用 表示电路的新稳态值， 仍表示时间常数，则一阶电路零状态响应的一般表达式为

( )f

= L/R

注：该一般形式只能用于求解零状态下 RC 电路中的

uC 和 RL 电路中的 iL 。

8.5 一阶电路的全响应1. 一阶电路的全响应

电路中既有外输入激励 (即有独立源的作用 )，动态元件上又存在原始能量 (换路 uC 和 iL 不为零 )，当电路发生换路时，在外激励和原始储能的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。

R1

＋

Si

uC－

（ t=0 ）＋

－US C uC (0)=U0

2. 一阶电路全响应的规律 R1

＋

Si

uC－

（ t=0 ）＋

－US C uC (0)=U0

零状态响应（由外施激励源产生） 零输入响应（由初始储能产生）

)0()1( 0

teUeUutt

SC

全响应 = 零输入响应＋零状态响应

全响应的两种分解方式

uC"

-USU0 瞬态解

uC'US

稳态解

U0uC 全解

t

uC

O

全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (瞬态解 )

①着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰

全响应 = 零状态响应 + 零输入响应

)0(e)e1( 0S

tUUutt

C

②着眼于因果关系 便于叠加计算

零输入响应零状态响应

S(t=0)

US C+

–

R

uC (0 － )=U0

S(t=0)

US C+

–

R

uC (0 － )=0

+

S(t=0)

US C+

–

R

uC (0 － )=U0

图示电路在换路前已达稳态，且 UC(0-)=12V ，试求 t ≥ 0 时的 uC(t ）和 iC(t) 。

＋

S

iC

uC

－

（ t=0 ）＋

－

2KΩ 1mF

1KΩ

9V

8.6 一阶电路的三要素法1. 一阶电路全响应的一般公式

）（

0)()0()()( teffftft

2. 一阶电路的三要素初始值 f (0+) ；换路后的稳态值 f (∞) ；时间常数 τ ；

3. 一阶电路的三要素法应用三要素公式求解一阶电路的响应的方法。

三要素法求解步骤：

1 ）初始值 f (0+) ，利用换路定理和 t=0+ 的等效电路 求得；2 ）换路后的稳态值 f (∞) ，由换路后 t=∞ 的等效电 路求得 ；3 ）时间常数 τ ，只与电路的结构和参数有关； = R CRC 电路：

RL 电路： = L/R

其中，电阻是换路后，在动态元件外的戴维宁 等效电路的内阻。

例 4-2已知： t=0 时合开关，求换路后的 uC(t) 。

1A 21

3F+

-uC