١

اختبارات تخص تبایني مجتمعین Tests Concerning Two Populations Variances

ین دینا مجتمع رض أن ل طة: بف متوس ا طبیعی ا ع توزیع ھ 1األول یتب 2وتباین

1 اني : والث متوسطة طبیعیا 2وتباینھ 2یتبع توزیعا

2 این س التب ا نف والمطلوب اختبار ھل المجتمعین لھم2؟ أي ھل

221 ت إذا كان 2أم ال ؟ ف

221 ین ین المجتمع اك تجانس ب ول أن ھن ا نق . فإنن

رض حة الف ن ص د م 2إن التأك2

21 ار روري الختب ین ض طي مجتمع ین متوس رق ب ( الف

ار ة ) . tاختب و مقارن دفھا الرئیسي ھ ون ھ ي یك اث الت ن األبح د م اك العدی 2أیضا ھن1 ع م

22 مثل دراسات جودة البضائع المستھلكة حیث یعتبر التباین أھم مقاییس الجودة .

:الختبار فرض العدم 2

2210 :H

:ضد الفرض البدیل 2

2211 :H

ا ة عشوائیة حجمھ ار عین ابي 1nنخت یكن متوسطھا الحس ع األول ول ن المجتم ا 1x م 2وتباینھ1s

ا 2xمن المجتمع الثاني ولیكن متوسطھا 2nوتختار عینة عشوائیة أخرى حجمھا 2وتباینھ2s

٠ :بافتراض صحة فرض العدم فإن ) . العینة الثانیة مستقلة عن العینة األولى (

22

21

ssf ,

ر العشوائي ع Fتمثل قیمة للمتغی ھ توزی ة Fل درجات حری 1n,1n ب 2211 ین حرجتین لمستوى معنویة ٠ f),(، سوف نحصل على قیمت 21

2

و),(f 212

1

ى . وعل

إن ك ف fF),(ذل 212

أو),(fF 212

1

رفض ة ال ثالن منطق رفض . تم ة ال م منطق حج

ي ة ف الىشكل الیساوى المساحة المظلل ة الحرجة . الت رالقیم ن Fللمتغی ي الطرف األیسر یمك ف :الحصول علیھا من العالقة التالیة

. 0Hالمحسوبة في منطقة الرفض فإننا نرفض fإذا وقعت

),(f1),(f

122

212

1

.

٢

الختبار فرض العدم

22

210 :H

ضد الفرض البدیل 2

2211 :H

ع فإن منطقة الرفض ، بمستوى معنویة ن التوزی ذیل (، سوف تكون في الجانب األیسر م الیم ) . األیسر ل كل ق ة تمث ذه الحال ي ھ رفض ف ة ال ث Fمنطق fF),(بحی 211 . را وأخی

:الختبار فرض العدم 2

2210 :H

:ل ضد الفرض البدی 2

2211 :H

ن فإن منطقة الرفض ، بمستوى معنویة ب األیم ع ، سوف تكون في الجان ن التوزی ذیل (م الfF),(بحیث Fمنطقة الرفض في ھذه الحالة تمثل كل قیم ) . األیمن 21 .

مثال 1.0المجتمعین وذلك عند مستوى معنویة البیانات التالیة اختبر التجانس بین

:الحــل22

210 :H ,

.22

211 :H

.1.0 79.130,40f 05. ع دول توزی ن ج تخرجة م ة F والمس ات حری د درج عن

30,40 21 أما. 30,40f :فتحسب من العالقة التالیة 95.0

.575.074.11

)40,30(f1)30,40(f

05.095.0

79.1Fمنطقة الرفض 575.0أوF التباین األكبر

21

22

ssf = .252.1

5.407.50

التباین األصغر

.تقع في منطقة القبول fألن 0Hنقبل

العینة الثانیة العینة األولي5.40 7.50 2

is 31 41

in

٣

Tests Concerning Means اختبارات تخص المتوسطات

. في بعض األحیان یكون االھتمام باختبارات الفروض التي تخص مجتمعین مختلفین 21أي أننا نرغب في اختبار فرض العدم أن الفرق بین متوسطي مجتمعین ، یساوى ،

21صفر أي 021ضد الفرض البدیل 21 أي أو الفرض البدیل021 21أي 021أو الفرض البدیل 21أي . تعتمد الطریقة

المستخدمة في اختیار الفرق بین متوسطي مجتمعین على توزیع كل مجتمع وحجم العینة .في الجزء التالي سوف نتناول ثالثة حاالت. كل مجتمعالمختارة من

ة األول دم : ىالحال رض الع ار ف د اختب ین ، 0Hعن طي مجتمع ین متوس رق ب 21أن الف ،

2یساوى صفر وذلك عندما كل من2

21 , ا ھ توزیع ع ل ان وتحت فرض أن كل مجتم معلومت

أو تقریبا طبیعیا ت . طبیعیا رة وإذا كان 2أما في حالة العینات الكبی1

22 , ن ھ یمك ان فإن مجھولت

2تقدیرھما من العینات بحساب 2

21 s,s . ر العشوائي ى المتغی ة عل ذه الحال ي ھ ا ف د قرارن ( یعتم

21) اإلحصاء XX . م ن الحج وائیة م ة عش ار عین ب 1nأوال نخت ع األول ونحس ن المجتم مة (المجتمع الثاني من 2nونختار عینة عشوائیة أخرى من الحجم 1xمنھا تقلة عن العین مس

21ثم نحسب الفرق ، 2xونحسب منھا ) األولى xx نعلم أن ٠، لمتوسطي العینتین:

.

nn

0)xx(z

2

22

1

21

21

وعلى ذلك في اختبار من جانبیین وعند . صحیحا 0Hعندما یكون Zقیمة للمتغیر العشوائي فإن منطقة الرفض تحدد على الشكل مستوى معنویة

2

zZ أو2

zZ . أما في

21اختبار من جانب واحد حیث الفرض البدیل فإن منطقة الرفض ، لمستوى معنویة سوف تكون ، zZ .21وأخیرا في حالة الفرض البدیل من جانب واحد فإن

، سوف تكون منطقة الرفض لمستوى معنویة zZ .

)مثال ي . لنوعین من السلك tensile strengthأجرى اختبار على المقاومة للشد ائج معطاة ف النت

:الجدول التالي

النوع حجم العینة متوسط العینة االنحراف المعیاري للعینة

3.1s1 6.107x1 129n1 A

0.2s2 6.123x2 129n2 B

٤

( المطلوب اختبار ھل ھناك فرقا معنویا بین متوسطي المجتمعین المسحوبتین منھما العینتین ؟ ). 05.0عند مستوى معنویة

:الحــل30n1حیث أن نتبع اآلتي و:

,:H 210 .:H 211

.05.0 96.1z 025.0 والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي.

96.1Zمنطقة الرفض 96.1أوZ .

ns

ns

0)xx(z

2

22

1

21

21

.183.76

1292

1293.1

6.1236.10722

.0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض zوبما أن

مثالا ذكور وحجمھ ن ال ى م ى مجموعتین ، األول ار للعصابیھ عل ق اختب اث 35طب ن اإلن ة م والثانی

ا ذكور 40وحجمھ دي ال ابیة ل ط العص ان متوس إذا ك اري 3.21ف انحراف معی ط 6.4ب ومتوساث دى اإلن ابیة ل اري 2.24العص انحراف معی رض الق 9.3ب حة الف ن ص ق م ل أن تحق ائ

210 :H 211ضد الفرض البدیل :H 05.0عند مستوى معنویة.

:الحــل30n1حیث أن نتبع اآلتي و:

,:H 210 .:H 211

.05.0 96.1z 025.0 والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي.

96.1Zمنطقة الرفض 96.1أوZ .

ns

ns

0)xx(z

2

22

1

21

21

.92.2

409.3

356.4

2.243.2122

.0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض zوبما أن

30n2

30n2

٥

ة 2بفرض أن :الحالة الثانی2

21 , ین صغیر ن العینت ان وحجم كال م رار . مجھولت د الق یعتم

ع ى توزی دم عل رض الع ار ف ي اختب ة ف ذه الحال ي ھ ذه ف ذي نتخ رض tال ت ف ك تح وذل22

221 ) ھناك تجانس ( ا طبیعی ا ھ توزیع ة عشوائیة . وأن كل مجتمع ل ار عین أوال نخت

1من المجتمع األول وتحسب منھا 1nمن الحجم 21 x,s م ن الحج ونختار عینة عشوائیة أخرى م

2n اني ع الث ن المجتم ة ( م ن العین تقلة ع ي مس ا ) األول ب منھ 2ونحس21 x,s . این التب

:نحصل علیھ من الصیغة التالیة pooled varianceالتجمیعي

2nns)1n(s)1n(s

21

222

2112

p

فإننا نعلم أن 0Hوتحت فرض أن صحیحا

.

n1

n1s

0)xx(t

21p

21

2nnبدرجات حریة t عیتبع توزی Tقیمة لمتغیر عشوائي 21 ار ذي ٠ في حالة اختبفإن منطقة الرفض سوف تكون جانبین وعند مستوي معنویة

2

tT أو2

tT . دیل للب

21من جانب واحد رفض سوف تكون ة ال إن منطق ف tT . دیل را للب 21وأخی فإن منطقة الرفض سوف تكون tT.

مثالجلت األوزان ل س ة الطف ز رعای دى مراك ي إح ل ( ف ال ) بالرط ن األطف وائیتین م ین عش لعینت

:یتكون من خمسة أطفال فكانت البیانات كایلي حدیثي الوالدة كل منھما 7,5,6,6,8المجموعة األولي 6,5,8,7,8المجموعة الثانیة

2اختبر الفرض القائل أن -أ2

21 2ضد الفرض البدیل

221 عند مستوى معنویة

02.0 . مع العلم أن العینتین تم اختیارھما من مجتمعین طبیعیین. 210أختبر فرض العدم -ب :H 211ضد الفرض البدیل :H عند مستوى معنویة

1.0 .

:الحــل 140.1s,4.6x,5n 111 304.1s,8.6x,5n 222

2أوال یجب التأكد من أن 2

21 أي اختبار فرض العدم:

22

210 :H

:ضد الفرض البدیل .:H 2

2211

.02.0

٦

التباین األكبر

21

22

ssf = .3084.1

)140.1()304.1(

2

2

التباین األصغر 98.154,4f 01. ع دول توزی ن ج تخرجة م ة Fوالمس ات حری د درج 4,4عن 21

أما 4,4f : فتحسب من العالقة التالیة .99

.062578.098.15

1)4,4(f

1)4,4(f01.0

99.0

98.15Fمنطقة الرفض 062578.0أوF 2تقع في منطقة القبول فإننا نقبل فرض العدم أن fوبما أن

221 .

:اآلن نختبـر 0 1 2H : , 1 1 2H : .

.0.1 2 21 1 2 2

p1 2

s (n 1) s (n 1)sn n 2

2 2(1.14) (4) (1.304) (4)

5 5 2

1.2247.

1 2

p1 2

(x x ) 0t1 1sn n

860.1t 05.0 والمستخرجة من جدول توزیعt 8عند درجات حریة.

860.1Tمنطقة الرفض 860.1أوT . وبما أنt 0تقع في منطقة القبول فإننا نقبلH.

6.4 6.8 0.5164.1 11.22475 5

٧

مثال ة ة معین ادة كیمائی أثیر إضافة م ي دراسة ت یرغب مسئول في مصنع النتاج معجون لألسنان ف

ن . إلى معجون لتحسین مفعولھ ة م أشخاص استخدمت 10اختبرت عینتین مستقلتین كل عینة ة الثانی راد العین ا استخدمت أف ة بینم ادة الكیمائی ھ الم ي المعجون مضاف إلی ة األول راد العین أفة ات التالی ى البیان م الحصول عل المعجون بدون إضافة المادة الكیمائیة باستخدام مقیاس خاص ت

: 1) أضیفت المادة الكیمائیة ( العینة األولى 1x 8, s 3

2 ) بدون إضافة ( العینة الثانیة 2x 9, s 4 دم باخت 210ر فرض الع :H دیل 211ضد الفرض الب :H د مستوى عن

.مع العلم أن العینتین تم اختیارھما من مجتمعین طبیعیین . 1.0معنویة

:الحــل 3s,8x,10n 111 4s,9x,10n 222

2أوال یجب التأكد من أن 2

21 أي اختبار فرض العدم:

2

2210 :H

:ضد الفرض البدیل .:H 2

2211

.1.0

التباین األكبر

21

22

ssf = .778.1

)3()4(

2

2

التباین األصغر

18.39,9f 05. ع ة Fوالمستخرجة من جدول توزی د درجات حری 9,9عن 21 ا أم 9,9f : فتحسب من العالقة التالیة .95

.31447.018.31

)9,9(f1)9,9(f

05.095.0

18.3Fمنطقة الرفض 31447.0أوF 2تقع في منطقة القبول فإننا نقبل فرض العدم أن fوبما أن

221 .

:اآلن نختبـر ,:H 210 .:H 211

.1.0

2nn)1n(s)1n(ss

21

2221

21

p

٨

21010)9()4()9()3( 22

.5355.3

21p

21

n1

n1s

0)xx(t

.63246.0

101

1015355.3

98

734.1t 05.0 والمستخرجة من جدول توزیعt 18عند درجات حریة. 734.1Tمنطقة الرفض 734.1أوT . وبما أنt 0تقع في منطقة القبول فإننا نقبلH. 210عند اختبار فرض العدم :الحالة الثالثة :H دیل 211ضد الفرض الب :H تحت

: الشروط التالیة ) من المجتمعین تحت الدراسة ( كل مجتمع ) أ( طبیعیا .یتبع توزیعا2تباین المجتمعین ، ) ب(

221 ا، مختلفین كثیر.

.العینتان صغیرتان وإحجامھما مختلفان ) ج( یتبع توزیع Tالقرار الذي نتخذه یعتمد على اإلحصاء بدرجات حریة تحسب tوالذي تقریبا

:من الصیغة التالیة

1nns

1nns

ns

ns

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

.

ا ة عشوائیة حجمھ ة عشوائیة 1nإلجراء االختبار نختار عین ار عین ا نخت ع األول كم ن المجتم ما رى حجمھ اني 2nأخ ع الث ن المجتم ي ( م ة األول ن العین تقلة ع ة مس ة الثانی ب ). العین نحس

22

2121 s,s,x,x وعلى ذلك یكون :

.

ns

ns

0)xx(t

2

22

1

21

21

0Hعندما یكون Tقیمة للمتغیر ة . صحیحا انبین ، بمستوى معنوی ة الختبار ذي ج ، منطقث تعطى حی الرفض تقریبا

2t أو

2t ع ین الحرجتین لتوزی ا القیمت ة t ھم درجات حری ب

و منطقة الرفض سوف تكون 2

t'T أو2

t'T د . ب واح ن جان دیل م 21لب إن ، فمنطقة الرفض سوف تكون t'T 21وللبدیل فإن منطقة الرفض سوف تكون t'T

مثال

٩

ة nitrateأوضحت الدراسة أن زیادة النترات ا قل أثیرات ضارة منھ ھ ت في االستھالك اآلدمي لة . إنتاج الثیروكسین وقلة إدرار اللبن عند البقر البیانات التالیة نتیجة تجربة لقیاس النسبة المئوی

ppm 2000للزیادة في وزن فئران تجارب صغیرة العمر تناولت وجبة قیاسیة وفئران تناولت .اه الشربنترات من می

النترات 2.17,0.14,6.16,8.10,0.14,5.10,5.20,3.19,7.12 ) القیاسیة( المراقبة 7.15,6.27,2.16,3.14,0.10,9.32,2.18

ة : تحقق من صحة الفرض القائل ال یوجد فرق معنوي بین مجموعة النترات ومجموعة المراقبة توى معنوی د مس ك عن ین تحت فرض . ( 1.0وذل ن مجتمع ا م م اختیارھم ین ث أن العینت

). طبیعیین

:الحــل2یجب علینا أوال التحقق من

221 .

053.8s,558.3s 21 وعلى ذلك فإن قیمةf ھى:

التباین األكبر

21

22

ssf = .1228.5

)558.3()053.8(

2

2

التباین األصغر 58.38,6f 05. والمستخرجة من جدول توزیعF ة 8,6عند درجات حری 21 . ا أم 8,6f : فیمكن الحصول علیھا من العالقة التالیة .95

.241.015.41

)6,8(f1)8,6(f

05.95.

58.3Fمنطقة الرفض 241.0أوF 2ونستنتج أن 0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض fوحیث أن

221

:اآلن نختبـر ,:H 210

.:H 211

.1.0 067.15x,271.19x 12

.

ns

ns

0)xx('t

2

22

1

21

21

.2869.1

7053.8

9558.3

271.19067.1522

:الجدولیة عند درجات حریة tالمحسوبة بقیمة tوعلینا أن نقارن قیمة

١٠

1nns

1nns

ns

ns

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

67

053.8

89

558.3

7053.8

9558.3

2222

222

.88.755.1487.113

86.1t 05.0 والمستخرجة من جدول توزیعt 8 عند درجات حریة ة إن منطق ك ف ى ذل وعل86.1Tالرفض 86.1Tأو . بما أنt ل ى 0Hتقع في منطقة القبول نقب ذا یعن وھ

ة د مستوى معنوی ة عن 1.0عدم وجود فرق معنوي بین مجموعة النترات ومجموعة المراقب.

مثالى ي مستشفى إل والدة ف دیثي ال ال ح ن األطف م تقسیم مجموعة م مجموعتین ، كل مجموعة ت

د ك بع ة وذل ل مجموع ي ك ال ف جیل وزن األطف م تس د ت ال وق بن األطف ن ل وع م تخدمت ن 6اس :أسابیع من الوالدة ، كانت النتائج كما یلي بالكیلو

Aالمجموعة 6.5,1.6,6.4,2.5,0.5,5.4,2.4,0.3 6.8,7.8,8.5,5.5,4.4,5.4,2.4 Bالمجموعة

ة د مستوى معنوی وعین عن ین الن وي ب 1.0المطلوب معرفة ھل ھناك فرق معن .علما بأن العینتین تم اختیارھما من مجتمعین طبیعیین

:الحــل2یجب علینا أوال التحقق من

221 . 931.1s,94528.0s 21 وعلى ذلك فإن قیمةf ھى:

التباین األكبر

21

22

ssf = .17295.4

)94528.0()931.1(

2

2

التباین األصغر

١١

87.37,6f 05. ع دول توزی ن ج تخرجة م ة Fوالمس ات حری د درج ق عن ي ملح ف7,6 21 . أما 7,6f : فیمكن الحصول علیھا من العالقة التالیة .95

.2375.021.41

)6,7(f1)7,6(f

05.95.

87.3Fمنطقة الرفض 2375.0أوF 2ونستنتج أن 0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض fوحیث أن

221

:اآلن نختبـر ,:H 210

.:H 211

.1.0 775.4x,9571.5x 12

.

ns

ns

0)xx('t

2

22

1

21

21

.47.1

7931.1

8945.0

9571.5775.422

:الجدولیة عند درجات حریة tالمحسوبة بقیمة tوعلینا أن نقارن قیمة

1nns

1nns

ns

ns

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

67

931.1

78

945.0

7931.1

8945.0

2222

222

.95.8

833.1t 05.0 ع دول توزی ن ج تخرجة م ة tوالمس ات حری د درج إن 9 عن ك ف ى ذل وعل833.1Tمنطقة الرفض 833.1Tأو . بما أنt 0تقع في منطقة القبول نقبلH .