第二章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型

2.1 数学模型基础2.2 线性系统的微分方程

2.3 线性系统的传递函数

2.4 系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

End

本章作业

1. 定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。

2.1 2.1 数学模型基础数学模型基础2.1 2.1 数学模型基础数学模型基础2.5

2. 建立数学模型的目的 ● 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。 ● 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

2.2 2.3 2.4

3. 建模方法

微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型） 5. 由数学模型求取系统性能指标的主要途径

求解 观察线性微分方程 性能指标

传递函数

时间响应

频率响应

拉氏变换 拉氏反变换估算 估算

计算

傅氏变换 S=jω

频率特性

4. 常用数学模型

机理建模（分析法）－－本课程介绍

辨识建模（实验法）－－系统辨识课程介绍

2.2.1 微分方程的列写

dtic

Riru 11

11

1 dtiC

uc 11

1

rcc uu

dt

duCR 11,得化简

2.2 2.2 控制系统时域数学模型（机理建模）控制系统时域数学模型（机理建模）2.2 2.2 控制系统时域数学模型（机理建模）控制系统时域数学模型（机理建模）

R1

C1

i1 (t)

ur

(t)

uc

(t)

微分方程的列写步骤

1 ）确定系统的输入、输出变量； 2 ）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程； 3 ）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4 ）变换成标准形式。

2.5

2.1

2.3

2.42.2.2 2.2.3 2.2.4

• 试列写质量 m 在外力 F 作用下位移 y(t) 的运动方程。

dt

tdyftF

)()(1

)()(2 tkytF

)()()()(

212

2

tFtFtFdt

tydm

)()()()(

2

2

tFtkydt

tdyf

dt

tydm

)()()()(

tutRitudt

tdiL rc

dttic

tuc )(1

)(

)()()()(

2

2

tutudt

tduRC

dt

tudLC rc

cc

例 2.1 图为机械位移系统。

R L

C

i(t)

ur

(t)uc

(t)

F

y(t)

k

f

m

• 例 2.2 如图 RLC 电路，试列写以 ur(t) 为输入量， uc(t) 为输出量的网络微分方程。

整理得 :

解 : 阻尼器的阻尼力 :弹簧弹性力 :

• 解 :

返回

已知 : 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求 : 以 Qi 为输入， H 为输出的系统动态方程式 .

解 : 根据物质守恒定律

消中间变量 Qo, 根据流量公式：

线性关系：　

HQ2000Ra 0，层流，线性关系，

dtQQAdH i 0

HQ3000，Ra 0紊流，非线性关系，

Qi

QoA

H

例２ . ３　液位系统 ---- 单容水箱

iQHRdt

dHA

1

1

0Q

HR定义液阻

为增量方程dtqqAdh i 0

0qRh增量关系近似为

dtqQqQhHAd i )()( 0程工作点附近物料平衡方

20

1QH

Q

HQ

2

dQ

dH

q

hR

20

00

流量变化液位差变化

液阻定义

iqhRdt

dhA

1方程线性化的系统增量动态

线性关系：

非线性关系： 11

0i Q

HRQH

Rdt

dHA 液阻 ,

HQ 0

在工作点（ H,Q ）附近，对微小变化可用线性方程近似，即微小变化之间的关系是线性关系，线性化。

例２ . ４机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机

电枢回路电压平衡方程

)()()()(

tutEtiRdt

tdiL aaaa

aa

SM 负载mJ

aE

aRm

au

aLmf

ai

CM

原理： ua ia Mm ωm

电枢回路 定子转子电磁作用 运动方程

原理： ua ia Mm ωm

电枢回路 定子转子电磁作用 运动方程

若以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量，消去中间变量 Ea

、 Mm 、 ia(t) ，可得到直流电动机的微分方程。

)()()()(

tutEtiRdt

tdiL aaaa

aa

电磁转矩方程 meaamm CEtiCM )(

电动机轴上转矩平衡方程

)()()(

tMMtfdt

tdJ Cmmm

mm

m au

电枢回路电压平衡方程

）（1)()()()(

tutEtiRdt

tdiL aaaa

aa

)()(

)()()(

)()(

)(2

2

tMRdt

tdMLtuCtCCfR

dt

tdJRfL

dt

tdJL

CaC

aammemma

mmama

mma

）（，）（ 3 2)( meaamm CEtiCM

将方程（ 2 ）代入方程（ 4 ）得 ia(t)

）（4)()()(

tMMtfdt

tdJ Cmmm

mm

m au 将方程（ 3 ）、（ 5 ）带入方程（ 1 ）得 与 关系

)5()(1

)()(

tMC

tC

f

dt

td

C

Jti C

mm

m

mm

m

ma

)()(

)(

)()()(

2

2

tMCCfR

R

dt

tdM

CCfR

Ltu

CCfR

C

tdt

td

CCfR

JRfL

dt

td

CCfR

JL

Cemma

aC

emma

aa

emma

m

mm

emma

mamam

emma

ma

,,)(,)(

)(,)(

32

1

a

aL

emma

a

emma

a

emma

m

emma

mam

R

LTCCfR

LKCCfRRK

CCfRCKCCfR

JRT

)()(

)(

)()(

)()(

231

2

2

tMKdt

tdMKtuK

tdt

tdT

CCfR

fRT

dt

tdTT

CC

a

mm

memma

maL

mmL

当电枢回路的电感可以忽略不计，即 La = 0

若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，即 Ra = 0 ，则上式可进一步简化。

)()()()(

21 tMKtuKtdt

tdT Cam

mm

)(

)(,)(

2

1

emma

a

emma

m

emma

mam

CCfRRK

CCfRCKCCfR

JRT

)(1

)( tuC

t ae

m

例２ .５速度控制系统的微分方程

控制系统方块图？

系统输出 系统输入参考量 gu

控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放 1 、运放 2 、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机

1

21111 ,)(

R

RKuKuuKu efg

1

2211

122 ,,)(

R

RKCRu

dt

duKu

23uKua

CCammm

m MKuKdt

dT

运放 1

运放 2

功放

直流电动机

mi 1

测速发电机 tf Ku

消去中间变量

maf uuuu 21

减速器（齿轮系）

控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为

)()(

321

321

tm

tmmm KKKKKi

KKKKKiTT

)( 321

321

tm

mg KKKKKi

KKKKK

)( 321

321

tm

mg KKKKKi

KKKKK

)( 321 tm

CC KKKKKi

KK

CCggg

gm MKuKdt

duK

dt

dT

• 非线性系统：用非线性微分方程描述。

)(2 tFykydt

dyf

)(tFkydt

dyf

)()( tFytkdt

dyf

2.2.2 微分方程的类型

• 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。

• 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入 r1(t)—> 输出 y1(t) ，输入 r2(t)—> 输出 y2(t)

则输入 a r1(t)+b r2(t) —> 输出 a y1(t)+by2(t)

• 线性系统：用线性微分方程描述。

• 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。

2.2.1 2.2.3 2.2.4

xdx

xdfy

xx

0

)(

22

2

00

)()(

!2

1

)()(

0

0

xdx

xfd

xdx

xdfxfyyy

xx

xx

xdx

)x(df)x(fyyy

0xx00

2.2.3 非线性元件微分方程的线性化

小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、假设： x,y 在平衡点（ x0,y0) 附近变化，即

x=x0+△x, y=y0+△y

二、近似处理

略去高阶无穷小项

• 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。

三、数学方法

2.2.1 2.2.42.2.2

• 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。

rcc uu

dt

duCR 11

)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc )()(1.0)( sUsUssU rcc

1

1.0

)1(

1)(

ssssUc

ttc eetu 1.01)(

2.2.4 线性定常微分方程的求解

R1

C1

i 1(t)

ur

(t)

uc

(t)

例 2.3 已知 R1=1 ， C1=1F ， uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t) ，求 uc(t)

拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量 s 的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。

解：

)s(U)s(U)s(sUCR rcc11

1sCR

1

)s(U

)s(U

11r

c

零初始条件下取拉氏变换：

2.2.1 2.2.32.2.2

2.3.1 传递函数的定义

)()()()(

)()()()(

11

1

10

11

1

10

trbdt

tdrb

dt

trdb

dt

trdb

tcadt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

nnnn

mmmm

asasasa

bsbsbsb

sR

sCSG

11

10

11

10

)(

)()(

)()(

)()(

11

10

11

10

sRbsbsbsb

sCasasasa

mmmm

nnnn

2.3 2.3 传递函数 传递函数 2.3 2.3 传递函数 传递函数

• 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。

2.52.1 2.42.2

2.3.2 2.3.3 2.3.4

试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).

)()()()(

2

2

tutudt

tduRC

dt

tudLC rc

cc

)()()()(2 sUsUsRCsUsULCs rccc

1

1

)(

)()(

2

RCsLCssU

sUsG

r

c

例 2.4 如图 RLC 电路，R L

C

i(t)

ur

(t)uc

(t)

LsR

1/sC

I(s)

Ur(s)

Uc

(s)

1) 传递函数是复变量 S 的有理真分式函数，分子多项式的次数 m 低于或等于分母多项的次数 n ，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。

参见

解 :1) 零初始条件下取拉氏变换：

传递函数：

2) 变换到复频域来求。2.3.2 、传递函数的性质

求零状态条件下阶跃响应 uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v ， ur(t)=1(t) ，求 uc(t) ; 3 ）求脉冲响应 g(t) 。

1

1

1

1

)(

)()(

11

ssCRsU

sUsG

r

c

)1(

1

1

)()(

sss

sUsU r

c

tc e1)t(u

（前例已得） )()()(11 sUsUssUCR rcc

rcc uu

dt

duCR 11

)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc )()(1.0)( sUsUssU rcc

1

1.0

)1(

1)(

ssssU c

ttc eetu 1.01)(

tes

LsGLtg

]1

1[)]([)( 11

例 2.5 已知 R1=1 ， C1=1F ， 1 ）

对上式进行拉氏反变换：

3 ）

解 : 1 ）

2 ）

R1

C1

i1 (t)

ur

(t)

uc

(t)

• 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：

n

jj

m

ii

n

m

ps

zsK

pspspsa

zszszsbsG

1

1*

210

210

)(

)(

)())((

)())(()(

n

1jj

m

1ii

)sT1(s

)s1(K)s(G

• K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。

2.3.2 传递函数的零点和极点

0

jS 平面• 零、极点分布图。

• 传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：

• 传递函数分子多项式的根 zi称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj称为传递函数的极点。 K*称为传递系数或根轨迹增益。

2.3.3 2.3.42.3.1

•例 2.6 具有相同极点不同零点的两个系统

,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为

极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中

所占比重。

)2)(1(

24)(1

ss

ssG

)2)(1(

25.1)(2

ss

ssG

tt eesss

sLtc 21

1 321])2)(1(

24[)(

tt eesss

sLtc 21

2 5.05.01])2)(1(

25.1[)(

2.3.3 传递函数的零点和极点对输出的影响 2.3.2 2.3.42.3.1

• 比例环节 : G(s)=K

• 积分环节 : G(s)=1/s

• 微分环节 G(s)=s

1

1)(

TssG

1)( ssG

22

2

22 212

1)(

nn

n

ssTssTsG

2.3.4 典型环节的传递函数

• 惯性环节 :

• 一阶微分环节 :

• 振荡环节 :

2.3.2 2.3.32.3.1

2.4.1 结构图的组成和绘制

2.4 2.4 系统的结构图系统的结构图2.4 2.4 系统的结构图系统的结构图

R(s) C(s)E(s)G(s)

H(s)

(-)

信号线：表示信号传递通路与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“ +” 表示相加，“ -” 表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。

结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：

2.5

2.1 2.2

2.3

2.4.2 例

)s(IR)s(U)s(U 11cr sC

)s(I)s(U

1

1c

2.4 2.4 系统的结构图系统的结构图2.4 2.4 系统的结构图系统的结构图• 例 2.7 绘出 RC 电路的结构图。

Ur(s) Uc(s)I1(s)

1/R11/sC1

(-)

R1

C1

i1 (t)

ur

(t)

uc

(t)

dtic

Riru 11

11

1 dti

Cuc 1

1

1

rcc uudt

duCR 11,得微分方程化简

1

1

)(

)(

11

sCRsU

sU

r

c传递函数

原理： ur i1 uc

)]()([1

)(1

1 sUsUR

sI i )()()( 21 sIsIsI c

sC

sIsU c

1

)()( )]()([

1)(

22 sUsU

RsI o

sC

sIsU o

2

2 )()(

例 2.8 绘出图示双 RC 网络的结构图。

ui uou C2C1

ici1

R1 R2

i2

2.19

U(s) I2(s)

Uo(s)

(d)

2

1

R (-)

IC(s) U(s)

(c)

sC1

1

IC(s)I1(s)

I2(s)

(-)

(b)

Ui(s) I1(s)

U(s)

(-)

(a)

1

1

R

sC2

1I2(s) Uo(s)

(e)

Ui(s) Uo(s)

I2(s)

U(s)

IC(s)

I1(s) (-)

(-) (-)

(f)

1

1

R sC1

1

sC2

1

2

1

R

返回

解：由因果关系直接绘出网络对应的复频域图。

ui i1 ic u i2 uc

2.4.2 结构图的等效变换和简化

1984年，人类实现了首次太空自由行走，依靠的是一个充着氮气的推进器来控制他的行走。

预期位置

R(s) 实际位置C(s)K1K3

IS2+K1K2K3S+K1K3

R(s)

预期位置

C(s)

实际位置

K2

K3 1/S(-)

1/IS K1

(-)

氮气推进器的控制结构图

等效变换表示信号流向

表示传递函数

等效变换的原则：对输入输出变量等效。

串联等效

K2

K3 1/S(-)

1/IS K1

(-)

氮气推进器的控制结构图

C(s)

实际位置

R(s)

预期位置

C(s)G2(s)G1(s)

V(s)R(s)

C(s)=V(s)G2(s)

结论：串联结构传函相乘

G1(s)R(s)

V(s) C(s)G2(s)

=R(s)G1(s)G2(s)

K2

K3 1/S(-)

1/Is K1(-)

氮气推进器的控制结构图

K1K3/IS

反馈等效

R(s)

预期位置

C(s)

实际位置

R(s) C(s)E(s)G(s)

H(s)

B(s)

E(s)=R(s) B(s) +

C(s)=E(s)G(s)

B(s)=C(s)H(s)

R(s) C(s)G(s)

1±G(s)H(s)

记忆：

请记住！

开环传递函数1±

前向通路传递函数

现在大家可以写出串联等效的结果吗？

C(s)=[R(s) C(s)H(s)]G(s)+

C(s)±C(s)H(s)=R(s)G(s)

(-)

K2

1/S(-)

K1K3/IS

氮气推进器的控制结构图

R(s)

预期位置

C(s)

实际位置

K1K3/ISK1K3/IS

1+K1K2K3/IS

1+

请问，接下来应该如何化简呢？

大家看到这个反馈能否直接写出结果？

再看一个例子R(s)

G4(s)(-)

G2(s) G6(s)(-)

C(s)

G3(s)

G5(s)

G1(s)

并联等效

G2(s)

G3(s)

R(s) C(s)

C1(s)

C2(s)

C(s)= C1(s)+ C2(s)

= [G2(s)+ G3(s)] R(s)

G2(s)R(s) C(s)C1(s)

G3(s)C2(s)

G2(s)+ G3(s)

结论：并联结构传函相加

R(s)

G4(s)(-)

G2(s) G6(s)(-)

C(s)

G3(s)

G5(s)

G1(s)

G4(s)(-)

(G2+G3)G6(-)

R(s)

G5(s)

G1(s) C(s)

G5 － G4

(G2+G3)G6(-)

R(s)G1(s) C(s)

R(s)G1(s)

C(s)(G2+G3)G6

1+(G2+G3)G6(G5-G4)

(G2+G3)G6G1

1+(G2+G3)G6(G5-G4)

•串联等效

R(s) C(s)E(s)G(s)

H(s)

结构图的等效变换小结 1

C(s)G2(s)G1(s)

V(s)R(s)

R(s) C1(s)

C3(s)

C2(s)

(-)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

C(s)

C(s) G2(s)G1(s)

R(s)

G1(s)+G2(s)-G3(s) R(s) C(s)

•反馈等效

•并联等效

R(s) C(s)G(s)

1±G(s)H(s)

例 2.10 结构图化简H1

H2

G1 G2 G3

G4

(-)

(-)

R Y

H1

H2

G1 G2 G3

G4

(-)

(-)

R Y

H2

H1

G1 G3

G4

(-)R Y

H2

22

2

1 HG

G

化简方案 1

H1

G1 G3

G4

(-)R Y

H2

22

2

1 HG

G

A

H1

G1 G3

G4

(-)R Y

H2

22

2

1 HG

G

A

A

B

1/G3

H1

G1 G3

G4

(-)R Y

H2

22

2

1 HG

G

A

A

B

1/G3

H1

G1

G4

(-)R Y

H2

22

32

1 HG

GG

A

B

1/G3

H1

G1

G4

(-)R Y

H2

22

32

1 HG

GG

A

B

1/G3

G4

Y R

22113222

321

1 HGGHGGHG

GGG

Y R4

22113222

321

1G

HGGHGGHG

GGG

例 2.10 结构图化简 化简方案 2H1

H2

G1 G2 G3

G4

(-)

(-)

R Y

R

H2+G3

H1

G1 G2 G3

H2

G4

(-) Y

(a)

G4

G3

H2

Y R13222

21

1 HGGHG

GG

(b)

G4

Y R

22113222

321

1 HGGHGGHG

GGG

(c)

• 比较点和引出点的移动： 等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。

)()()(

1)( sRsG

sGsR

G(s)R(s) C(s)

C(s)

G(s)

G(s)C(s)

C(s)R(s)

G(s)R(s) C(s)

R(s)

)(

1

sG

G(s)C(s)R(s)

R(s)

• 引出点移动： 1. 引出点前移 C(s)=G(s)R(s)

2. 引出点后移

1. 相加点前移

)]()(

1)()[( sB

sGsRsG

G(s)(-)B(s)

C(s)R(s)

)(

1

sG

G(s)

B(s)

C(s)R(s)

(-)

C(s)R(s)G(s)

(-)

B(s)

C(s)G(s)

G(s)

R(s)

B(s)(-)

R(s)

V1(s)

V2(s)

E1(s) C(s)

(-)

V2(s)

V1(s)(-)

C(s)R(s)

V1(s)

V2(s)

C(s)R(s)

(-)

或

• 相加点的移动

3. 交换或合并相加点

2. 相加点后移

C(s)=G(s)R(s)-B(s)

C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

= G(s)R(s)-G(s)B(s)

C(s)=E1(s)+V2(s)

= R(s)-V1(s)+V2(s)

= R(s)+V2(s)-V1(s)

例 2.10 结构图化简

(1) 结构图化简方案Ⅰ

H1

H2

G1 G2 G3

G4

(-)

(-)

R Y

R

H2+G3

H1

G1 G2 G3

H2

G4

(-) Y

(a)

G4

G3

H2

Y R13222

21

1 HGGHG

GG

(b)

G4

Y R

22113222

321

1 HGGHGGHG

GGG

(c)

返回

2.4.22.4.1

(3) 结构图化简方案Ⅲ

(2) 结构图化简方案Ⅱ

H1+H2/G3

H2/G3

G2G3G1

G4

(-)R Y

(a)

H2/G3

G4

R Y

13222

321

1 HGGHG

GGG

(b)

G1G2G3

H1/G1

G4

R Y(-)

)1

(113

2

GG

H

(a)

3

2

31

2

1

1

G

H

GG

H

G

H

G4

G1G2G3

YR

(-)

(b)

原电路

例 2.11 双 RC 网络的结构图简化。

Ui(s)R1

(-)

(-)

(-)

Uo(s)

(b)

1

1

R sC1

12

1

R sC2

1

sT11

1

Ui(s) (-)

(-)

Uo(s)R1

(c)

2

1

R sC2

1

R1C2s

sT21

1

Ui(s) Uo(s)(-)

(e)

sT11

1

返回

2

1

R

(d)

Ui(s)R1 C2s

(-)

Uo(s)(-)sT11

1

sC2

1

Ui(s)(-) (-)

(-)

I1(s) IC(s

)

U(s)

I2(s)

Uo(s)

(a)

1

1

R 2

1

R sC2

1sC1

1

小结

串联

并联

G1G2 相乘

比较点和引出点移动

反馈 G(s)1±G(s)H(s)

G1+G2 相加

1. 等效为单位反馈系统

)()(

1

)()(1

)()()( sR

sHsHsG

sHsGsC

•其它等价法则 R(s)

(-)

C(s)G(s)

H(s)

)(

1

sH G(s) H(s) (-)

C(s)R(s)

G(s)

H(s)

R(s) C(s)

-1

E(s)

C(s)R(s)G(s)

-H(s)

E(s)

2. 负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s)

=R(s)+(-1)H(s)Cs)

=R(s)+[-H(s)]C(s)

例 2.11 双 RC 网络的结构图简化。

Ui(s)R1

(-)

(-)

(-)

Uo(s)

(b)

1

1

R sC1

12

1

R sC2

1

sT11

1

Ui(s) (-)

(-)

Uo(s)R1

(c)

2

1

R sC2

1

R1C2s

sT21

1

Ui(s) Uo(s)(-)

(e)

sT11

1

返回

2

1

R

(d)

Ui(s)R1 C2s

(-)

Uo(s)(-)sT11

1

sC2

1

Ui(s)(-) (-)

(-)

I1(s) IC(s

)

U(s)

I2(s)

Uo(s)

(a)

1

1

R 2

1

R sC2

1sC1

1

速度控制系统的微分方程

方块图？ωm

运放1

运放2

功放 直流电动机 齿轮系统

测速发电机

ug

-uf

u1 u2 ua ωMc’

系统输出 系统输入参考量 gu

控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放 1 、运放2 、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机

1

21111 ,)(

R

RKuKuuKu efg

1

2211

122 ,,)(

R

RKCRu

dt

duKu

23uKua

CCammm

m MKuKdt

dT

运放 1

运放 2

功放

直流电动机

传递函数 ?

)(

)()(

sU

ss

g

11

1 )(

)()( K

sU

sUsG

e

)1()(

)()( 2

1

22 SK

sU

sUsG

32

3 )(

)()( K

sU

sUsG a

1)(

)()(01

ST

K

sU

ssG

m

m

a

m

1)(

)()(

'02

ST

K

sM

ssG

m

C

C

m

mi 1

减速器（齿轮系）

测速发电机 tt Ku

消去中间变量 mat uuuu 21

控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为

)()(

321

321

tm

tmmm KKKKKi

KKKKKiTT

)( 321

321

tm

mg KKKKKi

KKKKK

)( 321

321

tm

mg KKKKKi

KKKKK

传递函数 ?is

ssG

m

1

)(

)()(03

tt Ks

sUsH

)(

)()(

)( 321 tm

CC KKKKKi

KK

CCggg

gm MKuKdt

duK

dt

dT

ωm运放1

运放2

功放 直流电动机 齿轮系统

测速发电机

ug

-uf

u1 u2 ua ωMc’

Ωm运放1

运放2

功放 直流电动机 齿轮系统

测速发电机

Ug

-Uf

U1 U2 Ua

Mc’

ΩΩmK1 K2(τS+1) K3 1/i

Kt

Ug

-Uf

U1 U2 Ua

Mc’

信号流图中常用的名词术语： • 源节点（输入节点）：o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。

信号流图的基本性质基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信

号的代数和，用“ O” 表示； 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变

成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。

1+R1C1s

x2 x5x4

x6

-1

x3 x7I(s)

R2 1/R1

x1

2.5 2.5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 2.5 2.5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式

• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。

•阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。

2.1 2.2 2.3 2.4

2.5.2例2.5.1 2.5.3

• 混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。

2.5.1 信号流图的绘制 1. 由系统微分方程绘制信号流图 1 ）将微分方程通过拉氏变换，得到 S 的代数方程； 2 ）每个变量指定一个节点； 3 ）将方程按照变量的因果关系排列； 4 ）连接各节点，并标明支路增益。

• 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用 Pk 表示。• 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用 La 表示。• 不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。

2.5.2例 2.5.3

• 上式拉氏变换

C1

ui

R1

R2 uo

i1

i

)t(u)t(uR)t(i io11

2o R)t(i)t(u dt)ii(

C

1R)t(i 111

)s(U)s(UR)s(I io11 2o R)s(I)s(U

s

)0(u)]s()s([

sC

1R)s( c

11

11

)s(U)s(I)s(I)s(U)s(U)s(U o1oii

•例 2.12

• 信号传递流程：

)0(uC)s()sCR1(

)s()0(uCsCR)s()s(

c1111

1c1111

Ui(s)Ui(s)-Uo(s) Uo(s)Uo(s)

uC(0)

-1

I1(s) I(s)

R21+R1C1s1/R1

-C1

1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 注意信号流图的节点只表示变量的相加。

G(s) C(s) R(s)

G1(s) G2(s)

H(s)

R(s) E(s)

D(s)

V(s) C(s) (-)

(a) 结构图

(节点 )

C(s)R(s) G(s)

(节点 )(支路 )

C(s)1

R(s)

E(s)

G1(s) G2(s)

-H(s)

Y(s)

D(s)

V(s)

11

(b) 信号流图

2. 由系统结构图绘制信号流图

例 2.13 绘制结构图对应的信号流图 (1) 。

Ui(s) Uo(s)

I2(s)

U(s)

IC(s)

I1(s)(-)

(-) (-) 1

1

R sC1

1

sC2

1

2

1

R

Ui(s) Uo(s)

Uo(s)U(s)

I2(s)IC(s)-1 -1

-1

1/R1 1/C1s 1/C2s1/R2

动画演示

2.5.22.5.1 2.5.3

•例 2.14 绘制结构图对应的信号流图 (2) 。

• 特征式 ： —所有单独回路增益之和； —在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两 个回路增益乘积和； —在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。

• 梅逊公式为：

n

1kKKP

1P

fedcba LLLLLL1

aL

cbLL

fed LLL

—余因子式，即在信号流图中，把与第 K条前向通路相接触的回路去掉以后的 Δ值。

K

2.5.2 梅逊增益公式

其中： n— 从输入节点到输出节点之前向通路总数。 Pk— 从输入节点到输出节点的第 k条前向通路总增益 。

动画示例

例2.5.1 2.5.3

• 前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路：

，与所有回路不接触：

解：三个回路： R G1 G2 G3

H2

-H2

-H1

C

G4

221 HGL

2212 HGGL

1323 HGGL

22113222a HGGHGGHG1L1

3211 GGGP

42 GP

11

2

422113222

321n

1kkk G

HGGHGGHG1

GGGP

1)s(G

例 2.15 已知系统信号流图，求传递函数。

• 回路相互均接触，则：

参见

f

求传递函数 X4/X1 及 X2/X1 。

bcgegdLa

degcb LL

1,1

,,.1

21

2141

d

abcfpaefpXX

deg1

)1()(

12211

1

4

bcgegd

abcfdaefpp

X

X

dapXX 1,,.2 1121

deg1

)1(111

1

2

bcgegd

dap

X

X

例 2.16 已知系统信号流图，

deg1 bcgegd则

解：三个回路

有两个互不接触回路

例 2.17 已知系统信号流图，求传递函数 C(S)/R(S) 。

解：三个独立回路 三个前向通路

梅森公式

微分方程

结论

1. 输入信号作用下的闭环传递函数 (N(s)=0)

)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(G

)s(R

)s(C)s(

21

21

)s(H)s(G)s(G1

)s(G

)s(N

)s(C)s(

21

2n

)s(N)s()s(R)s()s(C n)s(N

)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(R

)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(G

21

2

21

21

0)s(N,)s(H)s(G)s(G1

1

)s(R

)s(E)s(

21e

0)s(R,)s(H)s(G)s(G1

)s(H)s(G

)s(N

)s(E)s(

21

2en

)s(N)s()s(R)s()s(E ene

2.5.3 闭环系统的传递函数R(s) E(s)

N(s)C(s)

H(s)

G2(s)G1(s)

B(s)(-)

2. 扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0)

3. 输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出

4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]

2.5.2例2.5.1