导 读利用计算机代替常规的模拟控制器，使它成为控制系统的一

个组成部分，这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控制系统。在现代军事、工农业生产的控制系统中，计算机控制系统获

得了广泛的应用。例如，导弹发射系统、定位系统、雷达方位跟踪系统、温度控制系统、程序控制系统、交直流电动机的速度控制系统等。优点：可以实现连续控制难以实现的复杂的控制规律，可以

有效解决精度和器件漂移的问题等。

第 10章 计算机控制系统

计算机控制系统的组成

计算机硬件部分工作在离散状态下，被控对象工作于连续状态下。

在数字计算机控制下，每经过一定的时间间隔 T ，对模拟信号进行采样，由 A/D 转换成数字量输入计算机，计算机根据控制规律运算后求得控制量，由 D/A 转换成模拟量送到被控对象，使系统达到预定的指标。

计算机控制系统硬件框图

计算机内信号的处理和传递过程

)()()( tytxte fe(t)---- 模拟偏差信号：

e*(t)---- 采样后离散的模拟偏差信号：

其它0

,2,1,0,)()(

kkTttete

)(* te

T0计算机内信号的处理和传递过程

e(kT)---- 是量化以后的偏差信号。

u(kT)---- 是计算机按一定控制算法计算出的数字控制信号。一般情况下， u(kT) 是 e(kT), e(kT-T),…,u(kT-T), u(kT-2T),…的函数。u(t)---- 是模拟控制信号。

采样—量化—运算—保持

第 10 章离散系统控制理论10.1 信号的采样与保持 10.2 差分方程 10.3 Z 变换 10.4 Z传递函数 10.5 稳定性分析

1 、采样过程

10.1.1 信号的采样

连续信号 e(t) 经过采样后变成了一脉冲序列。由于采样开关每次闭合的时间 ε 远小于采样周期Ｔ，也远小于系统中连续部分的时间常数，因此在分析采样控制系统时可认为 τ 趋于零。为了说明采样的基本原理，引入理想采样器的概念。理想采样器是一种数学抽象，为数学分析提供方便。

e*(t)e(t)

e(t)e(t)

e(kT)

在理想情况下，采样时间 τ→0。这样，采样过程实际上可视为理想脉冲序列 对 e(t) 幅值的调制过程。其数学表达式为

)(tT

k

T kTtt )()(

e

e

e

e*(t)

数学上，这种调制过程表示为两个信号函数相乘。因此，调制过的采样信号 e*(t) 便可描述为：

2 、采样定理

连续信号 e(t) 与采样信号 e*(t) 的频谱

通过对 e(t)与 e*(t)的频谱分析可知，为了复现原信号 e(t) 的全部信息，要求采样角频率 ωs 必须满足如下关系 :

这就是采样定理，又称香农（ Shanon）定理，它指明了复现原信号所必须的最低采样频率。

02wws

保持：是把离散模拟信号 u*(t)转换成模拟信号 u(t)的过程，它是采样的逆过程。保持器：根据过去时刻的值，外推出采样点之间的数值。零阶保持器：把 kT时刻的信号一直保持到 kT+T时刻前的瞬间。

10.1.2 采样信号的保持

零阶保持器u(t) u*(t)

u(t)

零阶保持器的传递函数 )(tfh

)(1)(1)(0

TkTtkTtkTfk

})(1)(1{)()(0

TkTtkTtLkTfsFk

h

TskkTs

k

es

es

kTf )1(

0

11)(

s

eekTf

TskTs

k

1

)(0

s

e Ts

1kTs

k

ekTf

0

)(

s

e Ts

1)(* sF

零阶保持器的传递函数为

)(tfh

2)(

2

2sin)(

1)(

0

0

0

wTjw

wT

wTTjwG

S

esG

sT

零阶保持器像一个延迟为 WT/2的环节

零阶保持器的幅频特性和相频特性如图所示。从幅频特看，幅值随频率的增加而衰减，因此，零阶保持器是一低通滤波器，除了允许主频谱分量通过以外，还允许通过部分的高频频谱分量。从相频特性看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统的稳定性变差。

)()()3( 2 kxkyky

)()()1(2)2(3 kxkykyky

)()(1

2)2(3 2 kxkyk

kyk

)()3(12)2(16)1(7)( kxkykykyky

10.2 差分方程

差分方程的递推解法

)1()()1(2)( kukukyky 0

00

2

)(

kk

kku 1)0( y

12)1()1(2)( 22 kkkkyky

12)1(2)( kkyky

1112)0(2)1( yy

5122)1(2)2( yy

5132)2(2)3( yy

17142)3(2)4( yy

…...

离散序列 {y*(t)}， t=0,1,2, …的 Z 变换

10.3.1 Z变换的定义

∑∞

0

* )-(δ)()(δ)()(

k

T kTtkTyttyty

对上式两边取拉氏变换，得kTs

kk

ekTykTtkTyLsY

)()-(δ)()(00

*

令 z=eTs ，则有

k

k

zkTyzY -∞

0

)()( ∑

10.3 Z变换

kzkTfzTfzTff )()2()()0( 21

0

)()(k

kzkTfzF

211 zz 11

1)](1[

1

z

z

ztZ

akTekTf )(，

,2,1,0k

0 0

)()(k k

kakTk zezkTfzF

0

)(k

kaT ze

aTaTat

ez

z

zeeZ

1)(1

1][

典型信号的 Z 变换

1001)( 21 zzzF

( ) 1, 0f k k

00

01)(

k

kkf

1

0 0 0

( ) ( ) ( )k k k k

k k k

F z f kT z a z a z

az

z

azaZ k

11

1][

( ) , 0kf k a k

,2,1,0sin)( kkTkTf

0 0

sin)()(k k

kk kTzzkTfzF

k

k

kTjkTj

zj

ee

02

0 0

])()([2

1

k k

kjwTkTj zezej

])(1

1

)(1

1[

2

111

zezej TjTj 21

1

cos21

sin

zTz

Tz

[ ( )] ( )mZ f t mT z F z

10.3.2 Z变换的基本定理

1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]Z f t f t Z f t Z f t

)()]([ zaFtafZ (1) 线性定理

(2) 滞后定理

( ) 0, 0f t t

(3) 超前定理

])()([)]([1

0

m

k

km zkTfzFzmTtfZ

)(lim)(lim)0(0

zFtffzt

(4) 初值定理及证明

)()1(lim)(lim)(lim)(1

zFzkTftffzkt

(5) 终值定理及证明

10.3.3 Z变换的基本方法

部分分式法部分分式法是当已知连续函数的拉氏变换 Y(s)时，先对 Y(s)进行部分分式展开，将其变成分式和的形式；然后查常用函数的 Z 变换表，即

n

i i

i

as

A

sN

sMsY

1)(

)()(

例 已知某连续信号的拉氏变换为 ，求相应采样序列的 Z 变换 Y(z)

)()(

ass

asY

as

a

s

asY

21)(

1)(

0

1

s

sass

aa

1)()(2

as

asass

aa

asssY

11)(

aTez

z

z

zzY

1

)(

解：

10.3.4 Z逆变换

Z 反变换就是根据给定的 Z 变换式 Y(z) ，求出其原函数（即采样信号） y*(t)。 y(t)与 y*(t) 之间是没有一个惟一确定的关系，也就是说， Z 反变换求出的只是一确定的采样信号 f*(t) ，而不能提供一准确的连续信号 f(t) 。部分分式法

部分分式法就是先把 Y(z)用部分分式展开，然后通过查 Z 变换表找出每个展开项对应的时间函数后相加，便得到 y(kT）。

23

10)(

2

zz

zzF

2

10

1

10

)2)(1(

10

23

10)(

2

zzzzzz

zzF

210

110)(

z

z

z

zzF

)21(10)( kkTf

例 求 的 Z 反变换。

k=0,1,2,3…..

解：

用 Z 变换解差分方程使用类似于在线性连续系统中引入拉普拉氏变换，将微分方程变成为代数方程的求解方法，在线性离散系统中引入 Z 变换，将差分方程也变成代数方程进行求解，可以方便地得到输出在采样时刻的一般表达式。

用 Z 变换求解差分方程的步骤：（ 1 ）对 n 阶差分方程作 z 变换；（ 2 ）将已知初始条件代入 z 变换式；（ 3 ）由 z 变换式求出 Y(z);（ 4 ）对 Y(z)取 z 反变换，得到差分方程的解 y(kT)。

对 Y(z) 取 Z反变换，得

18

1

38

1

14

1

1

1

8

1

3

1

8

1

1

1

4

1)(

z

z

z

z

z

z

zzzzzY

8

1)3(

8

1)1(

4

1)( kkkTy

例 求解差分方程

设 y(0)=y(T)=0, u(kT)=1(kT).

)()(3)(4)2( kTukTyTkTyTkTy

解：对差分方程两端取 Z 变换，得

1)(3)0(4)(4)()0()( 22

z

zzYzyzzYTzyyzzYz

代入初始条件得

)1)(3)(1()(

zzz

zzY

)(

)()(

zR

zCzG

)(...)1()( 1 nkyakyaky n )(...)1()( 10 mkxbkxbkxb m (0) ( 1) ( 2) ... 0y y y (0) ( 1) ( 2) ... 0x x x

)(...)()( 11 zyzazyzazy n

n 1

0 1( ) ( ) ... ( )mmb x z b z x z b z x z

)()...1( 22

11 zyzazaza n

n 1

0 1( ... ) ( )mmb b z b z x z

nn

mm

zazaza

zbzbb

zR

zYzG

...1

...

)(

)()(

22

11

110

系统 G(z)R(z) C(z)在零初始条件下，线性离散系统输出采样信

号的 Z 变换与输入的采样信号的 Z 变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（ Z 传递函数）。

若某离散系统由如下的差分方程描述：

10.4 Z传递函数

脉冲传递函数的写法 :

)]([)( sGZzG )()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG

1) 串联系统的开环传递函数

)()()( 21 zGzGzG

)()()( 21 zGzGzG

)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG

)()()( 2121 zGzGzGG 注意 :

2) 闭环系统脉冲传递函数

)()(1

)()(

21

1 zUzGG

zGzY

)()()(1

)()()(

321

21 zUzGGzG

zGzGzY

例 下图中 , 试求其脉冲传递函数 G(z) 。 as

sGs

sG

1

)(,1

)( 21

解：对 （ b ）中的情况有

))(1(1)()()(

2

21 aTaT ezz

z

ez

z

z

zzGzGzG

对 （ c ）中的情况有

))(1(

)1()

1(

1)

11(

1)()( 21 aT

aT

aT ezza

ez

ez

z

z

z

aassZa

zGGzG

)(

1)()( 21 asssGsG

10.5 线性离散系统的稳定性分析

1)S 平面和 z 平面之间的映射关系

S平面 Z平面 系统表现左半平面 单位圆内 稳定虚轴 单位圆上 临界稳定右半平面 单位圆外 不稳定

离散控制系统稳定的充分必要条件是，系统的特征方程的根全部位于 Z 平面上以原点为圆心的单位圆内。

线性离散系统极点的影响 ：

例 离散控制系统如图所示，采样周期 Ts=1s，判别系统是否稳定？

解 系统开环脉冲传递函数为

)1

1010()

)1(

10()(

ssZ

ssZzG

876.4 , 076.0 21 zz

))(1(

)1(1010

1

1010

1

101

1

1

ezz

ez

ez

z

z

z

ez

z

z

zT

系统闭环脉冲传递函数为

368.0952.4

32.6

)(1

)()(

2

zz

z

zG

zGzGc

解得特征方程的根为

1z因为 ，所以系统不稳定。

本章小结1.信号的采样与保持将连续信号变为离散信号的过程称为采样。零阶保持器是把某一采样时刻的值恒定地保持到下一采样时刻。采样定理：

2.差分方程与 Z 变换连续系统在离散时刻的数学关系可以用差分方程描述； Z 变换的基本定理。常用 Z 变换方法：部分分式法；常用 Z 反变换方法：部分分式法。

3. 离散系统的数学模型在零初始条件下，线性定常系统的输出的采样信号的 Z 变换与输入的采样信号

的 Z 变换之比，称为该系统的 Z 传递函数。反馈离散系统的 Z 传递函数。

4. 离散系统的稳定性分析系统的特征方程的根全部位于 Z 平面上以原点为圆心的单位圆内。

02wws