HunanUniversity

§1. 第一型曲线积分

实例 : 曲线形物体的质量

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.sM 均匀 质量

分割 ,,,, 121 in sMMM

,),( iii s取 .),( iiii sM

求和 .),(1

n

iiii sM

取极限 .),(lim1

0

n

iiii sM

近似值

精确值

问题的提出

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§1. 第一型曲线积分

为平面上可求长度的曲线段 , L ( , )f x y定义 1 设 为

, 它把L L T L 定义在 上的函数 . 对曲线 做分割 分成

( 1, 2, , ),i iL i n L 个可求长度的小曲线段 的弧长n

,is T1

|| || max ,ii n

T s

iL 记为 分割 的细度为 在 上任取

一点 ( , ) ( 1, 2, , ).i i i n 若有极限

|| || 01

lim ( , ) ,n

i i iTi

f s J

极限为 ( , )f x y L在 上的第一型曲线积分

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§1. 第一型曲线积分

( , )d .Lf x y s

为空间可求长曲线段 , L ( , , )f x y z L若 为定义在 上

( , , )f x y z L的函数 , 则可类似地定义 在空间曲线 上

的第一型曲线积分 ,

01

( , , ) lim ( , , ) .n

i i i ili

f x y z ds f s

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§1. 第一型曲线积分

性质 ( , )d ( 1,2, , )iLf x y s i k ( 1, 2, , )ic i k1. 若 为

常数 , 则1

( , )dk

i iLi

c f x y s 也存在 , 且

1 1

( , )d ( , )d .k k

i i i iL Li i

c f x y s c f x y s

L 1 2, , , kL L L2. 若曲线段 由曲线 首尾相接而成 ,

( , )d ( 1,2, , )iLf x y s i k ( , )d

Lf x y s都存在 , 则

1

( , )d ( , )d .i

k

L Li

f x y s f x y s

也存在 , 且

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§1. 第一型曲线积分

3 ． ( , )d ( , )dL Lf x y s g x y s若 与 都存在 , 且在 L上

则( , ) ( , ),f x y g x y

( , )d ( , )d .L Lf x y s g x y s

4 ． ( , )d ( , ) dL Lf x y s f x y s若 存在,则 | | 也存在 ,

| ( , )d | | ( , ) | d .L Lf x y s f x y s

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§1. 第一型曲线积分

( , ) = .Lf x y ds cs

( , )dLf x y s若 L ,s5 ． 存在 , 的弧长为 则存在常数

,c 使得

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§1. 第一型曲线积分

几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx

;),(L

dsyxM

;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当

,),(

),()3(

处的高时柱面在点

上的表示立于当

yx

Lyxf

.),(L

dsyxfS柱面面积

s

L

),( yxfz

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§1. 第一型曲线积分

第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算

定理 20.1 设有光滑曲线 ( ),

: [ , ],( ),

x tL t

y t

( , )f x y L 为定义在 上的连续函数 , 则

2 2( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( )d . (3)Lf x y s f t t t t t

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§1. 第一型曲线积分

曲线积分 定积分

2( , )d ( , ( )) 1 ' ( )db

l af x y s f x y x y x x

2d 1 ' ( )ds y x x

(1) : ( ), .l y y x a x b

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§1. 第一型曲线积分

2( , )d ( ( ), ) 1 ' ( )dd

L cf x y s f x y y x y y

2d 1 ' ( )s x y dy

(2) : ( ), .L x x y c y d

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§1. 第一型曲线积分

例 . 计算 .lyds 其中 l为 y2=2x自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

2

0

1 d 2 1 d

2ly s x x

x

解 1 ： : 2 , 0 2.l y x x

2d

d 1 dd

ys x

x

11

2dxx

y2=2x

0 2

2

y

x 2

02 1dx x ＋ 1

(5 5 1).3

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§1. 第一型曲线积分

解 2 ：2

: , 0 2.2

yl x y

2 2

0 d 1 d

ly s y y y

2d

d 1 dd

xs y

y

21 dy y

1(5 5 1) .

3

0 2

2

y

x

2

2yx

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§1. 第一型曲线积分

例 . 计算 ( )dLx y s

L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线OABO.

解： L分段光滑

L OA AB BO

ds=dx1

0

1( )d ( 0)d

2OAx y s x x

OA: y=0, 0≤x≤1

O

2

A

By

x1

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§1. 第一型曲线积分

1

0( )d ( (2 2 )) 5d

ABx y s x x x

AB: y=22x, 0≤x≤12d 1 ' ds y x 5dx

35

2

2

0( )d d

BOx y s y y

BO: x=0, 0≤y≤2

ds=dy

=2

1 3 ( )d 5 2

2 2Lx y s

1(5 3 5)

2

O

2

A

By

x

1

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§1. 第一型曲线积分

0

2 2 2( , , ) [ ( ), ( ), ] ' ( ) ' ( ) ' ( )T

l tf x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt

2 2 2' ' ' .ds x t y t z t dt 这里

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§1. 第一型曲线积分

例 . 计算 3 2( )d .x y z s

其中：从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .

解：直线段 AO 方程：3 2 1

x y z

化成参数方程： x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

13 2 3 2 2 2 2

0( )d ((3 ) (2 ) ) 3 2 1 dx y z s t t t t

1 3

031 14 dt t

3114 .

4

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§1. 第一型曲线积分

例

.0

,

,

2222

2

zyx

azyx

dsxI

为圆周其中

求

解 :由对称性 , 知 .222 dszdsydsx

dszyxI )(31 222故

dsa3

2

.3

2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa

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§1. 第一型曲线积分

例 . 计算 2 2( )d ,Lx y s 其中 L: x2+y2=a2.

2 2( )dLx y s

2 2 2 2 2 2 2

0( cos sin ) ( sin ) ( cos ) da t a t a t a t t

2 2

0da a t

32 .a

解： : cos , sin , 0 2 .L x a t y a t t

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§1. 第一型曲线积分

例 .

)20(.

,sin,cos:,)( 222

的一段

其中求

kz

ayaxdszyxI

解 :

).43(3

2 22222 kaka

dkaa

kaa

222

222222

)cos()sin(

sincos

2

0I

2

0

22222 )( dkaka