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初中数学九年级上册 (苏科版)
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初中数学九年级上册
(苏科版)
1.3 1.3 菱形的性质菱形的性质1.3 1.3 菱形的性质菱形的性质
1. 菱形形的定义是如何描述的?
复习与引入
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 .
2. 菱形有哪些性质?复习与引入
A CO
D
B角 对角相等;邻角互补
边 对边平行且四条边都相等
对角线 互相垂直平分且每条对角线平分一组对角
对称性 轴对称图形 ;中心对称图形
S 菱形 ABCD= AC×BD 2
1
你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗?
矩形的对边平行且相等,四个角都是直角,对角线相等且互相平分;
菱形的四条边都相等,对边平行,对角相等,对角线互相垂直平分,每条对角线平分它的一组对角 .
菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半 .
已知菱形的两条对角线长分别为 6 和 8 ,由此你能获得有关这个菱形的哪些结论?
你能求得这个菱形的边长、周长、面积吗?
课堂练习 1. 己知:如图,菱形 ABCD 中,∠
B=60° , AB = 4 ,则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为 .
• 2 .已知四边形 ABCD 是菱形, O 是两条对角线的交点, AC=8cm , DB=6cm ,这个 � 菱形的边长是 ________cm .
• 3 .已知菱形的边长是 5cm ,一条对角线长为 8cm ,则另一条对角线长为 ______cm .
• 4 .四边形 ABCD 是菱形,∠ ABC=120° ,AB=12cm ,则∠ ABD 的度数为 _____ , � DAB∠ 的度数为 ______ ;对角线 BD=_______ , AC=_______ ;菱形 ABCD 的面积为 _______ .
如图, 3 个全等的菱形构成的活动衣帽架,顶点 A 、E 、 F 、 C 、 G 、 H 是上、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩之间 的距离 ( 比如 AC 两点可以自由上下活动 ) ,若菱形的边长为 13 厘米,要使两排挂钩之间 的距离为 24 厘米,并在点 B 、 M 处固定,则 B 、 M 之间的距离是多少?
A
B
C
D
G
E F
M
H
F
例 2.已知:如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC、BD相交于点 O, E、 F、 G、 H分别是菱形 ABCD各边的中点, 求证: OE=OF=OG=OH.
F
H
GEO
A
B C
D
已知菱形 ABCD 中,∠ A=72°, 请设计三种不同的分法,将菱形 ABCD 分割成四个三角形,使每个三角形都是等腰三角形(不写画法,在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数)
A C
D
B
A C
D
B
A C
D
B
1 .菱形的性质: 菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 .2 .计算菱形的面积有两种方法,我们在解题过
程中要注意寻求简捷途径,这对于解决数学问题是非常重要的 .3. 菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三
角形,所以解决菱形问题,常常可以转化为等腰三
角形或直角三角形问题 .
菱形的判定
(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ( 定义 ).(2) 四条边都相等的四边形是菱形;
(3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ,
使用判定定理是要注意基础图形是
四边形还是平行四边形
复习与引入
例 1 、如图,△ ABC 中, AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于
点 D ,交 AC 于点 O , CE∥AB 交 MN于 E ,连结 AE 、 CD .
( 1 )求证: AD = CE ; ( 2 )填空:四边形 ADCE 的形状是
. 并说明理由。
C
B C
A
E
N
M O
例 2. 已知:如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90° , AD 是角平分线,点 E 、 F 分别在 AC 、 AD 上,且 AE=AB , EF∥BC 。
求证:四边形 CDEF 是菱形。
DCB
A
EF
1 、已知:如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O , AP∥BD , DP∥AC ,AP 、 DP 相交于点 P 。求证:四边形 AODP 是菱形。
A
P
D
C B
O
练 习
邻边相等
对角线互相垂直
O
A
D B
C
O
A
D B
C
平行四边形A
D
B
C
平行四边形A B
CD
AD=DC
AC⊥BD
四边相等 O
A
D B
C
四边形A
B
CD AD=DC=CB=BA
对角线互相垂直平分O
A
D B
C
四边形A
B
CD AC⊥BD,AO=CO,BO=DOO
归 纳
尝试练习 1. 已知:如图,在□ ABCD 中,对角线 B
D 平分∠ ABC 。 2. 求证:四边形 ABCD 是菱形。
A
B C
D
2. 已知:平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD,BC 分别交于 E,F 。 求证:四边形 AFCE 是菱形。A
B E
D
C
F
O
1
2证明:平行四边形 ABCD 中
AD∥BC ∴∠1=∠2 ,∠ 3=∠4
4
3
EF 垂直平分 AC ∴AO=CO,AF=CF,∴ △AOF≌△COE ∴ AF=CE
∴ 平行四边形四边形 AFCE 是菱形又 AF∥CE ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
3. 如图,已知 AD 是△ ABC 的角平分线,DE∥AC 交 AB 于 E , DF∥AB 交 AC 于 F ,求证: AD⊥EF 。 1
2
3
A
B C
E
D
F证明:∵ DE∥AC ,DF∥AB∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 ∴ ∠2=∠3
∵ AD 是△ ABC 的角平分线∴ ∠1=∠2∴ ∠1=∠3∴ AE=DE∴ □AEDF 是菱形∴ AD⊥EF
∵DE∥AC
4. 如图 , 在△ ABC 中 , AB=AC, 点 M 在边BC 上 , 过点 M 分别作 AB 、 AC 的平行线 , 与 AC 、 AB 分别相交于点 D 、 E. 当点 M位于 BC 的什么位置时 , 四边形 AEMD 是菱形 ? 请给予证明 .
M
E
D
CB
A
证明:∵ EM∥AC,DM∥AB∴ 四边形 AEMD 是平行四边形若 EM=DM, 则□ AEMD 是菱形∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C又∵ EM∥AC,DM∥AB∴∠BEM=∠EMD=∠MDC
∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM
在△ BME 和△ CMD 中
∴ △BME≌ △CDM
∴BM=CM
∴ 当 M 为 BC 的中点时,四边形 AEMD 是菱形
4 、已知如图,在△ ABC,∠ACB=900 ,AD 是角平分线,点 E 、 F 分别在 AB 、AD 上,且 AE=AC , EF∥BC 。
求证:四边形 CDEF 是菱形
O
1 2
A
CB
D
EF
挑战
小 结
1 、菱形的判定定理的证明;2 、菱形与平行四边形的关系。