反比例函数 的图像与性质
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反比例函数 的图像与性质
K>0 K<0
当 k > 0 时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内, y 随 x 的增大而减小 .
当 k < 0 时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内, y 随 x 的增大而增大 .
1. 反比例函数的图象是双曲线 ; 2. 图象性质见下表:
图象
性质
y=x
k
反比例函数的图象和性质:
一 . 填一填
1. 函数 是 函数,其图象为 ,其中 k= ,自变量 x的取值范围为 .
2. 函数 的图象位于第 象限 , 在每一象限内 ,y的值随 x的增大而 , 当 x> 0时 ,y 0, 这部分图象位于第 象限 .
x
2y
x
6y
反比例反比例 双曲线双曲线
22 x≠ x≠ 00
一、三一、三
减小减小>> 一一
3. 函数 的图象位于第 象限 , 在每一象限内 ,y 的值随 x 的增大而 ,
当 x > 0 时 ,y 0, 这部分图象位于第 象限 .
x
6y 二、四二、四
增大增大
<< 四四
4.4. 函数 的图象在二、四象限内,函数 的图象在二、四象限内, mm 的取的取 值范围是值范围是 ______ .______ .x
my
2
m 2﹤
5. (挑战自我) 反比例函数 ( K 为常数)图象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
x
ky
12
B
已知点 A ( 1 , 4 )是双曲线 的一点,过点 A 作 x 轴的垂线段 PA 垂足为 P ,过点 A 作 AB⊥y 轴于 B 点。得到长方形 OPAB 。(1) 你能说出长方形 OPAB 的面积吗?( 2 )若 A 点是该双曲线上的一个动点,分别过点 A 给坐标轴作垂线段得到的长方形面积是否发生变化?若不变,请求出其面积;若改变,试说明理由。
A
O P x
y
B
二 . 动动脑x
y4
P(m,n)
Ao
y
x
BP(m,n)
Ao
y
x
B
说说你的推理
过点 P 分别作 x 轴, y 轴的垂线段,垂足为 A , B ,
则 S 矩形 OAPB=OA.AP=|m|.|n|=|k|.
上任意一点是双曲线 :,)0(),( kx
kynmP
||2
1||||
2
1
2
1knmAPOAS OAP
P(m,n)
Ao
y
x
P(m,n)
Ao
y
x
则垂足为轴的垂线作过 ,,)1( AxP
有上任意一点是双曲线设 :,)0(),( kx
kynmP ≠=
P(m,n)A
o
y
x
P(m,n)
Ao
y
x
想一想若将此题改为过 P
点作 y 轴的垂线段 ,其结论成立吗 ?
||2
1||||
2
1
2
1knmAPOAS OAP
小结:
反比例函数 上一点 P ( x0 , y0 ),过
点 P 作 PB y⊥ 轴, PA X⊥ 轴,垂足分别为A 、 B ,则四边形 AOBP 的面积为 ;
且 S AOP△ S BOP△ 。
ky
x
k
2
k=
B
1 、如图 , 点 P 是反比例函数 图象上的一点 ,PD⊥x 轴于 D. 则△ POD 的面积为 .
2y
x
Do
y
P
x
基础训练
22 、如图、如图 ,, 点点 PP 是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点 ,, 过点过点 PP
分别向分别向 xx 轴、轴、 yy 轴作垂线轴作垂线 ,, 若阴影部分面积为若阴影部分面积为 12,12,
则这个反比例函数的关系式是则这个反比例函数的关系式是 __________ __________ 。。
x
y
oM
Np
基础训练
.__,3
,2
,11
,1
,1
,,,,1
,1
,1
,
,,,)0(1
,.3
则有的面积分别为
记边结三点
轴于交轴引垂线经过三点分别向
的图像上有三点在如图
SSSOCC
OBBOAAOCOBOA
CBAxx
CBAxx
y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
B
A1o
y
x
A
C
B1 C1
S1
S3
提高训练
xy
14 、在 的图象中,阴影部分面积不为 1 的是( ).
提高训练
5 、如图,在 x 轴上点 P 的右侧有一点 D ,过点 D 作 x轴的垂线交双曲线 于点 B ,连结 BO 交 AP 于 C ,设△ AOP 的面积为 S1 ,梯形 BCPD 面积为 S2 ,则 S1
与 S2 的大小关系是 S1 S2 。(选填“ >”“<” 或
“=”)
xy
1
O x
y
A
B
D
P
C
综合训练
1.1. 已知点已知点 A(-2,A(-2,yy11),B(-1,),B(-1,yy22) ) 在反比在反比
例函数 的图象上例函数 的图象上 ,, 则则 yy11 与与 yy22 的大小关系的大小关系 (( 从从
大到小大到小 )) 为为 ____________ . ____________ . x
y3
yy
xxo-1-1
yy1yy22AA
BB
-2-2
4
CCyy33
四、比一比
2. 已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) 都在反比例函数 的图象上 ,试说明 y1 、 y2 与 y3 的大小关系( 从大到小 ) 。
xy
3
在反比例函数 的图象上有三点( x1 , y
1 )、( x2 , y2 )、( x3 , y3 ),若 x1>x2>0>x3 ,则下列各式中正确的是( )A 、 y3>y1>y2 B 、 y3>y2>y1
C 、 y2>y1>y3 D 、 y1>y3>y2
xy
2
练一练:
课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获?