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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

叶峰 （北京大学哲学系）yefeng@phil.pku.edu.cn

http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/people/fengye/index.html

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

本文从自然主义的角度分析希尔伯特方案与哥德尔不完全性定理的意义，说明一种对希尔伯特方案的修改还是可以达到希尔伯特的数学哲学的基本目的而不受第二不完全性定理的影响，并说明第一不完全性定理为什么并不能支持数学实在论。

摘要

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

1 、引言

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理1、引言

用可靠的、本身是无可置疑的数学方法，非常严格地证明，使用经典数学可以帮助我们得出关于现实世界中的有限具体事物的真理。

1931 年哥德尔发现并证明了第二不完全性定理，从而致命地打击了希尔伯特方案。

形式主义

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理1、引言

存在的就是这个物质宇宙中的事物，除此之外别无它物；不存在所谓抽象数学对象，尤其是没有所谓无穷的对象，甚至没有潜无穷。

在人类的数学实践中，真正存在的是有限的人类大脑中的数学构造与推理活动，还有大脑与环境中的物质性的事物之间的相互作用。

是唯名论的、物理主义（即唯物主义）的数学哲学。

自然主义

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理1、引言

说明希尔伯特方案的技术性策略不能成功是由于它有一个过高的期望，即期望一揽子地证明整个经典数学的可应用性；如果我们可以作更细致的逻辑分析工作来分析那些实际应用中的经典数学，那么还是可以在严格的有穷主义的基础上，从逻辑上解释经典数学的可应用性。

说明哥德尔的第一不完全性定理不能蕴涵实在论，也不与自然主义数学哲学相冲突。

本文目的

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

2 、对希尔伯特方案的一种表述

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理2、对希尔伯特方案的一种表述

PRA ：无量词的原始递归算术，即有穷主义 T ：某个经典数学系统 PA 、 ZFC 等 ProofT(y, x) ： T 的证明谓词在 PRA 的语言中

的表示 #() ：公式的编码在 PRA 的语言中对应的项 ProofT(y, #()) ： T 的保守性 0= S0 ：一个矛盾公式 ProofT(y, #(0= S0)) ： T 的一致性

几个概念

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理2、对希尔伯特方案的一种表述

在有穷主义系统 PRA 中证明经典数学系统 T 相对于有穷主义 PRA 的保守性：对 PRA 的公式，

PRA| ProofT(y, #()) 由第二不完全性定理可知这个不成立。

希尔伯特方案的目的

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理2、对希尔伯特方案的一种表述

在有穷主义系统 PRA 中证明经典数学系统 T 的一致性：

PRA| ProofT(y, #(0= S0)) 由第二不完全性定理可知这个不成立。

希尔伯特方案的手段

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理2、对希尔伯特方案的一种表述

不受不完全性定理的影响的一个结论：PRA| ProofT(f(n, y), #(0= S0)) (ProofT(y, #()) )

n ：从构造出的一个数字f ：一个固定的原始递归函数在 PRA 的语言中的表

示 假设在 T 中证明了 PRA 的语句，因此有一个自

然数 m 使得 ProofT(m, #()) ，只要有任何其它理由相信 f(n, m) 不会是从 T 中推导出矛盾公式 0= S0 的证明的编码，在有穷主义数学内部，这个理由也就成为相信的理由。

希尔伯特方案中的正面结果

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

3 、自然主义对希尔伯特方案 与第二不完全性定理的解释

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理3、对希尔伯特方案与不完全性定理的解释

我们对集合论 ZFC 等经典数学理论的一致性的信念是一种归纳的信念。

希尔伯特方案所要做的是将对经典数学系统的一致性的归纳信念，逻辑地归约为对有穷主义系统 PRA 的一致性的归纳的信念，我们对后者的信念度相对来说更高一些。

为什么相信 ZFC的一致性？

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理3、对希尔伯特方案与不完全性定理的解释

系统 PA 或 ZFC 等包含了较复杂的推理模式或公理；对于它们的一致性的信念是对较复杂的现象中的规律性的归纳信念 。

不能被规约为对一类更简单的现象（即更简单的系统中的推理）中的规律性的归纳信念 。

第二不完全性定理的意义

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

4 、自然主义对希尔伯特方案的修改

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理4、对希尔伯特方案的修改

科学只是对宏观和微观上有限的事物的描述，经典数学中的无穷在应用中都是近似地模拟有限离散的事物。

如果在一类数学应用中无穷可以被消除，那么那一类经典数学的应用可以被归约为有穷主义数学的应用。

用更仔细的分析代替一揽子论证

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理4、对希尔伯特方案的修改

提出一种不假设无穷的严格有穷主义数学。 证明一些应用数学，包括微积分、初等复变

函数理论、基本的勒贝格积分理论、基本的希尔伯特空间上的无界算子的谱理论等等，可以在这个严格有穷主义数学的框架中发展起来。 （ Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, book draft ）

因此相应的经典数学理论的应用中的无穷可消除。

具体策略

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理4、对希尔伯特方案的修改

证明更多的应用数学可以在这个严格有穷主义数学的框架中发展起来。

分析无穷的引进如何简化了推理。

有待完成的进一步研究

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

5 、自然主义对第一不完全性定理的解释

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理5、对第一不完全性定理的解释

数学真理不可被形式系统中的证明穷尽。

实在论者的解释

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理5、对第一不完全性定理的解释

在想象自然数的基础上继续想象皮亚诺算术的语言中的语句与自然数之间的对应关系，即语句的“真”属性。

对“真”属性的想象遵循一些规则，特别地， 是“真”的，当且仅当。

由此得出，逻辑公理是“真”的，皮亚诺算术的公理也是“真”的，而且推理保持“真”。

对实在论者用的“真”概念的解释

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理5、对第一不完全性定理的解释

对“定理”这一属性的想象遵循另外一些规则，受某种“有限构造性”的限制。

对“真”的想象采用更自由的语言规则。

“定理”与“真”的区别

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理5、对第一不完全性定理的解释

两种想象模式在想象中不能等同。 不蕴涵实在论，“真”不必指对应于客观的

数学世界。 “真”的意义就在于它的使用规则。 只有当我们试图将自己的想象投射到外部，断言我们的想象对应于独立于我们的实在的时候，才能引出真语句不可被证明穷尽这个结论。

第一不完全性定理的意义

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从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理

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