第三章 指數與對數 3－1　指　數

3－2　指數函數及其圖形

3－3　對　數

3－4　對數函數及其圖形

3－5　常用對數 總目錄下一頁

3-1 　指數 1. 指數律與正整數指數

2. 零指數與負整數指數

3. 分數指數

4. 實數指數章目錄下一頁 總目錄上一頁

指數律與正整數指數1. 設 a 為實數，以「 an 」表示 n 個 a 相乘，即

2. 若 a, b 為實數， m, n 為自然數 ( 正整數 ) ，則

(1) aman ＝ am ＋ n

　 (2) (am)n ＝ amn

　 (3) (ab)n ＝ anbn

......

n a

na a a a a 個

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零指數及負整數指數若 ， a 為實數， n 為正整數，則規定

(1)

(2)

若底數 a = 0 ，則 與 均無意義。

0a 0 1a

1nna

a

00 0 n

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分數指數

若 a 為正實數， m, n 為整數， n≠0 ，

則規定 (1) (2)

1nna a

mn mna a

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實數指數設 a 、 b 為正實數，其中 m 與 n 為有理數， n≠0 ，則(1) ( 指數相

加 )

(2) ( 指數相減 )

(3) ( 指數相乘 )

(4) ( 指數相除 )

(5)

m n m na a a m

m n m nn

aa a aa

( )m n m na a m

n m na a( )n n nab a b

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3-2 　指數函數及其圖形 1. 指數函數圖形(底數＞1 )

2. 指數函數圖形(0＜底數＜1)

3. 指數函數的性質(I)

4. 指數函數的性質(II)章目錄下一頁 總目錄上一頁

指數函數的圖形 ( 底數＞1) 2xy

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指數函數圖形 (0 ＜底數＜1 )

12

x

y

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指數函數的性質(I)

( ) 1xf x a a ，指數函數

有下列的性質：(1) 定義域（ x 的範圍）為實數。(2) 值域（ y 的範圍）為正實數。(3) 若 ，

為增函數。(4) 若 ，

為減函數。

1a ( ) xf x a

0 1a ( ) xf x a

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指數函數的性質 (II)指數函數

有下列的性質：(5) 的圖形必通過 (0,1) ，

且以 x 軸為漸近線，圖形在 x 軸上方。

(6) 設 ，則 和 的圖形，對稱於 y 軸。

( ) 1xf x a a ，

1a

( ) xf x a

( ) xf x a

1( )x

f xa

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3-3 　對 數

1. 對數的意義

2. 對數的性質(I)

3. 對數的性質(II)

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對數的意義

loga b

若 a>0 ， a 1 ， b>0 ，則

稱 為「以 a 為底， b 的對數」，

其中 a 叫做底數， b 叫做真數。

xa b loga b x

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對數的性質 (I)

若 a > 0 ， a 1 ， x > 0 ， y > 0 ，則

(1) ；

(2)

(3)

log 1 0a log 1a a

log ( ) log loga a ax y x y

log log loga a ax x yy

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對數的性質 (II)

若 a > 0 ， a 1 ， x > 0 ， y > 0 ，則

(4) ， n 為實數

(5) 換底公式：

， b > 0 ， b 1

(6)

log logna ax n x

loglog

logb

ab

xx

a

log xaa x

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3-4 　對數函數及其圖形 1. 對數函數圖形(底數＞1)

2. 對數函數圖形(0＜底數＜1)

3. 對數函數的性質

4. 對數函數與指數函數

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對數函數圖形 (底數＞1)

2logy x

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對數函數圖形 (0＜底數＜1)

12

logy x

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對數函數的性質 (I)對數函數 ，其中 a > 0 ， a 1 ，則有下列的性

質：(1) 定義域（ x 的範圍）為正實數。(2) 值域（ y 的範圍）為實數。(3) 若 ， 為

增函數。(4) 若 ，

為減函數。

logay x

1a logay x

0 1a logay x

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對數函數的性質 (II)

對數函數 ，其中 a > 0 ， a 1 ，則有下列的性質：(5) 　　　 的圖形必通過 (1,0) ， 且以 y 軸為漸近線，圖形在 y 軸

右方。(6) 設 ，則

和 的圖形對稱於x 軸。

logay x

0 1a

1a logay x 1loga

y x

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對數函數與指數函數 與 的圖形比較

2xy 2logy x

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3-5 　常用對數 1. 常用對數

2. 對數表

3. 首數與尾數

4. 首數與尾數的應用

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常用對數(1) 以 10 為底數的對數，稱為常用對數。

(2) 通常把常用對數的底數 10 省略不寫，

即 。

例如：

10log logx x

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10log 123 log123

對數表查對數表，求 log2.14 ＝？

在最左邊 21 與最上面一排 4 所對應的數字 3304 ，故 log2.14 ＝ 0.3304

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首數與尾數若 log x ＝ n ＋ α ，其中 n 為整數且 α 為正純小數或 0 ，則 n 稱為首數， α 稱為尾數，即 。0 1

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首數與尾數的應用若 log x ＝ n ＋ α ，其中 n 為首數， α 為尾數，則真數 x 與首數 n 的關係：(1) 真數 x 為 m 位整數

log x 的首數 n ＝ m－ 1 (2) 真數 x 自小數點後第 m 位始出現非零數字 log x 的首數 n ＝－ m

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