2-1 因數與倍數

2-1 因數與倍數

2-3 最大公因數與　　　　　　最小公倍數

2-2 質因數分解

第二章第二章最大公因數與最小公倍數最大公因數與最小公倍數

2-1 因數與倍數

主題一因數與倍數

主題三　判別 3、 9的倍數

教學目標 :　　 1. 因數與倍數　　 2. 判別 2 、 5 的倍數　　 3. 判別 3 、 9 的倍數　　 4. 判別 4 、 11 的倍數。

教學時間： 3 節

主題二判別 2、 5的倍數

主題四　判別 4、 11 的倍數

第二章　第二章　最大公因數與最小公倍數最大公因數與最小公倍數

2-1 因數與倍數主題一因數與倍數

12 ＝ 2×6( 或 12÷2 ＝6)

12 ＝ 4×3( 或 12÷4 ＝ 3)

2 ＝ 1×12( 或 12÷1 ＝ 12)



12 ＝ 6×2( 或 12÷6 ＝2)

12 ＝ 3×4( 或 12÷3 ＝ 4)

12 ＝ 12×1( 或 12÷12 ＝ 1)



　　從上頁的排法和列式中可以發現，當每一排的飲料數可以整除 12 時，就可以排成長方形的樣式，此時我們就說那一排的飲料數是 12 的因數，或者說 12 是那一排飲料數的倍數。由上頁的圖可知：1、 2、 3、 4、 6、 12 都是 12 的因數。一般來說，

　　 a、 b 為整數 (b 不為 0) ，如果 a 可以被 b 整除，我們就說 a 是 b 的倍數，或者說 b 是 a 的因數。



　判斷 24 是不是 384 的因數。

除除看！

因為 24可以整除 384 ，所以 24是 384 的因數。


2-1 因數與倍數主題二判別 2、 5的倍數

　　 2 的倍數有 2、 4、 6、 8、 10 、 12 、 14 、16 、 18 、 20 、……。從這樣的規律可以看出，如果一個整數的個位數字是 0、 2、 4、 6、 8，那麼這個整數就是 2 的倍數，否則就不是 2 的倍數。例如： 30、 314 、 5976 是 2 的倍數； 3、21 、 425 、 3467 不是 2 的倍數。

　　 5 的倍數有 5、 10 、 15 、 20 、……。從這樣的規律可以看出，如果一個整數的個位數字是 0 或 5 ，那麼這個整數就是 5 的倍數，否則就不是 5 的倍數。例如： 1235 、 390 是 5 的倍數； 323 、 251 不是 5 的倍數。


2-1 因數與倍數主題二判別 2、 5的倍數

　 24、 125 、 3056 、 6500 、 18993 中，哪些是 2 的倍數？哪些是 5 的倍數？

因為 124 、 3056 、 6500 的個位數字是 0、 2、4、 6、 8 其中一數，所以是 2 的倍數；因為 125 、 6500 的個位數字是 0 或 5 其中一數，所以是 5 的倍數。


2-1 因數與倍數主題三判別 3、 9的倍數

10 個積木 3 個一數，還剩下 1 個，所以 10 不是 3 的倍數。

20 個積木 3 個一數，還剩下幾個？20 是否為 3 的倍數？

20 個積木可以想成 2 堆 10 個積木，3 個一數，每堆剩下 1 個，2 堆共剩下 2 個，所以 20 不是 3 的倍數。



30 個積木 3 個一數，還剩下幾個？30 是否為 3 的倍數？

30 個積木分成 3 堆 10 個積木，3 個一數，每堆剩下 1 個，3 堆共剩下 3 個，3 個可再一數，剩下 0 個，所以 30 是 3 的倍數。



　　同樣的， 100 和 200 個積木每 3 個一數都還有剩下，所以不是 3 的倍數； 300 個積木可先分成 3 堆 100 個積木，然後每 3 個一數，每堆各剩 1 個， 3 堆共剩 3 個，但 3 個還可以再一數，剩下 0 個，所以 300 是 3 的倍數。

100÷3 ＝ 33……1 200÷3 ＝ 66……2 300÷3＝ 100



　　接著我們利用上述的方式來了解如何判別一個數是否為 3 的倍數。例如，要判別 423 是否為 3 的倍數，我們可將 423 分成 4 堆 100 、 2 堆 10 和 3 堆 1 ，共分成 4＋ 2＋ 3＝ 9 堆，然後每 3 個一數，每堆都剩下 1，所以總共剩下 9， 9 又剛好可被 3 整除，因此 423 是 3 的倍數。

剩下 4＋ 2＋ 3＝ 9，

9÷3＝ 3

從上面的例子可以得到一個結論：如果一個整數的各個數字和是 3 的倍數，那麼這個整數就是 3 的倍數，否則就不是 3 的倍數。

第二章第二章　最大公因數與最小公倍數　最大公因數與最小公倍數

2-1 　　因數與倍數主題三　　　　判別 3、 9的倍數

　判別 1977 和 1997 這兩個數是不是 3 的倍數。

(1) 1977 的各個數字和是 1＋ 9＋ 7＋ 7＝ 24 ， 24 是 3 的倍數，因此 1977 是 3 的倍數。(2) 1997 的各個數字和是 1＋ 9＋ 9＋ 7＝ 26 ， 26 不是 3 的倍數，因此 1997 不是 3 的倍數。



　　接著我們來了解如何判別一個數是否為 9 的倍數。例如，要判別 423 是否為 9 的倍數，同樣的，我們可將 423 分成 4 堆 100 、 2 堆 10 和 3 堆 1 ，共分成 4＋2＋ 3＝ 9 堆，然後每 9 個一數，每堆都剩下 1，所以總共剩下 9， 9 可以被 9 整除，因此 423 是 9 的倍數。

剩下 4＋ 2＋ 3＝ 9，

9÷9＝ 1

從上面的例子可以得到一個結論：如果一個整數的各個數字和是 9 的倍數，那麼這個整數就是 9 的倍數，否則就不是 9 的倍數。


2-1 　　因數與倍數主題三　　　　判別 3、 9的倍數


(1) 1998 的各個數字和是 1＋ 9＋ 9＋ 8＝ 27 ， 27 是 9 的倍數，因此 1998 是 9 的倍數。(2) 2004 的各個數字和是 2＋ 0＋ 0＋ 4＝ 6， 6 不是 9 的倍數，因此 2004 不是 9 的倍數。


2-1 　　因數與倍數主題四　　　　判別 4、 11 的倍數

　　 100 個積木，每 4 個一堆，剛好分成 25 堆而沒有剩餘，如右圖。　　所以一個整數只要是 100 的倍數，那麼每 4 個一數，都不會有剩餘。利用這個方式，我們來了解如何判別一個數是否為 4 的倍數。

　　以 326 為例，我們可以將 326 分成 300 和 26 ，



　　 300 是 100 的倍數，每 4 個一堆剛好能分完，所以 326 能不能被 4 整除只要看 26 能不能被 4 整除即可，而 26÷4＝ 6……2，所以 326 不是 4 的倍數。

從上面的例子可以得到一個結論：如果一個整數的末兩位數字和是 4 的倍數，那麼這個整數就是 4 的倍數，否則就不是 4 的倍數。




(1) 998 的末兩位數為 98 ，而 98÷4＝ 24……2，所以 1998 不是 4 的倍數。(2) 52160 的末兩位數為 60 ，而 60÷4＝ 15 ，所以 52160 是 4 的倍數。



要檢查一個整數是否為 11 的倍數，我們也有一個判別方法：先算出這個數的奇數位各數字的和及偶數位各數字的和，如果這兩個和的差是 11 的倍數 (含 0 ) ，那麼這個整數就是 11 的倍數，否則就不是 11 的倍數。例如：

奇數位數字和＝ 1＋ 3＋ 8＋ 6＝ 18偶數位數字和＝ 5＋ 4＋ 9＝ 18因為 18 － 18 ＝ 0，而 0 是 11 的倍數，所以 1534896 是 11 的倍數。除除看， 1534896 是否真的是 11 的倍數？



　判別 51975 和 281604 這兩個數是不是 11 的倍數。

(1) 因為 51975 的奇數位和減偶數位和為 (5 ＋ 9＋ 5) － (1 ＋ 7) ＝ 11 ，是 11 的倍數，所以 51975 是 11 的倍數。(2) 因為 281604 的奇數位和減偶數位和為　　 (8＋ 6＋ 4) － (2 ＋ 1＋ 0) ＝ 15 ，不是 11 的倍數，　　所以 281604 不是 11 的倍數。

2-1 因數與倍數

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