大數據分析與應用 - Mirle · 大數據分析與應用 大數據,指得是無法在一定時間內用常規軟體或工具對內容進行抓取、管理和處理的 數據集合。
3-5 指數與對數的應用
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Transcript of 3-5 指數與對數的應用
製作老師:趙益男 /基隆女中教師發行公司:龍騰文化事業股份有限公司
Ch3 指數與對數
3-5 指數與對數的應用
課本頁次: 184
甲、對數表、科學記號與內插法 在電腦 Google 的搜尋列中﹐輸入 log(1.36) 即可得到 log 1.36 的近似值
課本頁次: 185
甲、對數表、科學記號與內插法
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
常用對數表 10logy x
1.3
0.09
0.1430
log1.36 0.1335
常用對數表列出從 1.00 到 9.99 之間
課本頁次: 185
例 1
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
常用對數表 10logy x
log1.38 0.1399
利用對數表﹐查出 的值﹒ log1.38
:解
課本頁次: 186
隨 1
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067
0.7067
利用對數表﹐查出下列的值 :
:解
1 log5.09
課本頁次: 186
隨 1
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686
0.8663
利用對數表﹐查出下列的值 :
:解
2 log7.35
課本頁次: 186
例 2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
常用對數表 10logy x
x 2.45
利用對數表反查真數 的值﹒ x
:解
log 0.3892x
課本頁次: 186
隨 2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067
x 5.07
利用對數表,查出下列各真數 的值﹒ x
:解
log 0.7050x 1
課本頁次: 186
隨 2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186
x 8.24
利用對數表,查出下列各真數 的值﹒ x
:解
log 0.9159x 2
課本頁次: 186
科學記號
其中 n 為整數,,10na b
10n ab稱 為 的科學記號
12300 41.23 10
0.00123 31.23 10
舉例說明 1:
2
1 10b
課本頁次: 187
例 3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
4.0899
利用對數表﹐求下列的值 :
:解
1 log12300
log12300 41.2og 3 0l 1 4log1.23 log10
90.089 4 4.0899
課本頁次: 187
例 3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
2.9101
利用對數表﹐求下列的值 :
:解
2 log0.00123
0.0log 0123 31.2 0lo 3g 1 3log1.23 log10
90.089 3 2.9101
課本頁次: 187
隨 3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
5.1931
利用對數表﹐求下列的值 :
:解
1 log156000
15log 6000 51.5og 6 0l 1 5log1.56 log10
10.193 5 5.1931
課本頁次: 187
隨 3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
78 8921 8927 8932 8938 8943 8959 8945 8960 8965 8971
2.1029
利用對數表﹐求下列的值 :
:解
2 log0.00789
0.0log 0789 37.8 0lo 9g 1 3log7.89 log10
10.897 3 2.1029
log 3 0.6702x
課本頁次: 187
例 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712
4.68
利用對數表,查出下列各真數 的值 x
:解
log 3.6702x 1
3log10 log 3log( 10 ) 310x
34.68 10
4680x
log 1 0.3990x
課本頁次: 187
例 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010
3.99
利用對數表,查出下列各真數 的值 x
:解
log 1.3990x 2
2log10 log 2log( 10 ) 210x
23.99 10
2 1 0.3990
2 0.6010
0.0399x
log 2 0.4886x
課本頁次: 188
隨 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900
3.08
利用對數表,查出下列各真數 的值x
:解
log 2.4886x 1
2log10 log 2log( 10 ) 210x
23.08 10
308x
log 2 0.1290x
課本頁次: 188
隨 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745
7.43
利用對數表,查出下列各真數 的值 x
:解
log 2.1290x 2
3log10 log 3log( 10 ) 310x
37.43 10
3 1 0.1290
3 0.8710
0.00743x
課本頁次: 188
內插法
Ox
y
1.34 1.35
0.1271
0.1303log1.34 0.1271
log1.35 0.1303
log1.3475 1.3475
100
75
k
k
3224k
log1.3475 0. 0.00241271
:解
0.1295
13400 13475 13500
0.1295
( 4 )小數點第 位
課本頁次: 188
內插法
Ox
y
1.34 1.35
0.1271
0.1303log1.34 0.1271
log1.35 0.1303
log1.3475 1.3475
32
k
k
75
100
24k log1.3475 0. 0.00241271
:解
0.1295
log1.3400
log1.3500
1.3475
0.1271
0.1303
k240.1295
0.1295
( 4 )小數點第 位
課本頁次: 188
內插法 log1.34 0.1271
log1.35 0.1303
log1.3475
32
k75
100
24k log1.3475 0. 0.00241271
:解
0.1295
log1.3400
log1.3500
1.3475
0.1271
0.1303
k240.1295
( 4 )小數點第 位
課本頁次: 189
例 5用內插法求 的近似值 log5.4745log5.47 0.7380 log5.48 0.7388
8
k45
1003.6k
log5.4745 0.7 0.038 360 00
:解
0.73836
log5.4700
log5.4800
5.4745
0.7380
0.7388
k3.60.73836
課本頁次: 189
隨 5用內插法求 的近似值 log6.436log6.43 0.8082 log6.44 0.8089
7
k6
104.2k
log6.436 0.8 0.008 422 00
:解
0.80862
log6.430
log6.440
6.436
0.8082
0.8089
k4.20.80862
課本頁次: 189
乙、求值與估算
1
2
3
首數
尾數
利用對數表作乘、除法與開方的運算
課本頁次: 190
例 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
利用對數表,求 的值 123 345
:解 設 x 123 345log log
1log123 log345
2
1log1.23 2 log3.45 2
2
1(
2 )0.0899 2
課本頁次: 190
例 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428
利用對數表,求 的值 123 345
:解 設 x 123 345log log
1log123 log345
2
1log1.23 2 log3.45 2
2
1(
2 )0.0899 2 0.5378 2
課本頁次: 190
例 6 利用對數表,求 的值 123 345:解 設 x 123 345log log
2.3139
1(
2 )0.0899 2 0.5378 2
課本頁次: 190
例 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
利用對數表,求 的值 123 345
:解 設 x 123 345log log
2.31390. 92 313
log 2.062log10 6log 20
課本頁次: 190
例 6 利用對數表,求 的值 123 345:解 設 x 123 345log log
2.31390. 92 313
log 2.062log10 6log 20
206x
123 345 206 ∴
課本頁次: 190
隨 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
利用對數表,求 (1) 的值 2.11 3.34
4.46
x
:解設 x 2.11 3.34
4.46
log log
log2.11 log3.34 log4.46
0.3243
課本頁次: 190
隨 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
33 5185 5189 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302
利用對數表,求 (1) 的值 2.11 3.34
4.46
x
:解設 x 2.11 3.34
4.46
log log
log2.11 log3.34 log4.46
0.3243 0.5237
課本頁次: 190
隨 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6467 6484 6493 6503 6513 6522
利用對數表,求 (1) 的值 2.11 3.34
4.46
x
:解設 x 2.11 3.34
4.46
log log
log2.11 log3.34 log4.46
0.3243 0.5237 0.6493
課本頁次: 190
隨 6 利用對數表,求(1) 的值
2.11 3.34
4.46
:解設 x 2.11 3.34
4.46
log log
0.1987
0.3243 0.5237 0.6493
課本頁次: 190
隨 6 利用對數表,求 (1) 的值 2.11 3.34
4.46
:解設 x 2.11 3.34
4.46
log log
0.1987
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
x
1.58x 2.11 3.34
1.584.46
課本頁次: 190
隨 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7919
利用對數表,求 (2) 的值 3 614
:解 設 x 3 614log log
0 83
22 81
.7 0.9294
1log614
3 1
2 log6.143
課本頁次: 190
隨 6 利用對數表,求 (2) 的值 3 614
:解 設 x 3 614log log
0 83
22 81
.7 0.9294
1log614
3 1
2 log6.143
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340
x
8.5x 3 614 8.5
課本頁次: 190
例 7已知
解:
log2 0.3010 ﹐log3 0.4771 ﹐且正整數 n
log 1.23n 滿足﹐ 問 n 可能為下列哪一個數﹕
(1) 15 (2) 16 (3)17 (4) 18 (5) 19
∵ log16 4 0.3010 1.204
2log(2 3 ) log2 2log3
0.3010 2 0.4771 1.2552
log16 log log18n
17n ∴ 選 (3)
4log2 4 log2
log18
課本頁次: 190
隨 7已知
解:
log2 0.3010 ﹐log3 0.4771 ﹐且正整數 n
log 1.49n 滿足﹐ 問 n 可能為下列哪一個數﹕
(1) 29 (2) 31 (3)33 (4) 35 (5) 37
∵ log30 1.4771
5log2 5 log2 5 0.3010 1.5050
log30 log log32n
31n ∴ 選 (2)
log3 log10 1 log3
log32
課本頁次: 191
loga 的首數與尾數其中 n 為整數,,10na b
a 10nblog log ( ) logn b
整數
0 log 1b loga的首數
loga的尾數
對數
= +對數 首數 尾數
1 10b
課本頁次: 191
loga 的首數與尾數其中 n 為整數,,10na b
a 10nblog log ( ) logn b
整數
0 log 1b loga的首數
loga的尾數
對數
log12300 4log 1.23 10 log 34 1.2
log12300 的首數 =4, 尾數 =log1.23
1 10b
課本頁次: 191
loga 的首數與尾數其中 n 為整數,,10na b
a 10nblog log ( ) logn b
整數
0 log 1b loga的首數
loga的尾數
對數
log0.00123 3log 1.23 10 log .233 1
log12300 的首數 3 , 尾數 log1.23
1 10b
課本頁次: 191
隨堂 已知 log1.38 0.1399
1
求下列各對數的首數和尾數 :
log1380 3log 1.38 10 log 83 1.3
首數 尾數
0. 93 139
2 log0.00138 3log 1.38 10 log .383 1
首數 尾數
0.3 1399
課本頁次: 191
比較正數 a 與 loga 之首數的關係
1a
1na 的整數部分為 位
科學記號 a 10nb
對數 loga logn b
loga的首數為 n
12345a 41.2345 10a
log log1. 3 54 2 4a
loga的首數為 4
課本頁次: 191
比較正數 a 與 loga 之首數的關係0 1a
a
科學記號 a 10 nb
對數 loga logn b
loga的首數為 n
0.00345a
33.45 10a
3log log3.45a
loga的首數為 3
自小數點後第 n 位開始不為 0﹒
課本頁次: 192
首數的特性
(1) 若 的首數為 n (
的首數為– n (
則 a 是純小數
設 a 是一個正數loga 0n
(2) 若
則 a 的整數部分為 n + 1 位loga 0n
且自小數點後第 n 位開始不為 0
)
)
課本頁次: 192
例 8 已知 log2 0.3010 log3 0.477130 ?2將 乘開後是幾位數
:解 30log2 230log 30 0.3010
9.03
09 0. 3
首數
首數+ 1 =位數 10 9 1 ( 位數)
1
課本頁次: 192
例 8 已知 log2 0.3010 log3 0.4771
:解
2100
?
將 表示成小數,
從小數點後第幾位開始出現不為03
的數字
2
100
og2
3l
2
310 log0
log2100 o 3l g
17.61
3918 0.
首數小數後點第 18 位開始不為0
17 0.61
17 0. 11 61
課本頁次: 192
隨 8 已知 log2 0.3010 log7 0.845140 ?7將 乘開後是幾位數
:解 40log7 740log 40 0.8451
33.804
033 .804
首數
首數+ 1 =位數 34 33 1 ( 位數)
1
課本頁次: 192
隨 8 已知 log2 0.3010 log7 0.8451
:解
2100
?
將 表示成小數,
從小數點後第幾位開始出現不為07
的數字
2
100
og2
7l
2
710 log0
log2100 o 7l g
54.41
5955 0.
首數小數後點第 55 位開始不為0
54 0.41
54 0. 11 41
課本頁次: 193
丙、等比數列與等比級數
3 12 4
1 2 3
k
k
a aa a
ar
a a a
如果每一項與前一項的比值都是定值 r (
即
則稱此數列為等比數列﹐
0r
這個相同的比值 r 稱為公比
)﹐
在一個數列中﹐
1a 2a
r
3a 4a 5a
r r r
課本頁次: 193
丙、等比數列與等比級數 3a 4a 5a2a1a
a ar 2ar 3ar 4ar
, , 0 ,a r a r 首項為 公比為 均1n
na ar
等比數列的第 n 項
1n
na ar
nn a則第 項 可表為
課本頁次: 194
例 9 已知 3,3 3,9, ,243 是一個等比數 ,列 求
a r首項 及公比
:解
1
a 3
r3 3
3 3
6第 項的值
:解
2
6a 5ar
53 3 27 3
課本頁次: 194
例 9 已知 3,3 3,9, ,243 是一個等比數 ,列 求
243 ?第幾項
:解
3
13 3
n 243
n設第 項
1423 3
n
81
14
2
n 1 8n 9n
課本頁次: 194
隨 9 已知 3, 6,12, , 384 是一個等比數 ,列 求
a r首項 及公比
:解
1
a 3
r6
3
2
5第 項的值
:解
2
5a 4ar
43 2 48
課本頁次: 194
隨 9 已知 3, 6,12, , 384 是一個等比數 ,列 求
384 ? 第幾項
:解
3
13 2
n 384
n設第 項
1 72 2
n
128
1 7n 8n
2 1n nar ar ar ar
2 1na ar ar ar
課本頁次: 194
等比級數 將數列的各項依序用加號連接起來﹐ 稱為級數
1 2 na a a
設首項為 a﹐ 公比為 r ≠ 1 , 前 n 項的和為 nS
nS
nrS )
n nS rS a nar
1 nr S (1 )na r (1 )
1
n
na r
Sr
課本頁次: 194
等比級數和公式 等比數列首項為 a﹐ 公比為 r , 前 n 項和為, 則 nS
(1 )
1
na r
r
1 1 ,r 當 時
(1 )
1
na r
r
1
na ar
r
1 1
1
na ar
r
1
1
na r
r
ar
1na a r
r
nS
課本頁次: 194
等比級數和公式 等比數列首項為 a﹐ 公比為 r , 前 n 項和為, 則 nS
2 1 ,r 當 時
nS a a a na
課本頁次: 195
例 10求下列等比級數的和 :
2 6 18 486 1
:解
132
n 486
486 n設 為第 項,
13 243n
1 5n 6n
2,a 首項 r 公比6
23
53
6S 6 1
1r
a r
6
3
2 3 1
1
63 1 729 1
728
課本頁次: 195
例 10求下列等比級數的和 :1
1 1 11
2 4 2
n
2
:解
nS 1
12
1( )1
12
n 1
2 12n
課本頁次: 195
隨 10求下列等比級數的和 :
192 96 48 3 1
:解
123
n 192
192 n設 為第 項,
12 64n
1 6n 7n
3,a 首項 r 公比 96
482
62
7S 7 1
1r
a r
7
2
3 2 1
1
73(2 1) 3 127
381
3 48 96 192
課本頁次: 195
隨 10求下列等比級數的和 :1
1 1 11
2 4 2
n
2
:解
nS 1
12
1( )1
12
n 2 1
13 2
n
課本頁次: 196
例 11 1 2 631 2 2 2 ? 的和是幾位數:解
64S 12
1 ( )642 1
642 1 的位數 642與 的位數相同
( log2 0.3010)
64log2 64log2
64 0.3010 19.264 019 .264
首數首數+ 1 =位數 2019 1 ( 位數)
課本頁次: 196
例 11 1 2 631 2 2 ?2 最高位數字為何:解
64S 12
1 ( )642 1
642 1 的位數 642與 的位數相同
( log2 0.3010)
64log2 64log2
64 0.3010 19.264 019 .264
∴最高位數字為 1
0.264log1 log2 ∵ log0.2 )64 (1. ~
課本頁次: 197
丁、指數與對數的應用
本利和 以單利計算 以複利計算
1 年後 10(1+0.1)=11 10(1+0.1)=11
2 年後 10(1+0.12)=12 [10(1+0.1)](1+0.1)=10(1+0.1)2=12.1
3 年後 10(1+0.13)=13 [10(1+0.1)2](1+0.1)=10(1+0.1)3=13.31
n 年後 10(1+0.1n) 10(1+0.1)n
單利:將利息與本金分開 , 每期所領取的利息固定
複利:將利息加上本金 ,一起當作下一期的本金
課本頁次: 197
丁、指數與對數的應用 設本金為 P 元 , 每期的利率為 r %
本利和 以單利計算 以複利計算
n 年後 (1 %)nP r(1 % )P r n
複利本利和 1n
rA
A 本金
r 利率
n 期數
101.1 0400
課本頁次: 197
例 12 小華上高中後﹐父親為他在銀行存入 100 萬元當就學基金 ,
已知銀行的年利率 4%, 以一年為一期複利計算(1)10 年後小華的就學基金有多少元?
( log1.04 0.0170, log1.48 0.17 ):解
log
10log log 4100 1.0
2 10 0.0170
2 0.17 log100 log1.48
log148
101 148 ( )00 1.04 萬元
1100 .04n
課本頁次: 197
例 12 小華上高中後﹐父親為他在銀行存入 100 萬元當就學基金 ,
已知銀行的年利率 4%, 以一年為一期複利計算(2) 經過幾年後存款的本利和會超過 200 萬元?
( log1.04 0.0170, log1.48 0.17 ):解
200n設 年後
(1.04) 2n log log
log 1.04 log2n
(0.0170) 0.3010n
0.3010
0.0170n 17.7
18n 取18 年後本利和會超過 200 萬元
課本頁次: 198
隨 12
超過現在的兩倍 , 那麼 a 的最小值應為多少?
某公司宣佈即日起員工每年調薪 a %﹐其中 a 為正整數 , 如果想讓 10 年後員工的薪水
:解 101 %a 2log log
log10 1 %a 0.3010
log 1 % 0.0301a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
x
% 1.08a 取 1+ 8a 的最小值
課本頁次: 198
丁、指數與對數的應用 半衰期:
放射性物質衰變至原來數量的一半所需的時間
例:碘 131 的半衰期約為 8 天﹐ 該元素的放射性經過 8 天只剩下原來的
1
2經過 16 天只剩下原來的
1
421
( )2
經過 天只剩下原來的 81( )2
x
x
課本頁次: 198
例 13在 1960 年時專家以碳 14 檢測一件號稱是「耶穌裹屍布」的古物 , 發現該布上碳 14 的含量佔原來的 14
15
課本頁次: 198
例 13在 1960 年時專家以碳 14 檢測一件號稱是
(log2 0.3010 log3 0.4771 log7 0.8451)﹐ ﹐
「耶穌裹屍布」的古物 , 發現該布上碳 14 的含量佔原來的 14
15若碳 14 的半衰期約為 5700 年﹐
則裹屍布為哪一世紀的古物?
:解設西元 1960 年時該裹屍布已存在 n 年﹒
57001
2
n
14
15
課本頁次: 198
例 13(log2 0.3010 log3 0.4771 log7 0.8451)﹐ ﹐
則裹屍布為哪一世紀的古物?
:解設西元 1960 年時該裹屍布已存在 n 年﹒
57001
2
n
14
15
1
25log log log15
7014
0
n
log2 log7 log3 log5 log25700
n
0.30105700
n
0.3010 0.8451 0.4771 0.6990
0.0300
5700 0.3010
n
1
10 570n
1960 570 1390 ( ) 年
14世紀的古物
= 0.0300
課本頁次: 199
隨 13在非洲挖掘出一人頭蓋骨﹐
試估計其年代距今約為多少萬年﹒ 其碳 14含量相對於正常含量為
9
100
( 碳 14 半衰期 5700 年 ,log2 0.3010,log3 0.4771)
:解 設其年代距今約為 n 年
57001
2
n
9
100
課本頁次: 199
隨 13試估計其年代距今約為多少萬年﹒ ( 碳 14 半衰期 5700 年 ,log2 0.3010,log3 0.4771)
:解 設其年代距今約為 n 年57001
2
n
9
100
1
25log log9 1log
7000
0
n
2log3 2 log25700
n
0.30105700
n
2 0.4771 2
1.0458
5700 0.3010
n 3.47 19779n 2 ( )約為 萬年
= 1.0458
課本頁次: 200
例 14
(3, 2)
logT
loga
O
行星軌道的週期 T 和半軸長 a 之間的關係 ,
當做 x坐標﹐若將 logT loga 當作 y坐標﹐可得函數圖形為右圖中的直線﹒(1) 求該直線的方程式﹒
:解 y ax b 設方程式為
0 0a b
2 3a b
0b 2
3a
2
3y x
2
3y x
課本頁次: 200
例 14
(3, 2)
logT
loga
O
行星軌道的週期 T 和半軸長 a 之間的關係 ,
當做 x坐標﹐若將 logT loga 當作 y坐標﹐可得函數圖形為右圖中的直線﹒
(2) 求 T 與 a 的關係式﹒:解
2
3y x
2log log
3a T
3log 2loga T 3 2log loga T
3 2a T
課本頁次: 200
隨 14
logx
logy
Ologx
logy
Ologx
logy
Ologx
logy
O
(1) (2) (3) (4)
下列何者為其圖形?若將 ( logx log﹐ y) 描繪在坐標平面上﹐
關於多項式函數 310y x
:解 3log log10y x 3log10 log x 1 3log x log令Y y 1 3Y X
4選項為圖形為斜率是 3的直線
log X x﹐
離開確認
你確定要離開嗎?