Булеви функции

1. Определения

Нека B е множество с два елемента, които условно означаваме с 0 или 1, т.е. B ={0,1}.

Елементите на B се наричат булеви константи.

Всяка променлива x, която има за стойности елементи от B, се нарича булева променлива.

Всяка функция f:B →B се нарича булева функция на една променлива.

2. Таблица на четирите булеви функции на една променлива

ff0 0 и ff3 3 са константи и не зависят от стойността на своя аргумент.

ff11- - идентичната функция, тъй като f1(x)=x; ff22- - функция отрицание, тъй като ff22((00)=)=1 и 1 и

ff22((11)=)=0;0; ff22- - функция отрицание, тъй като ff22((00)=)=1 и 1 и

ff22((11)=)=0.0.

xx ff00 ff11 ff22 ff33

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

3. Логическа функция

Всяка функция f: B x B→B нарича булевабулева (логическа, двоичналогическа, двоична) функция с две променливи.

Конюнкция и дизюнкция (самостоятелна работа: останалите функции във вид на таблицата, посочена по долу):

xx yy xx^̂yy xxvvyy

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

4. Представяне на булеви функции

Булевите константи, променливи и всички изрази, в които участват, се наричат булеви изразибулеви изрази.

Да се пресметне стойността на една функция означава всяка променлива да се замести с нейната стойност 0 или 1 и след това да се изпълнят началните операции отрицание, дизюнкция и конюнкция съгласно техните дефиниции.

5. ДНФ (дизюнктивна нормална форма)

Ако имаме израз, който представлява дизюнкция на два подизраза, всеки от които е конюнкция на всичките си променливи или техните ограничения. Такива подизрази се наричат минимални термове.

Казва се, че един булев израз е в дизюнктивна нормална форма (ДНФ), ако е представен като дизюнкция от минимални термове.

6. Закони на булевата алгебра

Закон за двойното отрицание ¬¬x

x^x=x; xvx=x

x^0=x; xv1=x

x^1=1; xv0=0

Комутативен закон xvy=yvx; x^y=y^x

Асоциативен закон xv(yvz)=(xvy)vz=xvyvz

x^(y^z)=(x^y)^z=x^y^z

Дистрибутивен закон xv(y^z)=(xvy)^(xvz)

x^(yvz)=(x^y)v(x^z)

Закони на Де Морган ¬(xvy)=¬x^¬y; ¬(x^y)=¬xv¬y;