Функции. Теория пределов.
description
Transcript of Функции. Теория пределов.
![Page 1: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/1.jpg)
Функции. Теория Функции. Теория пределов.пределов.
![Page 2: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/2.jpg)
ПланПланI. Величины постоянные и переменныеII. Понятие функции:
1. определение функции2. область определения, значения3. сложная функция4. способы задания функции
III. Основные элементарные функции, их свойства, графики
IV. Непрерывность функции. Предел функцииV. Бесконечно малые и бесконечно большие
величиныVI. Основные теоремы о пределахVII. Методы раскрытия неопределенностей
,
0
0
![Page 3: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/3.jpg)
I. I. Величины постоянные и Величины постоянные и переменныепеременные
При изучении закономерностей, встречающихся в природе, всевремя приходится иметь дело с величинами постоянными ивеличинами переменными.
Def1: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая
одно и то же значение.
Def2: Переменной величиной называется величина, которая может
принимать различные числовые значения.Обозначение: переменная величина: x, y, z, v, u… постоянная величина: a, b, c…
Def3: Множество всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины
![Page 4: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/4.jpg)
Часто будем рассматривать случай, когда известна иобласть изменения Х, и порядок, в котором онапринимает свои числовые значения. В этом случае будемговорить об упорядоченной переменной величине.
# 1) числовая последовательность
2) Арифметическая и геометрическая прогрессииРассмотрим числовую бесконечную последовательность:
Def1: Если при , то говорят, что a – есть предел
переменной величины
Nn ,1
n n
x
Nn , nxxn axn
axxx nn n
lim 01
lim 1
#n
nn
xn
![Page 5: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/5.jpg)
II. II. Понятие функцииПонятие функции1. 1. Определение функцииОпределение функции
Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны междусобой так, что значения одних величин полностью
определяютзначение других.
Пусть D и E – непустые числовые множества, а х и у – соответственно их элементы. Если каждому
ставитьсяв соответствии по некоторому закону только одно
значение , то говорят, что между переменными х и у
существуетфункциональная зависимость и называют х
независимойпеременной (v-аргументом), а у – зависимой
переменной (v-функцией)
Dx
Ey
Символическая запись функции: )( )( Dxxfy
![Page 6: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/6.jpg)
Def: Областью определения D функции называется множество значений х, для которых функция определена (имеет смысл)
Def: Множеством значений Е функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная
Функция f отображает множество D на множестве Е .
Для функций f и g, заданных на одном и том же множестве D,
можно определить их сумму, разность, произведение и частное.
Это новые функции:
Где в случае частного предполагается, что на D.
)( );(/)( );()( );()( );()( Dxxgxfxgxfxgxfxgxf 0)( xg
22. . Область определения, Область определения, значениязначения
![Page 7: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/7.jpg)
Def: Если функция f отображаетмножество D на множестве E, а функция Fотображает множество E на множестве G,то функция z=F(f(x)) называется функциейот функций f и F (или сложной функцией).Она определена на множестве D иотображает D на G.
3. Сложная функция3. Сложная функция
![Page 8: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/8.jpg)
4. Способы задания функции4. Способы задания функции Аналитический способ – это способ задания функций
припомощи формул. Например: у=2х; у=х+1; у=lgx.Если уравнение, с помощью которого задана функция, неразрешено относительно у, то функция называется
неявной.Например: 2х+3у-5=0 – уравнение неявно задающее
функцию.у=(5-2х)/3
Функция задана не одной, а несколькими переменными.
Например:
0 если ,
0 если ,2
2
xx
xxy
![Page 9: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/9.jpg)
Табличный способ – это способ задания функции при
помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы
логарифмов и т.п.
Недостатком табличного способа является то, что функция
задается не для всех значений аргумента.
Графический способ – это способ задания функции при
помощи графика. Графиком функции у=f(x) называется
множество точек (х; у) плоскости (Х0У) координаты которых
связаны соотношением у=f(x). Само равенство у=f(x) называется
Уравнением это графика
![Page 10: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/10.jpg)
III. III. Основные элементарные Основные элементарные функции, их свойства, функции, их свойства, графикиграфики
1. Целая рациональная функция Многочлен вида y=a0+a1x+a2х2+…amxm -целая рациональная
функция. Пример: y=kx+b – линейная функция. Её график – прямая линия. При b=0 линейная функция y=kx выражает прямо пропорциональную зависимость у от х.
2. Дробно-рациональная функция Эта функция определяется как отношение двух многочленов:
Пример: у=k/x – обратно
пропорциональная зависимость между х и у. Её график – равносторонняя гипербола. 3. Степенная функция y=xa, где
Пример1 : Пример2 :
nn
mm
xbxbb
xaxaay
...
...
10
10
Rа2axy xy
![Page 11: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/11.jpg)
4. Показательная функция y=aх, а>0 и а≠1
![Page 12: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/12.jpg)
5. Логарифмическая функция y=logax, а>0 и
а≠0
![Page 13: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/13.jpg)
6. Тригонометрические функции y=cosx; y=sinx; y=tgx; y=ctgx
Переменная x обычно выражается в радианах.
![Page 14: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/14.jpg)
7. Обратные тригонометрические функци y=arсsin x; -π/2≤у≤π/2, -1≤х≤1; y=arсcos x |х|
≤1, 0≤у≤π; y=arсtg x |у|< π/2; y=arсctg x 0<y< π
![Page 15: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/15.jpg)
Def: Окрестностью данной точки Х0 называетсяпроизвольный интервал (a; b), содержащийвнутри себя эту точку.
Часто рассматривают - окрестность точки Х0,
когда эта точка является центром окрестности.
В этом случае число называется радиусомокрестности ;; 00 XX
IV.IV. Непрерывность и предел Непрерывность и предел функциифункции
![Page 16: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/16.jpg)
Предел функцииПредел функцииПонятие предела является одним из важнейших понятий, лежащих воснове математического анализа. Каждая операция
математическогоанализа связана с соответствующим предельным переходом.
Def: Число А называется Число А называется пределомпределом функции функции y=f(x)y=f(x) при стремлении х к а при стремлении х к а(или в точке а), если для любого числа (или в точке а), если для любого числа εε>0>0 существует такое число существует такое число δδ= = δδ((εε) ) >0>0, что для всех х, удовлетворяющих условию , что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|0<|хх-a|< -a|< δδ, , имеет место неравенство имеет место неравенство |f(x)|f(x)-А-А|<|< εε
Обозначается это так: Обозначается это так: или или f(x)f(x)→→A A припри x x →→aa
Другими словами, число А есть предел функции f(x) вточке х=а, если длявсех х, достаточно близких к числу а и отличных от него, соответствующиеим значения функции f(x) оказываются сколь угодно близкими к числу А(естественно, в тех точках х, в которых функция f(x) определена).
Axfax
)(lim
![Page 17: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/17.jpg)
Непрерывность функцииНепрерывность функции
Если при постепенном изменении аргумента функция такжеизменяется постепенно, то говорят, что функция непрерывна.При этом малому изменению аргумента соответствует малоеизменение функции. Дадим строгое определение:
Def: Функция f(x) называется непрерывной в точке хнепрерывной в точке х00, если она
определена в некоторой окрестности этой точки (включаясаму эту точку) и предел функции в точке х0 существует и
равен значению функции в самой этой точке, т.е.
)()(lim 00
xfAxfxx
![Page 18: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/18.jpg)
Def: Функция называется бесконечно малой при x→a, если
Def: Функция называется бесконечно большой при x→a, если
V.V. Бесконечно малые и Бесконечно малые и бесконечно большие бесконечно большие величинывеличины
)(х
)(х
0)(lim
xax
)(lim xax
![Page 19: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/19.jpg)
VI.VI. Основные теоремы о Основные теоремы о пределахпределах
Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределомфункции f(x) при , необходимо и достаточно,чтобы эта функция была представлена в виде , где - бесконечно малая.
ax
)()( xAxf )(xСледствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела.
Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной.
Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке
a имеет предел , то
)0)((0)( xfxf
0)(lim 0)(lim
xfxfaxax
![Page 20: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/20.jpg)
Основные теоремы о пределахОсновные теоремы о пределах
axТеорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют приделы при
,то при , имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x), произведение f1(x)·f2(x), и при условии частноеf1(x)/f2(x), причем
ax
0)(lim 2 xf
),(lim)(lim))()((lim 2121 xfxfxfxfaxaxax
),(lim)(lim))()((lim 2121 xfxfxfxf
axaxax
).(lim/)(lim)(
)(lim 21
2
1 xfxfxf
xfaxaxax
Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при , то ax
n
ax
n
axxfxf ))((lim))((lim
Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за
где n – натуральное число.
знак предела const - C ,)(lim)(lim xfCxCfaxax
![Page 21: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/21.jpg)
VII.VII. Методы раскрытия Методы раскрытия неопределенностейнеопределенностей
1. Неопределенность вида
Методы: 1. Разложение числителя и знаменателя
на множители с последующим сокращением.
2. Устранение иррациональных разностей. Домножение на сопряженное.
3. Первый замечательный предел.
0
0
1sin
lim0
![Page 22: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/22.jpg)
2. Неопределенность вида
Метод: Деление на наибольшую степень
Th: Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ∞) равен
пределуотношения их старших членов.
0b и 0a Здесь
n)(m
n)(m
n)(m 0
lim...
...lim
00
0
0
0
01
10
110
b
a
xb
xa
bxbxb
axaxan
m
xn
nnm
mm
x
![Page 23: Функции. Теория пределов.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/568158be550346895dc606e3/html5/thumbnails/23.jpg)
Примеры:Примеры:
1
23lim
3
1
x
xxx x
xx 14sin
7sinlim
0
nn
nnn 2
13lim
4
3
11
11lim
2
0
x
xxx