04/19/23 熱流体力学 1

熱流体力学講義　 ( 番外編）1. １　各種物体の重心の定義と図心 　　　1.2 　重心および断面１次モーメントの求め方　　　線，円板，板材，円錐， 3 次元物体1.3 　各種物体の重心　　　第 1 章　重心の総合演習問題2.1 　断面２次モーメントについて2.2 　極断面２次モーメントの紹介3.1 　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面

係数　　　はりのまげ強さへの適用４．　番外編　総合演習問題

熱流体力学 2

1.1 　重心の定義

mG xdm

mx

1mG ydm

my

1mG zdm

mz

1 vmdVdmm

☆ ３次元直交座標系における任意物体の各重心位置は，つぎの定義式 から求められる。

ｍ：物体の全質量

ρ: 物体の密度

V: 物体の全体積

ｄ V ：微小要素の体積

ｚ

ｘ

),,( GGG zyx

y

全質量

密度

全体積

m

V

zyx ,, ：直交座標系（ｚは重力方

向）

； ；

3

1. ２　各種物体の重心または図心1.2.1 　重心，図心および断面１次モーメントの求め方

WAdAWdvdmmv Am

AAmG xdA

AWxdA

WAxdm

mx

111

AAmG ydAA

WydAWA

ydmm

y111

WdAWb(x)dxdVdm

☆ まず物体の密度 ρ が一定で，物体の形状が（ｘ，ｙ）平面に限定され，重力ｚ方向の厚さ W が一定な平面的な物体について，一例として（ｘ G) の位置を求める。全体の質量ｍおよび区間dx における微小質量ｄｍは，

同様にｙ G

は

dxxWbdVdm )( x dx

GGG zyx ,,

Gx

W

z y

xGy

密度幅

一定

一定W

Vm

この形で求められる座標位置を図心という

4

1.2 　断面１次モーメントの定義と図心

AAx dyyybydAJ )(

AAy dxxxbxdAJ )(；

☆ 断面１次モーメント( 面積モーメント）　の定義； Jx ， Jy

　単位：（ｍ３）

☆ 重心・図心ｘ G,yG の求め方

　単位：（ｍ）

A

yG xdA

AA

Jx

1A

xG ydA

AA

Jy

1 ；

y

xyA図全面積

y

xA図全面積

ｘ dxdy

)(yb

)(xbdyybdA )(dxxbdA )(

☆ 図心とは；

　断面１次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標ｘ G,yG

☆ 注意：図心は直交 2 次元座標系に描かれた図形の面積モーメントの中心位置座標

04/19/23 熱流体力学 5

1.2 　断面１次モーメントの定義（続き）物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？

),( YX

いま，上図左側の座標系　　　　における物体の重心（ｘ G, ｙ G) を，右側に示す新しい座標系　　　　の原点（０，０）に一致させ座標軸を平行移動させる。右側の新しい座標系　　　におけるつぎの１次モーメント Jx および Jy はいくらか。

0A GX AYYdAJ 0 GAY AXXdAJ；

),( YX

),( yx

04/19/23 熱流体力学 6

例題：３次元物体の重心密度 ρ ，板厚 W ，板幅ｔ , 長さ L ＝一定の平板の場合

L

WtLWtdxmWtdxdm0

,

2

21 20

0

L

L

L

wtL

wtdxxxdm

mX

L

L

G

板厚 W ，板幅ｔ , 長さ L ＝一定の平板の場合は

∴ 重心ｘ G ；

Q ２ :z 方向の奥行き幅が w= 一定で， x 方向の板厚が t=to+ax と直線的に厚くなり，ｘ＝ Lで t= ４ to となる台形板の重心ｘ G を求めなさい。 Ans( ｘ G=3L/5)

Q １ : 密度 ρ ， z 方向の板厚 W ， y 方向板幅ｔが一定の場合におけるｙ G ，ｚ G を求める公式を作りなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ans

t

G ydyt

y0

1W

G zdzW

z0

1；

2

1100

Lwtxdx

wtLxdm

mx

LL

G

そこで，公式が作れて

L

G xdxL

x0

1

y

x

ｚ

ｗ

微小質量

ｘ ｄｘ

L

wtdxdVdm

t

04/19/23 熱流体力学 7

1.3 　各種物体の重心の例題（１）細長い線要素（丸棒）の重心

☆ 細長い線の密度を ρ 一定と仮定し，　線の直径をｄ，全長を L とし，微小線要素ｄｘの質量をｄｍ，全質量をｍとすれば，

dxd

dm 4

2

4

2 Ldm

LL

G

xdxd

Ldxdm

mx

0

2

0 2 44

11 2

10

Lxdx

L

L

L

G xdxL

x0

1

次の重心の定義式により

；

☆ こうして，細長い線の重心は線の 1 次モーメント積分に置きかえられ，質量モーメントｘｄｍではなく，線モーメント ( 長さ× 長さ）ｘｄｘで計算できるのだ。

長い線，全長 L の重心が L/2 になることは自

明だよね。

すなわち

（１）細長い線の丸棒

d

dxx

L

x

2LxG

42dxddm

04/19/23 熱流体力学 8

1.3 　各種物体の重心の例題（その 2 ）（ 2 ）細長い円弧形状線要素の重心

2

2

2

2

cos11

rdrr

xdLL

xG

2

2

sinr

rddL cosrx

☆ 円弧の線の場合は重心を求めるのに，半径ｒと角度 θ 座標で計算した方がより簡単で，分かりやすい。すなわち，右図において ；

☆ さて，線要素の重心は次に示すように，線積分ｘｄ L に置き換えられたので

Q ： α=π(180° ）の細長い半円線の重心XG を求めよ。 Ans ： XG=2r/π （約 0.637 ｒ）

（２）細長い円弧の線

αｒ

θｄ

θ

dL

cosr

x

y

2sin

2 r

xG

9

　　　　　　　　　 1.3 　各種物体の重心の例題（その3 ）　　　　　　（３）平面・板要素の重心，（ア）直角定規（スコヤ）の重心　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆ 板厚が一定な直角定規の重心

この場合は，右図に示すように，直角定規を構成する 2 つの要素の面積 A1,A2 とその個々要素 1 ， 2 の重心位置が事前に分かっているから，モーメントの釣り合いの考え方を使うほうが簡単に重心が求められる。すなわち，

☆ 重要全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和

221121 AxAxAAx GGG 221121 AyAyAAy GGG

21

22

111

22AA

Ab

bAb

xG

21

2211

21

2211

222

AA

AhAh

AA

AhAh

yG

Ｘ方向重心

ｙ

方向重心

面積

面積スコヤ重心

2211 h

,b重心１

重心２

2222

1

h,

bb

111 bhA

222 bhA

x

x GG yx ,

Gy

Gx

1A

2A

L

1b

1h

y

2h

2b

10

1.3 　各種物体の重心の例題（その 4 ）（イ ) 　直角３角定規の重心

☆ 続いて，右図に示す厚さ一定の直角３角定規の重心を求めてみよう。この場合も，厚さと密度が一定であるから重心は面積ﾓｰﾒﾝﾄで求められ，

AG ydA

Ay

1bhA2

1

AA

dyyybydA )(

)(:)(: ybyhbh h

yhbyb

)(

h

33

y-

2

hy

h

b

bhdy

h

yhyb

AydA

Ay

h

0

h

AG

1211 32

0＝

b

3

1xG＝

；

ここで断面 1 次モーメントは

☆ 図の３角形の相似に着目して

∴

；

同様にして，

重心

x

b

)(yb

dyybdA )(

dy

y

)( yh

h

dxx

y

),( GG yx

04/19/23 熱流体力学 11

1.3 　各種物体の重心の例題（その 5 ） （ウ）板厚一定の半円板の重心

円弧の長さ

微少扇面積の図心

cos3

2rx ｙ

微少扇形の面積

drdA 2

2

1

rd

d

x

r

dr2

1rdrdA 2

2

1

dr2

rr

xdAA

xAG

22

22

1cos

3

221

3

4rsin

r6

r 2

2-2

34

☆ つぎに，右図に示す板厚一定の半円板の重心を各自空欄を埋めながら導こう。微小扇形の面積 dA は，扇を三角形と近似すれば

したがって，重心は定義どおり積分して

04/19/23 熱流体力学 12

1.3 　各種物体の重心の例題（その 6 ） （エ）円錐体の重心

☆ 右図に示される底面半径が R で，高さがｈである円錐体の重心を空欄を埋めながら各自で求めよう。まず，円錐体の全体積および微小な幅ｄｘの円板の体積ｄ V は，それぞれ ，

hRV 2

3

1 dxrdV 2；

さらに，図に示す三角形の相似に着目して， h:xR:r ∴ hRxr

dxxh

RdV 2

2

2

dxxh

R

hRxdV

Vx

hh

G3

0 2

2

0 2

31

h

x

hdxx

hR

Rh

h

4

3

4

33

0

4

30

332

2

この関係をｄ V に代入すれば

☆ 重要：立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメント（ｘｄ V ）で求められるから， ( 証明は各自でしなさい）

熱流体力学 13

1.3 　各種物体の重心の演習例題（その7 ）

（オ）半球の重心

3

2 3rV

dxyxr

xdVV

xVVG 2

32

31

drdsdx sinsin

drrrr

xG sinsincos2

32

2

03

dsincosrr

320

432

3

dsincosr 20

3

2

3

tsin dtd cos

8

3

42

3

2

31

0

41

0

3 rtrdtt

rxG

問：右図に示した半球の重心を以下の手順で求めよ 。

ア）半球の全体積 V は：

イ）重心の定義を密度一定の場合に使うと

ウ）ここで， で与えられるから

ここで， とおくと， となるから，上の式が積分でき，

円弧長

微小要素の体積

半径ｒ

x

d

r

dx

sinry

rdds y

cosrx

dxydV 2

04/19/23 熱流体力学 14

☆ 重心と図心のまとめ（密度は一定と仮定した場合）

AG xdA

Ax

1AG ydA

Ay

1AG zdA

Az

1

mG xdm

mx

1mG ydm

my

1mG zdm

mz

1

L

G xdxL

x0

1h

G xdVV

x0

1

重心の定義

重心・図心の求め方 ( 平面物体，奥行き幅は一定の場合）

重心・図心の求め方（細長い線）

重心・図心の求め方（体積要素）

；

；

；

；

；

；

；

04/19/23 熱流体力学 15

第 1 章　重心の総合演習問題（その１）

問：図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使えるものとする。

/2r円弧の重心：

04/19/23 熱流体力学 16

第 1 章　重心の総合演習問題（その2 ）

30 20 30

90

4020

x

y

問：上図に示す，板厚が一定な３角板と孔ありの長方形板から構成される，平板の重心ｘ G,yG を求めよ。

04/19/23 熱流体力学 17

第 1 章　重心の総合演習問題（その3 ）

y

x

ba

直径ｄ

半径ｒ

円錐

円柱 半球円錐

問：図に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。また，特殊な例として，

hrba の場合の重心はいくらになるか。

18

第 2 章　断面２次モーメント　☆すでに 3 年・ 4 年の「材料の力学」において，単純曲げを受け

るはりの応力が，はりの重心からの距離 e と断面２次モーメント　　によって影響されることを学んだと思う。

　　　　　　　　　　　復習：　　　

1

1max

2

2min ,

Z

M

I

Me

Z

M

I

Me

zz

zI

zI☆ この章の学習目的は　　１）断面 2 次モーメント　　の定義を理解し，覚えること。　　２）断面係数 Z の定義を覚えること。　　３）任意断面形状を持ったはりの断面２次モーメントを　　　　計算できるようにすること。

zI

04/19/23 熱流体力学 19

2.1 　長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント

平行軸の定理 （ parallel axis theorem ）その 1

☆ 上図において，重心 G （図心）を通る座標系（ｘ，ｙ）において，ｘ軸まわりの断面２次モーメントⅠ xG およびｙ軸まわりの断面２次モーメントⅠｙ G は

AGx dAyI 2 AyG dAxI 2

122

32

0

22 bhbdyydAyI

h

AGx 122

32

0

22 hbhdxxdAxI

b

AyG

；

；

図の長方形の場合は

04/19/23 熱流体力学 20

2.1 　長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント

平行軸の定理 （ parallel axis theorem ）その 2

☆ 一方，図の右側に示されるように，重心 G から距離ｄ離れた任意の X 軸まわりの断面２次モーメント Ix は，定義に従って，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

AX dAYI 2

dyY

AA

2

AAAX dAddAyddAydAdydAYI 2222 AdI 2xG

である。さらに，左のｘ - ｙ座標と右の X-Y 座標を比較すればであるから，

04/19/23 熱流体力学 21

2.1 　平行軸の定理のまとめ

AdII xGX2

AdII XxG2

AdII yGY2

AdII YyG2

；

；

22

2.2 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（１）３角形断面のはり☆ まず底辺 AB に平行で，重心 G を通る断面２次モーメント IxG は

AdII xxG2

☆ ３角はりの場合，重心 G と底辺までの距離ｄおよび面積 Aは 3hd 2bhA；

☆AB 軸まわりの断面 2 次モーメント Ix は

dyydAyIA

h

x 0

22

:)(: yhbh hyhb

dyyh

bdyybdy

h

yhbydyyI

hhhh

x

0

3

0

2

0

2

0

2 )(

1212

34

43

33343 bhbhbh

h

bhbh

；

36

bhbhh

12

bhAdII

332

xGx ２9

2

h

A B

C

h-d（ ）η

b

h-y

y

dyηｄＡ＝ ｄｙ

ＩｘＧ

ＩＸ

ｙ

x

xhd3

1G重心

04/19/23 熱流体力学 23

2.2 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（２）円形断面のはり☆ 断面形状が円形の場合は図に示すように，円筒座標　ｒ， θ で断面２次モーメントを求めた方が計算は簡単である。

☆ 任意点における幅ｂ（ｙ）とその微小面積ｄ A は cos2)( ryb dyrdyybdA cos2)(

sinry

cosrd

dy drdy cos

drdrrrdAyIAxG 2

0

22422

0

2 cossin4coscos2sin2

212

12 cossin 212

12 coscos

418

141

2

11

4

121

4

1 222 coscoscoscossin

2

0

4

20

4

44

1

3241

8

1

24

sin

ddcos

dI xG 64

0232

44 dd

☆ したがって，重心 G をとおるｘ軸周りの断面 2 次モーメント IxG は

丸棒は軸対称だから

IxG=IyG

= θｙｒｓｉｎ

θ

ｄｙ

= θｂ（ｙ）２ｒｃｏｓ

dA=b(y)ｄｙ =2rcosθ dy

x

ｙ

半径ｒ直径ｄ

xGI

yGI

G

04/19/23 熱流体力学 24

2.2 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（３） H 形鋼断面のはり☆ 右図に示す H 形鋼を，断面積A0 の

　　長方形板材から２個の断面積A1 1

11 22 h

bbA

の板材を引いたものと考える。すなわち，重心 G をとおるｘ軸まわりの断面２次モーメント IxGは，

dAyIAxG 2 dAydAy

AA 10

22 2

121212

22

12

311

3311

3 hbbbhhbbbh

＝ -

H A形鋼の全面積

A面積 A面積 02( A面積 1）

xI

xGI

2h

1h

1b

h

by

x

x

2h

xGI xGI xGI

G

04/19/23 熱流体力学 25

2.3 　極断面２次モーメント極断面２次モーメメント Ip の紹介

☆ 円形断面のように軸対称物体の断面２次モーメント IxG,IyGなどは以下に解説する極断面２次モーメメント Ip を用いたほうが容易に求められる。

yGxGAAP IIdAyxdArI 222 Iｐの定義

x

y

z

r

点（ｘ，ｙ）

A面積ｄ

PI

熱流体力学 26

2.3 　極断面２次モーメントを利用した丸棒の断面２次モーメメントの求め方の紹介

r

d直径

ｘ

ｙ

ｄｒxGI

yGI

G

yGxGAAP IIdAyxdArI 222

yGxG II

2

0

22 22

1

2

12

d

ApxG rdrrdAr/II

6442

2 424 drd

o

☆ 図に示した円形はりの断面２次モーメン I ｘ G ， IyG トを極断面２次モーメント Ip の定義式から求めなさい。

ところで，円形断面では軸対称であるから

極断面２次モーメントをといて

rdrdA 2微小面積ｄ A は？

04/19/23 熱流体力学 27

2.4 　断面２次モーメントの演習問題（１）銭形平次の 6 文銭

（１）図に示す丸棒（円板）から長方形を切り出し，穴抜きにした時の断面２次モーメントを求めよ。 ( いわゆる，銭方平次の６文銭 )

解答：

dAydAydAyIAAAxG 10

222

1264

34 bhd

x

ｙ

直径ｄ

IxG

=

IxG

-

IxG

ｂ

ｈ

A面積 A面積 0A面積 1

yGI

xGI

= -

0A 1A

04/19/23 熱流体力学 28

2.4 　断面２次モーメントの演習問題（２）三角・四角板 + 穴抜き円板

（２）右図に示される孔抜き３角板と長方形板から構成される物体の底辺まわりの断面２次モーメントを，以下の設問手順にしたがって求めよう。Q1穴抜き合成板材の全面積 A はいくら？Q2 ；底辺軸から測った，１）四角板材の重心座標はいくらか？２）３角板の重心座標は底辺からいくらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？。４）板材のｘ軸からの断面 2 次モーメントはいくらか？　　　　　　　　　　５）３角板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？７）以上の結果を使って， Ix を求めよ。８）この図形の重心座標ｙ G はいくらか？

b

h1

h2

Dh3

x

yyGI

Ix＝

-

＋Ix

Ix Ix

A面積 A面積 1 A面積 2 A面積 3

xI

1A

3A

2A

04/19/23 熱流体力学 29

2.4 　断面２次モーメントの演習問題（３）家の側面図を描いてみました

（３）図に示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の軸まわりの断面２次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。　　　　　　　　　　　　　Q1 ；合成板材の全面積はいくらか？Q2 ；底辺軸から測った，1 ）板材の重心座標はいくらか？２）三角板の重心座標はい　くらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？さて，平行軸の定理，を使って，　　　　　　　　４）板材の軸からの断面 2 次モーメントはいくらか？５）三角板の軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？　　　７）穴抜き 2枚の板材のｘ軸からの２次モーメントはいくらか？８）以上の結果を使って，この家の Ix を求めよ。　９）この家の重心ｙ G はいくらか？

b

c ca

h1

h2

h4

h3

23

1h

x

考え方

Ix＝ -2 + -

D

A1 A2 A3 A4

y

xI

yGI

A

2A2A

3A

4A

全面積

A

04/19/23 熱流体力学 30

3.1 　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その１）

☆ 復習：断面係数の定義

e

IZ xG

図心から辺までの距離モーメント図心まわりの断面２次

ちなみに，右図に示す長方形断面のはりの断面２次モーメントおよび断面係数 Z は

62

12

2

23

2

bh

h

bh

h

IZ xG

h

323

2 62

12

2m

bh

h

bh

h

IZ xG

h

h

b

h/2

xGI

04/19/23 熱流体力学 31

3.1 　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その２）

20

60

30

30

60

(a)長方形横置き （ｂ）長方形縦置き

30

6045

（ｃ）角パイプ

１．図 (a) ，(b) ， (c) に示す，長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数を求めなさい。

（ａ）の長方形が横置きの場合

（ｂ）の長方形が縦置きの場合

（ｃ）角パイプの場合　　　　

3223

121 9000

6

3060

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

3223

121 18000

6

6030

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

433

38812512

4520

12

6030mmI xG

3

121 5.12397

30

388125mm

e

IZZ xG

ee

解答：

04/19/23 熱流体力学 32

3.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その３）

２．図 (a) ， (b) に示す円形はりの断面係数を求めなさい。

（ａ）中実丸棒

2040

40

(b)中空丸棒

(a) 中実丸棒の断面係数

2

644

121 d

d

e

IZZ xG

ee

3

33

18628332

40143

32mm.

.d

（ｂ）中空丸棒の断面係数　この場合の断面２次モ－メントは，中実丸棒から中空丸棒の断面２次モーメントを引けばよい。すなわち，

2

42

1

41

21 6464

ddIII xGxGxG

44443

6117809204064

143

64

20143

64

40143mm.

...

31

21 48589020

6117809mm.

.

e

IZZ xG

ee

解答：

04/19/23 33

☆ 総合演習問題

b

h直径ｄ

１．右図に示すような直径ｄ一定の丸棒から長方形断面（ｈ × ｂ）を持ったはりを切り出し，その断面係数 Z を最大としたい。ｈとｂの比はいくらにすればよいか

2．断面が右図に示すような逆T字型はりに一様な曲げモーメントが作用するとき，このはりの最大応力が最大圧縮応力の 1/3 になるためにはフランジ幅ｘはどれだけあればよいか。

ｔ

ｔ

ｈ

ｃ G

ｘ

圧縮側

引張側