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埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版） 1/66

1

計算熱流体講義ノート

(初版)

埼玉工業大学工学部機械工学科

小西克享


2

はじめに本書は，工学部の機械系の大学院に所属する学部生を対象として，半期 15 回程度の授業で，

物性値の推定方法，特性曲線法による管路内流体解析，エネルギ保存式の数値解法などを教育す

るために必要な事項を講義ノートとしてまとめたものである．特に特性曲線法に関しては，その

基礎から油圧回路に対する適用例を詳述するとともに，サンプルプログラムを記載しており，初

学者にとって貴重な資料となるものと期待している．内容は今後とも加筆修正の予定である．内容に関して不明な点やお気付きの点があれば著者ま

でご連絡いただきたい．平成 21 年 12 月 1 日埼玉工業大学工学部機械工学科小西克享


3

目次

第 1 章文献･･････････････ 5

第 2 章物性値の推定式

2.1 水

2.1.1 密度･･････････････ 6

2.1.2 粘度･･････････････ 6

2.1.3 比熱･･････････････ 6

2.1.4 蒸気圧･･････････････ 6

2.1.5 沸点･･････････････ 7

2.1.6 蒸発潜熱･･････････････ 8

2.2 空気

2.2.1 密度･･････････････ 8

2.2.2 粘度･･････････････ 8

2.2.3 比熱･･････････････ 9

2.3 燃焼ガスの熱力学的性質

2.3.1 燃焼ガス成分のモル定圧比熱･･････････････ 9

2.3.2 燃焼ガス成分のモルエンタルピ･･････････････ 9

2.4 石油･･････････････ 10

2.5 補間によるデータの算出

2.5.1 補間法･･････････････ 11

2.5.2 水の動粘性係数･･････････････ 11

第 3 章特性曲線法による油圧管路動特性解析

3.1 仮定･･････････････ 15

3.2 運動方程式と連続の式･･････････････ 15

3.3 特性曲線法による変換･･････････････ 15

3.4 数値計算法･･････････････ 17

3.5 油圧要素

3.5.1 基礎式･･････････････ 18

3.5.2 閉塞端･･････････････ 18

3.5.3 タンク･･････････････ 19

3.5.4 ポンプ･･････････････ 19

3.5.5 オリフィス･･････････････ 20

3.6 Water hammering （水撃現象）の計算

3.6.1 基礎式･･････････････ 21

3.6.2 初期条件･･････････････ 22

3.6.3 境界条件･･････････････ 22

3.6.4 物性値･･････････････ 22

3.6.5 計算準備･･････････････ 23

3.6.6 プログラム例“Water hammering” ･･････････････ 23


4

第 4 章常微分方程式の数値解法＝ルンゲクッタ法

4.1 1 階常微分方程式･･････････････ 26

4.2 2 階常微分方程式･･････････････ 26

4.3 プランジャポンプとノズルの計算

4.3.1 基礎式･･････････････ 27

4.3.2 初期条件･･････････････ 28

4.3.3 境界条件･･････････････ 28

4.3.4 物性値･･････････････ 29

4.3.5 計算準備･･････････････ 29

4.3.6 プログラム例“Nozzle” ･･････････････ 30

4.4 プランジャポンプ＆油圧ジャッキの計算

4.4.1 基礎式･･････････････ 34

4.4.2 初期条件･･････････････ 35

4.4.3 境界条件･･････････････ 35

4.4.4 物性値･･････････････ 35

4.4.5 計算準備･･････････････ 36

4.4.6 プログラム例“Cylinder” ･･････････････ 36

4.5 プランジャポンプ＆燃料弁の計算

4.5.1 基礎式･･････････････ 42

4.5.2 初期条件･･････････････ 43

4.5.3 境界条件･･････････････ 43

4.5.4 物性値･･････････････ 44

4.5.5 計算準備･･････････････ 44

4.5.6 プログラム例“Fuel Valve” ･･････････････ 44

第 5 章１次元圧縮性流れ

5.1 質点の運動･･････････････ 50

5.2 剛体の運動･･････････････ 50

5.3 ガス体の運動

5.3.1 流速に関する式･･････････････ 50

5.3.2 圧力に関する式･･････････････ 51

第 6 章熱の流れ

6.1 偏微分方程式･･････････････ 58

6.2 差分近似

6.2.1 導関数の近似法･･････････････ 58

6.2.2 陽解法･･････････････ 59

6.2.3 Crank-Nicolson の陰解法･･････････････ 59

6.2.4 偏微分方程式の無次元化･･････････････ 61

第 7 章数値計算上の注意事項･･････････････ 12

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 1 章文献 5/66

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第 1 章文献

熱流体に関する数値計算には任意の温度圧力における物性値が必要方法１．物性値に関する推定式を利用推定式の適用できる温度，圧力の範囲を無視しないこと最大誤差に注意すること．２．推定式が見あたらない場合は実測値より推定式を作成最小２乗法補間多項式を利用問題点温度の対する値は計算可．多くの場合，圧力に対する値が不明熱物性値に関する文献物性値データの記述がある文献

日本熱物性学会編「熱物性ハンドブック」養賢堂，¥9,270 日本熱物性学会編「熱物性資料集断熱材編」養賢堂，¥4,635 日本化学会編「改訂３版化学便覧基礎編」丸善，¥20,085 日本機械学会「技術資料流体の熱物性値集」丸善，¥48,410 日本機械学会「伝熱工学資料改訂第４版」丸善，¥12,360 日本機械学会「燃焼のデータベース DACOS」¥60,000 Chase, M. W. 他５名 JANAF Thermochemical Tables, 3rd Edition, (1985), NIST 物性値推算の記述がある文献

東京天文台編纂「理科年表」丸善佐藤一雄「物性定数推算法第８版」丸善，¥2,900 化学工学協会編「改訂５版化学工学便覧」丸善 Reid, R. C. Prausnitz, J. M. et al.: The Properties of Gases and Liquids, 3rd ed., McGRAW-HILL(1977) 平田光穂監訳「気体・液体の物性値推算ハンドブック」マグロウヒル(1985) Warren J. Lyman 他２名, Handbook of Chemical Property Estimation Methods, American Chemical Society. ISBN0-8412-1761-0 Robert C, Weast, CRC Handbook of Chemistry and Physics, 68th Edition, CRC Press. Inc. ISBN 0-8493-0468-7 John A. Dean, LANGE’S HANDBOOK OF CHEMISTRY, 11th ed. McGRAW-HILL BOOK COMPANY 水谷幸夫「燃焼工学第２版」森北出版西山哲男「流体力学(Ⅰ)」日刊工業新聞社，¥1,400 千輝淳二「伝熱計算法」工学図書，¥3,800

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 2 章物性値の推定式 6/66

6

第 2 章物性値の推定式

2.1 水

2.1.1 密度

推定式 1

)10879850.161/()1054253.2801056302.105

10170461.4610987041.7945176.1683952.999(351249

3623

ttt

ttt−−−

−−

×+×−×+

×−×−+=ρ

ρ；1 atm における密度, kg/m3

t；温度（C）文献：CRC Handbook of Chemistry and Physics 推定式 2

ρραt t

=+ −

4

1 4 （g/cm3）

ρ 4 ；4C における密度=0.99997g/cm3

α ；膨張係数=0.00043 t；温度（C）文献西山哲男「流体力学(Ⅰ)」 2.1.2 粘度

μ =×

+ +⋅

−183 101 0 036 0 000185

4

2

.. .t t

kgw s / m2

文献西山哲男「流体力学(Ⅰ)」日刊工業新聞社 2.1.3 比熱

推定式 1（文献：The Properties of Gases and Liquids, 3rd ed.）

964

32

10859.0,10521.2,10595.4,701.7 −−− ×−=×=×==

+++=

DCBA

DTCTBTAC p

Cp ；cal/gram-mole/K

T ；K 推定式 2（文献：佐藤一雄「物性定数推算法第 8 版」）

632 10283.0,10298.2,256.7, −− ×=×==++= CBACTBTAC p


T ；K (298～1500K) 2.1.4 蒸気圧


7

① Antoine（アントワン）の式

例 1 （文献：改訂 5 版化学工学便覧）

02.227,46.1657,07406.7,]kPa[log10 ===+

CBAC

B-A=Psat θ

θ ；温度，C (適用範囲 10～168C）例 2 （文献：LANGE’S HANDBOOK OF CHEMISTRY）

log [ ]

. , . , .. , . , .

10

0 60 810765 1750 286 235060 150 7 96681 1668 21 228 0

P = A - BC t

t A B Ct A B C

mmHg

CC

+= − = = == − = = =

② Wexler-Hywood の式（文献：伝熱工学資料（改訂第 4 版）p.355）

温度 T, K における飽和水蒸気圧 PS , MPa は

ln lnP aT

b cT dT eT fT g TS = + + + + + +2 3 4

ただし，

水と接する場合氷と接する場合

T . . T . .a . ab . bc . cd . de . ef fg . g

= − = −

= − × = − ×= =

= − × = − ×

= × = ×

= − × = ×

= = − ×= =

− −

− −

− −

−

27316 47315 17315 2731658002206 10 56745359 10

13914993 6 39252474 8640239 10 9 6778430 10

41764768 10 6 2215701 1014452093 10 2 0747825 10

0 9 4840240 1065459673 41635019

3 3

2 3

5 7

8 9

13

K K.

..

..

..

2.1.5 沸点

推定式 1 （文献：理科年表）

T p pBP = + − − −100 00 0 0367 760 0 000023 760 2. . ( ) . ( )

TBP ；沸点，C p；圧力，mmHg (適用範囲 680～790 mmHg)

推定式 2

Antoine の式

log P = A - BT + C

より


8

T BA - P

C[ ]log [ ]

KPa

= −

誤差が最小となるように係数を決定すると

標準沸点，臨界点(374.15℃)間で

ABC

=== −

10 3527188508

20 603

1768%

..

.

.最大誤差　

・・・広い温度範囲には不向き

範囲を限定すると

3.92MPa，14.7MPa 間で

ABC

===

10 6435224117310569

0 09077%

..

.

.最大誤差　

・・・良好

2.1.6 蒸発潜熱

沸点 t℃における水の蒸発潜熱(J/g)は

( ) 365.030

175.6

315.1

100103736.8

1001075695

1004173.320872 tttt.t. c −

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −−λ

tc；臨界点温度(374.15℃) 適用範囲；0C～臨界点文献物性定数推算法第 8 版 2.2 空気

2.2.1 密度

ρ =+0 0012932

1 0 00367 760.

. tH

ρ；密度, g/cm3 H：水銀柱 mmHg t；温度（C）文献：改訂 3 版化学便覧基礎編 CRC Handbook of Chemistry and Physics 理科年表 2.2.2 粘度

(1) 文献：西山哲男「流体力学(Ⅰ)」日刊工業新聞社 ( )26 000015.00028.011075.1 tt −+×= −μ kgws/m2

(2) 文献：佐藤一雄「物性定数推算法第８版」


9

μ *.

.= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−170 9273

100 768

6T poise

T ；K (範囲 0～100C) 2.2.3 比熱

632 10459.0,1009.2,27.6, −− ×−=×==++= CBACTBTAC p


T ；K (273～2073K) 文献：佐藤一雄「物性定数推算法第８版」 2.3 燃焼ガスの熱力学的性質

2.3.1 燃焼ガス成分のモル定圧比熱

燃焼ガス成分 i のモル定圧比熱［J/(mol K)］は T ：ガス温度 K

θ =T

1000

とおくと

θ ≥ ≥12 1200. (T K) において c a a a a ap i, = + + + +1

2 32

43

54θ θ θ θ

θ < <12 1200. (T K) において c a a a a ap i, = + + + +6 7 82

93

104θ θ θ θ

係数a a1 10~ は下表のとおり．

2.3.2 燃焼ガス成分のモルエンタルピ

モルエンタルピ［J/mol］を標準反応熱 ( )Δ f H T00 基準で

( ) ( ) ( )H T c T dT H TpT

T

f0

00 0

00

= +∫ Δ

と定義した場合，

θ ≥ ≥12 1200. (T K) において H a a a a a ai = + + − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟11 1 2

3 42

531000

2θ θ

θ θ θln

θ < <12 1200. (T K) において H a a a a a ai = + + + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟13 6

72

83

94

105

10002 3 4 5

θ θ θ θ θ

係数a a1 15~ は下表のとおり． CO2 H O2 O2 N2 CO H2 O OH H NO a1 70.909 64.939 45.141 40.721 40.478 53.784 27.214 42.667 20.786 40.217 a2 -54.152 -28.323 -3.882 -20.754 -17.729 -99.861 -46.960 -25.865 0 -4.559


10

a3 132.189 2.999 -72.113 47.006 37.968 221.536 126.439 36.002 0 29.760 a4 -171.147 -8.880 137.533 -63.980 -50.554 -255.638 -147.515 -43.464 0 -8.487 a5 78.519 11.286 -74.290 30.495 23.588 113.023 63.015 22.061 0 17.438 a6 18.522 33.662 29.984 31.509 31.796 25.758 24.773 31.340 20.786 34.292 a7 82.929 -7.756 -14.183 -17.082 -20.360 19.486 -15.513 -6.615 0 -3.052 a8 -80.827 30.428 54.295 37.444 48.281 -40.469 24.716 4.681 0 77.848 a9 43.865 -19.928 -50.853 -24.725 -35.597 36.750 -17.990 3.401 0 -2.721 a10 -10.181 4.807 15.631 5.555 9.065 -11.315 4.928 -2.141 0 17.620 a11 -358382 -278517 -50363 5870.1 -108970 98116 310446 38863 211791 88610 a12 243.60 205.60 230.99 217.06 224.70 119.90 169.45 202.87 139.77 240.27 a13 -402094 -251745 -8690.6 -8914.0 -119629 -8250.3 242318 29944 211792 80968 a14 217.25 230.60 243.57 233.28 240.26 157.45 194.62 223.43 139.77 259.08 a15 53051.9 44398.2 38459.8 37026.6 37363.7 35049.5 25921.1 36239.0 24943.2 38447.6

単位：a a a11 13 15, , は J/mol，それ以外は J/(mol K)

文献水谷幸夫著「燃焼工学第２版」森北出版，ｐｐ．６３－６５ 2.4 石油

石油類は温度（℃）がT1 からT2 に変化するとき， ( )1212 TTTT −−= ×比重補正係数の比重の比重

の関係がある．測定温度にお１℃当たりの測定温度にお１℃当たりの測定温度にお１℃当たりのける測定比重比重補正係数ける測定比重比重補正係数ける測定比重比重補正係数 kg/m3 kg/(m3･℃) kg/m3 kg/(m3･℃) kg/m3 kg/(m3･℃) 640～643 0.95 742～747 0.80 871～890 0.65 644～648 0.94 748～753 0.79 891～970 0.64 649～654 0.93 754～759 0.78 971～1000 0.63 655～661 0.92 760～765 0.77 662～667 0.91 766～771 0.76 668～674 0.90 772～777 0.75 675～681 0.89 778～783 0.74 682～688 0.88 784～790 0.73 689～696 0.87 791～799 0.72 697～703 0.86 800～808 0.71 704～711 0.85 809～818 0.70 712～719 0.84 819～828 0.69 720～726 0.83 829～838 0.68 727～734 0.82 839～852 0.67 735～741 0.81 853～870 0.66


11

文献：西山善忠「燃料油・潤滑油」海文堂 pp.183～185 2.5 補間によるデータの算出

推定式が見つからない場合でも，物性値表があれば補間法によって値を推定することができる． 2.5.1 補間法

補間法にはいくつかの種類があるが，一例としてラグランジ補間を解説する．

n 組のデータ ( )niyx ii ,,3,2,1),( L= が与えられるとき， x における yの補間値は次式で求めら

れる．

yP xP x

yk

nk

k kk=

=∑

1

( )( )

ここで，

P xx x

x xki

n

i

k

( )( )

=∏ −

−=1

特徴；基点が等間隔でなくても良い基点数が多くなると計算時間が著しく増加 2.5.2 水の動粘性係数

補間法で水の動粘性係数を求める．フォームに貼り付けて実行(Visual Basic Ver.2) Dim TotalData%, Xdata(100), Ydata(100) ‘メインルーチン Sub Form_Click() call main(41) ‘温度をセットし，main をコール End Sub main(x0) Call DataSet 'データ設定 Call lagrange(x0, f0) '補間サブルーチンコール Print f0 End Sub Sub DataSet () '水の動粘度設定 TotalData% = 14 'C m2/s


12

Xdata(1) = 0:Ydata(1) = .000001792 Xdata(2) = 5:Ydata(2) = .00000152 Xdata(3) = 10:Ydata(3) = .000001307 Xdata(4) = 15:Ydata(4) = .000001139 Xdata(5) = 20:Ydata(5) = .0000010038 Xdata(6) = 25:Ydata(6) = .000000893 Xdata(7) = 30:Ydata(7) = .000000801 Xdata(8) = 40:Ydata(8) = .000000658 Xdata(9) = 50:Ydata(9) = .000000658 Xdata(10) = 60:Ydata(10) = .000000475 Xdata(11) = 70:Ydata(11) = .000000413 Xdata(12) = 80:Ydata(12) = .000000365 Xdata(13) = 90:Ydata(13) = .000000326 Xdata(14) = 100:Ydata(14) = .000000295 End Sub Sub lagrange (x0, f0) 'lagrangian interpolation ラグランジ補間 'TotalData%= ﾃﾞｰﾀ数 (maximum 100) 'Xdata(i%) = x(100) 'Ydata(i%) = f(100) Static p(100) Dim i%, j% For j% = 1 To TotalData% p(j%) = 1 For i% = 1 To TotalData% If i% <> j% Then p(j%) = p(j%) * (x0 - Xdata(i%)) / (Xdata(j%) - Xdata(i%)) End If Next Next f0 = 0 For i% = 1 To TotalData% f0 = f0 + p(i%) * Ydata(i%) Next End Sub 例題

P t0 0= 760mmHg, = 30 C, 70%, 1m03° =相対湿度体積φ の湿り空気を 10°C まで冷却す

ると空気の相対湿度は何%となるか．また，水蒸気凝縮量（ドレン量）はいくらか


13

熱量 Q

t1 P t1 1 1, , φP t0 0 0, , φ

冷却器水滴

湿り空気

飽和蒸気圧は LANGE’S HANDBOOK OF CHEMISTRY より

tCB-A=P+

]mmHg[log10

変形すると

tCB-A

P += 10

係数は，t=0℃～60℃の範囲において 0.235,286.1750,10765.8 === CBA

飽和水蒸気圧は t=30℃において 31.827mmHg t=10℃において 9.1966mmHg 相対湿度は

φ ==

=×

PPS

H O2 %( )

( )水蒸気分圧

飽和水蒸気圧100

であるから，除湿前の湿り空気の水蒸気分圧は

P PSH O2mmHg > 9.1966mmHg= = × =φ 70

10031827 22 2789. .

となって，除湿後の温度における飽和水蒸気圧より高くなる．すなわち，除湿後の空気中の水蒸気は飽和状態となり，相対湿度は 100%となる．除湿される水蒸気は

22.2789-9.1966=13.0823 mmHg 分である．湿り空気の体積が 1m3 とすると，除湿される蒸気の体積は

1 130823760

0 01721 3× =. . m

標準状態では

0 01721 2731527315 30

0 01551 3. ..

.×+

= m

質量にすると


14

0 01551018 02

22 4 1012 53

3 3. ( ). ( )

. ( ).m

gm

g××

=−

レポート；富士山頂では何Ｃで水が沸騰するかヒント；蒸気圧に関するアントワンの式を利用する．解答理科年表によれば富士山頂の年平均気圧は 638.3mb (1941-1970 平均)

638 3 638 3 76010133

478 74. ..

.mb mmHg= × =

LANGE’S HANDBOOK OF CHEMISTRY より

log [ ]

. , . , .. , . , .

10

0 60 810765 1750 286 235060 150 7 96681 1668 21 228 0

P = A - BC t

t A B Ct A B C

mmHg

CC

+= − = = == − = = =

変形し，t=60-150C と仮定して，数値を代入すると

t = BA P

C−

− =−

− =log [ ]

.. log .

. .10 10

1668 217 96681 478 74

228 0 87 5mmHg

C

仮定した範囲内なので，解とする．

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 3 章特性曲線法による油圧管

路動特性解析 15/66

15

第 3 章特性曲線法による油圧管路動特性解析

3.1 仮定

管壁の弾性を無視管内の温度変化はなく，流体の密度は一定１次元流れ層流 3.2 運動方程式と連続の式

ナビエストークスの方程式において微小項を無視すると運動方程式は ∂∂

ρ∂∂

ρpx

ut

Ru+ + = 0 (1)

連続の方程式は ∂∂

∂∂

ux K

pt

+ =1 0 (2)

ここで p：圧力 x：管路に沿う座標 ρ：油の密度 u：流速 t：時間

R r= 82

ν

ν：油の動粘度 r：管内半径 K：油の体積弾性係数

圧力波の伝播速度を cとおくと

c K K c= =ρ ρより 2 (3)

3.3 特性曲線法による変換

運動方程式と連続の式を変形し L1, L 2とおくと

Lpx

ut

Ru11 0= + + =ρ∂∂

∂∂

(4)

L cux

pt2

2 0= + =ρ∂∂

∂∂

(5)

未定定数λを用いて線形結合する．



16

01

1

1

2

2

221

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=+=

Rutu

xuc

tp

xp

Ruxuc

tu

tp

xp

tp

xucRu

tu

xpLLL

∂∂

∂∂λρ

∂∂

∂∂

λρλ

∂∂λρ

∂∂

∂∂λ

∂∂

ρ

∂∂

∂∂ρλ

∂∂

∂∂

ρλ

(6)

圧力および流速の解を p p x t u u x t= =( , ), ( , )とすると，微分して

dpdt

px

dxdt

pt

dudt

ux

dxdt

ut

= +

= +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(7)

つぎに dxdt

c= =1 2

λρλρ (8)

であるとき

01 2 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=++

Rutu

xuc

tp

xp

Rutu

dtdx

xu

tp

dtdx

xpRu

dtdu

dtdp

∂∂

∂∂λρ

∂∂

∂∂

λρλ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂λλ

(9)

式(8)より

λρ

= ±1c

(10)

また

dxdt

c= ± (11)

となる．＋は圧力の進行波，－は圧力の後退波となる．式(10)を式(9)に代入すると

± + + =1 0ρ c

dpdt

dudt

Ru

よって dp cdu Rucdt± ± =ρ ρ 0 (12)

となる．＋は圧力の進行波，－は圧力の後退波である．進行波では式(11)より

dx cdt= 式(12)より

dp cdu Rucdt dp cdu Rudx+ + = + + =ρ ρ ρ ρ 0

同様に後退波では

dx cdt= −



17

dp cdu Rucdt dp cdu Rudx− − = − + =ρ ρ ρ ρ 0

以上，まとめると

進行波dx cdtdp cdu Rudx

− =+ + =

⎧⎨⎩

00ρ ρ

(13)

後退波dx cdtdp cdu Rudx

+ =− + =

⎧⎨⎩

00ρ ρ

(14)

3.4 数値計算法

管路をΔ Δx c t= で分割する． x t− 平面上での特性線は下図のとおりである．

i i+1 i-1

t

x

Δt

ΔxΔx

P

B A

進行波後退波

式(13)より

dp cdu cRudt+ + =ρ ρ 0

差分近似すると

( )p p c u u cu ti i i i i− + − + =− − −1 1 1 0ρ ρ Δ

よって，進行波では

( )p p cu cu R ti i i i= − + −− −1 1 1ρ ρ Δ (15)

同様に，後退波では

( )p p cu cu R ti i i i= − + −+ +1 1 1ρ ρ Δ (16)

式(15)(16)より圧力と流速について解けば

( ) ( )( )p p pc

R t u ui i i i i= + + − −− + − +12 2

11 1 1 1ρ

Δ (17)

( ) ( )( )uc

p p R t u ui i i i i= − + − +− + − +1

212

11 1 1 1ρΔ (18)

次に，

C u C p u R tC cC u C p u R t

i i i i

i i i i

1 2

2

3 2

1,

,

= − −

== + −

Δ

Δρ



18

とおくと，式(17)(18)は

pC C

Cii i=

−− +3 1 1 1

22, , (19)

uC C

ii i=

++ −1 1 3 1

2, , (20)

3.5 油圧要素

3.5.1 基礎式

境界における計算式は管左端；後退波の式(16)を適用管右端；進行波の式(15)を適用方程式１つに未知数２つ．もう一つ方程式が必要．残りの方程式は管路に接続された油圧要素の特性式を適用する．管路左端 i = 1において

pC C

C13 0 1 2

22=

−, , (21)

uC C

11 2 3 0

2=

+, , (22)

i = 0の要素は存在しないから，消去する必要がある．式(21)より

C C C p3 0 1 2 2 12, ,= +

式(22)に代入すると

uC C C C C p

C C p11 2 3 0 1 2 1 2 2 1

1 2 2 122

2=

+=

+ += +, , , ,

, (23)

同様に，管路右端 i n= では

pC C

Cnn n=

−− +3 1 1 1

22, ,

uC C

nn n=

++ −1 1 3 1

2, ,

i n= +1の要素は存在しないから，消去する必要がある．

C C C pn n n1 1 3 1 22, ,+ −= −

したがって

uC C C C p C

C C pnn n n n n

n n=+

=− +

= −+ − − −−

1 1 3 1 3 1 2 3 13 1 22

22

, , , ,, (24)

3.5.2 閉塞端

左端が閉じている場合



19

u1 0=

したがって，式(23)より

pCC1

1 2

2

= − ,

右端が閉じている場合 un = 0

したがって

pC

Cnn= −3 1

2

,

右端閉

左端閉

i=n i=1

3.5.3 タンク

左端がタンクに接続されている場合 p1 = const

流速は式(23)が適応でき

u C C p1 1 2 2 1= +,

右端がタンクに接続されている場合 pn = const

流速は式(24)が適応でき

u C C pn n n= −−3 1 2,

右タンク

左タンク

i=ni=1

pn const=

p1 = const

3.5.4 ポンプ

左端がポンプに接続されている場合 u1 = const



20

圧力は式(23)より

pu C

C11 1 2

2

=− ,

右端がポンプに接続されている場合 un = const

圧力は式(24)より

pu C

Cnn n=

− + −3 1

2

,

右ポンプ

左ポンプ

i=ni=1

un const=

u1 = const

3.5.5 オリフィス

オリフィスを挟んで２つの管路が接続されている場合，オリフィスの左側の管路を添字 L，右

側の管路を R で表すこととする．

u unL R, ,= 1

管路Ｒ管路Ｌ

流量連続の関係から

u unL R, ,= 1

オリフィスの流量特性は

( )Q u A C A p pn d n= = −L ori L R, , ,2

1ρ

ここで A 管路断面積 Cd オリフィス流量係数



21

Aori オリフィス開口面積

圧力は式(23),(24)より

( )p

u C

Cn

RL R

,, ,

11 2

2

=−

( )p

u C

Cnn n

LL L

,, ,

=− + −3 1

2

3.6 Water hammering （水撃現象）の計算

長さ L=10 m，半径 r=10mm の管内を水が一様に流れている．時刻 t=0 から１秒間で管路右端を

完全に閉めきるとき，管内の圧力変化を求めよ．

pg0

ρ

x

ni 21

u0

3.6.1 基礎式

基礎式は式(17)(18)より

pC C

Cii i=

−− +3 1 1 1

22, ,

uC C

ii i=

++ −1 1 3 1

2, ,

ここで


i i i i

i i i i

1 2

2

3 2

1,

,

= − −

== + −

Δ

Δρ

R r= 82

ν

管路長 L を m 分割すると，

Δx Lm

=

計算刻みは



22

ΔΔt xc

=

3.6.2 初期条件

初期値は管路内のすべての場所において

p p u u= = × = =06

01 10 100Pa mm / s,

3.6.3 境界条件

① タンク接続部

タンク接続部には油圧要素 5.3 を適用

p pu C C p

1 0

1 1 1 2 1

== +,

② バルブ側

a. t dt< ：バルブ閉動作時右端は図のように流速が減少するものとする．

u0

0 dt

u u tdt

pu C

C

n

nn n

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− + −

0

3 1

2

1

,

b. t dt≥ ：バルブ閉後

u

pC

C

n

nn

=

= −

0

3 1

2

,

3.6.4 物性値

c:水中の音速=1.500x106 mm/s (@23-27C) 理科年表 ν:水の動粘性係数=0.893 mm2/s (@25C) 理科年表 ρ:水の密度 0.99704x10-3 g/mm3 理科年表



23

3.6.5 計算準備

m=10

Δx Lm

= = =100010

100 mm

ΔΔt xc

= =×

= × −10015 10

23

1065

.s

Rr

= =×8 8 089310

12 3

ν . / s

3.6.6 プログラム例“Water hammering”

使用言語 Visual Basic Dim C1i(200), C3i(200) Dim p(200), u(200) Dim c, nu, rho, L, j%, m%, n%, deltaX, deltaT, R, C2, p0, u0, dt Private Sub Form_Click() Call main End Sub Private Sub main() Call DataSet For j% = 1 To 2000 '時間刻み 2000 まで t = deltaT * j% '時刻 For i% = 1 To n% C1i(i%) = C1(i%) C3i(i%) = C3(i%) Next '境界（管路端）における計算 'タンク接続部 p(1) = p0 u(1) = C1i(2) + C2 * p(1) 'バルブ端 If t < dt Then u(n%) = u0 * (1 - t / dt) p(n%) = (-u(n%) + C3i(n% - 1)) / C2 Else u(n%) = 0 p(n%) = C3i(n% - 1) / C2 End If '境界内部の計算



24

For i% = 2 To n% - 1 p(i%) = (C3i(i% - 1) - C1i(i% + 1)) / 2 / C2 u(i%) = (C1i(i% + 1) + C3i(i% - 1)) / 2 Next label1 = j% ' Call plot1 Call plot2 Next Print "end" End Sub Private Sub DataSet() c = 1.5 * 1000000# 'mm/s 水中の音速 nu = 0.893 'mm2/s 動粘性係数 rho = 0.99704 * 0.001 'g/mm3 密度 L = 10 * 1000 'mm 管路長 Rp = 10 'mm 管半径 m% = 50 '管路分割数 n% = m% + 1 '境界端番号 deltaX = L / m% 'mm 管路刻み deltaT = deltaX / c 's 時間刻み R = 8 * nu / (Rp * Rp) C2 = 1 / rho / c p0 = 0.1 * 1000000# 'Pa 初期圧力 u0 = 100# 'mm/s 初期流速 dt = 0.04 's バルブ閉時間 For i% = 1 To n% p(i%) = p0 '管内圧力初期値設定 u(i%) = u0 '管内流速初期値設定 Next End Sub Private Function C1(i%) C1 = (1 - R * deltaT) * u(i%) - C2 * p(i%) End Function Private Function C3(i%) C3 = (1 + R * deltaT) * u(i%) + C2 * p(i%) End Function Public Sub plot1() 'バルブ側の圧力履歴表示



25

If j% Mod 5 = 0 Then Scale (1, -0.4 * 1000000#)-(2000, 0.2 * 1000000#) Line (1, 0)-(2000, 0), QBColor(7) PSet (j%, -p(n%)), QBColor(7) DoEvents End If End Sub Public Sub plot2() '管内の圧力分布と速度分布表示 If j% Mod 5 = 0 Then Cls '圧力分布 Scale (1, -0.2 * 1000000#)-(51, 0.2 * 1000000#) Line (1, 0)-(51, 0), QBColor(7) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -p(i%))-(i% + 1, -p(i% + 1)), QBColor(7) Next '速度分布 Scale (1, -200#)-(51, 200#) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -u(i%))-(i% + 1, -u(i% + 1)), QBColor(1) Next DoEvents End If End Sub

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 4 章常微分方程式の数値解法

＝ルンゲクッタ法 26/66

26

第 4 章常微分方程式の数値解法＝ルンゲクッタ法

4.1 1 階常微分方程式

１階常微分方程式

dydx

f x y= ( , )

を初期条件 x x y y= =0 0, のもとで解くとき， x x h= +0 における解は y y k= +0

で与えられる．ただし，

( )k k k k k= + + +16

2 21 2 3 4

ここで

( )

( )

k hf x y

k hf x h yk

k hf x h y k

k hf x h y k

1 0 0

2 0 01

3 0 02

4 0 0 3

2 2

2 2

=

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + +

,

,

,

,

4.2 2 階常微分方程式

一般に，2 階常微分方程式は 2 つの常微分方程式に変換し，連立して解くことで求められる．例えば，2 階常微分方程式

d ydx

y2

2 =

は１階連立常微分方程式

zdxdyy

dxdz

== ,

に変換できる．例，重力加速度に関する式

d xdt

g2

2 =

は

vdtdyg

dtdv

== ,

と変換できる．１階連立常微分方程式

( ) ( )zyxgdxdzzyxf

dxdy ,,,,, ==

を初期値 x x y y z z= = =0 0 0, , のもとで解くとき， x x h= +0 における解は



27

y y kz z l= += +

0

0

で与えられる．ただし，

( )

( )

k k k k k

l l l l l

= + + +

= + + +

16

2 2

16

2 2

1 2 3 4

1 2 3 4

ここで

( )( )

k hf x y z

l hg x y z

k hf x h y k z l

l hg x h y k z l

k hf x h y k z l

l hg x h

1 0 0 0

1 0 0 0

2 0 01

01

2 0 01

01

3 0 02

02

3 0

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

( )( )

, ,

, ,

, ,

y k z l

k hf x h y k z l

l hg x h y k z l

02

02

4 0 0 3 0 3

4 0 0 3 0 3

2 2+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

= + + +

= + + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

4.3 プランジャポンプとノズルの計算

y

udy

dt

plunger

plungerplunger

,

= Vplunger, Pplunger

dt

ymax

Aplunger

d

l

プランジャーの動き

4.3.1 基礎式




28

pC C

Cii i=

−− +3 1 1 1

22, ,

ここで


i i i i

i i i i

1 2

2

3 2

1,

,

= − −

== + −

Δ

Δρ

R r= 82

ν


Δx Lm

=

計算刻みは

ΔΔt xc

=

4.3.2 初期条件


( )

p p

u =C p p AA

i

i d airnozzle

pipe

= = ×

−

06

0

1 10

2

Pa

ρ

4.3.3 境界条件

(1) プランジャポンプ側

フックの法則より，流体の圧力変化は体積歪みに比例し，

dp K dvv

=−

と表される.ここで，K は体積弾性率．質量一定なら，体積が減少すると(dv<0)，圧力が増加する(dp>0)．プランジャポンプ室では

dv A u A uplunger plunger pipe= − + 1

プランジャ上昇により体積減少流出による質量減少＝残りは体積増加



29

したがって,プランジャポンプ室圧力変化は次式を解いてもとめる．

dPdt

KV

A u A uplunger

plungerplunger plunger pipe= −( )1

接続部の圧力,流速は

p pu C C p

plunger1

1 1 1 2 1

=

= +,

(2) ノズル側

ノズルから噴出する水の速度は

( )u C p pnozzle d n air= −2ρ


u u AA

pu C

C

n nozzlenozzle

pipe

nn n

=

=− + −3 1

2

,

4.3.4 物性値

c:水中の音速=1.500x106 mm/s (@23-27C) 理科年表 ν:水の動粘性係数=0.893 mm2/s (@25C) 理科年表 ρ:水の密度 0.99704x10-3 g/mm3 理科年表 4.3.5 計算準備

m=50

Δx Lm

= = =1000

5020 mm

ΔΔt xc

= =×

= × −2015 10

215

1065

.s



30

Rr

= =×8 8 089310

12 3

ν . / s

4.3.6 プログラム例“Nozzle”

使用言語 Visual Basic Dim C1i(200), C3i(200) Dim p(200), u(200) Dim c, nu, rho, Koil Dim L, Rpipe, Apipe, m%, n%, deltaX Dim Cd, Rnozzle, Anozzle Dim Vmin, Ymax, dt, Rplunger, Aplunger Dim j%, deltaT, R, C2, p0, u0 Dim Y1, DefEq1 Private Function C1(i%) C1 = (1 - R * deltaT) * u(i%) - C2 * p(i%) End Function Private Function C3(i%) C3 = (1 + R * deltaT) * u(i%) + C2 * p(i%) End Function 'データ設定 Private Sub DataSet() '定数 Const pi = 3.14159 '流体 c = 1.5 * 1000000# 'mm/s 流体中の音速 nu = 0.893 'mm2/s 動粘性係数 rho = 0.99704 * 0.001 'g/mm3 密度 Koil = rho * c * c 'g/mm/s2 体積弾性係数 '大気 Pair = 0.1 * 1000000# 'Pa 大気圧力 '管 L = 1 * 1000 'mm 管路長 Rpipe = 10 'mm 管半径 Apipe = pi * Rpipe * Rpipe 'mm2 管断面積 m% = 50 '管路分割数 n% = m% + 1 '境界端番号 deltaX = L / m% 'mm 管路刻み 'ノズル



31

Cd = 1 '- 速度係数 Rnozzle = 0.5 'mm ノズル半径 Anozzle = pi * Rnozzle * Rnozzle 'mm2 ノズル断面積 'プランジャポンプ Vmin = 200 'mm3 ポンプ室最小容積 Ymax = 50 'mm ストローク dt = 0.1 '0.04 's 移動時間 Rplunger = 20 'mm プランジャ半径 Aplunger = pi * Rplunger * Rplunger 'mm2 プランジャ断面積 deltaT = deltaX / c 's 時間刻み R = 8 * nu / (Rpipe * Rpipe) '粘性抵抗 C2 = 1 / rho / c p0 = 0.1 * 1000000# 'Pa 初期圧力 u0 = Cd * Sqr(2 / rho * (p0 - Pair)) * Anozzle / Apipe 'u0 = 100# 'mm/s 初期流速 For i% = 1 To n% p(i%) = p0 '管内圧力初期値設定 u(i%) = u0 '管内流速初期値設定 Next End Sub '微分方程式 Sub DifEq1(t, y) Dim Uplunger Vplunger = Vmin + Ymax * (1 - t / dt) * Aplunger If t < dt Then Vplunger = Vmin + Ymax * (1 - t / dt) * Aplunger Uplunger = Ymax / dt Else Vplunger = Vmin Uplunger = 0 End If DefEq1 = Koil / Vplunger * (Aplunger * Uplunger - Apipe * u(1)) End Sub 'メインルーチン Private Sub main() Call DataSet Y1 = p0 'R.K.M.初期値 For j% = 1 To 2000 '時間刻み 2000 まで t = deltaT * j% '時刻



32

For i% = 1 To n% C1i(i%) = C1(i%) C3i(i%) = C3(i%) Next '境界（管路端）における計算 'プランジャポンプ Call RK4M1(t, Y1) If Y1 < 0 Then Y1 = 0 p(1) = Y1 u(1) = C1i(2) + C2 * p(1) 'ノズル If p(n%) - Pair < 0 Then u(n%) = 0 Else u(n%) = Cd * Sqr(2 / rho * (p(n%) - Pair)) * Anozzle / Apipe End If p(n%) = (-u(n%) + C3i(n% - 1)) / C2 If p(n%) < 0 Then p(n%) = 0 '境界内部の計算 For i% = 2 To n% - 1 p(i%) = (C3i(i% - 1) - C1i(i% + 1)) / 2 / C2 u(i%) = (C1i(i% + 1) + C3i(i% - 1)) / 2 Next label1 = j% Call plot1 ' Call plot2 Next Print "end" End Sub '圧力履歴表示 Public Sub plot1() If j% Mod 1 = 0 Then Scale (1, -100)-(2000, 100) Line (1, 0)-(2000, 0), QBColor(7) PSet (j%, -p(1) / 1000000#), QBColor(7) DoEvents End If End Sub '管内の圧力分布と速度分布表示 Public Sub plot2()



33

If j% Mod 1 = 0 Then Cls '圧力分布 Scale (1, -20)-(51, 20) Line (1, 0)-(101, 0), QBColor(7) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -p(i%) / 1000000#)-(i% + 1, -p(i% + 1) / 1000000#), QBColor(7) Next '速度分布 Scale (1, -4000#)-(51, 4000#) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -u(i%))-(i% + 1, -u(i% + 1)), QBColor(1) Next DoEvents End If End Sub 'ルンゲクッタ４次解法 Sub RK4M1(x, y) Static JR% Static K1(4) As Single Static KC(2), HC(3) X0 = x Y0 = y Call DifEq1(X0, Y0) K1(1) = deltaT * DefEq1 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, Y0 + K1(1) / 2) K1(2) = deltaT * DefEq1 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, Y0 + K1(2) / 2) K1(3) = deltaT * DefEq1 Call DifEq1(X0 + deltaT, Y0 + K1(3)) K1(4) = deltaT * DefEq1 Y1 = Y0 + (K1(1) + 2 * (K1(2) + K1(3)) + K1(4)) / 6 End Sub



34

4.4 プランジャポンプ＆油圧ジャッキの計算

W

y

udy

dt

plunger

plungerplunger

,

=

y u dydtw w

w, =

Vplunger, Pplunger

Acyl

dt

ymax

Aplunger

d

l

Vcyl, Pcyl


dt

ymax

おもりの動き

4.4.1 基礎式


pC C

Cii i=

−− +3 1 1 1

22, ,

uC C

ii i=

++ −1 1 3 1

2, ,

ここで


i i i i

i i i i

1 2

2

3 2

1,

,

= − −

== + −

Δ

Δρ

R r= 82

ν



35


Δx Lm

=

計算刻みは

ΔΔt xc

=

4.4.2 初期条件


p p u ui i= = × = =06

01 10 0MPa m / s,

4.4.3 境界条件


プランジャポンプ室圧力変化は次式を解いてもとめる．

dPdt

KV

A u A uplunger



p pu C C p

plunger1

1 1 1 2 1

=

= +,

(2) シリンダ側

おもりの運動方程式は

( ){ }dudt M

A P P M g

dydt

u

w

wcyl cyl air w

ww

= − −

=

1

シリンダ内の圧力変化

dPdt

KV

A u A ucyl

cylpipe n cyl w= −( )


p pu C C p

n cylinder

n n n

=

= −−3 1 2,

4.4.4 物性値

c:水中の音速=1.500x103 m/s (@23-27C) 理科年表 ν:水の動粘性係数=0.893x10-6 m2/s (@25C) 理科年表 ρ:水の密度 0.99704x103 kg/m3 理科年表



36

g:重力加速度=9.8m/s pair:大気圧=0.1x106Pa 4.4.5 計算準備

m=200

Δx Lm

= = =1

2000 005. m

ΔΔt xc

= =×

= × −0 00515 10

13

1035.

.s

Rr

= =×8 8 08930 010

12 2

ν ..

/ s

4.4.6 プログラム例“Cylinder”

使用言語 Visual Basic Dim C1i(201), C3i(201) Dim p(201), u(201) Dim grav, Pair Dim c, nu, rho, Koil Dim L, Rpipe, Apipe, m%, n%, deltaX Dim Vmin, Ymax, dt, Rplunger, Aplunger, Yplunger Dim j%, deltaT, R, C2, p0, u0 Dim y1, y2, y3, y4 Dim DefEq1, DefEq2, DefEq3, DefEq4 Dim Mw, Vcylmin, Rcyl, Acyl Private Sub Form_Click() Call main End Sub Private Function C1(i%) C1 = (1 - R * deltaT) * u(i%) - C2 * p(i%) End Function Private Function C3(i%) C3 = (1 + R * deltaT) * u(i%) + C2 * p(i%) End Function 'データ設定 Private Sub DataSet() '定数 Const pi = 3.14159



37

grav = 9.81 'm/s2 重力加速度 '流体 c = 1.5 * 1000# 'm/s 流体中の音速 nu = 0.893 / 1000000# 'm2/s 動粘性係数 rho = 0.99704 * 1000# 'kg/m3 密度 Koil = rho * c * c 'kg/m/s2 体積弾性係数 '大気 Pair = 0.1 * 1000000# 'Pa 大気圧力 '管 L = 1 'm 管路長 Rpipe = 10 / 1000 'm 管半径 Apipe = pi * Rpipe * Rpipe 'm2 管断面積 m% = 200 '管路分割数 n% = m% + 1 '境界端番号 deltaX = L / m% 'm 管路刻み '油圧シリンダ Mw = 1000 'kg 重り質量 Vcylmin = 20 / 1000000 'm3 最小容積 Rcyl = 20 / 1000 'm シリンダ半径 Acyl = pi * Rcyl * Rcyl 'm2 シリンダ断面積 'プランジャポンプ Vmin = 20 / 1000000 'm3 ポンプ室最小容積 Ymax = 5 / 1000 'm ストローク dt = 0.02 '0.04 's 移動時間 Rplunger = 20 / 1000 'm プランジャ半径 Aplunger = pi * Rplunger * Rplunger 'm2 プランジャ断面積 deltaT = deltaX / c 's 時間刻み 'dt/deltaT R = 8 * nu / (Rpipe * Rpipe) '粘性抵抗 C2 = 1 / rho / c p0 = 0.1 * 1000000# 'Pa 初期圧力 u0 = 0 For i% = 1 To n% p(i%) = p0 '管内圧力初期値設定 u(i%) = u0 '管内流速初期値設定 Next



38

y1 = p0 y2 = 0 y3 = 0 y4 = p0 End Sub '微分方程式 Sub DifEq1(t, y1, y2, y3, y4) Dim Uplunger 'ポンプ室圧力 If t < dt Then Yplunger = Ymax * t / dt Vplunger = Vmin + (Ymax - Yplunger) * Aplunger 'Vplunger = Vmin + Ymax * (1 - t / dt) * Aplunger Uplunger = Ymax / dt Else Yplunger = Ymax Vplunger = Vmin Uplunger = 0 End If DefEq1 = Koil / Vplunger * (Aplunger * Uplunger - Apipe * u(1)) 'シリンダ側 'おもり運動方程式 DefEq2 = (Acyl * (y4 - Pair) / Mw - grav) DefEq3 = y2 '圧力 Vcyl = Vcylmin + y3 * Acyl DefEq4 = Koil / Vcyl * (Apipe * u(n%) - Acyl * y2) End Sub 'メインルーチン Private Sub main() Call DataSet For j% = 1 To 20000 '時間刻み 20000 まで t = deltaT * j% '時刻 For i% = 1 To n% C1i(i%) = C1(i%) C3i(i%) = C3(i%) Next '境界（管路端）における計算 Call RK4M1(t, y1, y2, y3, y4)



39

'プランジャポンプ If y1 < 0 Then y1 = 0 p(1) = y1 u(1) = C1i(2) + C2 * p(1) '油圧シリンダ 'If y4 < 0 Then y4 = 0 p(n%) = y4 u(n%) = C3i(n% - 1) - C2 * p(n%) '境界内部の計算 For i% = 2 To n% - 1 p(i%) = (C3i(i% - 1) - C1i(i% + 1)) / 2 / C2 u(i%) = (C1i(i% + 1) + C3i(i% - 1)) / 2 If p(i%) <= 0 Then p(i%) = 0 Next label1 = j% Call plot1 ' Call plot2 Next Print "end" End Sub '圧力履歴表示 Public Sub plot1() If j% Mod 10 = 0 Then Scale (1, -100)-(2000, 0) Line (1, 0)-(2000, 0), QBColor(7) PSet (j% / 10, -p(n%) / 1000000#), QBColor(7) Scale (1, -0.006)-(2000, 0.006) Line (1, 0)-(2000, 0), QBColor(7) PSet (j% / 10, -y3), QBColor(7) PSet (j% / 10, -Yplunger), QBColor(1) DoEvents End If End Sub '管内の圧力分布と速度分布表示 Public Sub plot2() If j% Mod 10 = 0 Then Cls '圧力分布 Scale (1, -20)-(201, 20)



40

Line (1, 0)-(201, 0), QBColor(7) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -p(i%) / 1000000#)-(i% + 1, -p(i% + 1) / 1000000#), QBColor(7) Next '速度分布 Scale (1, -4#)-(201, 4#) For i% = 1 To n% - 1 Line (i%, -u(i%))-(i% + 1, -u(i% + 1)), QBColor(1) Next DoEvents End If End Sub 'ルンゲクッタ４次解法 Sub RK4M1(x, y1, y2, y3, y4) Static JR% Static K1(4) As Single Static K2(4) As Single Static K3(4) As Single Static K4(4) As Single X0 = x Y10 = y1 Y20 = y2 y30 = y3 y40 = y4 If y40 < 0 Then y40 = 0 Call DifEq1(X0, Y10, Y20, y30, y40) K1(1) = deltaT * DefEq1 K2(1) = deltaT * DefEq2 K3(1) = deltaT * DefEq3 K4(1) = deltaT * DefEq4 y10n = Y10 + K1(1) / 2 y20n = Y20 + K2(1) / 2 y30n = y30 + K3(1) / 2 y40n = y40 + K4(1) / 2 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(2) = deltaT * DefEq1 K2(2) = deltaT * DefEq2 K3(2) = deltaT * DefEq3



41

K4(2) = deltaT * DefEq4 y10n = Y10 + K1(2) / 2 y20n = Y20 + K2(2) / 2 y30n = y30 + K3(2) / 2 y40n = y40 + K4(2) / 2 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(3) = deltaT * DefEq1 K2(3) = deltaT * DefEq2 K3(3) = deltaT * DefEq3 K4(3) = deltaT * DefEq4 y10n = Y10 + K1(3) y20n = Y20 + K2(3) y30n = y30 + K3(3) y40n = y40 + K4(3) Call DifEq1(X0 + deltaT, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(4) = deltaT * DefEq1 K2(4) = deltaT * DefEq2 K3(4) = deltaT * DefEq3 K4(4) = deltaT * DefEq4 y1 = Y10 + (K1(1) + 2 * (K1(2) + K1(3)) + K1(4)) / 6 y2 = Y20 + (K2(1) + 2 * (K2(2) + K2(3)) + K2(4)) / 6 y3 = y30 + (K3(1) + 2 * (K3(2) + K3(3)) + K3(4)) / 6 y4 = y40 + (K4(1) + 2 * (K4(2) + K4(3)) + K4(4)) / 6 If y4 < 0 Then y2 = 0 '負圧になったとき，おもりの運動はいったん停止 y4 = 0 End If End Sub



42

4.5 プランジャポンプ＆燃料弁の計算

mneedle

y

udy

dt

plunger

plungerplunger

,

=

y

udy

dt

needle

needleneedle

,

=

Vplunger, Pplunger

Aneedle

F

Ahole

dt

ymax

Aplunger

d

l

Pcham

Vcav, Pcav


dt

ymax

ニードルの動き

4.5.1 基礎式


pC C

Cii i=

−− +3 1 1 1

22, ,

uC C

ii i=

++ −1 1 3 1

2, ,

ここで


i i i i

i i i i

1 2

2

3 2

1,

,

= − −

== + −

Δ

Δρ

R r= 82

ν




43

Δx Lm

=

計算刻みは

ΔΔt xc

=

4.5.2 初期条件


p p u ui i= = × = =06

01 10 0MPa m / s,

4.5.3 境界条件


プランジャポンプ室圧力変化は次式を解いてもとめる．

dPdt

KV

A u A uplunger



p pu C C p

plunger1

1 1 1 2 1

=

= +,

(2) 燃料弁側

ニードルの運動方程式は

( ){ }dudt m

A A P A P F m g

dydt

u

needle

needleneedle hole cav hole cham needle

needleneedle

= − + − −

=

1

ここで，ばねがニードルを押す力は F F k ys needle= +0

噴孔から流出する流体の速度

( )u =C p pjet d cav cham2ρ

−

キャビティー内の圧力変化 dP

dtK

VA u A u A ucav

cavpipe n needle needle hole jet= − −( )


p pu C C p

n cav

n n n

== −−3 1 2,



44

4.5.4 物性値

c:水中の音速=1.500x103 m/s (@23-27C) 理科年表 ν:水の動粘性係数=0.893x10-6 m2/s (@25C) 理科年表 ρ:水の密度 0.99704x103 kg/m3 理科年表 g:重力加速度=9.8m/s pcham:容器圧力=0.1x106Pa 4.5.5 計算準備

m=400

Δx Lm

= = =1

4000 0025. m

ΔΔt xc

= =×

= × −0 002515 10

53

1036.

.s

Rr

= =×8 8 08930 01

12 2

ν ..

/ s

4.5.6 プログラム例“Fuel Valve”

使用言語 Visual Basic Dim C1i(1001), C3i(1001),p(1001), u(1001) Dim grav, c, nu, rho, Koil Dim L, Rpipe, Apipe, m%, n%, deltaX Dim Vmin, Ymax, dt, Rplunger, Aplunger, Yplunger Dim F0, Ks, Rhole, Ahole, Mneedle, Rneedle, Aneedle, Vcav, Ylift, Cd Dim Pcham Dim j%, deltaT, R, C2, p0, u0 Dim y1, y2, y3, y4, DefEq1, DefEq2, DefEq3, DefEq4 Dim Vcylmin, Rcyl, Acyl Private Function C1(i%) C1 = (1 - R * deltaT) * u(i%) - C2 * p(i%) End Function Private Function C3(i%) C3 = (1 + R * deltaT) * u(i%) + C2 * p(i%) End Function 'データ設定 Private Sub DataSet() '定数 Const pi = 3.14159 grav = 9.81 'm/s2 重力加速度



45

'流体 c = 1.5 * 1000# 'm/s 流体中の音速 nu = 0.893 / 1000000# 'm2/s 動粘性係数 rho = 0.99704 * 1000# 'kg/m3 密度 Koil = rho * c * c 'kg/m/s2 体積弾性係数 '管 L = 1 'm 管路長 Rpipe = 10 / 1000 'm 管半径 Apipe = pi * Rpipe * Rpipe 'm2 管断面積 m% = 400 '管路分割数 n% = m% + 1 '境界端番号 deltaX = L / m% 'm 管路刻み '油圧シリンダ Vcylmin = 20 / 1000000 'm3 最小容積 Rcyl = 20 / 1000 'm シリンダ半径 Acyl = pi * Rcyl * Rcyl 'm2 シリンダ断面積 'プランジャポンプ Vmin = 20 / 1000000 'm3 ポンプ室最小容積 Ymax = 5 / 1000 'm ストローク dt = 0.01 '0.04 's 移動時間 Rplunger = 20 / 1000 'm プランジャ半径 Aplunger = pi * Rplunger * Rplunger 'm2 断面積 '燃料弁 F0 = 200 'N 初期締付力 Ks = 300 'N/m ばね定数 Rhole = 1 / 1000 'm 噴孔半径 Ahole = pi * Rhole * Rhole 'm2 噴孔断面積 Mneedle = 100 / 1000 'kg ニードル質量 Rneedle = 5 / 1000 'm ニードル半径 Aneedle = pi * Rneedle * Rneedle 'm2 ニードル断面積 Vcav = 2 / 1000000# 'm3 キャビティ容積 Ylift = 1 / 1000 'm ニードルリフト量 Cd = 1 '流量係数 '容器 Pcham = 0.1 * 1000000# 'Pa 容器圧力 deltaT = deltaX / c 's 時間刻み R = 8 * nu / (Rpipe * Rpipe) '粘性抵抗 C2 = 1 / rho / c p0 = 0.2 * 1000000# 'Pa 初期圧力 u0 = 0



46

For i% = 1 To n% p(i%) = p0 '管内圧力初期値設定 u(i%) = u0 '管内流速初期値設定 Next y1 = p0 y2 = 0 y3 = 0 y4 = p0 End Sub '微分方程式 Sub DifEq1(t, y1, y2, y3, y4) Dim Uplunger 'ポンプ室圧力 If t < dt Then Yplunger = Ymax * t / dt Vplunger = Vmin + (Ymax - Yplunger) * Aplunger 'Vplunger = Vmin + Ymax * (1 - t / dt) * Aplunger Uplunger = Ymax / dt Else Yplunger = Ymax Vplunger = Vmin Uplunger = 0 End If DefEq1 = Koil / Vplunger * (Aplunger * Uplunger - Apipe * u(1)) '燃料弁側 'ニードル運動方程式 F = F0 + Ks * y3 DefEq2 = ((Aneedle - Ahole) * y4 + Ahole * Pcham - F - Mneedle * grav) / Mneedle DefEq3 = y2 '圧力 If y3 > 0 Then Ujet = Cd * Sqr(2 / rho * (y4 - Pcham)) Else Ujet = 0 End If DefEq4 = Koil / Vcav * (Apipe * u(n%) - Aneedle * y2 - Ahole * Ujet) End Sub 'メインルーチン Private Sub main()



47

Call DataSet For j% = 1 To 20000 '時間刻み 20000 まで t = deltaT * j% '時刻 For i% = 1 To n% C1i(i%) = C1(i%) C3i(i%) = C3(i%) Next '境界（管路端）における計算 Call RK4M1(t, y1, y2, y3, y4) 'プランジャポンプ If y1 < 0 Then y1 = 0 p(1) = y1 u(1) = C1i(2) + C2 * p(1) '油圧シリンダ p(n%) = y4 u(n%) = C3i(n% - 1) - C2 * p(n%) '境界内部の計算 For i% = 2 To n% - 1 p(i%) = (C3i(i% - 1) - C1i(i% + 1)) / 2 / C2 u(i%) = (C1i(i% + 1) + C3i(i% - 1)) / 2 If p(i%) <= 0 Then p(i%) = 0 Next label1 = j% Call plot1 Next Print "end" End Sub '表示 Public Sub plot1() If j% Mod 100 = 0 Then '燃料弁入り口圧力 Scale (1, -50)-(4000, 5) DrawWidth = 2 PSet (j% / 10, -p(n%) / 1000000#), QBColor(12) 'リフト Scale (1, -0.006)-(4000, 0.006) PSet (j% / 10, -y3), QBColor(9) PSet (j% / 10, -Yplunger), QBColor(14) DoEvents End If



48

End Sub 'ルンゲクッタ４次解法 Sub RK4M1(x, y1, y2, y3, y4) Static JR% Static K1(4) As Single Static K2(4) As Single Static K3(4) As Single Static K4(4) As Single X0 = x Y10 = y1 Y20 = y2 y30 = y3 y40 = y4 Call DifEq1(X0, Y10, Y20, y30, y40) K1(1) = deltaT * DefEq1 K2(1) = deltaT * DefEq2 K3(1) = deltaT * DefEq3 K4(1) = deltaT * DefEq4 y10n = Y10 + K1(1) / 2 y20n = Y20 + K2(1) / 2 y30n = y30 + K3(1) / 2 y40n = y40 + K4(1) / 2 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(2) = deltaT * DefEq1 K2(2) = deltaT * DefEq2 K3(2) = deltaT * DefEq3 K4(2) = deltaT * DefEq4 y10n = Y10 + K1(2) / 2 y20n = Y20 + K2(2) / 2 y30n = y30 + K3(2) / 2 y40n = y40 + K4(2) / 2 Call DifEq1(X0 + deltaT / 2, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(3) = deltaT * DefEq1 K2(3) = deltaT * DefEq2 K3(3) = deltaT * DefEq3 K4(3) = deltaT * DefEq4



49

y10n = Y10 + K1(3) y20n = Y20 + K2(3) y30n = y30 + K3(3) y40n = y40 + K4(3) Call DifEq1(X0 + deltaT, y10n, y20n, y30n, y40n) K1(4) = deltaT * DefEq1 K2(4) = deltaT * DefEq2 K3(4) = deltaT * DefEq3 K4(4) = deltaT * DefEq4 y1 = Y10 + (K1(1) + 2 * (K1(2) + K1(3)) + K1(4)) / 6 y2 = Y20 + (K2(1) + 2 * (K2(2) + K2(3)) + K2(4)) / 6 y3 = y30 + (K3(1) + 2 * (K3(2) + K3(3)) + K3(4)) / 6 y4 = y40 + (K4(1) + 2 * (K4(2) + K4(3)) + K4(4)) / 6 If y3 < 0 Then y2 = 0 y3 = 0 ElseIf y3 > Ylift Then y2 = 0 y3 = Ylift End If If y4 < 0 Then y4 = 0 End If End Sub

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 5 章１次元圧縮性流れ 50/66

50

第 5 章１次元圧縮性流れ

5.1 質点の運動

図に示す質点の運動を考える．質点とは，質量を持つものの大きさが無視できる物体のことで

ある．

mF d x

dt=

2

2

x

質点の運動方程式は

m d xdt

F F2

2 = = g (1)

もしくは

m dudt

F F

dxdt

u

= =

=

g

(2)

と表わすことができる．ここで

m：質点の質量

u：質点の速度

F：質点に作用する力．例，重力 Fg=mg 数値解法（ルンゲ・クッタ法）を用いて(2)式を解けば，質点の位置と速度が求まる．

5.2 剛体の運動

周囲との摩擦が存在する場合

m d xdt

F F Fg R

2

2 = = −

ここで

Fg:重力

FR：摩擦抵抗

5.3 ガス体の運動

5.3.1 流速に関する式

剛体の運動方程式をガス体の運動に適用することにより解を求める．ただし，剛体の代わりに

流体内部に微小な要素（コントロールボリューム）を考え，この要素の運動を考えることになる．


51

mp

mp

FR

FR

F’

F’

⇓ 等価

F

F P’P

コントロールボリュームに関して，運動方程式は

m d xdt

F Fp

2

2 = −P R (3)

もしくは

m dudt

F F

dxdt

u

p = −

=

P R

(4)

ただし，

mp：要素（コントロールボリューム）内の質量＝質点に置き換える

u：流速＝質点の速度

FR：粘性抵抗＝管摩擦抵抗

ここで

F F FP= − ' (5)

はコントロールボリューム前後の圧力差により発生する力（＝質点に作用する力に相当）を表わ

す．

計算格子は固定されるため，質点の位置 x を解くことは無意味．

m dudt

F Fp = −P R (6)

のみを解けばよい．

5.3.2 圧力に関する式

圧力はエネルギ式から求める．

(1) エネルギ保存の式

コントロールボリュームには，左側から流体が速度u&で流入し，右側から速度u′& で流出するも

のとし，外部から熱量 Q が流入する．


52

Q

′ ′ ′ρ , ,C TPρ, ,C TP

&u & ′u (H’)(H)

コントロールボリュームに関するエネルギ関係式は dH dQ dU dL+ = + (7)

ただし， dH：要素のエンタルピ変化＝流出入する流体のエンタルピ差

dH H H= − ' dQ：要素へのエネルギ流入（出）量

＝要素の加熱 or 冷却 dU：要素の内部エネルギ変化

)(1

1 PdVVdPdU κκ

+−

=

dL：要素のする膨張仕事

PdVdL = コントロールボリュームの体積を一定とすると dV=0

( )

( )

dH dQ VdP PdV PdV VdP

dPV

dH dQ

+ =−

+ + =−

∴ =−

+

11 1

1κ

κκ

κ (8)

単位時間当たりでは

dPdt V

dHdt

dQdt

=−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κ 1 (9)

従って，1 次元圧縮性流れに関して解くべき基礎式は質点の運動に関して

m dudt

F F= −P R (10)

圧力に関して

dPdt V

dHdt

dQdt

=−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κ 1 (11)

(2) 計算格子


53

圧力と流速の格子点をずらす．（スタッガード格子）格子点は圧力に関し１から n まで．速度に関し，１から n-1 までとする．

Pi+2

ui+1

Pi+1

ui

Pi

ui-1

Pi-1

速度に関するｺﾝﾄﾛｰﾙﾎﾞﾘｭｰﾑ

圧力に関するｺﾝﾄﾛｰﾙﾎﾞﾘｭｰﾑ

圧力格子点間（圧力に関する i 番目の格子内）のガス質量を質量 mp,iの剛体に置き換える．剛体の

速度は流速 ui に相当する．ただし，下線付き添え字は圧力の格子からずれた（スタッガード）格

子点であることを示す．

Pi+2

mp,i+1 ui+1

Pi+1

mp,i ui

Pi

mp,i-1 ui -1

Pi-1

速度の決定に関する格子

圧力差により i 番目の要素に作用する力は

F A P A Pi i i iP,i= − + +1 1 (12)

ここで

Ai：管断面積

運動方程式は

mdudt

F F

A P A P F

p ii

i i i i

, = −

= − −+ +

P,i R,i

R,i1 1

(13)

ただし，

m V Vp i i i i i, , ,= + + +ρ ρR L1 1 (14)

Vi,R：圧力の格子点 i より右半分の体積 Vi,Ｌ：圧力の格子点 i より左半分の体積密度は


54

ρ =P

RT (15)

より，(13)式は

mP

RTV

PRT

V

RPT

V PT

V

p ii

ii

i

ii

i

ii

i

ii

, , ,

, ,

= +

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

++

+

++

R L

R L

1

11

1

11

1 (16)

したがって，(13)式に代入すると，

1 1

11 1 1R

PT

VPT

Vdudt

A P A P Fi

ii

i

ii

ii i i i R i, , ,R L+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − −+

++ + +

整理すると，

dudt

RA P A P F

PT

V PT

V

i i i i i R i

i

ii

i

ii

=− −

+

+ +

+

++

1 1

1

11

,

, ,R L

(17)

Pi+2

ui+1

Pi Ti mi

Pi+1 Ti+1 mi+1

ui ui-1

Pi-1

圧力の決定に関する格子

エンタルピの増加は

( )

dHdt

A u C T A u C T

AP

RTu C T A

PRT

u C T

RA P u C A P u C

ii i i P i i i i i P i i

ii

ii P i i i

i

ii P i i

i i i P i i i i P i

= −

= −

= −

− − − − −

−−

−− − −

− − − −

1 1 1 1 1

11

11 1 1

1 1 1 11

ρ ρ, ,

, ,

, ,

(18)

(11)式より

( )

dPdt V

dHdt

dQdt

V RA P u C A P u C dQ

dt

i

i

i i

ii i i p i i i i p i

i

=−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

− +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− − − −

κ

κ

1

1 11 1 1 1, ,

(19)

圧力は平均値として


55

P P P

P P P

ii i

ii i

−−

+

=+

=+

11

1

2

2

(20)

を用いることにすると，

dPdt V R

A P P u C A P P u C dQdt

i

ii

i ii p i i

i ii p i

i=− +

−+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−−

− −+κ 1 1

2 211

1 11

, , (21)

各要素の質量変化は

dmdt

u uii i i i= −− −ρ ρ1 1 (22)

各要素の温度は

T PVm Ri

i i

i

= (24)

まとめ 1 次元圧縮性流れに関して解くべき式は質点の運動に関して

dudt

RA P A P F

PT

V PT

V

i i i i i R i

i

ii

i

ii

=− −

+

+ +

+

++

1 1

1

11

,

, ,R L

(23)

圧力に関して

dPdt V R

A P P u C A P P u C dQdt

i

ii

i ii p i i

i ii p i

i=− +

−+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−−

− −+κ 1 1

2 211

1 11

, , (24)

質量に関して

dmdt

u uii i i i= −− −ρ ρ1 1 (25)

温度に関して

T PVm Ri

i i

i

= (26)

(3) 境界条件

Ａ．管路両端の境界値を圧力値とする場合

管路上の格子点は下図の通り


56

i=i i=2 i=1

i=2 i=1

i=n-1

i=n i=i

un-1 ui u2 u1

Pn-1 Pn PiP2 P1

境界条件 P1と Pnを計算する．流速は(23)式より u1から un-1まで計算する．圧力は(24)式より P2から Pn-1まで計算する． ① 管路端開放

P Pn = =const 0 (27)

とおく． ② 管路端閉エンタルピの増加は

dHdt

A u C T AP

RTu C T

RA P u Cn

n n n P n n nn

nn P n n n n n P n= = =− − − − − −

−

−− − − − − − −1 1 1 1 1 1

1

11 1 1 1 1 1 1

1ρ , , , (28)

(11)式より

dPdt V

dHdt

dQdt

V RA P u C dQ

dt

n

n

n n

nn n n p n

n

=−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

+⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− − − −

κ

κ

1

1 11 1 1 1,

(29)

圧力は平均値として

P P Pn

n n−

−=+

11

2 (30)

を用いることにすると，

dPdt V R

A P P u C dQdt

n

nn

n nn p n

n=− +

+⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−−

− −κ 1 1

211

1 1, (31)

を解けばよい．Ｂ．管路の１端の境界値を流速とする場合

管路上の格子点は下図の通り


57

i=i i=2 i=1

i=2 i=1

i=n-1

i=n i=i

un-1 ui u2 u1

Pn-1 Pn PiP2 P1

i=n

un

境界条件 P1と unを計算する．流速は(23)式より u1から un-1まで計算する．圧力は(24)式より P2から Pnまで計算する． ① 流速一定

u un = =const 0

② 差圧から計算

( )u p pn n= −2ρ back

埼玉工業大学（小西克享）計算熱流体講義ノート（初版）第 6 章熱の流れ 58/66

58

第 6 章熱の流れ

熱伝導方程式（偏微分方程式）を解いて温度分布を求める．

6.1 偏微分方程式

代表的な偏微分方程式は次の 3種類

∂∂

∂∂

ρ2

2

2

2

f x yx

f x yy

x y( , ) ( , ) ( , )+ = Poisson 方程式（楕円型偏微分方程式）

ρ = 0のとき Laplace 方程式

∂∂

∂∂

f x yt

a f x yx

( , ) ( , )=

2

2 熱伝導方程式（放物型偏微分方程式）

∂∂

∂∂

2

22

2

2

f x yt

a f x yx

( , ) ( , )= 波動方程式（双曲型偏微分方程式）

6.2 差分近似

6.2.1 導関数の近似法

テイラー展開を利用し，導関数を近似する．代表的なものは次の 3種類．

u(x+h)u(x-h) u(x)

x+hxx-h x

u(x)

中心差分近似

1 階導関数

{ }dudx h

u x h u x h≈ + − −1

2( ) ( ) 誤差− ′′′

16

2h f

2 階導関数

{ }d udx h

u x h u x u x h2

2 2

1 2≈ + − + −( ) ( ) ( ) 誤差−1

122h f Ⅳ

前進差分近似

1 階導関数

{ })()(1 xuhxuhdx

du−+≈ 誤差− ′′

12

hf

2 階導関数

{ }d udx h

u x h u x h u x2

2 2

1 2 2≈ + − + +( ) ( ) ( ) 誤差− ′′′hf


59

後退差分近似

1 階導関数

{ })()(1 hxuxuhdx

du−−≈ 誤差− ′′

12

hf

2 階導関数

{ }d udx h

u x u x h u x h2

2 2

1 2 2≈ − − + −( ) ( ) ( ) 誤差− ′′′hf

6.2.2 陽解法

１ステップ前の計算時刻における値のみを用いて，次の時刻における値を計算する．

j+1

j

i i+1i-1h

k

x

t

ui,j+1

ui-1,j ui+1,jui,j

方程式

∂∂

∂∂

ut

ux

=2

2

は u u

ku u u

hi j i j i j i j i j, , , , ,+ + −−

=− +1 1 1

2

2

空間微分に対する中心差分近似時間微分に対する前進差分近似と近似することができる． 6.2.3 Crank-Nicolson の陰解法

１ステップ前の計算時刻における値のみを用いて，次の時刻における値を計算する．

方程式

∂∂

∂∂

ut

ux

=2

2

は

u uk

u u uh

u u uh

i j i j i j i j i j i j i j i j, , , , , , , ,+ + + + − + + −−=

− ++

− +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1 1 1 1 1 12

1 12

12

2 2


60

と近似することができる．

j+1

j

i i+1i-1h

k

x

t

ui-1,j+1 ui,j+1 ui+1,j+1

ui-1,j ui+1,jui,j

例題（陽解法）次のFourierの偏微分方程式で表される１次元温度場の平行平面板内の温度変化を求めよ．ただし，

刻み幅は h=1, k=1 とする．

∂φ∂

∂ φ∂t

ax

a= =2

2

12

境界条件φ φ( , ) ( , )0 4 20t t= = 初期条件φ( , ) ( )x t x x= − +5 4 20

解答差分化式は φ φ φ φ φi j i j i j i j i j

k h, , , , ,+ + −−

=− +1 1 1

2

12

2

h=1, k=1 なので

( )

( )

( )

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

φ φ φ

i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j

i j i j i j

, , , , ,

, , , , ,

, , ,

+ + −

+ + −

+ + −

− = − +

= − + +

= +

1 1 1

1 1 1

1 1 1

12

2

12

2

12

境界条件と初期条件から

φ φ φ φ φ0 0 4 0 1 0 2 0 3 020 5 0 5, , , , ,, , ,= = = = =

t=1 では

( )

( )

( )

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

1 1 2 0 0 0

2 1 3 0 1 0

3 1 4 0 2 0

12

12

0 20 10

12

12

5 5 5

12

12

20 0 10

, , ,

, , ,

, , ,

( )

( )

( )

= + = + =

= + = + =

= + = + =

t=２では


61

( )

( )

( )

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

1 2 2 1 0 1

2 2 3 1 1 1

3 2 4 1 2 1

12

12

5 20 12 5

12

12

10 10 10

12

12

20 5 12 5

, , ,

, , ,

, , ,

( ) .

( )

( ) .

= + = + =

= + = + =

= + = + =

t7 20 18.75 18.125 18.75 206 20 18.125 17.5 18.125 205 20 17.5 16.25 17.5 204 20 16.25 15 16.25 203 20 15 12.5 15 202 20 12.5 10 12.5 201 20 10 5 10 200 20 5 0 5 20x 0 1 2 3 4

6.2.4 偏微分方程式の無次元化

熱伝導方程式

∂∂

∂∂

Tt

a Tx

=2

2 (1)

において各記号の意味と次元は次の通りである． T: 温度(K) t: 時間(h) (2)

x: 距離(m) a: 温度伝導率(m2/h)

従って，(1)式は(K/h)の次元を持つ式となっている．

(1)式を無次元化するには，まず，各変数を無次元化する．無次元化のためには各変数と同じ次

元を持つ基準を設定して，各々除した変数を作ればよい．無次元変数を，￣の記号をつけて表記

する，(2)式を無次元化した変数は次のようになる．

T T TT T

T T T T=−−

→ →0

1 00 1 0 1( : , : ) (3)

t tt

t t t= → →0

00 0 1( : , : ) (4)

x xx

x x x= → →0

00 0 1( : , : ) (5)

a aa

=0

(6)

ここで，


62

T1: 例，板の初期温度(K) T0: 例，周囲温度(K) t0: 例，t=t0となるまでの時間(h) (7)

x0: 例，板厚(m)

a xt00

2

0

= : 温度伝導率(m2/h)

次に，微分定理を用いて(4-1)式の偏微分を無次元変数の微分に変換する．

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂t t

tt t t t t

= = ⋅ =1 1

0 0

(8)

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x x

xx x x x x

= = ⋅ =1 1

0 0

(9)

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

20 0 0

20

2

1 1 1 1x x x x x

xx x x x x x x x x x

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= (10)

(3)から(10)式を用いて(1)式を変換すると

( ){ } ( ){ }1 1

01 0 0

02

2

2 1 0 0t tT T T T a

x xT T T T∂

∂∂

∂− + = − +

∂∂

∂∂

Tt

axt

Tx

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0

2

0

2

∂∂

∂∂

Tt

a Tx

=2

(11)

となり，(1)式を無次元化した方程式が得られる．なお，(11)式の差分化において時間と空間の刻み幅は，実時間，実空間での刻みを k と h で表すと，

それぞれ

k kt

=0

(12)

h hx

=0

(13)

となる．無次元化方程式を解くことの意味 (1)式を解くことはある板厚，温度におけるただ 1 つの解を得ることを意味しているのに対して，

(11)式を解くことは相似となるすべての条件について解くことを意味している．たとえば板の材質が同じ場合，次の例 1 と例 2 は無次元化した(11)式ではまったく同じとなる．例 1．計算時間 t0=100sec，時間刻み k=1sec，空間刻み h=1mm


63

T0 10= C

T1 110= C （一様）

x0 10= mm

例 2．計算時間 t0=400sec，時間刻み k=4sec，空間刻み h=2mm

T0 0= C

T1 100= C （一様）

x0 20= mm

例 3．計算時間 t0 1= ，時間刻み k = 0 01. ，空間刻みh = 01.

T0 0=

T1 1= （一様）

x0 1=


64

第 7 章数値計算上の注意事項

打切り誤差に注意が必要

例 1. 01 01 01 110

. . .+ + + ≠L1 244 344

コンピュータで計算すると

01 01 01 1 1110 1010

16. . . .+ + + − → − × −L1 244 344

小数の計算には注意が必要．となる．

2 12 0 52 0 252 01252 0 06252 0 031252 0 0156252 0 00781252 0 00390625

0

1

2

3

4

5

6

7

8

=

=

=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

........

２進数で 0.1 を表そうとすると

01 2 2 24 5 8. → + + +− − − L ２進数では，すべての小数を正確に表すことができない．打切り誤差が必ず発生

とすると，このループは無限ループとなる可能性がある．例 2. 01 10 1. * ≠ コンピュータで計算すると

01 10 1 5551 10 17. * .− → × − また

01 01 01 01 1010

. . . . *+ + + ≠L1 244 344

であることに注意が必要．例 3．10 10 1 1 10./1. . ./0. .= ≠but

コンピュータで計算すると

for i = 0 to 1 step 0.1 : next


65

10 10 01 1 10 5551 10 16

./1. . ../0. . .

− →

− → − × −

例 4．01 01 012. . .≠ × コンピュータで計算すると

01 01 01 8 326 102 19. . . .− × → × − 累乗の計算には級数展開式を使用．例 5．整数型の演算 A, B が整数型，C が実数型の変数のとき A=1 B=3 C=A/B とすると C の値は？答 0. A, B, C とも実数型の変数のときは 0.333333.....

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