第四节 场论初步

一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场

一、场的概念

若对全空间，或其中某一区域 V 中一点 M

都有一个数量（或向量）与之对应，则称在 V 上给定了一个数量场（或向量场） .

常见的数量场有温度场和密度场；常见的向量场有重力场和速度场 .

设 L 为向量场中一条曲线 . 若 L 上每点 M 处的切

线方向都与向量函数 A 在该点的方向一致，即

dd dyx zP Q R

则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线 .

二、梯度场

设数量函数 , , ,u x y z

, ,u u uux y z

grad

则向量函数

称为梯度 .

几何意义：等值面的法线方向 .

u ugrad梯度 其中 , ,x y z

性质

1

m

kkk

ff u

u

（ 1）

若 ,u v 是数量函数，则 u v u v

（ 2）

若 ,u v 是数量函数，则 u v u v v u

特别地有 2 2u u u

（ 3）

若 , , , , ,r r x y z x y z 则 d dr

（ 4）

若 , , ,f f u u u x y z 则 f u f u u

（ 5）

若 1 2, , , , , , , 1,2, ,m i if f u u u u u x y z i m

则

三、散度场设 , ,, , , , , , , ,A x y z P x y z Q x y z R x y z

为空间区域 V 上的向量函数，对 V 上每一点

, , ,x y z 定义数量函数

, ,QP RD x y z

x y z

称它为向量函数 A 在 处的散度 . 记作

, ,x y z

, ,x y z

div, , , ,D x y z A x y z

由向量场 A 的散度 所构成的数量场，称为散度场 .

divA

div A A性质

（ 1 ）若 ,u v 是向量函数，则 u v u v

（ 2）

若φ是数量函数， F 是向量函数，则

F F F

（ 3）

若 , ,x y z 是一数量函数，则 2 2 2

2 2 2x y z

算符 的内积 常记作 ，“ ”

拉普拉斯 (Laplace) 算子 .

称为

四、旋度场设空间区域 V 上的向量函数

, ,, , , , , , , ,A x yz P x yz Q x yz R x yz

对 V 上每一点

x yz, , , 定义向量函数

, , , ,Q QR P R PF x yzy z z x x y

向量函数 A 在 x yz, , 处的旋度，记作

rot F x yz A, ,

弧长元素向量

d d d0i i is α β γ t cos ,cos ,cos s s

单位切向量 0t 的切向量

斯托克斯公式的向量表示

d d S Lrot A S A s

性质： Arot 与坐标系的选择无关

旋度场：由向量函数 A 的旋度

Arot 所定义的向量场 .

A ArotA 的旋度

基本性质（ 1）

若 ，u v 是向量函数，则 u v u v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u v u u v u u v v u

( ) u v v u u v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u v v u u v v u uv

（ 2）

若 φ 是数量函数， A 是向量函数，则 ( ) ( )φ φ φ A A A

（ 3）

若 φ 是数量函数， A 是向量函数，则 ， ( ) φ A 0 0

2( ) ( ) ( ) A A A A A

五、管量场与有势场

管量场：散度恒为零的向量场 ，即 div 0A

有势场：旋度恒为零的向量场 ，即 rot 0A

调和场：既是管理场又是有势场的向量场