附录弹性力学数学基础

目录附录 1 张量基础

附录 2 复变函数数学基础

附录 3 变分法概要

附录 1 张量基础§i1 张量 1

张量特征

笛卡儿张量下标

求和定约

偏导数下标记法

特殊张量

张量——简化缩写记号表达物理量的集合

显著优点——基本方程以及其数学推导简洁

张量的特征—— 整体与描述坐标系无关

分量需要通过适当的坐标系定义

笛卡儿（ Descartes ）张量定义一般张量——曲线坐标系定义

§i1 张量 1

三维 Descartes 坐标系中，一个含有 3 个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量 u， v， w

缩写记为 ui（ i=1, 2, 3）表示为 u1, u2, u3

9 个独立变量的集合，两个下标来表示

ij和 ij ——9个应力分量或应变分量

ij,k

——27 个独立变量的集合用三个下标表示

i—— 下标

§i1 张量 2

求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从 1 到 3 求和。

A

jiija

kkk

a

3

1

i j

jiija

kka

哑标： 出现两次的下标——求和后消失

A

jiji ycx

3332321313

3232221212

3132121111

ycycycx

ycycycx

ycycycx

自由标：非重复下标 自由标个数表示张量表达式代表的方程数

§i1 张量 3

偏导数的下标记法缩写张量对坐标 xi 偏导数的表达式

逗号约定 逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 xi 求偏导数。

)()( ,i

i x

利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为

j

iji x

uu

,

§i1 张量 4

k

ijkij x

,

k

ijkij x

,

kj

iiki xx

uu

,

lk

ijklij xx

,

lk

ijklij xx

,

张量的偏导数集合仍然是张量证明： ui ， j如果作坐标变换

',' jiu

l j

l

klkki

l x

xun

',' )(

kjkki un ',' )(

l j

l

klkki x

xun

',' )(

'' jiji xnx ijj

i nx

x'

'

l

ljkik

lkji nnuu '',','

由此可证， ui, j服从二阶张量的变换规律

由于 因此

§i1 张量 5

特殊的张量符号 克罗内克尔（ Kronecker Delta ）记号 ij

ji

jiij

0

1

显然

100

010

001

333231

232221

131111

ij

克罗内克尔记号是二阶张量运算规律

ijmjim

imim

ii

TT

aa

3332211

§i1 张量 6

置换符号 eijk

有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，

0

3211

3211

kji

kji

eijk

偶排列有序数组 1 ， 2 ， 3 逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列

1

1

213321132

312231123

eee

eee

§i1 张量 8

二阶对称张量

反对称张量 jiij TT

jiij TT

任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。

张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。

§i1 张量 9

附录 2 复变函数数学基础

复变函数定义

解析函数

保角变换

柯西积分

复变函数定义

复数——两个实数 x， y确定的数 z=x+iy

1i 虚数单位

实部

虚部

模

幅角

zy Im

22|| yxz

x

yarctan

复变函数基础

§i2 复变函数 1

zx Re

函数 f （ z ）在某区域 Σ 上的每一点导数存在，称为区域 Σ 上的解析函数。 解析函数 w=u （ x ， y ） +iv （ x ， y ）柯西－黎曼条件

解析函数

x

v

y

u

y

v

x

u

,

解析函数的实部和虚部都是调和函数

§i2 复变函数 2

—— 复变函数的可导性

02

2

2

2

y

u

x

u0

2

2

2

2

y

v

x

v

•保角变换

§i2 复变函数 3

通过函数 w=f （ z ）将平面点的集合 g 转换为另一个平面（ w 平面）点的集合 G 。

变换——映射

解析函数 w=f （ z ）在点 zo所实现的变换点 zo处的所有线素皆按同一比例伸长 任意两个曲线之间的交角保持不变

柯西积分公式

)(d)(

πi2

1zft

zt

tf

c

z为 C外的任一点，则

0d)(

πi2

1

c

tzt

tf

f （ t ）在区域 S 内处处解析， C 为 S 内的任一闭曲线，它的内部完全属于 S ， z 为包含在C 内的任一点，则

§i2 复变函数 4

如 f（ t）在区域 S外，包括无穷远点处处解析， C为 S内的任一闭曲线，它的内部完全属于 S， z为包含在 C内的任一点，

)(d)(

πi2

1

ftzt

tf

c

§i2 复变函数 5

附录 3 变分法概要

泛函与泛函极值

欧拉方程

自然边界条件

泛函运算

泛函和泛函的极值 泛函——其值倚赖于其它一个或者几个函数

—— 函数的函数

变分法——泛函极值

泛函极值条件

J=0

2J≥0 ∆，则 J＞ 0，泛函 J [y]为极小值；

2J≤0 ∆，则 J＜ 0，泛函 J [y]为极大值。

§i3 变分法 1

泛函极值的必要条件—欧拉方程

0d)''

(2

1

＝

x

x

xyy

Fy

y

FJ

变分 y和 y’不是独立无关的，因此

2

1

2

1

2

1

2

1

d)'

(d

d

'd)

d

d

'd'

'

x

x

x

x

x

x

x

x

xyy

F

xy

y

Fxy

xy

Fxy

y

F ＝（＝

2

1

2

1d)]

'(

d

d[

'

x

x

x

xxy

y

F

xy

Fy

y

FJ

在 x=x1和 x=x2时， J=0

2

1

d)]'

(d

d[

x

x

xyy

F

xy

FJ

§i3 变分法 2

0)'

(d

d ＝y

F

xy

F

欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件

确定泛函 J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分 2J大于 0还是小于 0。

由于在区间（ x1， x2）是 x的任意函数，所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（ x1，x2）内为零。

§i3 变分法 3

自然边界条件 如自变函数在边界的数值不能确定，则

0)(,0)( 21 xyxy

对于可变边界问题，首先必须满足边界不变的极值条件。为满足极值条件，欧拉方程仍旧必须满足。边界变化的泛函极值问题

0'

,0'

21

xxxxy

F

y

F

§i3 变分法 4

泛函变分的基本运算法则

泛函变分运算与微分运算法则基本相同

2121 )( FFFF

211221 )( FFFFFF

)(1

)( 2112222

1 FFFFFF

F

FnFF nn 1)(

§i3 变分法 5