第六章 曲线和曲面 ( 三 )
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第六章 曲线和曲面 ( 三 )
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer 23/4/19 2 / 50
主要内容:
曲线、曲面参数表示的基础知识常用的参数曲线常用的参数曲面
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曲面表示: 曲面表示的作用:
- 能使模型表现的质量更高,特别是构造高质量真实感模型; 曲面建模方法:很多
- 方法一:类似于多面体建模,用小的,互相连接的曲面片,而不是用多边形构造模型;
- 方法二:直接定义实体对象的表面,如多面体、球体、柱体和圆锥体等,再用这些实体对象构建模型,此过程也称为实体建模;
构建模型方法:
- 加法建模:把许多简单的实体对象组合起来构建模型;- 减法建模:从给定的物体中去除某些部分,从而构建新的物体,如,在球体或立方体中挖一个柱形的洞。减法建模类似于雕塑;
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曲面绘制: 曲面的建模和逼近比较复杂; 两种曲面的表示方法:特征网格、插值面片 特征网格:用给定的节点集 Pij构造曲面;
- 直接推广 Bezier-Bernstein 和 Bezier-B 样条曲线逼近方法。- 特征网格是一个多边形网络,其顶点为 Pij
插值面片:- 描述曲面片的边界曲线,再通过边界曲线的插值,“填充”曲面片的内部;
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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参数曲面的定义 参数曲面的表示:
- 显式、隐式;- 参数式:从图形学角度,更便于用计算机表示与构造;
1 、一张矩形域上的参数曲面片- 定义:由曲线边界包围,具有一定连续性的点集面片;
- 用双参数的单值函数表示(如图):
]1,0[,
),(
),(
),(
wu
wuzz
wuyy
wuxx
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参数曲面的定义- 其中 为参数;- 上式可改写为:- 参数曲面片的常用几何元素:
1 )角点: 代入 可得四个点:
2 )边界线:矩形域曲面片的四条边界线是:
3 )曲面片上一点;
4 ) 点的切矢:在面片上一点 处有 向切矢为 向切矢为:
5 ) 点的法矢:该点处的法矢记为: ,简记为:
wu,
)],(),,(),,([),( wuzwuywuxwup
10, 或wu ),( wup
11100100 ,,,),1,1(),1,0(),1,0(),0,1(),0,0( ppppppppp 记为:
wwuu ppppwpwpupup 1010 ,,,),,1(),,0(),1,(),0,( 记为:
jiji pwup ,),( ,简记为:jip , jip , u
uijp
wwijp
jip , ),( ji wun ijn
wij
uij
wij
uij
ijpp
ppn
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参数曲面的定义 2 、常用面片的参数表示举例( 1 )- 在 xoy 平面上,矩形域的平面片的参数表示(如图):
- 球面(如图): 球心坐标: 半径: r 参数:纬度,经度 表达式:
]1,0[,,0
,)(
,)(
wuz
bwbdy
auacx
urzz
wwuryy
uwurxx
sin
]2,0[sinsin
]2/,2/[coscos
0
0
0
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参数曲面的定义常用面片的参数表示举例( 2 )
- 简单回转面 若一条曲线绕 Z 轴旋转,会得到一张回转面;如图;
参数表达式:
)(
]2,0[sin)(
cos)(
uzz
wwuxy
wuxx
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参数曲面的定义 3 、双三次参数曲面片的代数形式
- 定义:两个三次参数变量定义的曲面片;应用最广泛的一种面片;- 代数形式:- 矩阵表示:
- 若已知四个角点坐标及其切矢量,则该面片边界线的代数形式: 1 ) 2 )
3
0
3
0
]1,0[,,),(j
jiij
i
wuwuawuP
00010203
10111213
20212223
30313233
2323 1,1
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
wwwWuuuUUAWP T
;,0 00102
203
300 auauauapw u
);()(
)()(
,1
0001020310111213
220212223
3303132331
aaaauaaaa
uaaaauaaaap
w
u
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参数曲面的定义
3 ) 4 )
4 、双三次参数曲面片的几何形式- 1 )几何表示是基于其代数表示和 边界条件:
A. 4 个角点位置矢量 B. 角点处的 8 个切点 A 、 B 共同定义边界曲线(如图:)
;,0 00012
023
030 awawawapu w
).()(
)()(,1
0010203001112131
202122232
3031323331
aaaawaaaa
waaaawaaaapu w
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参数曲面的定义- 2 )边界曲线表达式:
F 与 Hermite 曲线的调和函数相同;- 3 )求辅助线(如图);对曲线 作 u 向切矢,可以得到一条辅助线:
类似的,另外三条辅助曲线:钮矢:其中 是曲面片角点处的扭矢;
双三次曲面片上任一点的扭矢满足:
Twww
Twww
Tuuu
Tuuu
ppppFpppppFp
ppppFpppppFp
][][
][][
111011101010001000
110111011100010000
wp0
Tuwuwuuuw ppppFp ][ 000001000
wu
wu
uw ppp 101 ,,uwuwuwuw pppp 11100100 ,,,
wuij
uwij pp
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参数曲面的定义- 4 )由边界曲线和辅助线,构造双三次参数曲面片,其几何系数矩阵为:
其中: 左上角子阵:矩形域的角点位置矢量; 左下角子阵:角点在 u 向的切矢; 右上角子阵:角点在 w 向的切矢; 右下角子阵:角点的钮矢;
- 5 )求 : 曲面点 pi,j 可看成曲线 Piw 和 Puj的交点,也是求一个给定参数值的参数曲线上的一点。对于两条曲线,首先确定其几何系数 ,进而求
uwuwuu
uwuwuu
ww
ww
pppp
pppp
pppp
pppp
11101110
01000000
11101010
00000100
jip ,
jip ,
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参数曲面的定义 A :确定几何系数
设从曲线 开始,确定其几何系数:
B :求 由 边界曲线,求
由 边界曲线,求
由 辅助曲线,求
由 辅助曲线,求
上式中系数: 是 的简写;
wip ,wi
wiii pppp 101,0, ,,,
jip ,
0up ;: 10400310200100uu
ii PFPFPFPFpp
1up
wup 0
wup 1
;: 11401311201111uu
ii PFPFPFPFpp
;: 10400310200100uwuwwww
iwi PFPFPFPFpp
uwuwwwwi
wi PFPFPFPFPP 11401311201111 :
4321 ,,, FFFF )(),(),(),( 4321 iiii uFuFuFuF
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参数曲面的定义- 6 )几何表示的矩阵式:
由上述四式求得 曲线的几何系数后,则点 点 处的 :
令 ,则双三次参数曲面片的几何和表示的矩阵式为:
此处: M 和三次 Hermite 曲线的系数矩阵相同 -》
iwp jw ijp
)()(
)(
)(
)(
)(
])()()()([
)()()()(
4
3
2
1
11101110
01000100
11101110
01000100
4321
14031201
wBFuF
wF
wF
wF
wF
pppp
pppp
pppp
pppp
uFuFuFuF
PwFPwFPwFPwFp
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j
j
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uwuwuu
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ww
iiii
wij
wijijijij
WMwFUMuF )(,)(]10[,, wuWUMBMP TT
TwwwWuuuU ]1[],1[ 2323
0001
0100
1233
1122
M
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参数曲面的定义- 7 )代数形式和几何形式间的关系:
由 定义的双三次参数曲面称为 Hermite 曲面或 Ferguson 曲面;
基于式 6-3-2: 和 6-3-1:
可得双三次参数曲面代数形式和几何形式之间的关系:
构造参数曲面的主要任务:构造其几何系数矩阵 B 。
5 、双三次参数曲面的切矢和钮矢- 1 ) U 向切矢:- 2 ) w 向切矢:- 3 )钮 矢:
]10[,, wuWUMBMP TT
TTwuuwTuuw
TTwwTww
TTwuTuu
WMBUMpwBFuFwup
WMUMBpwBFuFwup
WMUMBpwBFuFwup
)(,)()(),(
)(,)()(),(
)(,)()(),(
即:
即:
即:
TT AMMBMBMA 1
]10[,, wuWUMBMP TT TUAWP
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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参数曲面的重新参数化 1 、参数方向变反
- 最简单形式:把参数变量u 或 / 和 w 的方向变反;
- 此方式不改变曲面片的形状;
- 如图,表示对一个曲面片改变参数方向的三种情况:
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参数曲面的重新参数化- 初始曲面片如图 a ,其几何系数 Ba :
- 若参数 U 方向取反-》相应法矢方向也取反,几何系数为 Bb:- 若参数 w 方向取反-》相应法矢方向也取反,几何系数为 Bc:- 若 u,w 方向均取反-》相应法矢方向不变,几何系数如 Bd :
uwuwuu
uwuwuu
ww
ww
d
uwuwuu
uwuwuu
ww
ww
c
uwuwuu
uwuwuu
ww
ww
b
uwuwuu
uwuwuu
ww
ww
a
pppp
pppp
pppp
pppp
B
pppp
pppp
pppp
pppp
B
pppp
pppp
pppp
pppp
B
pppp
pppp
pppp
pppp
B
00010001
10111011
00010001
10111011
10111011
00010001
10111011
00010001
01000100
11101110
01000100
11101110
11101110
01000100
11101110
01000100
,
;
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参数曲面的重新参数化 2 、重新参数化的一般形式
- 一般情况如图(下页)所示:- 图 a所示曲面片参数区间从 变到 ,从 变到 ;其几何系数 B1 ;
- 图 b 参数区间从 变到 ,从 变到 ;其几何系数 B2 ;
- 对 B1 , B2 两张曲面片,角点位置应重合,即:
- 若要求两张曲面片的参数方程仍是双三次,要求 u 和 t, w 和 v 是线性关系:
iu ju kw lw
it jt kv lv
uwjl
uwjk
ujl
ujk
uwil
uwik
uil
uik
wjl
wjkjljk
wil
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uwjl
uwjk
wjl
wjk
wil
uwik
uil
uik
wjl
wjkjljk
wil
wikikik
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qqqq
qqqq
qqqq
B
pppp
pppp
pppp
pppp
B 21 ,
jljljkjkililikik pqpqpqpq ,,,
uw
ktij
ktijtvw
kl
klvu
ij
ijt pvvtt
wwuuqp
vv
wwqp
tt
uuq
))((
))((,,
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参数曲面的重新参数化 3 、参数曲面片的分割
- 给定参数曲面片,几何系数矩阵 B1 ;- 要求其子曲面片的几何系数为矩阵 B2 ;边界由 及 定义的参数曲线,如图:
ji uu , tk ww ,
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参数曲面的重新参数化- 对于新面片,角点有如下关系:
其中 P 矢量是 B1 的元素, q 矢量是 B2 的元素;- 若令 ,则相应切矢和扭矢如下表示:
- 由上述 16 个表达式可以构造分割后子曲面片的几何系数矩阵 B2 ;
jliljkik pqpqpqpq 11011000 ,,,
1,1 0101 vvtt
,))((,))((
,))((,))((
,)(,)(
,)(,)(
,)(,)(
,)(,)(
1101
1000
1111
0101
1010
0000
uwilklij
tvuwilklij
tv
uwikklij
tvuwikklij
tv
wjlkl
vujlij
t
wilkl
vuilij
t
wjkkl
vujkij
t
wikkl
vuikij
t
pwwuuqpwwuuq
pwwuuqpwwuuq
pwwqpuuq
pwwqpuuq
pwwqpuuq
pwwqpuuq
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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平面、二次曲面和直纹面 1 、平面
- 最简洁的参数表示形式(如图):
- 其代数形式是双三次曲面片代数形式的退化表示,即:
- 其中:说明该平面片过 且平行于 r,s 矢量。其相应的几何形式为:
角点:
U 向切矢:W 向切矢:扭矢:
由此四个参数表示的几何参数矩阵:
];1,0[,,),( 00 wuwsurpwup
011000),( wauaawup ,,, 01100000 sarapa
00p
srpprpp
spppp
00110010
00010000
,
,,
rpppp uuuu 11100100
spppp wwww 11100100
011100100 uwuwuwuw pppp
00
000000
0000
rr
rr
sssrprp
ssspp
B
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平面、二次曲面和直纹面 2 、二次曲面
- 球体、柱体、锥体都属于二次曲面家族;- 二次曲面用二次( x,y 或 z )方程定义;- 几何表示定义参数下表所示,对应图 6.3.11
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平面、二次曲面和直纹面- 二次曲面的代数式定义:
- 写成矩阵:
- 上式化简可消去一次项,可得 :
- 即: -》二次曲面的判断式;- 若 则方程表示一个球面,其半径为:
0222 kJzHyGxFxzEyzDxyCzByAx
KJHG
JCEF
HEBD
GFDA
szyxX
XSX T
2
2
2
2
2
1],1[
0 其中:
0
000
000
000
000
TX
k
a
X
kzyx 222 0 2/1)/( ak
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平面、二次曲面和直纹面- 其余情况见下图:
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平面、二次曲面和直纹面 3 、直纹面
- 定义: 绕面上任一点的面法矢旋转含该法矢的平面,如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠,则此面在一个方向上是直纹面(如图:)。
如在多个方向上该平面边和此面重叠,则此面在该点有多个直纹;
最简单的直纹面是平面; 二次曲面中的圆锥(台)面和圆柱面是单直纹面;
一张双曲面和双曲抛物面是双直纹面; 直纹面可看作是对两条已知边界曲线的线性插值;
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平面、二次曲面和直纹面- 直纹面表示:
已知两条边界曲线式: 则直纹面为:
- 注意: 曲面的角点和边界曲线的端点重合; 直纹面的边界和线性插值边界重合: 即:
- 若已知: ,直纹面可以写成:
- 直纹面例子如图所示:
)1,()0,( upup
1
0]21[,)1,()1)(0,(),(u
u
p
pwQwupwupwuQ
11000000 uuuu PQPQPQ
ww PP 10 ,
w
www p
puuuPuPQ
1
010 ]1[)1(
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平面、二次曲面和直纹面 4 、双线性曲面
- 单位正方形的参数空间内,以其相反边界进行线性插值而获得的面;
- 如图 ,设任一点的参数坐标:
- 其矩阵形式:
- 角点:
- 如给定四个三维点,则用上式插值得到的双线性曲面也是三维的;
- 如给定单位立方体不共面的四个点,则双线性插值面为双曲抛物面,如图:
,)1()1()1)(1( 11100100 uwpwupwupwuPQuw
w
w
pp
ppuuQuw
1]1[
1110
0100
,,,, 1111101001010000 PQPQPQPQ
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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Bezier曲面 1 、定义
- 基于 Bezier 曲线,能给出 Bezier 曲面的定义和性质, Bezier 曲线中的一些算法可以扩展到 Bezier 曲面的情况。
- 曲面定义:设 为 个空间点列,则 次 Bezier 曲面定义为:
- 基函数:式中 为 Bernstein 基函数;
- 特征网格:依次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格为特征网格;
- Bezier 曲面的矩阵表示:
- 实际应用中 m,n 小于 4 ;
),,1,0;,,1,0( mjnipij )1()1( mnnm
m
i
n
jijnjmi pwBuBwuS
0 0,, )()(),(
jnjjnnj
imiimmi wwCwBuuCuB )1()(,)1()( ,,
),,1,0;,,1,0( mjnipij
)(
)(
)(
)](,),(),([),(
,
,1
,0
10
11110
00100
,,1,0
wB
wB
wB
ppp
ppp
ppp
uBuBuBwuS
mn
m
m
nmnn
m
m
nmnn
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Bezier曲面- 1 )双线性 Bezier 曲面:
定义:
上式定义了一张双线性 Bezier 曲面; 如果已知四个角点,则:
- 2 )双二次 Bezier 曲面: 定义:
上式定义的曲面,其边界曲线及其参数坐标曲线均为抛物线;- 3 )双三次 Bezier 曲面:
定义:
]1,0[,)()(),(,11
0
1
01,1,
wupwBuBwuSnmi j
ijji时当
11100100 )1()1()1)(1(),( uwppwuwpupuwwuS
]1,0[,,)()(),(,22
0
2
0,2,2,
wupwBuBwuSnmi j
jiji时当
]1,0[,)()(),(,33
0
3
03,3,
wupwBuBwuSnmi j
ijji时当
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Bezier曲面 上式的矩阵形式:
双三次 Bezier 曲面如图所示-》
0001
0033
0363
1331
],1[],1[
),(
)(
)(
)(
)(
])()()()([),(
2323
3,3
3,2
3,1
3,0
33323130
23222120
13121110
03020100
3,33,23,13,0
z
TTzzz
MwwwWuuuU
WMBUMwuS
wB
wB
wB
wB
pppp
pppp
pppp
pppp
uBuBuBuBwuS
其中:
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Bezier曲面
式中参数阵 的作用:- 1 ) 是曲面特征网格 16 个控制顶点的几何位置矩阵,其中
在曲面片的角点处;
- 2 ) 阵四周的 12 个控制点定义四条 Bezier 曲线,即曲面片的边界曲线;
- 3 ) 阵中央的四个控制点 与边界曲线无关,但也影响曲面的形状;
zB
zB
33300300 pppp ,,,
zB
zB 22211211 pppp ,,,
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Bezier曲面 2 、 Bezier 曲面片的拼接
- 已知两张双三次 Bezier 曲面片:
- 令:
- 相应特征网格如图:- 1 ) 达到 连续此时:
]1,0[,),(
),(
22
11
wu
WMBUMwuS
WMBUMwuSTT
zzz
TTzzz
)3,2,1,0,(
)3,2,1,0,(
2
1
jiQB
jipB
ijz
ijz
21,SS 0C
]1,0[.3,2,1,0][][]1111[]1000[
]1111[]1000[),0(),1(
132012
1221
wiPQBMBM
WMBMWMBMwSwS
iizzzz
TTzzz
TTzzz
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Bezier曲面- 2 ) 达到 连续此时在 区间, 在 处的切矢 和 在 处的切矢必须相同,即两个曲面在公共边界处的法矢必须连续,其表达式为:
分为两种情况讨论:a)设
将位置矢量和 代入上式有:
表示这四串点列应位于同一条直线上;
21,SS 1C
),1(),1()(),0(),0( 1122 wSwSwwSwS wuwu
]1,0[w1S 1u 2S 0u
12
12
12
]0123)[(]0100[
]1,0[),,1()(),0(
),1(),0(
zzzz
uu
ww
BMwBM
wwSwwS
wSwS
ZM
21201312
12132021
][,][][,][
0)(
3,2,1,0),][])([(][][
iiii
iiii
QQpp
w
ippwQQ
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Bezier曲面
b)设:
说明过 边界曲线上的一点作切平面,则 上的 应位于此切平面内,式中 为任意正数, 是 w 的一次方程;
]1,0[),1()(),1()(),0( 112 wwSwrwSwwS wuu
1S 2S ),0(2 wS)(w )(wr
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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B 样条曲面 1 、定义
- 曲面定义:基于均匀 B 样条的定义和性质,可得 B 样条曲面的定义;设有 个空间点列 ,则
定义了 k×l 次 B 样条曲面;
- 基函数:式中 分别为 k 次和 l 次的 B 样条基函数。
- 特征网格:有 组成的空间网格称为 B 样条曲面的特征网络;- 矩阵表示:
式中 y,z 分别表示在 u,v 参数 方向上曲面片的个数:
是某个 B 样条面片的控制点编号;
)1)(1( nm ),,1,0;,,1,0( njmiPij
m
i
n
jljkiij vuvNuNPvuS
0 0,, ]1,0[,),()(),(
)(),( ,, vNuN ljki
ijP
]1,0[,],2:1[],2:1[
,),(
vulnzkmy
VMPMUwuS Tl
Tlklkkyz
]2:1[],2:1[,
]1,,,,[],1,,,,[ 1221
lzzjkyyiPP
vvvVuuuU
ijkl
lll
kkk
klP
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B 样条曲面- 最常用的 B 样条曲面是二次、三次 B 样条曲面;- 1 )均匀双二次 B 样条曲面:
已知曲面的控制点
则构造步骤:( 1 )沿 v 或 u 向构造均匀二次 B 样条曲线,有:
2,1,0,,),2,1,0,( lkvuvujiPij 且参数
TTB
TTB
TTB
B
VMPPPvPVMPPPvP
VMPPPvP
P
P
P
VM
P
P
P
vvvP
][)(,][)(
][)(
011
022
121
]1[)(
22212021211101
0201000
02
01
00
02
01
002
0
同上可得:
转置后:
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B 样条曲面
ijP ijPijP
( 2 )再沿 u 或 v 向构造均匀二次 B 样条曲线,即可得均匀双二次 B样条曲面:
- 2 )均匀双三次 B 样条曲面: 已知曲面的控制点 构造步骤: ( 1 )沿 v 或 u 向构造均匀三次 B 样条曲线( i=0,1,2,3 ),有:
TTBB
TTBBB
VPMUMvuS
VM
PPP
PPP
PPP
UM
vP
vP
vP
UMvuS
),(
)(
)(
)(
),(
222120
121110
020100
2
1
0
简记为:
1,0,,),32,1,0,( vuvujiPij 且参数,
TTB
TTB
TTB
TTB
VMPPPPvPVMPPPPvP
VMPPPPvPVMPPPPvP
][)(,][)(
][)(,][)(
333231303232221202
131211101030201000
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B 样条曲面 ( 2 )再沿 u 或 v 向构造均匀三次 B 样条曲线,即可得均匀双三次 B样条曲面:
可认为是顶点沿 滑动,每组顶点对应相同的 v ,当v 由 0 到 1 连续变化,即形成 B 样条曲线;
0141
0303
0363
1331
6
1
,
)(
)(
)(
)(
),(
33323130
23222120
13121110
03020100
3
2
1
0
B
TTBBB
M
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
PVPMUM
vP
vP
vP
vP
UMvuS
)(vpi
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B 样条曲面 3 、反求均匀 B 样条曲面的控制点
- 已知型值点:- 求相应均匀双三次 B 样条曲面的控制点列:
- 1 )双向曲线反算法: ( 1 )求特征多边形- 对 u 向的 m 组型值点,按照 B 样条曲线的边界条件以及反算公式,求得由 m 组 B 样条曲线构成的特征多边形,顶点为:
( 2 )求特征网格控制点- 每条曲线均要加两个边界条件-》可得 (n+2)×m 个特征网格控制点- 把边 Vi,j 看作是 v 向的 m 组型值点,再作 (n+1) 次 B 样条曲线反算,即可得双三次 B 样条曲面的特征网格控制点:
),,2,1;,,2,1( mjniQij
)1,,2,1,0;1,,1,0( mjniPij
),,2,1;1,,1,0( mjniVij
)1,,2,1,0;1,,1,0( mjniPij
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B 样条曲面- 2 )广义矩阵法:
以均匀双三次B 样条曲面为例:
QUVUVUVP
P
QVUP
UPVQ
PPvNVuNUQQ
vuvNuNP
vuSmsnrQ
TT
ijjirs
n
i
m
jjiij
srrs
1
11
3,3,
0 03,3,
)(
:
VU
VU
][),(),(],[
]1,0[,)()(
),(),,2,1;,2,1(
求则可以通过广义逆矩阵不一定为方阵,、若考虑边界条件,
存在逆矩阵是正定矩阵,则上式可写为:
令
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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Coons 曲面
Coons曲面 1964年,美国麻省理工学院 S.A.Coons提出一种曲面分片、拼合造型的思想, Bezier曲面和 B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格, Coons曲面的特点是插值,即通过满足给定的边界条件的方法构造 Coons曲面 Coons曲面的特点
属于构造插值曲面的方法,曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁,用于构造给定型值点的曲面,不适用于进行曲面设计。原因:在曲面设计的初级阶段,设计者对其所设计产品的外形仅有粗略的概念。为得到满意的外形,需要不断地修改型值点的位置。
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Coons 曲面
由于扭矢的几何意义不明显,设计人员难以把握,难以提供精确的角点信息,使曲面的形状不易控制
不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状,而其形状变化又难以预测
- 基本概念假定参数曲面方程为 P(u, v), u,v€[0, 1]曲面片的四条边界
- P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v)曲面片的四个角点
- P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1)
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Coons 曲面
边界线 P(u,0)上的切矢: 同理: Pu(u,1), Pv(0,v), Pv(1,v)也是边界线上的切矢 边界曲线的跨界切矢 : 边界曲线 P(u,0)上的法向(指参数 v向 )偏导矢 同理, Pv(u,1), Pu(0,v), Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢
u线和 v线上的切矢: P(u,v)的 u向和 v向求偏导矢:
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Coons 曲面
混合偏导矢或扭矢 : 反映 Pu对 v的变化率或 Pv对 u
的变化率
角点 P(0,0)的扭矢 : 曲面片上的每个角点都有这样 的扭矢
角点 P(0,0)的 u向和 v向切矢 :在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量
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Coons 曲面
双线性 Coons曲面 如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线 P(u,0),P(u,1),
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Coons 曲面
问题的解有无穷多个,看一种最简单的情况。首先,在 u向进行线性插值,可以得到以 P(0,v)和 P(1,v)为边界的直纹面 P1(u,v) :
再在 v向进行线性插值,可以得到以 P(u,0)和 P(u,1) 为边界的直纹面 P2
(u,v):
如果把 P1(u,v)和 P2(u,v)叠加,产生的新曲面的边界是除给定的边界外,迭加了四条连接边界两个端点的直边。为此,再构造分别过端点 P(0,0)、
P(0,1)及 P(1,0)、 P(1,1)的直线段:
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Coons 曲面
然后,以这两条直线段为边界,构造直纹面 P3(u,v):
P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v), u,v€[0,1] 便是所要求构造的面 (四条直线边界被减掉 ),称之为双线性 Coons曲面片。 P(u,v)可进一步改写成矩阵的形式:
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Coons 曲面
右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息,称之为边界信息矩阵,其右下角二阶子块的四个矢量是曲面边界的端点,称之为曲面的角点。用双线性 Coons曲面片来进行曲面拼合时,可以自动保证整张曲面在边界的位置连续
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Coons 曲面
双三次 Coons曲面 双线性 Coons曲面能够自动保证各曲面片边界位置连续,曲面片边界的跨界切矢是否也同样连续?对 (3.1.20)对 v求偏导后,代入 v=0,可得的跨界切矢: (计算略 )
可见,跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关,还与该边界曲线有关。因此,双线性 Coons曲面在曲面片的边界上,跨界切矢一般不连续,也就是说,不能达到曲面片的光滑拼接
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Coons 曲面
四条边界曲线的跨界切矢为:
不妨取 Hermite基函数 F0, F1, G0, G1作为调和函数,以类似于双线性 Coon
s曲面的构造方法,构造双三次 Coons曲面。在 u向可得曲面 P1(u,v):
为构造光滑拼接的 Coons曲面,除了给定边界信息外,还要给定边界的跨界切矢。也就是说,构造出的 Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界,还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为:
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Coons 曲面
在 v向可得曲面 P2(u,v):
对角点的数据进行插值,可得曲面 P3(u,v):
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Coons 曲面
跨界切矢就是已经给定的四条边界曲线和四条边界曲线的跨界切矢,称为双三次 Coons曲面片。 P(u,v)改成矩阵的形式为:
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Coons 曲面
- 在式 (3.1.21)右边的五阶方阵 (即边界信息矩阵 )中,第一行与第一列包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢,剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成,包括角点的位置矢量、切矢及扭矢
- 观察方程 (3.1.20)与 (3.1.21),可以发现:对曲面片满足边界条件的要求提高一阶,曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶,并且要多用一对调和函数;边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息;余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后,就能容易地构造出满足更高阶边界条件的 Coons曲面方程
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常用的参数曲线
参数曲面的定义参数曲面的重新参数化平面、二次曲面和直纹面 Bezier 曲面 B 样条曲面 Coons 曲面常用双三次参数曲面的等价表示
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常用双三次参数曲面的等价表示已知:双三次 Hermite, Bezier, B 样条曲面的矩阵表达:
0141
0303
0363
1331
6
1,
0001
0033
0363
1331
,
0001
0100
1233
1122
),(
),(
),(
Bz
H
TTBBBB
TTzzzz
TTHHHH
MM
M
WMBUMvuS
WMBUMvuS
WMBUMvuS
其中:
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常用双三次参数曲面的等价表示问题:已知上述三种表示形式的一种,求其它二种:
- 1 )已知 Bezier 表示,求 Hermite 和 B 样条表示的 和 : 对同一张曲面,有:
则
- 2 )已知 Hermite 表示,求 Bezier 和 B 样条表示的 和 : 对同一张曲面,有:
则
- 3 )已知 B 样条表示,求 Bezier 和 Hermite 表示的 和 : 对同一张曲面 则
Tzzz
TBBB
Tzzz
THHH MBMMBMMBMMBM
TB
TzzzBB
TH
TzzzHH MMBMMBMMBMMB 11
BBZB
THHH
TBBB
THHH
Tzzz MBMMBMMBMMBM
TB
THHHBB
TZ
THHHZZ MMBMMBMMBMMB 11
HBZBTBBB
THHH
TBBB
Tzzz MBMMBMMBMMBM
TH
TBBBHH
TZ
TBBBZZ MMBMMBMMBMMB 11
BBHB
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谢谢 !