Талалай П.Г. - Компьютерный курс начертательной...
590
-
Upload
remcardava -
Category
Documents
-
view
337 -
download
30
Transcript of Талалай П.Г. - Компьютерный курс начертательной...
Павел Талалай
Санкт-Петербург
«БХВ-Петербург»
2010
УДК 681.3.06
ББК 32.973.26-018.2
Т16
Талалай П. Г.
Т16 Компьютерный курс начертательной геометрии на базе КОМПАС-3D. —
СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — 608 с.: ил.
ISBN 978-5-9775-0440-9
Книга посвящена изучению одной из базовых дисциплин политехнического образова-
ния — начертательной геометрии. В качестве инструмента для решения задач предложена
система автоматизированного проектирования КОМПАС-3D. Подробно рассмотрены вопро-
сы создания двумерных чертежей и работа с геометрическими примитивами в модуле плос-
кого черчения КОМПАС-График, а также современные методы трехмерного моделирования
и создания ассоциативных чертежей. На примере моделирования листовых тел решена задача
построения разверток. Большое внимание уделено способам и методам выполнения изображе-
ний различных объектов при помощи ортогонального проецирования, линейной перспективы,
проекций с числовыми отметками, аксонометрических проекций. Все разделы снабжены при-
мерами и задачами, решенными в системе КОМПАС-3D.
Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов и техникумов
УДК 681.3.06
ББК 32.973.26-018.2
Группа подготовки издания:
Главный редактор Екатерина Кондукова
Зав. редакцией Григорий Добин
Редактор Анна Кузьмина
Компьютерная верстка Натальи Караваевой
Корректор Виктория Пиотровская
Дизайн серии Инны Тачиной
Оформление обложки Елены Беляевой
Зав. производством Николай Тверских
Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 30.09.09. Формат 70 100
1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 49,02.
Тираж 2000 экз. Заказ № "БХВ-Петербург", 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.
Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию № 77.99.60.953.Д.005770.05.09 от 26.05.2009 г. выдано Федеральной службой
по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП "Типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
ISBN 978-5-9775-0440-9 © Талалай П. Г., 2009
© Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2009
Оглавление
Введение .................................................................................................................. 1
Немного истории ..................................................................................................... 1
Начертательная геометрия и компьютерная графика ......................................... 3
Принятые обозначения и символы ........................................................................ 5
Условные обозначения на эпюрах и чертежах ................................................. 5
Графические обозначения на эпюрах и чертежах ............................................ 6
Математические символы .................................................................................. 6
Глава 1. Объекты и программные средства автоматизированного
проектирования .................................................................................... 9
1.1. Объекты автоматизированного проектирования .......................................... 9
1.2. Векторные и растровые изображения .......................................................... 11
1.3. Двумерное и трехмерное проектирование .................................................. 13
1.4. Типы систем автоматизированного проектирования ................................. 14
1.5. КОМПАС-3D: системные требования, типы документов
и форматы файлов .......................................................................................... 15
Глава 2. Создание электронного чертежа ...................................................... 19
2.1. Начало и окончание работы с КОМПАС-График ...................................... 19
2.2. Создание и сохранение нового документа типа Чертеж ......................... 22
2.3. Основные элементы интерфейса .................................................................. 26
2.4. Форматы и основные надписи ...................................................................... 33
2.5. Виды и масштабы .......................................................................................... 38
Глава 3. Чертежные инструменты электронного кульмана ...................... 45
3.1. Управление курсором .................................................................................... 45
3.1.1. Перемещение и вид курсора................................................................... 45
3.1.2. Привязки .................................................................................................. 46
3.1.3. Сетка ......................................................................................................... 49
3.2. Управляющие клавиши ................................................................................. 50
Оглавление IV
3.3. Работа с геометрическими объектами ......................................................... 52
3.3.1. Основные принципы создания геометрических объектов .................. 52
3.3.2. Нанесение осевых и центровых линий.................................................. 64
3.4. Ввод текстовых надписей и шрифты ........................................................... 68
3.5. Общие приемы выделения и редактирования объектов ............................ 72
3.5.1. Выделение объектов ............................................................................... 72
3.5.2. Редактирование ....................................................................................... 72
3.5.3. Удаление объектов и измерения ............................................................ 74
3.6. Печать чертежа ............................................................................................... 75
Глава 4. Образование проекций ...................................................................... 79
4.1. Методы проецирования ................................................................................. 79
4.2. Эпюр. Проецирование точки ........................................................................ 82
4.3. Точки общего и частного положения .......................................................... 96
4.4. Четверти и октанты ........................................................................................ 99
4.5. Симметричные точки................................................................................... 103
Глава 5. Проецирование прямой линии ....................................................... 107
5.1. Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой ................................. 107
5.2. Прямые частного положения ...................................................................... 111
5.2.1. Прямые уровня ...................................................................................... 111
5.2.2. Проецирующие прямые ........................................................................ 113
5.3. Определение натуральной величины отрезка прямой методом
прямоугольного треугольника .................................................................... 115
5.4. Следы прямой ............................................................................................... 119
5.5. Взаимное положение двух прямых ............................................................ 123
Глава 6. Проецирование плоскости .............................................................. 125
6.1. Способы задания плоскости ....................................................................... 125
6.1.1. Общие случаи задания плоскости ....................................................... 125
6.1.2. Плоские фигуры .................................................................................... 127
6.1.3. Следы плоскости ................................................................................... 129
6.2. Плоскости частного положения ................................................................. 130
6.2.1. Проецирующие плоскости ................................................................... 130
6.2.2. Плоскости уровня .................................................................................. 134
6.3. Проецирование плоских углов ................................................................... 136
6.4. Прямая в плоскости ..................................................................................... 138
6.4.1. Общие случаи принадлежности прямой плоскости ........................... 138
6.4.2. Прямая в плоскости частного положения ........................................... 142
6.4.3. Прямые частного положения в плоскости .......................................... 144
6.5. Точка в плоскости ........................................................................................ 149
Оглавление V
Глава 7. Позиционные задачи с прямой и плоскостью
или с двумя плоскостями................................................................... 153
7.1. Взаимное положение прямой и плоскости или двух плоскостей ........... 153
7.2. Прямая, параллельная плоскости ............................................................... 154
7.3. Параллельные плоскости ............................................................................ 156
7.4. Пересекающиеся плоскости ........................................................................ 158
7.5. Прямая, пересекающая плоскость .............................................................. 163
7.6. Определение взаимной видимости геометрических элементов .............. 165
7.7. Пересечение плоских фигур ....................................................................... 169
7.8. Прямая, перпендикулярная плоскости ...................................................... 174
7.9. Взаимно перпендикулярные плоскости ..................................................... 177
Глава 8. Способы преобразования проекций .............................................. 181
8.1. Общие сведения о способах преобразования проекций .......................... 181
8.2. Способ вращения ......................................................................................... 181
8.2.1. Основы способа вращения ................................................................... 181
8.2.2. Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций ...... 182
8.2.3. Плоскопараллельное перемещение ..................................................... 189
8.2.4. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций ............... 190
8.2.5. Способ совмещения (вращение плоскости вокруг одного
из ее следов) ........................................................................................... 195
8.3. Метод перемены плоскостей проекций ..................................................... 200
8.3.1. Основы метода перемены плоскостей проекций ............................... 200
8.3.2. Примеры решения задач методом перемены плоскостей
проекций ................................................................................................. 202
8.4. Определение истинной величины углов .................................................... 212
8.4.1. Произвольный плоский угол ................................................................ 212
8.4.2. Угол между прямой и плоскостью ...................................................... 213
8.4.3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями .......................... 215
Глава 9. Проекции с числовыми отметками ............................................... 219
9.1. Общие сведения. Проецирование точки .................................................... 219
9.2. Проецирование прямой ............................................................................... 221
9.2.1. Термины и определения ....................................................................... 221
9.2.2. Прямые частного положения ............................................................... 222
9.2.3. Градуирование отрезка прямой ........................................................... 223
9.3. Взаимное положение прямых ..................................................................... 228
9.4. Проецирование плоскости .......................................................................... 229
9.5. Взаимное положение плоскостей ............................................................... 232
9.6. Взаимное положение прямой и плоскости ................................................ 234
Оглавление VI
9.7. Построение перпендикуляра к плоскости и взаимно-
перпендикулярных плоскостей .................................................................. 237
9.7.1. Построение перпендикуляра к плоскости .......................................... 237
9.7.2. Построение взаимно-перпендикулярных плоскостей ....................... 239
9.8. Взаимосвязь проекций с числовыми отметками и эпюра ........................ 242
Глава 10. Основы линейной перспективы .................................................. 247
10.1. Сущность метода. Аппарат перспективы ................................................ 247
10.2. Перспектива точки ..................................................................................... 250
10.3. Перспектива прямой линии ...................................................................... 252
10.3.1. Прямая общего положения ................................................................. 252
10.3.2. Прямые частного положения ............................................................. 254
10.4. Взаимное положение прямых ................................................................... 256
10.4.1. Параллельные прямые ........................................................................ 256
10.4.2. Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые ................................. 259
10.5. Переход от эпюра к перспективе .............................................................. 259
10.5.1. Радиальный метод ............................................................................... 259
10.5.2. Метод архитекторов ............................................................................ 260
10.5.3. Композиция перспективы ................................................................... 265
Глава 11. Кривые линии ................................................................................. 271
11.1. Общие сведения о кривых линиях ........................................................... 271
11.2. Касательные к кривым линиям ................................................................. 275
11.3. Особые точки и кривизна кривой линии ................................................. 279
11.4. Построение лекальных кривых ................................................................ 282
11.4.1. Инструментарий для вычерчивания кривых
и касательных к ним ........................................................................... 282
11.4.2. Эволюта и эвольвента ......................................................................... 285
11.4.3. Кривые линии второго порядка ......................................................... 287
11.4.4. Кривые линии третьего порядка ........................................................ 296
11.4.5. Кривые линии четвертого порядка .................................................... 298
11.4.6. Спирали ................................................................................................ 300
11.4.7. Циклические кривые ........................................................................... 301
11.4.8. Графики тригонометрических функций ........................................... 305
11.4.9. Составные лекальные кривые ............................................................ 306
11.5. Циркульные кривые линии и сопряжения ............................................... 308
11.5.1. Окружность .......................................................................................... 308
11.5.2. Сопряжения .......................................................................................... 309
11.5.3. Коробовая линия ................................................................................. 317
11.5.4. Фигуры, ограниченные циркульными кривыми .............................. 319
Оглавление VII
Глава 12. Аксонометрические проекции ..................................................... 323
12.1. Общие сведения об аксонометрических проекциях ............................... 323
12.2. Прямоугольные проекции ......................................................................... 326
12.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция ....................................... 326
12.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция ......................................... 330
12.3. Косоугольные проекции ............................................................................ 333
12.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция ................... 333
12.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция ............... 334
12.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция ..................... 335
Глава 13. Введение в трехмерное моделирование ...................................... 339
13.1. Создание нового документа типа Деталь и основные элементы
интерфейса ........................................................................................................... 339
13.2. Настройка параметров текущей детали ................................................... 348
3.3. Стратегия трехмерного моделирования .................................................... 350
3.3.1. Порядок моделирования и первый формообразующий элемент ...... 350
3.3.2. Эскизы и общие требования к ним ...................................................... 354
3.3.3. Формообразующие операции ............................................................... 355
3.3.4. Булевы операции ................................................................................... 359
13.4. Редактирование эскиза и операции .......................................................... 361
13.5. Параметризация эскиза ............................................................................. 363
13.6. Вспомогательная геометрия и пространственные кривые .................... 366
13.7. Выбор объектов .......................................................................................... 369
13.8. Простые и сложные разрезы ..................................................................... 371
13.9. Ассоциативный чертеж модели ................................................................ 372
Глава 14. Многогранники ............................................................................... 377
14.1. Общие сведения о геометрических телах и многогранниках ................ 377
14.2. Пирамида и бипирамида ........................................................................... 385
14.3. Призма и призматоид ................................................................................ 389
14.3.1. Призма .................................................................................................. 389
14.3.2. Параллелепипед ................................................................................... 391
14.3.3. Призматоид .......................................................................................... 392
14.3.4. Антипризма .......................................................................................... 392
14.4. Правильные многогранники ..................................................................... 396
14.4.1. Тетраэдр ............................................................................................... 397
14.4.2. Куб ........................................................................................................ 398
14.4.3. Октаэдр ................................................................................................. 399
14.4.4. Додекаэдр ............................................................................................. 399
14.4.5. Икосаэдр ............................................................................................... 401
14.5. Полуправильные многогранники ............................................................. 416
Оглавление VIII
Глава 15. Пространственные кривые ........................................................... 419
15.1. Общие сведения о пространственных кривых линиях ........................... 419
15.2. Винтовые линии ......................................................................................... 423
15.2.1. Свойства винтовых линий .................................................................. 423
15.2.2. Цилиндрическая винтовая линия ....................................................... 424
15.2.3. Коническая винтовая линия ............................................................... 426
15.2.4. Глобоидная винтовая линия ............................................................... 428
15.3. Пространственные кривые в системе КОМПАС-3D .............................. 428
15.3.1. Команды построения пространственных кривых ............................ 428
15.3.2. Спираль цилиндрическая ................................................................... 429
15.3.3. Спираль коническая ............................................................................ 430
15.3.4. Сплайн .................................................................................................. 431
Глава 16. Кривые поверхности ...................................................................... 437
16.1. Общие сведения о кривых поверхностях ................................................ 437
16.1.1. Образование и типы кривых поверхностей ...................................... 437
16.1.2. Кривые поверхности в системе КОМПАС-3D ................................. 440
16.2. Поверхности второго порядка .................................................................. 441
16.2.1. Общие сведения о поверхностях второго порядка .......................... 441
16.2.2. Эллипсоид ............................................................................................ 442
16.2.3. Гиперболоид ........................................................................................ 444
16.2.4. Параболоид .......................................................................................... 448
16.2.5. Цилиндрическая поверхность ............................................................ 451
16.2.6. Коническая поверхность..................................................................... 455
16.3. Поверхности вращения.............................................................................. 458
16.3.1. Общие сведения о поверхностях вращения ...................................... 458
16.3.2. Тор ........................................................................................................ 460
16.4. Поверхности с плоскостью параллелизма ............................................... 463
16.5. Поверхности с ребром возврата ............................................................... 465
16.6. Циклическая поверхность ......................................................................... 466
16.7. Графическая поверхность ......................................................................... 469
16.8. Поверхности переноса ............................................................................... 472
16.9. Винтовые поверхности .............................................................................. 472
Глава 17. Пересечения геометрических тел ................................................ 477
17.1. Пересечение геометрических тел плоскостью ........................................ 477
17.1.1. Общие сведения о пересечении геометрических тел
плоскостью ........................................................................................... 477
17.1.2. Пересечение многогранников плоскостью ....................................... 479
17.1.3. Пересечение тел с кривыми поверхностями плоскостью ............... 489
Оглавление IX
17.2. Пересечение прямой с поверхностью геометрического тела ................ 498
17.2.1. Пересечение прямой с поверхностью многогранника .................... 498
17.2.2. Пересечение прямой с кривой поверхностью .................................. 504
17.3. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел .................... 509
17.3.1. Общие сведения о пересечении геометрических тел ...................... 509
17.3.2. Взаимное пересечение поверхностей многогранников ................... 510
17.3.3. Взаимное пересечение кривой и многогранной поверхностей ...... 517
17.3.4. Взаимное пересечение кривых поверхностей .................................. 523
17.3.5. Примеры построения линии пересечения поверхностей
в системе КОМПАС-3D ...................................................................... 535
Глава 18. Развертывание поверхностей ....................................................... 539
18.1. Общие сведения о развертывании поверхностей ................................... 539
18.2. Развертывание многогранных поверхностей .......................................... 540
18.2.1. Развертывание поверхности пирамиды ............................................ 540
18.2.2. Развертывание поверхности призмы ................................................. 547
18.3. Развертывание линейчатых поверхностей .............................................. 555
18.3.1. Развертывание конической поверхности .......................................... 555
18.3.2. Развертывание цилиндрической поверхности .................................. 560
18.4. Условное развертывание поверхностей вращения ................................. 566
18.4.1. Способ вспомогательных цилиндров ................................................ 566
18.4.2. Способ вспомогательных конусов ..................................................... 568
18.5. Специальные приемы развертывания поверхностей в системе
КОМПАС-3D ....................................................................................................... 570
Заключение ........................................................................................................ 579
Предметный указатель .................................................................................... 585
"Прежде всего нужно приучить пользо-
ваться начертательной геометрией всех
способных молодых людей, как богатых,
для того чтобы они были в состоянии
употреблять свои капиталы с пользой —
равно для себя и для государства, так и
тех, у которых образование является един-
ственным богатством, чтобы они могли
увеличить цену своего труда".
Гаспар Монж (министр революционной
Франции). Из его книги "Начертательная
геометрия" (впервые издана в 1798 г.)
Введение
Немного истории
Потребность в отображении действительности появилась у человека давно.
Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного челове-
ка на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием чело-
вечества совершенствовалась и техника передачи различных символов
в виде письменности, рисунков, схем. В Древнем Китае, например, была разра-
ботана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению
соответствовал особый знак — иероглиф. В Древнем Египте при возведении
сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.
Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земель-
ных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны
в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны пер-
вые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования.
В "Началах" Евклида (рис. В1) содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях
"видения" предметов.
Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрож-
дения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерлан-
дов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый пе-
риод развития. К этому времени относится введение целого ряда основных
понятий метода проецирования. Леонардо да Винчи (1452—1519) как ученый
и инженер снабжал свои новаторские проекты оригинальными рисунками,
Введение 2
выполненными (в современной терминологии) при помощи аксонометриче-
ских проекций (рис. В2).
Особый вклад в развитие начертательной геометрии как науки внес немецкий
живописец и график, один из величайших мастеров западноевропейского ис-
кусства Альбрехт Дюрер (1471—1528). В его сочинениях изложены основы
геометрии и теория перспективы, подробно рассматривается учение о пра-
вильных многогранниках, предложена теория кривых линий. Свои геометри-
ческие исследования он перенес и в художественные композиции (рис. В3).
Рис. В1. Древнегреческий математик Эвклид (ок. 300 г. до н. э.) — автор "Начал",
базового учебника по геометрии в течение более чем двух тысячелетий
Рис. В2. Рисунок редукционного механизма Леонардо да Винчи
Рис. В3. Знаменитая гравюра А. Дюрера "Меланхолия" (1514 г.) с доминирующим в его левой части многогранником
Введение 3
С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленно-
сти к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требо-
вания, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний
по "теории изображений". Работа знаменитого французского геометра и ин-
женера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746—
1818) "Geometrie Descriptive" представляет собой первое систематическое
изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоско-
сти, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной на-
учной дисциплины (рис. В4).
Рис. В4. Г. Монж — основоположник современной начертательной геометрии
Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы
XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском
корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я. И. Севастья-
нов (1796—1849) в 1821 г. составил курс "Основания начертательной геомет-
рии", ставший классическим учебным пособием по этому предмету.
В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехни-
ческой дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было
бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной гео-
метрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают воз-
можность решать самые сложные проблемы в различных областях: машино-
строении, прикладных науках, химии, физике и др.
Начертательная геометрия и компьютерная графика
Поскольку предметом начертательной геометрии является изучение методов
построения различных пространственных форм на той или иной поверхно-
сти, ее возможности как науки значительно расширились с развитием вычис-
Введение 4
лительной техники и систем программирования. Широкое использование
персональных компьютеров в инженерной практике привело буквально
к перевороту в области выполнения чертежей и рождению новой дисцип-
лины — компьютерной графики, занимающейся созданием, хранением
и обработкой различных изображений при помощи электронно-вычисли-
тельных устройств.
В настоящее время компьютерная графика делится на две сферы. Первую
сферу можно условно назвать компьютерным дизайном и версткой. Она
направлена на создание двумерных, трехмерных, анимационных изображе-
ний, применяемых в полиграфии, Web-дизайне, рекламе, художественном
творчестве. Здесь используются известные программы CorelDraw, Photo-
shop, PageMaker и др.
Вторую сферу составляют системы автоматизированного проектирования
(САПР) или CAD1-системы — программные пакеты, предназначенные для
создания чертежей, трехмерных моделей, конструкторской, технологической
и других видов документации. Эти системы можно использовать для созда-
ния схем, рисунков, чертежей и в других областях инженерного образования
и творчества — при изучении и исследовании сопротивления материалов,
решении фундаментальных и прикладных задач механики, планировании
эксперимента, оптимизации технологических процессов и многом другом.
В книге, которую вы держите в руках, основные понятия начертательной
геометрии раскрыты средствами САПР. Таким образом, под одной обложкой
объединены сразу два раздела графических дисциплин — начертательная
геометрия и компьютерная графика САПР.
Здесь большое внимание уделено способам и методам выполнения изобра-
жений различных объектов при помощи ортогонального проецирования,
линейной перспективы и проекций с числовыми отметками. Для этого под-
робно рассмотрены вопросы создания двумерных чертежей и работе
с геометрическими примитивами в модуле плоского черчения КОМПАС-
График. Значительное внимание уделено трехмерному моделированию
сложных геометрических тел — многогранников и тел с кривыми поверхно-
стями. На примере моделирования листовых тел решена задача построения
разверток.
Книга снабжена большим количеством примеров и предметным указателем.
Прилагаемый компакт-диск содержит дистрибутив КОМПАС-3D LT, демо-
версию КОМПАС-3D V11 и папку Examples с примерами решенных в книге
задач по начертательной геометрии.
1 От англ. Computer-Aided Design — досл. проектирование при помощи компьютера.
Введение 5
Книга предназначена как для тех, кто только начинает изучать начертатель-
ную геометрию, так и для профессионалов — преподавателей, инженеров-
конструкторов, сотрудников проектных, научно-исследовательских институ-
тов и всех, кто желает расширить свои компьютерные навыки и умения.
В книге используются условные обозначения и математические символы,
являющиеся общепринятыми в современной учебной литературе по начерта-
тельной геометрии и инженерной графике. Объяснения используемых обо-
значений приведены далее.
Принятые обозначения и символы
Условные обозначения на эпюрах и чертежах
Обозначение Содержание
А, В, С, ..., а также 1, 2, 3, ... Точки в пространстве или на плоскости
а, b, c, ..., а также AB, CD, ... Линии в пространстве или на плоскости
, , , Плоскости, поверхности, углы
0 Произвольная плоскость проекций
1, 2, 3 Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости проекций
4, 5, ... Дополнительные плоскости проекций
x, y (y1 и y
3), z Координатные оси, оси проекций, аксонометри-
ческие оси
2/ 1, 1/ 4, ... Оси проекций при введении дополнительных плоскостей проекций
А0, В0, С0, ... или А1
0, А2
0, А3
0, ... Проекции точек на произвольную плоскость про-
екций
А , В , C , ...; A , B , C , ...;
A , B , C , ...
Проекции точек на горизонтальную, фронталь-ную и профильную плоскости проекций
AIV
, BIV
, CIV
, ...; AV, B
V, C
V, ... Проекции точек на дополнительные плоскости
проекций 4, 5, ...
0h , 0f , 0p Горизонтальный, фронтальный и профильный
следы плоскости
X , Y , Z Точки схода следов плоскости
А ,В ,С , ..., А , В , С , ... Проекции точек после первого и второго преоб-разований
Введение 6
(окончание)
Обозначение Содержание
0h , 0f , 0p , ...; 0h , 0f , 0p Следы плоскости после первого и второго преобразований
d, D, r, R Диаметры и радиусы окружностей или сфер
i, i , i Оси (вращения, симметрии и пр.) и их проекции
Графические обозначения на эпюрах и чертежах
Начертание Содержание
Точка
Видимый контур
Невидимый контур, линии проекционной связи
Вспомогательные построения, оси проекций, размерные и выносные линии, линии штриховки и т. д.
Знак перпендикулярности
Знак параллельности
Знак равных расстояний
Математические символы
Символ Содержание
(АВ) Прямая, проходящая через точки А и В
[АВ) Луч с началом в точке А
АВ Расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ)
[АВ] Отрезок прямой, ограниченный точками А и В
АВС Угол с вершиной в точке В
Введение 7
(окончание)
Символ Содержание
АВС Треугольник с вершинами в точках А, В и С
АВ Дуга, ограниченная точками А и В
= Результат геометрического построения, знак равенства
Знак совпадения геометрических объектов
Знак параллельности
Знак перпендикулярности
Знак принадлежности
Знак пересечения
Глава 1
Объекты и программные средства автоматизированного проектирования
1.1. Объекты автоматизированного
проектирования
Что такое проектирование? Точное и окончательное определение этого по-
нятия дать довольно трудно. Приведем несколько примеров определений.
Это "процесс создания проекта — прототипа, прообраза предполагаемого
или возможного объекта, состояния" (Большая советская энциклопедия, 3-е изд.,
1969—1979).
"Проектирование — деятельность, под которой в предельно сжатой характе-
ристике понимается промысливание того, что должно быть" (Социология:
Энциклопедия / Сост. А. А. Грицанов, В. Л. Абушенко, Г. М. Евелькин,
Г. Н. Соколова, О. В. Терещенко. — Минск: Книжный Дом, 2003. — 1312 с. —
(Серия: Мир энциклопедий)).
"Проектирование — процесс составления описания, необходимого для созда-
ния в заданных условиях еще не существующего объекта, на основе первично-
го описания данного объекта и (или) алгоритма его функционирования ..."
(ГОСТ 22487-77).
Таким образом, проектирование является сложным творческим процессом
деятельности человека, направленным на создание нечто нового и основан-
ным на научных знаниях и использовании практического опыта в определен-
ной сфере. Автоматизированное проектирование позволяет распределить
функции между человеком и компьютером. Человек должен решать задачи
творческого характера, а компьютер — задачи, допускающие формализован-
ное описание в виде математического алгоритма.
Глава 1 10
Объектами проектирования в САПР могут быть машины и механизмы, зда-
ния и сооружения, технологические процессы на любой стадии от разработки
технического предложения и эскизного проекта до создания рабочих доку-
ментов. Выделим следующие основные возможности САПР:
создание и оформление чертежей в соответствии с Единой системой кон-
структорской документации (ЕСКД);
выполнение чертежей и оформление рабочей документации в архитектур-
но-строительном проектировании и смежных отраслях;
автоматизация инженерных расчетов;
разработка данных для обработки деталей при помощи станков с число-
вым программным управлением (ЧПУ);
проектирование мебели и дизайн интерьеров;
проектирование систем контроля и управления, учета энергии, цепей вто-
ричной коммутации;
проектирование электрооборудования и выполнение электротехнических
расчетов;
проектирование печатных плат и других электронных компонентов;
создание документов в области геодезии, геологии, землеустройства, про-
ектирования генпланов;
проектирование автомобильных дорог;
планирование, проектирование и сопровождение горных работ.
В процессе проектирования с помощью САПР в качестве промежуточных
и окончательных решений могут быть получены отображения:
формы и геометрических параметров — плоские и объемные изображения
объектов проектирования (чертежи, схемы, трехмерные модели и т. д.);
структуры — кинематические, гидравлические, электронные и другие
схемы, маршрутные и операционные карты и др.;
временных и пространственных отношений — циклограммы, номограм-
мы, сетевые графики и т. д.;
систем функционирования — например, динамические и кинематические
схемы, выполненные в режиме анимации;
состояния объекта — формализованное математическое описание объекта
для расчетов его параметров, проведения численных экспериментов и др.;
цифрового прототипа, позволяющие имитировать разнообразные реаль-
ные ситуации, в которых может оказаться будущий объект проектирова-
ния (рис. 1.1).
Объекты и программные средства автоматизированного проектирования 11
Рис. 1.1. Цифровой прототип многофункционального экскаватора, разработанного компанией Mastenbroek Ltd. (еще до изготовления проверка показала,
что 17 тыс. деталей будут взаимодействовать безупречно)
В данной книге, как уже отмечалось ранее, средства САПР используются для
построения изображений на плоскости различных пространственных форм,
изучаемых в курсе начертательной геометрии, и решения геометрических
задач различной сложности.
1.2. Векторные и растровые
изображения
Все графические форматы современных систем проектирования можно раз-
делить на две категории — растровые и векторные.
Элементами растровой графики являются небольшие точки, называемые
пикселами. В память компьютера вводят данные о цвете и яркости каждого
пиксела. Изображения растровой графики хранятся с фиксированным разре-
шением, поэтому при увеличении изображения проявляется "ступенча-
тость" — становится заметной клетчатая форма пикселов (рис. 1.2). Подоб-
ный дефект изображения в виде зубчатости на диагональных линиях,
спрямления на малых радиусах, неровности контуров и т. д. называют алай-
сингом (от англ. aliasing — наложение).
Принцип растровой графики изобретен за много веков до появления компью-
теров, например, ее можно обнаружить в мозаичной кладке или вышивке
"крестом".
Глава 1 12
Рис. 1.2. Отрезок, созданный при помощи растровой графики (слева), при увеличении становится "ступенчатым" в отличие от отрезка,
созданного средствами векторной графики (справа)
В противоположность растровой, векторная графика хранится в виде ко-
манд, которые описывают размеры и форму каждого графического объекта
(линии, окружности, многоугольника и т. д.), являющегося элементом изо-
бражения. Например, параметрами, необходимыми для полного описания
окружности, будут:
радиус или диаметр окружности;
координаты центра окружности;
цвет и толщина контура;
цвет заполнения.
Разрешение векторного изображения не фиксировано. Изображение можно
увеличивать или уменьшать, не ухудшая его качества, поэтому векторной
графикой пользуются, когда необходимо создать контурные изображения.
Растровая графика требует значительно больше пространства на носителях
информации, т. к. для нее необходима информация о каждом пикселе, ото-
бражаемом на экране. С другой стороны, не каждый объект может быть лег-
ко изображен в векторном виде.
Преобразование растрового объекта в векторный называется трассировкой.
Процесс этот сложен, выполняется в специальных приложениях и обычно не
обеспечивает высокого качества векторного рисунка.
Перевод векторной графики в растровую достаточно прост. Этот процесс на-
зывается растеризацией и легко выполняется в любом векторном редакторе
с помощью соответствующей команды.
Изображения, создаваемые САПР, имеют, как правило, векторный формат.
Объекты и программные средства автоматизированного проектирования 13
1.3. Двумерное и трехмерное
проектирование
Создание двумерных чертежей во многом напоминает процесс ручного чер-
чения, когда вместо карандаша и линейки конструктор использует компью-
терную мышь и клавиатуру. Правилами выполнения таких чертежей начнем
следующую главу.
Однако от такого способа создания чертежно-конструкторской документации
разработчики САПР уже отказались. Почему? Этот традиционный способ
проектирования по многим показателям — скорости выполнения чертежей,
наглядности, комфортности и т. д. — оказался менее эффективным, чем так
называемое трехмерное моделирование. Широкое использование трехмерно-
го моделирования в инженерной практике привело буквально к перевороту
в области проектирования.
В современных САПР-приложениях проектирование осуществляется по схеме
"трехмерная модель — ассоциативный чертеж — спецификация" (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Последовательность современного автоматизированного проектирования:
трехмерная модель (слева) — ассоциативный чертеж (в центре) — спецификация (справа)
Для создания модели требуется создать двумерный чертеж, называемый
эскизом, и затем выполнить формообразующую операцию, которая в боль-
шинстве случаев представляет собой след движения эскиза в пространстве.
При этом подразумевается, что трехмерная модель занимает непрерывную
Глава 1 14
область пространства определенной формы. Поэтому такое моделирование
называют твердотельным.
В современных CAD-системах все этапы проектирования связаны между со-
бой: изменение и редактирование эскиза или формообразующей операции
автоматически приводит к соответствующему перестроению модели и ее ас-
социативного чертежа. Спецификация также может быть ассоциативно свя-
зана со сборочным чертежом, трехмерной моделью сборки, моделями и чер-
тежами деталей.
1.4. Типы систем автоматизированного
проектирования
В настоящее время на рынке САПР имеется большое количество программно-
аппаратных средств автоматизации проектных, конструкторско-технологических
и производственных работ. По уровню цен и возможностей все САПР услов-
но можно разделить на три категории.
САПР низшего уровня — это, по существу, системы автоматизации тра-
диционных процессов проектирования на основе двумерных чертежей.
К ним относятся так называемые "чертилки" или "электронные кульма-
ны", ярчайшими представителями которых являются AutoCAD LT, Т-Flex
CAD 2D, КОМПАС-График и др.
САПР среднего уровня позволяют, кроме этого, строить трехмерные па-
раметрические модели деталей и сборок. Здесь уже другое качество и, со-
ответственно, дополнительные возможности. Представителями САПР
этой категории являются системы трехмерного твердотельного проекти-
рования Autodesk Inventor, Autodesk Mechanical Desktop, SolidWorks,
КОМПАС-3D, Solid Edge, T-FLEX CAD и ряд других. В настоящее время
системы среднего уровня очень популярны и поэтому быстро развивают-
ся, приближаясь по своим возможностям к САПР высшего уровня.
САПР высшего уровня закрывают собой практически все области проек-
тирования, от разработки изделий и оснастки до проведения инженерных
расчетов и изготовления. САПР высшего уровня имеют два основных
отличия. Во-первых, они обеспечивает полный цикл создания изделия —
от концептуальной идеи до ее реализации. Во-вторых, позволяют созда-
вать проектно-информационную среду для одновременной работы всех
участников процесса. В настоящее время наиболее полно всем требова-
ния, предъявляемым к интегрированным САПР высшего уровня, отвечают
системы Pro/Engineer и Unigraphics.
Объекты и программные средства автоматизированного проектирования 15
При выборе программы мы руководствовались, в первую очередь, тем, чтобы
"электронный кульман" был удобным, аккуратным и легким в освоении ин-
женерным инструментом, и решили остановить свой выбор на САПР средне-
го уровня — системе КОМПАС-3D, разработанной российской компанией
"АСКОН".
Система КОМПАС-3D позволяет автоматизировать проектно-конструктор-
ские работы в различных отраслях деятельности, создавать трехмерные
параметрические модели, содержащие как оригинальные, так и стандартизо-
ванные элементы, и выпускать техническую документацию — чертежи, схе-
мы, пояснительные записки и др.
Система имеет простой и понятный интерфейс, эффективный и удобный на-
бор управляющих команд, большой список библиотек, а также, что пред-
ставляется особенно важным, обладает возможностью компьютерного проек-
тирования в соответствии с правилами оформления конструкторской
и строительной документации, принятыми в России.
1.5. КОМПАС-3D: системные требования,
типы документов и форматы файлов
Система КОМПАС-3D ориентирована на работу в среде MS Windows и ис-
пользует ставшую привычной для пользователей структуру Windows-
приложений. Это касается интерфейса программы, порядка создания,
открытия и сохранения документов, вида диалоговых окон и панелей инст-
рументов.
Система имеет так называемую модульную структуру. Она состоит из четы-
рех основных модулей, решающих определенную задачу проектирования
в единой программной оболочке:
модуля плоского черчения;
модуля трехмерного моделирования;
системы проектирования спецификаций;
модуля работы с текстовыми документами.
Между модулями реализован прямой обмен данными, единый интерфейс
пользователя и выдержаны общие для всех модулей правила работы. За по-
следние два десятилетия система прошла путь от САПР низшего уровня —
КОМПАС-График, имеющая только двумерные средства создания чертежей,
до классической программы трехмерного параметрического проектирования
среднего уровня.
Глава 1 16
В последние годы система КОМПАС-3D была неоднократно усовершенство-
вана, и на компьютерный рынок последовательно были выпущены версии
от 5-ой до 11-ой. Модернизация коснулась, в первую очередь, интерфейса,
производительности, дополнительных возможностей, приложений и биб-
лиотек.
При разработке каждой версии системы КОМПАС-3D компания "АСКОН"
выпускает также некоммерческую версию программы, которой в дополнение
к номеру программного продукта присваивается индекс LT (например,
КОМПАС-3D LT V10). Эта версия идеально подходит в качестве инструмен-
та общего и профессионального образования для школьников и студентов
технических вузов.
По сравнению с профессиональной версией, в систему КОМПАС-3D LT внесе-
ны некоторые ограничения. С помощью некоммерческой облегченной версии
можно создавать документы только трех типов: Чертеж, Фрагмент и Деталь.
Тем не менее, она содержит весь необходимый инструментарий для построе-
ния трехмерных моделей и плоских чертежей любого уровня сложности
с полной поддержкой российских стандартов. В облегченной версии сохра-
нено главное — возможность записи созданных моделей на электронные но-
сители данных и их вывод на печатающие устройства.
Для просмотра и печати КОМПАС-документов компанией "АСКОН" разра-
ботана вспомогательная бесплатная программа КОМПАС-3D Viewer. Имейте
в виду, что эта программа позволяет просмотреть или распечатать докумен-
ты, но не редактировать их. В программе КОМПАС-3D Viewer можно от-
крыть документы, созданные в текущей или одной из предыдущих версий
системы КОМПАС-3D или КОМПАС-3D LT1.
Последняя версия программы — система КОМПАС-3D V11 предназначена
для использования на персональных компьютерах типа IBM PC, работающих под
управлением русскоязычной версии операционных систем MS Windows 2000/
XP/Vista. На жестком диске она занимает объем около 1 Гбайт.
Минимально возможная конфигурация компьютера для установки и запуска
системы КОМПАС-3D V10:
процессор Pentium III с тактовой частотой 800 МГц;
оперативная память 512 Мбайт;
графический адаптер SVGA с видеопамятью 32 Мбайт;
1 Демо-версия КОМПАС-3D V11 и дистрибутивы КОМПАС-3D LT V10 и КОМПАС-3D
Viewer V10 помещены на прилагаемом к книге компакт-диске.
Объекты и программные средства автоматизированного проектирования 17
привод DVD-ROM;
свободное пространство на жестком диске не менее 500 Мбайт;
манипулятор "мышь".
При получении бумажных копий документов могут использоваться любые
модели принтеров и плоттеров.
Говоря о форматах (расширениях) файлов, надо четко представлять, что
существуют форматы отдельных программ и обменные форматы. Напри-
мер, если формат файла DWG, то можно с уверенностью сказать, что
он создан в программе AutoCAD; если формат CDR, то — в программе
CorelDraw и т. д.
Формат DXF (от англ. Drawing eXchange Format — формат обмена чертежа-
ми) является открытым форматом файлов для обмена двумерной графиче-
ской информацией между приложениями САПР. Он поддерживается практи-
чески всеми CAD-системами. Для файла в формате DXF нельзя определить
"хозяина", т. к. файл с таким расширением может быть создан любой графи-
ческой программой, в том числе и в КОМПАС-3D.
Для выпуска проектно-конструкторской документации профессиональная
версия системы КОМПАС-3D предусматривает создание документов шести
типов, имеющих свой индивидуальный формат.
Чертеж (формат файла CDW) — конструкторский документ, содержащий
двумерное графическое изображение изделия, основную надпись, рамку,
дополнительные объекты оформления (размеры, шероховатость, техниче-
ские требования и т. д.).
Фрагмент (формат файла FRG) — вспомогательный тип двумерного гра-
фического документа. Фрагмент отличается от чертежа отсутствием рам-
ки, основной надписи и других объектов оформления конструкторского
документа, а сам чертеж располагается как бы на неограниченном чер-
тежном листе. Он используется для хранения изображений, которые не
нужно оформлять как отдельный конструкторский документ. Это эскиз-
ные прорисовки, конструкторские проработки, отдельные рисунки, ис-
пользуемые как вставки в другие документы.
Деталь (формат файла M3D) — трехмерная модель изделия, изготавли-
ваемого из однородного материала.
Сборка (формат файла А3D) — трехмерная модель, объединяющая моде-
ли деталей, других сборочных единиц и стандартных изделий.
Глава 1 18
Спецификация (формат файла SPW) — это таблица, оформленная по тре-
бованиям ЕСКД и содержащая обозначения, наименования и количество
составных частей какого-либо изделия. Спецификация может быть запол-
нена как в ручном, так и в полуавтоматическом режиме.
Текстовый документ (формат файла KDW) — как следует из названия,
содержит преимущественно текстовую информацию. Этот тип документа
может быть использован для составления пояснительных записок, изве-
щений, технических условий и оформлен рамкой и соответствующей ос-
новной надписью.
В арсенал программы КОМПАС-3D включен большой набор вспомогатель-
ных и служебных файлов таких, как резервные копии документа (формат
файла BAK), шаблоны документов (с форматами CDT, M3T, A3T и др.), фай-
лов таблиц (формат TBL) и т. д.
Глава 2
Создание электронного чертежа
2.1. Начало и окончание работы
с КОМПАС-График
Знакомство с автоматизированным проектированием начнем с изучения ме-
тодов построения компьютерных чертежей на плоскости (эта встроенная
в систему часть по-прежнему называется КОМПАС-График). Навыки выпол-
нения двумерных чертежей потребуются нам и в дальнейшем при вычерчи-
вании эскизов формообразующих операций — основы для создания трехмер-
ных моделей.
Запуск системы КОМПАС-3D проводится так же, как и запуск любых других
Windows-приложений.
1. Передвиньте указатель мыши в левый нижний угол экрана и щелкните
кнопку Пуск.
2. В раскрывшемся главном меню Windows установите курсор на меню
Все программы. Задержите курсор на секунду, после чего автоматически
откроется каскадное меню (рис. 2.1).
3. Переместите указатель мыши на АСКОН и затем на КОМПАС-3D V....
4. Подвиньте указатель мыши на команду с логотипом системы КОМПАС-
3D V..., отвечающей за запуск программы, и щелкните мышью.
Рис. 2.1. Последовательность вызова команды для запуска системы КОМПАС-3D
Глава 2 20
Прекратить текущий сеанс работы КОМПАС-3D можно щелчком на кнопке
Закрыть в правом верхнем углу программного окна (рис. 2.2). Если в систе-
ме нет открытого документа или в открытом документе нет несохраненных
изменений, то работа программы будет прекращена немедленно. В против-
ном случае КОМПАС-3D выдаст на экран стандартный запрос о сохранении
изменений или отказе от них.
Рис. 2.2. Команда прекращения текущего сеанса
работы КОМПАС-3D V10
После запуска программы появится диалоговое окно Вид приложения (рис. 2.3).
В раскрывающемся списке Стиль приложения выберите используемый ва-
ми стиль, например, Microsoft Office 2003. Для того чтобы диалоговое ок-
но не появлялось при следующих запусках системы, сбросьте флажок Пока-
зывать этот диалог при запуске. Затем нажмите кнопку OK.
Рис. 2.3. Диалоговое окно Вид приложения
На экране появится Стартовая страница (рис. 2.4). Если вы закроете Стар-
товую страницу, то дальнейший доступ к ней возможен с помощью коман-
ды Справка | Стартовая страница.
Создание электронного чертежа 21
Рис. 2.4. Стартовая страница системы КОМПАС-3D V10
Команды, расположенные в верхней части окна Стартовая страница, позво-
ляют:
узнать о новых возможностях текущей версии системы;
открыть учебное пособие "Азбука КОМПАС";
посетить сайты ЗАО "АСКОН", Службы технической поддержки и Фору-
ма пользователей систем КОМПАС;
написать электронное письмо в Службу технической поддержки.
В нижней части окна Стартовая страница находятся команды:
Создать и Открыть, при помощи которых можно соответственно созда-
вать новые документы и открывать уже созданные с жесткого диска или
различных электронных носителей;
Чертеж, Фрагмент, Текстовый документ, Спецификация, Сборка
и Деталь, которые создают соответствующий документ.
Глава 2 22
В верхней части Стартовой страницы находятся (рис. 2.5):
заголовок окна — название и номер версии системы;
пункты главного меню;
панель Стандартная.
Заголовок окнаГлавное меню
Стандартнаяпанель
Создать
Открыть
Рис. 2.5. Верхняя часть Стартовой страницы
2.2. Создание и сохранение нового документа
типа Чертеж
Создавать и открывать уже созданные документы в системе КОМПАС-3D
можно несколькими способами. В дальнейшей работе вы сами определите,
какой из способов создания и открытия документов для вас будет удобнее.
При появлении на экране стартовой страницы целесообразно пользоваться
командами, расположенными "в подвале" этой страницы.
Создать или открыть документ можно при помощи команд, расположенных
на стандартной панели или в пункте меню Файл.
Первый способ — нажмите кнопку Создать или вызовите команду Файл |
Создать. После этого на экране появится диалоговое окно создания нового
документа (рис. 2.6). Для того чтобы создать новый документ типа Чертеж,
выделите значок и нажмите кнопку OK.
Второй способ — более оперативный. На Стандартной панели раскройте
кнопку-список Создать (для этого щелкните мышью на треугольнике рядом
с кнопкой) и выберите тип нужного вам нового документа (рис. 2.7).
Создание электронного чертежа 23
Рис. 2.6. Диалоговое окно Новый документ
Рис. 2.7. Кнопка-список Создать
На экране появится чертежный формат, свойства которого установлены сис-
темой по умолчанию. Присвойте документу имя и сохраните его:
1. Щелкните на кнопке Сохранить, расположенной на панели инструментов
Стандартная.
2. В диалоговом окне Укажите имя файла для записи (рис. 2.8) выберите
папку, где вы хотите сохранить свой документ.
3. В поле Имя файла введите его имя — лучше всего, если это будет номер
с задачей или название изделия.
4. В раскрывающемся списке Тип файла (рис. 2.9) при необходимости можно
выбрать из предложенного списка тип сохраняемого файла (например,
Глава 2 24
КОМПАС-Чертежи V9, если вам необходимо будет открыть файл в низ-
шей версии программы, или формат JPEG, если изображение необходимо
перевести в растровую графику).
5. Щелкните на кнопке Сохранить.
Рис. 2.8. Диалоговое окно Укажите имя файла для записи
Рис. 2.9. Раскрывающийся список Тип файла
6. В появившемся окне Информация о документе (рис. 2.10) заполните тек-
стовые поля Автор, Организация и Комментарий. Заполнение этих по-
лей не обязательно, можно просто нажать кнопку OK.
Создание электронного чертежа 25
Рис. 2.10. Диалоговое окно Информация о документе
Рис. 2.11. Команда Резервное копирование вкладки Система диалогового окна Параметры
При последующем сохранении документа система по умолчанию создает ре-
зервную копию предыдущего состояния документа. Запись копии осуществ-
ляется в тот же каталог, где находится сам документ, и имеет то же имя, но
с расширением bak. Если вы хотите отказаться от создания резервных копий,
откройте диалоговое окно Параметры, выбрав команду Сервис | Парамет-
ры. Раскройте пункт Файлы, активизируйте команду Резервное копирова-
ние и снимите флажок Сохранять предыдущую копию (рис. 2.11).
Глава 2 26
2.3. Основные элементы интерфейса
Сразу после создания документа Чертеж открывается окно, подобное другим
окнам в операционной системе Windows (рис. 2.12). Основную часть про-
граммного окна занимает окно документа.
Рис. 2.12. Элементы интерфейса в режиме создания чертежа
Вокруг окна документа расположены следующие элементы:
заголовок программного окна находится в самой верхней его части. В нем
отражаются:
название и номер версии программы;
тип открытого документа; полный путь (последовательность папок,
определяющих его положение на жестком или гибком диске);
имя документа;
имя текущего вида (если отрытый документ является чертежом);
Создание электронного чертежа 27
главное меню расположено сразу под заголовком. Оно позволяет вызы-
вать команды, сгруппированные по различным функциям в пунктах меню.
На данный момент строка главного меню содержит 11 пунктов (в даль-
нейшим, по мере необходимости, мы будем обращаться к командам, нахо-
дящимся в том или ином пункте главного меню):
Файл;
Редактор;
Выделить;
Вид;
Вставка;
Инструменты;
Спецификация;
Сервис;
Окно;
Справка;
Библиотеки;
под строкой главного меню находится панель Стандартная, на которой рас-
положены кнопки вызова наиболее часто используемых команд (рис. 2.13):
Создать — вызывает диалоговое окно создания нового документа;
Открыть — открывает диалоговое окно для выбора и открытия уже
существующего документа;
Сохранить — сохраняет документ с именем и расширением, которые
были установлены при самом первом сохранении документа (в том
случае, если документ сохраняется впервые, на экране появится соот-
ветствующее диалоговое окно);
Рис. 2.13. Стандартная панель инструментов
Глава 2 28
Печать — позволяет начать вывод текущего документа на печатающее
устройство (эта команда доступна только при работе в режиме предва-
рительного просмотра);
Предварительный просмотр — размещает документ на установлен-
ном пользователем формате для возможной корректировки его разме-
ров и положения перед выводом на печать;
Загрузить задание на печать — позволяет выбрать файл для печати
и перейти в режим предварительного просмотра;
Вырезать — удаляет выделенные объекты и помещает их в буфер обме-
на (при этом предыдущее содержимое буфера обмена удаляется из него);
Копировать — копирует выделенные объекты в буфер обмена;
Вставить — вставляет копию содержимого буфера обмена в документ;
Копировать свойства — позволяет сделать свойства одних объектов
совпадающими со свойствами указанного объекта;
Свойства — включает или отключает отображение на экране окна
Свойства, в котором отображаются названия и значения параметров
объектов, выделенных в графическом документе или эскизе (если вы-
деленных объектов нет, то окно Свойства пусто);
Отменить — отменяет предыдущее совершенное действие;
Повторить — повторяет предыдущее совершенное действие;
Менеджер библиотек — включает или отключает диалог управления
КОМПАС-библиотеками;
Менеджер документа — выполняет операции с листами, видами и слоя-
ми документа;
Переменные — позволяет работать со списком переменных, который
формируется при работе в системе;
Справка — позволяет получить справку по командам, кнопкам и дру-
гим объектам рабочего экрана;
панель Вид расположена рядом с панелью Стандартная, справа от нее.
На панели Вид размещены кнопки для настройки изображения на экране
монитора (рис. 2.14):
Увеличить масштаб рамкой — позволяет изменить масштаб отобра-
жения в активном окне с помощью прямоугольной рамки;
Увеличить масштаб и Уменьшить масштаб — после каждого щелчка
мыши, соответственно, увеличивает или уменьшает масштаб отобра-
Создание электронного чертежа 29
жения в окне документа в определенное количество раз (по умолчанию
Коэффициент изменения масштаба установлен равным 1,2, однако его
значение может быть изменено с помощью диалогового окна настроек,
вызываемого командой Сервис | Параметры | Система | Графический
редактор | Редактирование);
поле Текущий масштаб — показывает масштаб отображения в окне
документа (чтобы изменить масштаб, разверните список и выберите
нужное значение из списка или введите значение с клавиатуры);
Сдвинуть — позволяет сдвинуть изображение, "подхватив" его нажа-
той кнопкой мыши (при вызове команды курсор меняет свою форму на
четырехнаправленную стрелку);
Приблизить/отдалить — позволяет плавно менять масштаб изобра-
жения при движении курсора вверх или вниз (если вы пользуетесь мы-
шью с колесиком, то для изменения масштаба отображения вращайте
колесико мыши);
Перестроить — перестраивает все ассоциативные виды активного
чертежа (если в чертеже нет ни одного ассоциативного вида, команда
будет недоступна);
Обновить изображение — выполняет процедуру регенерации изо-
бражения, устраняя возникшие после выполнения некоторых команд
искажения (разрывы, лишние точки или линии), которые носят вре-
менный характер и не имеют отношения к реальному состоянию до-
кумента;
Показать все — изменяет масштаб отображения в окне документа та-
ким образом, чтобы на экране был виден весь чертеж;
Рис. 2.14. Панель Вид в режиме создания документа типа Чертеж
Глава 2 30
Панель текущего состояния находится под панелью Стандартная
и панелью Вид. В этой строке отображаются основные параметры теку-
щего документа (рис. 2.15):
поле Текущий шаг курсора — показывает шаг курсора при нажатии
клавиш со стрелками (можно ввести или выбрать из списка другое зна-
чение шага);
Состояние видов — выводит на экран диалоговое окно Менеджер до-
кумента для просмотра или изменения параметров существующих в до-
кументе видов (если в документе не созданы виды, то окно не активно);
Состояние слоев — также выводит на экран диалоговое окно Менед-
жер документа, в котором можно изменить параметры существующих
слоев и создать новые слои;
Установка глобальных привязок — включает или отключает какие-
либо глобальные привязки и настраивает их работу;
Запретить привязки — отменяет применение всех установленных
привязок;
Сетка — включает или выключает вспомогательную сетку (чтобы из-
менить параметры сетки — шаг, внешний вид, цвет и т. д., щелкните
мышью по треугольнику рядом с кнопкой Сетка и из раскрывшегося
списка вызовите команду Настроить параметры);
Локальная СК — позволяет создавать в текущем виде чертежа раз-
личные локальные системы координат;
Ортогональное черчение — служит для перехода в режим вычерчи-
вания горизонтальных и вертикальных отрезков;
Округление — включает режим округления линейных величин до
ближайшего значения, кратного текущему шагу курсора;
поле Координаты курсора — отображает значения координат курсора
в текущей системе координат;
Рис. 2.15. Панель текущего состояния в режиме создания документа типа Чертеж
Создание электронного чертежа 31
Рис. 2.16. Компактная панель в режиме создания документа типа Чертеж
Компактная панель находится в левой части окна системы и состоит из
двух частей: Панели переключения (вверху) и десяти Инструментальных
панелей, активизирующихся с помощью той или иной кнопки-переклю-
чателя Панели переключения (рис. 2.16). Каждая инструментальная па-
нель содержит набор команд, сгруппированных по функциональному при-
знаку. Панель переключения состоит из следующих кнопок-переключателей:
Геометрия — команды построения геометрических объектов (отрез-
ков, окружностей, дуг, эллипсов и т. д.);
Размеры — команды простановки линейных, радиальных, угловых
и других размеров на чертеже;
Обозначения — команды простановки обозначений;
Глава 2 32
Обозначения для ПСП — команды простановки обозначений для
промышленного строительного проектирования (ПСП);
Редактирование — команды сдвига, поворота, масштабирования и др.;
Параметризация — команды наложения связей и ограничений на
геометрические объекты;
Измерения (2D) — команды измерения расстояний, углов, длин, пло-
щадей, массо-центровочных характеристик плоских деталей;
Выделение — команды выделения объектов или исключения из числа
выделенных;
Ассоциативные виды — команды создания видов;
Спецификация — команды для работы со спецификацией;
Панель свойств находится под окном документа. Пока не вызвана ни одна
команда, она остается пустой. При вызове какакой-либо команды здесь
появляются элементы управления: координаты характерных точек, длины
отрезков, углы проведения линий, радиусы окружностей и т. д. По
умолчанию панель свойств находится в нижней части окна документа,
однако в ряде случаев бывает удобно, когда панель свойств прикрепляется
к другой границе окна. Для этого служат команды Вверху, Внизу, Слева,
Справа из контекстного меню Размещение (рис. 2.17). Чтобы вызвать
контекстное меню, надо установить курсор на панели свойств и щелкнуть
правой кнопкой мыши;
Рис. 2.17. Настройка размещения панели свойств
Строка сообщений расположена внизу программного окна. Следует вни-
мательно следить за текстом в этой строке, поскольку она является хоро-
шим помощником при черчении. В ней отображаются различные сообще-
ния, подсказки и запросы:
краткая информация о том элементе экрана, к которому подведен курсор;
сообщение о том, ввода каких данных ожидает программа в данный
момент;
краткая информация по текущему действию, выполняемому системой.
Создание электронного чертежа 33
2.4. Форматы и основные надписи
При создании документа типа Чертеж система по умолчанию создает лист
формата А4 вертикальной ориентации с типом основной надписи по форме 1:
"Чертеж конструкторский, первый лист".
Форматы (размеры чертежного листа) подразделяются на основные и допол-
нительные. Самым большим основным форматом является формат с разме-
рами сторон 8411189 мм. Остальные основные форматы получаются путем
последовательного деления предыдущего формата на две равные части
(табл. 2.1). Дополнительные форматы образуются путем увеличения сторон
основных форматов на величину, кратную размерам сторон формата А4 (ко-
эффициент увеличения — целое число).
Таблица 2.1. Основные чертежные форматы (по ГОСТу 2.301-68)
Обозначение А0 А1 А2 А3 А4
Размеры сторон, мм 841 1189 594 841 420 594 297 420 210 297
Все форматы — за исключением формата А4 — можно располагать верти-
кально или горизонтально. Формат А4 можно использовать только в верти-
кальной ориентации.
Чтобы изменить формат и ориентацию текущего листа, щелкните правой
кнопкой мыши в любом месте окна документа и из появившегося контекст-
ного меню выберите команду Параметры текущего чертежа (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Контекстное меню окна документа типа Чертеж
На экране появится диалоговое окно Параметры. Это окно можно также
вызвать с помощью команды Сервис | Параметры. На вкладке Текущий
чертеж (рис. 2.19):
в левой части окна прокрутите параметры и раскройте пункт Параметры
первого листа;
Глава 2 34
Рис. 2.19. Команда Формат вкладки Текущий чертеж диалогового окна Параметры
выделите команду Формат;
в раскрывающемся списке Обозначение выберите формат (например, А3);
в группе Ориентация отметьте переключатель нужной ориентации.
В этом диалоговом окне устанавливается и параметр Кратность при назна-чении дополнительного формата.
Оформление чертежа невозможно без заполнения основной надписи — спе-циального штампа, который располагается в правом нижнем углу чертежа (на формате А4 штамп располагается вдоль нижней стороны листа). Нажати-
ем кнопки Выбрать в команде Оформление (рис. 2.20) можно вызвать диа-
логовое окно Выберите стиль оформления (рис. 2.21) и установить тип ос-новной надписи.
Для оформления чертежно-конструкторской документации предусмотрены три формы основных надписей:
основная надпись по форме 1 для первого листа чертежей и схем, предлагаемая системой по умолчанию "Чертеж констр. Первый лист. ГОСТ 2.104-68";
основная надпись по форме 2 для первого листа текстовых конструктор-ских документов "Текст. констр. докум. Первый лист. ГОСТ 2.104-68";
основная надпись по форме 2а для последующих листов чертежей, схем и текстовых конструкторских документов "Чертеж констр. Посл. листы. ГОСТ 2.104-68 или Текст. констр. докум. Посл. листы. ГОСТ 2.104-68".
Создание электронного чертежа 35
Рис. 2.20. Команда Оформление вкладки Текущий чертеж диалогового окна Параметры
Рис. 2.21. Диалоговое окно Выберите стиль оформления
Глава 2 36
Основная надпись заполняется, как правило, в ручном режиме — пользова-
телю надо поставить курсор в нужную ячейку и заполнить ее. Редактирова-
ние некоторых ячеек основной надписи (например, Разработал, Проверил,
Подпись, Дата и др.) невозможно. Для заполнения основной надписи сначала
активизируйте ее двойным щелчком мыши (рис. 2.22). Признаком активности
является появление в ней границ ячеек с учетом заданных отступов текста.
Рис. 2.22. Заполнение основной надписи
Заполните ячейки основной надписи:
в поле Разраб. введите свою фамилию. Аналогично в ячейки Пров. и Утв.
введите фамилии лиц, проверяющих и утверждающих документ;
в поле Дата щелкните дважды до появления диалогового окна Ввод даты
(рис. 2.23) и опять щелкните дважды по новой дате;
Рис. 2.23. Диалоговое окно Ввод даты
Создание электронного чертежа 37
Рис. 2.24. Команда Лист меню Вставка
Рис. 2.25. Первый и второй листы документа Чертеж
Глава 2 38
в поле Обозначение введите код документа (например, ИКГ.01.12, где
ИКГ — аббревиатура изучаемой дисциплины "Инженерная и компьютер-
ная графика", 01 — номер решаемой задачи, темы или задания; 12 — но-
мер варианта).
в поле Наименование изделия вставьте его название (для чертежей по
начертательной геометрии — это может быть номер задачи или примера);
в левой ячейке группы Литера, предназначенной для обозначения стадии
разработки, поставьте соответствующий код (учебные чертежи принято
помечать буквой "У");
в поле Наименование предприятия введите его название или индекс
(например, выходные данные вуза, кафедры и вашей учебной группы —
СПГГИ (ТУ), каф. НГиГ, группа ГМ-09-1);
установите нужный Масштаб чертежа, дважды щелкнув в этой ячейке
и выбрав из списка нужное масштабное соотношение;
ячейки Лист и Листов заполняются системой автоматически (графа по-
рядкового номера листа остается пустой в документах, состоящих из од-
ного листа);
завершив заполнение таблицы основной надписи, нажмите кнопку
Создать объект на панели свойств.
Формат документа, его ориентацию и стиль можно неоднократно менять не-
посредственно во время работы над чертежом. Изменение этих параметров
не оказывает никакого влияния на построенный в документе чертеж. Единст-
венное, что потребуется, — скомпоновать заново чертеж в пределах формата.
В ряде случаев чертежи изделия или задачи могут располагаться на несколь-
ких листах. Чтобы создать еще один (последующий) лист документа Чертеж,
достаточно выбрать команду Лист в меню Вставка (рис. 2.24).
Рядом с первым листом система добавит следующий лист чертежа, для кото-
рого установлены параметры новых листов документа (рис. 2.25). Параметры
следующих листов можно легко изменить в диалоговом окне Параметры.
2.5. Виды и масштабы
Ваш только что созданный чертеж находится в так называемом системном
виде — Виде 0. Этот вид нужен для того, чтобы система вывела на экран
чертежный лист с рамкой и основной надписью. В системном виде начало
координат всегда находится в левом нижнем углу листа, масштаб всегда
равен 1:1 и не может быть изменен пользователем. Выполнять чертеж
Создание электронного чертежа 39
в системном виде теоретически можно, но это будет абсолютно неправильно,
с точки зрения методики компьютерного черчения.
Прежде чем вы прочертите хотя бы одну линию, необходимо создать вид,
в котором будут находиться вводимые геометрические элементы. Понятие
"вид" в КОМПАС-График отличается от принятого в обычном черчении.
Здесь под видом понимается любое изолированное изображение на чертеже.
Если изображения находятся в непосредственной проекционной связи и вы-
черчиваются в одном масштабе (например, фронтальная и профильная про-
екции объекта), то можно поместить их в один вид.
1. Нажмите кнопку Создать новый вид на инструментальной панели Ассо-
циативные виды (2.26) или выберите команду Вид в меню Вставка
(рис. 2.27).
Рис. 2.26. Команда Создать новый вид
на инструментальной
панели Ассоциативные виды
Рис. 2.27. Команда Вид в меню Вставка
2. Вид курсора поменяется на две ортогональные стрелки. Пока не щелкайте
мышью в окне документа — сначала настройте параметры вида на вклад-
ке Параметры на появившейся панели свойств (рис. 2.28).
Рис. 2.28. Панель свойств команды Создать новый вид
Глава 2 40
3. В поле Номер проставлен номер вида, автоматически присвоенный ему
системой. Можно ввести в это поле другое значение (для первого изобра-
жения логично использовать номер 1).
4. В поле Имя отобразится Вид 1 — имя вида, также автоматически присво-
енное системой. Если необходимо, введите в это поле другой текст (на-
пример, Эпюр1).
5. В списке Цвет, если это необходимо, установите цвет вида в активном
состоянии (по умолчанию — черный).
6. В поле Масштаб введите масштаб создаваемого изображения (масштабное
соотношение должно соответствовать значениям, приведенным в табл. 2.2)
или выберите его из раскрывающегося списка. В дальнейшей работе мас-
штаб можно легко поменять на другой (Сервис | Параметры текущего
вида), при этом все нанесенные на чертеж построения автоматически пе-
рестроятся в соответствии с новым масштабом.
Таблица 2.2. Масштабы изображений на чертежах (по ГОСТу 2.302-68)
Масштабы уменьшения 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000
Натуральная величина 1:1
Масштабы увеличения 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1
7. При помощи кнопки-переключателя Точка вида выберите положение ба-
зовой точки вида: в центре габаритного прямоугольника или в начале ко-
ординат.
8. Задайте, если это необходимо, угол поворота вида и положение его точки
привязки.
9. Введите начало координат вычерчиваемого вида. Для этого можно просто
щелкнуть примерно в той точке чертежа, где вы ходите увидеть начало
координат создаваемого вида (можно точно указать его координаты в по-
лях управления координатами курсора в правом нижнем углу экрана — по
оси х и по оси y — они отсчитываются в миллиметрах от левого нижнего
угла выбранного формата). В дальнейшем положение начала координат
можно изменить, введя новые значения X и Y (Сервис | Параметры те-
кущего вида).
После создания вида можно приступать собственно к геометрическим по-
строениям. При этом необходимо помнить, что размеры всех объектов при
компьютерном черчении вводятся в натуральную величину, а система сама
Создание электронного чертежа 41
в зависимости от масштаба, установленного в текущем виде, пересчитает
размеры и выведет на экран эти объекты с учетом масштаба.
На один чертеж можно поместить несколько видов, выполненных как в од-
ном, так и разных масштабах. Состояние вида определяется значениями сле-
дующих свойств:
активность, которая управляет доступностью объектов данного вида для
редактирования и определяет в свою очередь два противоположных со-
стояния:
активный вид, объекты которого доступны для выполнения операций
редактирования и удаления;
фоновый вид, доступный только для выполнения операций привязки
(такой вид нельзя перемещать, а его объекты недоступны для редакти-
рования);
видимость, которая управляет отображением вида на экране и также име-
ет два состояния:
видимый вид, отображаемый на экране (при этом активные виды пока-
зываются выбранными для них цветами, а фоновые — установленным
стилем);
погашенный вид, не отображаемый на экране вне зависимости от того,
активный он или фоновый (погашенный вид полностью недоступен для
любых операций).
Среди всех видов один, и только один, имеет статус текущий. Именно в те-
кущий вид записываются вновь создаваемые объекты. Текущим можно сде-
лать любой вид. При этом он автоматически становится видимым и актив-
ным. Текущий вид невозможно ни погасить, ни сделать фоновым.
В системе КОМПАС-3D существует несколько разнообразных приемов рабо-
ты с видами. Рассмотрим один из них — при помощи Дерева построения
чертежа, которое представляет собой последовательность выполнения по-
строений в виде структурированного списка.
Чтобы Дерево построения чертежа появилось на экране, щелкните правой
кнопкой мыши в окне документа и из появившегося контекстного меню вы-
зовите команду Дерево построения (рис. 2.29). Тот же результат можно по-
лучить, если в меню Вид активизировать команду Дерево построения.
Дерево построения отображается в левой части окна документа (рис. 2.30).
В нем указывается список видов (имя и в скобках масштаб) в порядке их соз-
дания. Слева от имени приводится состояние вида: текущий вид — (т), фоно-
вый — (ф) и погашенный — (п).
Глава 2 42
Рис. 2.29. Вызов команды Дерево построения из контекстного меню окна документа Чертеж
Рис. 2.30. Дерево построения Чертежа
Используя контекстное меню элементов Дерева построения (оно вызывается
щелчком правой кнопки мыши), можно управлять состоянием и параметрами
видов (рис. 2.31). Некоторые команды контекстного меню могут быть недос-
тупны.
Рис. 2.31. Контекстное меню элементов Дерева построения
Другими способами управления видами являются средства, расположенные
на Панели текущего состояния, которые становятся доступными после соз-
дания первого вида. В поле Состояния видов (рис. 2.32) отображается номер
текущего вида. Чтобы сделать текущим другой вид, выберите из списка нуж-
ный номер. При выделении вида в списке объекты, расположенные в нем,
и его габаритная рамка выделяются в окне документа. Это позволяет быстро
выбрать нужный вид.
Создание электронного чертежа 43
Рис. 2.32. Выбор текущего вида в поле Состояние видов
В строках списка кроме номеров видов отображаются также значки в виде
открытого или закрытого замка, позволяющие переводить активный вид
в фоновый и наоборот. Для изменения состояния на противоположное просто
щелкните мышью на значке. Изменение состояния вида немедленно отобра-
зится на экране.
Глава 3
Чертежные инструменты электронного кульмана
3.1. Управление курсором
3.1.1. Перемещение и вид курсора
Курсор — главный инструмент при работе в КОМПАС-График. С помощью
курсора пользователь вызывает команды, вычерчивает и редактирует различ-
ные объекты, указывает точки и выполняет множество других действий.
Основной способ управления курсором — это его перемещение мышью.
Вы можете также передвигать курсор, используя клавиши со стрелками.
В этом случае перемещение будет дискретным в соответствии с выбранным
текущим шагом курсора на Панели текущего состояния (рис. 3.1). По
умолчанию установлен шаг — 1 мм.
Рис. 3.1. Раскрывающийся список Текущий шаг курсора
на Панели текущего состояния
Вид курсора может быть с маленьким крестиком в середине уголков квадрата
или в виде креста бесконечных линий (рис. 3.2). Вид легко меняется нажати-
ем комбинации клавиш <Ctrl>+<K>.
В двух полях Координаты курсора (рис. 3.3) на Панели текущего состояния
отображаются значения координат по осям X (слева) и Y (справа) в миллиметрах
Глава 3 46
с учетом установленного масштаба так, чтобы всегда знать реальное положе-
ние курсора. Вы можете ввести нужные значения с клавиатуры.
Рис. 3.2. Маленький (слева) и большой (справа) вид курсора
Рис. 3.3. Поля Координаты курсора на Панели текущего состояния
3.1.2. Привязки
В процессе работы над чертежом постоянно возникает необходимость сты-
ковать вводимые геометрические примитивы друг с другом и предельно точ-
но устанавливать курсор в уже имеющиеся на чертеже точки. Для этого слу-
жит система глобальных привязок. При черчении на компьютере нельзя
пристроить один геометрический объект к другому "на глазок". При нанесе-
нии точек, линий и фигур надо обязательно пользоваться привязками, иначе
построенный чертеж будет некорректным: с пересечением линий, разрывами
между смежными отрезками, неточным положением центров и т. д. Эти не-
точности незаметны при нормальной работе, но будут видны при сильном
приближении изображения.
Навык пользования привязками крайне важен, поскольку при трехмерном
моделировании любая ошибка в выполнении чертежа эскиза приведет к не-
возможности выполнения формообразующей операции.
Для привязки какой-либо точки геометрического объекта подведите курсор
(не щелкая мышью!) к тому месту, где вы хотите зафиксировать эту точку.
Вы увидите, как ловушка захватывает нужный объект: на экране отобразится
фантóм курсора, который как бы затягивается в характерную точку. После
этого зафиксируйте курсор нажатием левой кнопки мыши. На рис. 3.4 пока-
зано, как при подведении к концу отрезка сработала привязка Ближайшая
точка.
Рис. 3.4. Привязка курсора к концу отрезка (т. е. к ближайшей точке)
Чертежные инструменты электронного кульмана 47
Кнопка Установка глобальных привязок, расположенная на Панели те-
кущего состояния (рис. 3.5), вызывает соответствующее диалоговое окно
(рис. 3.6). Рядом находится кнопка Запретить привязки.
Рис. 3.5. Кнопка вызова диалогового окна Установка глобальных привязок на Панели текущего состояния
Рис. 3.6. Диалоговое окно Установка глобальных привязок
В появившемся диалоговом окне можно включить или выключить самые
разнообразные привязки к характерным точкам и объектам:
Ближайшая точка — к ближайшей характерной точке объекта (напри-
мер, к концам отрезка) или к началу текущей системы координат;
Середина — к середине геометрического объекта (например, отрезка);
Касание — создаваемый элемент касается указанного объекта в точке,
ближайшей к текущему положению курсора;
Нормаль — перпендикулярно указанному объекту;
Пересечение — к ближайшему пересечению геометрических объектов;
Глава 3 48
По сетке — к ближайшей точке вспомогательной сетки (при этом изо-
бражение самой сетки на экране может быть выключено);
Выравнивание — вводимая точка выравнивается по горизонтали или
вертикали по отношению к другим характерным точкам;
Угловая привязка — курсор перемещается относительно последней за-
фиксированной точки под углами, кратными указанному при настройке
значению (по умолчанию шаг угловой привязки равен 45°);
Центр — к центральной точке окружности, дуги или эллипса;
Точка на кривой — к ближайшей точке указанной кривой.
Можно включать сразу несколько различных глобальных привязок, и все они
будут работать одновременно. По умолчанию активны Ближайшая точка,
Пересечение, Угловая привязка и Точка на кривой. При необходимости
можно установить флажок Все привязки.
Проследите, чтобы была включена опция Динамически отслеживать, тогда
расчет привязок выполняется "на лету". В противном случае расчет будет
выполняться только при фиксации точки.
Флажок на пункте Отображать текст облегчит процесс ввода и стыковки
геометрических примитивов особенно на первых этапах компьютерного чер-
чения. В этом случае система выдает подсказку о том, какая именно из вклю-
ченных привязок сработала в данный момент.
При создании графических объектов нажатием правой кнопки мыши можно
вызвать контекстное меню и из предложенного списка выбрать привязку, ко-
торая должна сработать в момент построения (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Список привязок контекстного меню при вводе геометрических объектов
Чертежные инструменты электронного кульмана 49
3.1.3. Сетка
Часто бывает удобным включить на экране изображение сетки — вспомога-
тельных точек или линий, расположенных на определенном равном расстоя-
нии друг друга, и назначить привязку к ее узлам (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Вспомогательная сетка в виде точек
Кнопка включения сетки находится на Панели текущего состояния (рис. 3.9).
Такой режим работы можно сравнить с вычерчиванием изображения на листе
миллиметровой бумаги. Сетка не является частью документа и предназначе-
на только для удобства работы. Точки сетки не выводятся на бумагу при пе-
чати документа.
Команда Настроить параметры на Панели текущего состояния (рис. 3.10)
вызывает диалоговое окно настройки параметров сетки, где устанавливается
внешний вид и шаг сетки (рис. 3.11).
Рис. 3.9. Кнопка Сетка на Панели текущего состояния
Рис. 3.10. Команда Настроить параметры на Панели текущего состояния
Глава 3 50
Рис. 3.11. Диалоговое окно Параметры
3.2. Управляющие клавиши
В системе предусмотрены управляющие клавиши для часто выполняемых
действий. Изменение этих клавиатурных комбинаций невозможно. В табл. 3.1
приводятся основные комбинации.
Таблица 3.1. Управляющие клавиши в КОМПАС-График
Сочетание клавиш Описание
Общесистемные действия
<Enter> Зафиксировать (ввести) точку
<Esc> Прервать выполнение команды, закрыть страницу меню или диалоговое окно
<Delete> Удалить все выделенные объекты
<F1> Вызвать справочную систему
<Alt>+<F4> Завершить работу с КОМПАС-3D
Ввод и редактирование текста на чертеже
<Ctrl>+<Enter> Закончить ввод или редактирование текста на чертеже с его сохранением или редактирование основной надписи с ее со-хранением
<F3> Найти или заменить следующее вхождение заданного текста
Чертежные инструменты электронного кульмана 51
Таблица 3.1 (окончание)
Сочетание клавиш Описание
Управление окнами
<Ctrl>+<F6>, <Ctrl>+<Tab>
Перейти к следующему окну
<Ctrl>+<Shift>+<F6>,
<Ctrl>+<Shift>+<Tab> Перейти к предыдущему окну
Управление отображением в окне
<Ctrl>+<G> Включить/выключить отрисовку сетки в активном окне
<Ctrl>+<F9> Обновить изображение в активном окне
<PageUp> Пролистать изображение на один экран вверх
<PageDn> Пролистать изображение на один экран вниз
<Home> Пролистать изображение до верхней границы документа
<End> Пролистать изображение до нижней границы документа
Управление положением курсора и привязкой
(используются клавиши на дополнительной цифровой клавиатуре)
<Ctrl>+<0> Переместить курсор в точку (0, 0) текущей системы координат
<5> Установить курсор в ближайшую характерную точку бли-жайшего элемента без учета фоновых видов и слоев
<Ctrl>+<5> Установить курсор в ближайшую характерную точку бли-жайшего элемента с учетом фоновых видов и слоев
<Shift>+<5> Установить курсор в середину ближайшего к положению курсора примитива
<Alt>+<5> Установить курсор в точку пересечения двух ближайших к положению курсора примитивов
<Ctrl>+<K> Переключить внешний вид курсора (большой или маленький)
<Ctrl>+<D> Запретить/разрешить глобальные привязки
<F5> Перестроить
<F7> Включить/выключить режим округления линейных величин
<F8> Включить/выключить режим ортогонального черчения
Вы можете назначать и другие сочетания клавиш быстрого вызова команд.
Для этого на вкладке Клавиатура диалогового окна, вызываемого командой
Сервис | Настройка интерфейса, выберите категорию и команду из этой
Глава 3 52
категории (рис. 3.12). Если команде уже было назначено сочетание клавиш,
оно будет показано в списке Текущие. Одной команде может быть назначено
несколько клавиатурных комбинаций.
Рис. 3.12. Вкладка Клавиатура диалогового окна Настройка интерфейса
3.3. Работа с геометрическими объектами
3.3.1. Основные принципы создания
геометрических объектов
Основной принцип создания двумерного изображения заключается в вычер-
чивании простых геометрических объектов или, как их называют, геометри-
ческих примитивов в качестве элементов более сложной конфигурации. Гео-
метрические примитивы последовательно пристраиваются друг к другу,
точно попадая в нужное положение за счет использования соответствующих
привязок.
Построения проводят, переходя от одного изображения к другому и снова
возвращаясь для окончательной прорисовки к первоначальному изображе-
нию. Универсальных рекомендаций по созданию чертежа дать невозможно,
т. к. достичь одного и того же результата можно несколькими путями. После
выполнения десятка чертежей вы сами решите, какой прием или способ вво-
да геометрических объектов является более удобным.
Чертежные инструменты электронного кульмана 53
Рис. 3.13. Инструментальная панель Геометрия
Основные геометрические объекты задаются при помощи команд на инстру-
ментальной панели (рис. 3.13), которые становятся доступными при включе-
нии кнопки-переключателя Геометрия в левой части окна системы.
Каждая команда, содержащая небольшой черный треугольник в правом ниж-
нем углу, после нажатия и небольшой задержки с нажатой кнопкой позволяет
Глава 3 54
раскрыть Панель расширенных команд. Не отпуская левую кнопку мыши,
следует поместить курсор для выбора нужного геометрического объекта
и затем отпустить кнопку. Правильно выбрать кнопку помогает появляю-
щийся ярлычок с именем команды.
Каждый геометрический примитив, который вы создаете при работе
в КОМПАС-График, обладает определенным набором характеристик. После
вызова какой-либо команды на панели свойств появляются все характеристи-
ки этого объекта. Вы можете изменять любую из них непосредственно в про-
цессе построения или редактирования. Содержимое панели свойств зависит
от типа геометрического объекта.
Для ввода значений используется метрическая система мер. Размеры линей-
ных величин вводятся в миллиметрах, а угловые величины — в градусах
(угол наклона отсчитывается от положительного направления оси х в на-
правлении против часовой стрелки). И те, и другие можно вводить только
в виде десятичных чисел. Целая часть числа от дробной отделяется символом
точки или запятой. Линейные и угловые величины могут быть положитель-
ными и отрицательными. В последнем случае перед числом записывается
знак "минус".
В КОМПАС-График существует предопределенный порядок задания пара-
метров. После вызова команды окно первого предопределенного (самого
важного) параметра объекта сразу становится открытым для ввода значения.
В команде Отрезок первым предопределенным параметром является Длина,
в Окружности — ее Диаметр, в Прямоугольнике — Высота и т. д.
Набранное с клавиатуры значение автоматически заносится системой в поле
первого предопределенного параметра. При нажатии клавиши <Enter> про-
исходит фиксация этого значения и переход к следующему предопределен-
ному параметру. Значение числового параметра, не подтвержденное нажатием
клавиши <Enter>, не сбрасывается при переводе курсора в окно документа.
Отрезок
На рис. 3.14 показана Панель расширенных команд при раскрытии кноп-
ки Отрезок, где кроме команды по созданию собственно Отрезка можно
выбрать:
Параллельный отрезок;
Перпендикулярный отрезок;
Касательный отрезок через внешнюю точку;
Касательный отрезок через точку кривой;
Отрезок, касательный к двум кривым.
Чертежные инструменты электронного кульмана 55
Рис. 3.14. Панель расширенных команд команды Отрезок
Рассмотрим основные приемы работы с панелью свойств на примере созда-
ния произвольно расположенного Отрезка. После вызова команды Отрезок
на панели свойств появляется несколько полей (рис. 3.15). Значение каждого
параметра отображается в отдельном поле, слева от которого написано крат-
кое название параметра.
Рис. 3.15. Панель свойств команды Отрезок
Параметрами Отрезка являются следующие:
т1 — координаты начальной точки;
т2 — координаты конечной точки;
Длина;
Угол наклона к оси х текущей системы координат;
Стиль линии.
Слева от названия параметра находится флажок. Галочка означает, что сис-
тема в настоящий момент ожидает ввода данного параметра указателем
мыши (например, поле т1 координат начальной точки сразу после запуска
команды построения Отрезка). После того как параметр зафиксирован, на
флажке появляется крестик. Если флажок пустой, то параметр является
вспомогательным (например, длина и угол наклона при построении отрезка).
При этом первый предопределенный параметр (длина отрезка) доступен для
ввода с клавиатуры.
Глава 3 56
Для вычерчивания Отрезка используются два основных способа построения.
Положение начальной и конечной точек отрезка задается щелчком мыши
прямо в окне документа (при ожидании ввода начальной точки отрезка на
экране рядом с курсором появится цифра 1, при ожидании ввода конечной
точки — 2). При этом длина и угол наклона отрезка будут определены ав-
томатически (рис. 3.16).
Рис. 3.16. Ввод Отрезка по начальной и конечной точкам
Положение начальной точки задается щелчком мыши в окне документа.
Значение длины отрезка вводится с клавиатуры, и угол наклона задается
снова курсором или с клавиатуры. При этом конечная точка отрезка будет
определена автоматически (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Ввод Отрезка по начальной точке, длине и углу наклона
При построении горизонтальных и вертикальных отрезков удобно пользо-
ваться мышью с одновременно нажатой клавишей <Shift>.
Если вам необходимо изменить тип линии Отрезка, перед окончательной
фиксацией положения раскройте список Стиль на панели свойств и выбери-
Чертежные инструменты электронного кульмана 57
те нужный тип линии (рис. 3.18). Обратите внимание, что на чертеже линии
отличаются не только начертанием, но и цветом.
Рис. 3.18. Раскрывающийся список Стиль на панели свойств Отрезка
По умолчанию на панели свойств включена кнопка Автосоздание объекта,
т. е. после ввода всех значений система автоматически отрисует отрезок
с установленными параметрами. Команда остается активной, и можно перей-
ти к построению следующего отрезка.
Для выхода из команды надо нажать кнопку Прервать команду на панели
свойств или обратиться к другой команде инструментальной панели.
Наименования и перечень линий в КОМПАС-График несколько отличаются
от стандарта (табл. 3.2).
Таблица 3.2. Типы линий и их назначение
Наименование Толщина
линии
Основное назначение
В системе
КОМПАС-График
По
ГОСТу 2.303-68
Основная Сплошная ос-
новная
s Линии видимого контура; линии
перехода видимые; линии кон-
тура сечения, вынесенного
и входящего в состав разреза
Тонкая Сплошная тон-
кая От s
3 до
s
2
Линии контура наложенного се-
чения; размерные и выносные
линии; линии штриховки; линии-
выноски; полки линий-выносок
и подчеркивание надписей
Глава 3 58
Таблица 3.2 (окончание)
Наименование Толщина
линии
Основное назначение
В системе
КОМПАС-График
По
ГОСТу 2.303-68
Осевая Штрихпунктирная
тонкая От s
3 до
s
2
Осевые и центровые линии;
линии сечений, являющихся
осями симметрии для наложен-
ных или вынесенных сечений
Штриховая Штриховая От
s
3 до
s
2
Линии невидимого контура; не-
видимые линии перехода
Утолщенная Разомкнутая От
s
3 до
s
2
Линии сечений
Пунктир 2 Штрихпунктирная
тонкая с двумя
точками
От s
3 до
s
2
Линии сгиба на развертках; ли-
нии для изображения изделий
в крайних или промежуточных
положениях; линии для изобра-
жения развертки, совмещенной
с видом
Осевая основная Штрихпунктирная
утолщенная
От s
до s3
2
Линии, обозначающие поверх-
ности, подлежащие термообра-
ботке; линии для изображения
элементов, расположенных пе-
ред секущей плоскостью
Штриховая ос-
новная
— s Специальные линии, например,
невидимые участки трубопро-
водов (по ГОСТу 21.206-93)
Вспомогательная — — Временные прямые и кривые
линии
Для линии
обрыва
Сплошная вол-
нистая От s
3 до
s
2
Линии обрыва; линии разграни-
чения вида и разреза
— Сплошная тон-
кая с изломом От s
3 до
s
2
Длинные линии обрывов
ПРИМЕЧАНИЕ
Толщина линий устанавливается по отношению к толщине сплошной основной
линии s = 0,6—1,5 мм. Назначение сплошной тонкой с изломами в КОМПАС-
График осуществляется специальной командой Линия с изломами, кнопка вы-
зова которой находится на инструментальной панели Обозначения.
Чертежные инструменты электронного кульмана 59
Вспомогательная прямая
Часто для различных построений требуется провести вспомогательные гори-
зонтальные, вертикальные и другие прямые линии. Эти линии подобны тем,
которые пользователь прочерчивает на чертеже в качестве линий проекцион-
ной связи, для прорисовки изображений и т. д. Вспомогательные прямые ли-
нии не выводятся на бумагу при печати и могут быть удалены с чертежа все
одной командой Редактор | Удалить | Вспомогательные кривые и точки |
В текущем виде или Во всех видах (рис. 3.19).
Рис. 3.19. Последовательность вызова команды удаления вспомогательных прямых и точек
Команды вызова вспомогательных линий находятся на панели расширенных
команд Вспомогательная прямая (рис. 3.20).
Посмотрим, как нанести на чертеж вспомогательную Параллельную прямую,
т. е. прямую, параллельную выбранному прямолинейному (базовому) объекту.
1. Нажмите кнопку Параллельная прямая.
2. В окне документа укажите курсором базовый объект (при выделении он
подсветится красным цветом).
3. Задайте расстояние от базового объекта до параллельной прямой. Для это-
го введите нужное значение в поле Расстояние на панели свойств.
Глава 3 60
4. По умолчанию система предлагает построение двух прямых, расположен-
ных на заданном расстоянии по обе стороны от базового объекта
(рис. 3.21). Вы можете зафиксировать одну из них или обе, щелкая мы-
шью на нужном фантоме.
5. Для выхода из команды нажмите кнопку Прервать команду.
Рис. 3.20. Панель расширенных команд команды Вспомогательная прямая
Рис. 3.21. Ввод вспомогательной Параллельной прямой
Плоские фигуры
Построение на чертеже окружности или ее дуги, эллипса, прямоугольника,
правильного многоугольника не должно вызвать у вас затруднений. Надо
просто задать курсором характерную точку этого геометрического объекта
Чертежные инструменты электронного кульмана 61
(центр окружности или дуги, вершину или центр многоугольника — чтобы
не ошибиться, внимательно следите за строкой сообщений в нижней части
экрана) и задать параметры этого объекта на панели свойств.
Кривая Безье
Для построения волнистой линии используется команда Кривая Безье
(рис. 3.22). Эта команда позволяет построить линию, проходящую через точ-
ки, указанные мышью в окне документа (рис. 3.23). Для фиксации резуль-
татов построения кривой Безье необходимо нажать специальную кнопку
Создать объект на панели свойств.
Рис. 3.22. Команда Кривая Безье на странице Геометрия
Рис. 3.23. Построение волнистой линии при помощи команды Кривая Безье
Фаска и скругление
Для нанесения на чертеж фасок и скруглений системой предусмотрены команды:
Фаска и Скругление — в месте, где пересекаются или состыковываются
две прямые;
Фаска на углах объекта и Скругление на углах объекта — на углах
ломаной или многоугольника.
Нажмите кнопку Фаска (рис. 3.24) и на панели свойств введите значения
ширины фаски (это значение можно выбрать из раскрывающегося списка).
Глава 3 62
Рис. 3.24. Команда Фаска на странице Геометрия
Рис. 3.25. Нанесение фаски
Укажите первый и второй объекты, между которыми нужно построить фаску
(рис. 3.25). Для выхода из команды нажмите кнопку Прервать команду.
Штриховка и заливка
В системе предусмотрена возможность автоматического нанесения штрихов-
ки, освобождающая пользователя от утомительного процесса штрихования
областей на разрезах и сечениях. Нажмите кнопку Штриховка (рис. 3.26).
Рис. 3.26. Команда Штриховка на странице Геометрия
На панели свойств задайте параметры штриховки (рис. 3.27):
Стиль штриховки — металл, неметалл, камень естественный и др.;
Чертежные инструменты электронного кульмана 63
Цвет, если это необходимо;
Шаг;
Угол — при назначении штриховки в левую сторону угол должен быть со
знаком "минус";
Тип отрисовки — область или полоса.
Рис. 3.27. Нанесение штриховки
При выборе шага штриховки следует помнить, что он выбирается из диапа-
зона 1—9 мм и зависит от площади штрихуемой поверхности: чем меньше
площадь, тем должен быть мельче шаг штриховки. Стандартная штриховка
выполняется тонкими линиями под углом 45 либо к линиям рамки чертежа,
либо к линии контура изображения, либо к его оси. Если линии штриховки,
проведенные под углом 45 к линиям рамки чертежа, оказываются парал-
лельными линиям контура, то вместо угла 45 следует выбрать угол 30 или
60 . Линии штриховки можно наносить с наклоном как в правую, так и в ле-
вую сторону, но в одну и ту же сторону на всех изображениях одной и той же
детали.
Укажите точку внутри замкнутой области, которую нужно заштриховать.
Система автоматически определит ближайшие возможные границы, внутри
которых указана точка. Если область незамкнута, то при помощи кнопки
Ручное формирование границ на панели свойств можно создать временную
ломаную линию, которая будет служить границей штриховки.
Так же, как при введении кривой Безье, в заключение необходимо нажать
кнопку Создать объект на панели свойств для фиксации результатов по-
строения.
Глава 3 64
Чтобы залить однотонным или изменяющимся цветом одну или несколько
областей, вызовите команду Заливка на инструментальной панели Геомет-
рия (рис. 3.28).
Рис. 3.28. Команда Заливка на странице Геометрия
На панели свойств установите Тип заливки, Цвет, Прозрачность и другие
параметры, щелкните внутри замкнутого контура (или нескольких замкнутых
контуров, в том числе и не связанных друг с другом) и нажмите кнопку Соз-
дать объект (рис. 3.29).
Рис. 3.29. Нанесение заливки
3.3.2. Нанесение осевых и центровых линий
При нанесении осевых и центровых линий можно воспользоваться двумя
приемами. Первый прием — обычный, при помощи команды Отрезок на
странице Геометрия. Выбрав стиль линии Осевая и привязавшись к харак-
терным точкам чертежа, можно наносить осевые и центровые линии как при
Чертежные инструменты электронного кульмана 65
обычном "ручном" черчении. Не забывайте делать текущим вид, в котором
вы наносите линии. Неудобством этого приема является то, что каждый раз
при прочерчивании надо следить за тем, чтобы осевые и центровые линии
выходили за контуры чертежа, вытаскивать их мышью (осевые и центровые
линии должны выходить за линию контура на 1—5 мм). При обозначении
центровых линий надо вычерчивать две линии.
Процесс нанесения осевых и центровых линий в значительной степени
облегчается за счет трех специальных команд, находящихся на странице
Обозначения.
Осевая линия по двум точкам
Команда Осевая линия по двум точкам (рис. 3.30) позволяет построить
произвольно расположенную осевую линию, указав точки ее пересечения с
контуром детали (рис. 3.31). В документе будет создана осевая линия, высту-
пающая за указанные точки.
Рис. 3.30. Команда Осевая линия по двум точкам
на странице Обозначения
Рис. 3.31. Проведение осевой линии по двум точкам
Глава 3 66
На панели свойств во вкладке Параметры можно настроить:
Выступ — величину выступов осевой линии за контур детали;
Пунктир — длина пунктира (точки в виде короткого отрезка), находяще-
гося между штрихами;
Промежуток — расстояние между пунктиром и штрихом.
Напоминаем, что по ГОСТу 2.303-68 расстояние между штрихами, т. е. об-
щая длина пунктира и двух промежутков, должна составлять 3—5 мм, а дли-
на штриха — 5—30 мм.
Осевые линии должны начинаться и заканчиваться штрихами. Чтобы выпол-
нить это требование, при отрисовке линий система сама производит пропор-
циональное изменение длин штрихов. Штрихи в линии получаются одинако-
вой длины.
Если штрихпунктирная линия короткая, то система изображает ее в виде одно-
го длинного штриха. Это не противоречит Единой системе конструкторской
документации (ЕСКД), т. к. штрихпунктирные линии следует заменять сплош-
ными тонкими линиями, если диаметр окружности или размеры других гео-
метрических фигур в изображении меньше 12 мм. Включенная опция Авто-
определение автоматически рассчитывает длину штриха в диапазоне,
предусмотренном стандартом.
Автоосевая линия
Команда Автоосевая (рис. 3.32) позволяет построить осевую линию, поло-
жение и размеры которой будут автоматически определены системой или
настроены пользователем.
Рис. 3.32. Команда Автоосевая на странице Обозначения
Для управления параметрами такой линии служат два переключателя группы
Способ на панели свойств:
По объектам;
С указанием границы.
Чертежные инструменты электронного кульмана 67
Переключатель По объектам настраивает положение автоосевой линии от-
носительно объектов чертежа автоматически:
Параллельно прямолинейному отрезку — указав базовый отрезок и точку,
через которую должна пройти автоосевая линия (длина штрихпунктирной
линии соответствует базовому отрезку);
По биссектрисе угла — образованного двумя отрезками, указав последо-
вательно эти два отрезка (отрезки не обязательно должны пересекаться).
Обозначение центра
Команда Обозначение центра (рис. 3.33) позволяет выполнить центровые
линии или показать центр окружности, эллипса, дуги окружности или эллип-
са, прямоугольника, правильного многоугольника.
Рис. 3.33. Команда Обозначение центра на странице Обозначения
По умолчанию обозначение центра формируется в виде двух пересекающих-
ся осей (рис. 3.34). Система автоматически отслеживает, чтобы штрихпунк-
тирные линии при обозначении центровых линий пересекались штрихами,
что отвечает требованиям ГОСТа 2.303-68. Чтобы создать одну ось или ус-
ловное обозначение центра в виде крестика, активизируйте соответствующий
переключатель на панели свойств.
Рис. 3.34. Формирование центра окружности командой Обозначение центра
Глава 3 68
Если указан эллипс, дуга эллипса, прямоугольник или правильный много-
угольник, обозначение центра немедленно фиксируется. Если указана ок-
ружность или ее дуга, то для фиксации обозначения необходимо также ука-
зать угол наклона центровой линии мышью (для ортогонально проведенных
осей это легко сделать, нажав клавишу <Shift>).
Чтобы настроить по умолчанию внешний вид осевых линий как в новых, так
и в текущих документах, создаваемых с помощью команд Осевая линия по
двум точкам, Автоосевая и Обозначение центра, надо вызвать диалоговое
окно настройки осевой линии командой Сервис | Параметры | Новые доку-
менты | Графический документ | Линии | Осевая линия.
3.4. Ввод текстовых надписей и шрифты
Для оформления чертежей, схем, задач зачастую требуется наносить различ-
ные надписи или буквенно-цифровые обозначения, например, обозначения
осей проекций, точек, прямых, плоскостей и т. д. Содержание текста и надпи-
сей должно быть кратким и точным. В них не должно быть сокращений, за
исключением общепринятых. Текст располагают на свободном месте черте-
жа параллельно основной надписи.
Надписи, наносимые на чертежи и другую техническую документацию, на-
носятся чертежным шрифтом (ГОСТ 2.304-81). Основным параметром
шрифта является его размер h, который определяется высотой прописных
букв в миллиметрах:
2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40.
Стандарт устанавливает два основных типа шрифта:
типа А (рис. 3.35, а) — более тонкий и узкий, в котором все параметры
(ширина букв и цифр, толщина линий и др.) кратны величине h/14;
типа Б (рис. 3.35, б) — более толстый и широкий, в котором все парамет-
ры кратны величине h/10.
а б
Рис. 3.35. Типы чертежных шрифтов: а — типа А; б — типа Б
Чертежные инструменты электронного кульмана 69
Шрифты типов А и Б можно выполнять без наклона или с наклоном около
75 к основанию строки. Размер для наклонного шрифта измеряется по пер-
пендикуляру к основанию строки. На учебных чертежах рекомендуется ис-
пользовать шрифт с наклоном. Рекомендуемый размер шрифта при нанесе-
нии размеров и надписей — 5.
В системе КОМПАС-3D предусмотрена возможность нанесения текста, мак-
симально приближенного к стандартным чертежным шрифтам. Эти шрифты
называются "GOST type A" и "GOST type B".
Чтобы ввести текст, необходимо выполнить следующие действия.
1. Нажмите кнопку Ввод текста на инструментальной панели Обозначения
(рис. 3.36).
Рис. 3.36. Кнопка Ввод текста на странице Обозначения
Рис. 3.37. Панель Размещение текста
2. В нижней части экрана возникнет панель Размещение (рис. 3.37), на ко-
торой необходимо установить параметры положения текста в эскизе:
группа переключателей Размещение позволяет выбрать расположение
текста относительно точки привязки (доступны три варианта размеще-
ния: Слева, По центру и Справа) — в любом случае точка привязки
находится на нижней линии первой строки текста (рис. 3.38);
Глава 3 70
в полях Точка привязки можно ввести значения ее координат с кла-
виатуры, в поле Угол — угол наклона строк текста к оси x текущей
системы координат;
если точное расположение текста не обязательно, то можно задать точ-
ку привязки, щелкнув курсором примерно в том месте, где нужно вве-
сти текст (в дальнейшем можно легко отредактировать положение тек-
ста, переместив его вручную в требуемое положение).
Рис. 3.38. Точка привязки теста: а — слева; б — по центру; в — справа
3. После задания точки привязки текста система перейдет в режим тестового
редактора: в окне документа над точкой привязки появится ограниченный
тонкими линиями прямоугольник, внутри которого будут помещаться тек-
стовая надпись и текстовый курсор. Обратите внимание на то, как изме-
нилось содержание панели свойств (рис. 3.39). На вкладке Формат нахо-
дятся:
поле Шрифт, которое содержит список поддерживаемых системой
шрифтов;
поле Высота символов, в котором можно установить параметры
шрифта (рядом находится стрелка для вызова списка стандартных раз-
меров шрифта);
поле Сужение шрифта, которое можно задать с клавиатуры или вы-
брать из списка;
поле для ввода Шаг строк;
переключатели начертания текста Курсив, Полужирный и Подчерк-
нутый;
список, позволяющий выбрать Цвет текста;
Окно просмотра текущих параметров шрифта;
группа переключателей выравнивания абзаца текста: Выровнять влево,
Центрировать, Выровнять вправо, Выровнять по ширине;
а б в
Чертежные инструменты электронного кульмана 71
Рис. 3.39. Вкладка Формат панели свойств Ввод текста
кнопка Стиль текста для вызова на экран диалогового окна выбора
стилей;
кнопка Шрифт для вызова на экран диалогового окна Параметры
шрифта, в котором можно назначить или изменить высоту, сужение,
начертание и начертание текста;
кнопка Параметры абзаца для вызова на экран диалогового окна ус-
тановки параметров абзаца;
кнопка Параметры форматирования для вызова на экран диалогово-
го окна настройки формата текста;
переключатели работы со списками: Установить нумерацию, Новый
список, Увеличить вложенность, Уменьшить вложенность;
кнопка Символы форматирования для включения или отключения
отображения на экране служебных символов форматирования текста
(конец абзаца, табуляция, пробел и т. д.).
4. Теперь вы можете вводить текст с клавиатуры или переносить текстовые
фрагменты через буфер обмена. В текст можно также вставить различные
специальные объекты с помощью команд вкладки Вставка на панели
свойств. Надпись может состоять из произвольного количества строк (на-
бор каждой из них осуществляется нажатием клавиши <Enter>). По умол-
чанию система задает следующие параметры шрифта:
GOST type A;
высота символов — 5 мм;
сужение — 1 мм;
шаг строк — 7 мм;
начертание текста — курсив;
цвет — черный.
5. После ввода требуемого текста нажмите кнопку Создать объект и для
завершения работы с текстовыми надписями — Прервать команду.
Глава 3 72
3.5. Общие приемы выделения
и редактирования объектов
3.5.1. Выделение объектов
Для редактирования, копирования, перемещения геометрических объектов
нужно их предварительно выделить. В системе КОМПАС-3D объекты можно
выделять как с помощью мыши, так и с помощью команд меню.
Удобнее всего выделять объекты при помощи мыши, а именно подвести кур-
сор к нужному объекту ("ловушка" курсора при этом должна захватывать
объект) и щелкнуть левой кнопкой мыши. Цвет объекта изменится.
Если необходимо выделить несколько объектов, нажмите клавишу <Shift>
и удерживайте ее нажатой, одновременно щелкая левой кнопкой мыши на
нужных объектах.
Можно выделить несколько объектов другим способом — с помощью пря-
моугольной рамки. Установите курсор на свободное место, нажмите левую
кнопку мыши и перемещайте курсор, удерживая кнопку нажатой. На экране
будет отображаться рамка, следующая за курсором. Захватите требуемые
объекты этой рамкой и отпустите кнопку мыши. Все объекты, целиком по-
павшие внутрь рамки, будут выделены.
После того как нужные объекты окажутся выделенными, с ними можно вы-
полнять различные операции — удалять, перемещать, копировать и т. д. Что-
бы отменить выделение объекта, щелкните левой кнопкой мыши в любом
месте вне этого объекта. Выделение будет снято, и объект отобразится своим
нормальным цветом.
Выделение графических объектов документа можно проводить также при
помощи команд инструментальной панели Выделение в левой части окна
системы. Соответствующая кнопка-переключатель открывает инструмен-
тальную панель, состоящую из 13 команд, позволяющих производить выде-
ление рамкой, секущей ломаной, по одному типу и др.
3.5.2. Редактирование
Изменение формы и копирование объектов производится при помощи ко-
манд на инструментальной панели Редактирование (рис. 3.40). На этой
странице находятся 10 кнопок-команд.
Команда Сдвиг позволяет сдвинуть выделенные объекты двумя способа-
ми: с использованием базовой точки или заданием перемещений по осям.
Чертежные инструменты электронного кульмана 73
В первом случае сначала указывают базовую точку для сдвига т1, а затем
точку т2, определяющую ее новое положение. Для выполнения переме-
щения вторым способом введите в поля Сдвиг X и Сдвиг Y на панели
свойств значения смещений в направлениях осей текущей системы коор-
динат.
Команда Поворот позволяет повернуть выделенные объекты. Для этого
надо указать точку центра поворота, базовую точку т1, а затем точку т2,
определяющую новое положение базовой точки.
Команда Масштабирование позволяет увеличить или уменьшить в опре-
деленном отношении выделенные объекты, для чего необходимо устано-
вить значения коэффициентов масштабирования по осям координат x и y
в соответствующих полях на панели свойств.
Команда Симметрия позволяет выполнить симметрию выделенных объ-
ектов относительно прямой. Для выделения оси симметрии необходимо
установить положение первой (т1), а затем второй (т2) точек, принадле-
жащих оси симметрии.
Рис. 3.40. Инструментальная панель Редактирование
Глава 3 74
Команда Копирование позволяет скопировать выделенные объекты. Для
копирования надо указать базовую точку т1 и положение точки т2, опре-
деляющую новое положение базовой точки.
Команда Деформация сдвигом позволяет выполнить деформацию сдви-
гом объектов. Укажите базовую точку для сдвига т1, а затем точку т2, оп-
ределяющую ее новое положение.
Команда Усечь кривую позволяет удалить часть объекта, ограниченную
точками пересечения его с другими объектами.
Команда Разбить кривую позволяет разбить объект в какой-либо точке
на две части или несколько равных частей.
Команда Очистить область позволяет удалить все объекты, находящиеся
внутри или снаружи от некоторой границы.
Команда Преобразовать в NURBS позволяет преобразовать геометриче-
ский объект или текст в кривую, состоящую из гладко состыкованных по-
линомов — кривую NURBS.
3.5.3. Удаление объектов
и измерения
Удалять можно как отдельные объекты, так и произвольные их сочетания.
Самое простое — выделить их и нажать клавишу <Delete>.
При работе с чертежом может возникнуть необходимость узнать расстояние
или угол между вершинами, ребрами, осями, гранями и плоскостями или
площадь фигуры. Измерения длин, расстояний, углов и площадей геометри-
ческих объектов проводится при помощи команд на инструментальной пане-
ли Измерения 2D (рис. 3.41). Эта страница состоит из 10 кнопок.
После вызова команды измерений на экране появится диалоговое окно, по-
зволяющее получать и записывать информацию о произведенных измерени-
ях. Последовательно указывайте объекты для измерений — результаты будут
отображаться в диалоговом окне.
Вы можете произвести несколько измерений, не выходя из команды. Система
запомнит и покажет в диалоговом окне все значения этих измерений. Вы мо-
жете сохранить результаты измерений в текстовом файле, вызвав команду
Файл | Сохранить диалогового окна Информация.
Чертежные инструменты электронного кульмана 75
Рис. 3.41. Инструментальная панель Измерения 2D
3.6. Печать чертежа
Вывод на печатающие устройства чертежей и схем, созданных в КОМПАС-
График, осуществляется только через предварительный просмотр документа.
Для выхода в этот режим на стандартной панели нажмите кнопку Предвари-
тельный просмотр (рис. 3.42).
Рис. 3.42. Команда Предварительный просмотр на Стандартной панели
Если у вас отрыто несколько документов, то система выведет на экран диало-
говое окно Документы для вывода (рис. 3.43), в котором можно указать
Глава 3 76
один или несколько документов (при нажатой клавише <Ctrl>), или поста-
вить флажок Выделить все документы.
Рис. 3.43. Диалоговое окно Документы для вывода
Нажмите кнопку OK, и система перейдет в режим предварительного про-
смотра (если был открыт один документ, то в этот режим система перейдет
сразу после нажатия кнопки Предварительный просмотр). Изображение на
экране изменится: в левой части появится видоизмененная панель свойств,
а справа будет показано условное поле вывода, на котором в зеленой рамке
отображается документ, выбранный для печати (рис. 3.44).
Следует иметь в виду, что для вывода на печать чертежа формата А4 потре-
буются четыре машинописных листа, т. к. чертежный формат не помещается
в полосу печати принтеров. Чтобы документ разместился на определенном
количестве листов (например, на одном), нужно воспользоваться командой
Сервис Подогнать масштаб (рис. 3.45).
После вызова команды на экране появится диалоговое окно Подгонка мас-
штаба документа (рис. 3.46). В поле Количество страниц по горизонтали
введите с клавиатуры или при помощи кнопок приращения значение 1,00.
При этом количество страниц по вертикали система вычислит сама. Обратите
внимание на масштаб выводимого на печать документа — он отличается от
единицы. Нажмите кнопку OK, и система перерисует изображение в соответ-
ствии с заданным масштабом.
Для настройки дополнительных параметров (количества копий, цвета и по-
рядка вывода страниц и др.) вызовите соответствующее диалоговое окно,
воспользовавшись командой Файл Настройка параметров вывода. После
настройки нажмите кнопку OK.
Чертежные инструменты электронного кульмана 77
Рис. 3.44. Документ в режиме предварительного просмотра
Рис. 3.45. Вызов команды Подогнать масштаб из меню Сервис
Рис. 3.46. Диалоговое окно Подгонка масштаба документа
Обратите внимание на команды поворота чертежа Повернуть против часо-
вой стрелки и Повернуть по часовой стрелке, расположенные на панели
управления. Эти команды могут пригодиться при компоновке чертежей, рас-
положенных на форматах А3 и больше.
Глава 3 78
Рис. 3.47. Команда Печать на панели управления
Рис. 3.48. Команда Закрыть просмотр на панели управления
После того как вы установили все необходимые параметры, нажмите кнопку
Печать на панели управления (рис. 3.47). На экране возникнет уведомление
о процессе.
Чтобы опять вернуться в чертежно-графический редактор, нажмите кнопку
Закрыть просмотр на панели управления (рис. 3.48).
Глава 4
Образование проекций
4.1. Методы проецирования
Начертательная геометрия — один из разделов геометрии, в котором свой-
ства пространственных фигур изучают по их изображениям на той или иной
поверхности. В качестве поверхности проецирования выбирают, как правило,
плоскость.
В начертательной геометрии чертеж — основной инструмент решения раз-
личных пространственных задач. К выполняемому чертежу предъявляется
ряд особых требований, четыре из которых являются наиболее существен-
ными. Чертеж должен быть:
наглядным;
обратимым;
достаточно простым;
точным.
Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством
понимается возможность точного воспроизведения формы и размеров пред-
мета по его изображению. Действительно, для всех видов технических чер-
тежей это требование является особенно важным, т. к. по чертежу в машино-
строении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется
проходка горных выработок, в электротехнике — расчет длины электриче-
ских проводников и т. д.
Основным методом получения изображений в начертательной геометрии яв-
ляется проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся
к рис. 4.1.
Пусть в пространстве имеется некоторая плоскость 0, которую будем назы-
вать плоскостью проекций. Выберем какую-либо точку S, не лежащую
Глава 4 80
в плоскости проекций. Эта точка называется центром проецирования. Чтобы
спроецировать некоторую точку A пространства на плоскость 0, необходимо
через центр проецирования S провести проецирующую прямую SA до ее пе-
ресечения в точке A0 с плоскостью 0.
Рис. 4.1. Схема центрального проецирования
При этом точка A0 называется проекцией точки A на плоскости 0. Проекцией
фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную по-
верхность проецирования (например, на рис. 4.1 проекцией треугольника
BCD на плоскости 0 является треугольник B0C0D0). Описанный метод про-
ецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной
фигуры и центр проецирования называется центральным.
Если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки про-
странства (рис. 4.2), то все проецирующие прямые окажутся взаимно парал-
лельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направле-
ние m, по которому оно осуществляется, — направлением проецирования.
Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости
проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным.
Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косо-
угольным.
Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отли-
чаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного
аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недос-
татки. Во-первых, непросто построить само изображение предмета. Во-вторых,
построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вслед-
ствие значительных искажений, возникающих при данном методе проециро-
Образование проекций 81
вания, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причи-
нам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение
в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.
Рис. 4.2. Схема параллельного проецирования
Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с централь-
ным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно орто-
гональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.
Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на
метрические и позиционные.
Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предме-
тов по их изображению. К таким задачам относится определение натураль-
ной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними.
Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различ-
ных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур.
Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной
геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых
приведены в табл. 4.1.
Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде все-
го, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных
в табл. 4.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектирова-
нии имеет эпюр (ортогональный или комплексный чертеж). На его основе вы-
полняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т. д. Поэто-
му в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно
этому методу построения.
Глава 4 82
Таблица 4.1. Основные системы изображения, используемые при проецировании
Система изображения
Способ проецирования
Поверхность проецирования
Особенности
Эпюр (ортогональ-ный или комплекс-ный чертеж)
Ортогональное
Две или три вза-имно перпендику-лярные плоскости
Условное совмещение плоскостей проекций с плоскостью чертежа путем их вращения
Проекции с число-выми отметками
Ортогональное
Плоскость Расстояние до плоско-сти проекций определя-ется числовой отметкой
Перспектива Центральное
Плоскость, цилиндр, сфера
Ограничение макси-мального угла между проецирующими лучами
Аксонометрические проекции
Параллельное или централь-ное
Плоскость Проецирование вместе с осями координат
Однако и другие методы проецирования находят применение на практике,
поэтому также будут рассмотрены основные правила изображения предметов
при помощи проекций с числовыми отметками, линейной перспективы и ак-
сонометрических проекций.
4.2. Эпюр. Проецирование точки
Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную сово-
купность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения раз-
личных предметов необходимо научиться строить изображения точки про-
странства.
Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 4.3):
1 — горизонтальную плоскость проекций;
2 — фронтальную плоскость проекций;
3 — профильную плоскость проекций.
Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями
проекций и обозначаются x, y и z. Точка О — точка пересечения всех трех
осей проекций — называется началом координат.
Для наглядного изображения плоскостей проекций взята косоугольная ди-
метрическая проекция, известная из курсов геометрии и черчения средней
школы. В этой проекции ось х расположена горизонтально и направлена
Образование проекций 83
положительным лучом влево, ось z — вертикально и направлена поло-
жительным лучом вверх, а ось y наклонена к горизонтальной линии под уг-
лом 45 и положительным лучом направлена к наблюдателю. Коэффициент
искажения по осям x и z равен 1, а по оси у — 0,5.
Рис. 4.3. Точка А в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей
Представим себе также в пространстве некоторую точку А. Чтобы получить
проекцию точки A на горизонтальной плоскости проекций, необходимо про-
вести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости
1, и найти точку пересечения A этой прямой с плоскостью 1. Точка A на-
зывается горизонтальной проекцией точки A. Путем ортогонального проеци-
рования точки A на фронтальную и профильную плоскости проекций обра-
зуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки A и
A ). Образованный проецирующими лучами и отрезками осей параллелепи-
пед называют параллелепипедом проекций.
Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и
равные расстояниям от точки А до горизонтальной, фронтальной и профиль-
ной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) ко-
ординатами:
по оси x — абсцисса, равная длине отрезка xA = AA ;
по оси y — ордината, равная длине отрезка yA = AA ;
по оси z — аппликата, равная длине отрезка zA = AA .
Глава 4 84
Три координаты точки однозначно определяют ее положение в простран-
стве.
Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис. 4.3, дают нам
пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости
чертежа плоскости проекций 1, 2 и 3 условно совмещают с плоскостью
чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом. Фронтальная
плоскость проекций 2 принимается за плоскость чертежа, горизонтальная
плоскость проекций 1 совмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг
оси x, а профильная плоскость проекций 3 — вращением вокруг оси z. На-
правление вращения на рис. 4.3 показано стрелками.
При совмещении плоскости 1 с плоскостью чертежа положительное направ-
ление оси y совмещается с отрицательным направлением оси z, а отрица-
тельное направление — с положительным направлением оси z. На чертеже
изображение оси y принято обозначать y1. При совмещении плоскости 3 с
плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отри-
цательным направлением оси x, а отрицательное направление — с положи-
тельным направлением оси x. На чертеже изображение оси y принято обозна-
чать y3.
В результате совмещения плоскостей проекций с плоскостью чертежа обра-
зуется плоское изображение — эпюр (от франц. epure — чертеж, проект),
или ортогональный (комплексный) чертеж (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Точка А на эпюре
Образование проекций 85
На эпюре изображают только проекции геометрических объектов, а не сами
объекты. Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между
собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (будем обо-
значать ее штриховой линией):
горизонтальная и фронтальная проекции (точки А и А ) расположены на
линии проекционной связи, перпендикулярной оси x;
фронтальная и профильная проекции (точки А и А ) — на линии проек-
ционной связи, перпендикулярной оси z;
горизонтальная и профильная проекции (точки А и А ) — на линии про-
екционной связи, перпендикулярной оси y.
Вследствие того, что отрезки ОАy 1 и OАy 3
являются изображением одной и
той же координаты yA, точки Аy 1 и Аy 3
связывают дугой окружности с цен-
тром в начале координат.
Каждая проекция точки А определяется двумя координатами:
горизонтальная проекция А — координатами xA, yA;
фронтальная проекция А — координатами xA, zA;
профильная проекция А — координатами yA, zA.
Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее по-
ложение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно постро-
ить третью, и притом только одну.
Положение точки может быть задано как графически, так и аналитически.
Пример графического изображения точки рассмотрен нами на рис. 4.4. Ана-
литическая форма задания точки представляет собой числовое выражение
трех координат этой точки в выбранных единицах длины (миллиметрах, сан-
тиметрах и других системных или внесистемных единицах).
Поскольку линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах и при
этом саму единицу измерения (мм) не проставляют, то запись А (30; 20; 15) будет означать, что xA = 30 мм, yA = 20 мм, zA = 15 мм. В случае использо-
вания других единиц измерения необходимо указывать, в каких именно, на-
пример, В (1 дм, 4 см, 5 см).
От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изо-
бражению этой точки на ортогональном чертеже, и наоборот.
Пример 1. Построить проекции точки Е (20; 30; 10).
1. Запустите программу КОМПАС-3D и создайте файл типа Чертеж. По
умолчанию на экран будет выведен чертежный формат А4 с основной
Глава 4 86
надписью по форме 1. Если вам нужно другое оформление, установите
необходимые параметры листа (см. разд. 2.4).
2. Нажмите кнопку Создать новый вид на инструментальной панели Ассо-
циативные виды или выберите команду Вид в меню Вставка. Вид кур-
сора поменяется на две ортогональные стрелки. По умолчанию система
предлагает следующие параметры создаваемого Вида (эти параметры по-
казаны на появившейся панели свойств): Номер — 1; Имя — Вид 1;
Цвет — черный; Масштаб — 1:1; переключатель базовой точки вида
в положении — Начало координат. Оставьте эти параметры без измене-
ний и введите начало координат вычерчиваемого вида. Для этого можно
просто щелкнуть примерно в центре чертежного листа. Теперь от этой
точки будут отсчитываться координаты по оси х и по оси y в полях управ-
ления координатами курсора. В дальнейшем положение начала координат
можно изменить, введя новые значения Х и Y (Сервис | Параметры те-
кущего вида).
3. Активизируйте панель Геометрия и для построения осей проекций через
начало координат проведите вспомогательную вертикальную и горизон-
тальную линии (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Вспомогательные прямые, проведенные через начало координат
Образование проекций 87
4. Нанесите штрихи на осях так, чтобы они хотя бы на одно деление превы-
шали максимально требуемое количество делений. Пусть единичный от-
резок будет равен 10 мм. Поскольку максимальная координата точки Е
равна 30 мм, то количество штрихов в каждом направлении осей должно
быть равно четырем. Нажмите кнопку Точка на заданном расстоянии на
инструментальной панели Геометрия (рис. 4.6). В поле Расстояние на
панели свойств введите расстояние между точками — 10, в поле Количе-
ство точек задайте количество точек, которые требуется создать — 4.
Выберите Стиль точки — Плюс тонкий (рис. 4.7).
Рис. 4.6. Команда Точка на заданном расстоянии на инструментальной панели Геометрия
Рис. 4.7. Панель свойств команды Точка на заданном расстоянии
5. Укажите курсором вспомогательную прямую (горизонтальную или верти-
кальную) и начальную точку (пересечение вспомогательных прямых),
щелкнув курсором в тот момент, когда его ловушка попадет в начало ко-
ординат. При перемещении курсора в разные стороны от базовой точки на
экране отображаются фантомы точек, которые могут быть построены. За-
фиксируйте нужный фантом, щелкнув мышью. Не выходя из команды,
Глава 4 88
повторите построения еще три раза таким образом, чтобы во всех направ-
лениях появилось по четыре засечки.
6. Активизируйте на инструментальной панели Геометрия команду Отре-
зок. На панели свойств выберите Стиль линии — Тонкая. Поверх вспо-
могательных линий проведите оси проекций длиной чуть больше крайних
засечек (рис. 4.8). Положение начальной и конечной точек отрезка задайте
щелчком мыши прямо в окне документа (при ожидании ввода начальной
точки отрезка на экране рядом с курсором появится цифра 1, при ожида-
нии ввода конечной точки — 2). При этом параметры Длина и Угол на-
клона отрезка будут определены автоматически. Удалите вспомогатель-
ные линии (Редактор | Удалить | Вспомогательные кривые и точки |
В текущем виде).
Рис. 4.8. Оси проекций с засечками
7. Стрелок на положительных направлениях осей ставить не принято. Поло-
жительное направление той или иной оси указывается ее буквенным обо-
значением. Подпишите обозначения осей х, y1, y
3 и z и начала коорди-
нат — точки О.
Щелкните на команде Ввод текста на инструментальной панели Обо-
значения. На появившейся панели Размещение оставьте все установки
по умолчанию (Угол — 0.0; Размещение — Справа).
Задайте точку привязки текста, щелкнув курсором примерно в том месте,
где нужно ввести текст (в дальнейшем можно легко отредактировать
положение текста, переместив его вручную в требуемое положение).
Образование проекций 89
После задания точки привязки текста система перейдет в режим тесто-
вого редактора: в окне документа над точкой привязки появится огра-
ниченный тонкими линиями прямоугольник, внутри которого будут
помещаться текстовая надпись и текстовый курсор. Оставьте все пара-
метры текста, установленные по умолчанию (Шрифт — GOST type A,
Высота символов — 5.0 и др.).
Чтобы написать подстрочный индекс, на панели свойств активизи-
руйте вкладку Вставка и щелкните на кнопке Вставить индекс
(средней высоты). Для набора нижнего подстрочного индекса на-
жмите клавишу < >.
Греческие буквы следует набирать, щелкнув на вкладке Вставка коман-
ду Вставить специальный символ. В диалоговом окне Символ выбе-
рите шрифт типа Symbol и затем нужную букву греческого алфавита.
Поле с осями проекций подготовлено к дальнейшей работе.
8. На осях проекций отметьте точки Еx, Еy 1, Еy 3
, Еz. Для этого в положи-
тельном направлении осей проекций отложите координатные отрезки
(рис. 4.9):
ОЕx = xЕ = 20 мм;
ОЕy 1 = ОЕy 3
= yЕ = 30 мм;
ОЕz = zЕ = 10 мм.
Рис. 4.9. Координатные отрезки точки Е
Глава 4 90
9. Из построенных точек Еx, Еy 1, Еy 3
, Еz проведите вспомогательные гори-
зонтальные и вертикальные линии, перпендикулярные осям проекций, и на
их пересечениях отметьте проекции точки Е (рис. 4.10):
E = (ExE x) (Ey 1E y
1);
E = (ExE x) (EzE z);
E = (Ey 3 E y3) (EzE z).
Рис. 4.10. Линии проекционной связи и проекции точки Е
10. Поверх вспомогательных линий при помощи команды Отрезок проведи-
те линии проекционной связи. Стиль линии — Штриховая. Удалите
вспомогательные линии. Точки Еy 1и Еy 3
соедините дугой. Для этого на-
жмите кнопку Дуга на инструментальной панели Геометрия. Укажите
центральную, а затем начальную и конечную точки дуги. При необходи-
мости группой переключателей Направление на панели свойств укажите
направление для построения дуги.
11. Отметьте все нанесенные на чертеж точки в виде небольших окружностей
(как иногда говорят, в виде "выколотых" точек). Активизируйте команду
Окружность на инструментальной панели Геометрия. На панели свойств
в окне Диаметр введите 1,5 и в нужной точке укажите центр окружности
(рис. 4.11).
Образование проекций 91
Рис. 4.11. Обозначение точек в виде небольших окружностей
12. Для нанесения таких окружностей на других точках целесообразно вос-
пользоваться буфером обмена. Выделите построенную окружность (она
подсветится зеленым цветом), щелкните на команде Копировать панели
Стандартная и укажите базовую точку в центре окружности. Затем
нажмите на той же панели кнопку Вставить и щелчком мыши расставьте
в нужных местах эти окружности.
13. Чтобы обозначения точек были на самом деле "выколотыми", пустыми
внутри, активизируйте команду Очистить область на инструментальной
панели Редактирование, щелчком мыши выделите окружности (они
подсветятся красным цветом) и на панели свойств нажмите команду Соз-
дать объект.
14. Для окончательного оформления задачи скорректируйте положение тес-
товых надписей (это удобно делать, нажав кнопку Запретить привязки
на панели Текущего состояния и установив на этой же панели мини-
мальный шаг курсора 0.10). Заполните основную надпись.
15. Для наглядного представления положения точки Е в пространстве можно
построить ее аксонометрическую проекцию (это можно сделать на этом
же листе, переместив выше уже построенный вид). Создайте новый вид
(Вид 2) и вычертите аксонометрические оси в косоугольной диметриче-
ской проекции с коэффициентами искажения:
kx = 1; ky = 0,5; kz = 1.
Глава 4 92
16. Следовательно, по осям х и z единичный отрезок будет равен 10 мм, а по
оси y — 5 мм (рис. 4.12).
Рис. 4.12. Точка Е в аксонометрической (косоугольной диметрической) проекции
17. На аксонометрических осях отложите координатные отрезки точки Е:
OЕх = xЕ = 20 мм;
ОЕy = 0,5yЕ = 15 мм;
ОЕz = zЕ = 10 мм.
18. Постройте проекции Е , Е , Е :
Е = (ЕхЕ y) (ЕyЕ x);
Е = (ЕхЕ z) ( ЕzЕ x);
Е = (ЕyЕ z) (ЕzЕ y).
19. Достройте параллелепипед проекций и постройте аксонометрическую про-
екцию точки Е:
(Е Е) z;
(Е Е) y;
(Е Е) x.
20. Сохраните файл на электронном носителе под именем, например,
Задача 1.
Образование проекций 93
Пример 2. Построить проекции точки F (–20; –30; 10).
1. Как в предыдущем примере, создайте файл типа Чертеж и начертите оси
проекций с засечками, расстояние между которыми равны выбранному
единичному отрезку — 10 мм (рис. 4.13).
Рис. 4.13. Проекции точки F на эпюре
2. Отметьте точки Fx, Fy 1, Fy 3
, Fz; с учетом знака отложите на осях проек-
ций координатные отрезки:
ОFx = xF = –20 мм;
ОFy 1 = ОFy 3
= yF = –30 мм;
ОFz = zF = 10 мм.
3. Из построенных точек Fx, Fy 1, Fy 3
, Fz проведите линии проекционной свя-
зи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отметьте про-
екции точки F:
F = (FxF x) (Fy 1F y
1);
F = (FxF x) (FzF z);
F = (Fy 3 F y3) (FzF z).
4. Завершите оформление чертежа: нанесите точки в виде окружностей, скор-
ректируйте положение текстовых надписей, заполните основную надпись.
Глава 4 94
5. В аксонометрической (косоугольной диметрической) проекции точка F
будет выглядеть так, как показано на рис. 4.14.
Рис. 4.14. Точка F в аксонометрической (косоугольной диметрической) проекции
Пример 3. Построить третью проекцию точки G по двум заданным.
1. Даны фронтальная и профильная проекции точки G (рис. 4.15). При этом
имеем в виду, что фронтальная проекция G определяется координатами
xG = ОGx , zG = ОGz :
G = (GxG x) (GzG z),
а профильная проекция G — координатами yG = ОGy 3, zA = ОАz :
G = (Gy 3G y
3) (GzG z).
2. Из имеющихся проекций проведите линии проекционной связи, перпен-
дикулярные осям проекций, и определите координатные отрезки ОGx,
ОGy 3, ОGz, равные соответствующим координатам точки G:
ОGx = xG, ОGy 3 = yG, ОGz = zG.
3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отметьте
точки Gx, Gy 3, Gz (рис. 4.16).
4. Горизонтальная проекция G , которую необходимо построить, определя-
ется координатами:
xG = ОGx , yG = ОGy 1.
Образование проекций 95
Рис. 4.15. Две проекции (фронтальная и профильная) точки G
Рис. 4.16. Определение координат точки G
Таким образом, для ее построения необходимо определить положение
точки Gy 1. Обратите внимание, что на чертеже имеется точка Gy 3
. В про-
странстве точки Gy 1 и Gy 3
— это одна и та же точка Gу, которая при со-
вмещении плоскостей проекций разложилась на две точки. При этом
ОGy 1 = О Gy 3
.
5. Определите точку Gy 1, проведя дугу окружности с центром в начале ко-
ординат и радиусом, равным расстоянию ОGy 3 (рис. 4.17). Перенос с оси
у3 осуществляется на соответствующее по знаку направление оси у
1. По-
стройте третью, горизонтальную проекцию точки G — G :
G = (GxG x) (Gy 1G y
1).
6. Завершите оформление задачи: проставьте "выколотые" точки, скор-
ректируйте положение текстовых обозначений и заполните основную
надпись.
7. Для построения точки G в аксонометрической проекции замерьте коор-
динаты
xG = ОGx , yG = ОGy 3, zG = ОGz
и отложите их по осям х и z без искажения, а по оси у — с сокращением
в два раза. Отметьте точки Gx, Gy, Gz (рис. 4.18). В пересечении линий
проекционных связей, проведенных из точек Gx, Gy, Gz, отметьте G , G ,
G . Достройте параллелепипед проекций, в вершине которого образуется
сама точка G.
Глава 4 96
Рис. 4.17. Построение третьей проекции точки G
Рис. 4.18. Точка G в аксонометрической (косоугольной диметрической) проекции
4.3. Точки общего и частного положения
В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций
различают:
точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним
относятся все рассмотренные точки предыдущего раздела);
точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций 1, 2, 3, на
осях проекций x, y, z или в начале координат.
У точки общего положения все три координаты отличны от нуля. Одна или
несколько координат точки частного положения равны нулю:
если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпен-
дикулярной этой плоскости проекций, равна нулю;
если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны
нулю;
если точка лежит в начале координат, то естественно, что все три коорди-
наты точки равны нулю.
Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит
в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.
Точка В на рис. 4.19 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Го-
ризонтальная проекция В этой точки совпадает с самой точкой, фронтальная
проекция В лежит на оси х, а профильная проекция В — на оси у. Коор-
Образование проекций 97
дината точки В по оси z равна нулю, и, следовательно, точка Вz лежит в на-
чале координат.
Рис. 4.19. Точка В, лежащая в плоскости 1, — в аксонометрии (слева) и на эпюре (справа)
Точка С на рис. 4.20 лежит на оси y. С самой точкой совпадают ее горизон-
тальная С и профильная С проекции, причем на ортогональном чертеже
горизонтальная проекция лежит на оси y1, а профильная — на оси y
3. Фрон-
тальная проекция С лежит в начале координат.
Рис. 4.20. Точка С, лежащая на оси у, — в аксонометрии (слева) и на эпюре (справа)
Глава 4 98
Пример 4. Построить третью проекцию точки Н (–20; 0; 30).
1. Создайте файл типа Чертеж и начертите оси проекций с засечками, рас-
стояние между которыми равны единичному отрезку — 10 мм.
2. Отложите на осях проекций координатные отрезки (рис. 4.21):
ОHx = xH = –20 мм;
ОHy 1 = ОHy 3
= yH = 0 мм;
ОHz = zH = 30 мм.
Рис. 4.21. Построение проекций точки Н, лежащей в плоскости 2
Отметьте точки Hx, Hz и Hy (yН = 0, следовательно Нy 1 Нy 3
О; эту точ-
ку можно отметить просто, как Нy О).
3. Из точек Hx и Hz проведите линии связи и в пересечении получите точку Н .
Горизонтальная проекция Н определяется координатами хН и уН, и, сле-
довательно,
Н Нх; Н х.
Профильная проекция Н определяется координатами yН и zН, и, следо-
вательно,
Н Нz; Н z.
Точка Н лежит во фронтальной плоскости проекций. На эпюре запись ти-
па H H считается неприемлемой, т. к. здесь могут быть показаны только
проекции геометрических объектов, а не сами объекты.
Образование проекций 99
4.4. Четверти и октанты
Большую часть задач начертательной геометрии можно решить, имея не три,
а две проекции геометрических объектов — горизонтальную и фронтальную.
Такие чертежи, с двумя проекциями, называют двухпозиционными. Плоско-
сти проекций 1 и 2 являются неограниченными поверхностями и при вза-
имном пересечении образуют четыре двугранных угла, которые называют
четвертями или квадрантами. Четверти принято обозначать римскими циф-
рами и отсчитывать так, как показано на рис. 4.22.
Рис. 4.22. Обозначение четвертей
На рис. 4.23 точка А находится в I четверти, точка В — во II, точка С — в III,
а точка D — в IV четверти. Точка D одинаково удалена от плоскостей проек-
ций 1 и 2, поэтому проекции D и D совпали между собой. Знаки координат
в различных четвертях приведены в табл. 4.2 (эта часть таблицы тонирована).
Рис. 4.23. Точки А, В, С и D, заданные в двух проекциях
Глава 4 100
Таблица 4.2. Знаки прямоугольных координат в различных четвертях и октантах
Номер четверти или октанта
x y z
I + + +
II + – +
III + – –
IV + + –
V – + +
VI – – +
VII – – –
VIII – + –
Чаще всего на практике имеет место применение первой четверти простран-
ства, поэтому геометрические объекты при решении задач чаще всего распо-
лагают именно здесь.
Тем не менее, ряд задач целесообразно решать, имея три проекции объекта,
а некоторые задачи вообще невозможно решить без третьей проекции (как, на-
пример, в случаях с осевой плоскостью, о чем будет рассказано в дальнейшем
изложении). Чертеж, в котором заданы три проекции точек и имеется возмож-
ность определить все три координаты этих точек, называют трехпозиционным.
Рис. 4.24. Обозначение октантов
Образование проекций 101
Плоскости проекций 1, 2 и 3 при взаимном пересечении делят пространст-
во на восемь трехгранных углов, или октантов (от лат. octans — восьмая
часть). Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис. 4.24. Как
видно, четверти нумеруются как I—IV октанты.
Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл. 4.2. Геометрические
элементы, расположенные в I четверти или в I октанте, считаются "видимыми".
Пример 5. Определить, в каких октантах находятся точки D и E (рис. 4.25).
Рис. 4.25. Проекции точек D и Е
1. Начнем с определения положения точки D. Проанализируем расположе-
ние ее фронтальной проекции D (логично начинать рассуждения именно
с фронтальной проекции, поскольку плоскость 2, в которой лежит эта
проекция, не вращается, а принимается за плоскость чертежа). Проекция
D лежит выше оси х и правее оси z, следовательно, сама точка D лежит
выше плоскости 1 и справа от плоскости 3. Это возможно, если данная
точка будет находиться в одном из двух октантов — V или VI.
2. Теперь обратимся к горизонтальной проекции D : она лежит в плоскости
проекций 1, совмещенной с плоскостью чертежа. Мысленно повернем на
90 эту плоскость вместе с D , вращая ее вокруг оси х так, чтобы нижняя
полуплоскость перемещалась на нас, а верхняя — в противоположном от
нас направлении. Горизонтальная проекция D окажется в ближней к нам
полуплоскости, и, следовательно, сама точка D тоже будет находиться
в ближнем к нам угле пространства, т. е. в V октанте.
Глава 4 102
3. Положение точки D можно определить и другим способом, механически
определяя знаки координат. Горизонтальная проекция D имеет координа-
ты х ("минус") и y ("плюс")1, фронтальная проекция D — координаты х
("минус") и z ("плюс"). По трем знакам — "минус", "плюс", "плюс" —
и с помощью табл. 4.2 определяем, что точка D находится в V октанте.
4. Перейдем к точке Е. Ее фронтальная проекция Е лежит ниже оси х
и правее оси z, следовательно, сама точка может лежать или в VII, или
в VIII октантах. Мысленно поворачиваем на 90 горизонтальную проек-
цию Е вместе с плоскостью 1 вокруг оси х, и эта проекция окажется
в дальней от нас полуплоскости. Следовательно, сама точка Е будет нахо-
диться в дальнем от нас, VII октанте. Эти рассуждения подтверждаются
знаками координат х, у и z — "минус", "минус", "минус".
Пример 6. Построить проекции любой точки F, расположенной в III ок-
танте.
1. Создайте файл типа Чертеж и в нем — новый вид (Вид 1). Нанесите и
обозначьте оси проекций (их можно скопировать из одного из предыду-
щих примеров).
2. Все точки, расположенные в III октанте, имеют знаки координат х, у и z —
"плюс", "минус", "минус". На произвольном расстоянии от начала коор-
динат нанесите (рис. 4.26):
точку Fx в положительном направлении оси х;
точки Fy 1 и Fy 3
в отрицательном направлении осей y1 и y
3 (на оди-
наковом расстоянии от начала координат);
точку Fz в отрицательном направлении оси z.
3. Из построенных точек Fx, Fy 1, Fy 3
, Fz проведите линии проекционной связи
(тип линии — Штриховая), перпендикулярные осям проекций, и на их пе-
ресечениях отметьте проекции точки F (рис. 4.27):
F = (FxF x) (Fy 1F y
1);
F = (FxF x) (FzF z);
F = (Fy 3 F y3) (FzF z).
1 В начертательной геометрии оси и координаты принято давать одинаково — строч-
ными буквами. В КОМПАСе оси и координаты обозначаются тоже одинаково, но
прописными буквами. Поскольку в данном контексте идет речь о координатах вооб-
ще, они даны строчными буквами.
Образование проекций 103
Рис. 4.26. Координатные отрезки точки F
Рис. 4.27. Построение проекций точки F
4. Завершите оформление чертежа: нанесите точки в виде окружностей, скор-
ректируйте положение текстовых надписей, заполните основную надпись.
Сохраните файл.
4.5. Симметричные точки
Симметрией называют преобразование положения точек плоскости или про-
странства, при котором каждая точка по некоторой закономерности перехо-
дит в другую точку этой плоскости или пространства. Преобразование поло-
жения точек может осуществляться относительно некоторого неподвижного
геометрического объекта, называемого элементом симметрии.
В зависимости от вида элемента симметрии и направления преобразования
различают следующие основные разновидности симметрии:
центральная симметрия — прямолинейное преобразование относительно
точки;
осевая симметрия — ортогональное преобразование относительно пря-
мой линии;
зеркальная симметрия — ортогональное преобразование относительно
плоскости;
симметрия вращения — преобразование при повороте на некоторый угол;
симметрия переноса — преобразование при параллельном переносе.
Глава 4 104
Считается, что для построения фигур, симметричных заданной, достаточно
научиться строить симметричную точку, поскольку любую фигуру можно
представить как совокупность точек.
Координаты точки, симметричной некоторой исходной точке, по абсолютной
величине равны координатам исходной точки, но отличаются знаком:
если элементом симметрии является начало координат, то меняется знак
координат по всем трем осям;
если элементом симметрии является ось проекций, то меняется знак коор-
динат по двум другим осям;
если элементом симметрии является плоскость проекций, то меняется знак
координаты по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций.
Пример 7. Построить точку K, симметричную точке G (см. рис. 4.17)
относительно плоскости проекций 1.
1. В нашем примере элемент симметрии — плоскость проекций 1, следова-
тельно, меняется знак координат только по оси z:
xK = xG, yК = yG, zК = –zG;
ОKx = ОGx , ОKy = ОGy , ОKz = – ОGz .
2. Откладываем на осях координаты точки K. Отмечаем точки Kx, Ky (Ky 1
и Ky 3) и Kz (рис. 4.28).
Рис. 4.28. Построение координат точки K
Образование проекций 105
3. Строим ортогональные проекции точки K (K , K и K ), аналогично рас-
смотренным выше примерам (рис. 4.29).
4. Строим аксонометрическую проекцию точки K (рис. 4.30) подобно по-
строению аксонометрической проекции точки G. Сопоставляя положение
точек G и K с принятой нумерацией октантов, приходим к выводу, что
точка G находится во II-м октанте, а точка K — в III.
Рис. 4.29. Построение проекций точки K
Рис. 4.30. Построение аксонометрической проекции точки K
Глава 5
Проецирование прямой линии
5.1. Проекции отрезка прямой линии.
Точка на прямой
Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного
курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую
и притом только одну.
Пусть нам даны на эпюре точки А и В. Две проекции каждой из этих точек
однозначно определяют их положение в пространстве (рис. 5.1). Если мы со-
единим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки А
и В ограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как
бесконечной линии.
Рис. 5.1. Проекции прямой АВ на эпюре
Глава 5 108
Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекция-
ми отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда
можно построить его третью проекцию и притом только одну.
Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пере-
секает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в нату-
ральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни
одна из ее проекций не параллельна осям. Прямая АВ на рис. 5.1 — это пря-
мая общего положения.
Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных
проекциях этой линии. Если на прямой АВ мы выберем какую-либо точ-
ку С, то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях
прямой (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Точка С, принадлежащая прямой АВ
Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения
проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя
бы одной проекции точки. Недостающие проекции легко найти в пересечении
линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.
Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение
отрезков прямой равно отношению их проекций. На рис. 5.2 деление проек-
ций А В и А В точками С и С соответствует делению в пространстве от-
резка АВ точкой С в том же отношении:
ВС
СА
ВС
СА
СВ
АС.
Проецирование прямой линии 109
Пример 8. На отрезке DE (рис. 5.3) построить точку K, делящую этот
отрезок в соотношении DK : KE =2:3.
1. Разделим горизонтальную проекцию D E на пять равных отрезков ме-
тодом пропорционального деления (можно начинать и с фронтальной
проекции). Из точки D (или из точки Е ) в произвольном направлении
проводим луч, на котором откладываем друг за другом пять отрезков про-
извольной, но равной длины (рис. 5.4). Конечную точку соединяем с точ-
кой Е . Параллельно этому отрезку через построенные точки проводим
лучи, которые в пересечении с проекцией D E дают точки деления.
Рис. 5.3. Заданные проекции отрезка DE
Рис. 5.4. Деление проекций отрезка DE в заданном соотношении
2. На горизонтальной проекции D E отмечаем K и по линии проекционной
связи находим K .
Пример 9. На отрезке FG (рис. 5.5) найти точку L, равноудаленную
от плоскостей проекций 1 и 2.
1. Построим третью проекцию отрезка F G (рис. 5.6).
2. На плоскости 3 проведем биссекторный луч, дающий в пересечении
с проекцией F G проекцию точки L (L ) с равными координатами по
осям y и z:
yL=zL,
т. е. проекцию точки, равноудаленной от плоскостей проекций 1 и 2.
3. По профильной проекции L строим L и L .
Глава 5 110
Рис. 5.5. Заданные проекции отрезка FG
Рис. 5.6. Построение на отрезке FG точки L,
равноудаленной от 1 и 2
Проецирование прямой линии 111
5.2. Прямые частного положения
Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется
прямой частного положения.
5.2.1. Прямые уровня
Если прямая параллельна одной плоскости проекций, то она называется пря-
мой уровня. В этом случае прямая проецируется на эту плоскость в натураль-
ную величину, а на двух других плоскостях проекции такой прямой парал-
лельны осям проекций.
В зависимости от расположения прямой уровня различают:
горизонтальную прямую — прямую, параллельную плоскости 1 (рис. 5.7):
горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его на-
туральной величине;
фронтальная проекция горизонтальной прямой всегда параллельна оси x;
угол 2 между горизонтальной проекцией горизонтальной прямой
и осью x является углом между этой прямой и фронтальной плоско-
стью проекций;
Рис. 5.7. Горизонтальная прямая
фронтальную прямую — прямую, параллельную плоскости 2 (рис. 5.8):
фронтальная проекция отрезка фронтальной прямой равна его нату-
ральной величине;
горизонтальная проекция фронтальной прямой всегда параллельна оси x;
Глава 5 112
угол 1 между фронтальной проекцией фронтальной прямой и осью x
является углом между фронтальной прямой и горизонтальной плоско-
стью проекций;
Рис. 5.8. Фронтальная прямая
профильную прямую — прямую, параллельную плоскости 3 (рис. 5.9):
профильная проекция отрезка профильной прямой равна его натураль-
ной величине;
горизонтальная проекция профильной прямой всегда параллельна оси
y1, а фронтальная — оси z;
угол 1 между профильной проекцией профильной прямой и осью y3
является углом между прямой и горизонтальной плоскостью проекций,
а угол 2 между профильной проекцией прямой и осью z — углом ме-
жду прямой и фронтальной плоскостью проекций.
Рис. 5.9. Профильная прямая
Проецирование прямой линии 113
5.2.2. Проецирующие прямые
Если прямая параллельна двум плоскостям проекций (т. е. перпендикулярна
третьей плоскости проекций), то она называется проецирующей прямой.
На две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину,
а на третьей — "вырождается" в точку. В зависимости от расположения про-
ецирующей прямой различают:
горизонтально-проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости 1 (прямая АВ на рис. 5.10):
фронтальная и профильная проекции отрезка горизонтально-
проецирующей прямой равны его натуральной величине;
горизонтальная проекция представляет собой точку;
Рис. 5.10. Горизонтально-проецирующая прямая АВ и фронтально-проецирующая прямая CD
фронтально-проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости 2 (прямая CD на рис. 5.10):
горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проеци-
рующей прямой равны его натуральной величине;
фронтальная проекция представляет собой точку;
профильно-проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости 3 (рис. 5.11):
горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-
проецирующей прямой равны его натуральной величине;
профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет
собой точку.
Глава 5 114
Рис. 5.11. Профильно-проецирующая прямая
Пример 10. Построить недостающую проекцию точки K, лежащей на
профильной прямой АВ (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Профильная прямая АВ с точкой K,
заданной одной проекцией
1. Первый прием — при помощи метода пропорционального деления
(рис. 5.13). Построим из точки А (можно и из В ) в любом направлении
отрезок А В0, равный фронтальной проекции А В с нанесенной на него
точкой K0 так, что
А K0 = А K .
2. Соединим В0 и В . Параллельно этому отрезку проведем из K0 прямую
и в пересечении с А В получим искомую точку K .
Проецирование прямой линии 115
Рис. 5.13. Построение проекций точки K на профильной прямой
3. Второй прием — путем построения профильной проекции отрезка АВ.
В любом месте чертежа введем ось z. Построим профильную проекцию от-
резка А В и найдем на ней K . В пересечении линии проекционной свя-
зи, проведенной из K , и А В найдем искомую проекцию точки K — K .
5.3. Определение
натуральной величины отрезка прямой
методом прямоугольного треугольника
Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плос-
кость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила
определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольно-
го треугольника.
Предположим, что точки А и В лежат в I октанте (рис. 5.14). Соединим эти
точки и получим отрезок некоторой прямой АВ. Построим горизонтальную
и фронтальную проекции этой прямой. Из точки А проведем линию, параллель-
ную АВ, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку В0.
Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника А В В0:
гипотенуза треугольника А В0 определяет натуральную величину отрез-
ка AB;
Глава 5 116
Рис. 5.14. Отрезок АВ в аксонометрии
один катет А В представляет собой горизонтальную проекцию отрез-
ка АВ;
второй катет В В0 равен разности координат точек А и В по оси z:
zАВ = zB – zА.
На эпюре оказывается достаточно данных для построения прямоугольного тре-
угольника "по двум катетам", равного рассмотренному (рис. 5.15). Для этого
к горизонтальной проекции А В "пристроен" второй катет — разность коор-
динат zАВ. Гипотенуза А В0 построенного треугольника равна натуральной
величине отрезка АВ.
Рис. 5.15. Определение истинной величины отрезка АВ на эпюре
Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный
треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка
Проецирование прямой линии 117
(рис. 5.16): при этом второй катет окажется равным разности координат yAB.
Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым
катетом будет разность координат xАВ. На рис. 5.16 истинная величина от-
резка АВ определена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных тре-
угольников имеют равную длину, и все они определяют истинную величину
отрезка АВ.
Рис. 5.16. Определение истинной величины отрезка на разных проекциях
В общем случае, натуральная величина отрезка прямой общего положения
равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого яв-
ляется проекция отрезка прямой, а вторым — разность "недостающих" коор-
динат (табл. 5.1).
Таблица 5.1. Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка прямой АВ методом прямоугольного треугольника
Проекция отрезка прямой, выбранная в качестве катета треугольника
Разность координат, используемая
в качестве второго катета
Плоскость проекций, к которой
определяется угол наклона
Обозначе-ние угла
наклона
Горизонтальная А В zАВ = AzBz 1 1
Фронтальная А В yAB = AyBy 2 2
Профильная А В xAB = AxBx 3 3
Глава 5 118
Под термином "недостающая" координата подразумевается координата, ко-
торая отсутствует в проекции, выбранной в качестве катета прямоугольного
треугольника. Так, горизонтальная проекция отрезка строится по координа-
там х и у, следовательно, "недостающей" координатой в этом случае будет
координата z. Аналогично у фронтальной проекции отрезка "третьей" коорди-
натой будем считать координату у, а у профильной — координату х.
Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность коор-
динат определяется с учетом знака. Например, если координата z точки А
положительная, а точки В отрицательная, то разность координат
zАВ = zA – (–zB) = zA + zB.
Угол наклона прямой к плоскости проекций — это угол между прямой и ее
проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой
методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее
наклона к плоскости проекций. Угол между гипотенузой и соответствующей
проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости про-
екций.
Пример 11. Определить истинную величину отрезка CD и угол наклона
прямой к плоскости 2 (рис. 5.17).
1. По табл. 5.1 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости 2
надо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом
будет фронтальная проекция отрезка А В , а вторым — разность коорди-
нат по оси у.
Рис. 5.17. Заданные проекции отрезка CD
Проецирование прямой линии 119
Рис. 5.18. Определение истинной величины отрезка АВ
и угла наклона к плоскости 2
2. Определяем координаты по оси у точек А и В и их разность (рис. 5.18):
уАВ = уА – (–уВ) = уА + уВ .
3. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам: за первый катет
принимаем фронтальную проекцию А В , а в качестве второго катета от-
кладываем расстояние, равное уАВ.
4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка АВ,
а угол при вершине В (угол 2) — угол наклона прямой к плоскости 2.
5.4. Следы прямой
Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью
проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций
и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не
имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.
На рис. 5.19 показана прямая, заданная отрезком АВ, который находится
в I октанте. Продолжим эту прямую до пересечения с плоскостями проекций:
с плоскостью 1 в точке M — горизонтальным следом прямой;
с плоскостью 2 в точке N — фронтальным следом прямой;
с плоскостью 3 в точке P — профильным следом прямой.
Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они
расположены:
М M , N N , P P .
Глава 5 120
Рис. 5.19. Образование следов прямой в аксонометрии
Построим другие две проекции следов:
поскольку точка М лежит в плоскости 1, ее фронтальная проекция М
располагается на оси x, а профильная М — на оси y;
горизонтальная проекция N точки N также располагается на оси x, а про-
фильная проекция N лежит на оси z;
горизонтальная проекция профильного следа P лежит на оси y, а фрон-
тальная проекция P — на оси z.
По положению следов можно судить о том, в каких октантах находятся от-
резки или лучи прямой. Прямая АВ на рис. 5.19 из I октанта за точкой М ухо-
дит вниз, в IV октант, а направо за точкой P переходит в V октант и далее,
встречая в точке N плоскость 2, — в VI.
Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех
следов на эпюре (рис. 5.20).
Горизонтальный след (М):
фронтальная проекция горизонтального следа M лежит на пересече-
нии фронтальной проекции прямой с осью x (с этой точки обычно на-
чинают построения);
Проецирование прямой линии 121
Рис. 5.20. Построение следов прямой на эпюре
горизонтальная проекция горизонтального следа М лежит на пересе-
чении горизонтальной проекции прямой с линией проекционной связи,
проведенной из проекции M перпендикулярно оси x;
профильная проекция горизонтального следа M лежит на пересече-
нии профильной проекции прямой с осью y3.
Фронтальный след (N):
горизонтальная проекция фронтального следа N лежит в точке пересе-
чения горизонтальной проекции прямой с осью x;
фронтальная проекция фронтального следа N лежит на пересечении
фронтальной проекции прямой с линией проекционной связи, прове-
денной из точки N перпендикулярно оси x;
профильная проекция фронтального следа N лежит на пересечении
профильного следа прямой с осью z.
Профильный след (Р):
горизонтальная проекция профильного следа P лежит на пересечении
горизонтальной проекции прямой с осью y1;
фронтальная проекция профильного следа P лежит на пересечении
фронтальной проекции прямой с осью z;
Глава 5 122
профильная проекция профильного следа P находится в точке пере-
сечения профильной проекции прямой с линией проекционной свя-
зи, проведенной из P перпендикулярно оси z.
Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов (М ,
N , P ) может проводиться по двум уже построенным проекциям (горизон-
тальной и фронтальной).
Пример 12. Построить проекции горизонтального и фронтального сле-
дов прямой АВ (рис. 5.21).
1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа М , продолжив
А В до пересечения с осью x (рис. 5.22):
М = А В x;
Рис. 5.21. Исходные проекции
отрезка прямой
Рис. 5.22. Построение следов прямой
2. Из точки М проводим линию проекционной связи до ее пересечения
с продолжением А В . Здесь расположена точка М :
М = А В (М М x).
3. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа N в пересечении
А В с осью x:
N = А В x.
Проецирование прямой линии 123
4. Из точки N проводим линию проекционной связи до ее пересечения
с фронтальной проекцией прямой A B и получаем точку N :
N = А В (N N x).
5. Определяем, через какие четверти проходит заданная прямая АВ. Точки А
и В расположены в I четверти, т. к. все координаты этих точек положи-
тельные. Следовательно, все точки отрезка МN, которому принадлежат
точки А и В, лежат также в I четверти. Из I четверти через точку М (гори-
зонтальный след прямой) прямая переходит в IV четверть, а через точку N
(фронтальный след прямой) прямая АВ переходит во II четверть.
5.5. Взаимное положение двух прямых
Две прямые могут относительно друг друга занимать следующее положение:
пересекаться;
быть параллельными друг другу;
скрещиваться.
Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пе-
ресекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются
(рис. 5.23), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии про-
екционной связи.
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между со-
бой (рис. 5.24).
Рис. 5.23. Пересекающиеся прямые
Рис. 5.24. Параллельные прямые
Глава 5 124
Рис. 5.25. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных
прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух
скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не
лежат на одной линии проекционной связи (рис. 5.25).
Две точки, лежащие на пересечении проекций скрещивающихся прямых,
называются конкурирующими1. На рис. 5.25 фронтальные проекции прямых AB
и CD пересеклись в конкурирующей точке с проекциями 1 2 . В самом деле
в этом месте находится не одна, а две точки, одна из которых принадлежит
прямой АВ (1 АВ), а другая — прямой CD (2 СD). Принадлежность точек
очевидна из горизонтальных проекций.
Горизонтальные проекции этих прямых пересеклись в конкурирующей точке
с проекциями 3 4 . Причем точка 3 принадлежит прямой АВ, а точка 4 —
прямой CD, т. к.
3 А В ; 4 С D .
Конкурирующие точки позволяют установить, какой объект ближе к наблю-
дателю, а какой находится дальше. Например, на рис. 5.25 в направлении
на плоскость 2 точка 2 закрывает точку 1 и находится ближе к наблюдате-
лю, а в направлении на плоскость 1 точка 3 закрывает точку 4 (направление
взгляда на плоскости проекций отмечено стрелками).
1 При помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых
и плоскостей относительно друг друга (об этом пойдет речь в следующих разделах).
Глава 6
Проецирование плоскости
6.1. Способы задания плоскости
6.1.1. Общие случаи задания плоскости
Положение плоскости в пространстве однозначно определяется положением
трех ее точек. Следовательно, на эпюре плоскость может быть задана сле-
дующими способами:
проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 6.1);
проекциями прямой и точки, не принадлежащей этой прямой (рис. 6.2);
Рис. 6.1. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой
Рис. 6.2. Плоскость, заданная прямой, и точки вне этой прямой
проекциями двух параллельных прямых (рис. 6.3);
проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 6.4).
Каждое из представленных на рис. 6.1—6.4 способов заданий плоско-
сти может быть преобразовано одно в другое. Предположим, что плоскость
Глава 6 126
задана тремя точками E, D и F, не лежащими на одной прямой (рис. 6.5, а).
Проведя через точки E и D прямую, получим проекции прямой и точки, не
лежащей на этой прямой (рис. 6.5, б). От него легко перейти к параллель-
ным прямым, если через точку F провести прямую, параллельную ED
(рис. 6.5, в), или к двум пересекающимся прямым, проведя прямую DF
(рис. 6.5, г).
Рис. 6.3. Плоскость, заданная проекциями двух параллельных прямых
Рис. 6.4. Плоскость, заданная двумя пере-секающимися прямыми
Рис. 6.5. Преобразование способов задания плоскости
Проецирование плоскости 127
Помимо отмеченных общих случаев задания плоскости, рассматриваемых
в школьном курсе стереометрии, в начертательной геометрии часто задают
плоскость при помощи еще двух способов:
проекциями любой плоской фигуры;
следами плоскости.
6.1.2. Плоские фигуры
Плоской называют такую фигуру, все точки которой лежат в одной плоскости
и ограничены линиями, составляющими контур этой фигуры. К плоским фи-
гурам относятся различные многоугольники, окружности, эллипсы и т. д.
Самой простой фигурой, при помощи которой может быть задана плоскость,
является треугольник (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Плоскость, заданная при помощи треугольника
Построение на эпюре проекций плоской фигуры сводится к построению про-
екций ряда точек, образующих контур этой фигуры, и соединению их кривой
или отрезками прямых линий. При построении необходимо убедиться, чтобы
все точки плоской фигуры находились в одной плоскости.
Например, четырехугольник может быть задан двумя проекциями трех его
вершин и лишь одной проекцией четвертой вершины (рис. 6.7, а). Недос-
тающая проекция вершины лежит на пересечении линии проекционной связи,
проведенной из имеющейся проекции вершины многогранника, и проекции
диагонали, проходящей, в свою очередь, через точку пересечения диагона-
лей (рис. 6.7, б).
Глава 6 128
Рис. 6.7. Построение проекций четырехугольника
Плоская фигура, находящаяся в плоскости, не параллельной плоскостям про-
екций, проецируется с искажением. Определение натуральной величины пло-
ской фигуры достигается одним из способов преобразования эпюра, о кото-
рых пойдет речь в главе 8.
Пример 13. Построить проекции параллелограмма АВСD (рис. 6.8).
1. Достраиваем горизонтальную проекцию параллелограмма. Поскольку про-
тивоположные стороны параллелограмма попарно параллельны, то соответ-
ствующие проекции сторон тоже параллельны. Следовательно (рис. 6.9),
А F B С и C F B A ,
и в пересечении А F и C F обозначаем F .
Рис. 6.8. Исходные проекции вершин параллелограмма
Рис. 6.9. Построение проекций параллелограмма
Проецирование плоскости 129
2. Аналогично строим фронтальную проекцию F :
А F B С и C F B A ;
F = А F C F .
3. Соединяем F и F линией проекционной связи и проверяем правильность
построений:
F F x.
6.1.3. Следы плоскости
Наиболее наглядным является изображение плоскости при помощи следов
плоскости. Следами плоскости называют прямые, по которым плоскость пере-
секается с плоскостями проекций (рис. 6.10, а). В общем случае у плоскости
будет три следа:
горизонтальный h0 ;
фронтальный f0 ;
профильный p01.
Рис. 6.10. Образование следов плоскости
Точки на осях координат, в которых пересекаются следы плоскости — Х ,
и , называют точками схода следов. Три точки схода следов плоскости
1 Индекс "0" в обозначении плоскости означает, что этот след образован в пересече-
нии с "нулевой" плоскостью, как раньше называли плоскости проекций.
Глава 6 130
однозначно определяют положение плоскости в пространстве. Зная коор-
динаты точек схода следов (или длину отрезков ОХ , О и О , которые
иногда называют параметрами плоскости), можно однозначно задать по-
ложение плоскости.
Следы плоскости сливаются со своими проекциями на этой плоскости:
h0 0h , f0 0f и p0 .p0
Учитывая, что на эпюре мы изображаем только проекции геометрических
элементов, следы плоскости мы задаем проекциями следов (рис. 6.10, б):
0h , 0f и 0p .
Каждый след плоскости проходит через две точки схода следов. Следователь-
но, любые два следа плоскости однозначно определяют ее положение в про-
странстве (исключение составляет осевая плоскость — о ней будет рассказа-
но в следующем разделе).
На чертеже принято всегда показывать видимость следов плоскости1: "види-
мыми" считаются части следов, лежащие в гранях октанта или четверти.
При нанесении на чертеж линий видимого и невидимого контуров использу-
ются, соответственно, сплошная основная и штриховая линии ("невидимую"
часть следа показывают, если это необходимо для построений).
Плоскость, пересекающая все три плоскости проекций, называют плоско-
стью общего положения. Если плоскость перпендикулярна одной или двум
плоскостям проекций, то ее называют плоскостью частного положения.
6.2. Плоскости частного положения
6.2.1. Проецирующие плоскости
Плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций, называется про-
ецирующей. Здесь возможны три случая частных положений.
Горизонтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную
плоскости 1 (рис. 6.11). Фронтальный и профильный следы такой плос-
кости будут параллельны оси z. Если в горизонтально-проецирующей
плоскости выбрать произвольную точку А, то горизонтальная проекция
этой точки А будет расположена на горизонтальном следе плоскости .
Таким образом, можно утверждать, что горизонтальные проекции всех
1 Это правило относится не только к следам плоскости, но и другим геометрическим
объектам, фигурам или их элементам.
Проецирование плоскости 131
точек, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, находятся на
горизонтальном следе этой плоскости.
Рис. 6.11. Горизонтально-проецирующая плоскость
Фронтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную
плоскости 2 (рис. 6.12). Горизонтальный и профильный следы фронталь-
но-проецирующей плоскости будут параллельны оси y. Фронтальная про-
екция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки В), все-
гда расположена на фронтальном следе плоскости.
Рис. 6.12. Фронтально-проецирующая плоскость
Глава 6 132
Профильно-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плос-
кости 3 (рис. 6.13). У такой плоскости фронтальный и горизонтальный
следы будут параллельны оси x. Профильная проекция любой точки, ле-
жащей в этой плоскости (например, точки С), всегда расположена на
профильном следе плоскости.
Рис. 6.13. Профильно-проецирующая плоскость
Рис. 6.14. Осевая профильно-проецирующая плоскость
Осевой называют плоскость, проходящую через ось проекций. Осевая плос-
кость будет всегда перпендикулярна одной из плоскостей проекций, поэтому
Проецирование плоскости 133
ее можно рассматривать как частный случай горизонтально-, фронтально-
или профильно-проецирующей плоскости. У осевой плоскости два следа
совпадают с одной из осей проекций (на рис. 6.14 — с осью x).
Для однозначного определения положения осевой плоскости необходимо
знать положение всех трех ее следов или двух сливающихся следов и еще
хотя бы одной точки, лежащей в этой плоскости.
Плоская фигура может спроецироваться в виде отрезка прямой только в слу-
чае, если плоскость, в которой лежит эта фигура, перпендикулярна этой
плоскости проекций, т. е., другими словами, плоская фигура лежит в проеци-
рующей плоскости. В этом случае, говорят, что проекция фигуры "выроди-
лась" в отрезок прямой. Причем "вырожденная" проекция фигуры лежит на
следе проецирующей плоскости.
Пример 14. Построить следы плоскости, заданной треугольником АВС
(рис. 6.15).
1. Поскольку на горизонтальную плоскость проекций треугольник АВС
спроецировался в отрезок прямой, то он лежит в горизонтально-
проецирующей плоскости. Следовательно,
А В С 0h .
2. Продолжаем горизонтальный след 0h до пересечения с осью х и отмеча-
ем точку схода следов Х (рис. 6.16). Через точку схода следов Х перпен-
дикулярно оси х проводим фронтальный след 0f .
Рис. 6.15. Заданные проекции треугольника АВС
Рис. 6.16. Построение следов горизонтально-проецирующей плоскости,
заданной треугольником
Глава 6 134
6.2.2. Плоскости уровня
Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она парал-
лельна третьей плоскости проекций. Для таких плоскостей встречается об-
щее название — плоскости уровня1. Для плоскостей уровня также возможны
три случая частных положений.
Плоскость, параллельная плоскости 1, называется горизонтальной
плоскостью (рис. 6.17). На эпюре ее фронтальный и профильный следы
сливаются в одну линию, перпендикулярную оси z. Фронтальные и про-
фильные проекции точек, лежащих в горизонтальной плоскости (напри-
мер, точки Е), располагаются соответственно на фронтальном и про-
фильном следах плоскости. Любой геометрический объект, лежащий
в горизонтальной плоскости, проецируется на плоскость 1 в натураль-
ную величину.
Рис. 6.17. Горизонтальная плоскость
На рис. 6.18 горизонтальная плоскость задана проекциями треугольника
АВС, у которого
А В С х.
Аналогичным образом можно построить фронтальную и профильную
плоскости, т. е. плоскости, параллельные соответственно фронтальной
и профильной плоскостям проекций (рис. 6.19 и 6.20).
1 Ряд авторов считает, что это название относится только к горизонтальной плоскости.
Проецирование плоскости 135
Рис. 6.18. Горизонтальная плоскость, заданная треугольником
Рис. 6.19. Фронтальная плоскость
Рис. 6.20. Профильная плоскость
Глава 6 136
Отмеченные особенности проецирования плоскостей частного положения
в дальнейшем изложении курса будут использованы для упрощения решения
ряда метрических и позиционных задач.
6.3. Проецирование плоских углов
Как известно из школьного курса геометрии, плоским углом называется
плоская фигура, состоящая из двух лучей с общим началом. Иногда угол
определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим
началом.
В общем случае, угол проецируется не в натуральную величину, с искажени-
ем (о нахождении истинной величины плоских углов речь пойдет в разд. 8.4).
Однако отметим некоторые особые случаи проецирования плоских углов
(первые два можно отнести к любым плоским фигурам):
если плоскость, в которой расположен угол, перпендикулярна плоскости
проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде прямой линии или
луча (рис. 6.21);
если плоскость, в которой расположен угол, параллельна плоскости про-
екций, то он проецируется на эту плоскость в натуральную величину
(рис. 6.22);
Рис. 6.21. Угол, расположенный в горизонтально-проецирующей плоскости
Рис. 6.22. Угол, расположенный в горизонтальной плоскости
если плоскость, в которой расположен прямой угол, не перпендикулярна
плоскости проекций и хотя бы одна сторона этого прямого угла парал-
лельна плоскости проекций (рис. 6.23), то прямой угол проецируется
Проецирование плоскости 137
на эту плоскость проекций в натуральную величину (при этом на другие
плоскости проекций этот прямой угол проецируется с искажением);
если плоскость острого или тупого угла не перпендикулярна плоскости
проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций,
то проекция острого угла представляет собой острый угол, а проекция ту-
пого угла — тупой угол (при этом проекция острого угла меньше проеци-
руемого угла, а проекция тупого больше проецируемого угла).
Рис. 6.23. Прямой угол с одной из сторон, параллельной плоскости проекций
Рис. 6.24. Тупой и острый углы, имеющие одну из сторон, параллельную плоскости проекций
Последний случай рассмотрим более подробно на конкретном примере
(рис. 6.24). Предположим, что прямая ВС параллельна плоскости проекций
1. Рассмотрим тупой угол ЕВС, прямой угол АВС, острый угол DВС и их
проекции — соответственно углы Е В С , А В С и D В С . Проекция прямого
угла А В С представляет собой также прямой угол, поскольку его сторона
ВС параллельна плоскости проекций. Угол А В С заключен внутри угла
Е В С и включает внутри себя угол D В С , и, следовательно, угол Е В С —
тупой, а угол D В С — острый.
Глава 6 138
6.4. Прямая в плоскости
6.4.1. Общие случаи принадлежности прямой плоскости
Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки, принадлежащие
этой плоскости.
Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС (рис. 6.25). Проведем в этой плоскости произвольную прямую 12. Для этого
выберем некоторую точку 1 на прямой АВ так, что
1 А В ; 1 А В ,
и точку 2 на прямой СВ, у которой
2 В С ; 2 В С .
Затем проводим прямую 12 с проекциями 1 2 и 1 2 . Эта прямая лежит
в заданной плоскости, т. к. проходит через две точки (точки 1 и 2), лежащие
в заданной плоскости.
Рис. 6.25. Прямая в плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми
Рассмотрим вариант, когда плоскость задана следами: прямая лежит в плоско-
сти, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис. 6.26).
Это же правило можно сформулировать и иначе: плоскость проходит через
прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой.
Если некоторая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, то для
построения следов такой плоскости достаточно найти следы этих прямых
и одноименные следы соединить прямыми линиями — эти прямые и будут
искомыми следами плоскости. Аналогично могут быть построены следы
плоскости, заданной двумя параллельными прямыми.
Проецирование плоскости 139
Рис. 6.26. Прямая в плоскости, заданной следами
Поскольку случаи задания плоскости тремя точками, не лежащими на одной
прямой, и прямой и точкой вне этой прямой всегда могут быть сведены
к случаю задания плоскости двумя прямыми, то можно сказать, что для по-
строения следов плоскости, заданной любым известным способом, необхо-
димо построить следы двух любых прямых этой плоскости и через одно-
именные следы прямых провести искомые следы плоскости.
Пример 15. Построить три следа плоскости , заданной двумя пересе-
кающимися прямыми АВ и CD (рис. 6.27).
1. Строим проекции горизонтальных следов прямых АВ и CD (рис. 6.28):
М1 = АВ 1; М2 = CD 1.
Рис. 6.27. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми
Глава 6 140
Рис. 6.28. Построение проекций горизонтальных и фронтальных следов заданных прямых
Фронтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении
фронтальных проекций прямых с осью x:
1M = А В x;
2M = C D x.
Горизонтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении
линий проекционной связи, проведенных из точек 1M и 2M , с соответст-
вующей горизонтальной проекцией прямой:
1M = А В ( 11MM x);
2M = C D ( 22MM x).
2. Строим проекции фронтальных следов прямых АВ и CD:
N1 = АВ 2; N2 = CD 2.
Горизонтальные проекции фронтальных следов лежат в точке пересечения
горизонтальных проекций прямых с осью x:
1N = А В x;
2N = C D x.
Проецирование плоскости 141
Фронтальные проекции фронтальных следов лежат на пересечении фрон-
тальных проекций прямых с линиями проекционной связи, проведенными
из точек 1N и 2N :
1N = А В ( 11NN x);
2N = А В ( 22NN x).
3. Через одноименные проекции следов проводим соответствующие следы
плоскости (рис. 6.29):
горизонтальный след плоскости 0h проводим через горизонтальные
проекции горизонтальных следов 1M и 2M ;
фронтальный след 0f проводим через фронтальные проекции фрон-
тальных следов 1N и 2N .
Рис. 6.29. Построение горизонтального и фронтального следов плоскости
4. В пересечении горизонтального 0h и фронтального 0f следов с осью х
отмечаем точку схода следов X и проверяем правильность построений:
0h 0f = X ; X х.
Глава 6 142
5. В пересечении горизонтального 0h и фронтального 0f следов с осями
проекций у1 и z отмечаем точки схода следов соответственно Y
1 и Z
(рис. 6.30).
Рис. 6.30. Построение профильного следа плоскости
6. Точку схода следов Y1 с оси y
1 переносим на соответствующее по знаку
направление оси y3, где отмечаем точку Y
3. Через точки схода следов
Y3 и Z строим профильный след 0p .
7. Обращаем внимание на видимость следов — они условно показываются
видимыми (при помощи сплошной основной линии), если находятся
в гранях I октанта.
6.4.2. Прямая в плоскости частного положения
При решении ряда позиционных задач требуется через прямую провести
плоскость частного положения. Проецирующую плоскость можно провести
через любую прямую общего положения. При этом одна из проекций прямой
совпадает со следом плоскости:
горизонтальная проекция прямой совпадает с горизонтальным следом го-
ризонтально-проецирующей плоскости (рис. 6.31, а);
Проецирование плоскости 143
Рис. 6.31. Проведение проецирующей плоскости через прямую общего положения
фронтальная проекция прямой — с фронтальным следом фронтально-
проецирующей плоскости (рис. 6.31, б);
профильная проекция прямой — с профильным следом профильно-
проецирующей плоскости.
Через прямую общего положения нельзя провести ни горизонтальную, ни
фронтальную, ни профильную плоскость. Такие плоскости можно провести
лишь через соответственно расположенные прямые уровня:
через горизонтальную прямую — горизонтальную плоскость (рис. 6.32, а);
через фронтальную прямую — фронтальную плоскость (рис. 6.32, б);
через профильную прямую — профильную плоскость.
Рис. 6.32. Проведение плоскости уровня через прямую частного положения
Глава 6 144
6.4.3. Прямые частного положения в плоскости
В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых линий
частного положения. Рассмотрим некоторые прямые, лежащие в плоскости
и занимающие относительно плоскостей проекций частные положения.
К таким прямым прежде всего относятся:
горизонталь плоскости;
фронталь плоскости;
линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.
Горизонталь плоскости — это прямая, лежащая в плоскости и параллельная
горизонтальной плоскости проекций. Она обладает всеми свойствами гори-
зонтальной прямой: ее фронтальная проекция параллельна оси x, а на гори-
зонтальную плоскость проекций она проецируется в истинную величину.
Построим любую горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС
(рис. 6.33). Фронтальную проекцию горизонтали 12 получаем, постро-
ив 1 2 х (расстояние от оси х выберем произвольно). Строим горизон-
тальные проекции точек 1 и 2:
1 А В , 2 В С ,
и через 1 и 2 проводим горизонтальную проекцию горизонтали.
Если плоскость задана следами (рис. 6.34), то горизонтальная проекция гори-
зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
Рис. 6.33. Горизонталь плоскости, заданной треугольником
Проецирование плоскости 145
Рис. 6.34. Горизонталь плоскости, заданной следами
Следует отметить одну интересную особенность горизонтальных проекций
горизонталей плоскости: все они параллельны между собой и, поскольку они
параллельны горизонтальному следу этой плоскости, положение любой из
них определяет направление горизонтального следа плоскости.
Фронталь плоскости — это прямая, лежащая в плоскости и параллельная
фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали па-
раллельна оси x, а фронтальная проекция — ее истинная величина.
Пример построения фронтали плоскости, заданной треугольником АВС, дан
на рис. 6.35 (построение выполнено аналогично построению горизонтали
на рис. 6.33).
Рис. 6.35. Фронталь плоскости, заданной треугольником
Глава 6 146
Рис. 6.36. Фронталь плоскости, заданной следами
В плоскости, заданной следами, фронтальная проекция фронтали параллельна
фронтальному следу плоскости (рис. 6.36).
Линиями наибольшего наклона к плоскостям проекций называются прямые,
лежащие в некоторой плоскости и перпендикулярные или горизонталям этой
плоскости, или ее фронталям, или ее профильным прямым. В первом случае
линия наибольшего наклона определяет угол наклона к плоскости 1, во вто-
ром — к плоскости 2 и в третьем — к плоскости 3.
Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости 1 называют линией
наибольшего ската (или просто линией ската). Как следует из определения,
приведенного ранее, это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная
горизонталям этой плоскости.
На рис. 6.37, слева, в аксонометрии показана прямая АМ, являющаяся линией
наибольшего ската плоскости (угол — угол наклона плоскости к гори-
зонтальной плоскости проекций). Прямой угол между линией ската плоско-
сти и любой горизонталью этой плоскости проецируется на плоскость 1 без
искажения (на основании правил проецирования плоских углов — см.
разд. 6.3). Следовательно, горизонтальная проекция линии наибольшего ска-
та перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали или гори-
зонтальному следу плоскости.
Чтобы через точку А провести проекции линии ската на эпюре, сначала про-
водим ее горизонтальную проекцию так, что
А М 0h ,
Проецирование плоскости 147
Рис. 6.37. Линия наибольшего ската плоскости, заданной следами
или А М перпендикулярна любой горизонтальной проекции горизонтали,
проведенной в этой плоскости. Обозначаем горизонтальные проекции следов
линии ската:
M = А М 0h ; N = А М x .
Находим фронтальные проекции следов линии ската:
M =(М M x) x ; N =(N N x) 0f .
В заключение соединяем М и N и проверяем правильность построений:
А М N .
Рассмотренные нами прямые частного положения, лежащие в плоскости,
главным образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяют в раз-
личных построениях в качестве вспомогательных прямых.
Пример 16. Через вершину В треугольника АВС построить горизонталь
плоскости (рис. 6.38).
1. Задача имеет несколько способов решения. Рассмотрим, на наш взгляд,
самый простой. Проведем любую горизонталь в плоскости треугольника
АВС, например, через вершину С (рис. 6.39):
С 1 х; 1 =(1 1 х) А В .
2. Затем строим горизонталь h через вершину В. Поскольку все горизонтали,
проведенные в треугольнике АВС, параллельны между собой, то
h х; h C 1 .
Глава 6 148
Рис. 6.38. Заданные проекции треугольника
Рис. 6.39. Проведение горизонталей С1 и h в плоскости треугольника АВС
Пример 17. Через вершину В построить линию наибольшего ската плоскости,
заданной треугольником АВС (исходные проекции те же, что на рис. 6.38).
1. Строим произвольную горизонталь плоскости треугольника АВС, напри-
мер, через вершину С (рис. 6.40):
С 1 х; 1 =(1 1 х) А В .
2. Прямая В2 является линией наибольшего ската плоскости треугольника
АВС, т. к. В 2' С'1'.
Рис. 6.40. Построение линии наибольшего ската треугольника АВС
Проецирование плоскости 149
6.5. Точка в плоскости
Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой
плоскости. Для того чтобы в некоторой плоскости построить произвольную
точку, зачастую необходимо предварительно построить некоторую прямую,
принадлежащую заданной плоскости, а на прямой — точку.
Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, а точ-
ка — только ее фронтальной проекцией K (рис. 6.41). Известно, что точка K
лежит в заданной плоскости. Исходных условий достаточно для построения
недостающей проекции точки K (K ).
Рис. 6.41. Построение недостающей проекции точки K (K принадлежит плоскости,
заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС)
При этом может быть реализован следующий алгоритм построений:
1. Через точку K проводим произвольную прямую 12, принадлежащую за-
данной плоскости:
K 1 2 .
2. Строим горизонтальные проекции точек 1 и 2 :
1 А В ; 2 В С .
3. Через 1 и 2 проводим горизонтальную проекцию прямой 12.
4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из K , и линии
1 2 находим горизонтальную проекцию точки K.
Если плоскость задана следами, то недостающая проекция точки, принадле-
жащей заданной плоскости, может быть найдена при помощи горизонтали
или фронтали плоскости.
На рис. 6.42, а по данной фронтальной проекции А точки А, принадлежащей
плоскости , найдена ее горизонтальная проекция. Построение проведено
Глава 6 150
при помощи горизонтали, проходящей через точку А и принадлежащей плос-
кости . На рис. 6.42, б аналогичная задача решена при помощи фронтали.
Рис. 6.42. Построение недостающей проекции точки А: а — при помощи горизонтали; б — при помощи фронтали
Пример 18. По заданной фронтальной проекции треугольника АВС,
принадлежащей плоскости , построить его горизонтальную проекцию
(рис. 6.43).
Рис. 6.43. Исходная фронтальная проекция треугольника АВС,
лежащего в плоскости
Проецирование плоскости 151
1. Через точки А, В и С проводим в плоскости прямые частного положе-
ния, например горизонтали плоскости (рис. 6.44). Фронтальные проек-
ции этих прямых проводим через точки А , В , С параллельно оси х. От-
мечаем проекции фронтальных следов горизонталей:
фронтальные проекции — точки 1N , 2N , 3N — лежат на следе 0f ;
горизонтальные проекции — точки 1N , 2N , 3N — на оси x.
Рис. 6.44. Построение недостающей проекции треугольника АВС
2. Проводим горизонтальные проекции горизонталей параллельно следу 0h
через точки 1N , 2N , 3N .
3. Находим горизонтальные проекции точек А, В, С — точки А , В , С —
в пересечении линий проекционной связи, проведенных из А , В и С ,
с соответствующей горизонтальной проекцией горизонтали плоскости.
4. Соединив А , В , С , получим горизонтальную проекцию треугольни-
ка АВС.
Глава 7
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями
7.1. Взаимное положение прямой и плоскости
или двух плоскостей
Под позиционными задачами, как уже отмечалось ранее, понимают задачи по
установлению взаимного расположения геометрических фигур — задачи на
принадлежность, пересечение, параллельность. Некоторые позиционные за-
дачи нами уже были рассмотрены, например, как построить точку, принад-
лежащую прямой или плоскости. При решении позиционных задач не учиты-
ваются метрические свойства фигур, т. е. те их свойства, которые могут быть
определены только в результате измерения.
К числу основных позиционных задач относят, прежде всего, задачи на уста-
новление взаимного положения прямой и плоскости или двух плоскостей.
Прямая может занимать относительно плоскости следующие положения:
лежать в плоскости (о прямой, принадлежащей плоскости, подробно рас-
сказано в разд. 6.4);
быть параллельной плоскости (рис. 7.1, а);
пересекать плоскость (рис. 7.1, б), или в частном случае пересечения —
прямая может быть перпендикулярна плоскости.
Две плоскости могут быть:
параллельными (рис. 7.2, а);
пересекающимися (рис. 7.2, б), или в частном случае пересечения —
плоскости могут быть взаимно перпендикулярными.
В дальнейшем изложении этой главы способы решения позиционных задач по
установлению взаимного положения прямой и плоскости или двух плоскостей
Глава 7 154
будут чередоваться друг с другом, поскольку этого требует принцип посте-
пенности изложения материала. Например, чтобы построить плоскость, па-
раллельную заданной плоскости, надо сначала научиться строить прямую,
параллельную плоскости. И, наоборот, для построения точки пересечения
прямой с плоскостью, надо знать, как построить линию пересечения двух
плоскостей.
Рис. 7.1. Прямая, параллельная плоскости (а) и пересекающая плоскость (б)
Рис. 7.2. Две параллельные плоскости (а) и пересекающиеся плоскости (б)
7.2. Прямая, параллельная плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,
лежащей в этой плоскости. Построим через точку K прямую, параллельную
плоскости треугольника АВС (рис. 7.3). Сразу отметим, что задача имеет
бесчисленное множество решений, т. к. через данную точку можно провести
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 155
неограниченное количество прямых, параллельных данной плоскости. Через
точку K проведена прямая, параллельная стороне треугольника АВ. Горизон-
тальная проекция этой прямой параллельна A B , а фронтальная — A B . Эта
прямая параллельна плоскости треугольника АВС, т. к. она параллельна пря-
мой, лежащей в плоскости треугольника АВС.
Рис. 7.3. Построение через точку K произвольной прямой, параллельной плоскости треугольника АВС
Теперь рассмотрим приемы построения через некоторую точку K прямой,
параллельной плоскости , которая задана следами.
Первый прием — проведем в плоскости любую прямую, например прямую MN
(рис. 7.4, а). Затем через точку K параллельно MN проведем прямую АВ:
А В M N ; A B M N .
Рис. 7.4. Построение через точку K произвольной прямой, параллельной плоскости
Глава 7 156
Эта прямая будет параллельна плоскости , т. к. она параллельна прямой
MN, лежащей в этой плоскости.
Эту же задачу, можно решить другим способом, проведя через точку K пря-
мую частного положения, например, горизонтальную прямую h (рис. 7.4, б).
Горизонтальная проекция h горизонтальной прямой проходит через проек-
цию K и параллельна следу 0h , а ее фронтальная проекция h проходит че-
рез K параллельно оси х.
7.3. Параллельные плоскости
Основным признаком параллельности плоскостей является параллельность
двух пересекающихся прямых одной плоскости двум пересекающимся пря-
мым другой плоскости (рис. 7.5).
Например, плоскость, заданная пересекающимися прямыми АВ и ВС на
эпюре (рис. 7.6), параллельна плоскости, заданной прямыми LK и KT,
т. к. АВ LK и ВС KТ.
Рис. 7.5. Параллельные плоскости и
Рис. 7.6. Параллельные плоскости,
заданные двумя пересекающимися
прямыми
Такими прямыми могут служить и следы плоскостей: если два следа одной
плоскости параллельны одноименным следам другой плоскости, то такие
плоскости взаимно параллельны (рис. 7.7). Исключением из этого правила
являются проецирующие плоскости, т. е. плоскости, перпендикулярные од-
ной из плоскостей проекций (об этом рассказано в следующем разделе).
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 157
Рис. 7.7. Параллельные плоскости, заданные следами
Пример 19. Построить плоскость , проходящую через данную точку K
и параллельную плоскости (рис. 7.8).
1. Через заданную точку K проводим любую прямую частного положения,
например горизонталь искомой плоскости (рис. 7.9):
фронтальная проекция горизонтали проходит через проекцию K и па-
раллельна оси х;
горизонтальная проекция горизонтали проходит через K и параллельна
горизонтальному следу 0h заданной плоскости.
Рис. 7.8. Плоскость , заданная следами, и точка K
Рис. 7.9. Построение плоскости ,
параллельной плоскости
2. Строим проекции фронтального следа этой горизонтали:
горизонтальная проекция фронтального следа (N ) лежит в пересече-
нии горизонтальной проекции горизонтали с осью х;
Глава 7 158
фронтальная проекция фронтального следа (N ) лежит в пересечении
линии проекционной связи, проведенной из точки N , и фронтальной
проекции горизонтали.
3. Через точку N проводим фронтальный след 0f плоскости параллельно
0f . В пересечении 0f с осью x отмечаем точку схода следов Х , через
которую параллельно 0h проводим след 0h .
7.4. Пересекающиеся плоскости
Если хотя бы одна пара одноименных следов двух плоскостей пересекается,
то эти плоскости пересекаются (рис. 7.10).
Рис. 7.10. Примеры пересекающихся плоскостей
На рис. 7.11 изображены профильно-проецирующие плоскости и , горизон-
тальные и фронтальные следы которых параллельны между собой, а про-
фильные — пересекаются. Следовательно, плоскости и также пересека-
ются.
Линией пересечения двух плоскостей является прямая, все точки которой
принадлежат обеим плоскостям. Таким образом, в общем случае для нахож-
дения линии пересечения необходимо найти хотя бы две точки, общие для
обеих плоскостей. Такими точками могут быть, например, точки пересечения
одноименных следов плоскостей и — точки M и N (рис. 7.12, а). Через
них и пройдет линия пересечения.
На эпюре (рис. 7.12, б) проекции линии пересечения пройдут через точки пе-
ресечения одноименных следов плоскостей и . В пересечении горизон-
тальных следов находим проекцию общей точки М (фронтальная проекция
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 159
этой точки М лежит на оси x), а в пересечении фронтальных следов — точ-
ки N (горизонтальная проекция N также лежит на оси x). Соединив одно-
именные проекции М и N, получаем две проекции линии пересечения.
Рис. 7.11. Пересекающиеся профильно-проецирующие плоскости и
Рис. 7.12. Построение линии пересечения плоскостей общего положения и , заданных следами
Но далеко не всегда на эпюре мы можем найти эти точки. Рассмотрим не-
сколько примеров.
Пусть дана пара плоскостей, из которых одна — плоскость общего поло-
жения , а другая — горизонтальная плоскость (рис. 7.13). Одну общую
Глава 7 160
точку — точку N — найти легко в пересечении фронтальных следов. По-
скольку плоскость — горизонтальная, она параллельна плоскости про-
екция 1 и, следовательно, не имеет горизонтального следа. Из школьного
курса геометрии известно, что две параллельные плоскости пересекаются
третьей плоскостью по параллельным прямым. Следовательно, линией
пересечения плоскостей и будет горизонталь h.
Рис. 7.13. Построение линии пересечения плоскости общего положения
с горизонтальной плоскостью
Теперь возьмем две плоскости общего положения и , у которых одно-
именные следы, например фронтальные, в пределах чертежа не пересека-
ются (рис. 7.14). Первая общая точка — точка М — находится в пересече-
нии горизонтальных следов плоскостей и . Для нахождения второй
общей точки выбираем произвольную вспомогательную плоскость, на-
пример горизонтальную плоскость , и строим линии пересечения двух
пар плоскостей: и ; и (так, как мы это сделали в предыдущем при-
мере). Эти линии пересеклись в точке K, которая является общей для всех
трех плоскостей. Теперь у нас есть точки М и K, общие для плоскостей
и . Через эти точки можно провести линию пересечения двух этих плос-
костей.
Если фронтальные следы двух плоскостей параллельны, то линией их пе-
ресечения будет фронталь f (рис. 7.15, а). В этом легко убедиться, если
воспользоваться вспомогательной горизонтальной плоскостью.
По аналогии можно доказать, что если у пересекающихся плоскостей па-
раллельны горизонтальные следы, то линией их пересечения будет гори-
зонталь h (рис. 7.15, б).
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 161
Рис. 7.14. Построение линии пересечения плоскостей общего положения и , если их фронтальные следы не пересекаются в пределах чертежа
Рис. 7.15. Построение линии пересечения плоскостей с параллельными следами
Возвратимся к примеру, изображенному на рис. 7.11. Отметим, что на эпю-
ре имеется одна общая точка пересекающихся профильно-проецирующих
плоскостей и — в пересечении профильных следов: K = 0p 0p . По-
скольку точка K лежит в плоскости 3, ее фронтальная проекция K нахо-
дится на оси z, а горизонтальная K — на оси y3. Линией пересечения плос-
костей и является профильно-проецирующая прямая: на плоскости 3
она выродится в точку, совпадающую с K ; на плоскости 2 линия пересе-
чения спроецируется в линию, проходящую через K параллельно оси х; на
плоскости 1 — в линию, проходящую через K также параллельно оси х.
Глава 7 162
Пример 20. Построить линию пересечения двух плоскостей и (рис. 7.16).
1. Поскольку следы заданных плоскостей не пересекаются в пределах чер-
тежа, то для нахождения общих точек проведем две вспомогательные
плоскости (рис. 7.17): горизонтальную плоскость ( 0f x) и фронталь-
ную плоскость ( 0h x).
Рис. 7.16. Заданные плоскости и
Рис. 7.17. Построение линии пересечения плоскостей общего положения и , если их следы не пересекаются в пределах чертежа
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 163
2. Находим горизонтальные проекции линий пересечения плоскости
с плоскостями и . Горизонтальная проекция линии пересечения плос-
костей и проходит через 1N параллельно 0h , а горизонтальная проек-
ция линии пересечения плоскостей и — через 2N параллельно 0h .
3. В пересечении горизонтальных проекций линий пересечения вспомога-тельной и заданных плоскостей находим 1K . Из 1K проводим линию про-
екционной связи до пересечения с 0f и отмечаем 1K . Точка K1 ( 1K ,
1K ) — первая общая для заданных плоскостей и .
4. Затем построим фронтальные проекции линий пересечения вспомогатель-
ной плоскости с заданными плоскостями. Фронтальная проекция линии
пересечения плоскостей и проходит через 1M параллельно 0f ,
а фронтальная проекция линии пересечения плоскостей и — через 2M
параллельно 0f .
5. В пересечении фронтальных проекций линий пересечения находим 2K .
Из этой проекции проводим линию проекционной связи до пересечения со следом 0h и отмечаем 2K . Точка K2 с проекциями 2K и 2K — вторая
общая точка заданных плоскостей и .
6. Через одноименные проекции двух точек, общих для плоскостей и ,
проводим горизонтальную 21KK и фронтальную 21 KK проекции линии
пересечения.
7.5. Прямая, пересекающая плоскость
Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку, называе-
мую точкой пересечения или точкой встречи прямой с плоскостью.
Рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения прямой линии с плоско-
стью в общем виде. Пусть нам дана плоскость и прямая АВ, ее пересекаю-
щая (рис. 7.18). Проводим через прямую АВ любую плоскость, например
плоскость . Далее строим линию пересечения плоскостей и — прямую 12.
Все точки этой прямой являются общими для обеих плоскостей. Следова-
тельно, и точка K, лежащая на прямой АВ, принадлежит обеим плоскостям.
Точка K будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью .
Рассмотрим порядок нахождения точки пересечения прямой АВ с плоско-
стью на эпюре (рис. 7.19):
1. Через заданную прямую АВ проводим любую вспомогательную плоскость
(удобнее, если это будет плоскость частного положения — например,
фронтально-проецирующая плоскость ).
Глава 7 164
Рис. 7.18. Построение точки пересечения прямой и плоскости в общем виде
Рис. 7.19. Построение точки пресечения прямой с плоскостью, заданной следами
2. Находим линию пересечения плоскостей и — прямую MN.
3. Горизонтальная проекция K искомой точки встречи лежит в пересечении
горизонтальных проекций прямой А В и линии пересечения M N .
4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из K , и фрон-
тальной проекции прямой получаем вторую проекцию точки пересече-
ния — точку K .
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 165
7.6. Определение взаимной видимости
геометрических элементов
Взаимная видимость геометрических элементов определяет позиционное
отношение одной геометрической фигуры (прямой, плоскости и т. д.) по от-
ношению к другой в определенном направлении. Обычно это направление
совпадает с направлением проецирования и для ортогонального чертежа пер-
пендикулярно плоскости проекций.
Взаимная видимость на эпюре определяется с помощью конкурирующих
точек (см. разд. 5.5), которые выбирают на той плоскости проекций, в на-
правлении на которую определяют взаимную видимость. Взаимная ви-
димость в направлении на каждую из плоскостей проекций определяется
отдельно.
Пусть точки А и В принадлежат скрещивающимся прямым а и b и лежат на
одном перпендикуляре к горизонтальной плоскости проекций (рис. 7.20, а).
Направление взгляда на плоскость 1 показано стрелкой. Вопрос о видимо-
сти решается следующим образом: из двух точек считается видимой точка,
находящаяся ближе к наблюдателю. В нашем случае точка А видна, а точка
В закрыта ею. На эпюре (рис. 7.20, б) фронтальная проекция показывает,
что точка А выше, чем точка В, следовательно, на плоскости 1 прямая а
ближе к наблюдателю, чем прямая b.
Аналогично взаимную видимость применяют и к другим плоскостям про-
екций.
Рис. 7.20. Определение взаимной видимости скрещивающихся прямых
Глава 7 166
Рассмотрим определение взаимной видимости прямой LТ и плоскости, за-
данной треугольником АВС (рис. 7.21). Будем считать треугольник непро-
зрачным. Прежде всего находим точку пересечения прямой LТ с плоскостью
треугольника. Через прямую LТ проводим вспомогательную плоскость и
строим линию пересечения плоскости и плоскости треугольника АВС —
прямую EF. Находим искомую точку K. Затем последовательно определяем
взаимную видимость в направлении на плоскости проекций 1 и 2.
Рис. 7.21. Определение точки пересечения прямой LT с плоскостью треугольника АВС
и видимости прямой относительно плоскости треугольника
Для определения видимости в направлении на плоскость 1 выбираем конку-
рирующие точки, например Е и 1 (E 1 ). Эти точки принадлежат разным
геометрическим фигурам (Е АВ; 1 LТ), но они расположены на одной
проецирующей прямой, перпендикулярной плоскости 1, поэтому на эту
плоскость они проецируются в одну точку. Находим фронтальную проекцию
1 точки 1 (проекция Е уже была найдена при предыдущих построениях).
Из двух точек видимой будет та, фронтальная проекция которой расположена
дальше от оси проекций. В нашем примере — это точка Е. Следовательно,
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 167
на горизонтальной проекции видимой будет прямая АВ, принадлежащая
плоскости треугольника, а отрезок прямой K1 — невидимым. В точке K пря-
мая LТ пересекает плоскость, и отрезок KT становится видимым.
Для определения взаимной видимости в направлении на 2 выбираем на ней
проекции конкурирующих точек. Пусть это будут точки 2 и 3 (2 3 ).
При этом условимся, что 2 LТ; 3 АВ. Находим их горизонтальные проек-
ции и определяем по ним взаимную видимость точек. Дальше от оси x будет
точка 3 , принадлежащая треугольнику АВС. Следовательно, отрезок 2 K —
невидим.
Пример 21. Построить точку пересечения прямой LT с плоскостью
и показать видимость прямой относительно заданной плоскости
(рис. 7.22).
1. Для построения точки пересечения прямой LT с плоскостью проводим
через прямую вспомогательную плоскость, например, фронтально-
проецирующую плоскость (рис. 7.23):
0f L T ; 0h x.
Рис. 7.22. Исходные проекции прямой АВ
и плоскости
Рис. 7.23. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Глава 7 168
2. Строим линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. По-
скольку фронтальные следы плоскостей и параллельны между собой,
то линией их пересечения является фронталь f:
ее фронтальная проекция (на чертеже не обозначена) совпадает с 0f ;
горизонтальная f — пройдет через точку М (М = 0h 0h ) парал-
лельно оси х.
3. Определяем точку пересечения K заданной прямой LT с линией пересече-
ния МN:
K = L T f ;
K — в пересечении линии проекционной связи, проведенной из K ,
с фронтальной проекцией L T .
4. Определяем взаимную видимость прямой LT и плоскости , которая счи-
тается непрозрачной. Взаимная видимость определяется раздельно при
проецировании на плоскости 1 и 2. Поскольку проекции прямой LT не
пересекаются со следами плоскости , то для выбора конкурирующих то-
чек необходимо воспользоваться вспомогательными прямыми, лежащими
в плоскости .
5. Выбираем конкурирующие точки для определения взаимной видимости
в направлении на плоскость 2. Такими точками могут быть L и 1 (L 1 ),
в которых совмещаются фронтальные проекции двух точек, из которых
одна принадлежит прямой LT, а другая — фронтали f плоскости :
L LT;
1 .
Горизонтальная проекция L уже имеется на чертеже. Находим горизон-
тальную проекцию точки 1: 1 f .
При проецировании в направлении на плоскость 2 точка 1 закрывает точ-
ку L, следовательно, на фронтальной плоскости проекций отрезок LK бу-
дет невидим (точка пересечения K является границей видимости), а отре-
зок KT — видимый.
6. Выбираем конкурирующие точки для определения видимости в направле-нии на горизонтальную плоскость проекций. Такими точками могут быть
точки Т и 2 (Т 2 ), в которых совмещаются горизонтальные проекции двух точек, из которых точка Т принадлежит прямой LT, а точка 2 —
плоскости :
Т LT;
2 .
2 (L 1 )
1 (T 2 )
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 169
Для построения фронтальной проекции 2 сначала построим вспомога-
тельную горизонталь плоскости , проходящую через точку 2. Через про-
екцию Т проводим горизонтальную проекцию горизонтали плоскости :
она совпадет с L T . На оси х отмечаем проекцию фронтального следа
этой горизонтали N . Из точки N проводим линию проекционной связи до
пересечения с 0f и находим N . Фронтальная проекция горизонтали h
пройдет через точку N параллельно оси х. В пересечении линии проекци-
онной связи, проведенной из 2 , и фронтальной проекции горизонтали h
отмечаем фронтальную проекцию точки 2 (2 ).
При проецировании на плоскость 1 точка 2 закрывает точку Т. Следова-
тельно, точка 2, лежащая в плоскости , ближе к наблюдателю, чем точка
Т. Таким образом, отрезок ТK находится под плоскостью , и на горизон-
тальной плоскости проекций обозначаем его линией невидимого контура.
Отрезок KL находится над плоскостью и на горизонтальной плоскости
проекций считается видимым.
7.7. Пересечение плоских фигур
Линия пересечения двух плоских фигур, как и линия пересечения двух
плоскостей, определяется двумя точками, общими для этих фигур. Такие
точки могут быть найдены как точки пересечения сторон одной фигуры
с плоскостью другой.
На рис. 7.24 найдена линия пересечения треугольников АВС и EDF. Для это-
го выполнены следующие построения.
1. Сначала найдена точка K1 ( 1K , 1K ) пересечения стороны AC треугольни-
ка АВС с плоскостью треугольника EDF. Для ее построения точки через
сторону АС проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плос-
кость и построена прямая 12 пересечения вспомогательной плоскости и
треугольника EDF. На пересечении горизонтальных проекций А С и 1 2
определена горизонтальная проекция 1K точки встречи. Ее фронтальная
проекция 1K построена на фронтальной проекции А С .
2. Затем аналогично построена точка K2 ( 2K , 2K ) пересечения другой сторо-
ны, например стороны BC, с плоскостью треугольника EDF. Для ее по-
строения через сторону ВС проведена горизонтально-проецирующая
плоскость . Затем построена прямая 34 пересечения плоскости и тре-
угольника EDF, и на пересечении 3 4 с В С найдена фронтальная про-
екция 2K . Точка 2K построена на горизонтальной проекции В С .
Глава 7 170
Рис. 7.24. Построение линии пересечения плоскостей, заданных плоскими фигурами
3. Зная две точки, общие для заданных плоскостей, проводим через них ли-
нию пересечения K1K2 с проекциями 1K 2K и 1K 2K .
4. Выбираем конкурирующие точки для определения взаимной видимости на
фронтальной плоскости проекций, например, в пересечении фронтальных
проекций А С и Е D :
1 (ED),
6 (AC).
Рассматривая горизонтальные проекции точек 1 и 6, видим, что точка 1
находится ближе к наблюдателю. Следовательно, в направлении на плос-
кость 2 прямая ED закрывает прямую АС, и в этой области треугольник
ЕDF будет ближе к наблюдателю, чем треугольник АВС. Поэтому на
фронтальной плоскости проекций часть треугольника АВС, ограниченная
прямой ED и линией пересечения K1K2, будет невидимой. Рассуждая
2 (1 6 )
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 171
от противного, по другую сторону от линии пересечения ближе к наблю-
дателю окажется треугольник АВС, закрывающий от обзора часть сторо-
ны EF треугольника EDF.
5. Выбираем конкурирующие точки для определения видимости на горизон-
тальной плоскости проекций, например, в пересечении горизонтальных
проекций В С и D F :
4 (DF),
5 (BC).
По фронтальной проекции точек 4 и 5 видно, что точка 4 находится выше
точки 5, и поэтому на горизонтальной плоскости проекций прямая DF бу-
дет закрывать прямую ВС. Следовательно, в этой части треугольник EDF
будет ближе к наблюдателю, чем треугольник АВС, и участок треуголь-
ника АВС, ограниченный прямой DF и линией пересечения K1K2, будет
невидимым. От противного по другую сторону линии пересечения ближе
к наблюдателю окажется треугольник АВС, который закроет часть сторо-
ны EF треугольника EDF.
Теперь рассмотрим пример, когда одна плоскость задана следами, а дру-
гая — плоской фигурой (рис. 7.25). В данном случае такие две общие для за-
данных плоскостей точки могут быть найдены как точки пересечения любых
сторон плоской фигуры с плоскостью .
1. Находим точку пересечения K1 прямой АС с плоскостью — через пря-
мую АC проводим вспомогательную плоскость, например, фронтально-
проецирующую плоскость , находим линию пересечения М1N1 плоско-
стей и , и в ее пересечении с прямой АС находим искомую точку K1
с проекциями 1K и 1K .
2. Находим точку пересечения K2 прямой BС с плоскостью — проводим
вторую вспомогательную плоскость, например, горизонтально-
проецирующую плоскость , находим линию пересечения М2N2 плоско-
стей и , и в ее пересечении с прямой BС находим искомую точку K2
с проекциями 2K и 2K .
3. Зная две точки K1 и K2, общие для плоскости и плоскости треугольника
АВС, проводим через них линию пересечения K1K2 с проекциями 1K 2K
и 1K 2K .
4. Определяем видимость плоскостей друг относительно друга на основе
анализа положения конкурирующих точек, например, точек 1 и М2 — на
горизонтальной плоскости проекций и точек 2 и N1 — на фронтальной
плоскости проекций.
1 (4 5 )
Глава 7 172
Рис. 7.25. Построение линии пересечения плоскостей, одна из которых задана следами, другая — плоской фигурой
Если обе плоскости заданы геометрическими фигурами (параллельными
прямыми, пересекающимися прямыми, прямой и точкой, тремя точками), то
в общем случае их рассекают двумя плоскостями (целесообразно, если это
будут плоскости частного положения) и ищут линии пересечения вспомога-
тельных и заданных плоскостей. Затем проекции общих точек соединяют.
Пример 22. Построить линию пересечения плоскостей: одна из плоско-
стей задана двумя пересекающимися прямыми AB и ВC, а другая —
двумя параллельными прямыми EF и GH (рис. 7.26).
1. Через заданные плоскости проведем две вспомогательные горизонтальные
плоскости и (рис. 7.27):
0f x; 0f x.
2. При пересечении заданных плоскостей с плоскостью образуются пря-
мые 12 и 34, которые в своем пересечении дают точку K1, принадлежа-
щую обеим заданным плоскостям.
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 173
Рис. 7.26. Исходные плоскости в виде двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых
Рис. 7.27. Построение линии пересечения плоскостей, заданных геометрическими фигурами
3. При пересечении заданных плоскостей плоскостью образуются пря-
мые 56 и 78, которые в своем пересечении дают вторую общую точку K2,
общую для заданных плоскостей.
4. Для построения линии пересечения необходимо соединить одноименные
проекции точек K1 и K2.
Глава 7 174
7.8. Прямая, перпендикулярная плоскости
Предположим, что дана некоторая плоскость и прямая АK — перпендику-
ляр к этой плоскости, причем точка K, лежащая в плоскости , является ос-
нованием перпендикуляра (рис. 7.28). Если прямая АK — перпендикуляр, то
она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
Рис. 7.28. Прямая AK, перпендикулярная плоскости
Через точку K проведем горизонталь KN. Угол АKN — прямой. Учитывая
особенности проецирования прямого угла, у которого хотя бы одна сторона
параллельна плоскости проекций (см. разд. 6.3), угол А K N — тоже прямой.
Таким образом, горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна го-
ризонтальной проекции горизонтали и горизонтальному следу плоскости. Анало-
гично можно доказать, что фронтальная проекция перпендикуляра перпендику-
лярна фронтальной проекции фронтали и фронтальному следу плоскости.
Посмотрим на конкретных примерах, как из некоторой точки опустить пер-
пендикуляр к заданной плоскости. Пусть из точки K требуется опустить пер-
пендикуляр к плоскости , заданной следами (рис. 7.29). Выполнить по-
строения несложно:
горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонталь-
ному следу плоскости 0h ;
фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальному
следу плоскости 0f .
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 175
Рис. 7.29. Проведение перпендикуляра к плоскости, заданной следами
Теперь из точки L опустим перпендикуляр к плоскости, заданной треуголь-
ником АВС (рис. 7.30). Строим горизонталь А1 (А 1 , А 1 ) и фронталь А2
(А 2 , А 2 ) заданной плоскости. Из точки L проводим перпендикуляр к за-
данной плоскости:
горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонталь-
ной проекции горизонтали А 1 ;
фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной
проекции фронтали А 2 .
Рис. 7.30. Проведение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником
Глава 7 176
Пример 23. Через точку А провести плоскость , перпендикулярную
прямой ВС (рис. 7.31).
1. Проведем через точку А горизонталь h искомой плоскости: т. к. гори-
зонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен В С , то
и горизонтальная проекция горизонтали h должна быть перпендику-
лярна В С (рис. 7.32). В пересечении h c осью х отмечаем горизонталь-
ную проекцию фронтального следа N этой горизонтали. Затем строим
N и h :
А h ; N h ; h x.
Рис. 7.31. Исходные проекции точки А
и отрезка прямой ВС
Рис. 7.32. Построение плоскости,
проходящей через заданную точку А
и перпендикулярной прямой ВС
2. Через фронтальную проекцию фронтального следа N проводим фрон-
тальный след плоскости :
0f В С .
3. В пересечении 0f с осью х отмечаем точку схода следов Х , и через нее
проводим горизонтальный след плоскости :
0h А N .
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 177
7.9. Взаимно перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через
прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Различают два способа построения плоскости, перпендикулярной плоскости:
плоскость проводится через прямую, перпендикулярную другой пло-
скости;
плоскость проводится перпендикулярно прямой, лежащей в другой пло-
скости.
Для получения единственного решения требуются дополнительные условия.
Рассмотрим построение плоскости , перпендикулярной плоскости и про-
ходящей через прямую KL (рис. 7.33).
1. Из любой точки прямой KL, например из точки K, проводим перпенди-
куляр к заданной плоскости . Строим проекции следов прямой KL ( 1M
и 1M , 1N и 1N ) и перпендикуляра ( 2M и 2M , 2N и 2N ).
Рис. 7.33. Построение плоскости , перпендикулярной плоскости и проходящей через прямую KL
2. Строим следы плоскости :
через горизонтальные проекции горизонтальных следов 1M и 2M про-
водим горизонтальный след плоскости ;
Глава 7 178
через фронтальные проекции фронтальных следов 1N и 2N — ее
фронтальный след.
3. Проверяем правильность построений: следы 0h и 0f пересекаются в точ-
ке схода следов Х на оси x.
Таким образом, плоскость перпендикулярна плоскости , т. к. проходит через
прямую KL, перпендикулярную плоскости . Следует обратить внимание на
то, что одноименные следы плоскостей и не перпендикулярны друг другу.
Если одна из рассматриваемых плоскостей является плоскостью частного
положения, то существует несколько очевидных случаев, когда перпендику-
лярность следов может служить признаком перпендикулярности самих плос-
костей. Например, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости
общего положения и горизонтально-проецирующей плоскости соответст-
вует взаимной перпендикулярности этих плоскостей (рис. 7.34). Это нетрудно
доказать, выбрав в плоскости прямую АВ, перпендикулярную плоскости .
Рис. 7.34. Горизонтально-проецирующая плоскость ,
перпендикулярная плоскости общего положения
По аналогии с рассмотренным примером перпендикулярность фронтальных
следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положе-
ния также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.
Если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно
перпендикулярны, то такие плоскости не перпендикулярны между собой.
Несмотря на перпендикулярность горизонтальных следов плоскостей и
(рис. 7.35), указанные плоскости не перпендикулярны между собой.
Позиционные задачи с прямой и плоскостью или с двумя плоскостями 179
Рис. 7.35. Взаимно неперпендикулярные плоскости и
Пример 24. Построить следы плоскости , проходящей через прямую KL
и перпендикулярной плоскости треугольника АВС (рис. 7.36).
1. В плоскости треугольника АВС строим любую горизонталь и любую
фронталь этой плоскости, например, горизонталь С1 (С 1 , С 1 ) и фрон-
таль А2 (А 2 , А 2 ) (рис. 7.37).
2. Из любой точки прямой KL, например из точки L, проводим перпендику-
ляр к заданной плоскости треугольника ABC:
горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизон-
тальной проекции горизонтали С 1 ;
Рис. 7.36. Исходные проекции прямой KL и треугольника АВС
Глава 7 180
Рис. 7.37. Построение плоскости , перпендикулярной плоскости треугольника АВС и проходящей через прямую KL
фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной
проекции фронтали А 2 .
3. Строим следы прямой KL и перпендикуляра и затем проводим следы ис-
комой плоскости :
через горизонтальные проекции горизонтальных следов 1M и 2M про-
водим горизонтальный след плоскости 0h ;
через фронтальные проекции фронтальных следов 1N и 2N — фрон-
тальный след 0f .
4. Проверяем правильность построений: 0h и 0f должны пересечься в точ-
ке схода следов Х на оси x.
Глава 8
Способы преобразования проекций
8.1. Общие сведения о способах
преобразования проекций
Критерием рациональности решения графических задач является максимальная
точность и наглядность, достигнутая при минимальном объеме построений.
Решение, как правило, получается наиболее простым и наглядным, если
объекты проецирования занимают одно из частных положений относи-
тельно плоскостей проекций. В начертательной геометрии разработан ряд
способов, позволяющих любую конкретную графическую задачу привес-
ти к частному виду и применить типовой алгоритм ее решения.
Это можно сделать двумя способами:
способом вращения — изменением положения в пространстве геометри-
ческой фигуры путем ее вращения вокруг одной или нескольких осей при
неизменном положении плоскостей проекций;
методом перемены плоскостей проекций — введением одной или несколь-
ких дополнительных плоскостей проекций при неизменном положении
геометрической фигуры.
Рассмотрим подробно оба способа на конкретных примерах.
8.2. Способ вращения
8.2.1. Основы способа вращения
Способ вращения базируется на нескольких основных положениях. При вра-
щении вокруг некоторой неподвижной прямой (оси вращения):
каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости (плоскости
вращения), перпендикулярной оси вращения;
Глава 8 182
каждая точка вращаемой фигуры перемещается по окружности, центр ко-
торой (центр вращения) находится в точке пересечения оси с плоскостью
вращения;
радиус вращения равен кратчайшему расстоянию от вращаемой точки
до оси вращения;
точки, расположенные на оси вращения, своего положения в простран-
стве не изменяют.
Ось вращения может быть задана или выбрана. В последнем случае выгодно
использовать в качестве оси вращения прямые частного положения, перпен-
дикулярные или параллельные плоскостям проекций.
Проекции, полученные после преобразования, условимся обозначать чертой
над обозначением геометрического объекта, например:
горизонтальная проекция А точки после первого преобразования A , по-
сле второго преобразования — А ;
горизонтальный след плоскости после первого преобразования 0h , по-
сле второго преобразования — 0h и т. д.
8.2.2. Вращение вокруг оси, перпендикулярной
плоскости проекций
Вращение точки
Повернем точку А вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 2, на некото-
рый угол (рис. 8.1). Траектория перемещения точки А в этом случае — ок-
ружность, лежащая в плоскости . Плоскость перпендикулярна оси i и, зна-
чит, параллельна плоскости 2. Траектория вращения точки А на плоскость
2 проецируется без искажения.
Горизонтальная проекция этой траектории лежит на горизонтальном следе
плоскости вращения 0h , параллельной оси x. Точка ОА является цент-
ром вращения точки А, а отрезок AAO AOA = RА — радиусом вращения
точки А.
Теперь рассмотрим вращение некоторой точки В вокруг оси, перпендикуляр-
ной горизонтальной плоскости проекций (рис. 8.2). На горизонтальную плос-
кость проекций ось вращения i спроецировалась в точку, а на фронталь-
ную — в прямую, перпендикулярную оси x.
Способы преобразования проекций 183
Рис. 8.1. Вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 2,
на произвольный угол
Рис. 8.2. Вращение точки В вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 1,
на произвольный угол
При вращении точки В вокруг оси i ее горизонтальная проекция вращается
по дуге окружности, а фронтальная — перемещается по прямой, совпадаю-
щей с фронтальным следом плоскости вращения .
Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной одной из плос-
костей проекций, проекция точки на эту плоскость перемещается по дуге окружно-
сти радиусом, равным радиусу вращения. Проекция этой точки на другую плос-
кость проекций перемещается по прямой, перпендикулярной оси вращения.
Глава 8 184
Вращение отрезка
Для вращения отрезка АВ вокруг оси, перпендикулярной плоскости 1, на
некоторый угол (рис. 8.3) нужно повернуть на этот угол любые две его точ-
ки (например, концы отрезка — точки А и В).
Рис. 8.3. Вращение отрезка АВ вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 1,
на произвольный угол
Горизонтальные проекции этих точек при этом перемещаются в горизон-
тальных плоскостях 1 и 2 по дугам окружностей на один и тот же угол .
Фронтальные проекции точек А и В перемещаются по прямым, параллель-
ным оси x, являющимся фронтальными следами плоскостей вращения — 10f
и 20f . Точки ОА и ОВ — центры вращения этих точек.
Таким образом, при вращении отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной
плоскости проекций, длина проекции отрезка прямой на эту плоскость не из-
меняется.
Вращение прямой значительно упрощается, если ось проходит через одну из
точек вращаемой прямой, т. к. при этом достаточно повернуть лишь одну
точку, принадлежащую прямой. На рис. 8.4, а ось вращения i проведена пер-
пендикулярно плоскости 1 через точку В (положение этой точки при преоб-
разовании изменяться не будет).
Затем отрезок АВ повернут вокруг оси i в положение, параллельное плоско-
сти 2. При этом горизонтальная проекция отрезка вращается до положения
Способы преобразования проекций 185
A В , параллельного оси x. Тогда на фронтальную плоскость проекций этот
отрезок спроецируется в натуральную величину, а угол 1 между ее фрон-
тальной проекцией и осью х будет равен углу наклона этой прямой к пло-
скости 1.
Рис. 8.4. Определение истинной величины отрезка АВ и угла его наклона
к плоскостям проекций 1 (а) и 2 (б)
Аналогично, вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости 2, может
быть найдена истинная величина отрезка и угол его наклона к плоскости 2
(рис. 8.4, б).
Вращение плоскости
Вращение плоскости сводится к вращению вокруг заданной оси принадле-
жащих ей геометрических элементов (точек, прямых линий и пр.).
При вращении плоскости, заданной следами, обычно поворачивают один из
ее следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. Например, для поворота
плоскости вокруг оси i на некоторый угол на горизонтальном следе 0h
выбрана точка А, ближайшая к оси вращения (рис. 8.5). Точка А повернута на
угол и через новое положение точки A перпендикулярно A AO проведен
след 0h .
Затем в плоскости проведена горизонталь, пересекающая ось вращения.
В новом положении горизонтальная проекция горизонтали также будет про-
ходить через ось вращения i параллельно 0h . Фронтальный след 0f прове-
ден через точку схода следов Х и N ''.
Глава 8 186
Рис. 8.5. Вращение плоскости вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 1,
на произвольный угол
Если плоскость общего положения преобразовать в частное положение, то
в новом положении можно определить угол наклона этой плоскости к плос-
кости проекций. Пусть дана плоскость общего положения , и требуется оп-
ределить угол ее наклона к горизонтальной плоскости проекций (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Определение угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций
Плоскость преобразуем во фронтально-проецирующую плоскость путем
ее вращения вокруг оси i, расположенной в плоскости 2 перпендикулярно
оси x. Ось i проведена через произвольную точку N фронтального следа 0f .
Способы преобразования проекций 187
След 0h построен аналогично, но так, чтобы в новом положении он был
перпендикулярен оси x. Новое положение фронтального следа 0f пройдет
через проекцию N'' и новое положение точки схода следов X . Таким обра-
зом, 1 — искомый угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости
проекций.
Пример 25. Определить истинную величину треугольника АВС (рис. 8.7).
1. Для определения истинной величины треугольника АВС поворачиваем
его дважды: сначала в положение, перпендикулярное плоскости 2, а за-
тем в положение, параллельное плоскости 1. Тогда в итоге на горизон-
тальную плоскость проекций треугольник спроецируется без искажения.
Рис. 8.7. Исходные проекции треугольника АВС
2. Задаем ось вращения i1 (i1 1; С i1) и проводим в плоскости треуголь-
ника АВС горизонталь С1 (рис. 8.8). Если повернуть треугольник АВС вокруг оси i1 в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости
проекций 2, то его горизонталь С1 примет положение, перпендикулярное
оси x (C 1 x). Точка C, лежащая на оси вращения i1, своего положения
не изменит. Взаимное положение проекций вершин треугольника АВС на
горизонтальной плоскости проекций 1 при этом не изменится.
3. Выделим горизонтальную проекцию треугольника А В С и с помощью
команды Поворот на странице Редактирование повернем его вокруг
точки С так, чтобы C 1 стала перпендикулярна оси x (предварительно
целесообразно через С провести вспомогательную вертикальную линию).
Глава 8 188
Рис. 8.8. Определение истинной величины треугольника АВС способом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций
4. На фронтальной плоскости проекций проекции вершин треугольника А
и В будут находиться на пересечении фронтальных следов плоскостей
вращения A
f0 и B
f0 (A
f0 B
f0 x) и линий проекционных связей, прове-
денных из А и В . На плоскости 2 проекция треугольника АВС преобра-
зовалась в отрезок прямой линии.
5. Для нанесения надстрочного штриха при обозначении точек после преоб-
разования целесообразно воспользоваться командой Спецзнак на вкладке
Вставка. В диалоговом окне Спецзнак следует раскрыть группу Проста-
новка размеров и воспользоваться командой Надчеркнутый текст.
6. Затем через В проводим вторую ось вращения i2, но уже перпендикулярно
фронтальной плоскости проекций 2. Если треугольник АВС повернуть
в положение, параллельное плоскости 1, то проекция А В С окажется
параллельной оси х (положение точки В, лежащей на оси вращения i2, ос-
тается неизменным).
7. Горизонтальные проекции А и С находятся в пересечении плоскостей
вращения А
h0 и C
h0 с линиями проекционных связей, проведенными со-
ответственно из А и С . Проекция А В С является истинной величи-
ной треугольника АВС.
Способы преобразования проекций 189
8.2.3. Плоскопараллельное перемещение
Плоскопараллельное перемещение представляет собой частный случай спо-
соба вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций 1 или 2, при котором на чертеже не изображается ось вращения и не устанавливается
радиус вращения. Это делается для того, чтобы избежать наложения исход-
ных и дополнительных проекций.
Новые проекции допускается перемещать на свободное поле чертежа. При
этом одна из исходных проекций рассматриваемой геометрической фигуры
перемещается в требуемое положение, не изменяя своего вида и размера.
Сущность способа разберем на примере определения истинной величины от-
резка прямой общего положения (рис. 8.9). Прямую АВ переместим в плоско-
сти вращения так, что ее горизонтальная проекция оказалась параллельной
оси x. Тогда сама прямая АВ будет параллельна плоскости 2 и ее фронтальная
проекция будет истинной величиной заданного отрезка. Угол 1 между этой
проекцией и осью х представляет собой угол наклона прямой к плоскости 1.
Рис. 8.9. Определение истинной величины отрезка АВ и угла его наклона к плоскости 1
методом плоскопараллельного перемещения
Пример 26. Методом плоскопараллельного перемещения определить
угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости 1 (рис. 8.10).
1. Плоскость треугольника АВС преобразуем в положение, перпендикулярное
фронтальной плоскости проекций, и она станет фронтально-проецирующей.
В этом положении горизонтальная проекция горизонтали А1 плоскости
φ1
Глава 8 190
треугольника примет положение, перпендикулярное оси x, а на фронталь-
ную плоскость проекций треугольник АВС спроецируется в виде отрезка
прямой А В С (рис. 8.11). Горизонтальные проекции треугольника
А В C и треугольника А В С равны, а место расположения проекции
треугольника А В С — произвольное.
Рис. 8.10. Исходные проекции треугольника АВС
Рис. 8.11. Определение угла наклона
плоскости треугольника АВС к плоскости 1
2. Угол 1 между проекцией А В С и осью х является углом наклона
плоскости треугольника АВС к горизонтальной плоскости проекций.
8.2.4. Вращение вокруг оси,
параллельной плоскости проекций
В этом случае в качестве оси вращения принимают горизонтальную или
фронтальную прямую (горизонталь или фронталь плоскости).
Рассмотрим вращение точки А вокруг произвольной горизонтальной прямой
h (рис. 8.12, а). Отметим на плоскости 2 след этой прямой N N , на оси х
найдем N . Затем построим горизонтальную проекцию этой прямой h h
и фронтальную проекцию — h х. Точка А будет вращаться в плоскости ,
перпендикулярной оси вращения h и, следовательно, являющейся горизон-
тально-проецирующей плоскостью.
Способы преобразования проекций 191
Рис. 8.12. Вращение точки А вокруг горизонтальной прямой h
В пересечении горизонтального следа плоскости вращения и h отметим
горизонтальную проекцию центра вращения AO и по линии связи — ОА. Со-
единим точку А с центром ОА — это радиус вращения точки А. Повернем
точку А так, чтобы отрезок АОА, равный радиусу вращения RA, занял поло-
жение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. Тогда на эту
плоскость отрезок спроецируется без искажения.
Изобразим вращение точки А на эпюре (рис. 8.12, б). Радиус вращения точки
А как на горизонтальную (отрезок AOA ), так и на фронтальную (отрезок
AOA ) плоскости проекций проецируется с искажением. Определим истин-
ную величину радиуса вращения методом прямоугольного треугольника,
одним катетом которого является проекция А ОА, а вторым — разность коор-
динат по оси z — zAOA. Гипотенуза построенного прямоугольного треуголь-
ника 0AOA A — истинная величина радиуса вращения точки А.
Новое положение точки А должно находиться на следе 0h на расстоянии
RA от проекции центра вращения AO . Как правило, этот отрезок переносят на
след при помощи дуги окружности с центром в точке AO .
Рассмотрим треугольник АNOA (см. рис. 8.12, а). При его вращении вокруг
горизонтали h в положение АNOA он окажется параллельным плоскости 1.
Следовательно, его проекция AONA будет его истинной величиной.
И на эпюре (см. рис. 8.12, б) треугольник AONA выражает истинную вели-
чину треугольника АNOA.
Глава 8 192
Таким образом, любую плоскую фигуру можно повернуть вокруг горизонта-
ли в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, и полу-
чить ее истинную величину.
Рассмотрим определение истинной величины треугольника АВС (рис. 8.13).
1. В качестве оси вращения выберем любую горизонталь плоскости тре-
угольника АВС, например проходящую через вершину С (C''1'' x).
Рис. 8.13. Определение истинной величины треугольника АВС вращением вокруг горизонтали
2. При решении задачи будем руководствоваться основными положениями
способа вращения:
точки C и 1, расположенные на оси вращения, своего положения в про-
странстве не изменяют;
вершины A и В перемещаются в плоскостях А и В, перпендикулярных
оси вращения и являющихся в нашем примере горизонтально-про-
ецирующими (следовательно, следы плоскостей вращения А
h0 и В
h0
перпендикулярны горизонтальной проекции оси вращения C 1 ).
3. Поскольку ось вращения C1 параллельна горизонтальной плоскости про-
екций, новые положения точек А и B будут находиться на следах плоско-
стей вращения — соответственно на А
h0 и В
h0 .
Способы преобразования проекций 193
4. Точки ОА и ОB ( AO , AO и BO , BO ) — центры вращения вершин треуголь-
ника А и В — лежат в пересечении горизонтальных следов плоскостей
вращения с осью вращения.
5. Радиусы вращения вершин А и B проецируются на плоскости проекций 1
и 2 с искажением. Для построения нового положения точки В (точки B )
достаточно методом прямоугольного треугольника найти истинную вели-
чину радиуса вращения RB (RB 0BOB ) и отложить его на горизонтальном
следе плоскости вращения В
h0 . По построению проекция A находится
в пересечении прямой B 1 и следа А
h0 .
6. Фигура CBA — истинная величина заданного треугольника.
Аналогично рассмотренному примеру плоскую фигуру можно повернуть
и вокруг фронтали, чтобы она оказалась параллельной плоскости 2. Тогда пре-
образованная фронтальная проекция фигуры окажется в натуральную величину.
Пример 27. Определить расстояние между двумя параллельными пря-
мыми (рис. 8.14).
1. Преобразуем положение плоскости, в которой находятся параллельные
прямые, вращением вокруг горизонтали так, чтобы она, а следовательно,
и данные прямые стали параллельными плоскости 1. Тогда горизонталь-
ные проекции параллельных прямых спроецируются в натуральную вели-
чину, и расстояние между ними будет искомым расстоянием. Формально
подобное вращение можно провести и вокруг фронтали, чтобы повернуть
плоскость в положение, параллельное 2.
Рис. 8.14. Исходные проекции двух параллельных прямых АВ и CD
Глава 8 194
2. Проведем произвольную горизонталь 12 плоскости, в которой находятся
параллельные прямые (рис. 8.15):
1 2 x; 1 A B ; 2 С D .
Эту горизонталь принимаем за ось вращения.
Рис. 8.15. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми
3. Проводим плоскость вращения точки А: горизонтальный след плоскости
вращения А
h0 проходят через А и перпендикулярен 1 2 (плоскость вра-
щения является горизонтально-проецирующей; фронтальный след этой
плоскости для решения задачи не используется и на чертеже он не указан).
4. Определяем проекции центра вращения точки А (ОА) в пересечении плос-
кости вращения и оси вращения:
АO = А
h0 1 2 ;
АO 1 2 .
5. Радиус вращения точки А на горизонтальную ( АO А ) и фронтальную
( АO А ) плоскости проекций спроецирован с искажением. Определяем ис-
тинную величину радиуса вращения точки А ( АO А0) методом прямо-
угольного треугольника, одним катетом которого является горизонтальная
Способы преобразования проекций 195
проекция радиуса вращения АO А , а другим — расстояние, равное алгеб-
раической разности координат zАОА.
6. Определяем горизонтальную проекцию нового положения точки А — А .
На пересечении дуги окружности радиусом вращения, проведенной из
АO , и следа плоскости вращения А
h0 отмечаем А .
7. Для построения нового положения прямой АВ не обязательно строить В .
Точка 1 лежит на оси вращения и своего положения при вращении не ме-
няет, поэтому, соединив А и 1 , получаем преобразованное положение
прямой. Через точку 2 проводим новое положение прямой CD параллель-
но А 1 . Расстояние l есть искомое расстояние.
8.2.5. Способ совмещения (вращение плоскости
вокруг одного из ее следов)
Этот способ является частным случаем способа вращения вокруг оси, парал-
лельной плоскости проекций, при котором осью вращения является один из
следов плоскости. Цель вращения — совместить заданную плоскость и распо-
ложенные в ней геометрические элементы с соответствующей плоскостью
проекций. Тем самым можно определить истинные размеры и форму этих эле-
ментов. При помощи способа совмещения можно решать и обратные задачи:
строить проекции геометрических фигур, лежащих в заданной плоскости, по
их истинным размерам и соответствующей точке привязки на плоскости.
Для совмещения плоскости общего положения с плоскостью проекций дос-
таточно совместить с ней одну точку. Совместим плоскость с горизонталь-
ной плоскостью проекций. При этом положение горизонтального следа 0h ,
являющегося осью вращения, и точки схода следов X не изменится. Подоб-
ное преобразование можно провести двумя приемами.
Первый прием (рис. 8.16, а). Для определения совмещенного с горизон-
тальной плоскостью проекций положения фронтального следа 0f выберем
на нем произвольную точку N. Эта точка в процессе вращения будет пере-
мещаться в плоскости , перпендикулярной оси вращения — следу 0h .
В пересечении следов 0h и 0h найдем точку NO — горизонтальную про-
екцию центра вращения точки N. Истинную величину RN радиуса враще-
ния этой точки определяем методом прямоугольного треугольника и от-
кладываем ее на следе 0h . Через точку N' и точку схода следов X
проводим совмещенный с горизонтальной плоскостью проекций фрон-
тальный след плоскости .0f
Глава 8 196
Рис. 8.16. Совмещение плоскости с горизонтальной плоскостью проекций
Второй прием — более простой (рис. 8.16, б). Так же как и в первом слу-чае на следе 0f выберем произвольную точку N и построим след плоскости
вращения этой точки 0h . Точка N , через которую пройдет след 0f , най-
дена на пересечении дуги радиуса X N'' с горизонтальным следом 0h .
Совместим произвольную точку А плоскости с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 8.17). Через точку А проводим горизонталь a:
a x, a 0h .
Рис. 8.17. Совмещение точки А, лежащей в плоскости , с горизонтальной плоскостью проекций
Способы преобразования проекций 197
Определяем совмещенное с горизонтальной плоскостью проекций положе-
ние фронтального следа плоскости 0f . Горизонталь a в совмещенном поло-
жении будет также параллельна горизонтальному следу плоскости:
a 0h .
В свою очередь, проекция совмещенного положения точки А (точка A ) на-
ходится в пересечении горизонтали а со следом плоскости вращения 20h .
Рассмотрим пример использования способа совмещения при определе-
нии истинной величины плоской фигуры — треугольника АВС, лежащего
в плоскости общего положения (рис. 8.18). Аналогично ранее рассмотрен-
ным примерам построим совмещенное с горизонтальной плоскостью проекций
положение фронтального следа 0f плоскости . Затем проводим горизонта-
ли, проходящие через вершины треугольника, сначала — в пространстве,
а затем — в совмещенном с плоскостью 1 положении (горизонтальные про-
екции горизонталей будут параллельны горизонтальному следу 0h ).
Рис. 8.18. Определение истинной величины треугольника АВС, лежащего в плоскости ,
путем совмещения с плоскостью 1
Глава 8 198
Вершины треугольника А , В и С находим на пересечении горизонталь-
ных следов плоскостей вращения 20h ,
30h и 40h проходящих через точки
А , B и C и перпендикулярных горизонтальному следу 0h , с соответст-
вующими горизонталями. Треугольник А В С есть истинная величина за-
данного треугольника.
Пример 28. В плоскости построить проекции равностороннего тре-
угольника, вписанного в окружность радиуса R=20 мм с заданным цен-
тром О (рис. 8.19).
1. Через точку О проведем горизонталь плоскости и определим положение
горизонтальной проекции точки О — О (рис. 8.20).
Рис. 8.19. Исходные проекции
следов плоскости и центра окружности О
Рис. 8.20. Построение проекций
равностороннего треугольника в плоскости
2. Совместим плоскость с горизонтальной плоскостью проекций путем ее
вращения вокруг следа 0h . Для построения нового положения фронталь-
ного следа 0f плоскости , совмещенного с плоскостью 1, достаточно
найти одну точку этого следа в совмещенном положении. Совместим
с плоскостью 1 точку N1 (N1 0f ). Через 1N проводим горизонтальный
Способы преобразования проекций 199
след плоскости вращения точки N1 перпендикулярно 0h . Новая проек-
ция 1N находится на пересечении дуги окружности радиуса X 1N со сле-
дом ее плоскости вращения.
3. Через 1N и X проведем совмещенное с горизонтальной плоскостью про-
екций положение фронтального следа плоскости 0f .
4. Совместим с плоскостью 1 горизонталь N1O, которая в совмещенном
положении будет проходить через 1N параллельно горизонтальному
следу 0h .
5. Найдем совмещенное с плоскостью 1 положение точки О. Проведем
плоскость вращения точки О через О перпендикулярно 0h . Проекция
совмещенного положения точки О ( 'O ) находится в пересечении нового
положения горизонтали, проведенной из 1N , со следом плоскости враще-
ния точки О.
6. Строим окружность радиусом R=20 мм с центром в точке О и вписыва-
ем в нее правильный треугольник. Поскольку в условии задачи не огова-
ривается ориентация многоугольника, положение его вершин выбираем
произвольно. Это положение целесообразно выбрать таким, чтобы две его
вершины находились на одной горизонтали, т. к. при этом упрощаются
дальнейшие построения.
7. Чтобы построить равносторонний треугольник, целесообразно восполь-
зоваться командой Многоугольник на инструментальной панели Гео-
метрия. При выполнении команды на панели свойств следует задать
Количество вершин — 3; переключатель способа построения включить
в положение По описанной окружности; в поле Радиус ввести размер 20.
Затем щелкнуть мышью в окне документа в центре окружности и вторым
щелчком зафиксировать сориентированные нужным образом вершины.
8. Поворачиваем плоскость вместе с треугольником АВС в исходное по-
ложение. Обратным ходом строим проекции вершин заданной фигуры.
Рассмотрим построения на примере вершины В:
через В проводим совмещенное с плоскостью 1 положение горизон-
тали параллельно 0h ;
на фронтальном следе 0f находим положение 2N и на оси х — 2N ;
строим фронтальную проекцию горизонтали (из 2N x) и горизонталь-
ную проекцию горизонтали (из 2N 0h );
Глава 8 200
точка В вращается в той же плоскости, что и точка О, и ее след уже
имеется на чертеже;
находим положение В в пересечении горизонтальной проекции гори-
зонтали и следа плоскости вращения;
по горизонтальной проекции В строим ее фронтальную проекцию В .
9. Аналогично строим проекции вершин А и С и соединяем одноименные
проекции вершин. Таким образом, построены проекции заданного равно-
стороннего треугольника. На горизонтальной плоскости проекций — это
треугольник А В С , на фронтальной — треугольник А В С .
8.3. Метод перемены плоскостей проекций
8.3.1. Основы метода перемены плоскостей
проекций
Метод перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение
проецируемых геометрических элементов в пространстве остается неизмен-
ным, а в существующую систему плоскостей проекций вводится одна (или
несколько) плоскостей проекций, по отношению к которой та или иная гео-
метрическая фигура будет занимать какое-либо частное положение. Новые
проекции точек при введении дополнительных плоскостей проекций обозна-
чают римскими цифрами: например, АIV
— проекция точки А на дополни-
тельной плоскости 4; АV — проекция точки А на дополнительной плоско-
сти 5 и т. д.
Пусть задана точка А c проекциями А' и А'' в системе плоскостей проек-
ций 1/ 2 (рис. 8.21, а). Строим проекции этой точки в новой системе 1/ 4,
где дополнительная плоскость проекций 4 так же, как и плоскость 2, пер-
пендикулярна плоскости 1. Опустив из точки А перпендикуляр на плоскость
4, получаем новую проекцию точки А (точку АIV
). Отметим, что расстояние
от точки А до плоскости 1 в старой и в новой системах одинаковы, т. е.
АА = А Аx = АIV
Ax1 = zA.
Для получения эпюра (рис. 8.21, б) плоскость 4 вращением вокруг оси
проекций х1 совмещаем с плоскостью 1, а затем — с плоскостью чертежа.
Оси проекций на эпюре принято дополнительно отмечать в виде дроби,
числитель и знаменатель которой — плоскости проекций, пересекающихся
по этой оси. Считается, что дробная черта лежит на самой оси, причем обо-
Способы преобразования проекций 201
значения плоскостей ставят со стороны видимых проекций. Например,
ось х обозначают как
1
2
π
π.
Для построения проекции АIV
на эпюре достаточно из проекции А' провести
перпендикуляр к новой оси х1 и от точки Аx1 отложить расстояние, равное
координате zА точки А (zA = А Аx).
Рис. 8.21. Введение дополнительной плоскости проекций 4,
перпендикулярной плоскости 1
Рис. 8.22. Введение дополнительной плоскости проекций 4,
перпендикулярной плоскости 2
Глава 8 202
Дополнительная плоскость проекций 4 может быть выбрана и перпендику-
лярной плоскости 2 (рис. 8.22). Тогда плоскость 4 вращением вокруг новой
оси проекций x1 совмещаем с 2, которую и принимаем за плоскость чертежа.
При этом расстояния от точки А до плоскости 2 в предыдущей и в новой
системе плоскостей проекций одинаковы, т. е.
АА = А Аx = АIV
Аx1 = yA.
При помощи метода перемены плоскостей проекций значительно упрощается
решение задач, связанных с определением расстояний и углов между геомет-
рическими объектами.
8.3.2. Примеры решения задач методом перемены плоскостей проекций
Задачи, решаемые на основе метода перемены плоскостей проекций, подраз-
деляют на четыре основных типа.
Задача 1. Выполнить преобразования так, чтобы прямая общего поло-
жения стала параллельна плоскости проекций.
Введем плоскость проекций 4, параллельную заданной прямой и перпенди-
кулярную одной из имеющихся плоскостей проекций, например, плоскости
1 (рис. 8.23, а):
4 1; 4 AB.
Выполняем переход от системы плоскостей 1/ 2 к системе 1/ 4. На эпюре
новая ось проекций х1 будет параллельна горизонтальной проекции отрезка
АВ. Вычерчиваем эту ось в любом месте чертежа с условием
х1 А В .
Для построения проекций точек А и В на плоскости 4 из их горизонтальных
проекций проводим линии проекционных связей перпендикулярно оси х1, на
которых откладываем координаты z соответствующих точек:
А Аx = АIV
Аx1; В Вx = В
IVВx1
.
Соединяем проекции АIV
и ВIV
. Итак, введением дополнительной плоскости
мы достигли следующего:
прямая АВ стала параллельна новой плоскости проекций 4 (по отноше-
нию к ней она является прямой уровня);
отрезок АIV
ВIV
равен истинной величине отрезка АВ;
угол 1 между новой проекцией отрезка и осью х1 будет углом наклона
прямой АВ к плоскости 1.
Способы преобразования проекций 203
Рис. 8.23. Преобразование прямой общего положения в прямую, параллельную плоскости проекций
Подобным образом можно перейти и к системе 2/ 4 (рис. 8.23, б). Вводим
новую плоскость проекций 4 из условия
4 2; 4 AB.
Строим новую ось
х1 А В
и новые проекции точек А и В на плоскости 4. Для этого по линии проекци-
онных связей, проведенных из фронтальных проекций А и В перпендику-
лярно оси х1, откладываем координаты у соответствующих точек. Отрезок
АIV
ВIV
будет истинной величиной отрезка АВ, а угол 2 — углом наклона
к плоскости 2.
Задача 2. Выполнить преобразования так, чтобы прямая общего поло-
жения стала перпендикулярна плоскости проекций.
Для преобразования прямой общего положения в прямую, перпендикуляр-
ную плоскости проекций, надо ввести две новых плоскости проекций: пер-
Глава 8 204
вую — параллельно прямой (как в предыдущей задаче), а вторую — перпен-
дикулярно ей.
Введение первой плоскости проекций 4 по схеме 4 1 и 4 AB нам уже
знакомо (рис. 8.24). Вводим еще одну плоскость проекций 5, переходя от
системы 1/ 4 к системе 4/ 5. Новую плоскость 5 выбираем перпендикуляр-
но 4 и, кроме того, перпендикулярно АВ.
Рис. 8.24. Преобразование прямой общего положения в прямую, перпендикулярную плоскости проекций
В любом месте чертежа строим новую ось х2 так, что
х2 АIV
ВIV
.
Линии проекционной связи, проведенные из АIV
и ВIV
, будут совпадать с про-
екцией АIV
ВIV
. Откладывая от новой оси х2 на линии связи отрезок w, равный
глубине точек прямой АВ относительно плоскости 4, получим проекцию
прямой на плоскости 5 в виде точки АV В
V.
Таким образом, после второго преобразования прямая АВ стала перпенди-
кулярна плоскости 5 или, говоря другими словами, стала проецирующей
по отношению к ней прямой.
Способы преобразования проекций 205
Задача 3. Выполнить преобразования так, чтобы плоскость общего по-
ложения стала перпендикулярна плоскости проекций.
Сначала рассмотрим плоскость общего положения , заданную следами
(рис. 8.25).
Рис. 8.25. Преобразование плоскости общего положения в плоскость, перпендикулярную плоскости проекций
Введем новую плоскость проекций 4 так, чтобы по отношению к ней плос-
кость стала проецирующей плоскостью:
4 1; 4 .
Если плоскость является проецирующей по отношению к новой плоскости
проекций 4, то на эпюре горизонтальный след 0h должен быть перпенди-
кулярен новой оси проекций х1 (ось х1 строим в любом месте чертежа, так,
чтобы она оказалась перпендикулярной следу 0h ). В пересечении 0h и оси
х1 получаем точку схода следов X1.
Для построения второго следа плоскости в системе проекций 1/ 4 выбира-
ем произвольную точку N, лежащую на фронтальном следе плоскости
N'' 0f ; N' x,
и строим ее проекцию NIV
в системе 1/ 4:
N N = Nx1N
IV.
I
V
Глава 8 206
Через точку схода X1 следов и N
IV проводим новый фронтальный след IV
0f
плоскости . Плоскость стала проецирующей по отношению к новой плос-
кости проекций 4, а угол 1 между следом IV0f и новой осью х1 равен углу
наклона плоскости к плоскости проекций 1.
Теперь перейдем к варианту, когда плоскость задана в виде плоской фигу-
ры — треугольника АВС (рис. 8.26). Перед тем как ввести новую плоскость
проекций, сначала выполним вспомогательные построения, а именно прове-
дем в плоскости треугольника АВС горизонталь А1:
А 1 x; 1 В С .
Рис. 8.26. Преобразование плоскости треугольника АВС в плоскость, перпендикулярную плоскости проекций
Переходим от системы проекций 1/ 2 к системе 1/ 4 таким образом, чтобы
горизонталь А1 стала перпендикулярна плоскости проекций 4. На чертеже
строим новую ось х1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали
х1 А 1 .
Перпендикулярно х1 строим линии проекционных связей и находим положе-
ние точек АIV
, ВIV
и СIV
, которые должны расположиться на одной прямой.
Итак, плоскость треугольника АВС по отношению к плоскости 4 стала про-
ецирующей, а угол 1, образованный проекцией треугольника и осью х1, ра-
вен углу наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.
Способы преобразования проекций 207
Задача 4. Выполнить преобразования так, чтобы плоскость общего по-
ложения стала параллельной плоскости проекций.
Такое преобразование выполняется введением двух новых плоскостей про-
екций: первая плоскость должна быть перпендикулярна заданной плоскости,
а вторая — параллельна.
Сначала так же, как в предыдущей задаче, переходим от системы 1/ 2 к сис-
теме 1/ 4 таким образом, чтобы плоскость треугольника АВС стала перпен-
дикулярной вводимой плоскости 4 (рис. 8.27). Вводим дополнительную
плоскость проекций 4 по следующей схеме:
4 1; 4 ( АВС).
Рис. 8.27. Преобразование плоскости треугольника АВС в плоскость, параллельную плоскости проекций
Глава 8 208
Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь А1 (А 1 x) и строим новую ось проекций х1 так, чтобы она оказалась перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали:
х1 А 1 .
Поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна 4, он спроециру-ется на эту плоскость в виде отрезка прямой линии (С
IVВ
IV).
Теперь вводим вторую дополнительную плоскость проекций 5, перпендику-
лярную плоскости 4 и параллельную плоскости треугольника АВС:
5 4; 5 ( АВС).
Ось проекций х2 проводим параллельно СIV
ВIV
. Строим проекции вершин
треугольника на плоскости 5. Поскольку плоскость проекций 5 параллельна плоскости треугольника, на нее треугольник спроецируется без искажения. Треугольник А
VB
VC
V — истинная величина заданного треугольника.
Пример 29. Определить расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 8.28).
1. Применяем вторую задачу преобразования чертежа. Вводим дополнитель-ную плоскость проекций π4 перпендикулярно π1 так, чтобы она была па-раллельна прямой ВС (рис. 8.29):
4 1; 4 ВС.
Рис. 8.28. Исходные проекции точки А и прямой ВС
Рис. 8.29. Определение расстояния от точки А до прямой ВС
Способы преобразования проекций 209
2. Проводим новую ось х1 параллельно горизонтальной проекции В С
и строим проекции точки А (АIV
) и прямой ВС (ВIV
СIV
) на плоскости 4.
3. После этого вводим вторую дополнительную плоскость проекций 5:
5 4; 5 ВС.
4. На эпюре новая ось х2 перпендикулярна ВIV
СIV
. Прямая ВС спроецируется
на плоскости 5 в точку ВV С
V. Поэтому расстояние от проекции А
V до
проекции ВV С
V и будет искомым расстоянием l между точкой А и пря-
мой ВС.
Пример 30. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся
прямых AB и CD (рис. 8.30).
1. Среди бесчисленного множества прямых, перпендикулярных к двум дан-
ным скрещивающимся прямым, имеется только один общий перпендику-
ляр, пересекающий эти прямые. Отрезок между точками пересечения оп-
ределяет в то же время кратчайшее расстояние между прямыми. Задача
сводится к тому, чтобы ввести дополнительную плоскость проекций в по-
ложение, перпендикулярное одной из заданных прямых.
Рис. 8.30. Исходные проекции скрещивающихся прямых AB и CD
2. Применяем вторую задачу преобразования чертежа. Вводим первую до-
полнительную плоскость проекций 4 таким образом, чтобы эта плоскость
была перпендикулярна плоскости 1 (или 2) и параллельна одной из за-
данных прямых, например, прямой АВ (рис. 8.31):
4 1; 4 АВ.
3. На эпюре вычерчиваем новую ось проекций параллельно горизонтальной
проекции прямой АВ:
х1 А В .
Строим проекции заданных прямых на плоскости 4 (АIV
ВIV
и СIV
DIV
).
Глава 8 210
Рис. 8.31. Построение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых AB и CD
4. Вводим вторую дополнительную плоскость проекций 5 таким обра-
зом, чтобы вводимая плоскость была перпендикулярной плоскости 4
и прямой АВ:
5 4; 5 АВ.
5. На эпюре строим новую ось перпендикулярно проекции AIV
BIV
:
х2 АIV
ВIV
.
Строим проекции прямых АВ и СD на плоскости 5 (АVВ
V и C
VD
V). При
этом прямая АВ спроецируется в точку АV
ВV. Перпендикуляр, опущен-
ный из этой точки на отрезок CVD
V, и будет общим перпендикуляром к за-
данным скрещивающимися прямыми АВ и CD, а расстояние l — истинной
величиной расстояния между этими прямыми.
6. Полученное решение можно дополнить построением проекций перпенди-
куляра KL на плоскостях проекций 4, 1 и 2. Построения проекций точки
K (K CD) выполняются обратным ходом:
KV K
IV K K (K
V C
VD
V; K
IV C
IVD
IV; K' C D ; K'' C D ).
Чтобы построить проекцию точки L (L AB) на плоскости 4 (LIV
), надо
из KIV
опустить перпендикуляр к АIV
ВIV
и далее
LIV
L L (LIV
AIV
BIV
; L A B ; L A B ).
Способы преобразования проекций 211
Пример 31. Определить истинную величину расстояния от точки K до
плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 8.32).
1. Применяем третью задачу преобразования чертежа. В плоскости тре-
угольника строим горизонталь С1 (рис. 8.33):
С 1 x; 1 А В .
Рис. 8.32. Исходные проекции точки K
и треугольника АВС
Рис. 8.33. Определение расстояния от точки K
до плоскости треугольника АВС
2. Вводим дополнительную плоскость проекций 4 так, чтобы плоскость
треугольника АВС оказалась перпендикулярной новой плоскости. В лю-
бом месте чертежа строим ось х1 проекций
х1 С 1 .
3. Поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна 4, он спрое-
цируется на эту плоскость в виде отрезка прямой линии (АIV
ВIV
). По-
строив проекцию точки K на плоскости 4 (KIV
) и опустив из нее перпен-
дикуляр к прямой АIV
BIV
, получим отрезок KIV
LIV
, равный искомому
расстоянию.
Глава 8 212
4. Решение можно дополнить построением проекций перпендикуляра KL на
плоскостях 1 и 2. Построения проекций точки L — основания перпенди-
куляра — выполняются обратным ходом:
точка L лежит в пересечении линии проекционной связи, проведенной
из LIV
перпендикулярно х1, и горизонтальной проекции перпендикуля-
ра, опущенной из K перпендикулярно С 1 ;
точка L лежит на линии связи, проведенной из L , на расстоянии zL от
оси z (это расстояние берется с проекций на плоскости 4).
8.4. Определение
истинной величины углов
8.4.1. Произвольный плоский угол
О проецировании плоского угла мы рассказывали в разд. 6.3. Как уже отме-
чалось, в общем случае плоский угол проецируется с искажением. Теперь
рассмотрим нахождение натуральной величины плоского угла.
Несколько приемов определения истинной величины плоской фигуры рас-
сматривалось ранее (см. рис. 8.18 и 8.27). Этими же методами можно опреде-
лить и величину плоского угла. Предлагаем теперь определить угол методом
вращения вокруг горизонтали.
Пусть дан угол АВС (рис. 8.34). Вращением вокруг горизонтали повернем
угол в положение, параллельное плоскости 1. Тогда угол в своей горизон-
тальной проекции изобразится без искажения.
1. В плоскости угла проведем горизонталь 12. Поворот треугольника 1В2
вокруг горизонтали 12 сводится к повороту одной вершины — точки В.
Из В проведем перпендикулярно 1 2 след плоскости вращения этой точ-
ки, и в пересечении следа и оси вращения 1 2 получаем проекцию центра
вращения ВO .
2. Натуральную величину радиуса вращения RB получаем при построении
прямоугольного треугольника В 0ВOВ , в котором катет В ВO представляет
собой горизонтальную проекцию радиуса вращения, а катет В В0 — раз-
ницу координат между точками В и ОВ по оси z ( zВОВ).
3. Точку В соединяем с 1 и 2 — горизонтальными проекциями точек, рас-
положенных на оси вращения и принадлежащих сторонам угла. Новая го-
ризонтальная проекция 1 В 2 равна заданному углу АВС.
Способы преобразования проекций 213
Рис. 8.34. Определение истинной величины плоского угла АВС
8.4.2. Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью определяется углом между прямой и ее
проекцией на эту плоскость, т. е. углом 1 (рис. 8.35). В случаях, когда требу-
ется определить лишь величину этого угла, построение его проекций не явля-
ется необходимым. Угол между прямой TL и плоскостью можно опреде-
лить, построив на чертеже угол 2, составленный заданной прямой и
перпендикуляром к плоскости, а искомый угол 1 определить как дополни-
тельный до 90 :
1 = 90 – 2.
Рис. 8.35. Угол между прямой и плоскостью
Глава 8 214
Рис. 8.36. Определение угла между прямой LT и плоскостью
Найдем угол между прямой LT и плоскостью , заданной следами (рис. 8.36).
1. Проведем из любой точки прямой LТ, например, точки T перпендикуляр
к плоскости :
фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна 0f ;
горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна 0h .
2. В плоскости, заданной прямой LТ и перпендикуляром, через любую точку
этой плоскости, например, через точку L проводим горизонталь L1.
3. Определяем истинную величину треугольника 1TL и, следовательно, ис-
тинную величину угла 1TL. Вращением вокруг горизонтали L1 поворачи-
ваем треугольник TL1 в положение, параллельное плоскости 1. Вершины
L и 1, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Необходимо
повернуть только точку T. Проводим плоскость вращения точки Т —
плоскость :
Т 0h ; 0h 1 L .
4. Определяем центр вращения ОТ ( TO , TO ) точки Т:
TO = 0h 1 L ; TO 1 L .
Способы преобразования проекций 215
Радиус вращения точки Т на горизонтальную ( TO Т ) и фронтальную
( TO Т ) плоскости проекций спроецирован с искажением. Истинную вели-
чину радиуса вращения определим как гипотенузу прямоугольного тре-
угольника TO T T0, катетами которого являются горизонтальная проекция
радиуса вращения TO T и разность координат zT0Т. Новое положение
точки T находится в пересечении дуги радиуса TO T0 с центром в TO со
следом плоскости вращения точки T — 0h .
5. Треугольник T L 1 является натуральной величиной треугольника TL1,
а угол 2 — натуральной величиной угла между прямой LТ и перпендику-
ляром к плоскости . Дополняем угол 2 до 90 . Искомый угол между
прямой LТ и плоскостью равен углу 1: 1 = 90 – 2.
8.4.3. Угол между двумя пересекающимися
плоскостями
Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным уг-
лом, который образуется прямыми, получающимися в результате пересече-
ния данных плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной к линии их
пересечения (рис. 8.37). Этот угол равен углу между перпендикулярами, про-
веденными из произвольной точки пространства (например, точки K) к дан-
ным двум плоскостям.
Считается, что линейный угол двугранного угла должен быть не больше 90 .
Следовательно, искомый угол между двумя плоскостями будет равен най-
денному углу 1, если 1 90 , или углу 2 = 180 – 1, если 1 90 .
Рис. 8.37. Угол между двумя пересекающимися плоскостями
Глава 8 216
Рис. 8.38. Определение линейного угла между двумя пересекающимися плоскостями и
Определим истинную величину угла между двумя пересекающимися плоско-
стями, одна из которых задана следами ( 0h и 0f ), а другая — треугольни-
ком АВС (рис. 8.38).
1. Строим проекции перпендикуляров из произвольно выбранной точки K.
Для плоскости проекции перпендикуляров (a , a ) будут перпендику-
лярны одноименным следам плоскости (a 0h и a 0f ).
2. Для плоскости, заданной треугольником АВС, предварительно строим
проекции горизонтали С1 (C 1 , C 1 ) и фронтали С2 (C 2 , C 2 ). Гори-
зонтальную проекцию перпендикуляра b проводим перпендикулярно гори-
зонтальной проекции горизонтали (b C 1 ); фронтальную проекцию
перпендикуляра b — перпендикулярно фронтальной проекции фронтали
(b C 2 ).
3. Угол между перпендикулярами спроецирован на горизонтальную и фрон-
тальную плоскости проекций с искажением. Для определения истинной
величины угла поворачиваем его вокруг фронтали 34 до положения, па-
раллельного плоскости 2. Через точку K проводим плоскость вращения :
0f 3 4 .
4. Определяем центр вращения точки K (ОK): KO = 0f 3 4 .
Способы преобразования проекций 217
5. Методом прямоугольного треугольника определяем истинную величину радиуса вращения точки K
(K0 KO ) и откладываем эту величину на следе
плоскости вращения 0f . Угол , равный углу 3 K 4 , является истинной
величиной искомого угла, поскольку он меньше 90 .
Пример 32. Определить двугранный угол, образованный треугольными
гранями АВС и АВD (рис. 8.39).
1. Ребром двугранного угла служит отрезок АВ. Если АВ окажется перпен-дикулярным плоскости проекций, то обе грани спроецируются на эту плоскость в виде отрезков, угол между которыми будет равен линейному углу двугранного угла.
2. Вводим первую дополнительную плоскость проекций 4 таким образом, чтобы она была параллельна ребру двугранного угла АВ (рис. 8.40):
4 1; 4 АВ.
На эпюре новая ось х1 будет параллельна горизонтальной проекции ребра:
х1 А В .
Строим проекции треугольных граней на плоскости π4 — АIV
ВIV
СIV
и А
IVВ
IVD
IV.
Рис. 8.39. Исходные проекции двугранного угла
Рис. 8.40. Определение истинной величины двугранного угла
Глава 8 218
3. Далее вводим вторую дополнительную плоскость проекций — плоскость
5 таким образом, чтобы ребро АВ оказалось перпендикулярным вновь
вводимой плоскости:
5 4; 5 АВ.
На эпюре cтроим ось х2:
х2 АIV
ВIV
.
4. Строим проекцию ребра двугранного угла АВ на плоскости 5 (АV В
V) и
проекции вершин С и D (СV и D
V). В результате проведенных построений
грани двугранного угла стали перпендикулярны плоскости проекций 5, и
угол между их "вырожденными" проекциями и есть искомый угол меж-
ду плоскостями.
Глава 9
Проекции с числовыми отметками
9.1. Общие сведения. Проецирование точки
Проекции с числовыми отметками — ортогональные проекции геометриче-
ских объектов на плоскости, которые сопровождаются величиной расстояния
(числовой отметкой) от точек проецируемой фигуры до плоскости проекций.
Следовательно, в проекциях с числовыми отметками предмет изображают
только в одной (как правило, горизонтальной) плоскости проекций, а фрон-
тальная и профильная проекции заменяются числовой отметкой.
Такая замена целесообразна в случаях, когда размеры до плоскости проекций
относительно невелики по сравнению с размерами на самой плоскости про-
екций. Этот метод особенно удобен для изображения на чертежах сложных
криволинейных поверхностей и топографических поверхностей, для которых
геометрический закон образования неизвестен.
Подобные поверхности встречаются как в машиностроительных чертежах,
например, при вычерчивании кузовных деталей автомобилей, корпусов лета-
тельных аппаратов, так и в отраслях, связанных с необходимостью изобра-
жения участков земной поверхности с расположенными на них сооружения-
ми, дорогами, различными насыпями и т. п. — в строительстве, геологии,
геодезии, горном деле.
Рассмотрим несколько точек пространства и некоторую горизонтальную
плоскость проекций π0. Плоскость π0 называется нулевой плоскостью или
плоскостью нулевого уровня (рис. 9.1, а):
для точек, расположенных выше нулевой плоскости, числовые отметки
считаются положительными (знак "+" обычно не ставится);
для точек, лежащих ниже нулевой плоскости, они считаются отрицатель-
ными;
для точек, лежащих в нулевой плоскости, числовая отметка равна нулю.
Глава 9 220
Рис. 9.1. Точки в проекциях с числовыми отметками: а — в пространстве; б — на плане
При составлении карт за плоскость нулевого уровня условно принимается
уровень Мирового океана. Для нашей страны этот уровень определяется по-
верхностью Балтийского моря, соответствующей нулевой отметке Крон-
штадтского футштока. На строительных, инженерно-геологических и неко-
торых других чертежах за плоскость нулевого уровня принимают иногда
и некоторую другую горизонтальную плоскость, но при этом должна быть
известна ее собственная числовая отметка. При этом нулевую плоскость це-
лесообразно выбирать так, чтобы все точки рассматриваемого объекта имели
только положительные знаки
Чертеж, выполненный в проекциях с числовыми отметками, называется
планом (рис. 9.1, б). Для решения различных метрических задач план должен
быть сориентирован (для геолого-строительных чертежей обычно относи-
тельно направления север — юг) и сопровождаться масштабным соотноше-
нием и линейным масштабом, которые наносятся в правом нижнем углу чер-
тежа1. Масштаб принимают из ряда:
1:10n, 1:5
n, 1:2
n,
где n — целое число.
На плане положение точки определяется в координатах х и у, а координата z
(числовая отметка) задается в выбранных единицах длины, как правило,
в метрах. Числовые отметки точек указывают справа внизу от буквенного
обозначения в виде подстрочного индекса.
1 На приведенных в дальнейшем изложении рисунках масштаб и оси координат для
упрощения не показаны.
Проекции с числовыми отметками 221
9.2. Проецирование прямой
9.2.1. Термины и определения
Рассмотрим элементы проецирования отрезка прямой АВ (рис. 9.2). Здесь
0 — плоскость нулевого уровня; Аm и Вn — проекции точек А и В на плос-
кость 0; m и n — числовые отметки точек А и В; АmВn — проекция отрезка
АВ на плоскость 0. Проекции с числовыми отметками имеют ряд понятий
и определений, которые отсутствуют в других методах проецирования:
заложение отрезка L — длина его проекции;
превышение отрезка H (подъем) — разность числовых отметок его
концов;
направление наклона прямой k (падение) — направление проекции прямой
в сторону понижения числовых отметок;
угол падения прямой δ — угол наклона прямой к нулевой плоскости;
азимут простирания прямой α — угол, отсчитываемый в нулевой плоско-
сти по направлению часовой стрелки от положительного направления оси
х до направления наклона прямой k.
Рис. 9.2. Отрезок прямой в проекциях с числовыми отметками: а — в пространстве; б — на плане
Отношение превышения Н к заложению L отрезка АВ называют уклоном пря-
мой (уклон задается в процентах, в промилле или в виде дроби):
L
Htgi . (9.1)
Глава 9 222
Величину, обратную уклону, называют интервалом прямой
H
L
gt
110 il .
(9.2)
Таким образом, отрезок прямой на плане в проекциях с числовыми отметка-
ми может быть задан одним из трех способов:
проекциями двух точек (рис. 9.3, а);
проекцией одной точки в сочетании с углами падения и азимутом про-
стирания α прямой (рис. 9.3, б);
проекцией одной точки, азимутом простирания α и уклоном i (рис. 9.3, в).
Рис. 9.3. Способы задания отрезка прямой в проекциях с числовыми отметками
У отрезка АВ, изображенного на рис. 9.3, превышение точки В над точкой А
равно
Н = 10 – (–5) = 15 м,
а заложение (длина проекции отрезка АВ) — L = 30 мм. Таким образом, ин-
тервал прямой будет равен
25
300
1H
Ll мм/м.
Интервал прямой представляет собой заложение, соответствующее единице
превышения.
9.2.2. Прямые частного положения
В проекциях с числовыми отметками выделяют две прямые, занимающие
особое положение по отношению к нулевой плоскости. К ним относятся:
горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости уровня (ее
проекция равна истинной величине отрезка, и все точки такой прямой
имеют одинаковые числовые отметки — рис. 9.4, а);
Проекции с числовыми отметками 223
проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная нулевой плоскости
(ортогональной проекцией проецирующей прямой является точка). На
чертеже проекция отрезка проецирующей прямой изображается в виде
точки, снабженной буквенными обозначениями и числовыми отметками
концов отрезка (рис. 9.4, б).
Рис. 9.4. Прямые частного положения: а — горизонтальная прямая; б — проецирующая прямая
9.2.3. Градуирование отрезка прямой
В ряде случаев возникает необходимость нанести на проекцию отрезка точки
с числовыми отметками, выраженными целыми числами и отличающимися
друг от друга на единицу длины (рис. 9.5). Этот процесс называют градуиро-
ванием отрезка прямой. При этом:
разницу h между числовыми отметками смежных точек называют шагом
градуирования (он может быть равен заданному значению из ряда 1, 2, 5,
10 и т. д.);
Рис. 9.5. Схема градуирования отрезка прямой в пространстве
Глава 9 224
длину проекции отрезка l между смежными точками градуирования назы-
вают интервалом градуирования.
Уклон и интервал прямой можно определить, пользуясь параметрами гра-
дуирования:
i = h / l; (9.3)
h/ll0 . (9.4)
Градуирование отрезка прямой можно проводить несколькими способами —
аналитическим способом, способом пропорционального деления отрез-
ка, способом профилей, с помощью палетки и др. Аналитический способ
построен на использовании формул (9.2) и (9.4). Тогда интервал градуиро-
вания
l = Lh / H. (9.5)
Графические методы градуирования удобнее использовать при делении от-
резка на целое число интервалов. Наиболее распространен метод пропорцио-
нального деления отрезка (рис. 9.6, а). Определяем превышение отрезка:
Н = 10 – 4 = 6
и шаг градуирования (положим, что h = 1). Рассчитываем число интер-
валов деления:
N = Н/h.
Из конца заданного отрезка проводим луч, на котором откладываем N отрез-
ков произвольной, но равной длины. Последнюю засечку соединяем с кон-
цом градуируемого отрезка, после чего из полученных на луче точек строим
параллельные прямые, которые делят заданный участок на ряд равных отрез-
ков, соответствующих заданному шагу градуирования.
Рис. 9.6. Градуирование отрезка прямой методом пропорционального деления: а — при целом числе интервалов; б — при дробном числе интервалов
Проекции с числовыми отметками 225
В случае, когда отношение H/h не является целым числом, способ пропор-
ционального деления также возможен (рис. 9.6, б). Определяется превыше-
ние отрезка
H = 4,7 – 2,3 = 2,4.
Количество интервалов деления
N =10nH,
где n — количество знаков после запятой (в данном случае N = 24). На про-
извольной прямой, проведенной из конца проекции отрезка, откладывается N
отрезков произвольной, но равной длины. Конечные точки вспомогательного
и градуируемого отрезков соединяются прямой. Параллельно этой прямой
через точки, соответствующие интервалу градуирования, проводятся прямые,
которые в пересечении с градуируемым отрезком дают искомые точки.
Рис. 9.7. Градуирование отрезка прямой методом профилей: а — при целом числе интервалов; б — при дробном числе интервалов;
в — при разноименных числовых отметках концов отрезка
Рассмотрим еще один графический способ градуирования отрезка прямой —
способ профилей. Приведем несколько примеров.
Если концы отрезка имеют целые числовые отметки (рис. 9.7, а), то про-
фили строят при помощи прямоугольного треугольника, одним катетом
Глава 9 226
которого является заложение отрезка, а вторым — разность числовых от-
меток концов отрезка, отложенного в установленном масштабе чертежа.
Второй катет делят на N частей в соответствии с выбранным шагом гра-
дуирования. Дальнейшие построения очевидны из приведенного рисунка.
Отметим, что построенная гипотенуза треугольника равна истинной вели-
чине отрезка, а угол между гипотенузой и заложением является углом па-
дения прямой.
Если концы отрезков имеют дробные отметки, то от конца отрезка с мень-
шей отметкой откладывают только дробную часть, а от другого отклады-
вают разницу отметок плюс эту дробную часть. Градуирование при этом
выполняют, как показано на рис. 9.7, б.
Если концы отрезков имеют разные знаки, то построения отличаются
лишь тем, что отметки начала и конца отрезка откладываются в противо-
положные стороны (рис. 9.7, в).
При помощи градуирования прямой можно решить задачу на нахождение
точки пересечения прямой с плоскостью нулевого уровня. Этой точке соот-
ветствует точка с числовой отметкой, равной нулю — точка нулевого уровня.
Пример 33. Проградуировать отрезок прямой А100В24 с L=132 мм и =50
и определить положение точки нулевого уровня.
1. Создаем файл типа Чертеж и формируем Вид с началом координат в районе
левого нижнего угла чертежного листа (рис. 9.8).
2. Активизируем команду Отрезок и щелкаем мышью в начале координат —
первом конце отрезка. На панели свойств в поле Длина вводим 132,
а в поле Угол — 40 (напоминаем, что в КОМПАС-3D углы отсчитывают-
ся от горизонтально расположенной оси х против часовой стрелки, а в
проекциях с числовыми отметками — от вертикально расположенной оси
х по направлению часовой стрелки).
3. Отмечаем азимут падения , равный 50 , и направление падения k (ко-
мандой Стрелка взгляда на странице Обозначения; чтобы поставить
нужную букву, на панели свойств снимите флажок Автосортировки). По-
скольку направление падения указывает в сторону понижения числовых
отметок, наносим концы отрезка: точку А100 со стороны, имеющей более
высокие числовые отметки, а точку В24 — с противоположной стороны.
4. Определяем превышение отрезка:
7624100nmH м,
где m = 100 — числовая отметка точки А; n = 24 — числовая отметка точки В.
Проекции с числовыми отметками 227
Рис. 9.8. Градуирование прямой АВ и построение точки нулевого уровня
5. Принимаем шаг градуирования h = 10 м. Вычисляем число интервалов:
6710
76,N .
Целое число интервалов равно N0=7, тогда остаток равен
61077601 hNHh м.
6. Деление отрезка надо провести на нецелое количество интервалов. По-
этому проградуируем отрезок комбинированным способом. Часть отрезка
меньше целого интервала определим алгебраически, а оставшуюся часть,
где количество интервалов будет целым числом, — графически. Вычисля-
ем интервал прямой:
737176
132,
H
Ll мм/м.
7. Определяем часть заложения прямой меньше интервала:
42106737111 ,,hll мм.
Откладываем на чертеже из точки В24 величину l1 и обозначаем числовую
отметку этой точки (командой Точка на заданном расстоянии на стра-
нице Геометрия)
306241hn м.
Глава 9 228
8. Оставшуюся часть заложения градуируем графическим способом. Из точ-
ки А в любом направлении проводим произвольной длины отрезок,
который делим на N=7 равных отрезков (командой Точки по кривой на
странице Геометрия). Соединяем конец вспомогательного отрезка и ко-
нечную точку целых интервалов. Параллельно этому отрезку из точек де-
ления проводим лучи, которые делят заложение в соответствии с выбран-
ным шагом градуирования. Проставляем на заложении отрезка числовые
отметки интервалов.
9. Рассчитываем заложение отрезка от любой точки отрезка А100В24 до точки
с числовой отметкой "0", например, от точки В24:
68412473712 ,,nll мм.
Откладываем от точки В24 (в сторону понижения) расстояние l2 и отмеча-
ем точку нулевого уровня.
9.3. Взаимное положение прямых
Одной из распространенных задач в проекциях с числовыми отметками явля-
ется задача на установление взаимного положения двух прямых. Для точного
определения взаимного положения прямых в пространстве нужно отградуи-
ровать их проекции.
Рассмотрим возможные варианты взаимного положения прямых.
Параллельные прямые: прямые параллельны при выполнении следующих
условий (рис. 9.9):
проекции отрезков параллельны между собой;
интервалы (уклоны) равны;
направления наклона прямых одинаковы.
Рис. 9.9. Параллельные прямые
Проекции с числовыми отметками 229
Пересекающиеся прямые: прямые пересекаются, если их проекции тоже
пересекаются, причем точка пересечения имеет одну числовую отметку
(рис. 9.10).
Рис. 9.10. Пересекающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые: прямые скрещиваются, если их проекции на пла-
не не удовлетворяют условиям параллельности или взаимного пересечения.
Возможны два варианта расположения проекций скрещивающихся прямых:
проекции скрещивающихся прямых параллельны, но углы падения не
равны или направления падения противоположны (рис. 9.11, а);
проекции скрещивающихся прямых могут пересекаться, но для каждой
прямой точка пересечения проекций имеет свою числовую отметку
(рис. 9.11, б).
Рис. 9.11. Скрещивающиеся прямые
9.4. Проецирование плоскости
Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана:
проекциями трех точек с числовыми отметками;
проекциями двух пересекающихся или параллельных прямых;
Глава 9 230
проекциями горизонталей плоскости;
масштабом заложения.
Рассмотрим более подробно два последних способа, которыми чаще всего
пользуются при решении задач в проекциях с числовыми отметками.
Представим себе плоскость общего положения , рассеченную с постоянным
шагом по высоте рядом горизонтальных плоскостей, параллельных плоско-
сти нулевого уровня (рис. 9.12, а). Все полученные линии пересечения па-
раллельны друг другу и являются горизонталями или линиями простирания.
Поскольку все они принадлежат заданной плоскости, положение плоскости
в пространстве однозначно определяется ее горизонталями (рис. 9.12, б).
Рис. 9.12. Задание плоскости при помощи горизонталей
Как элемент, определяющий положение плоскости в пространстве, горизон-
таль имеет некоторые дополнительные характеристики. Весьма важным яв-
ляется понятие положительного направления горизонтали. Положительным
направлением горизонтали (иначе, направлением простирания) считается то
направление, относительно которого понижающееся крыло плоскости располо-
жено справа.
Угол между положительным направлением оси х и положительным на-
правлением горизонтали, отсчитываемый по часовой стрелке, называется
азимутом простирания плоскости.
Другим необходимым элементом для описания положения плоскости являет-
ся угол падения — угол ее наклона к плоскости нулевого уровня. Угол па-
дения плоскости представляет собой угол между линией наибольшего ската
и ее горизонтальной проекцией (как известно из разд. 6.4.3, линией наиболь-
шего ската называется прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее
горизонталям).
Проекции с числовыми отметками 231
Для определения угла падения плоскости необходимо между двумя горизон-
талями построить прямоугольный треугольник (см. рис. 9.12, б). Одним ка-
тетом этого треугольника является перпендикуляр между горизонталями,
а другим — отрезок, соответствующий в установленном масштабе разности
числовых отметок между этими горизонталями.
В проекциях с числовыми отметками более удобен способ задания плоскости
при помощи масштаба заложения, который представляет собой градуиро-
ванную проекцию линии наибольшего ската плоскости (рис. 9.13, а).
Поскольку в плоскости можно провести бесчисленное количество линий ска-
та, то проекция любой из них может задать плоскость. Другими словами,
масштаб заложения плоскости может быть расположен в любом удобном для
построений месте плана.
На плане масштаб заложения обозначают двумя параллельными линиями
(сплошной основной и сплошной тонкой) с делениями, соответствующими
высотными отметкам (рис. 9.13, б). У одной из конечных точек масштаба за-
ложения проставляют буквенное обозначение плоскости. Следует иметь
в виду, что масштаб заложения плоскости всегда перпендикулярен горизон-
талям этой плоскости. В ряде случаев, параллельно масштабу заложения ста-
вят стрелку, указывающую направление падения плоскости, т. е. уменьшение
числовых отметок принадлежащих ей точек.
Рис. 9.13. Задание плоскости при помощи масштаба заложения
Чтобы определить элементы залегания плоскости , заданной масштабом за-
ложения, выполним следующие построения (рис. 9.14):
1. Через точки градуирования проводим горизонтали перпендикулярно мас-
штабу заложения.
2. По изменению числовых отметок определяем направление падения плос-
кости (отмечено стрелкой).
Глава 9 232
Рис. 9.14. Определение элементов залегания плоскости, заданной масштабом заложения
3. Находим положительное направление горизонталей.
4. Строим ось х и определяем азимут простирания .
5. Устанавливаем угол падения .
Так же как при проецировании прямой, в плоскости устанавливают интервал плоскости — расстояние между соседними числовыми отметками на масштабе заложения, кратные единице, и обратную ему величину — уклон плоскости.
9.5. Взаимное положение плоскостей
Плоскости могут быть взаимно параллельны или пересекаться.
Параллельные плоскости: плоскости взаимно параллельны, если одновре-
менно выполняются следующие три условия (рис. 9.15):
линии масштабов заложения параллельны (горизонтали параллельны);
интервалы одинаковы;
направления падения одинаковы.
Рис. 9.15. Параллельные плоскости
Проекции с числовыми отметками 233
Пересекающиеся плоскости: плоскости пересекаются, если у них отсутст-
вует хотя бы одно из условий параллельности, перечисленных выше. При
изображении пересекающихся плоскостей основная задача состоит в по-
строении линии пересечения. Рассмотрим общий случай, когда масштабы
заложения не параллельны. Для решения такой задачи необходимо:
в заданных плоскостях выбрать две пары горизонталей с соответствен-
но одинаковыми числовыми отметками;
найти точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками;
провести через точки пересечения горизонталей искомую линию пере-
сечения плоскостей.
На примере, изображенном на рис. 9.16, в масштабах заложения плоскостей γ
и ε выбраны одинаковые точки с числовыми отметками 8 и 10. Через эти
точки проведены горизонтали и определены точки их пересечения K8 и L10.
Через эти точки проведена искомая линия пересечения плоскостей.
Рис. 9.16. Построение линии пересечения плоскостей
Иначе обстоит дело в том случае, когда масштабы заложения рассматривае-
мых плоскостей параллельны. Тогда горизонтали плоскостей взаимно парал-
лельны, и становится невозможным определить их точки пересечения.
В этом случае необходимо рассечь заданные плоскости третьей, вспомога-
тельной плоскостью (общего положения). Целесообразно такую плоскость
задать в виде пересекающихся прямых, каждая из которых проходит через
произвольные пары точек масштабов заложения, имеющие одинаковые
числовые отметки. Очевидно, что линия пересечения плоскостей является
горизонтальной прямой. Тогда, определив точку пересечения пересекающих-
ся прямых, можно провести линию пересечения плоскостей: она пройдет че-
рез эту точку перпендикулярно масштабам заложения.
Глава 9 234
Пример 34. Построить линию пересечения плоскостей и при условии
параллельности масштабов заложения (рис. 9.17).
1. Зададим вспомогательную плоскость двумя пересекающимися прямыми,
проходящими через точки масштаба заложения с одинаковыми числовы-
ми отметками, например, с отметками 10 и 18.
Рис. 9.17. Исходные плоскости и
Рис. 9.18. Построение линии пересечения
плоскостей и с параллельными масштабами заложения
2. Находим точку пересечения K этих прямых (точка K является общей точ-
кой для плоскостей и ).
3. Через точку K проводим линию пересечения перпендикулярно масштабам
заложения заданных плоскостей.
4. При необходимости можно определить числовую отметку линии пересе-
чения, например, при помощи масштаба заложения плоскости :
6214482514 ,,/,m м.
9.6. Взаимное положение прямой и плоскости
Прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельной и пересекать
плоскость.
Прямая, принадлежащая плоскости: прямая принадлежит плоскости, ес-
ли хотя бы две ее точки имеют числовые отметки, одинаковые с отметка-
Проекции с числовыми отметками 235
ми точек плоскости. В простейшем случае, для проверки принадлежности
нужно провести две горизонтали плоскости: у прямой, принадлежащей
плоскости, две любые ее точки должны лежать на горизонталях плоскости
(рис. 9.19).
Прямая, параллельная плоскости: прямая параллельна плоскости, если она
параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость за-
дана горизонталями, и требуется построить любую прямую, проходящую
через точку K18, параллельно заданной плоскости (рис. 9.20). Сразу отме-
тим, что таких прямых может быть построено бесчисленное множество.
В плоскости взят произвольный отрезок прямой А6В9. Параллельно ему
через точку K18 проведена прямая. Для того чтобы эта прямая оказалась
однозначно определена в пространстве, на ней построена точка L21.
Рис. 9.19. Прямая АВ,
принадлежащая плоскости
Рис. 9.20. Построение прямой через точку K
параллельно заданной плоскости
Прямая, пересекающая плоскость: если прямая линия не принадлежит
и не параллельна плоскости, следовательно, она пересекает эту плоскость.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью проводится с ис-
пользованием приемов классической начертательной геометрии: через за-
данную прямую проводим вспомогательную плоскость, затем строим ли-
нию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей и находим
точку ее пересечения с заданной прямой. Полученная точка является ис-
комой точкой пересечения.
Удобнее всего вспомогательную плоскость, проходящую через заданную
прямую, задавать произвольно расположенными горизонталями.
Обычно в подобных задачах требуется определить числовую отметку точки
пересечения (это нетрудно сделать, проведя через точку пересечения гори-
зонталь плоскости) и определить видимость прямой относительно заданной
Глава 9 236
плоскости при условии, что плоскость непрозрачна. Видимость определяется
на основе анализа положения конкурирующих точек, одна из которых при-
надлежит прямой, а вторая — горизонтали плоскости.
Пример 35. Построить точку пересечения прямой А20В32 с плоскостью
(рис. 9.21).
1. Для решения задачи предварительно проградуируем отрезок А20В32 мето-
дом пропорционального деления с шагом 5 м (рис. 9.22).
Рис. 9.21. Исходные проекции прямой А20В32
и масштаба заложения плоскости
Рис. 9.22. Построение точки пересечения
прямой А20В32 с плоскостью
2. Затем заключим прямую в плоскость общего положения, для чего прове-
дем горизонтали этой плоскости через произвольные отметки прямой, на-
пример, через точку А20 и отметку 30.
3. Построим горизонтали плоскости с этими же числовыми отметками.
4. Найдем точки пересечения одноименных горизонталей вспомогательной
и заданной плоскостей — точки L30 и M20, и через них проведем линию
пересечения этих плоскостей.
5. В точке пересечения этой линии с заданной прямой А20В32 находится ис-
комая точка K пересечения прямой и плоскости. Определим числовую от-
метку точки K, проведя через нее вспомогательный отрезок к градуиро-
вочной прямой (можно провести и горизонталь плоскости ):
7525367425 ,,/,m м.
γ γ
Проекции с числовыми отметками 237
6. Для определения видимости через проекцию точки В32 проведем горизон-
таль плоскости . Числовая отметка этой горизонтали находится между
отметками 10 и 15, что ниже отметки точки В32. Следовательно, часть от-
резка от точки В32 до точки пересечения K видимая, а от точки K до точки
А20 — невидимая.
9.7. Построение перпендикуляра к плоскости и взаимно-перпендикулярных плоскостей
9.7.1. Построение перпендикуляра к плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция этой прямой на плане
перпендикулярна проекциям горизонталей плоскости или, другими словами, па-
раллельна масштабу заложения. Отметки перпендикуляра и плоскости увеличи-
ваются в противоположные стороны. На рис. 9.23, а изображены две прямые
А500В–200 и C500D200, проекции которых удовлетворяют этим условиям. Однако
прямая А500В–200 перпендикулярна плоскости , а прямая C500D200 — нет.
Рис. 9.23. Прямая АВ, перпендикулярная плоскости
Условием перпендикулярности прямой и плоскости на плане является про-
верка соотношения их интервалов. Интервал lпр прямой, перпендикулярной
плоскости, обратно пропорционален интервалу lпл плоскости:
пл
пр
l
l h
h, (9.6)
Глава 9 238
где h — шаг градуирования масштаба заложения, равный вертикальному
расстоянию между горизонталями (величину h еще называют сечением гори-
зонталей плоскости).
Интервал прямой, перпендикулярной плоскости, при известном интервале
плоскости (или наоборот) может быть установлен графически (рис. 9.23, б).
Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого один
катет равен сечению горизонталей h в масштабе чертежа, а другой — интер-
валу плоскости lпл (при этом угол, противолежащий h, равен углу пл падения
плоскости). Дальнейшие построения по определению интервала lпр прямой,
перпендикулярной плоскости , очевидны из чертежа.
Пример 36. Определить расстояние от точки K80 до плоскости
(рис. 9.24). Принять масштаб чертежа — 1:1000.
1. Из точки K80 опускаем перпендикуляр к плоскости : его проекция на пла-
не параллельна масштабу заложения плоскости (рис. 9.25). Отметим
стрелками направление падения плоскости и перпендикуляра.
2. Графически определяем интервал перпендикуляра: рядом с чертежом
строим прямоугольный треугольник, один катет которого равен сечению
горизонталей h = 10 м в принятом масштабе (т. е. 10 мм), а другой — ин-
тервалу плоскости lпл = 14,5 мм/м. Достраиваем его до другого прямоуголь-
ного треугольника и определяем интервал перпендикуляра lпр= 6,9 мм/м.
Пользуясь этим интервалом, градуируем перпендикуляр.
3. Через перпендикуляр проводим вспомогательную плоскость в виде двух
произвольно расположенных горизонталей, проходящих через отметки 40
и 60. Через такие же отметки плоскости проводим ее горизонтали и на-
ходим линию пересечения М40L60 вспомогательной и заданной плоско-
стей.
4. В пересечении прямой М40L60 и перпендикуляра обозначаем точку N —
основание перпендикуляра. Находим числовую отметку точки N:
5210964150 ,/,m м.
5. Методом прямоугольного треугольника определяем истинную величину
расстояния от точки K80 до основания перпендикуляра N52. Строим пря-
моугольный треугольник, один из катетов которого — проекция K80N52,
а второй — разница числовых отметок между точками K80 и N52 в уста-
новленном масштабе. Гипотенуза построенного треугольника представля-
ет собой истинную величину расстояния от точки K80 до плоскости (оно
равно 34 м).
Проекции с числовыми отметками 239
Рис. 9.24. Исходные проекции точки K80 и масштаб заложения плоскости
Рис. 9.25. Определение расстояния от точки K80 до плоскости
9.7.2. Построение взаимно-перпендикулярных плоскостей
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через
перпендикуляр к другой. В общем случае, через прямую, перпендикулярную
заданной плоскости, может быть проведено бесконечное множество реше-
ний. Для получения единственного решения необходимы дополнительные
условия, например, задание двух точек или прямой, через которые должна
проходить искомая плоскость. В этом случае решение может быть сведено
к построению плоскости, проходящей:
через две параллельные прямые — перпендикуляры, опущенные из двух
заданных точек (рис. 9.26, а);
Глава 9 240
через две пересекающиеся прямые, одна из которых — заданная прямая,
а вторая — перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой к плоско-
сти (рис. 9.26, б).
Рассмотрим сначала пример, когда плоскость надо провести через две точки
пространства перпендикулярно другой плоскости. Пусть даны две точки А25
и В10 и плоскость в виде масштаба заложения (рис. 9.27). Требуется по-
строить масштаб заложения плоскости , проходящей через точки А25 и В10 и
перпендикулярной плоскости .
Рис. 9.26. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
Рис. 9.27. Построение плоскости , проходящей через точки А25 и В10
и перпендикулярной плоскости
Через точки А25 и В10 проводим перпендикуляры плоскости параллельно
масштабу заложения. Выбираем шаг градуирования h = 15 м, равный сече-
Проекции с числовыми отметками 241
нию горизонталей плоскости , и проградуируем перпендикуляры. Через точ-
ки с одинаковыми числовыми отметками, расположенными на перпендику-
лярах, проводим горизонтали и на них в любом месте построим масштаб за-
ложения плоскости .
Решение задачи можно дополнить определением геометрических параметров
плоскости : азимута простирания и угла падения .
Теперь рассмотрим пример, когда плоскость надо провести через некоторую
прямую и перпендикулярно заданной плоскости. Для решения задачи необ-
ходимо из любой точки заданной прямой построить перпендикуляр к плоско-
сти. Построенный перпендикуляр и заданная прямая образуют пересекаю-
щиеся прямые, которые однозначно задают искомую плоскость.
Пусть некоторая плоскость задана масштабом заложения и имеется прямая
А40В45 (рис. 9.28). Требуется провести плоскость , проходящую через пря-
мую А40В45 и перпендикулярную плоскости .
Из любой точки заданной прямой, например, из точки В45 проводим перпен-
дикуляр к заданной плоскости (он пройдет через точку В45 параллельно
масштабу заложения плоскости ). Проградуируем перпендикуляр.
Рис. 9.28. Построение плоскости , проходящей через прямую А40В45
и перпендикулярной плоскости
Глава 9 242
Найдем на прямой А40В45 точку (например, точку С50), имеющую такую же
числовую отметку, что и некоторая точка, лежащая на перпендикуляре,
и проведем через них горизонталь искомой плоскости. В любом месте черте-
жа построим масштаб заложения плоскости . Параллельно горизонтали 50
построим еще одну горизонталь, например, через точку А40.
Проградуируем масштаб заложения плоскости , учитывая сечение прове-
денных горизонталей:
h = 50 – 40 = 10 м.
Дополним решение задачи определением геометрических параметров плос-
кости : азимута простирания и угла падения .
9.8. Взаимосвязь проекций
с числовыми отметками и эпюра
Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что проекции с числовыми отметками как
раздел начертательной геометрии, отличаясь некоторыми деталями изобра-
жения, имеют в принципе одинаковые с классическими методами подходы
и способы решения большинства задач. Естественно, возможен переход
от проекций с числовыми отметками к классическому способу решения задачи
и наоборот.
Для примера построим масштаб заложения плоскости , заданной следами,
и определим числовую отметку точки А, лежащей в плоскости (рис. 9.29).
Рис. 9.29. Построение масштаба заложения для плоскости , заданной следами,
определение числовой отметки точки А, лежащей в плоскости
Проекции с числовыми отметками 243
В любом месте чертежа проводим масштаб заложения плоскости перпендику-
лярно горизонтальному следу 0h . Задаем интервал градуирования h = 10 ус-
ловных единиц. Строим горизонталь на высоте h от плоскости 1.
Градуируем линию масштаба заложения, учитывая, что числовая отметка го-
ризонтального следа плоскости равна нулю, а числовая отметка горизонтали
известна из построения (длина отрезка линии масштаба заложения, заключен-
ного между горизонтальным следом плоскости и горизонтальной проекцией го-
ризонтали, равна h).
Через точку А проводим горизонталь (ее горизонтальная проекция перпенди-
кулярна масштабу заложения и проходит через точку А ) и с помощью гра-
дуированных отрезков масштаба заложения определяем ее числовую отметку
(она равна 15 условным единицам).
Рассмотрим обратную задачу, в которой требуется построить следы плоско-
сти , заданной масштабом заложения (рис. 9.30).
Рис. 9.30. Построение следов плоскости , заданной масштабом заложения
Строим горизонтальный след плоскости 0h перпендикулярно масштабу за-
ложения через точку с числовой отметкой 0; в пересечении с осью х получа-
ем точку схода следов Х . Через точку с числовой отметкой 10 строим гори-
зонтальную проекцию горизонтали плоскости; в пересечении с осью х
строим горизонтальную проекцию ее фронтального следа (точку N ).
С учетом масштаба на высоте 10 условных единиц от оси х проводим фрон-
тальную проекцию горизонтали и построим точку N . Через точки N и Х
проводим фронтальный след плоскости 0f .
Глава 9 244
Пример 37. Определить расстояние от точки K340 до плоскости, заданной
тремя точками А200, В300 и С150 (рис. 9.31). Принять масштаб чертежа —
1:5000.
1. Для решения задачи воспользуемся методом перемены плоскостей проек-
ций, известным нам из предыдущей главы. Соединим заданные точки в
треугольник и проградуируем сторону В300С150 с шагом 50 м (рис. 9.32).
Проведем горизонталь плоскости с отметкой 200.
Рис. 9.31. Исходные проекции точки K340 и плоскости, заданной тремя точками А200, В300 и С150
Рис. 9.32. Определение расстояния от точки K340 до плоскости, заданной тремя точками А200, В300 и С150
2. Введем дополнительную плоскость проекций 4 по схеме:
4 0; 4 ( АВС).
На чертеже строим новую ось х1 перпендикулярно горизонтальной проек-
ции горизонтали. Перпендикулярно х1 строим линии проекционных связей
Проекции с числовыми отметками 245
и находим положение точек АIV
, ВIV
и СIV
, которые должны расположить-
ся на одной прямой. Для их построения от оси х1 откладываем числовые
отметки точек в установленном масштабе.
3. Находим новое положение точки KIV
. Из этой точки опускаем перпен-
дикуляр к плоскости и находим основание перпендикуляра — точку LIV
.
Через нее строим горизонталь и определяем числовую отметку этой гори-
зонтали:
52105021763200 ,,/,m м.
4. Из точки K340 перпендикулярно горизонтали строим проекцию перпенди-
куляра на плане, и в пересечении с горизонталью 210,5 отмечаем основа-
ние перпендикуляра L210,5. Измеряем расстояние KIV
LIV
— 30,2 мм, или
с учетом масштаба —151 м. Это расстояние является истинной величиной
расстояния от точки K340 до заданной плоскости.
Глава 10
Основы линейной перспективы
10.1. Сущность метода.
Аппарат перспективы
Перспективной проекцией или, сокращенно, перспективой (от франц.
perspective — ясно вижу) называется центральная проекция объекта, на кото-
рую наложены ограничения, исходящие из особенностей строения органов
зрения человека. Основным ограничением является величина угла зрения
(угол между проецирующими лучами, направленными в крайние точки пред-
мета), максимальные значения которого обычно не превышают 50—60 .
Перспектива отличается хорошей наглядностью и широко используется
в строительном черчении. Особенностью перспективы является то, что па-
раллельные прямые на изображении в общем случае пересекаются.
Для построения перспективы из некоторой точки пространства S (точки
зрения) проводят лучи ко всем точкам изображаемого предмета (рис. 10.1).
На пути проецирующих лучей располагают плоскость проекций 2 (картину
или картинную плоскость) и находят точки пересечения проецирующих лу-
чей с картиной. Полученные в плоскости картины точки соответственно со-
единяют. В общем случае, полученное изображение называется центральной
проекцией. Если угол зрения не превышает установленных предельных
значений, то изображение будет приемлемым для зрительного восприятия
и считается перспективой.
В зависимости от вида поверхности, на которую производится проецирова-
ние, различают:
линейную перспективу при проецировании на вертикальную плоскость;
плафонную перспективу — на горизонтальную плоскость;
панорамную перспективу — на внутреннюю поверхность цилиндра;
купольную перспективу — на внутреннюю поверхность сферы.
Глава 10 248
Рис. 10.1. Образование перспективы
Для того чтобы обеспечить взаимную однозначность между точками изобра-
жаемого предмета и его перспективой, используют ортогональные проекции
этого объекта (рис. 10.2). Заданную точку А ортогонально проецируют на
горизонтальную плоскость проекций 1. Из центра проецирования S прово-
дят проецирующие лучи через точку А и ее горизонтальную проекцию А . На
пересечении с картиной 2 образуются точки А и А2 .
Рис. 10.2. Геометрический аппарат перспективы
Основы линейной перспективы 249
Точка А называется перспективной проекцией (перспективой) точки А, точ-
ка А — горизонтальной проекцией точки А, точка А2 — вторичной проекци-
ей точки А, точка А0 — основанием перспективы.
Аппарат перспективы включает ряд вспомогательных элементов — точек,
линий, плоскостей, применяемых для построения изображения. Кроме уже
упоминавшихся выше основных понятий, таких как картина 2, точка зрения
S и угол зрения , в перспективе используются следующие термины и обо-
значения:
1 — предметная плоскость (горизонтальная плоскость);
S — точка стояния (горизонтальная проекция точки зрения S);
— плоскость горизонта (плоскость, параллельная предметной плоско-
сти 1 и проходящая через центр зрения S);
— нейтральная плоскость (плоскость, параллельная плоскости картины
2 и проходящая через точку зрения S);
Р — главная точка картины (ортогональная проекция точки зрения S
на плоскость картины 2);
Р0 — основание главной точки картины (ортогональная проекция точки
зрения Р на предметную плоскость);
SP — главный луч;
О1О2 — основание картины (линия пересечения плоскости картины 2
с предметной плоскостью 1);
h1h2 — линия горизонта (линия пересечения плоскости картины 2
с плоскостью горизонта );
d — главное расстояние (расстояние от точки зрения S до плоскости кар-
тины 2);
H — высота горизонта (расстояние от точки зрения S до предметной
плоскости 1).
Пространство между нейтральной плоскостью и плоскостью картины 2
называется промежуточным. Нейтральная плоскость отделяет промежу-
точное пространство от мнимого пространства, а плоскость 2 — от пред-
метного пространства.
Глава 10 250
10.2. Перспектива точки
Положение вторичной проекции точки относительно линии горизонта и ос-
нования картины зависит от того, в каком пространстве лежит сама точка.
Рассмотрим несколько возможных вариантов. Развернем рис. 10.2 так, чтобы
плоскости 1, 2 и стали перпендикулярными к изображению (рис. 10.3).
Нанесем на этот чертеж точку А, рассмотренную в предыдущем примере.
Если точка лежит в предметном пространстве, то ее вторичная проекция ле-
жит выше основания картины.
Рис. 10.3. Точки А, В, С и их проекции на виде справа
(плоскости 1, 2 и перпендикулярны к изображению)
Рассмотрим точку В, лежащую в промежуточном пространстве. Ее вторичная
проекция В2 находится ниже основания картины. Вторичная проекция точки
С, расположенной в мнимом пространстве, находится выше линии горизонта
(точка С2 ).
Рассмотрим пример, как построить аксонометрические проекции точек А, В
и С, заданных перспективными и вторичными проекциями (рис. 10.4).
В косоугольной фронтальной диметрической проекции вычерчиваем пред-
метную плоскость 1 и картину 2: основание картины О1О2 расположено
под углом 45 к горизонтальным линиям чертежа (рис. 10.5). Строим линию
горизонта h1h2, выбираем положение точки зрения S и точки стояния S
и наносим главную точку картины Р и ее основание Р0.
Основы линейной перспективы 251
Рис. 10.4. Перспективные и вторичные проекции трех точек А, В, и С
Рис. 10.5. Построение аксонометрических проекций точек А, В и С, заданных перспективными и вторичными проекциями
В плоскости картины вычерчиваем заданную перспективу точки А и ее вто-
ричную проекцию А2 . Дальнейший ход построений следующий:
1. В пересечении линии связи А — А2 с основанием картины О1О2 отмеча-
ем точку А0, и через А0 и точку стояния S проводим след проецирующей
лучевой плоскости.
Глава 10 252
2. Проводим проецирующий луч SА2 до пересечения с прямой S A0 и в пе-
ресечении отмечаем точку А — горизонтальную проекцию точки А.
3. В пересечении проецирующего луча SА с линией проекционной связи,
проведенной из А перпендикулярно предметной плоскости 1, находим
искомую точку А.
Аналогично строим перспективы, вторичные проекции и аксонометрические
проекции точек В и С. Анализируем положение заданных точек: точки А и С
находятся в предметном пространстве, а точка В — в мнимом пространстве.
10.3. Перспектива прямой линии
10.3.1. Прямая общего положения
Для того чтобы построить перспективу А В прямой АВ (рис. 10.6), надо точку
зрения S соединить с любыми двумя точками, лежащими на этой прямой, задав,
таким образом, лучевую проецирующую плоскость SAB. Линия пересечения
плоскости SAB с картиной 2 будет являться перспективой прямой А В .
Рис. 10.6. Образование перспективы прямой линии
Основы линейной перспективы 253
Перспектива прямой имеет две характерные точки: начало прямой N и точку
схода прямой F , которые часто используются для построения перспективно-
го изображения различных предметов.
Начало прямой N — это точка пересечения прямой АВ с картиной. В этой
точке прямая пересекается не только с картиной, но и с перспективой этой
прямой. Поэтому начало прямой совпадает с ее перспективой: N N . Вто-
ричная проекция начала прямой N0 лежит на основании картины и определя-
ется как пересечение вторичной проекции прямой A2 B2 с основанием карти-
ны О1О2. В этой же точке N0 горизонтальная проекция прямой А В
пересекает основание картины.
Точка схода прямой F — это перспектива бесконечно удаленной точки F.
Точка схода прямой F образуется в пересечении с картиной проецирующего
луча, проведенного из точки зрения S параллельно прямой АВ. В этой точке
пересекаются перспективы всех прямых, параллельных данной. Вторичная
проекция точки схода прямой F2 лежит в пересечении линии горизонта h1h2
со вторичной проекцией прямой.
Перспектива прямой является однозначно определенной, если она дополнена
вторичной проекцией. Положение характерных точек перспективы позволяет
судить о том, как располагается прямая в пространстве.
Рис. 10.7. Построение начала и точки схода восходящей прямой
Предположим, что дана перспектива прямой А В и ее вторичная проекция
A2 B2 (рис. 10.7, а). Построим ее характерные точки (рис. 10.7, б). В пересе-
чении вторичной проекции A2 B2 с основанием картины отмечаем точку N0, а
Глава 10 254
с линией горизонта — точку F2 . Перпендикуляр к основанию картины, про-
ходящий через N0, пересекаясь с перспективой А В , определяет начало пря-
мой — точку N . Проведя через F2 вертикальную прямую до пересечения с
перспективой А В , получим точку схода прямой F . Точка F оказалась над
линией горизонта, следовательно, прямая АВ — восходящая.
Если точка схода прямой F находится ниже линии горизонта, то прямая —
нисходящая (рис. 10.8). Точка М , в которой перспектива прямой пересекает
вторичную проекцию, является перспективой следа прямой на предметной
плоскости.
Рис. 10.8. Построение начала и точки схода нисходящей прямой
10.3.2. Прямые частного положения
Если точка схода прямой F лежит на линии горизонта, то прямая располо-
жена горизонтально (рис. 10.9, а). В случае, когда точка F совпадает
с главной точкой картины Р, прямая перпендикулярна картине (рис. 10.9, б).
На рис. 10.10 приведены другие примеры изображения прямых частного по-
ложения относительно картины или предметной плоскости:
если прямая АВ параллельна картине, то ее вторичная проекция A2 B2 па-
раллельна основанию картины О1О2;
прямая СD параллельна не только картине, но и предметной плоскости,
следовательно, ее перспектива С D и вторичная проекция С2 D2 парал-
лельны основанию картины О1О2;
Основы линейной перспективы 255
Рис. 10.9. Прямые частного положения: а — горизонтальная прямая; б — прямая, перпендикулярная картине
Рис. 10.10. Прямые частного положения: прямая АВ, параллельная картине; прямая CD, параллельная картине и предметной плоскости;
прямая EF, перпендикулярная предметной плоскости
Рис. 10.11. Проведение через точку А прямой, перпендикулярной картине
Глава 10 256
в том случае, когда прямая EF перпендикулярна предметной плоскости, ее
вторичная проекция E2 F2 становится точкой.
Пусть через точку А, заданную перспективой и вторичной проекцией, требу-
ется провести прямую, перпендикулярную картине (рис. 10.11). Очевидно,
что точка схода такой прямой совпадает с главной точкой картины Р. Прово-
дим перспективу прямой А F (P) и ее вторичную проекцию А2 F2 (P).
10.4. Взаимное положение прямых
10.4.1. Параллельные прямые
В отличие от ортогональных проекций, перспективы параллельных прямых
АВ и CD пересекаются в точке схода F (рис. 10.12). Продолжив прямые АВ
и CD до пересечения с картиной, найдем их начала — точки N (АВ) и N (СD).
Для построения второй точки, определяющей перспективы, — точки схода
F — проведем луч из точки зрения S параллельно заданным прямым до пе-
ресечения с картиной 2.
Рис. 10.12. Параллельные прямые в пространстве
Основы линейной перспективы 257
Перспективы и вторичные проекции параллельных прямых AB и CD показа-
ны на рис. 10.13. Перспективы прямых А В и C D пересекаются в точке F ,
а их вторичные проекции A2 B2 и С2
D2 — в точке F2 (F2
h1h2).
Рис. 10.13. Проекции параллельных прямых AB и CD
Точка схода горизонтальных параллельных прямых лежит на линии горизон-
та (рис. 10.14, а). Если же горизонтальные прямые перпендикулярны карти-
не, то точкой схода является главная точка картины Р (рис. 10.14, б).
Рис. 10.14. Проекции горизонтальных параллельных прямых AB и CD
Глава 10 258
Рис. 10.15. Проекции горизонтальных параллельных прямых AB и CD, лежащих в предметной плоскости
Если параллельные прямые лежат в предметной плоскости 1, то перспективы
прямых совпадают со вторичными проекциями, начала прямых лежат на осно-
вании картины О1О2, а точка схода — на линии горизонта h1h2 (рис. 10.15).
Перспективы и вторичные проекции параллельных прямых могут быть также
взаимно параллельны, если сами прямые параллельны плоскости картины 2.
Этому частному случаю соответствуют параллельные прямые, показанные на
рис. 10.16:
прямые АВ и CD расположены под некоторым углом к предметной плос-
кости 1;
прямые EF и GH параллельны плоскости 1;
прямые JK и LM перпендикулярны плоскости 1.
Рис. 10.16. Параллельные прямые, расположенные параллельно картине
Основы линейной перспективы 259
10.4.2. Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются, то их перспективы и вторичные проекции
также пересекаются, причем точки пересечения лежат на общем перпендику-
ляре к линии горизонта h1h2 (рис. 10.17, а). В противном случае прямые
скрещиваются (рис. 10.17, б).
Рис. 10.17. Пересекающиеся (а) и скрещивающиеся (б) прямые
10.5. Переход от эпюра к перспективе
10.5.1. Радиальный метод
Существует несколько методов построения перспективы геометрических тел,
зданий, предметов и т. д. Радиальный метод используется при построении
перспективы геометрического объекта, заданного горизонтальной и фрон-
тальной проекциями, если плоскость картины параллельна профильной
плоскости проекций. Сущность этого метода заключается в определении то-
чек пересечения проецирующих лучей с плоскостью картины.
Рассмотрим пример выполнения перспективы прямоугольного параллелепи-
педа 12345678 (рис. 10.18), заданного горизонтальной и фронтальной про-
екциями, радиальным методом. Точка зрения S и плоскость картины 2 зада-
ны также двумя проекциями. Плоскость картины 2 проходит через ребро 48
параллелепипеда и параллельна профильной плоскости проекций.
Глава 10 260
Рис. 10.18. Построение перспективы параллелепипеда радиальным методом
Проекции точки зрения S соединяются с одноименными проекциями вершин
1, 2, 3, ... параллелепипеда. В пересечении этих лучей с плоскостью картины
2 определяются перспективные проекции этих точек. Так как плоскость кар-
тины является профильной плоскостью, то построение перспективных про-
екций 1 , 2 , 3 , ... аналогично построению профильных проекций на эпю-
ре. На изображении перспективные проекции точек расположились на
радиальных линиях, исходящих из проекции главной точки P (поэтому спо-
соб называется радиальным).
На горизонтальной плоскости проекций угол зрения равен , на профильной
плоскости проекций — (он образуется конусом угла зрения). Чтобы изо-
бражение считалось перспективой, величина углов зрения не должны пре-
вышать установленные предельные значения.
10.5.2. Метод архитекторов
В архитектурном проектировании, строительном деле, геодезии и других
прикладных науках широко используется метод построения перспективы,
основанный на использовании точек схода параллельных прямых. Этот спо-
соб принято называть методом архитекторов.
Основы линейной перспективы 261
Рассмотрим ортогональные проекции некоторого параллелепипеда 12345678,
нижнее основание которого лежит в горизонтальной плоскости проекций
(рис. 10.19). Горизонтальную проекцию фигуры можно рассматривать как
план некоторого здания, а ее фронтальную проекцию — как фасад.
Рис. 10.19. Введение аппарата перспективы в ортогональные проекции параллелепипеда
В систему ортогональных плоскостей проекций введем плоскость картины
2, перпендикулярную горизонтальной плоскости. Картинную плоскость це-
лесообразно провести через одно из ребер предмета, которое на перспектив-
ной проекции изобразится в истинную величину. На рис. 10.19 плоскость
картины проведена через ребро 15 параллелепипеда, и след картинной плос-
кости 2 пройдет через вырожденную проекцию ребра 1 5 .
Примерно через середину горизонтальной проекции параллелепипеда пер-
пендикулярно картине 2 проведем главный луч и построим главную точку
картины Р. Выберем точку стояния S .
Глава 10 262
В данном случае план здания представляет собой прямоугольник, стороны
которого ориентированы только в двух направлениях: параллельно оси x и
перпендикулярно оси х. Эти направления указаны стрелками — направление
I и направление II. Построим точки схода каждого пучка параллельных пря-
мых. Точку схода FI найдем в пересечении с картиной луча, проведенного из
S параллельно направлению I, а точку FII — параллельно направлению II.
Отметим, что поскольку направления I и II параллельны горизонтальной
плоскости 1, то точки схода FI и FII располагаются на линии горизонта.
Далее находим начала прямых — точки пресечения прямых 12, 23, 34 и 41
с картиной 2. Поскольку прямые 23 и 34 расположены в горизонтальной
плоскости 1, то начала прямых )(023N и )(
034N лежат на основании картины.
Прямые 12 и 14 также расположены в горизонтальной плоскости 1, и кар-
тина проходит через точку 1. Следовательно, начала прямых 12 и 14 лежат
на основании картины и совпадают с точкой 1 и ее перспективной проекцией.
Переходим к построению перспективы, принимая, что плоскость картины 2
совпадает с плоскостью чертежа (рис. 10.20). Вычерчиваем основание пер-
спективы О1О2 и на высоте Н — линию горизонта h1h2. Как правило, пер-
спектива выполняется в большем (в 2—4 раза) по сравнению с исходными
проекциями, масштабе. Поэтому все расстояния, включая высоту линии го-
ризонта, отрезков между характерными точками прямых и т. д., откладыва-
ются с учетом нового масштабного соотношения. Если масштаб не изменя-
ют, все расстояния с эпюра переносят без изменений.
Рис. 10.20. Построение перспективы параллелепипеда методом архитекторов
Выбираем главную точку картины Р и строим ее основание Р0. Переносим
точки схода FI и FII на линию горизонта h1h2, а начала прямых 12, 23, 34
и 41 — точки )(023N , )(
034N и 1 — на основание картины О1О2 (расстояния
Основы линейной перспективы 263
между соответствующими точками берем со следа картинной плоскости 2
на эпюре).
Строим перспективы прямых направления I (прямых 12 и 34). Точка схода
этого пучка параллельных прямых является точкой FI , а начала прямых ле-
жат на основании картины. Аналогично строим перспективы прямых направ-
ления II (прямых 23 и 41). В пересечении прямых, принадлежащих двум раз-
личным пучкам параллельных прямых, находим перспективы вершин
основания здания 1 , 2 , 3 и 4 .
Через вершины основания 1 , 2 , 3 и 4 проводим вертикальные прямые —
будущие ребра параллелепипеда. Из точки 1 откладываем отрезок, равный
H1, и отмечаем точку 5 (поскольку ребро 15 лежит в плоскости картины, то
ее перспективная проекция равна истинной величине). Из точки 5 проводим
прямые в точки схода FI и FII, и в пересечении с вертикальными прямыми,
проведенными из точек 2 и 4 , отмечаем соответственно точки 6 и 8 . Точ-
ки 6 и 8 также соединяем с точками схода FI и FII и в пересечении получа-
ем точку 7 (эта точка должна лежать на вертикальной прямой, проведенной
через 3 ).
Выполним перспективу задания, план и фасад которого изображены
на рис. 10.21. Через ребро здания проведем след картинной плоскости 2 .
Выберем главный луч и точку стояния S (S P 2 ). Построим точки схода
FI и FII пучков параллельных прямых направлений I и II.
Продолжим горизонтальные проекции прямых, составляющих план здания,
до пересечения с картиной 2, и нанесем на чертеж начала прямых. Для об-
легчения маркировки обозначим эти точки сквозной нумерацией арабскими
цифрами по типу: 10N , 2
0N , 30N и т. д.
Затем переходим к построению перспективы здания в том же масштабе, что и
эпюр. Зададим основание картины О1О2, линию горизонта h1h2, главную
точку картины Р с основанием Р0 (рис. 10.22). Переносим на линию горизон-
та точки схода FI и FII, а на основание картины — начала прямых 10N , 2
0N ,
30N и т. д.
Из точки 90N откладываем высоту H1 и соединяем концы отрезка (ребра здания,
лежащего в плоскости картины) с точками схода FI и FII. Точки 1
0N и 40N соеди-
няем с точкой схода FII , а точки 60N и 10
0N — с FI . В пересечении пучков па-
раллельных прямых находим вершины видимого контура основания здания
А 90N В С D . Из этих точек проводим вертикальные прямые.
Глава 10 264
Рис. 10.21. Введение аппарата перспективы в изображения плана и фасада здания
Рис. 10.22. Построение перспективы здания методом архитекторов
Основы линейной перспективы 265
Для того чтобы получить перспективу вертикальных ребер высотой Н3, из
точки 10N проводим вертикальный отрезок высотой H3 и верхний конец от-
резка соединяем с FII. Там, где этот луч пересекает перспективу ребра, прове-
денного из D , отмечаем вершину Е . Эту вершину соединяем с FI и про-
должаем до пересечения с ребром, проведенным из С . Отмечаем точку G .
Точку G соединяем с FII и в пересечении с ребром, проведенным из В , от-
мечаем точку J .
Повторяя аналогичные построения и используя то левую, то правую точки
схода, вычерчиваем перспективу здания и оконный проем.
Метод архитекторов обеспечивает значительную точность перспективных
изображений и, очень важно, сокращает время их создания. Применение ме-
тода архитекторов связано с некоторыми затруднениями лишь тогда, когда
одна или обе точки схода пучков параллельных прямых оказываются за пре-
делами чертежа.
10.5.3. Композиция перспективы
Изображение перспективы предполагает демонстрацию в определенной сте-
пени и художественных моментов. Удачная перспективная проекция получа-
ется не только при соблюдении общих рекомендаций по выбору точки зрения
и композиции изображения, но в большей степени на основе опыта и худо-
жественного чутья исполнителя. Часто окончательный вариант перспективы
устанавливается только после выполнения нескольких предварительных эс-
кизов и выбора наиболее удачного из них.
Выбор точки зрения включает в себя несколько взаимосвязанных элементов.
Положение картинной плоскости. Картину ориентируют так, чтобы она
составляла с одной из сторон плана предмета (обычно с главным фасадом)
угол = 25—30 . Боковой фасад при этом получит сильное перспективное
сокращение, и изображение при этом получится более выразительным.
Угол зрения и главное расстояние. Как уже отмечалось, угол зрения (гори-
зонтальный и вертикальный ) — угол между проецирующими лучами,
направленными в крайние точки плана предмета, должен быть не больше
50—60 . Оптимальным значением угла зрения с точки зрения физиологии
человека считается угол, равный примерно 28 . Тем не менее, предпочти-
тельным считается диапазон восприятия 30—40 . При угле зрения более
40 получаются заметные искажения изображения на периферии линейной
перспективы. При угле менее 30 перспектива получается менее вырази-
тельной, с очень спокойным ракурсом и в практике применяется редко.
Глава 10 266
Если вертикальные размеры предмета больше его длины, то точку зрения
следует перенести от картины на полторы-две высоты предмета для того,
чтобы угол зрения в вертикальной плоскости оказался в допустимых
пределах.
Положение главного луча. При симметричной композиции луч рекомен-
дуется проводить примерно через центр объекта. Если в композиции объ-
екта одна его часть имеет большее пространственное развитие, главный
луч смещается ближе к этой части. В любом случае главный луч должен
находиться в средней трети угла зрения (рис. 10.23).
Рис. 10.23. Рекомендуемое положение точки зрения
Положение горизонта. Высоту горизонта H обычно принимают на уровне
глаз человека, стоящего на земле, т. е. на уровне 1,5—2,0 м. При изобра-
жении большого района, высоту горизонта берут равной 100 м и более.
Такую перспективу называют перспективой "с птичьего полета".
Пример 38. Построить линейную перспективу здания, заданного глав-
ным фасадом, планом и боковым фасадом, так, чтобы боковой фасад по-
лучил большее пространственное развитие (рис. 10.24).
1. Создадим файл типа Чертеж, зададим формат А2 горизонтальной ориен-
тации и создадим Вид с масштабом 1:200. В левой верхней части формата
перечерчиваем проекции здания, при этом план вычертим под боковым
фасадом: размеры для их построения имеются в задании (рис. 10.25).
Основы линейной перспективы 267
Рис. 10.24. Исходные ортогональные проекции здания
Рис. 10.25. Введение аппарата перспективы в изображения главного фасада, плана и бокового фасада здания
Глава 10 268
2. На горизонтальной проекции через правый нижний угол плана здания
проводим след картинной плоскости 2 под углом к контуру плана. Пер-
пендикулярно картине 2 проводим проекцию главного луча примерно че-
рез центр плана здания.
3. На главном луче выбираем положение точки стояния S так, чтобы угол
зрения находился в рекомендованных пределах (на примере, изобра-
женном на рис. 10.25 38 ). Проверяем правильность положения глав-
ного луча: он должен находиться в средней трети угла зрения. В пересече-
нии главного луча со следом картинной плоскости 2 находим главную
точку картины Р.
4. Выбираем высоту горизонта Н и строим фронтальную проекцию точки
зрения S .
5. Строим точки схода FI и FII пучков параллельных прямых направле-
ний I и II.
6. Продолжаем горизонтальные проекции прямых на плане здания до пере-
сечения с картиной 2 и наносим на чертеж начала прямых: 10N , 2
0N , 30N
и т. д.
7. Создаем новый Вид с масштабом 1:150. В нижней части чертежа выпол-
няем перспективу здания (рис. 10.26). Прочерчиваем горизонтальную ли-
нию — основание картины О1О2. На основание картины переносим точки 10N , 2
0N , 30N и т. д.
Рис. 10.26. Построение перспективы здания методом архитекторов
(левая точка схода FI не показана)
Основы линейной перспективы 269
8. На расстоянии H от основания картины в выбранном масштабе проводим
линию горизонта h1h2 и переносим на нее главную точку Р и точки схода
FI и FII .
9. Используя метод архитекторов, строим перспективу здания (правила по-
строения рассмотрены ранее). При этом линии невидимого контура зда-
ния вычерчивать не надо. Вспомогательные построения проводим
сплошными тонкими линиями. Перспективы прямых не доводим до то-
чек схода FI и FII на расстояние 20—30 мм. При окончательном оформ-
лении чертежа вспомогательные линии внутри контура здания можно
удалить.
10. Обозначаем изображение перспективы здания в виде дополнительного
вида: в направлении главного луча на плане здания ставим стрелку, ря-
дом с которой маркируем дополнительный вид прописной буквой рус-
ского алфавита, а над изображением перспективы ставим букву, обозна-
чающую вид, затем знак "повернуто" и рядом в скобках масштабное
соотношение, в котором выполнена перспектива здания (без буквы М).
Глава 11
Кривые линии
11.1. Общие сведения о кривых линиях
Кривая линия — линия, не имеющая прямолинейных отрезков. "Кривую ли-
нию" можно также рассматривать как траекторию движущейся в пространст-
ве или на плоскости точки. Расстояние между двумя любыми точками кривой
линии меньше длины дуги, ограниченной этими точками.
Кривые линии разделяются на плоские, все точки которых лежат в одной
плоскости, и в противном случае — пространственные (или линии двоякой
кривизны)1.
Положение кривой линии в пространстве однозначно определяется двумя ее
проекциями. Все точки плоской кривой линии лежат в одной плоскости, и,
следовательно, все секущие плоской кривой линии также лежат в одной
плоскости и по отношению друг к другу являются параллельными или пере-
секающимися прямыми. Вид кривой линии (пространственный или плоский)
можно установить, проведя ряд секущих прямых. Кривая а (рис. 11.1) явля-
ется пространственной, т. к. секущие АС и BD являются скрещивающимися
прямыми (точка пересечения проекций прямых АС и BD не лежит на одной
линии проекционной связи).
Кривая линия называется плавной (или гладкой), если она во всех своих
точках имеет одну непрерывно изменяющуюся касательную. Если при этом
не изменяется направление перемещения касательной, то кривая линия явля-
ется выпуклой (рис. 11.2), а все ее точки регулярными (правильными, обыкно-
венными).
В зависимости от способа образования кривые линии делятся на закономер-
ные, т. е. образованные по определенному закону, и незакономерные, обра-
зование которых носит эмпирический характер. Закономерные кривые линии
1 О построении пространственных линий будет рассказано в главе 15.
Глава 11 272
могут быть заданы графически (на чертеже) и аналитически (при помощи
уравнений), незакономерные линии — только графически.
Рис. 11.1. Пространственная кривая линия
Рис. 11.2. Выпуклая кривая линия
В зависимости от вида уравнения, описывающего закономерные кривые ли-
нии, они могут быть алгебраическими, если в прямоугольных координатах
линия определяется алгебраическим уравнением, и трансцендентными, если
она задается неалгебраическим уравнением (табл. 11.1).
Таблица 11.1. Основные закономерные кривые линии
Класс кривых
линий
Способ задания Типы кривых линий
Алгебраические кривые линии
Линии второго порядка
Алгебраическое уравнение второго порядка
Эллипс (в частном случае — окружность), гипербола, пара-бола
Линии третьего порядка
Алгебраическое уравнение третьего порядка
Декартов лист, строфоида, ку-бическая и полукубическая па-раболы, трезубец, локон Анье-зи, циссоида Диоклеса, трисектриса Маклорена
Линии четвертого порядка
Алгебраическое уравнение четвертого порядка
Декартов овал, улитка Паскаля, каппа, лемниската Бернулли, кардиоида, овал Касини, кон-хоида Никомеда, кривая Пер-сея, кривая Штейнера
Линии высших порядков
Алгебраическое уравнение высших порядков
Кривая Ламе, синусоидальная спираль, астроида
Кривые линии 273
Таблица 11.1 (окончание)
Класс кривых линий Способ задания Типы кривых линий
Трансцендентные кривые линии
Спирали Движение точки вокруг другой неподвижной точ-ки (или точек)
Архимедова спираль, гипербо-лическая и параболическая спирали, спираль Галилея, спи-раль Ферма, логарифмическая спираль, спираль Корню, жезл
Винтовые линии* Вращательно-поступательное движе-ние точки вокруг оси
Цилиндрическая винтовая ли-ния, коническая винтовая ли-ния, сферическая винтовая ли-ния
Циклические кривые линии
Траектория точки окруж-ности, катящейся без скольжения
Циклоида, эпициклоида, гипо-циклоида, трохоида, эпитрохои-да, гипотрохоида
Графики тригономет-рических функций
Тригонометрические уравнения
Синусоида, тангенсоида, узор-ная кривая
Графики показатель-ной и логарифмической функций
Экспоненциальное и ло-гарифмическое уравне-ния
Экспоненциальная кривая, ло-гарифмическая кривая
Цепная линия Вид нерастяжимой нити, провисшей под действи-ем силы тяжести
—
Примечание. * — пространственные кривые линии.
Основной характеристикой алгебраической кривой линии является ее порядок.
С точки зрения высшей математики порядком кривой линии называется сте-
пень ее уравнения. С точки зрения геометрии порядком плоской алгебраиче-
ской кривой линии считают максимальное количество пересечений этой ли-
нии с секущей прямой, а порядком пространственной кривой линии —
максимальное количество точек пересечения с секущей плоскостью.
Например, эллипс и параболу секущая пересекает в двух точках (рис. 11.3, а
и б), следовательно, это кривые второго порядка; лемнискату Бернулли
(рис. 11.3, в) — в четырех точках, значит, это линия четвертого порядка, и т. д.
Особый класс кривых линий составляют линии, производные от других, т. е.
полученные от исходных линий путем некоторых построений. К таким лини-
ям относятся, например, эволюта и эвольвента.
Некоторые кривые линии могут состоять из связных дуг плавных кривых ли-
ний. В этом случае кривая называется составной, а точки стыка кривых —
вершинами. Примерами составных линий являются коробовые кривые линии.
Глава 11 274
Рис. 11.3. Кривые второго порядка (а и б) и четвертого порядка (в)
Отметим следующие основные свойства проекций кривой линии:
плоская кривая линия в общем случае проецируется в виде кривой;
если направление проецирования параллельно плоскости плоской кривой,
то она проецируется в прямолинейную линию (прямую, луч, отрезок);
в общем случае проекция алгебраической кривой n-го порядка сохраняет
тот же порядок: эллипс и окружность проецируются в эллипс или, в част-
ном случае, в окружность; проекция параболы — парабола, а гипербо-
лы — гипербола;
проекцией пространственной кривой линии является плоская кривая
линия.
Длины некоторых кривых линий могут быть определены путем алгебраиче-
ских вычислений (например, длина окружности, виток цилиндрической вин-
товой линии и т. д.). Однако существует общий графический метод, основан-
ный на аппроксимации кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую.
Длина этой ломаной может быть приближенно принята за длину дуги кривой
линии (этот способ иногда называют способом хорд).
На рис. 11.4 дано определение длины дуги АВ, заданной горизонтальной
и фронтальной проекциями. Дугу АВ разбиваем на малые части точками 1, 2,
3, ... Методом плоскопараллельного перемещения определяем длину ломаной
А1–12–23–34–4В. Для этого горизонтальную проекцию ломаной спрямляем
в прямую, параллельную оси x:
1А1А , 2121 и т. д.
Из построенных точек А , 1 , 2 , ... проводим линии проекционной связи
до пересечения с линиями, проведенными из фронтальных проекций то-
чек деления кривой А , 1 , 2 , ... параллельно оси x. Ломаную
"В44332211А спрямляем в прямую А 10203040В0, длина ко-
торой с достаточно высокой точностью будет равна длине дуги АВ.
Кривые линии 275
Рис. 11.4. Графическое определение длины дуги АВ, заданной горизонтальной и фронтальной проекциями
11.2. Касательные к кривым линиям
Касательной к кривой линии называется прямая, имеющая с плоской или
пространственной кривой линией одну общую точку и представляющая со-
бой предельное положение секущей прямой. Общую точку принято называть
точкой касания.
Проведение касательных к кривым линиям необходимо как для определения
вида кривой и ее особых точек, так и непосредственно для построения линии.
При вращении секущей KТ1 (рис. 11.5, а) вокруг оси, проходящей через точ-
ку K, при котором точка Т1 приближается по кривой а к точке K, образуется
предельное положение секущей прямой, имеющей с кривой только одну об-
щую точку K. Прямая t — касательная к кривой а в точке K.
Из школьного курса геометрии известно, что касательная к окружности пер-
пендикулярна его радиусу, проведенному из точки касания (рис. 11.5, б).
Рис. 11.5. Образование касательной: а — к плоской кривой линии; б — к окружности
Глава 11 276
Кривые линии имеют определенную касательную во всех точках, однако не
у всякой непрерывной кривой во всех точках имеется одна касательная.
В общем случае касательная к кривой линии проецируется в виде касатель-
ной к проекции к этой кривой. Например, касательная, проведенная к окруж-
ности, расположенной в плоскости общего положения , спроецируется в ка-
сательную к эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности
(рис. 11.6).
Рис. 11.6. Проецирование касательной к окружности
Существуют следующие основные способы приближенного построения каса-
тельной к плоской кривой линии.
Построение касательной в заданной точке касания. На рис. 11.7 дан
пример построения касательной к кривой а в точке K. Сначала в любом
месте чертежа проводим вспомогательную прямую b, примерно перпен-
дикулярную к ожидаемому направлению касательной. Затем через точку K
проводим несколько прямых, пересекающих кривую а и прямую b. От то-
чек пересечения этих прямых с прямой b откладываем отрезки, равные
длинам хорд, образованных секущими:
23 = K1 , 56 = K4 и т. д.
Через построенные точки проводим кривую ошибок е, которая в пересече-
нии с прямой b образует точку Т. Прямая KТ — искомая касательная.
Построение касательной через точку, лежащую вне кривой. Пусть дана
кривая а и точка А, лежащая вне ее (рис. 11.8). Через точку А проводим
несколько прямых, пересекающих кривую а в точках 1, 2, 3, 4, ... Отмеча-
ем середины хорд 12, 34, ..., через которые проводим кривую ошибок е.
Кривые линии 277
В пересечении кривых е и а получаем точку K, через которую и проходит
искомая касательная АK.
Построение касательной, параллельной заданной прямой. Проводим ряд
прямых, пересекающих кривую а в точках 1, 2, 3, 4, ... и параллельных за-
данной прямой b (рис. 11.9). Через середины хорд строим кривую ошибок е,
которая пересекает кривую а в точке K, являющейся точкой касания. Иско-
мая касательная t проходит через точку K параллельно заданной прямой b.
Рис. 11.7. Построение касательной в заданной точке касания
Рис. 11.8. Построение касательной через точку, лежащую вне кривой
Рис. 11.9. Построение касательной, параллельной заданной прямой
Глава 11 278
Методика построения касательных к окружности несколько отличается от
рассмотренных ранее общих способов. Рассмотрим два примера.
Построение касательной к окружности через точку, лежащую вне ее.
Соединим точку А с центром окружности O и найдем точку В — середину
отрезка АО (рис. 11.10). Из точки В, как из центра, проведем вспомога-
тельную окружность радиусом ВА = ВО. В точке пересечения вспомога-
тельной окружности с заданной получим точку касания K. Прямая KА —
искомая касательная.
Построение общей касательной к двум заданным окружностям. Нахо-
дим середину А отрезка O1О2 и из точки А, как из центра, радиусом
АO1 =АO2 проведем вспомогательную окружность (рис. 11.11). Из центра
большей окружности O2 проведем вторую вспомогательную окружность
радиусом R2 – R1. Пересечение двух вспомогательных окружностей опре-
деляет точку В, через которую проходит радиус О2K2, идущий в точку ка-
сания K2. Для построения второй точки касания K1 проведем О1K1 || О2K2.
Прямая K1K2 является касательной к заданным окружностям.
Рис. 11.10. Построение касательной к окружности из точки, лежащей вне окружности
Рис. 11.11. Построение касательной к двум окружностям
Кривые линии 279
11.3. Особые точки и кривизна
кривой линии
Направление движения точки, перемещающейся по плоской кривой, опреде-
ляется положением касательной. Точки, в которых меняется направление ка-
сательной, называются особыми точками кривой линии. Кривая линия в осо-
бой точке может иметь одну или несколько касательных.
Если кривая линия в особой точке имеет одну касательную t, проведенную
к различным ветвям этой кривой, то эти точки классифицируются следую-
щим образом:
точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную (рис. 11.12, а);
точка возврата первого рода ("острие"), в которой кривая изменяет свое
направление и располагается по обе стороны касательной (рис. 11.12, б);
точка возврата второго рода ("клюв"), в которой кривая изменяет свое на-
правление, но остается расположенной по одну сторону от касательной
(рис. 11.12, в).
Рис. 11.12. Особые точки кривой линии с одной касательной
В некоторых особых точках кривая линия может иметь две касательные:
точка излома (или угловая точка), в которой направление касательной ме-
няется скачком (рис. 11.13, а);
узловая точка (многократная точка, в зависимости от числа самопересече-
ний — двойная, тройная и т. д.) — точка самопересечения кривой линии
(например, декартов лист, изображенный на рис. 11.13, б, имеет узловую
точку в начале координат, а касательные, проведенные в узловой точке,
совпадают с осями координат);
точка самоприкосновения, в которой кривая линия встречает саму себя,
и касательные, проведенные к различным ветвям кривой, совпадают
(рис. 11,13, в).
Глава 11 280
Рис. 11.13. Особые точки кривой линии с двумя касательными
Особые точки могут быть как у плоских, так и пространственных кривых ли-
ний. Если для плоской кривой достаточно одной проекции для определения
рода этой точки, то для пространственной необходимо иметь две проекции,
по которым можно установить характер рассматриваемой точки.
Отклонение кривой линии в некоторой ее точке от прямой, являющейся каса-
тельной в этой точке, характеризуется кривизной. На рис. 11.14, а изображе-
на кривая с, к которой в точках K1 и K2 проведены касательные t1 и t2. Сред-
ней кривизной дуги K1K2 является отношение величины угла между
касательными t1 и t2 к длине дуги K1K2. Угол может быть представлен так-
же и как угол между нормалями n1 и n2 к кривой с в точках K1 и K2.
Рис. 11.14. Определение кривизны кривой линии
Предельное значение средней кривизны при стремлении точки K2 к точке K1
называется кривизной кривой с в точке K1. Величина, обратная кривизне, на-
зывается радиусом кривизны.
Кривые линии 281
Графически эти понятия можно пояснить следующим образом. На рис. 11.14, б
показана кривая d, на которой выбрана произвольная точка K1. Две соседние
с ней точки выбраны так, чтобы нормали к кривой d, проведенные в точках
K1, K2 и K3, пересекались в одной точке О1. При стремлении точек K2 и K3 к точке K1 центр пересечения нормалей займет свое предельное положе-
ние в точке О2.
Окружность, проведенная через точку K1 с центром в О2, называется сопри-
касающейся окружностью (окружностью кривизны), а ее центр (точка
О2) — центром кривизны данной кривой в точке K1. Радиус R соприкасаю-
щейся окружности определяет радиус кривизны кривой d в точке K1, а об-
ратная ей величина 1/R — кривизну кривой d в точке K1.
Соприкасающаяся окружность и кривая линия имеют общую касательную
и нормаль, проведенные в точке касания. При этом центр кривизны всегда
лежит на общей нормали.
На рис. 11.15 показано приближенное построение центра кривизны в некоторой
точке K0 кривой линии a. В окрестности точки K0 выбрано несколько точек K1,
K2, ... В этих точках, а также в точке K0 проведены касательные, на которых от-
ложены произвольные, но равные между собой отрезки K1L1, K2L2, K0L0, ... По-
строенные точки L1, L2, L0, ... соединяются кривой линией b. Из точки K0 прове-
дена нормаль к кривой а, а из точки L0 — нормаль к кривой b. В пересечении
нормалей образуется искомый центр кривизны О кривой а в точке K0.
Рис. 11.15. Построение центра кривизны О кривой линии а
Чем меньше отклонение кривой линии в данной точке от ее касательной, тем
меньше ее кривизна и больше радиус кривизны. Если прямую линию рас-
сматривать как кривую, то ее кривизна равна нулю, а радиус кривизны —
бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках постоянна и равна
обратной величине радиуса этой окружности, а радиус кривизны равен ра-
диусу окружности.
Глава 11 282
11.4. Построение лекальных кривых
11.4.1. Инструментарий для вычерчивания кривых
и касательных к ним
Практически все кривые линии являются лекальными линиями, т. е. нецир-
кульными кривыми, которые строятся по точкам с помощью лекал — кривых
фигурных линеек. При вычерчивании лекальной кривой необходимо найти
достаточное количество принадлежащих ей точек и соединить их плавной
линией по лекалу. О том, как найти подобный ряд точек для наиболее рас-
пространенных кривых линий, будет рассказано в следующих разделах дан-
ной главы.
В компьютерной графике найденные точки соединяют плавными кривыми,
называемыми сплайнами2. Сплайн проходит через две или более контроль-
ные точки, управляющие формой кривой. В КОМПАС-3D используются два
наиболее общих типа сплайнов:
неоднородный рациональный B-сплайн — NURBS (от англ. Non-uniform
rational B-spline);
кривая Безье.
NURBS-кривая является гладкой кривой, совпадающей с функцией более
простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.
Такая кривая не имеет разрывов и непрерывно заполняет отрезок между на-
чальной и конечной точками. Моделирование на основе неоднородных ра-
циональных B-сплайнов обладает следующими преимуществами перед дру-
гими методами:
с помощью NURBS-кривых проще имитировать поверхности природных
объектов или объектов, поверхности которых имеют сложным образом
искривленные профили;
NURBS-кривые обеспечивают лучшее качество визуализации закруглен-
ных краев объектов благодаря разбиению на грани, выполняемому с ис-
пользованием аналитических выражений.
Различные области NURBS-кривых обладают различными свойствами (веса-
ми), значения которых не равны между собой. При этом неоднородность
кривой заключается в нерегулярном расположении опорных точек — узлов.
Такие кривые могут искривляться в любом направлении.
2 Сплайном пользуются для построения всех лекальных кривых за исключением эллипса,
поскольку для его вычерчивания существует специальный ряд команд (см. разд. 11.4.3).
Кривые линии 283
Другая часто используемая кривая — кривая Безье3 — является частным слу-
чаем NURBS-кривой. Метод построения кривой Безье основан на использо-
вании пары касательных, проведенных к линии в точках ее концов. Кривая
начинается в первой опорной точке, касаясь отрезка своей управляющей ли-
нии, и заканчивается в последней опорной точке, также касаясь отрезка своей
управляющей линии. На практике эти касательные играют роль "рычагов",
с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму ли-
нии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка.
Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят пере-
таскиванием узла с помощью мыши. Из всего многообразия семейства кри-
вых Безье в векторной графике используется, как правило, кривая третьего
порядка.
В модуле плоского черчения пакета КОМПАС-3D команды для построения
сплайнов находятся на панели расширенных команд на странице Геометрия
(рис. 11.16).
а б
Рис. 11.16. Команды построения сплайнов: а — NURBS; б — Кривая Безье
Для создания кривой нужно последовательно указать мышью опорные точки.
При необходимости при помощи переключателя Режим можно замкнуть
кривую. Для фиксации созданной кривой в заключение следует нажать кноп-
ку Создать объект на панели специального управления.
Изменить кривую можно, не выходя из команды. Для этого нажмите кнопку
Редактировать точки на панели специального управления. Система перей-
дет в режим редактирования характерных точек объекта. Внесите необходи-
мые изменения, после чего отожмите эту кнопку.
3 Названа так по имени французского математика Пьера Безье, который в 60-х годах
XX века применял математические кривые и поверхности для конструирования кузо-
ва автомобиля компании "Рено".
Глава 11 284
В системе КОМПАС-3D нет необходимости проводить вспомогательные по-
строения, о которых говорилось в предыдущем разделе, для проведения каса-
тельной к окружности, эллипсу, NURBS-кривой, кривой Безье. В зависимости
от выбранной команды и указанных исходных данных система автоматически
проведет касательную в виде отрезка или вспомогательной прямой.
В табл. 11.2 приведены команды по проведению касательных, расположен-
ных в группе команд Отрезок на инструментальной панели Геометрия.
Аналогичные команды находятся в группе команд Вспомогательная пря-
мая (напомним, что вспомогательные прямые служат для предварительной
прорисовки изображения и легко удаляются из чертежа).
Во всех случаях в заключении построений необходимо зафиксировать объ-
ект, щелкнув по нему мышью или нажав кнопку Создать объект на панели
специального управления. Для выхода из команды нажмите кнопку Пре-
рвать команду или клавишу <Esc>.
Таблица 11.2. Построение касательных в системе КОМПАС-3D
Команда Схема Последовательность выполнения
Касательный
отрезок
через
внешнюю
точку
1. Укажите объект — кривую, касательно
к которой должен пройти отрезок.
2. Затем укажите начальную точку т1 от-
резка, через которую должен пройти
касательный отрезок. По умолчанию
конечной точкой т2 отрезка является
точка касания (вы можете изменить
длину отрезка, введя нужное значение
в соответствующее поле панели
свойств).
3. На экране появятся фантомы всех ва-
риантов отрезков, касательных к вы-
бранному объекту и проходящих через
заданную точку. Выберите нужный
фантом мышью и зафиксируйте его
Касательный
отрезок
через точку
кривой
I способ — по точке касания.
1. Укажите объект, касательно к которому
должен пройти отрезок, в точке каса-
ния т2.
2. Укажите точку т1, определяющую дли-
ну отрезка.
3. Зафиксируйте появившийся фантом
Кривые линии 285
Таблица 11.2 (окончание)
Команда Схема Последовательность выполнения
Касательный
отрезок через
точку кривой
II способ — по углу наклона касатель-ной.
1. Укажите объект и введите значения
угла наклона в поле Угол на панели свойств. После этого на экране поя-вятся фантомы всех возможных ва-риантов прямых, касательных к ука-занному объекту и расположенных под заданным углом.
2. Укажите точку т1, определяющую длину отрезка.
Выберите нужный фантом мышью и зафиксируйте объект
Отрезок,
касательный
к двум
кривым
1. Укажите первую и вторую кривые, касательно к которым должен пройти отрезок. На экране будут показаны фантомы всех вариантов отрезков, касательных к указанным кривым.
2. Выберите нужный фантом мышью и зафиксируйте выбранный отрезок
11.4.2. Эволюта и эвольвента
Эволютой называют кривую линию, представляющую множество центров
кривизны некоторой другой кривой линии. Сама кривая в данном случае на-
зывается эвольвентой. Касательные к эволюте являются нормалями в соот-
ветствующих точках эвольвенты.
На рис. 11.17 приведена кривая а (в данном случае эта кривая является
эвольвентой) и ее эволюта — кривая с. Данной эволюте (кривой с) соответ-
ствует семейство эвольвент (кривые а, b, ...), каждая из которых определяет-
ся некоторой первоначальной длиной отрезка касательной к эволюте ( K0M0 ,
K0N0 , ...).
Если подобным образом построить некоторое множество центров кривизны
кривой а и соединить их плавной кривой линией, то будет построена эволюта
данной кривой линии. Сама кривая а будет эвольвентой.
У кривой, называемой эвольвентой окружности, центры кривизны в различ-
ных точках расположены на окружности. Шагом эвольвенты окружности
называется длина окружности, являющейся эволютой к данной эвольвенте,
Глава 11 286
т. е. расстояние, равное D, где D — диаметр заданной окружности. По-
строение эвольвенты можно проводить как в направлении движения часовой
стрелки, так и в противоположном направлении. В некоторых случаях эволь-
венту окружности аппроксимируют эвольвентой многоугольника — коробо-
вой кривой линией (о таких линиях будет рассказано в разд. 11.5.3).
Рис. 11.17. Эволюта с и соответствующее ей семейство эвольвент а, b, ...
Пример 39. Построить эвольвенту окружности заданного диаметра D
в направлении движения часовой стрелки.
1. Заданную окружность разделим на n равных частей, например, на двена-
дцать (рис. 11.18). Для этого целесообразно воспользоваться командой
Точки по кривой на странице Геометрия. Центральный угол, образован-
ный точками деления, равен
30n
360.
2. В каждой точке деления проводим касательные к окружности в сторону,
противоположную движению часовой стрелки. На проведенных касатель-
ных от точки касания откладываем величину
360n
D i ,
где i — центральный угол между i-ой и начальной точками деления. На
примере, изображенном на рис. 11.18, на касательной, проведенной из
первой точки, отложено расстояние D/12, из второй — 2 D/12, из
третьей — 3 D/12, ..., из двенадцатой — D.
Кривые линии 287
Рис. 11.18. Построение эвольвенты окружности заданного диаметра D
3. Соединяя плавной кривой линией точки 10, 20, 30, ..., получаем эвольвенту
заданной окружности. Для проведения такой линии следует выбрать ко-
манду Кривая Безье на странице Геометрия. Щелчком мыши последова-
тельно указывайте точки, через которые должна пройти кривая, и в за-
ключении зафиксируйте ее, нажав кнопку Создать объект на панели
специального управления.
11.4.3. Кривые линии второго порядка
Кривые линии второго порядка представляют собой геометрическое место
точек, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетво-
ряют алгебраическому уравнению второй степени. Линии второго порядка
могут быть действительными или мнимыми (в случае, если множество точек
является пустым или состоит из одной точки), нераспадающимися или рас-
падающимися на несколько линий.
К действительным нераспадающимся линиям второго порядка, рассмат-
риваемым в начертательной геометрии, относятся эллипс, гипербола и па-
рабола.
Линия второго порядка, имеющая единственный центр симметрии, называет-
ся центральной линией второго порядка (эллипс, гипербола); линия второго
порядка без центра симметрии или с неопределенным центром — нецен-
тральной линией второго порядка (парабола).
Глава 11 288
Эллипс
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая линия, образуемая при пере-
сечении прямого кругового конуса (рис. 11.19, а) или прямого кругового ци-
линдра (рис. 11.19, б) плоскостью, наклонной к их оси и пересекающей все
образующие этого конуса или цилиндра.
а б
Рис. 11.19. Образование эллипса
При проецировании эллипса возможны следующие варианты:
эллипс, плоскость которого параллельна плоскости проекций, проециру-
ется на эту плоскость в натуральную величину, а на две другие — в виде
отрезка;
если плоскость эллипса расположена перпендикулярно одной плоскости
проекций, то на эту плоскость эллипс проецируется в виде отрезка прямой
линии, а на две другие — виде эллипса;
если эллипс расположен в плоскости общего положения, то на все три
плоскости проекций он проецируется в виде эллипса (рис. 11.20, а);
если плоскость эллипса находится в плоскости общего положения, а
большая ось эллипса принадлежит линии наибольшего наклона к плоско-
сти проекций4 и составляет с этой плоскостью проекций угол, равный
=arccos(b/a), то эллипс проецируется в окружность (рис. 11.20, б).
Отрезки прямой, лежащие на осях симметрии эллипса (рис. 11.21, а), назы-
ваются осями эллипса, а концы этих отрезков — вершинами эллипса. Разли-
4 О линиях наибольшего наклона к плоскости проекций — см. разд. 6.4.3.
Кривые линии 289
чают большую ось (отрезок А1А2) и малую ось (отрезок B1B2). Большая и ма-
лая оси эллипса взаимно перпендикулярны и в точке пересечения О (центре
эллипса) делятся пополам. Две точки (точки F1 и F2), лежащие на большой
оси эллипса и отстоящие от концов малой оси на расстоянии, равном поло-
вине большой оси, называются фокусами эллипса. Отрезок прямой между
двумя точками эллипса, проходящий через его центр, называется диаметром
(например, отрезок М1М2).
Рис. 11.20. Проецирование эллипса, находящегося в плоскости общего положения
Рис. 11.21. Элементы эллипса (а) и его построение (б)
Эллипс представляет собой множество точек, сумма расстояний от каждой
из которых до двух данных точек (фокусов) постоянна и равна большой оси
эллипса:
r1 + r2 = 2a.
Отношение b/a (b/a 1) отражает форму эллипса (его "вытянутость") и на-
зывается коэффициентом сжатия. При a=b фокусы эллипса совпадают,
Глава 11 290
и он обращается в окружность, которую можно рассматривать как частный
случай эллипса с коэффициентом сжатия, равным единице.
Построение эллипса по двум заданным осям приведено на рис. 11.21, б.
На двух взаимно перпендикулярных прямых откладываются расстояния, рав-
ные большой а и малой b полуосям эллипса. Из центра О проводятся две кон-
центрические окружности радиусами a и b. На большей окружности выбирает-
ся произвольная точка М1, и проводится радиус М1О, который в пересечении
с малой окружностью дает точку М2. Из точки М1 проводится прямая, парал-
лельная малой оси эллипса, а из точки М2 — прямая, параллельная большой
оси эллипса. При пересечении этих прямых образуется точка М, принадлежа-
щая эллипсу. Построив одну точку эллипса, можно построить еще три точки,
расположенные симметрично относительно осей эллипса и его центра.
Далее в том же порядке можно построить ряд точек, принадлежащих эллип-
су. Искомый эллипс образуется при соединении плавной кривой линии с по-
мощью лекала построенных точек, а также точек А1, А2, B1 и B2, являющихся
вершинами эллипса.
Иногда с целью упрощения построения эллипс аппроксимируют овалом, со-
стоящим из сопрягаемых дуг окружностей.
В аксонометрических проекциях окружность в большинстве случаев проеци-
руется в эллипс, большая и малая оси которого образуют с аксонометриче-
скими осями некоторый определенный угол, зависящий от вида проекции.
Эллипс в системе КОМПАС-3D
Для построения эллипса, как наиболее распространенной кривой, в системе
КОМПАС-3D предусмотрена серия команд, находящихся на панели расши-
ренных команд Эллипс страницы Геометрия (рис. 11.22).
Рис. 11.22. Панель расширенных команд Эллипс
Кривые линии 291
Таблица 11.3. Построение эллипса в системе КОМПАС-3D
Команда Схема Последовательность выполнения
Эллипс
1. Укажите центральную точку эл-
липса С.
2. На панели свойств в поле Длина 1
введите значение первой полуоси
(можно задать конечную точку
первой полуоси эллипса т1 щелч-
ком мыши на экране). Аналогично
задайте конечную точку второй
полуоси эллипса т2.
3. Задайте угол наклона
Эллипс по диаго-
нали габаритного
прямоугольника
1. Введите в поле Угол на панели
свойств величину угла наклона
первой полуоси эллипса.
2. Укажите начальную т1 и конечную
т2 точки диагонали прямоугольни-
ка, описанного вокруг создаваемо-
го эллипса
Эллипс по центру
и вершине габа-
ритного прямо-
угольника
1. Введите в поле Угол на панели
свойств величину угла наклона
первой полуоси эллипса.
2. Затем укажите центральную точку
С и вершину прямоугольника т,
описанного вокруг создаваемого
эллипса
Эллипс по цен-
тру, середине
стороны и вер-
шине описанного
параллелограмма
1. Укажите точку центра эллипса С.
2. Задайте точку т1 как середину
стороны параллелограмма и точку
т2 — вершину параллелограмма,
описанного вокруг создаваемого
эллипса
Эллипс по трем
вершинам опи-
санного парал-
лелограмма
Укажите последовательно положе-
ния вершин т1, т2 и т3 параллело-
грамма, описанного вокруг созда-
ваемого эллипса
Глава 11 292
Таблица 11.3 (окончание)
Команда Схема Последовательность выполнения
Эллипс по центру
и трем точкам
Укажите положение центральной точки С создаваемого эллипса,
а затем точки т1, т2 и т3, через кото-рые он должен проходить
Эллипс, каса-
тельный к двум
кривым
1. Укажите точки т1 и т2, в которых создаваемый эллипс должен ка-саться первого и второго объектов.
2. Задайте точку т3, через которую должен проходить создаваемый эллипс
В табл. 11.3 дана последовательность выполнения команд для построения
эллипса при различных исходных данных. При построении эллипсов, впи-
санных в прямоугольник или параллелограмм, сам четырехугольник на экра-
не не изображается.
Гипербола
Гипербола — это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью,
не проходящей через вершину конуса и параллельной двум его образующим.
Так как в общем случае рассматривают конус, имеющий две полости с общей
вершиной и общей осью, то при образовании гиперболы секущая плоскость
пересекает обе его полости (рис. 11.23), и, следовательно, кривая состоит из
двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей.
Рис. 11.23. Образование гипербол
Кривые линии 293
Пример построения гиперболы, образуемой при пересечении конуса фрон-
тальной плоскостью , параллельной его оси, изображен на рис. 11.24. Для
построения точки А , принадлежащей гиперболе, проведена вспомогательная
образующая S1. На пересечении горизонтальной и профильной проекций
этой образующей с соответствующими следами секущей плоскости найде-
ны точки А и А , и затем по двум известным проекциям построена А . В за-
ключение проверена правильность построений: А S 1 .
Рис. 11.24. Построение гиперболы,
образуемой при пересечении конуса фронтальной плоскостью
На рис. 11.25, а приведены элементы гиперболы: прямая АВ — действи-
тельная ось, прямая СD — мнимая ось, точки А и В (точки пересечения ги-
перболы с действительной осью) — вершины гиперболы, точка О — центр
гиперболы, точки F1 и F2 — фокусы гиперболы.
Расстояние между вершинами, равное 2а, называется большой осью гипербо-
лы; расстояние между точками С и D, равное 2b, — малой осью; расстояние
между фокусами, равное 2с, — фокусным расстоянием (2а<2с).
Глава 11 294
Рис. 11.25. Элементы гиперболы (а) и ее построение (б)
Прямые t1 и t2, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются
при удалении в бесконечность, называются асимптотами гиперболы. Экс-
центриситет гиперболы равен с/a 1.
Гипербола представляет собой геометрическое место точек плоскости, раз-
ность расстояний от которых по абсолютной величине до двух заданных то-
чек (фокусов) постоянна:
(r1 – r2)=2a .
При а=b гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпен-
дикулярны.
На рис. 11.25, б гипербола построена по заданным расстоянию большой оси
2а и фокусному расстоянию 2с. Строится действительная ось гиперболы, на
которой наносятся ее центр (точка О), вершины (точки А и В) и фокусы (точ-
ки F1 и F2). Затем на луче ОF1 на все увеличивающемся расстоянии от точки
F1 наносится ряд произвольных точек 1, 2, 3, ... Из точек F1 и F2 проводятся
дуги радиусом соответственно R1= 1A и R2= 1B . В пересечении дуг нахо-
дятся точки, принадлежащие гиперболе. Аналогично строится ряд точек, ко-
торые соединяются плавной кривой линией.
Парабола
Парабола — это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью,
не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из его образую-
щих (рис. 11.26).
Кривые линии 295
Рис. 11.26. Образование параболы
На рис. 11.27, а приведены элементы параболы: точка А — вершина парабо-
лы, точка F — фокус, прямая АF — ось параболы, прямая t — директриса.
Расстояние p от фокуса до директрисы называется фокальным параметром.
Вершина параболы лежит на середине отрезка FB. Парабола состоит из од-
ной ветви, симметричной относительно оси.
Рис. 11.27. Элементы параболы (а) и ее построение (б)
С точки зрения дифференциальной геометрии парабола представляет собой
множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки
(фокуса) равно расстоянию от этих же точек до определенной прямой (ди-
ректрисы): r=d.
На рис. 11.27, б приведено построение параболы по заданной директрисе t
и фокусу F. Через фокус F проводится ось перпендикулярно директрисе,
и фокальный параметр делится пополам. Точка А, лежащая на середине от-
резка FB, является вершиной параболы. Затем на луче ВА на все увеличи-
Глава 11 296
вающемся расстоянии от точки А в направлении фокуса наносится ряд про-
извольных точек 1, 2, 3, ... Через эти точки проводятся линии а1, а2, а3, ...,
параллельные директрисе. Из точки F проводится дуга радиусом, равным
R1= 1В , которая в пересечении с прямой а1 дает две точки, принадлежащие
параболе. Аналогично строятся следующие пары точек, которые затем со-
единяются плавной кривой линией.
11.4.4. Кривые линии третьего порядка
Кривые линии третьего порядка представляют собой геометрическое место
точек, координаты которых в прямоугольной системе координат описывают-
ся алгебраическим уравнением третьей степени. Такие кривые могут иметь
одну, две или три бесконечные ветви. При этом если ветвь имеет асимптоту,
то ее называют ветвью гиперболического типа. В противном случае ветвь
кривой будет параболической.
Среди большого разнообразия кривых третьего порядка существует ряд так
называемых замечательных кривых, построения некоторых из них рассмот-
рим далее.
Декартов лист
Декартовым листом называется кривая, уравнение которой в прямоугольной
системе координат имеет вид:
х + y axy =3 3 – 3 0 .
Кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Начало координат яв-
ляется узловой точкой декартова листа. Декартов лист имеет одну асимптоту
у=–х–а.
Рассмотрим правила построения декартова листа. Наметим узловую точку О
и проведем биссектрису b под углом 45 к горизонтали (рис. 11.28). На бис-
сектрисе выберем точку О1 и из этой точки, как из центра, проведем окруж-
ность, радиус которой равен R=2 ОО1 . В пересечении построенной окруж-
ности и биссектрисы b отметим точки А и В (точка В — вершина декартова
листа).
Из точки О проведем прямую f под прямым углом к биссектрисе b и парал-
лельно прямой f на расстоянии h построим прямую t. Возьмем произвольную
точку 1 на окружности и проведем прямую 1А до пересечения с прямой t
в точке 1. Из точки 1 построим перпендикуляр 11 к биссектрисе b. Из точ-
ки 1 проводим прямую 1О до ее пересечения в точке 10 с прямой 11 . Гео-
метрическое место точек 10 представляет собой декартов лист.
Кривые линии 297
Рис. 11.28. Построение декартова листа
Циссоида Диоклеса
Циссоида Диоклеса является кривой третьего порядка, которая описывается
в прямоугольных координатах следующим уравнением:
xy =
a - x
32
.
Рис. 11.29. Построение циссоиды (а) и строфоиды (б)
Глава 11 298
Кривая симметрична относительно оси абсцисс и имеет две бесконечные вет-
ви. Прямая х=2а служит для нее асимптотой. Начало координат является
точкой возврата первого рода.
Построение циссоиды ведут в следующем порядке (11.29, а). Вычертим ок-
ружность радиуса R=а и проведем в точке А касательную t (касательная
к производящей окружности служит асимптотой циссоиды). Построим диа-
метр АО окружности (точка О — точка возврата циссоиды). Из точки О про-
ведем лучи до пересечения с прямой t в точках 1, 2, ... На каждом луче от
точки О откладываем отрезки, равные соответственно отрезкам 11 , 22 , ...
Получаем точки 10, 20, ..., принадлежащие циссоиде.
Строфоида
Уравнение строфоиды в прямоугольных координатах имеет вид:
а+ ху = х
а – х
2 2 .
Кривая симметрична относительно оси абсцисс и имеет одну асимптоту х=а.
В начале координат строфоиды находится узловая точка, в которой касатель-
ные у= х пересекаются под прямым углом.
Рассмотрим построение строфоиды (рис. 11.29, б). Отрезок АВ=2а разбива-
ем точкой О пополам (точка А — вершина строфоиды, точка О — узловая
точка). Перпендикулярно АВ через точку В проводим прямую t — асимптоту
строфоиды, а через точку О — прямую f. От точки О на прямой f намечаем
точки 1, 2, ... Из вершины А через точки 1, 2, ... проводим лучи. Из точек 1,
2, ..., как из центров, проводим дуги окружностей, радиусы которых равны
1О, 2О, ... В пересечении с соответствующими лучами они образуют точки
10, 10, 20, 20, ..., которые принадлежат строфоиде.
11.4.5. Кривые линии четвертого порядка
Кривые линии четвертого порядка описываются алгебраическими уравне-
ниями четвертого порядка и по числу особых точек делятся на:
кривые, не имеющие особых точек;
кривые с одной двойной точкой;
кривые с двумя двойными точками (эллиптические кривые);
кривые с тремя двойными точками или одной тройной (рациональные
кривые).
Кривые линии 299
Одной из самых замечательных алгебраических линий четвертого порядка
является лемниската Бернулли. Эта кривая обладает целым рядом ориги-
нальных геометрических и механических свойств.
Уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат имеет
следующий вид:
х + у - а х - у =2
2 2 2 2 22 0 .
Произведение расстояний r1 и r2 в каждой точке лемнискаты Бернулли до
двух данных точек F1 и F2 (фокусов), находящихся на одной линии и одина-
ковом расстоянии а от точки О, равно постоянному значению а2. Кривая
симметрична относительно осей и начала координат. Начало координат явля-
ется узловой точкой с касательными у= х и точкой перегиба.
Рассмотрим, как построить лемнискату Бернулли на чертеже (рис. 11.30).
На прямой выбираем центр кривой О, от которой в обе стороны откладываем
расстояния а (получаем фокусы кривой F1 и F2) и расстояние а 2 (получаем
вершины кривой — точки А и В). Из точки О проводим перпендикуляр ОС
так, что ОС =а. Намечаем произвольные точки 1, 2, 3, ..., расположенные от
точки О на расстоянии не более а2 2 . Построенные точки соединяем с точ-
кой С и строим перпендикулярные к ним отрезки:
1 С 1С; 2 С 2С; 3 С 3С...
Таким образом, получаем серию прямоугольных треугольников 1С1 , 2С2 ,
3С3 , ..., для гипотенуз которых справедливо равенство:
О1 О1 = О2 О2 = О3 О3 = ...=а2.
Рис. 11.30. Построение лемнискаты Бернулли
Глава 11 300
Для получения точки 10, лежащей на кривой, делаем засечки из фокуса F1
радиусом, равным r1 = O1 , а из фокуса F2 радиусом, равным r2 = O1. Анало-
гично строим другие точки лемнискаты.
11.4.6. Спирали
Спирали представляют собой плоские кривые линии, которые обходят вокруг
одной или нескольких точек, приближаясь или удаляясь от них.
В прямоугольных координатах спирали описываются неалгебраическим
уравнением, поэтому они относятся к трансцендентным кривым линиям. Од-
нако в полярных координатах уравнения некоторых спиралей могут быть ал-
гебраическими относительно полярного радиуса и полярного угла. Такие
спирали условно называют алгебраическими. К ним относятся: архимедова
спираль, гиперболическая и параболическая спирали, спираль Галилея, спи-
раль Ферма, жезл.
Спирали, у которых радиус кривизны в каждой точке связан с длиной дуги
степенным уравнением, называются псевдоспиралями. Если показатель сте-
пени равен 1, то образуется логарифмическая спираль; при –1 — спираль
Корню.
Рассмотрим более подробно одну из самых интересных кривых — архимедо-
ву спираль.
Архимедова спираль представляет собой траекторию движущейся точки, ко-
торая равномерно вращается вокруг некоторой неподвижной точки и при
этом равномерно удаляется от нее. Вращение точки может быть как в на-
правлении движения часовой стрелки, так и обратном ему. Поэтому в общем
случае архимедова спираль состоит из двух ветвей, исходящих из общего на-
чала. Начальная точка О называется ее полюсом, а расстояние h от полюса до
конечной точки первого витка — шагом.
Построим виток архимедовой спирали, обходящей заданный полюс О по ча-
совой стрелке с шагом h (рис. 11.31). Из полюса О проводим n лучей а1, а2,
а3, ... (в данном случае восемь), образующих между собой одинаковый угол,
равный 360 /n.
На луче а8 от полюса откладываем шаг спирали h, который делим на n рав-
ных частей. Точки деления 1, 2, 3, ... переносим дугами окружностей с цен-
тром в точке О на соответствующие лучи, т. е. точка 1 радиусом О1 перено-
сится на луч а1, точка 2 радиусом О2 — на луч а2 и т. д. Полученные
в пересечении точки 10, 20, 30, ... соединяем плавной кривой линией, являю-
щейся витком искомой спирали.
Кривые линии 301
Рис. 11.31. Построение архимедовой спирали
11.4.7. Циклические кривые
Циклические или циклоидальные кривые линии представляют собой траек-
торию движения точки, лежащей на производящей окружности, катящейся
без скольжения по неподвижной прямой или по другой окружности (направ-
ляющей).
Если производящая окружность катится по прямой, то циклическая кривая
называется циклоидой; если по направляющей окружности, то в зависимости
от того расположена производящая окружность вне или внутри направляю-
щей, она называется эпициклоидой или гипоциклоидой.
Циклоида
Циклоида представляет собой траекторию одной из точек окружности, пере-
катываемой по прямой. В общем случае циклоида состоит из неограниченно-
го количества ветвей, стыкующихся в вершинах циклоиды. Вершины цик-
лоиды являются точками возврата первого рода, в которых циклоида меняет
свое направление и располагается по обе стороны от касательной, проведен-
ной в этой точке.
Расстояние между смежными вершинами, равное h = 2 r, где r — радиус
производящей окружности, называется шагом циклоиды. Рассмотрим обра-
зование циклоиды.
Глава 11 302
Пример 40. Построить циклоиду, заданную радиусом производящей ок-
ружности r = 20, исходной точкой 0 и направляющей прямой t.
1. При перекатывании производящей окружности по прямой t точка 0, при-
надлежащая окружности, будет перемещаться вверх и в то же время по
направлению движения центра окружности. Производящую окружность
делим на n равных частей, например, на восемь (рис. 11.32). Для деления
окружности целесообразно воспользоваться командой Точки по кривой
на странице Геометрия.
Рис. 11.32. Построение циклоиды
2. На прямой f, по которой перемещается центр производящей окружности,
откладываем расстояние, равное шагу h. Этот отрезок делим на такое же
количество n равных частей (тоже командой Точки по кривой).
3. Из точек деления шага проводим окружности радиусом r, а из точек деле-
ния производящей окружности — горизонтальные прямые. В их пересе-
чении образуются точки, принадлежащие искомой циклоиде (если цен-
тральный угол между исходной точкой и точками деления 1, 2, 3, ... на
производящей окружности меньше 180 , то точка, принадлежащая цик-
лоиде, находится в первом пересечении с окружностью; если угол лежит
в пределах 180 ...360 , то — во втором пересечении).
4. Соединяем полученные точки 10, 20, 30, ... плавной кривой линией при
помощи команды Кривая Безье.
5. При дальнейшем качении окружности точка вновь начнет описывать та-
кую же кривую — следующую ветвь циклоиды.
Кривые линии 303
Эпициклоида
Эпициклоида является траекторией точки производящей окружности радиу-
сом r, катящейся без скольжения по другой неподвижной направляющей ок-
ружности радиуса R вне ее. Отношение r/R = m называется модулем. Форма
эпициклоиды зависит от значения m. Если m = p/q (p и q — взаимно простые
числа), то исходная точка после q полных оборотов производящей окружно-
сти возвращается в первоначальное положение и эпициклоида — замкнутая
кривая, состоящая из q ветвей с q точками возврата. При m = 1 образуется
кардиода.
Пример 41. Построить эпициклоиду, заданную радиусом производящей
окружности r = 20, исходной точкой 0 и направляющей окружностью
радиусом R = 60.
1. Производящую окружность делим на n (например, на 12) равных частей
и получаем точки 1, 2, 3, ... (рис. 11.33). Из центра направляющей окруж-
ности О проводим центровую окружность радиусом R+r . Определяем
центральный угол одной ветви эпициклоиды:
=360r/R.
Рис. 11.33. Построение эпициклоиды
Глава 11 304
2. От луча, проходящего через исходную точку 0 касания производящей
и направляющей окружностей, откладываем угол и делим его на n час-
тей. На направляющей окружности отмечаем точки 11, 21, 31, ..., а на цен-
тровой окружности — точки I, II, III, ...
3. Из центра О проводим вспомогательные окружности, проходящие через
точки деления производящей окружности (т. е. через точки 1, 2, 3, ...).
4. Приняв за центр точку I, проводим дугу радиусом r до пересечения с ду-
гой, проведенной через точку 1 деления производящей окружности. В пе-
ресечении образуется точка 10, принадлежащая кривой. Затем, приняв за
центр точку II, проводим следующую дугу радиусом r до пересечения с
дугой, проведенной через точку 2 деления окружности. Аналогичные по-
строения проводим из следующих центров III, IV, V, ...
5. Найденные точки 10, 20, 30, ... соединяем плавной кривой линией коман-
дой Кривая Безье.
Гипоциклоида
Гипоциклоида — плоская кривая, описываемая точкой производящей окруж-
ности радиусом r, которая катится без скольжения по внутренней стороне
другой (большей) направляющей окружности радиусом R. Отношение
r /R=m называется модулем. Если модуль — рациональное число, то гипо-
циклоида замкнутая. При m=2 кривая вырождается в прямую, при m=¼ об-
разуется астроида.
Пример 42. Построить гипоциклоиду, заданную радиусом производящей
окружности r = 20, исходной точкой 0 и направляющей окружностью
радиусом R = 80.
1. Производящую окружность делим на n (например, на 12) равных частей
и получаем точки 1, 2, 3, ... (рис. 11.34). Из центра О проводим центровую
окружность радиусом R–r и определяем центральный угол одной ветви
гипоциклоиды:
=360r/R.
2. От луча, проходящего через исходную точку 0 касания производящей и
направляющей окружностей, откладываем угол и делим его на n частей.
На направляющей окружности отмечаем точки 11, 21, 31, ..., а на центро-
вой — точки I, II, III, ...
3. Из центра О проводим вспомогательные окружности, проходящие через
точки деления 1, 2, 3, ...
Кривые линии 305
Рис. 11.34. Построение гипоциклоиды
4. Приняв за центр точку I, проводим дугу радиусом r до пересечения с ду-
гой, проведенной через точку деления 1. В пересечении образуется точка
10, принадлежащая кривой. Затем, приняв за центр точку II, проводим сле-
дующую дугу радиусом r до пересечения с дугой, проведенной через точ-
ку деления 2. Аналогичные построения повторяем, проводя окружности
из следующих центров III, IV, V, ...
5. Найденные точки соединяем плавной кривой линией, вызвав команду
Кривая Безье на странице Геометрия.
11.4.8. Графики тригонометрических функций
Графиками тригонометрических функций являются плоские кривые, которые
описываются различными тригонометрическими уравнениями. Среди таких
графиков наибольший интерес с точки зрения геометрических свойств пред-
ставляет синусоида.
С точки зрения геометрии синусоида представляет собой траекторию точки,
движение которой складывается из равномерного поступательного движения
вдоль прямой (оси синусоиды) и перпендикулярного ему возвратно-поступа-
тельного. Причем возвратно-поступательное движение связано с вращением
другой точки по окружности, центр которой находится на оси синусоиды.
Синусоида является непрерывной периодической линией, которая путем па-
раллельного переноса вдоль оси накладывается сама на себя. Минимальный
отрезок h, при переносе на который синусоида накладывается сама на себя,
Глава 11 306
называется периодом. Максимальный отрезок a, вдоль которого точка со-
вершает возвратно-поступательное движение, называется амплитудой сину-
соиды. Точки пересечения синусоиды с ее осью являются точками перегиба,
в которых касательная пересекает синусоиду.
В общем случае синусоиду описывает трансцендентное уравнение вида
y = ksinx.
При k = 1 период синусоиды равен h = a.
Рассмотрим пример построения синусоиды с заданной амплитудой а и ша-
гом h (рис. 11.35). Строим окружность радиусом r = 2a и разделим ее на n
равных частей (например, на 12). Через центр окружности проводим ось си-
нусоиды, на которой откладываем отрезок АВ длиной, равной периоду h.
Отрезок АВ также делим на n равных частей. Через точки деления окружно-
сти проводятся прямые, параллельные оси синусоиды, а через точки деления
шага — перпендикулярные оси синусоиды. Точки пересечения соответст-
вующих прямых принадлежат искомой синусоиде.
Рис. 11.35. Образование синусоиды
11.4.9. Составные лекальные кривые
Составной кривой линией называется линия, состоящая из связных дуг плав-
ных кривых линий. Наибольший интерес среди составных линий представ-
ляют овалы — замкнутые выпуклые плоские кривые, состоящие из последо-
вательного ряда дуг монотонных кривых линий, у которых точки стыка
(вершины) имеют общий центр кривизны.
Основные свойства овала:
в каждой своей точке овал имеет одну определенную касательную;
любому направлению на плоскости соответствуют две и только две каса-
тельные, параллельные этому направлению;
Кривые линии 307
любой овал имеет не менее четырех точек, в которых его кривизна дости-
гает максимума и минимума.
В элементарной геометрии овал рассматривается как фигура, состоящая из
дуг двух одинаковых окружностей с внутренними сопряжениями между ни-
ми. Эта группа овалов относится к так называемым коробовым кривым лини-
ям, т. е. линиям, состоящим из последовательных соединений дуг окружно-
стей (о таких линиях будет рассказано в разд. 11.5.3).
Пример 43. Построить составную лекальную кривую: АВ — эллипс,
ВС — эвольвента окружности, СD — синусоида (DA — касательная
к эллипсу и синусоиде) при а=40, b=20, =60 , D=30, d=30 (рис. 11.36).
1. Вызовите команду Эллипс и укажите в выбранном месте чертежа центр
эллипса. На панели свойств в поле Длина 1 введите значение 40 первой
полуоси, в поле Длина 2 — значение 20 второй полуоси. Нажмите клави-
шу <Shift> и зафиксируйте эллипс так, чтобы большая ось эллипса распо-
ложилась вертикально.
2. Проведите вспомогательную линию через центр эллипса под углом 120
(напомним, что углы отсчитываются от положительного направления оси
х против часовой стрелки) и наметьте точку В.
Рис. 11.36. Составная лекальная кривая
Глава 11 308
3. Из точки В в любом направлении проведите отрезок, равный
10 D/12=78,5. На его конце, как на касательном отрезке, постройте ок-
ружность диаметром D=30. Разделите окружность на 12 частей и построй-
те эвольвенту этой окружности.
4. В точке В проведите две касательных — к эллипсу и к эвольвенте окруж-
ности. Выделите все геометрические элементы, относящиеся к эвольвенте,
активизируйте команду Поворот на странице Редактирование. Затем
укажите центр поворота в точке В, базовую точку на касательной к эволь-
венте и точку на касательной к эллипсу. Эвольвента развернется так, что
в точке В совместятся касательные к ней и эллипсу.
5. Из точки С проведите касательный отрезок длиной d /2=47,1. На его
конце, как на касательном отрезке, проведите окружность диаметром
d=30 и постройте синусоиду.
6. При помощи команды Отрезок, касательный к 2 кривым проведите от-
резок DA.
7. Отредактируйте чертеж: удалите вспомогательные прямые и точки, уда-
лите ненужные части кривых, поставьте размеры и т. д.
11.5. Циркульные кривые линии и сопряжения
11.5.1. Окружность
Циркульными кривыми линиями, как следует из названия, называются кри-
вые, вычерчиваемые при помощи циркуля. При полном обороте циркуля об-
разуется окружность; при неполном — дуга окружности, ее часть, заключен-
ная между какими-либо двумя точками кривой линии.
Как известно из школьного курса геометрии, окружностью называют замк-
нутую плоскую кривую линию, представляющую собой геометрическое ме-
сто точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Отрезок,
соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой, называется радиу-
сом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хор-
да, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность иногда рассматривают как частный случай эллипса с коэффици-
ентом сжатия, равным единице.
При проецировании окружности возможны следующие варианты.
Окружность, плоскость которой параллельна какой-либо плоскости
проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
Кривые линии 309
а на две другие плоскости проекций — в виде отрезка прямой линии, дли-
на которого равна диаметру окружности (рис. 11.37, а).
Рис. 11.37. Проецирование окружности, параллельной плоскости 1 (а),
и окружности, перпендикулярной плоскости 2 (б)
Если плоскость окружности расположена перпендикулярно плоскости
проекций, то на эту плоскость окружность проецируется в виде отрезка
прямой линии, длина которого равна диаметру окружности, а на две дру-
гие плоскости проекций — в виде эллипса (рис. 11.37, б). В этом случае
достаточно просто определить натуральную величину окружности путем
введения дополнительной плоскости проекций 4, совпадающей с плоско-
стью окружности.
Если окружность расположена в плоскости общего положения, то на все
три плоскости проекций он проецируется в виде эллипса.
11.5.2. Сопряжения
Общие сведения о сопряжениях
В очертаниях различных геометрических форм часто встречаются плавные
переходы от одной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую,
выполненный при помощи промежуточной линии, как правило, дуги окруж-
ности, называется сопряжением.
Глава 11 310
Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.
Переход окружности в прямую будет плавным только тогда, когда задан-
ная прямая является касательной t к окружности (рис. 11.38, а). Радиус
окружности r, проведенный в точку касания K, перпендикулярен к каса-
тельной прямой.
Переход от одной окружности к другой окружности в точке K только то-
гда будет плавным, когда окружности имеют в данной точке общую каса-
тельную. Точка касания K и центры окружностей O1 и О2 лежат на одной
прямой. Если центры окружностей лежат по разные стороны от касатель-
ной t, то касание называется внешним (см. рис. 11.38, б); если центры O1 и
О2 находятся по одну сторону от общей касательной — соответственно,
внутренним (рис. 11.38, в).
В теории сопряжений применяются следующие термины (рис. 11.39):
центр сопряжения — точка О, равноудаленная от сопрягаемых линий;
точки сопряжения K1 и K2 — точки касания двух сопрягаемых линий;
дуга сопряжения K1K2 — это дуга окружности, с помощью которой вы-полняется сопряжение;
радиус сопряжения R — это радиус дуги сопряжения.
Рис. 11.38. Проведение касательной к окружности (а) и сопрягающихся окружностей (б и в)
Рис. 11.39. Геометрические элементы сопряжений
Кривые линии 311
В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе
сопряжения состоит из следующих этапов:
1. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопря-
жения от первой из сопрягаемых линий.
2. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопря-
жения от второй из сопрягаемых линий.
3. Определение на пересечении центра сопряжения.
4. Определение точки сопряжения на первой из сопрягаемых линий.
5. Определение точки сопряжения на второй из сопрягаемых линий.
6. Проведение дуги сопряжения в интервале между точками сопряжения.
Рассмотрим на примерах основные случаи сопряжений.
Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
Пусть даны две пересекающиеся прямые а и b (рис. 11.40). Необходимо по-
строить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.
Рис. 11.40. Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
На расстоянии R от пересекающихся прямых проводим вспомогательные
прямые, параллельные заданным прямым а и b, до пересечения в точке О.
Из центра О опускаем перпендикуляры к прямым а и b и получаем точки со-
пряжения K1 и K2. Из точки О, как из центра, проводим дугу сопряжения ра-
диуса R между точками K1 и K2.
Сопряжения прямой с окружностью
Возможны три случая построения сопряжений с окружностью:
задан радиус дуги сопряжения;
Глава 11 312
задана точка сопряжения на прямой;
задана точка сопряжения на окружности.
В каждом из трех случае сопряжение может быть внешним или внутренним.
Рассмотрим первый случай — сопряжение прямой с окружностью с задан-
ным радиусом дуги сопряжения. Пусть заданы окружность радиусом R1
с центром в точке O1 и прямая а. Требуется построить сопряжение окружно-
сти с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 11.41, а).
Рис. 11.41. Сопряжение прямой с окружностью с заданным радиусом дуги сопряжения
Из центра О1 проведем вспомогательную дугу радиусом R1+R до пересече-
ния с прямой, проведенной параллельно прямой а на расстоянии R от нее.
Получаем точку О — центр дуги сопряжения. Точку сопряжения K1 находим
как основание перпендикуляра, проведенного из точки О к прямой а. Чтобы
построить точку сопряжения K2, необходимо провести линию центров OO1.
Проведем дугу сопряжения K1K2 радиусом R. Построенное сопряжение будет
внешним, поскольку OO1 =R1+R.
При построении внутреннего сопряжения (рис. 11.41, б) последовательность
построений остается той же, что и в предыдущем примере. Однако центр со-
пряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, про-
веденной из центра О1, радиусом R – R1.
Кривые линии 313
Принцип построений для сопряжения прямой с окружностью, если на прямой
задана точка сопряжения и, наоборот, если точка сопряжения дана на окруж-
ности, аналогичен описанному ранее.
Сопряжение двух окружностей
Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и сме-
шанным.
Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей
и радиусами R1 и R2 с дугой заданного радиуса R (рис. 11.42). Из центра
О1 радиусом R+R1 и из центра О2 радиусом R+R2 проводим дуги до их
пересечения в точке О — центре дуги сопряжения. Точки сопряжения K1
и K2 лежат на пересечении прямых, соединяющих точку О с центрами О1
и О2 сопрягаемых окружностей. Из точки О, как из центра, проведем дугу
сопряжения K1K2.
Рис. 11.42. Внешнее сопряжение двух окружностей
Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей
радиусами R1 и R2 с дугой радиусом R (рис. 11.43). Из центров О1 и О2 про-
ведем две дуги радиусами, соответственно, R–R1 и R–R2. На их пересече-
нии найдем центр сопряжения О. Точку сопряжения K1 найдем как точку
пересечения линии центров ОО1 с первой заданной окружностью. Точку
сопряжения K2 найдем как точку пересечения линии центров OO2 со второй
окружностью. Проведем дугу сопряжения K1K2 с центром в точке O.
Пример построения сопряжения двух окружностей со смешанным касанием
приведен на рис. 11.44.
Глава 11 314
Рис. 11.43. Внутреннее сопряжение двух окружностей
Рис. 11.44. Смешанное сопряжение двух окружностей
Принцип построения сопряжений двух окружностей, когда задана некоторая
точка на одной из окружностей, аналогичен рассмотренным ранее примерам.
Построение сопряжений в системе КОМПАС-3D
В системе КОМПАС-3D нет необходимости проводить вспомогательные по-
строения, чтобы построить сопряжение. Система автоматически вычислит
центр или радиус сопряжения по указанным пользователем исходным данным.
Кривые линии 315
В табл. 11.4 приведены команды по их реализации. Напомним, что о команде
Скругление на странице Геометрия, выполняющей сопряжения между дву-
мя пересекающимися объектами, мы уже говорили в разд. 3.3.1.
Таблица 11.4. Построение сопряжений в системе КОМПАС-3D
Команда и вид
построения
Схема Последовательность выпол-
нения
Скругление Сопряжение двух пересекаю-щихся прямых а и b дугой ра-диуса R.
Сопряжение прямой а с окружностью радиуса R1, если задан радиус дуги со-пряжения R
1. На панели свойств введите
Радиус скругления.
2. С помощью переключателей
Усекать элемент / Не усе-
кать элемент установите необходимый режим.
3. Курсором мыши щелкните сначала на одной прямой или окружности, потом — на другой (для задания сопря-жения нужного типа, указы-вайте окружности примерно в точках сопряжения)
Окружность,
касательная
к двум
кривым
Сопряжение прямой а с ок-ружностью радиуса R1, если на прямой а задана точка А сопряжения.
1. Курсором мыши щелкните на объектах, которых долж-на касаться окружность.
2. Укажите точку сопряжения А или введите нужное значе-
ние в поле Радиус или
Диаметр (на экране появят-ся фантомы всех окружно-стей, касательных к указан-ной кривой и проходящих через заданную точку).
3. Выберите нужный фантом мышью.
4. Зафиксируйте выбранную окружность, щелкнув по ней мышью или нажав кнопку
Создать объект
Глава 11 316
Таблица 11.4 (окончание)
Команда и вид
построения
Схема Последовательность выпол-
нения
Окружность,
касательная
к двум
кривым
Сопряжение прямой а с ок-ружностью радиуса R1, если дана точка сопряжения А на дуге окружности.
Внешнее сопряжение двух окружностей R1 и R2 дугой заданного радиуса R.
Внутреннее сопряжение двух окружностей R1 и R2 дугой заданного радиуса R.
Смешанное сопряжение двух окружностей R1 и R2 дугой заданного радиуса R
5. Удалите часть окружности
командой Усечь кривую на
панели Редактирование
Кривые линии 317
11.5.3. Коробовая линия
Коробовой или центровой линией называется составная плавная кривая, со-
стоящая из последовательного ряда дуг окружностей с разными радиусами.
В вершинах коробовой линии (точках стыка) может быть проведена только
одна касательная.
Примером коробовой кривой линии может быть линия, построенная путем
сопряжения двух окружностей. Рассмотрим построение некоторых коробо-
вых линий.
Эвольвента многоугольника
В некоторых случаях эвольвенту окружности аппроксимируют коробовой
линией, получаемой при замене окружности многоугольником. Эту кривую
называют эвольвентой многоугольника или завитком, а сам многоуголь-
ник — глазком . Получается кривая, приближающаяся по форме к спирали,
но выполняемая дугами окружностей.
На рис. 11.45, а построен простейший двухцентровый завиток, образуемый
"развертыванием" отрезка О1О2 длиной а. Из центра О1 радиусом R1=а про-
водим полуокружность. Затем из центра О2 описываем следующую полуок-
ружность радиусом R2=2а. Далее снова из центра О1 радиусом R3=3а про-
водим следующую полуокружность и т. д. Точки сопряжений 10, 20, 30, ... дуг
завитка находятся на прямой, соединяющей центры окружностей.
Рис. 11.45. Построение завитков: а — двухцентровый завиток; б — эвольвента квадрата
На рис. 11.45, б дано построение эвольвенты квадрата (четырехцентрового
завитка) со стороной, равной а. Центры дуг окружностей лежат в вершинах
квадрата О1, О2, О3, ..., а их радиусы соответственно равны R1=а, R2=2а,
R3=3а...
Глава 11 318
Чем больше сторон многоугольника, по отношению к которому строится
эвольвента многоугольника, тем ее очертание имеет более плавную форму.
Стороны многоугольника направлены по нормалям к кривой, проведенным
в точках сопряжения.
Овалы и овоиды
Как мы уже отмечали, в узком смысле овалом называют плоскую замкнутую
кривую линию из двух дуг окружностей (опорных окружностей) с внутрен-
ними сопряжениями между ними.
Длина овала а называется его большой осью, а ширина b — его малой осью.
В зависимости от соотношения между центрами опорных окружностей s и их
радиусом r различают:
при 2r s — открытый овал (рис. 11.46, а);
при 2r=s — замкнутый овал (рис. 11.46, б);
при 2r s — закрытый овал (рис. 11.46, в).
Рис. 11.46. Типы овалов
Рассмотрим построение овала, заданного размерами большой оси а и малой
оси b (рис. 11.47, а). Соединяем вершины овала С и А и строим прямоуголь-
ный треугольник АСЕ. В треугольнике АСЕ проводим биссектрисы и из точ-
ки K пересечения биссектрис опускаем перпендикуляр к стороне АС. В пере-
сечении этого перпендикуляра с прямыми АВ и СО определяются центры О1
и О2 слагаемых дуг окружностей. Из условия симметрии определяются цен-
тры О3 и О4 третьей и четвертой слагаемых дуг.
Овалы, у которых опорные окружности имеют разные радиусы, называют
овоидами. Центры сопрягаемых дуг овоида располагаются на центровой ли-
нии большей опорной окружности.
Кривые линии 319
Рис. 11.47. Построение овала (а) и овоида (б)
Рассмотрим построение овоида с заданными радиусами опорных окружно-
стей R и r и расстоянием между центрами опорных окружностей s
(рис. 11.47, б). Из отложенных на расстоянии s центров О1 и О2 заданными
радиусами проводим полуокружности 12 и 34. Через концы полуокружно-
стей (точки 1 и 3, 2 и 4) строим прямые, пересекающие малую опорную ок-
ружность в точках 5 и 6. Через точки 5 и О2, 6 и О2 проводим прямые, пере-
секающие центровую линию большей опорной окружности в точках О3 и О4.
Из этих точек радиусом R1= О31 построим дуги окружностей, сопрягающие
в точках 1, 5, 2 и 6 опорные окружности. Полученная кривая — плавная
и в точках 1, 5, 2 и 6 имеет по одной касательной.
11.5.4. Фигуры, ограниченные
циркульными кривыми
Определенный интерес представляют фигуры, ограниченные дугами окруж-
ностей. В элементарной геометрии рассматривают две простейшие их них:
сегмент — фигуру, ограниченную окружностью и ее хордой (рис. 11.48, а);
сектор — фигуру, ограниченную двумя радиусами и дугой, на которую
они опираются (рис. 11.48, б).
Глава 11 320
Рис. 11.48. Сегмент (а), сектор (б), кольцо (в)
Иногда фигуру, ограниченную двумя концентрическими окружностями, оп-
ределяют как кольцо (рис. 11.48, в). Рассмотрим некоторые другие фигуры,
ограниченные циркульными кривыми.
Гиппократовы луночки5 — серповидные плоские фигуры, образованные по-
луокружностями, построенными на катетах прямоугольного треугольника, и
частями полуокружности, построенной на гипотенузе того же треугольника
(рис. 11.49, а). Сумма площадей обеих луночек равна площади треугольника.
Рис. 11.49. Гиппократовы луночки (а) и арбелон (б)
Арбелон представляет собой плоскую фигуру, ограниченную тремя касаю-
щимися полуокружностями, центры которых лежат на одной прямой
(рис. 11.49, б). Площадь арбелона равна площади круга диаметра АВ.
Важным разделом геометрической теории выпуклых фигур является теория
кривых постоянной ширины. Так называют кривую линию, для которой рас-
стояние h между каждой парой параллельных касательных прямых (опорных
прямых) одинаково. В действительности кривых постоянной ширины беско-
5 Названы так по имени древнегреческого математика Гиппократа Хиосского, V в. до н. э.
Кривые линии 321
нечно много, однако наибольший интерес представляют собой циркульные
кривые.
Простейшей кривой постоянной ширины является окружность. Следующей
самой простой кривой постоянной ширины считается треугольник Рело
(рис. 11.50, а). Для его построения надо вычертить равносторонний тре-
угольник со стороной а и провести дуги окружностей с центрами в вершинах
радиусом R=a. Полученный "искривленный треугольник" обладает постоян-
ной шириной, равной стороне треугольника.
Рис. 11.50. Треугольники Рело
Углы треугольника Рело можно скруглить, проведя из вершин равносторон-
него треугольника со стороной, равной а, окружности радиуса r и сопрягая
их дугами радиуса R=a+r (рис. 11.50, б). Полученная кривая будет по всем
направлениям иметь ширину, равную сумме радиусов дуг, описанных из
каждой вершины.
Можно построить и другие симметричные кривые постоянной ширины, взяв
вместо равностороннего треугольника любой правильный многоугольник
с нечетным числом сторон и проделав над ним аналогичную процедуру.
Глава 12
Аксонометрические проекции
12.1. Общие сведения
об аксонометрических проекциях
Аксонометрическая проекция, или аксонометрия представляет собой изо-бражение предмета на некоторой плоскости, полученное путем проецирова-ния вместе с осями прямоугольных координат, к которым отнесена система точек этого предмета. Аксонометрические проекции обладают свойством на-глядности и одновременно свойством обратимости — по таким чертежам легко представить общую форму предметов и их положение в пространстве.
Как правило, аксонометрические проекции образуются путем параллельного проецирования, причем направление проецирования не параллельно ни од-ной из осей проекций. Рассмотрим получение аксонометрической проекции некоторой точки А пространства (рис. 12.1). Указанная точка А отнесена к системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по осям x, y и z. По направлению m координатная система вместе с точкой А
спроецирована на произвольную плоскость проекций 0, и получена ее аксо-нометрическая проекция А0.
Рис. 12.1. Образование аксонометрической проекции
Глава 12 324
Если направление проецирования перпендикулярно плоскости чертежа, то
аксонометрическая проекция называется прямоугольной, в противном слу-
чае — косоугольной. Проекции осей координат называются аксонометриче-
скими осями. Отношение k длины отрезка, расположенного на аксонометри-
ческой оси, к натуральной величине отрезка называется коэффициентом
искажения (численно он равен косинусу угла наклона координатных осей
к плоскости проекций).
В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения аксоно-
метрические проекции подразделяются на:
изометрические в случае, когда все три коэффициента искажения равны
между собой (kx=ky=kz);
диметрические, когда два коэффициента искажения равны между со-
бой, а третий не равен им (например, kx=kz ky);
триметрические, когда все коэффициенты искажения различны (kx ky kz).
Аксонометрическая проекция считается заданной, если известно расположе-
ние осей, их положительное направление и коэффициенты искажения. Теоре-
тически любые три пересекающиеся в одной точке прямые могут задать ак-
сонометрические оси. Однако в практике построений с целью обеспечения
максимальной наглядности используют лишь некоторые определенные ком-
бинации направлений аксонометрических осей и коэффициентов искажения
(табл. 12.1).
Таблица 12.1. Аксонометрические проекции
Вид проекции Расположение
аксонометрических осей
Коэффициенты
искажения
Прямоугольная изометрическая
O 30
120
90 z
y x
kx=ky=kz=0,82 (допускается округлять до 1,0)
Прямоугольная диметрическая
O 42 25
7 10
90 z
y
x
ky=0,47;
kx=kz=0,94
(допускается округлять ky до 0,5; kx=kz до 1,0)
Аксонометрические проекции 325
Таблица 12.1 (окончание)
Вид проекции Расположение аксонометрических осей
Коэффициенты искажения
Косоугольная фронтальная изометрическая
O 45
90 z
y
x
kx=ky=kz=1,0
Косоугольная горизонтальная изометрическая
O 30
90
90 z
y x
kx=ky=kz=1,0
Косоугольная фронтальная диметрическая
O 45
90 z
y
x
ky=0,5; kx=kz=1,0
При построении аксонометрических проекций следует учитывать некоторые
ее свойства, которые вытекают из свойств параллельного проецирования.
Аксонометрические проекции параллельных прямых взаимно параллель-
ны. Следовательно, если прямая параллельна одной из осей, то ее аксоно-
метрическая проекция тоже параллельна оси.
Искажение равных отрезков параллельных прямых одинаково. Поэтому
предмет целесообразно расположить так, чтобы линии его контура сори-
ентировались параллельно осям.
При изображении симметричных фигур оси координат для упрощения по-
строений лучше совместить с осями симметрии.
Аксонометрическая проекция точки строится по координатам, откладывае-
мым по осям х, у и z. Построение аксонометрического изображения прямой,
Глава 12 326
плоской или пространственной фигуры, кривой линии сводится к построению
проекций принадлежащих этим фигурам точек (концов отрезка, вершин мно-
гоугольников и многогранников и др.), которые затем соединяются линиями.
Аксонометрические проекции точки, прямой и плоскости мы неоднократно
строили в процессе изучения курса (см. рис. 4.12, 4.14, 4.18, 5.19, 6.10 и др.).
При этом пользовались косоугольной фронтальной диметрической проекци-
ей. Изучим более подробно правила построения геометрических фигур в раз-
личных видах аксонометрических проекций.
12.2. Прямоугольные проекции
12.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция
Прямоугольная изометрическая проекция — одна из самых удобных проекций,
т. к. аксонометрические оси х, у и z образуют друг с другом углы в 120 , а коэф-
фициенты искажения по всем трем осям одинаковы и равны 0,82 (см. табл. 12.1).
В целях упрощения изометрическую проекцию выполняют, как правило, без
искажения по осям, используя так называемый приведенный коэффициент
искажения, равный 1. Каждый отрезок, направленный по осям x, y, z или па-
раллельно им, сохраняет свою величину. Получаемое при этом изображение
предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры
(в 1,22 раз), чем в действительности.
Точка
Пусть точка А задана проекциями на эпюре (рис. 12.2, а). Определяем коор-
динаты точки и наносим их на аксонометрические оси без искажения
(рис. 12.2, б). Строим параллелепипед проекций, в вершине которого нахо-
дим аксонометрическую проекцию точки А.
Рис. 12.2. Точка А на эпюре (а) и в прямоугольной изометрической проекции (б)
Аксонометрические проекции 327
Отрезок
Для построения аксонометрической проекции отрезка АВ надо построить
проекции точек А и В, а затем соединить их (рис. 12.3).
Рис. 12.3. Отрезок АВ на эпюре (а) и в прямоугольной изометрической проекции (б)
Плоскость
Чтобы в аксонометрии построить плоскость , заданную следами (рис. 12.4, а),
надо измерить координаты точек схода следов и отложить их без искажения
по аксонометрическим осям (рис. 12.4, б). Затем соединяем точки схода сле-
дов и получаем аксонометрическую проекцию плоскости .
Рис. 12.4. Плоскость общего положения на эпюре (а) и в прямоугольной изометрической проекции (б)
Глава 12 328
Правильный шестиугольник
Рассмотрим построение в горизонтальной плоскости проекций правильного
шестиугольника ABCDEF (таким же образом плоская фигура строится в лю-
бой плоскости, параллельной плоскости 1). Наметим центр шестиугольника
О и через него проведем его оси симметрии параллельно аксонометриче-
ским осям (рис. 12.5). По осям симметрии отложим расстояния a и b. На кон-
цах отрезка а отметим точки В и Е , а на концах отрезка b — точки 1 и 2 .
Рис. 12.5. Прямоугольная изометрическая проекция правильного шестиугольника
Через точки 1 и 2 проведем прямые, параллельные оси х, на них отложим
отрезки, равные стороне шестиугольника, и отмечаем вершины А , С , D
и F . Соединяем построенные точки: фигура А В С D Е F является изо-
бражением заданного шестиугольника в изометрической прямоугольной
проекции.
Аналогично строятся проекции шестиугольника, расположенного в плоско-
стях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций.
Окружность
Изометрическими проекциями окружностей, расположенных в плоскостях,
параллельных плоскостям проекций, являются эллипсы с одинаковыми соот-
ношениями осей (рис. 12.6). Большие оси эллипсов перпендикулярны аксо-
нометрической оси, отсутствующей в данной плоскости (например, если
строится эллипс в горизонтальной плоскости проекций, его большая ось пер-
пендикулярна оси z и т. п.).
Аксонометрические проекции 329
Рис. 12.6. Прямоугольная изометрическая проекция окружности
Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, y и z,
то большие оси эллипсов равны 1,22 диаметра окружности, а малые —
0,71 диаметра.
Если изометрическую проекцию выполняют с искажением, то большие оси
эллипсов равны диаметру окружности, а малые оси — 0,58 диаметра окруж-
ности. О правилах и методах построения эллипсов по заданным размерам
осей см. в разд. 11.4.3.
Пример 44. Построить прямоугольную изометрическую проекцию эл-
липса, образуемого при рассечении цилиндра фронтально-проецирующей
плоскостью (рис. 12.7).
Рис. 12.7. Исходные проекции для построения проекции эллипса
Глава 12 330
Рис. 12.8. Построение эллипса в прямоугольной изометрической проекции
1. В первую очередь на эпюре отметим проекции вершины эллипса A и A
и его центра O и O . Измерим координаты этих точек (рис. 12.8).
2. Нанесем аксонометрические оси и найдем положение характерных то-
чек А0 и О0.
3. Активизируем команду Эллипс. Щелчком мыши в точке О0 укажем центр
эллипса, а в точке А0 отметим длину и положение его первой (большой)
оси. В поле Длина 2 на панели свойств введем значение второй (малой)
полуоси — 20 и нажмем клавишу <Enter>.
12.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция
В прямоугольной диметрической проекции ось z расположена вертикально,
а оси х и у образуют с горизонтальной линией углы соответственно 7 10
и 41 25 (см. табл. 12.1). Приближенно аксонометрические оси можно по-
строить методом прямоугольного треугольника, нанеся катеты с размерами
в соотношении 1:8 для оси х и в соотношении 7:8 для оси у (рис. 12.9).
Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям имеют значения:
ky=0,47; kx=kz=0,94. На практике пользуются приведенными коэффициента-
ми искажения: ky=0,5; kx=kz=1,0. Изображение при этом получается увели-
ченным в 1,06 раза.
Аксонометрические проекции 331
Рис. 12.9. Приближенное нанесение осей в прямоугольной диметрической проекции
Окружности, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проек-
ций, проецируются в виде эллипсов (рис. 12.10). Большие оси эллипсов, как
и в изометрической проекции, перпендикулярны оси, отсутствующей в плос-
кости эллипса.
Рис. 12.10. Окружность в прямоугольной диметрической проекции
Если проекцию выполняют без искажения, то большая ось эллипсов равна
1,06 диаметра окружности. Малая ось эллипса, лежащего в плоскости 2,
равна 0,95 диаметра, а в плоскостях 1 и 3 — 0,35 диаметра окружности.
Если диметрическую проекцию выполняют с искажением, то большая ось
эллипсов равна диаметру окружности. Малая ось эллипса, лежащего в плос-
кости 2, равна 0,9 диаметра, а эллипсов, лежащих в плоскостях 1 и 3, —
0,33 диаметра окружности.
Глава 12 332
Пример 45. Построить прямоугольную диметрическую проекцию эллип-
са, образуемого при рассечении конуса фронтально-проецирующей
плоскостью (рис. 12.11).
1. На эпюре наметим положение проекций вершин эллипса А , А и В , В
(рис. 12.12). В середине отрезка А В найдем фронтальную проекцию
центра эллипса О , и по ней — горизонтальную проекцию О .
Рис. 12.11. Исходные
проекции для построения
проекции эллипса
Рис. 12.12. Построение эллипса
в прямоугольной диметрической проекции
2. Определим истинную величину малой оси эллипса (отрезок 1 2 ), проведя
вспомогательную горизонтальную плоскость .
3. Нанесем аксонометрические оси и найдем положение характерных то-
чек А0 и О0.
4. Вызовем команду Эллипс. Щелчком мыши в точке О0 укажем центр эл-
липса, а в точке А0 отметим длину и положение его первой (большой) оси.
В поле Длина 2 на панели свойств введем значение второй (малой) полу-
оси — 14,4*0,35 (поля панели свойств могут работать как калькулятор)
и нажмем клавишу <Enter>.
Аксонометрические проекции 333
12.3. Косоугольные проекции
12.3.1. Косоугольная фронтальная
изометрическая проекция
В косоугольной фронтальной изометрической проекции ось z направлена
вертикально вверх, ось х расположена горизонтально, положительным на-
правлением налево, а ось у — под углом 45 к горизонтали, и ее положи-
тельный луч направлен к наблюдателю (см. табл. 12.1). Допускается приме-
нять проекции с углом наклона оси у в 30 и 60 . Изображения строят без
искажения по осям х, у и z.
Рис. 12.13. Окружность в косоугольной фронтальной изометрической проекции
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости
проекций, проецируются в натуральную величину в виде окружности
(рис. 12.13). Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонталь-
ной и профильной плоскостям проекций, проецируются в эллипсы. Большая
ось эллипсов расположена под углом 22 30 к осям и равна 1,33 диаметра
окружности. Малая ось искажается с коэффициентом 0,54 от диаметра ок-
ружности.
Объекты в косоугольной фронтальной изометрической проекции целесооб-
разно располагать так, чтобы сложные плоские фигуры, окружности, дуги
кривых находились в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости
проекций. Тогда их построение упрощается, т. к. они изображаются без
искажения.
Глава 12 334
Пример 46. Построить косоугольную фронтальную изометрическую
проекцию гиперболы, образуемой при рассечении конуса фронтальной
плоскостью (рис. 12.14).
1. О построении гиперболы на эпюре мы подробно говорили в разд. 11.4.3.
Обозначим граничные точки 1, 2, 3 и 4 и найдем расстояния по осям x и y
от центра конуса до точки 1 (рис. 12.15).
2. Нанесем аксонометрические оси и по координатам найдем положение
точки 10.
3. Гипербола расположена в плоскости, параллельной плоскости 2, следова-
тельно, в аксонометрической проекции она получится без искажения. Вы-
делим обе ветви гиперболы и активизируем команду Копирование на
странице Редактирование. Укажем базовую точку — точку 1 и зададим
положение копии в точке 10. После фиксации нового положения базовой
точки система скопирует выделенные элементы в заданное место.
Рис. 12.14. Исходные проекции для построения
гиперболы
Рис. 12.15. Построение гиперболы в косоугольной фронтальной изометрической проекции
12.3.2. Косоугольная горизонтальная
изометрическая проекция
Положение аксонометрических осей в косоугольной горизонтальной изомет-
рической проекции приведено в табл. 12.1. Допускается применять проекции
с углом наклона оси у в 45 и 60 , сохраняя угол между осями х и у рав-
ным 90 . Изображения выполняются без искажения по осям x, y и z.
Аксонометрические проекции 335
Рис. 12.16. Окружность в косоугольной горизонтальной изометрической проекции
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоско-
сти проекций, проецируются без искажения, а окружности, лежащие в плос-
костях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций, —
в эллипсы (рис. 12.16).
Большая ось эллипса, лежащего в плоскости 2, наклонена под углом 15
к оси z, и равна 1,37 диаметра окружности, а его малая ось — 0,37 диаметра
окружности.
Большая ось эллипса, лежащего в плоскости 3, наклонена под углом 30
к оси z и равна 1,22 диаметра окружности. Малая ось этого эллипса равна 0,71
диаметра окружности.
12.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция
В косоугольной фронтальной диметрической проекции ось z направлена вер-
тикально вверх, ось х расположена горизонтально, а ось у — под углом 45
к горизонтали (см. табл. 12.1). Допускается угол наклона оси y под углом 30
и 60 . Коэффициенты искажения по осям х и z равны 1, а по оси у — 0,5.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости
проекций, проецируются в окружности без искажения, а окружности, лежа-
щие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям
проекций, — в эллипсы (рис. 12.17).
Большие оси эллипсов наклонены под углом 7 к осям и равны 1,07 диамет-
ра окружности. Малые оси эллипсов равны 0,33 диаметра окружности.
Глава 12 336
Рис. 12.17. Окружность в косоугольной фронтальной диметрической проекции
Пример 47. Построить косоугольную фронтальную диметрическую про-
екцию параболы, образуемой при рассечении конуса фронтально-
проецирующей плоскостью (рис. 12.18).
1. Построим горизонтальную проекцию параболы. Построение проекций
граничных точек 1 и 2, лежащих в горизонтальной плоскости проекций, и
точки 3, образуемой в пересечении фронтального следа секущей плоско-
сти с очерком конуса, очевидны из чертежа (рис. 12.19).
Рис. 12.18. Исходные проекции для построения параболы
Рис. 12.19. Построение параболы в косоугольной фронтальной диметрической проекции
Аксонометрические проекции 337
2. Для получения проекций промежуточных точек рассекаем конус вспомо-
гательными горизонтальными плоскостями 1, 2 и 3. В сечении конуса
они образуют ряд окружностей, радиусы которых измеряем на фронталь-
ной проекции. В пересечении линий связи, опущенных из фронтальных
проекций точек 4 , 5 , ..., и соответствующих окружностей получаем точ-
ки 4 , 5 , ..., лежащие на горизонтальной проекции параболы.
3. Наносим на чертеж аксонометрические оси и строим последовательно
точки 10, 20, 30, ..., предварительно измерив на фронтальной и горизон-
тальной проекциях координаты х, у и z для каждой точки.
4. Соединяем построенные точки плавной кривой линией при помощи
команды Кривая Безье.
Глава 13
Введение в трехмерное моделирование
13.1. Создание нового документа типа
Деталь и основные элементы интерфейса
Современные 3D-системы располагают весьма эффективными средствами
моделирования. Они позволяют создавать трехмерные модели самых слож-
ных объектов. В общем, можно выделить следующие преимущества трех-
мерного моделирования:
трехмерные модели отличаются лучшей наглядностью;
процесс проектирования значительно ускоряется, т. к. нет необходимости
вручную вычерчивать ортогональные и аксонометрические проекции
предмета — система сама в полуавтоматическом режиме выполнит эти
изображения;
объемные модели и плоские чертежи ассоциированы между собой. Это
означает, что любое изменение, внесенное в модель, будет отображено на
всех изображениях плоского чертежа;
по трехмерной модели система легко определяет ее физические характе-
ристики: площадь поверхности, объем, координаты центра тяжести и т. д.
В системе КОМПАС-3D трехмерную модель называют просто Деталью.
Так же как и файл типа Чертеж, создать Деталь можно двумя способами.
Первый способ — нажмите кнопку Создать или вызовите команду
Файл | Создать. После этого на экране появится диалоговое окно созда-
ния нового документа (см. рис. 2.6). Выделите значок Деталь и нажмите
кнопку OK.
Второй способ — на стандартной панели раскройте список кнопки Соз-
дать и выберите тип Деталь (см. рис. 2.7).
Глава 13 340
После этого на экран будет выведено окно для трехмерного моделирования
(рис. 13.1). Интерфейс при работе с Деталью практически не отличается от
интерфейса модуля КОМПАС-График.
Заголовок программного окна в самой верхней части экрана, главное меню
и стандартная панель остались практически без изменений. Содержание па-
нели Вид несколько изменилось (рис. 13.2).
Рис. 13.1. Элементы интерфейса в режиме создания Детали
Рис. 13.2. Панель Вид в режиме создания Детали
Введение в трехмерное моделирование 341
Здесь добавились кнопки Ориентация и Повернуть, а также целый набор
кнопок управления отображением модели.
После нажатия на треугольник кнопки Ориентация на экране появится окно,
в котором можно задать текущую ориентацию модели (рис. 13.3). При смене
ориентации изображение модели плавно изменяется на экране.
Кнопка Повернуть позволяет вращать деталь на экране монитора (рис. 13.4).
Самый простой режим — вращение вокруг геометрического центра — вклю-
чается сразу после нажатия на эту кнопку. Аналог этой команды при работе
мышью с колесом — вращение при нажатой средней кнопке манипулятора.
После вызова команды изменится внешний вид курсора (он превратится
в две дугообразные стрелки, как показано в верхней строке табл. 13.1).
Рис. 13.3. Раскрывающийся список кнопки Ориентация на панели Вид
Рис. 13.4. Команда Повернуть на панели Вид
Таблица 13.1. Вид курсора при вращении модели в окне документа
Вид курсора Описание
Вокруг геометрического центра
Вокруг точки (вершины детали, центра сферы)
Вокруг оси или прямолинейного ребра
Вокруг оси, перпендикулярной плоскости
Глава 13 342
Переместите курсор в окно детали и, не отпуская левой кнопки мыши, пере-
мещайте курсор — модель будет вращаться. Направление вращения зависит
от направления перемещения курсора.
Кнопка Повернуть дает возможность вращения детали также вокруг выбран-
ной точки модели, вокруг оси или ребра, а также вокруг оси, перпендикуляр-
ной указанной плоскости. Для этого подведите курсор к нужному элементу
в окне модели и щелкните на нем левой кнопкой мыши. Курсор примет один
из видов, представленных в табл. 13.1. Теперь подхватите левой кнопкой
мыши модель и поворачивайте ее. Для выхода из команды нажмите кнопку
Прервать команду на панели свойств или клавишу <Esc>.
Если модель необходимо повернуть в плоскости экрана, то нужно переме-
щать курсор с нажатой левой кнопкой мыши, одновременно удерживая кла-
вишу <Alt>.
Кнопки управления отображением модели позволяют получить изображение
детали в следующих режимах:
Каркас (рис. 13.5, а) — совокупность всех линий контура модели;
Без невидимых линий (рис. 13.5, б);
Рис. 13.5. Режимы отображения модели на экране
а б в
г д
Введение в трехмерное моделирование 343
Невидимые линии тонкие (рис. 13.5, в);
Полутоновое изображение (рис. 13.5, г) — проекция модели с учетом
оптических свойств ее поверхности;
Полутоновое с каркасом (рис. 13.5, д) позволяет добавить к полутоново-
му изображению модели видимые линии контура (установлен по умолча-
нию для всех новых моделей);
Перспектива — изображение модели в любом из перечисленных режи-
мов, полученное при помощи метода центрального проецирования;
Упрощенное отображение позволяет ускорить формирование изображе-
ния модели на экране (при изменении ориентации компоненты модели за-
меняются параллелепипедами, а отрисовка вспомогательных объектов
временно отключается).
На панели текущего состояния появилась новая кнопка — Эскиз (рис. 13.6),
переводящая систему в режим создания эскиза — плоской фигуры, на основе
которой образуется объемный элемент. Этот режим очень похож на режим
работы в КОМПАС-График. В нем доступны все команды построения гео-
метрических примитивов, команды редактирования, измерения и т. д.
Рис. 13.6. Кнопка Эскиз на панели текущего состояния
Важнейшим элементом интерфейса КОМПАС-3D является отдельное окно
Дерево модели, которое появляется автоматически в левой части окна до-
кумента. Дерево модели представляет собой список элементов детали и служит
как для определения последовательности построения и взаимосвязей эле-
ментов деталей, так и для облегчения их выбора и редактирования.
В верхней части окна Дерево модели находится панель управления, состоя-
щая из четырех кнопок (рис. 13.7):
Отображение структуры модели — последовательно включает один из
двух способов представления информации в дереве:
структуру модели (рис. 13.8, а), когда объекты группируются по типам,
образуя разделы, внутри которых они располагаются в порядке их соз-
дания;
Глава 13 344
последовательность построения модели (рис. 13.8, б), когда объекты
модели группируются не по разделам, а показываются просто в поряд-
ке создания;
Рис. 13.7. Панель управления дерева модели
Рис. 13.8. Дерево модели в режиме структуры (а) и последовательности построения (б)
Состав Дерева модели — позволяет выбрать группы объектов, которые
следует отображать в дереве модели (кнопка активна только в режиме ото-
бражения структуры модели);
Отношения — включает в нижней части окна Дерево модели специаль-
ную область, в которой показывается иерархия отношений — порядок
подчинения элементов выделенного объекта другим элементам;
Дополнительное окно Дерева — позволяет создать дополнительное ок-
но, в котором будет отображен раздел, выделенный в дереве перед нажа-
тием этой кнопки.
В режиме последовательности построения модели непосредственно в окне
Дерево модели находятся следующие элементы (рис. 13.9).
Наименование детали — первый элемент дерева модели (в скобках указы-
вается количество тел, из которых состоит модель). Наименование
"Деталь" присваивается по умолчанию. В процессе работы его целесооб-
а б
Введение в трехмерное моделирование 345
разно поменять на реальное название предмета, которое потом автомати-
чески появится на всех ассоциированных с этой моделью документах — в
основной надписи плоского чертежа, спецификации и т. д. Для этого нуж-
но дважды медленно щелкнуть мышью по названию, и оно откроется для
редактирования. После введения нового названия необходимо щелкнуть
мышью вне окна Дерево модели.
Рис. 13.9. Элементы дерева модели в режиме последовательности построения
Далее по умолчанию следует группа элементов Начало координат. На-
жмите на значке "плюс" перед названием группы и раскройте ее состав.
Здесь находятся стандартные плоскости и оси проекций. Эти элементы
однозначно определены для каждого, в том числе и для только что соз-
данного документа. Плоскости и оси проекций невозможно удалить, но
можно переименовать или исключить из расчета.
Ниже в дереве модели перечислены элементы (операции и эскизы), при
помощи которых создавалось трехмерное изображение детали. Название
элементам присваивается автоматически в зависимости от способа, ко-
торым они получены. Например, "Операция вращения", "Эскиз" и т. д.
Слева от названия каждого элемента отображается пиктограмма, соот-
ветствующая этому элементу. При создании модели может быть исполь-
зован целый ряд однотипных элементов. Для того чтобы различать их,
к названию элемента автоматически прибавляется порядковый номер
элемента данного типа.
Глава 13 346
Например, "Операция вращения:1" и "Операция вращения:2"1. Пиктограм-
му, в отличие от названия элемента, изменить невозможно.
Помимо формообразующих операций и их эскизов в дерево модели вклю-
чается вспомогательная геометрия, созданная пользователем: точки, оси и
плоскости.
Указатель окончания построения модели — горизонтальная линия, огра-
ничивающая дерево модели снизу или разбивающая его на две части.
Элементы, расположенные в дереве модели ниже указателя, являются ис-
ключенными из расчета. Таким образом, перемещая указатель, можно
временно удалить из модели последние элементы. Чтобы переместить
указатель, подхватите его левой кнопкой мыши и двигайте вверх или вниз.
Пиктограммы исключенных элементов помечаются "замкóм".
Элементы и операции можно перемещать вверх и вниз по дереву модели,
подхватив их левой кнопкой мыши, изменяя тем самым порядок построения
модели. Если перемещение выполнено корректно, то пиктограмма в дереве
модели отметится красным флажком. Это означает, что новое положение
элемента отражено только на экране и не передано в файл. В таком случае
щелкните в панели Вид на кнопке Перестроить.
Дерево модели служит не только для представления последовательности по-
строения модели, но и для выделения и указания объектов при выполнении
команд.
В центре окна документа появляется условное изображение системы коорди-
нат и проекционных плоскостей (рис. 13.10). Плоскости показываются на
экране условно — в виде прямоугольников, лежащих в этих плоскостях. Раз-
мер и положение этих прямоугольников могут быть изменены: выделите
плоскость щелчком мыши и перетащите ее характерные точки.
В левом нижнем углу окна модели имеется специальный символ системы ко-
ординат, не связанный с началом координат модели. Он вращается вместе с
моделью, позволяя в любой момент определить ее положение в пространстве,
даже если отображение начала координат на модели выключено. Сам символ
отключить нельзя.
В левой части окна документа находится Компактная панель, состоящая
из панели переключения и инструментальной панели (рис. 13.11). При нажа-
1 В сложной модели, содержащей большое количество элементов, названия операций
в дереве модели целесообразно переименовать. Это облегчит поиск и выбор необхо-
димой операции при редактировании модели. Названия операций должны быть одно-
значными, например, "Основание", "Пирамида", "Отверстие" и т. д.
Введение в трехмерное моделирование 347
тии одной из кнопок на панели переключения открывается соответствую-
щая ей инструментальная панель. Некоторые кнопки на инструментальной
панели могут быть затенены. Это означает, что данные команды временно
невыполнимы.
Рис. 13.10. Условное изображение плоскостей проекций и начала координат
Рис. 13.11. Компактная панель в режиме создания Детали
Панель переключения состоит из следующих кнопок:
Редактирование детали — для доступа к командам, с помощью которых
выполняются собственно трехмерные построения;
Глава 13 348
Пространственные кривые — для работы с командами по созданию ци-
линдрических и конических спиралей, пространственных ломаных и кри-
вых линий;
Поверхности — для построения многогранных и кривых поверхностей;
Вспомогательная геометрия — для введения вспомогательных осей,
плоскостей и линий разъема (эти линии необходимы для разбиения грани
на несколько граней);
Измерения (3D) — для подсчета длин ребер, площадей граней, вычисле-
ния массо-центровочных характеристик (МЦХ) модели;
Фильтры — для выделения только однотипных элементов модели: гра-
ней, ребер, вершин и т. д.;
Спецификация — для работы со спецификацией;
Элементы оформления — для создания обозначения резьбы, для проста-
новки размеров и создания условных обозначений;
Элементы листового тела — для создания листового тела и работы
с ним (сгиба, выреза, выполнения развертки и т. д.).
13.2. Настройка параметров текущей детали
Любая модель в системе КОМПАС-3D обладает набором определенных свойств,
которые задаются по умолчанию, но могут быть изменены. После вызова коман-
ды Сервис | Параметры на экране появляется диалоговое окно Параметры,
в котором можно настроить различные характеристики текущей детали.
На вкладке Текущая деталь откройте раздел Точность отрисовки и МЦХ
(рис. 13.12). Для удобства работы следует установить максимальную степень
точности аппроксимации кривых линий и криволинейных поверхностей мо-
дели. Для этого убедитесь, что бегунок Точность отрисовки установлен
в положении Точно. Чем выше точность, тем более сглаженным выглядит
изображение. Нажмите кнопку OK.
Обозначение, название, цвет и другие свойства модели можно установить
или изменить на панели свойств. Для того чтобы вызвать эту панель, щелк-
ните правой кнопкой мыши на пустом месте окна документа и из появивше-
гося контекстного меню выберите команду Свойства детали (рис. 13.13).
После этого в нижней части экрана появится панель свойств, на вкладке
Свойства которой можно задать параметры модели (рис. 13.14).
Первая команда Выбор из справочника позволяет выбрать из внешнего
справочника обозначение, наименование и цвет детали. Справочник дол-
жен быть подключен к системе КОМПАС-3D.
Введение в трехмерное моделирование 349
Рис. 13.12. Команды настройки точности отрисовки и расчета МЦХ в диалоговом окне Параметры
Рис. 13.13. Контекстное меню окна документа Деталь
Рис. 13.14. Панель свойств и вкладка Свойства детали
В противном случае заполните поля Обозначение и Наименование
"вручную" (если вы изменили название детали в дереве модели, то поле
Наименование уже будет заполнено). Эти данные будут переданы в соот-
ветствующие графы основной надписи чертежа при создании в нем ассо-
циативных видов модели.
Глава 13 350
В поле Цвет установите необходимую раскраску поверхности модели.
Для подбора дополнительных оттенков цветов в раскрывающемся списке
Цвет щелкните кнопку Другие цвета... и в появившемся диалоговом окне
Цвет выберите нужный.
В раскрывающейся кнопке Оптические свойства выберите параметры
цветонасыщения, диффузии, зеркальности, блеска, прозрачности и излу-
чения. Чтобы изменить параметр, переместите на нужное расстояние
соответствующий бегунок. Численное значение параметра будет отобра-
жаться в справочном поле. В окне просмотра отображается сфера с задан-
ными свойствами поверхности — это позволит визуально оценить внесен-
ные изменения.
На вкладке Параметры МЦХ можно задать способ определения массо-
центровочных характеристик и материал модели.
13.3. Стратегия трехмерного моделирования
13.3.1. Порядок моделирования и первый формообразующий элемент
После создания документа типа Деталь дальнейшее моделирование прово-
дится в следующем порядке:
1. Создается первый формообразующий элемент тела модели. Под телом
в системе КОМПАС-3D подразумевается любая часть пространства, огра-
ниченная замкнутой поверхностью и заполненная однородным материа-
лом. Тело может состоять из нескольких формообразующих элементов.
2. Моделируется, если это необходимо, еще одно тело детали. Общее коли-
чество тел отображается в дереве модели — в скобках после названия детали.
3. Выполняются необходимые булевы операции2 (операции объединения или
вычитания), которые заключаются в "приклеивании" или "вырезании" до-
полнительных элементов. Примером вычитания объема может быть соз-
дание различных отверстий, проточек, канавок, а примером добавления
объема — создание бобышек, выступов, ребер жесткости.
В каждом конкретном случае надо попытаться найти кратчайший и легкий
путь достижения поставленной цели. На первых шагах моделирования всегда
встает вопрос о том, какой элемент использовать в качестве первого формо-
2 Названы по имени Джорджа Буля (1815–1864), английского математика, заложив-
шего основы математической логики.
Введение в трехмерное моделирование 351
образующего элемента модели. Для ответа на него нужно в первом прибли-
жении представить конструкцию будущей детали, мысленно исключить из
этой конструкции мелкие конструктивные элементы и разбить деталь на со-
ставляющие ее формообразующие элементы (параллелепипеды, призмы, ци-
линдры, конусы, торы и т. д.). Чаще всего в качестве первого формообразую-
щего элемента модели используют самый крупный из этих элементов.
Если в составе детали есть несколько сопоставимых по размерам элементов,
в качестве первого формообразующего элемента модели можно выбрать тот
из них, к которому потребуется добавлять или вырезать наибольшее количе-
ство дополнительных элементов.
Вообще говоря, дать универсальные рекомендации по выбору первого фор-
мообразующего элемента модели невозможно. Любой конструктор выраба-
тывает представления об удобном ему порядке моделирования после того,
как он сам создал хотя бы несколько моделей.
Первый формообразующий элемент можно создать при помощи одной из
четырех операций:
операция выдавливания;
операция вращения;
кинематическая операция;
операция по сечениям.
Каждая операция имеет дополнительные опции, позволяющие варьировать
правила построения модели.
Для вызова нужной операции убедитесь, что на Панели переключения
включена кнопка Редактирование детали. Тогда на инструментальной па-
нели становится возможным раскрыть панель расширенных команд Опера-
ции. Переместите курсор с нажатой левой кнопкой мыши на необходимую
операцию (ярлычок подсказывает, какая операция будет активирована) и от-
пустите кнопку (рис. 13.15). Если кнопка в данный момент погашена, то это
означает, что не хватает данных для работы с этой операцией (не выделен
эскиз, не соблюдены условия, предъявляемые к эскизу, и т. д.).
Все размеры при определении свойств операции (расстояния, углы и пр.)
следует задавать в натуральную величину, т. к. модель целесообразно созда-
вать такую, как она есть на самом деле, регулируя размер ее изображения на
экране при помощи команд на панели Вид.
Обратите внимание, что в системе КОМПАС-3D используется правая декартова
система координат, в которой расположение осей и плоскостей проекций отлич-
но от системы координат, принятой в начертательной геометрии (рис. 13.16).
Глава 13 352
Рис. 13.15. Расширенная панель команд формообразующих операций
Рис. 13.16. Прямоугольная система координат в системе КОМПАС-3D
По умолчанию в новом документе предлагается система прямоугольных ко-
ординат вида Изометрия YZX: ось Z направлена вверх, а оси X и Y3 под уг-
лом 120 (рис. 13.17, а). Следует иметь в виду, что выбор аксонометрической
проекции и плоскости для построения эскиза первого формообразующего
элемента не влияет на дальнейший порядок построения и ее свойства, однако
от него зависит положение видов при создании ассоциированных чертежей
3 В системе КОМПАС-3D оси обозначаются прописными буквами: X, Y и Z.
Введение в трехмерное моделирование 353
детали. Поэтому перед началом работы рекомендуется на панели Вид из рас-
крывающегося списка Ориентация выбрать более привычную для проекти-
рования изометрию XYZ (рис. 13.17, б).
Использование такой аксонометрической проекции поможет вам в дальней-
шем для выбора основных видов при выполнении ассоциативного чертежа
модели. Проекция детали на виде спереди будет располагаться во фронталь-
ной плоскости.
а б
Рис. 13.17. Различные прямоугольные изометрические отображения детали
Рис. 13.18. Установка по умолчанию ориентации Изометрия XYZ при создании операций
Глава 13 354
Для дальнейшего упрощения восприятия моделирования в диалоговом окне
настройки ориентации модели (Сервис | Параметры | Система | Редактор
моделей | Изменение ориентации) включите флажок При создании опера-
ции, разверните список ориентаций и выберите вариант Изометрия XYZ
(рис. 13.18). Теперь указанная ориентация будет автоматически устанавли-
ваться при создании нового формообразующего элемента, листового тела или
новой поверхности.
Убедитесь, что в этом окне стоит флажок При редактировании эскиза. Тогда
включается опция автоматической установки ориентации Нормально к..., при
которой выделенная грань или плоскость становится параллельной плоско-
сти экрана. Это будет удобно для построения эскизов (если плоскость эскиза
перпендикулярна плоскости экрана, построение совершенно невозможно).
13.3.2. Эскизы и общие требования к ним
Формообразующий элемент модели создается путем перемещения в про-
странстве плоской фигуры — эскиза. След от перемещения эскиза определя-
ет форму элемента. Как правило, эскиз — это сечение будущего объемного
элемента.
Таким образом, построение формообразующего элемента модели складыва-
ется в свою очередь из двух этапов: создания эскиза и назначения операции.
Последовательность создания эскиза следующая:
1. Выделите плоскость, в которой вы планируете создать эскиз. Это может
быть стандартная плоскость проекций, что рекомендуется при формиро-
вании первой операции, или дополнительная плоскость проекций.
2. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние.
3. В дереве модели появится пиктограмма нового эскиза, отмеченная
"замкóм", а кнопка Эскиз останется нажатой. Эскиз создается средствами
обычной двумерной графики. В нем доступны все команды построения
и редактирования графических объектов, выделения, измерений, проста-
новки размеров. Режим вычерчивания эскиза похож на режим создания
"плоских" чертежей при помощи модуля КОМПАС-График. Если вы вы-
полнили хотя бы несколько "плоских" чертежей, вам будет легко и просто
построить эскиз.
4. Когда создание эскиза будет закончено, необходимо вернуться в режим
трехмерных построений. Отожмите кнопку Эскиз на панели Текущее со-
стояние. В дереве модели появится пиктограмма нового эскиза (она будет
выделена), и сам эскиз будет подсвечен зеленым цветом в окне модели.
Введение в трехмерное моделирование 355
Эскиз следует выполнять в натуральную величину, поскольку затем, при соз-
дании ассоциированных чертежей, размеры модели будут восприниматься
системой как истинные.
Существуют два основных требования к эскизу:
контур эскиза должен отображаться стилем линии Основная;
линии контура в эскизе не должны пересекаться или накладываться.
Кроме того, существуют дополнительные требования к эскизам, предназна-
ченным для выполнения конкретных операций.
13.3.3. Формообразующие операции
Операция выдавливания
При помощи операции выдавливания можно создать тело модели, образуе-
мое перемещением эскиза перпендикулярно его плоскости (рис. 13.19). Пе-
ред вызовом команды выделите один эскиз. Затем активизируйте команду
Операция выдавливания на странице Редактирование детали, на панели
свойств установите необходимые параметры операции (направление, глуби-
ну, уклон и т. д.) Чтобы подтвердить выполнение операции, нажмите кнопку
Создать объект на панели специального управления.
К эскизу операции выдавливания предъявляются следующие дополнитель-
ные требования:
в эскизе может быть один или несколько контуров;
Рис. 13.19. Операция выдавливания
Глава 13 356
если контур один, то он может быть замкнутым или разомкнутым (если
контур в эскизе сечения разомкнут, может быть построен только тонко-
стенный элемент);
если контуров несколько, один из них должен быть наружным, а другие —
вложенными в него. Все они должны быть замкнуты, при этом внешний
контур образует форму элемента выдавливания, а внутренние контуры —
отверстия. Допускается один уровень вложенности контуров.
Операция вращения
Различные тела вращения создаются при помощи операции вращения
(рис. 13.20). Выделите эскиз и активизируйте команду Операция вращения
на странице Редактирование детали. На панели свойств установите способ
построения тела, направление вращения, угол и другие параметры. Для под-
тверждения выполнения команды нажмите кнопку Создать объект.
Рис. 13.20. Операция вращения
Помимо двух основных требований, сформулированных выше, к эскизу опе-
рации вращения предъявляются следующие дополнительные требования:
в эскизе должна находиться одна ось вращения, изображенная в виде от-
резка любой длины со стилем линии Осевая;
в эскизе может быть один или несколько контуров;
если контур один, то он может быть разомкнутым или замкнутым;
если контуров несколько, все они должны быть замкнуты. Один из них
должен быть наружным, а другие — вложенными в него, при этом внеш-
Введение в трехмерное моделирование 357
ний контур образует форму элемента вращения, а внутренние контуры —
отверстия. Допускается один уровень вложенности контуров;
ни один из контуров не должен пересекать ось вращения.
Кинематическая операция
Кинематическая операция позволяет создать основание модели, форма кото-
рой образуется за счет перемещения плоской фигуры вдоль направляющей
(рис. 13.21). Здесь используются как минимум два эскиза: в одном из них
изображено сечение кинематического элемента, в остальных — траектория
движения сечения. Эскиз плоской фигуры называют эскизом-сечением, эскиз
направляющей — эскизом-траекторией.
Рис. 13.21. Кинематическая операция
Вызовите команду Кинематическая операция и укажите в дереве модели или
в окне документа сечение кинематического элемента и его траекторию (если
пред вызовом команды был выделен эскиз, то система сама определит его как
сечение или траекторию). Если траектория состоит из нескольких последова-
тельно соединенных кривых, их нужно указывать в порядке соединения.
Помимо общих требований к эскизу-сечению предъявляются следующие до-
полнительные требования:
в эскизе-сечении может быть только один контур;
контур может быть разомкнутым или замкнутым (если контур сечения не
замкнут, то может быть построен только тонкостенный элемент).
Глава 13 358
Для эскиза-траектории также существуют дополнительные требования:
эскиз-траектория может состоять из одного или нескольких эскизов.
В качестве траектории может использоваться любая пространственная или
плоская кривая, например, ребро, спираль, сплайн;
контур может быть разомкнутым или замкнутым;
если контур разомкнут, его начало должно лежать в плоскости эскиза-
сечения;
если контур замкнут, он должен пересекать плоскость эскиза-сечения;
контуры, состоящие из нескольких эскизов, должны соединяться друг
с другом последовательно (конечная точка одного эскиза должна быть на-
чальной точкой другого эскиза).
Операция по сечениям
С помощью операции по сечениям можно создавать модель, контур которой
образуется плавным переходом от одного сечения к другому (рис. 13.22).
При необходимости следует указать направляющую, задающую направление
построения.
Рис. 13.22. Операция по сечениям
Вызовите команду Операция по сечениям. Чтобы задать сечения элемента,
активизируйте переключатель Сечения и укажите нужные эскизы. Перечень
эскизов в порядке их указания появляется в перечне Список сечений. В этом
же порядке сечения будут соединены при построении элемента. Для изменения
Введение в трехмерное моделирование 359
порядка следования сечений или удаления каких-либо из них, воспользуйтесь
кнопками над списком. В заключении нажмите кнопку Создать объект.
Требования к эскизам-сечениям, используемым для операции по сечениям,
следующие:
эскизы могут быть расположены в произвольно ориентированных плоско-
стях;
эскиз начального и конечного сечения может содержать контур или точку;
эскиз промежуточного сечения может содержать только контур;
контур в эскизе может быть только один;
контуры в эскизах должны быть или все замкнуты, или все разомкнуты.
Требования к эскизу-направляющей следующие:
в эскизе может быть только один контур;
контур может быть разомкнутым или замкнутым;
контур должен пересекать плоскости всех эскизов;
эскиз должен лежать в плоскости, не параллельной плоскостям эскизов-
сечений.
13.3.4. Булевы операции
Итак, вы создали первый формообразующий элемент — отдельное тело дета-
ли. После этого можно смоделировать еще одно тело, не связанное с первым,
или выполнять так называемые булевы операции, т. е. приклеивать к телу
или вычитать из него другие "объемы" и добавлять различные конструктив-
ные элементы — фаски, скругления, ребра жесткости и т. д. Соответствую-
щие команды находятся на инструментальной панели Редактирование
детали (рис. 13.23).
Определите ориентировочный порядок, в котором нужно создавать после-
дующие элементы. При этом используйте симметрию и создавайте массивы
там, где это возможно.
Так же, как и при формировании первого формообразующего элемента, по-
следующие операции добавления или вычитания элементов могут быть че-
тырех типов:
элементы выдавливания;
элементы вращения;
кинематические элементы;
элементы по сечениям.
Глава 13 360
Рис. 13.23. Инструментальная панель Редактирование детали
Рис. 13.24. Расширенная панель команд вырезания элементов
Команды добавления элементов объединены с командами создания отдель-
ных тел и находятся на панели расширенных команд формообразующих опе-
раций (см. рис. 13.15).
Команды вычитания элементов сгруппированы по типу "Вырезать...", и для
вызова этих команд надо нажать соответствующую кнопку на инструмен-
тальной панели (рис. 13.24).
Основные правила построения этих элементов аналогичны правилам по-
строения первого формообразующего элемента соответствующего типа. При
вырезании или приклеивании элементов доступно несколько больше воз-
можностей, чем при построении первого элемента. Дополнительные опции
Введение в трехмерное моделирование 361
позволяют упростить задание параметров элементов, а также связать их друг
с другом. Например, при создании сквозного отверстия можно не рассчиты-
вать его длину, а указать, что оно должно быть построено через всю деталь,
а при создании выступа указать, что он должен быть построен до определен-
ной поверхности.
Эскиз добавляемого к детали или вычитаемого из детали формообразующего
элемента может быть расположен не только в проекционной или вспомога-
тельной плоскости, но и на плоской грани самой детали.
13.4. Редактирование эскиза и операции
В системе КОМПАС-3D в любой момент возможно изменение уже созданно-
го эскиза или операции. После задания новых значений параметров модель
автоматически перестраивается. При этом не требуется заново задавать по-
следовательность построения элементов и их параметры. Вся эта информа-
ция хранится в модели и не разрушается при редактировании отдельных ее
частей.
Чтобы перейти в режим редактирования эскиза, в дереве модели выделите
операцию, в которой задействован этот эскиз, вызовите правой кнопкой мыши
контекстное меню и выберите команду Редактировать эскиз (рис. 13.25, а).
В режим редактирования эскиза можно выйти, выделив в дереве модели соб-
ственно нужный эскиз и выбрав из контекстного меню (оно вызывается так-
же щелчком правой кнопки мыши) команду Редактировать (рис. 13.25, б).
При этом в окне детали останутся только те элементы, которые находятся в
дереве модели перед редактируемым эскизом. Иначе говоря, модель времен-
но вернется в то состояние, в котором она была в момент создания редакти-
руемого эскиза.
Внося изменения в эскиз, вы можете удалять графические объекты и выпол-
нять любые построения, соблюдая требования, которые предъявляются к эски-
зам данной операции. После внесения изменений закройте эскиз, нажав кнопку
Эскиз на панели текущего состояния. Формообразующий элемент и созданные
на его основе элементы перестроятся в соответствии с новыми параметрами.
Редактировать можно не только сам эскиз, но и операцию, в которой задей-
ствован этот эскиз. Для перехода в режим редактирования операции выдели-
те ее в дереве модели и, вызвав правой кнопкой мыши контекстное меню,
выберите команду Редактировать (рис. 13.26).
После вызова команды на панели свойств появятся те же элементы управле-
ния, которые использовались при создании этой операции.
Глава 13 362
а б
Рис. 13.25. Вызов команды Редактировать эскиз из контекстного меню операции, в которой задействован этот эскиз (а), и из контекстного меню эскиза (б)
Рис. 13.26. Команда Редактировать из контекстного меню операции
Введение в трехмерное моделирование 363
Например, при редактировании операции выдавливания можно изменить все
без исключения параметры: направление и глубину выдавливания, угол
и направление уклона. Изменения оперативно показываются в окне докумен-
та в виде фантома модели с новыми параметрами.
13.5. Параметризация эскиза
Параметризацией эскиза называется установление определенных связей ме-
жду геометрическими объектами и наложение на эти объекты ограничений.
По умолчанию при создании эскиза включен параметрический режим, по-
этому многие связи и ограничения накладываются автоматически. При ре-
дактировании эскиза объекты перестраиваются так, чтобы соблюдались ус-
тановленные связи и ограничения.
Следует отметить, что любой эскиз можно сделать непараметрическим, раз-
рушив все связи и ограничения (или не формируя их). В режиме Эскиз ко-
манды, накладывающие параметрические ограничения, открываются вклю-
чением кнопки Параметризация на панели переключения (рис. 13.27).
Рис. 13.27. Инструментальная панель Параметризация
Глава 13 364
Эффективность работы в параметрическом режиме во многом зависит от удоб-
ства работы с наложенными на объекты связями и ограничениями. Системой
предусмотрена визуализация ограничений и степеней свобод объектов, которая
позволяет видеть в эскизах все наложенные на объекты ограничения и имею-
щиеся у объектов степени свободы.
Для показа ограничений и степеней свобод в текущем окне служат две коман-
ды на инструментальной панели Параметризация:
Отображать ограничения;
Отображать степени свобод.
По умолчанию отображение ограничений в эскизах включено, а отображение
степеней свобод — выключено.
Технически визуализация реализована в виде специальных значков на гео-
метрических элементах, символизирующих ограничения (табл. 13.2), нало-
женные на объекты, или показывающих степени свободы (табл. 13.3), имею-
щиеся у объектов. Знаки параметрических ограничений отображаются на
экране голубым цветом, а степеней свободы — бордовым.
Таблица 13.2. Типы и символы параметрических ограничений
Ограничение Визуализация Расположение и тип символа
Горизонтальность
Штрих, наложенный на середину отрезка
Вертикальность
Штрих, наложенный на середину отрезка
Выравнивание точек по горизонтали
Штриховой горизонтальный отре-зок, связывающий выровненные точки
Выравнивание точек по вертикали
Штриховой вертикальный отрезок, связывающий выровненные точки
Совпадение точек
Точка в месте совпадения
Точка на кривой,
Точка на середине кривой
Точка в виде перекрестия
Симметрия двух точек
Штриховой отрезок, связывающий симметричные точки, и квадрат в точке его пересечения с осью
Введение в трехмерное моделирование 365
Таблица 13.2 (окончание)
Ограничение Визуализация Расположение и тип символа
Параллельность
Сдвоенные штрихи на серединах отрезков
Перпендикулярность
Знак перпендикулярности в месте пересечения отрезков
Коллинеарность (для отрезков, лежащих на одной прямой)
Штриховая линия над серединами отрезков
Касание
Символ окружности с касательным отрезком в месте касания
Равенство радиусов
Сдвоенное изображение дуги над серединами дуг или над верхними точками окружностей
Равенство длин
Сдвоенные штрихи над середина-ми отрезков
Фиксация размера
Размер, помещенный в рамку
Размер с переменной
Под размером обозначение пере-менной в круглых скобках
Таблица 13.3. Типы и символы степеней свободы
Объект Визуализация Комментарий
Точка
—
Отрезок
Степени свободы каждого
конца отрезка
Окружность
Степени свободы центра
и радиуса
Глава 13 366
Таблица 13.3 (окончание)
Объект Визуализация Комментарий
Дуга окружности
Степени свободы центра, ра-диуса и концов дуги
Эллипс
Степени свободы центра, по-луосей и степень свободы поворота вокруг центра
Дуга эллипса
Степени свободы центра, кон-цов и степень свободы пово-рота вокруг центра
NURBS
Степени свободы концов и опорных точек
Операции над эскизом, созданным в параметрическом режиме, позволя-
ют построить параметрическую модель — устойчивый комплекс объектов,
элементы которого находятся в параметрической связи. Такая модель может
динамично менять свою форму без нарушения связей между элементами.
13.6. Вспомогательная геометрия
и пространственные кривые
Применение вспомогательных конструктивных элементов значительно рас-
ширяет возможности трехмерного моделирования. Инструментальная панель
вспомогательных построений открывается нажатием на кнопку Вспомога-
тельная геометрия на панели переключения (рис. 13.28).
На инструментальной панели находятся четыре кнопки:
панель расширенных команд построения вспомогательных осей;
панель расширенных команд построения вспомогательных плоскостей;
кнопка Линия разъема для разбиения грани детали на несколько граней;
панель расширенных команд построения контрольных и присоединитель-
ных точек.
Введение в трехмерное моделирование 367
Рис. 13.28. Инструментальная панель Вспомогательная геометрия
Часто эскизы требуется размещать не в основных плоскостях проекций,
а в некоторых вспомогательных плоскостях, занимающих определенное по-
ложение по отношению к имеющимся плоскостям проекций или каким-либо
конструктивным элементам модели. На панели расширенных команд по-
строения вспомогательных плоскостей можно задать плоскости 11 видов
(рис. 13.29).
Рис. 13.29. Панель расширенных команд построения вспомогательных плоскостей
Глава 13 368
Созданные при помощи этих команд плоскости отображаются в окне детали
в виде прямоугольников, а в дереве модели — в виде специальной пикто-
граммы. Если перед вызовом команды были выделены какие-либо объекты
(например, плоскость или грань), то они будут восприняты в качестве опор-
ных при создании новой плоскости.
Для создания сложных пространственных форм служат команды инстру-
ментальной панели Пространственные кривые. В системе КОМПАС-3D
возможно построение пространственных кривых следующих типов
(рис. 13.30):
Цилиндрическая спираль;
Коническая спираль;
Ломаная;
Сплайн.
Рис. 13.30. Инструментальная панель Пространственные кривые
На инструментальной панели Пространственные кривые находится также
команда Точка, позволяющая создать точку в пространстве. Расположение
точки может быть задано введением значений координат X, Y и Z на панели
свойств или простым щелчком мыши в окне документа.
Введение в трехмерное моделирование 369
13.7. Выбор объектов
Для выполнения многих команд трехмерного моделирования надо указывать
уже созданные объекты — вершины, ребра, грани, оси и плоскости. Это лег-
ко сделать прямо на изображении модели в окне документа. При прохожде-
нии курсора над объектом, который может быть выбран, этот объект подсве-
чивается, а сам курсор меняет внешний вид (табл. 13.4).
Таблица 13.4. Вид курсора при выборе объектов в окне документа
Вид курсора Выбор объекта
Точка или вершина
Ребро
Ось
Поверхность или грань
Плоскость
Пространственная кривая или эскиз
Условное изображение резьбы
Для выделения объекта убедитесь, что курсор принял соответствующий вид,
и щелкните левой кнопкой мыши. Если цвет объекта изменится, то объект
будет выделен. Цвет выделенного объекта установлен в настройках системы.
Чтобы снять выделение объекта, щелкните левой кнопкой мыши в любом
месте окна документа.
Чтобы выделить в окне документа одновременно несколько объектов, следу-
ет выбирать их, удерживая нажатой клавишу <Ctrl>. Щелчок мыши на моде-
ли с нажатой клавишей <Shift> позволяет выделить всю деталь.
После того как объект выделен, соответствующая ему пиктограмма в дереве
модели поменяет цвет с синего на зеленый. Например, при выделении плос-
кости цвет изменяет пиктограмма этой плоскости, а при выделении ребра —
пиктограмма операции, образовавшей это ребро.
Иногда в "ловушку" курсора попадает сразу несколько объектов (например,
грань и ее ребро), причем подсвечивается не тот объект, который вам необ-
ходимо выделить. Для облегчения выделения объекта, скрытого другими
объектами, можно выбрать тип отображения модели Каркас или Невиди-
мые линии тонкие.
Глава 13 370
Если объект по-прежнему не доступен для выделения, то упростить выбор
нужного объекта позволяют две дополнительные возможности, предусмот-
ренные системой КОМПАС-3D:
последовательно перебирать близко расположенные (в том числе нало-
женные друг на друга) объекты;
"фильтровать" объекты, т. е. выделять объекты определенного типа.
Режим перебора графических объектов доступен, если в ловушку курсора
попадает более одного объекта. Поместите курсор на объект и правой кноп-
кой мыши вызовите контекстное меню (рис. 13.31).
Рис. 13.31. Контекстное меню окна документа
Рис. 13.32. Инструментальная панель Фильтры
Введение в трехмерное моделирование 371
Выберите команду Перебор объектов. В этом режиме объекты можно пере-
бирать, нажимая клавишу <Пробел>. Когда в результате перебора подсветит-
ся нужный объект, щелкните мышью в окне документа.
Для выделения объектов определенного типа — вершин, ребер, граней, плос-
костей или осей — служит инструментальная панель Фильтры (рис. 13.32).
По умолчанию на панели нажата кнопка Фильтровать все. В этот момент
любые объекты могут быть выделены курсором. Если нажата другая кнопка
панели, то кнопка Фильтровать все выключается. Можно выбрать любую
комбинацию типов выделения объектов, нажав сразу несколько кнопок. Пе-
реключать кнопки на инструментальной панели Фильтры можно в любой
момент работы с моделью.
13.8. Простые и сложные разрезы
На любом этапе работы можно выполнить простой или сложный разрез мо-
дели. Для этого служат две команды на странице Редактирование детали:
Сечение поверхностью и Сечение по эскизу (рис. 13.33).
Рис. 13.33. Команды для выполнения разрезов
Пусть имеется некоторая модель, которую необходимо показать в разрезе
(рис. 13.34, а). При моделировании простого разреза модели в качестве секу-
щей плоскости может быть выбрана как одна из стандартных ортогональных
плоскостей проекций, так и произвольная плоскость. Нажмите кнопку Сечение
поверхностью. Если перед вызовом команды была выделена плоскость, пере-
секающая модель, название этой поверхности появляется в поле Поверхность
сечения на вкладке Параметры на панели свойств. Если поверхность не была
выделена перед вызовом команды, укажите ее.
Вы можете удалить часть модели по любую сторону от указанной поверхности.
Чтобы изменить направление отсечения (оно показывается на фантоме в окне
модели в виде стрелки), воспользуйтесь соответствующим переключателем на
вкладке Параметры панели свойств. После выбора направления отсечения
Глава 13 372
нажмите кнопку Создать объект на панели специального управления, и разрез
будет выполнен (рис. 13.34, б).
а б в
Рис. 13.34. Модель (а), ее простой (б) и сложный (в) разрезы
Для задания сложного разреза надо создать плоский эскиз, представляющий
собой след секущей плоскости — один разомкнутый контур, пересекающий
проекцию детали. Выделите эскиз и вызовите команду Сечение по эскизу.
На панели свойств задайте параметры отсечения и зафиксируйте их кнопкой
Создать объект. После этого система выполнит сложный разрез детали по-
верхностью, проходящей через указанный эскиз (рис. 13.34, в).
13.9. Ассоциативный чертеж модели
Создав трехмерную модель, можно построить ее двумерный чертеж в виде
ортогональных проекций, при этом сами изображения будут ассоциативно свя-
заны с исходной 3D-моделью. Это означает, что при изменении формы или
размеров 3D-модели изменяется изображение на всех связанных с ней изобра-
жениях. Для создания ассоциативных видов, разрезов и других изображений
используются команды на странице Ассоциативные виды (рис. 13.35).
Пример ассоциативного чертежа, полученного из модели цилиндра, пересе-
кающейся с призмой, дан на рис. 13.16.
Создание плоского чертежа по трехмерной модели требует определенных на-
выков, особенно при построении разрезов и сечений. Следует иметь в виду, что
при выполнении ассоциативных чертежей система не ставит осевые, центро-
вые и размерные линии. Эти линии пользователь должен достроить вручную.
Чертежу, содержащему ассоциативные виды трехмерной модели, автомати-
чески присваиваются атрибуты (обозначение, название и материал), установ-
ленные в свойствах модели.
Введение в трехмерное моделирование 373
Рис. 13.35. Инструментальная панель Ассоциативные виды
В общем случае для создания ассоциативного чертежа необходимо выпол-
нить следующие действия.
1. Вначале надо создать документ типа Чертеж, установить предполагаемый
формат и его ориентацию (в процессе работы над чертежом их можно все-
гда изменить).
2. Затем следует вызвать команду Стандартные виды (если необходимо
создать сразу несколько ассоциативных видов) или Произвольный вид
(для создания одного вида) на странице Ассоциативные виды.
3. В стандартном диалоговом окне выбора файла требуется найти необходи-
мый файл модели и открыть его.
Если была вызвана команда Стандартные виды, то по умолчанию соз-
даются три вида в проекционной связи друг с другом: Спереди (фрон-
тальная проекция), Слева (профильная проекция) и Сверху (горизон-
тальная проекция); набор стандартных видов может быть изменен.
Если ассоциативный чертеж создается командой Произвольный вид,
то система создаст один вид (по умолчанию создается вид Спереди).
4. На панели свойств задаются необходимые параметры: изображение моде-
ли на виде спереди (или на произвольном виде), цвет, который будет ис-
пользоваться для отображения вида в активном состоянии, масштаб и дру-
гие характеристики.
Глава 13 374
5. Щелчком мыши в выбранном месте окна документа указывается точка
привязки изображения.
6. Далее в чертеж добавляются необходимые разрезы, сечения, выносные
элементы, наносятся центровые и осевые линии, проставляются размеры,
завершается заполнение основной надписи.
Чтобы несколько ускорить процесс создания ассоциативного чертежа из от-
крытого на экране файла с трехмерной моделью, предусмотрена команда
Новый чертеж из модели на инструментальной панели Редактирование
детали (рис. 13.36). Эта команда является аналогом команды Произволь-
ный вид на странице Ассоциативные виды. Команда недоступна, если те-
кущая модель еще не записана в файл. После вызова команды автоматически
создается новый чертеж, а в нем — ассоциативный вид. При этом в качестве
модели, изображаемой в виде, уже выбрана текущая трехмерная модель. Так
же как и в описанной ранее процедуре, остальные параметры вида (ориента-
ция, цвет, масштаб и т. д.) задаются на панели свойств.
Рис. 13.36. Команда Новый чертеж из модели на инструментальной панели Редактирование детали
Ручное редактирование геометрии в ассоциативных изображениях невоз-
можно, поскольку эти изображения ассоциативно связаны с исходной 3D-
моделью. Для окончательного оформления чертежа, когда связь с моделью уже
не является существенной, ассоциативная связь может быть разрушена.
Для этого надо сделать вид активным и из контекстного меню вызвать
команду Разрушить вид (рис. 13.37). После разрушения изображение пре-
вращается в обычный чертеж системы КОМПАС-График, состоящий из гео-
метрических примитивов, которые можно редактировать любыми доступны-
ми в системе способами.
Несмотря на то, что чертеж с разрушенными ассоциативными связями легко
подвергается редактированию, требует меньше машинных ресурсов, быстрее
загружается, перестаивается и т. п., не советуем разрушать ассоциативные
Введение в трехмерное моделирование 375
связи без крайней необходимости, поскольку связи между моделью и черте-
жом будут безвозвратно утеряны.
После назначения некоторых команд система может обнаружить несогласо-
ванность изображений, и габаритный прямоугольник ассоциативного вида
будет перечеркнут штриховой линией (рис. 13.38, а). В этом случае необхо-
димо провести перестроение чертежа командой Перестроить на панели Вид
(рис. 13.38, б). После этого ассоциативные виды заново перерисовываются
в соответствии с исходной 3D-моделью.
Рис. 13.37. Вызов команды Разрушить вид
а б
Рис. 13.38. Перечеркнутый ассоциативный вид (а) и команда Перестроить на панели Вид (б)
Глава 13 376
При открытии и активизации чертежей, содержащих ассоциативные виды,
система автоматически проверяет соответствие между изображениями в этих
видах и исходными моделями. Если будет обнаружено какое-либо рассогла-
сование, выдается запрос на перестроение чертежа (рис. 13.39). При положи-
тельном ответе на этот запрос изображения в чертеже перестраиваются.
Рис. 13.39. Диалоговое окно, предлагающее перестроить чертеж
Глава 14
Многогранники
14.1. Общие сведения
о геометрических телах и многогранниках
Часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью, называется гео-
метрическим телом. Геометрические тела делятся на тела, ограниченные
многогранной поверхностью, и тела, ограниченные кривой поверхностью.
В общем случае многогранная или гранная поверхность образуется при пе-
ресечении двух и более плоскостей (рис. 14.1).
Рис. 14.1. Многогранная поверхность
Под многогранниками подразумевают тела, ограниченные многогранной по-
верхностью так, что каждая сторона любого из многоугольников, из которых
состоит эта поверхность, является одновременно стороной другого (но толь-
ко одного). Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются
гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами многогранника.
Совокупность всех ребер многогранника называют его сеткой.
Глава 14 378
Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от
плоскости любой его грани; при этом его грани являются выпуклыми много-
угольниками (рис. 14.2, а). В противном случае — многогранник невыпуклый
(рис. 14.2, б). Наиболее важными выпуклыми многогранниками являются
пирамида, призма, призматоид, а также правильные и полуправильные мно-
гогранники.
а б
Рис. 14.2. Выпуклый многогранник (а) и невыпуклый многогранник (б)
Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его
сетки. Оно может производиться по заданным проекциям его вершин или
нескольких граней. На рис. 14.3, а многогранник 1234... задан горизонталь-
ной и фронтальной проекциями сетки.
Наружный очерк проекции многогранника называют контуром тела по от-
ношению к выбранной плоскости проекций. На рис. 14.3, а на горизонталь-
ной плоскости проекций таким контуром служит замкнутая ломаная 1'-7'-8'-
9'-3'-4'-5'-6'-1', а на фронтальной плоскости проекций — ломаная 1'-7'-12'-
11'-10'-9'-3'-2'-1'.
По ортогональным проекциям этого многогранника построена его аксоно-
метрическая проекция (рис. 14.3, б). На эпюре измерены натуральные вели-
чины координат вершин многогранника (для выбора координат х в произ-
вольном месте задано положение начала координат — точки О) и построены
проекции вершин многогранника в аксонометрии. Затем построенные вер-
шины соединены отрезками — ребрами многогранника.
На эпюре сетка многогранника показывается с учетом условного обозначе-
ния взаимной видимости геометрических объектов. Например, на рис. 14.3, а
в направлении на горизонтальную плоскость проекций считаются невиди-
мыми ребра 12 и 23, т. к. вершина 2 расположена дальше от наблюдателя,
чем вершина 8.
Многогранники 379
а б
Рис. 14.3. Многогранник 1234... на эпюре (а) и в прямоугольной изометрической проекции (б)
Если нужно на обеих проекциях многогранника построить точку, лежащую
на одной из граней, следует через эту точку провести в грани вспомогатель-
ный отрезок. Разберем принцип построения на примере точки K, лежащей
в грани 3-4-10-9 многогранника 1234... (см. рис. 14.3, а). По заданной фрон-
тальной проекции K точки K требуется найти ее горизонтальную проекцию.
Сначала через K проведем фронтальную проекцию любого вспомогательно-
го отрезка, лежащего в грани 3-4-10-9, например 9 L , а затем построим го-
ризонтальную проекцию этого отрезка 9 L . Из K проводим линию проекци-
онной связи до пересечения с 9 L и находим искомую проекцию K .
Пример 48. 1) Построить недостающую горизонтальную проекцию мно-
гогранника, заданного фронтальной проекцией (рис. 14.4). Три ребра,
исходящие из одной вершины 1, заданы полностью. 2) Построить трех-
мерную модель многогранника и ее ассоциативный чертеж.
1. Как известно, проекции параллельных прямых также параллельны. По-
этому на горизонтальной проекции через заданные вершины проведите
Глава 14 380
ряд вспомогательных прямых, параллельных заданным ребрам, а из фрон-
тальных проекций вершин — линии проекционной связи перпендикуляр-
но оси х (рис. 14.5). В местах соответствующих пересечений найдите
горизонтальные проекции вершин многогранника. Последовательно осу-
ществляя подобные построения, найдите проекции всех вершин, которые
затем соедините. Получаем сетку многогранника и показываем его ви-
димость.
Рис. 14.4. Исходные проекции многогранника
Рис. 14.5. Построение горизонтальной проекции заданного многогранника
2. На эпюре измерьте координаты вершин 1, 2, 3 и 4. Для этого в произволь-
ном месте введите начало координат — точку О и координату х измерьте
в противоположном принятому в начертательной геометрии направлении
так, чтобы ось х была направлена положительным лучом вправо. Составь-
те таблицу координат:
Номер вершины х в 3D x у в 3D z z в 3D y
1 24,43 52,23 0
2 66,93 41,11 24,39
3 10,29 27,50 14,14
4 30,41 39,25 22,21
Многогранники 381
3. Для построения модели создайте файл типа Деталь и задайте ориентацию
XYZ. Постройте в трехмерном пространстве вершины 1, 2, 3 и 4. Вызови-
те команду Точка на странице Пространственные кривые. На панели
свойств проследите, чтобы в списке Способ активным был вариант
По координатам, и введите в соответствующие ячейки координаты точек.
После завершения построения первой точки система ожидает задания по-
ложения следующей точки. Не забудьте, что в системе КОМПАС-3D на-
правление координатных осей отличается от принятого в начертательной
геометрии. Поэтому в поле х вводите координату х, но измеренную, как
мы отмечали, в противоположном направлении, в поле у вводите коорди-
нату z, а в поле z — координату у. Точки в виде "крестиков" появятся
в окне модели (рис. 14.6).
Рис. 14.6. Вспомогательные точки в изометрии XYZ
4. Задайте две вспомогательные плоскости: первую, проходящую через вер-
шины 1, 2 и 3, а вторую — через вершины 1, 3 и 4. Вызовите команду
Плоскость через три вершины на странице Вспомогательная геомет-
рия, и в дереве модели последовательно укажите точки.
5. Выделите первую вспомогательную плоскость и нажмите кнопку Эскиз
на панели текущего состояния. Привязываясь к точкам, постройте эскиз
Глава 14 382
параллелограмма — грани многоугольника, проходящей через вершины 1,
2 и 3 (рис. 14.7). Стиль линии — Основная. Отожмите кнопку Эскиз.
6. Выделите вторую вспомогательную плоскость и создайте второй Эскиз
в виде отрезка — ребра 14 (рис. 14.8). Стиль линии — Основная.
Рис. 14.7. Эскиз грани, проходящей через вершины 1, 2 и 3
Рис. 14.8. Эскиз ребра 14
7. Выделите Эскиз:1 и активизируйте команду Кинематическая операция
на странице Редактирование детали. В нижней части экрана появится
панель свойств, на которой в поле Сечение должен быть заявлен Эскиз:1.
Задайте траекторию кинематической операции, щелкнув мышью в дереве
модели на Эскиз:2. Проследите, чтобы в поле Движение сечения был
активен переключатель Сохранять угол наклона. Нажмите кнопку
Создать объект, и первая формообразующая операция для моделирова-
ния многогранника будет выполнена (рис. 14.9).
Многогранники 383
Рис. 14.9. Результат первой формообразующей операции
для моделирования многогранника
Рис. 14.10. Определение истинной величины грани, проходящей
через вершины 1, 2 и 4
8. Для того чтобы в многограннике сделать вырез, надо предварительно на
эпюре определить истинную величину грани, проходящей через вершины
1, 2 и 4. Это нетрудно сделать методом вращения вокруг горизонтали.
Выберите горизонталь h, проходящую через точку 1, и постройте новое
положение точки 2 с проекцией 2. Дальнейшие построения истинной ве-
личины грани основаны на свойстве параллельных прямых (рис. 14.10).
9. В модели выделите грань, проходящую через вершины 1, 2 и 4, и по-
стройте эскиз выреза (рис. 14.11). Размеры для построений снимите с эпюра.
10. Проследите, чтобы эскиз выреза (Эскиз:3) был активным. Вызовите ко-
манду Вырезать кинематически и в качестве направления вырезания
прямо на модели укажите ребро 13 или любое другое, параллельное ему.
Нажмите кнопку Создать объект и модель многогранника будет готова
(рис. 14.12). Сохраните модель.
11. Чтобы проверить правильность построений, выполните ассоциативный
чертеж многогранника. Создайте новый документ типа Чертеж формата
А4. Активизируйте команду Стандартные виды на странице Ассоциа-
тивные виды и выберите модель многогранника для построения плоско-
го чертежа. На панели свойств раскройте кнопкой Схема соответствую-
щее диалоговое окно и отмените построение вида слева. На вкладке
Глава 14 384
Линии назначьте построение невидимых линий как штриховых и щелк-
ните в окне документа. Система создаст два ассоциативных вида, полно-
стью совпадающие с построенными ранее средствами двумерной графи-
ки (рис. 14.13).
Рис. 14.11. Эскиз выреза
Рис. 14.12. Модель многогранника в изометрии XYZ
Рис. 14.13. Ассоциативный чертеж многогранника
Многогранники 385
14.2. Пирамида и бипирамида
Пирамида — это выпуклый многогранник, одной из граней которого служит
многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые) — тре-
угольники с общей вершиной, которая называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называ-
ются боковыми ребрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды
на плоскость ее основания, называется высотой пирамиды.
Пирамида называется прямой, если ее вершина ортогонально проецируется
в центр тяжести основания (рис. 14.14, а). В противном случае пирамида назы-
вается наклонной (рис. 14.14, б). Прямая пирамида называется правильной, если
в ее основании лежит правильный многоугольник. Осью правильной пирамиды
называется прямая, содержащая ее высоту. Боковые ребра правильной пирами-
ды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высо-
та боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.
Рис. 14.14. Разновидности пирамиды: а — прямая правильная; б — наклонная; в — усеченная
В зависимости от количества сторон многоугольника, лежащего в основании,
пирамиды делятся на треугольные, четырехугольные и т. д. Частным случаем
треугольной правильной пирамиды является тетраэдр (о тетраэдре см. разд. 14.4).
Часть пирамиды, заключенная между ее основанием и сечением, параллель-
ным основанию, называется усеченной пирамидой (рис. 14.14, в). Грани усе-
ченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основа-
ниями. Боковые грани усеченной пирамиды представляют собой трапеции.
Для построения ортогональных проекций можно задаться:
для прямой пирамиды — проекциями ее основания и высотой;
для наклонной пирамиды — проекциями ее основания и вершины;
для усеченной пирамиды — проекциями обоих оснований.
Глава 14 386
При этом пирамиду целесообразно располагать так, чтобы ее основание было
параллельно или принадлежала плоскости проекций.
На рис. 14.15 изображена наклонная треугольная пирамида с основанием, лежащим в горизонтальной плоскости проекций. На этом же рисунке показа-но построение фронтальной проекции некоторой точки K, лежащей в грани
SAВ заданной пирамиды, если известна ее горизонтальная проекция K . Для этого через вершину S и точку K проведена вспомогательная прямая. В пере-
сечении горизонтальной проекции S K этой прямой с горизонтальной проек-
цией ребра АВ образуется точка L . Далее проведена линия проекционной
связи и построена фронтальная проекция L (L A C ). В пересечении пря-
мой S L и линии проекционной связи, проведенной из K , находится иско-
мая проекция K (ход построения указан стрелками).
Бипирамидой называют многогранник, состоящий из двух пирамид, имею-щих общее основание. Бипирамида, состоящая из равных пирамид, называет-ся правильной, в противном случае — неправильной. Если в основаниях пи-рамид лежит n-угольник, то число вершин бипирамиды равно n + 2, ребер — 3n, граней — 2n. Бипирамида может быть выпуклой (14.16, а) и невыпуклой или вогнутой (14.16, б). Четырехугольная бипирамида, все грани которой — равносторонние треугольники, называется октаэдром (см. разд. 14.4).
Рис. 14.15. Проекции наклонной треугольной пирамиды
Рис. 14.16. Бипирамида: а — выпуклая; б — вогнутая
Пример 49. 1) Построить проекции треугольной пирамиды с данным
основанием АВС (рис. 14.17). Вершина S пирамиды находится над плос-
Многогранники 387
костью основания. Высота пирамиды SA равна стороне АВ. 2) Постро-
ить модель пирамиды и ее ассоциативный чертеж.
1. Методом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций 1
и проходящей через точку А (ось на чертеже не показана), определите ис-
тинную величину стороны АС — отрезок А C (рис. 14.18).
2. Проведите горизонталь С1 и фронталь А2 плоскости основания. Из точ-
ки А постройте перпендикуляр так, что его горизонтальная проекция пер-
пендикулярна С 1 , а фронтальная проекция перпендикулярна А 2 .
Рис. 14.17. Проекции основания пирамиды
Рис. 14.18. Построение проекций пирамиды согласно заданным условиям
Глава 14 388
3. На перпендикуляре выберите произвольную точку 3 так, чтобы она была
выше точки А, и также методом вращения опредите истинную величину
отрезка А3 (А 3 ). Отложите истинную величину отрезка АС на продол-
жении линии А 3 и найдите положение точки S .
4. Обратным ходом постройте фронтальную и горизонтальную проекции
вершины пирамиды — точки S и S . Соедините их с проекциями вершин
основания и установите взаимную видимость ребер пирамиды.
5. Для построения модели пирамиды сначала надо определить численные
значения координат вершин пирамиды. На эпюре произвольно установите
положение начала координат — точки О — и определите координаты
вершин А, В, С и S (положительный луч оси х направлен вправо):
Вершина х в 3D x у в 3D z z в 3D y
А 50,16 44,06 0
В 29,35 58,74 24,98
С 12,70 24,29 10,65
S 71,03 21,14 30,84
6. Создайте документ типа Деталь, установите ориентацию XYZ. Активизи-
руйте команду Точка на инструментальной панели Пространственные
кривые и по координатам вводим четыре точки — вершины пирамиды А,
В, С и S. О том, какие изменения в системе координат КОМПАС-3D надо
при этом учитывать, мы говорили в предыдущем примере.
7. Активизируйте команду Плоскость через три вершины на странице
Вспомогательная геометрия и проведите две вспомогательные плоско-
сти: первую — через вершины основания АВС, вторую — через вершину
пирамиды S и любые две вершины основания.
8. Выделите Плоскость через три вершины:1 и выйдите в режим создания
эскиза. Вычертите треугольник (стиль линии — Основная) — основание
пирамиды АВС, привязываясь к введенным точкам. Закройте эскиз.
9. Выделите Плоскость через три вершины:2 и снова выйдите в режим
создания эскиза. Вызовите команду Сервис Спроецировать объект
и щелкните мышью в дереве модели на Точке:4. В эскиз будет добавлен
единственный объект в виде точки — вершины пирамиды S. Закройте эс-
киз и перейдите в режим трехмерных построений.
Многогранники 389
10. В дереве модели выделите Эскиз:1 и активизируйте команду Операция
по сечениям на странице Редактирование детали. Для выполнения
формообразующей операции добавьте щелчком мыши в дереве модели
Эскиз:2. Нажмите кнопку Создать объект, и модель пирамиды будет от-
строена (рис. 14.19). Сохраните модель на диске.
11. Для выполнения ассоциативного двумерного изображения создайте до-
кумент типа Чертеж. Активизируйте команду Стандартные виды на
странице Ассоциативные виды. В диалоговом окне для выбора файла
выберите модель пирамиды. На панели свойств раскройте схему видов и
отмените построение вида слева. Добавьте на вкладке Линии построение
линий невидимого контура как штриховых. Щелчком мыши в окне доку-
мента создайте ассоциативные изображения (рис. 14.20). Сравните с изо-
бражением, построенным ранее, и убедитесь в полном совпадении про-
екций, созданных средствами двумерной графики, и ассоциативного
чертежа, созданного системой по трехмерной модели.
Рис. 14.19. Модель пирамиды в изометрии XYZ
Рис. 14.20. Ассоциативный чертеж пирамиды
14.3. Призма и призматоид
14.3.1. Призма
Призмой называется выпуклый многогранник, у которого две противополож-
ные грани (основания призмы) — равные многоугольники с параллельными
сторонами, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Основания
призмы лежат в параллельных плоскостях, а боковые ребра равны и парал-
лельны друг другу.
Глава 14 390
Перпендикуляр, проведенный между плоскостями, в которых лежат основания призмы, называется высотой призмы. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Призма называется прямой (рис. 14.21, а), если боковые грани перпендикуляр-ны плоскости основания, в противном случае призма называется наклонной (рис. 14.21, б). Боковыми гранями прямой призмы являются прямоугольники. Часть призмы, рассеченной плоскостью, не параллельной ее основанию, на-зывают усеченной призмой (рис. 14.21, в).
Рис. 14.21. Разновидности призмы: а — прямая, б — наклонная; в — усеченная
Прямую призму называют правильной, если ее основанием служит правиль-ный многоугольник. Прямая правильная призма, боковыми гранями которой являются квадраты, называется призмой Архимеда (она относится к так на-зываемым полуправильным многогранникам — см. разд. 14.5).
По количеству сторон многоугольника, лежащего в основании, призмы де-лятся на треугольные, четырехугольные и т. д.
Для построения проекций призмы можно задаться:
для прямой призмы одним из ее оснований и высотой;
для наклонной призмы необходимо иметь или проекции обоих оснований (всех вершин) или проекции одного из оснований и одного бокового ребра.
На рис. 14.22 изображена наклонная треугольная призма: горизонтальные и фронтальные проекции боковых ребер параллельны между собой. На этом же рисунке показано построение некоторой точки K по ее фронтальной про-екции (точка K лежит в грани А1А2С2С1). Для этого через точку K проведена
вспомогательная прямая KL, параллельная боковым ребрам призмы: K L
параллельна фронтальным проекциям боковых ребер, а K L параллельна го-ризонтальным проекциям боковых ребер. В пересечении линии проекцион-
ной связи, проведенной из K , и горизонтальной проекцией прямой K L об-
разуется точка K (ход построений указан стрелками).
Частным случаем четырехугольной призмы является параллелепипед.
Многогранники 391
Рис. 14.22. Проекции наклонной треугольной призмы
14.3.2. Параллелепипед
Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основании которой
лежит параллелограмм (рис. 14.23). Противоположные грани параллелепипе-
да попарно параллельны и равны между собой. Параллелепипед имеет 6 гра-
ней, 8 вершин и 12 ребер.
Рис. 14.23. Параллелепипед
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны
плоскости основания (в этом случае боковые грани являются прямоугольника-
ми). Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основанием
служит прямоугольник (в этом случае все грани — прямоугольники). Диагона-
ли параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся
пополам. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда.
Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб — правиль-
ный многогранник.
Глава 14 392
14.3.3. Призматоид
Призматоид — это многогранник, две грани которого (основания призма-
тоида) расположены в параллельных плоскостях, а остальные грани (боко-
вые) являются треугольниками или трапециями, вершинами которых служат
вершины оснований. У треугольников, являющихся боковыми гранями приз-
матоида, одна сторона, а у трапеций — оба основания являются сторонами
оснований призматоида.
На рис. 14.24, а даны проекции призматоида, нижнее основание которого —
прямоугольник, а верхнее — правильный треугольник. Одна его боковая
грань — треугольник, а остальные — трапеции.
Рис. 14.24. Призматоиды
На рис. 14.24, б приведен призматоид, у которого нижнее основание — пра-
вильный треугольник, а верхнее — квадрат. У этого призматоида одна боко-
вая грань — трапеция, а остальные — треугольники.
Частным случаем призматоида является антипризма.
14.3.4. Антипризма
Антипризмой называется призматоид, верхнее и нижнее основания которого
являются равными выпуклыми n-угольниками, развернутыми относительно
друг друга на угол 180 /n, а боковые грани являются треугольниками
(рис. 14.25). Прямой антипризмой называется такая антипризма, центры ос-
нований которой расположены на общем перпендикуляре к ним.
Многогранники 393
Рис. 14.25. Прямая антипризма
Если боковые грани прямой антипризмы являются правильными треугольни-
ками, то она называется антипризмой Архимеда и относится к полуправиль-
ным многогранникам (см. разд. 14.5).
Пример 50. 1) Построить проекции прямой треугольной призмы, нижнее
основание которой задано треугольником А1В1С1 (рис. 14.26). Высота
призмы равна стороне основания А1В1. 2) Построить модель призмы
и ее ассоциативный чертеж.
1. Методом прямоугольного треугольника определите истинную величину
стороны основания А1В1. Измерьте разницу координат между точками А1
и В1 по оси z и постройте прямоугольный треугольник, одним катетом ко-
торого является горизонтальная проекция отрезка А1В1 (А1В1), а вто-
рым — измеренная разница координат. Гипотенуза В1А0 есть истинная
величина стороны А1В1.
2. Если призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны основанию.
В основании призмы А1В1С1 постройте горизонталь В11 и фронталь С12.
Из любой вершины основания, например, из вершины С1 постройте реб-
ро — перпендикуляр к плоскости основания. Горизонтальная проекция
перпендикуляра перпендикулярна В11 , а фронтальная проекция — пер-
пендикулярна С1 2 .
3. На перпендикуляре выберите произвольную точку 3 и методом вращения
определите истинную величину отрезка С13 — отрезок С1 3 . На линии
Глава 14 394
этого отрезка от точки С1 отложите истинную величину отрезка А1В1 (от-
резок В1А0) и отметьте точку 2
C . Обратным ходом найдите положение
проекций вершин С2 — точек С2 и С2.
Рис. 14.26. Исходные данные для построения призмы
Рис. 14.27. Построение проекций призмы согласно заданным условиям
4. Исходя их свойств проецирования параллельных прямых, достройте про-
екции верхнего основания. Соедините вершины призмы и отметьте види-
мость ребер призмы (рис. 14.27).
5. Для построения модели призмы измерьте на эпюре координаты вершин
нижнего основания А1В1С1 и одной вершины верхнего основания, напри-
мер, точки С2. Напоминаем, что для измерения координат по оси х (поло-
жительный луч оси х направлен вправо) следует произвольно установить
положение начала координат — точки О.
Вершина х в 3D x у в 3D z z в 3D y
А1 61,87 59,02 24,77
В1 77,43 26,16 9,21
С1 45,74 45,35 0
С2 25,04 23,43 25,58
Многогранники 395
6. Создайте документ типа Деталь и аналогично тому, как мы делали в пре-
дыдущих примерах, при помощи команды Точка постройте четыре вер-
шины призмы А1, В1, С1 и С2. Командой Плоскость через три вершины
введите две вспомогательные плоскости: первую через вершины основа-
ния А1, В1 и С1, а вторую через вершины С1 и С2 и любую другую верши-
ну основания, например, вершину А1.
7. В первой вспомогательной плоскости постройте эскиз основания — тре-
угольник А1В1С1, во второй — эскиз отрезка ребра С1С2. Командой Ки-
нематическая операция (эскиз-сечение — основание призмы, а эскиз
траектория — ее боковое ребро) постройте модель призмы (рис. 14.28).
8. Выполните ассоциативный чертеж призмы, отменив построение вида сле-
ва и задав построение линий невидимого контура (рис. 14.29). Отметьте
полное соответствие между двумя чертежами, один из которых получен
геометрическими построениями, а второй построен системой по модели
призмы.
Рис. 14.28. Модель прямой призмы с основанием, лежащим
в плоскости общего положения
Рис. 14.29. Ассоциативный чертеж призмы
Глава 14 396
14.4. Правильные многогранники
Правильными многогранниками (иначе — телами Платона1) называются
выпуклые многогранники, у которых все грани являются равными правиль-
ными многоугольниками. Всего существует пять правильных многогранни-
ков: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (табл. 14.1).
Таблица 14.1. Число вершин, ребер и граней правильных многогранников
Правильный много- гранник
Общий вид Число вершин
Число ребер
Число граней
Число сторон у каждой грани
Число ребер у каждой вершины
Тетраэдр
4 6 4 3 3
Куб
(гексаэдр)
8 12 6 4 3
Октаэдр
6 12 8 3 4
Додекаэдр
20 30 12 5 3
Икосаэдр
12 30 20 3 5
1 Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трак-
тате Платона "Тимаус" (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из
правильных многогранников Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элемента-
ми: земля — куб, вода — икосаэдр, огонь — тетраэдр, воздух — октаэдр, а также
с "неземным" элементом, небом — додекаэдр.
Многогранники 397
У правильных многогранников всегда существует описанная сфера, посколь-
ку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра
(рис. 14.30, а), и во все правильные многогранники можно вписать сферу
(рис. 14.30, б).
а б
Рис. 14.30. Октаэдр, вписанный в сферу (а), и сфера, вписанная в октаэдр (б)
14.4.1. Тетраэдр
Тетраэдр — правильная треугольная пирамида, все грани которой являют-
ся правильными треугольниками.
Рис. 14.31. Построение проекций тетраэдра
Глава 14 398
На рис. 14.31 построены проекции тетраэдра SABC по известной длине его
ребра a, нижняя грань построенного тетраэдра принадлежит горизонталь-
ной плоскости проекций. В плоскости 1 построен правильный треугольник
А В С со стороной а, и в пересечении его медиан найдена горизонтальная
проекция вершины тетраэдра S . Методом вращения вокруг оси, проходя-
щей через вершину S и перпендикулярной плоскости 1, найдена фрон-
тальная проекция вершины S (ход построения указан стрелками).
14.4.2. Куб
Куб (гексаэдр) — параллелепипед, все грани которого являются квадратами.
Три ребра куба, сходящиеся в одной вершине, взаимно перпендикулярны.
На рис. 14.32 построен куб, проекции одной стороны АВ которого известны,
и также известно, что одна из граней куба лежит в плоскости общего поло-
жения, заданной отрезком АВ и точкой K. Сразу отметим, что задача имеет
четыре решения, найдем одно, любое из них.
Рис. 14.32. Построение проекций куба
Многогранники 399
В плоскости отрезка АВ и точки K построим горизонталь А1. Введем пер-
вую дополнительную плоскость проекций так, что 4 1 и 4 перпенди-
кулярна плоскости, заданной отрезком АВ и точкой K. Построим новую
ось проекций х1 (х1 А 1 ). Перенесем проекции отрезка АВ и горизонтали
А1 на плоскость 4. Они спроецируется на эту плоскость на одну прямую
линию.
Теперь вводим вторую дополнительную плоскость проекций 5, перпендику-
лярную плоскости 4 и параллельную заданной плоскости. Ось проекций х2
проводим параллельно АIV
ВIV
. Строим проекцию отрезка АВ на плоскости 5.
Поскольку плоскость проекций 5 параллельна плоскости, в которой лежит
отрезок АВ, то этот отрезок спроецируется в натуральную величину, и вся
грань куба, содержащая это ребро, на плоскости 5 получается без иска-
жения.
На плоскости 5 из конца отрезка АВ под прямым углом проводим второе
ребро, например, ВС, и обратным ходом строим проекции вершины С на
плоскостях 4, 1 и 2. На плоскости проекций 4 из конца отрезка АВ под
прямым углом проводим третье ребро ВD и также обратным ходом строим
проекции вершины D на плоскостях 4, 1 и 2.
На горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций у нас имеются три
ребра, исходящие из одной вершины В. Достраиваем проекции параллельных
ребер и обозначаем их видимость.
14.4.3. Октаэдр
Октаэдром называется правильная бипирамида, ограниченная восемью
правильными треугольниками. На рис. 14.33 построены проекции октаэдра
по заданной длине а его ребра (построения аналогичны построению тетра-
эдра).
14.4.4. Додекаэдр
Додекаэдр — правильный многогранник, имеющий 12 пятиугольных граней.
На рис. 14.34, а построены проекции додекаэдра по заданной грани его ниж-
него основания — пятиугольника 12345. Положение вершин на горизон-
тальной плоскости проекций найдено методом вращения вокруг прямой
уровня. Координаты z вершин додекаэдра определены методом прямоуголь-
ного треугольника.
Глава 14 400
Рис. 14.33. Построение проекций октаэдра
Рис. 14.34. Построение проекций додекаэдра (а) и икосаэдра (б)
а б
Многогранники 401
14.4.5. Икосаэдр
Икосаэдр — правильный многогранник, имеющий 20 треугольных граней.
На рис. 14.34, б построены проекции икосаэдра по заданной проекции одной
из его нижних граней — треугольника 123 (построения аналогичны построе-
нию додекаэдра).
Пример 51. Построить трехмерные модели правильных многогранников
с ребром, равным 40 мм.
Тетраэдр
1. Создайте модель типа Деталь и установите ориентацию XYZ. Выделите
горизонтальную плоскость ZX и нажмите кнопку Эскиз на панели теку-
щего состояния. Вычертите основание тетраэдра — равносторонний тре-
угольник со стороной 40 мм и центром в начале координат эскиза
(рис. 14.35). Отожмите кнопку Эскиз и вернитесь в режим трехмерных
построений.
Рис. 14.35. Эскиз основания тетраэдра
2. Для нахождения вершины тетраэдра создайте вспомогательный эскиз
в плоскости XY. Здесь все построения можно провести со стилем линии
Тонкая. Аналогично тому, как на рис. 14.31 найдена вершина S, опреде-
лите положение вершины и в этом эскизе. Постройте равносторонний тре-
угольник со стороной 40 мм и центром в начале координат (рис. 14.36).
Через центр треугольника проведите вспомогательные горизонтальную
и вертикальную линии. Вычертите дугу с центром в начале координат ра-
диусом, равным расстоянию от начала координат до вершины треугольни-
ка, и доведите ее до пересечения с горизонтальной линией. Из этой точки,
Глава 14 402
как из центра, проведите окружность радиусом 40 мм и в пересечении
с вертикальной линией командой Точка обозначьте вершину тетраэдра.
Закройте эскиз.
Рис. 14.36. Вспомогательный эскиз в плоскости, перпендикулярной основанию тетраэдра
3. На странице Вспомогательная геометрия активизируйте команду Плос-
кость через вершину параллельно другой плоскости. В дереве модели
выделите Плоскость ZX и в окне документа щелкните мышью на вершине
тетраэдра. Система построит вспомогательную горизонтальную плос-
кость, проходящую через вершину тетраэдра (рис. 14.37).
4. Выделите в дереве модели Параллельную плоскость:1 и перейдите
в режим создания эскиза. Активизируйте команду точка и щелкните в на-
чале координат — на вершине тетраэдра. Закройте эскиз. Таким образом,
вы создали все необходимые геометрические построения для моделирова-
ния тетраэдра: эскиз основания (Эскиз:1) и эскиз, содержащий только од-
ну точку — вершину тетраэдра (Эскиз:3).
5. В дереве модели выделите Эскиз:1 и на странице Редактирование акти-
визируйте команду Операция по сечениям. В дереве модели щелкните на
Эскизе:3 и нажмите кнопку Создать объект на панели специального
управления. Система построит модель тетраэдра со стороной 40 мм
(рис. 14.38). Сохраните модель.
Многогранники 403
Рис. 14.37. Создание вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через вершину тетраэдра
Рис. 14.38. Модель тетраэдра
Куб
1. Создайте модель типа Деталь и перейдите в ориентацию XYZ. Выделите
горизонтальную плоскость ZX и создайте эскиз со стороной 40 мм. За-
кройте эскиз.
2. Проследите, чтобы эскиз был выделен, и на странице Редактирование
вызовите команду Операция выдавливания. На панели свойств во
вкладке Параметры проконтролируйте или установите следующие харак-
теристики:
в раскрывающемся списке Направление — Прямое направление;
в списке Способ — На расстояние;
в поле Расстояние — величину, характеризующую глубину выдавли-
вания (40 мм).
Глава 14 404
На вкладке Тонкая стенка в раскрывающемся списке Тип построения
тонкой стенки должна быть активной опция Нет. Нажмите кнопку Соз-
дать объект на панели специального управления, и система построит мо-
дель куба со стороной 40 мм (рис. 14.39).
Рис. 14.39. Модель куба
Октаэдр
1. Аналогично построению тетраэдра создайте модель четырехугольной пи-
рамиды, в основании которой лежит квадрат со стороной 40 мм. При этом
вершину октаэдра определите при помощи вспомогательного эскиза, ле-
жащего в плоскости, перпендикулярной основанию (рис. 14.40).
Рис. 14.40. Вспомогательный эскиз в плоскости, перпендикулярной основанию тетраэдра
Многогранники 405
2. В результате выполнения операции По сечениям получится правильная
пирамида — половина октаэдра (рис. 14.41).
3. В дереве модели выделите горизонтальную плоскость ZX и активизируйте
команду Зеркальный массив на странице Редактирование. Щелкните
в дереве модели на Операция по сечениям:1 и затем нажмите кнопку
Создать объект. Система создаст модель октаэдра (рис. 14.42).
Рис. 14.41. Модель четырехугольной пирамиды
Рис. 14.42. Модель октаэдра
Додекаэдр
1. В горизонтальной плоскости создайте эскиз основания додекаэдра — пра-
вильного пятиугольника со стороной 40 мм с центром в начале координат
(рис. 14.43). В этом же эскизе методом вращения вокруг прямой уровня
найдите проекцию одной из вершин "второго" уровня и командой Точка
выделите ее. Вершина нижнего основания обозначена как точка 1, осно-
вание перпендикуляра, опущенного из точки 1 к противоположной сторо-
не, как точка 2, а проекция вершины "второго" уровня как точка 3.
2. Определите высоту вершин "второго" уровня (расстояние h1 на рис. 14.34, а).
Создайте вспомогательный эскиз в плоскости ZY и установите ориента-
цию Слева. Спроецируйте в этот эскиз точки 1 и 3 из Эскиза:1 и прове-
дите отрезок 13 (рис. 14.44). Из точки 1 проведите вспомогательную вер-
тикальную линию, а из точки 2 — вспомогательную дугу радиусом
40 мм. Пересечение дуги с вертикальной линей выделите командой Точка
(на эскизе она обозначена как точка 4). Расстояние от горизонтальной
плоскости до этой точки определяет высоту вершин "второго" уровня.
3. Выделите в дереве модели горизонтальную плоскость ZX и активизируйте
команду Плоскость через вершину параллельно другой плоскости
Глава 14 406
на странице Вспомогательная геометрия. Щелкните в окне документа на
точке 4 и Параллельная плоскость:1 будет отстроена (рис. 14.45).
В этой плоскости лежат вершины "второго" уровня.
Рис. 14.43. Эскиз основания додекаэдра
Рис. 14.44. Вспомогательный эскиз для определения высоты вершин "второго" уровня
Рис. 14.45. Построение плоскости вершин "второго" уровня
Многогранники 407
4. В дереве модели выделите Параллельную плоскость:1 и выйдите в ре-
жим построения эскиза. Из Эскиза:1 спроецируйте точку 3 (в этом эскизе
она обозначена как точка 5) и проведите вспомогательную окружность
с центром в начале координат и радиусом, равным расстоянию от начала
координат до точки 5 (рис. 14.46). На этой окружности лежат вершины
"второго" уровня. Командой Многоугольник впишите в эту окружность
правильный пятиугольник. Через начало координат проведите вспомога-
тельную вертикальную прямую и в пересечении с описанной окружно-
стью командой Точка отметьте точку 6 (она понадобится в дальнейших
построениях).
Рис. 14.46. Эскиз вершин "второго" уровня
5. Определите высоту вершин "третьего" уровня (расстояние h2 на рис. 14.34, а).
В плоскости ZY создайте эскиз и установите ориентацию Слева. Спрое-
цируйте в этот эскиз точку 2 из Эскиза:1 и точку 6 из Эскиза:3
(рис. 14.47). Через точку 6 проведите вспомогательную вертикальную ли-
нию, а через точку 2 — горизонтальную линию. Постройте правильной
пятиугольник так, что середина одной из его сторон окажется в точке 2.
Из точки 2, как из центра, проведите дугу, радиус которой равен высоте
пятиугольника, и в пересечении с вертикальной линией, проведенной ра-
нее через точку 6, отметьте командой Точка точку 7. Эта точка определя-
ет высоту вершин "третьего" уровня.
6. Выделите в дереве модели горизонтальную плоскость ZX и вызовите
команду Плоскость через вершину параллельно другой плоскости.
Глава 14 408
Щелкните в окне документа на точке 7, и Параллельная плоскость:2,
в которой лежат вершины "третьего" уровня, будет отстроена в окне до-
кумента.
Рис. 14.47. Вспомогательный эскиз для определения высоты вершин "третьего" уровня
7. Выделите в дереве модели Параллельную плоскость:2 и постройте эскиз
правильного пятиугольника, на вершинах которого лежат вершины доде-
каэдра "третьего" уровня (рис. 14.48).
Рис. 14.48. Эскиз вершин третьего уровня
Многогранники 409
8. Определите высоту верхнего основания (расстояние h2+h1 на рис. 14.34, а).
В дереве модели выделите плоскость ZY и выйдите в режим создания эс-
киза. Спроецируйте в этот эскиз точки 6 и 7 и соедините их отрезком
(рис. 14.49). В диалоге Установка глобальных привязок поставьте
флажок у привязки Середина и через середину отрезка 67 проведите
вспомогательную горизонтальную линию. Спроецируйте в этот эскиз
точку 3. Проследите, чтобы точка 3 была выделена, активизируйте ко-
манду Симметрия на странице Редактирование и укажите две любые
точки на проведенной горизонтальной прямой. Симметрично точке 3 от-
носительно этой прямой в эскизе появится точка (точка 8), определяю-
щая высоту верхнего основания.
Рис. 14.49. Вспомогательный эскиз
для определения высоты вершин верхнего основания
9. Выделите в дереве модели горизонтальную плоскость ZX и вызовите ко-
манду Плоскость через вершину параллельно другой плоскости.
Щелкните в окне документа на точке 8, и Параллельная плоскость:3,
в которой лежат вершины верхнего основания, будет построена.
10. Выделите в дереве модели Параллельную плоскость:3 и постройте эс-
киз верхнего основания (рис. 14.50).
11. В горизонтальной плоскости ZX создайте эскиз квадрата любой ширины
так, чтобы он был больше созданных эскизов (рис. 14.51, а). Вызовите
команду Операция выдавливания, на панели свойств которой в списке
Глава 14 410
Способ установите До поверхности, и в дереве модели щелкните мы-
шью на Параллельной плоскости:3. Система построит модель прямого
параллелепипеда, от которого предстоит отсечь "лишний" объем для по-
лучения додекаэдра (рис. 14.51, б).
Рис. 14.50. Эскиз верхнего основания
а б
Рис. 14.51. Эскиз (а) и модель прямого параллелепипеда (б) — заготовка для получения додекаэдра
Многогранники 411
12. Нажмите кнопку Плоскость через ребро и вершину на панели Вспомо-
гательная геометрия и укажите в окне документа элементы, через кото-
рые проходит одна из нижних граней додекаэдра: сторону нижнего осно-
вания и вершину в Эскизе:3 (вершину "второго" уровня). Создайте еще
четыре подобные вспомогательные плоскости.
13. Активизируйте команду Сечение поверхностью на странице Редак-
тирование детали и укажите в дереве модели Плоскость через ребро
и вершину:1. Если надо изменить направление отсечения (оно показыва-
ется в окне модели в виде стрелки), воспользуйтесь соответствующим
переключателем на вкладке Параметры панели свойств. Нажмите кноп-
ку Создать объект. Первая "лишняя" часть будет отсечена. Повторите
отсечения каждой плоскостью через ребро и вершину. Таким образом,
будет смоделирована нижняя часть додекаэдра (рис. 14.52).
14. Создайте еще пять вспомогательных плоскостей, проходящих через сто-
роны верхнего основания и соответствующие вершины "третьего" уровня
в Эскизе:4. При помощи команды Сечение поверхностью сформируйте
верхнюю часть додекаэдра. Модель готова (рис. 14.53).
Рис. 14.52. Заготовка модели додекаэдра с готовыми нижними гранями
Рис. 14.53. Модель додекаэдра
Икосаэдр
1. Создание модели икосаэдра однотипно моделированию додекаэдра. Соз-
дайте модель типа Деталь и установите ориентацию XYZ. Выделите гори-
зонтальную плоскость ZX и перейдите в режим создания эскиза (рис. 14.54).
Глава 14 412
В начале координат эскиза обозначьте командой Точка нижнюю вершину
икосаэдра (она обозначена как точка 1) и методом вращения вокруг пря-
мой уровня найдите положение горизонтальной проекции одной из вер-
шин "второго" уровня (эта точка обозначена как точка 2).
2. Определите высоту вершин "второго" уровня (расстояние h1 на рис. 14.34, б).
В Дереве модели выделите плоскость ZY и перейдите в режим создания
эскиза. Установите ориентацию Слева и спроецируйте из Эскиза:1 точки
1 и 2 (рис. 14.55). Из точки 2 проведите вертикальную линию, а из точки
1, как из центра, проведите дугу радиусом 40 мм. В пересечении дуги и
вспомогательной вертикальной линии отметьте командой Точка точку 3
(эта точка определяет высоту вершин "второго" уровня).
Рис. 14.54. Эскиз нижней вершины икосаэдра
Рис. 14.55. Вспомогательный эскиз для определения высоты вершин
"второго" уровня
3. Через точку 3 проведите вспомогательную горизонтальную плоскость
и вычертите в ней эскиз вершин "второго" уровня (рис. 14.56). Проведите
в эскизе вспомогательный правильный пятиугольник и командой Точка
обозначьте в пересечении с вертикальной линией, проведенной через на-
чало координат эскиза, точку 4 (эта точка понадобится для дальнейших
построений).
4. В плоскости ZY создайте эскиз для определения высоты вершин "третье-
го" уровня (расстояние h1+h2 на рис. 14.34, б). Спроецируйте в эскиз точ-
ки 3 и 4 (рис. 14.57). Постройте равносторонний треугольник со стороной
40 мм и вершиной в точке 4 и проведите из этой точки высоту треуголь-
ника. Из точки 3 вычертите вспомогательную вертикальную линию, а из
точки 4, как из центра, дугу, радиус которой равен высоте треугольника.
Многогранники 413
В пересечении отметьте командой Точка точку 5 (она определяет высоту
вершин "третьего" уровня).
Рис. 14.56. Эскиз вершин "второго" уровня
Рис. 14.57. Вспомогательный эскиз для определения высоты вершин "третьего" уровня
5. Через точку 5 проведите вспомогательную горизонтальную плоскость
и постройте в этой плоскости эскиз вершин "третьего" уровня (рис. 14.58).
6. В плоскости ZY создайте эскиз для определения высоты верхней вершины
(расстояние h1+h2+h1 на рис. 14.34, б). Спроецируйте в эскиз точки 3 и 5
и соедините их отрезком (рис. 14.59). Через середину отрезка проведите
вспомогательную горизонтальную линию. Спроецируйте точку 2 и сим-
метрично относительно вспомогательной горизонтальной линии построй-
те точку 6, определяющую высоту верхней вершины.
Глава 14 414
Рис. 14.58. Эскиз вершин "второго" уровня
Рис. 14.59. Вспомогательный эскиз для определения высоты верхней вершины
7. Через точку 6 проведите вспомогательную горизонтальную плоскость
и создайте в ней эскиз, содержащий только одну точку в начале координат
эскиза — верхнюю вершину икосаэдра.
8. В горизонтальной плоскости ZX вычертите эскиз квадрата с любой сторо-
ной, но больше чем созданные до этого эскизы вершин многогранника
(рис. 14.60, а) и при помощи Операции выдавливания создайте модель
прямого параллелепипеда, высота которого равна высоте додекаэдра
(рис. 14.60, б).
а б
Рис. 14.60. Эскиз (а) и модель прямого параллелепипеда (б) — заготовка для получения икосаэдра
Многогранники 415
9. Командой Плоскость через ребро и вершину создайте пять вспомо-
гательных плоскостей, проходящих через элементы нижних граней ико-
саэдра: сторону эскиза вершин "второго" уровня и нижнюю вершину.
Активизируйте команду Сечение поверхностью и укажите в дереве мо-
дели первую вспомогательную плоскость для отсечения. Повторите отсе-
чения каждой вспомогательной плоскостью через ребро и вершину. При
помощи таких построений будет смоделирована нижняя часть икосаэдра
(рис. 14.61).
10. Командой Плоскость через ребро и вершину создайте десять вспомога-
тельных плоскостей, проходящих через элементы средних граней икосаэд-
ра: сторону эскиза вершин "второго" уровня и вершину "третьего" уровня
и, наоборот, вершину "второго" уровня и сторону "третьего" уровня. Ко-
мандой Сечение поверхностью удалите "лишние" части заготовки и, та-
ким образом, создайте в модели десять средних граней (рис. 14.62).
11. Аналогично построению нижних граней достройте при помощи вспомо-
гательных плоскостей с последующим отсечением по этим плоскостям
пять верхних граней. Модель икосаэдра готова (рис. 14.63).
Рис. 14.61. Заготовка модели икосаэдра с готовыми нижними гранями
Рис. 14.62. Заготовка модели икосаэдра с готовыми нижними и средними гранями
Рис. 14.63. Модель икосаэдра
Глава 14 416
14.5. Полуправильные многогранники
Полуправильными многогранниками (иначе — телами Архимеда1) называют та-
кие выпуклые многогранники, у которых группа поворотов вокруг центра тяже-
сти переводит любую грань (вершину) в любую другую грань (вершину) этого
многогранника. Все грани полуправильных многогранников являются правиль-
ными многоугольниками нескольких разных наименований (в отличие от пра-
вильных многогранников), а многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Существует 13 специальных типов полуправильных многогранников, и две
бесконечные серии — призма и антипризма Архимеда. Из представленных
в табл. 14.2 два многогранника (усеченный куб и усеченный додекаэдр) не
являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы.
Таблица 14.2. Число вершин, ребер и граней полуправильных многогранников
Полу- правильный многогранник
Общий вид Число вершин
Число ребер
Число граней
Состав граней
1. Усеченная пирамида
12 18 8
4 треугольника + 4 шестиуголь-ника
2. Кубооктаэдр
12 24 14
8 треугольни-ков + 6 квадра-тов
3. Усеченный куб
24 36 14
8 треугольни-ков + 6 восьми-угольников
4. Усеченный октаэдр
24 36 14
6 квадратов + 8 шестиуголь-ников
1 Названы по имени Архимеда, который в не дошедшем до нас сочинении доказал
существование 13 типов полуправильных многогранников и две бесконечные серии.
Теория полуправильных многогранников была восстановлена И. Кеплером (1619).
Многогранники 417
Таблица 14.2 (продолжение)
Полу-
правильный
многогранник
Общий вид Число
вершин
Число
ребер
Число
граней
Состав граней
5. Ромбокубоок-
таэдр
24 48 26
8 треугольни-ков + 18 квад-ратов
6. Ромбоусе-
ченный кубоок-
таэдр
48 72 26
12 квадратов + 8 шестиуголь-ников + 6 вось-миугольников
7. Усеченный
(плосконосый)
куб
24 60 38
32 треугольни-ка + 6 квадра-тов
8. Икосододека-
эдр
30 60 32
20 треугольни-ков + 12 пяти-угольников
9. Усеченный
додекаэдр
60 90 32
20 треугольни-ков + 12 деся-тиугольников
10. Усеченный
икосаэдр
60 90 32
12 пятиуголь-ников + 20 шестиуголь-ников
11. Ромбо-
икосододекаэдр
60 120 62
20 треугольни-ков + 30 квад-ратов + 12 пя-тиугольников
Глава 14 418
Таблица 14.2 (окончание)
Полу-
правильный
многогранник
Общий вид Число
вершин
Число
ребер
Число
граней
Состав граней
12. Ромбоусе-
ченный икосо-
додекаэдр
120 180 62
30 квадратов + 20 шестиуголь-ников + 12 деся-тиугольников
13. Усеченный
(плосконосый)
додекаэдр
60 150 92
80 треугольни-ков + 12 пяти-угольников
Как отмечалось ранее, призмой Архимеда называется прямая правильная
призма, боковыми гранями которой являются квадраты, а антипризмой
Архимеда — антипризма, у которой боковые грани являются правильными
треугольниками. На рис. 14.64, а показана призма, а на рис. 14.64, б анти-
призма Архимеда, у которых в основании расположен правильный восьми-
угольник. Можно сконструировать бесконечное множество подобных тел.
Моделирование призмы Архимеда проводится всего одной формообразую-
щей операцией — Операцией выдавливания, эскизом которой является
основание призмы. Антипризму Архимеда можно смоделировать подобно
тому, как мы выполняли примеры моделей додекаэдра и икосаэдра, т. е.
путем создания вспомогательных плоскостей, проходящих через стороны
и вершины оснований, и отсечения по этим плоскостям заранее созданного
тела — заготовки многогранника.
а б
Рис. 14.64. Призма (а) и антипризма (б) Архимеда
Глава 15
Пространственные кривые
15.1. Общие сведения
о пространственных кривых линиях
В отличие от плоских кривых, пространственные кривые линии или кривые
"двоякой кривизны" не лежат всеми своими точками в одной плоскости. Так
же как и плоские кривые, пространственные могут быть закономерными (ал-
гебраическими или трансцендентными) и незакономерными.
В общем случае закономерная пространственная кривая описывается пара-
метрическим уравнением1:
txx tyy tzz ,
где tx , ty , tz — гладкие функции параметра t.
Алгебраической пространственной кривой называется кривая, которая зада-
ется как пересечение двух поверхностей в виде системы независимых и со-
вместных уравнений F(x,y,z)=0 и G(x,y,z)=0. С точки зрения геометрии по-
рядок пространственной алгебраической прямой определяется как число
точек ее пересечения с произвольной плоскостью.
В качестве примера алгебраической пространственной кривой приведем гип-
попеду Евдокса или лошадиную кривую — кривую, образующуюся при пере-
сечении поверхности кругового цилиндра с поверхностью шара, при этом
крайняя образующая цилиндра является касательной к поверхности шара
(рис. 15.1, а). В частном случае, когда радиус цилиндра вдвое меньше радиу-
са сферы, образуется вивиана или кривая Вивиани (рис. 15.1, б).
1 Такие кривые исследуют алгебраическими методами и методами математического
анализа в аналитической и дифференциальной геометрии.
Глава 15 420
а б
Рис. 15.1. Гиппопеда Евдокса (а) и ее частный случай — вивиана (б)
Проекция гиппопеды Евдокса на плоскость, касательную к шару и цилиндру,
представляет собой уже знакомую нам лемнискату Бернулли (рис. 15.2).
Рис. 15.2. Фронтальная и профильная проекции гиппопеды Евдокса
Наиболее важными трансцендентными пространственными кривыми явля-
ются винтовые линии — о них будет рассказано далее более подробно.
Определение касательной к пространственной кривой аналогично определе-
нию касательной к плоской кривой (рис. 15.3): касательная t в точке K про-
странственной кривой а называется предельным положением секущей KТ,
когда точка Т, оставаясь на кривой а, стремится к точке K.
Так же, как и для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве про-
ецируется в касательную к проекции этой кривой (рис. 15.4).
Обратное утверждение, однако, не верно. Прямая является только тогда каса-
тельной к пространственной кривой, когда две ее проекции являются каса-
тельными к проекциям кривой.
Пространственные кривые 421
Рис. 15.3. Касательная t к пространственной кривой а
Рис. 15.4. Проецирование касательной t к пространственной кривой а
Любая плоскость, проходящая через касательную к пространственной кри-
вой, называется касательной плоскостью кривой. Через некоторую касатель-
ную можно провести бесчисленное множество касательных плоскостей, сре-
ди которых выделяют соприкасающуюся плоскость и спрямляющую
плоскость.
Соприкасающейся плоскостью кривой линии называют предельное положе-
ние плоскости в некоторой точке пространственной кривой линии, проходя-
щей через эту точку и две другие, принадлежащие кривой и бесконечно при-
ближающиеся к первой точке. Поясним определение соприкасающейся
плоскости на примере.
На рис. 15.5, а изображена пространственная кривая а, к которой в точке K
проведена касательная t. Вблизи точки K на кривой выбраны еще две точки А
и В, и через точки K и А, K и В проведены секущие прямые b и с. Эти пере-
секающиеся в точке K секущие определяют некоторую плоскость . При не-
ограниченном приближении точек А и В к точке K секущие b и с будут стре-
мится к положению касательной t, а плоскость — к положению плоскости .
Плоскость является соприкасающейся плоскостью кривой а в точке K.
Глава 15 422
Рис. 15.5. Соприкасающаяся плоскость (а) и подвижный триэдр (б)
Вблизи точки соприкосновения кривая расположена по разные стороны от
соприкасающейся плоскости. Окружность, проведенная через точку K и бес-
конечно сближающиеся к ней точки А и В, называется соприкасающейся ок-
ружностью. Нормаль n, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется
главной нормалью; нормаль k, перпендикулярная соприкасающейся плоско-
сти, — бинормалью.
Плоскость , проходящая через касательную t и бинормаль k, называется
спрямляющей плоскостью кривой линии, а плоскость , проходящая через
главную нормаль n и бинормаль k, — нормальной плоскостью (рис. 15.5, б).
Касательная t, главная нормаль n и бинормаль k образуют трехгранный угол,
известный как триэдр2 кривой линии. Иногда триэдром называют систему
единичных векторов, направленных по этим прямым.
Так как направление этих прямых при движении точки по кривой линии ме-
няется, то говорят о подвижном (или сопровождающем) триэдре кривой ли-
нии. Положение некоторой точки кривой линии в пространстве однозначно
определяется положением триэдра в этой точке, поэтому анализ положения
триэдра применяется в теории пространственных кривых линий.
Интенсивность искривления пространственной линии определяется двумя
характеристиками:
величиной отклонения от прямой, являющейся касательной к этой кривой
(она называется просто кривизной или первой кривизной);
величиной отклонения от соприкасающейся плоскости (эту величину на-
зывают кручением, или кривизной кручения, или второй кривизной про-
странственной кривой линии).
2 В учебной литературе используются также синонимы термина "триэдр" — основной
трехгранник или трехгранник Френе.
Пространственные кривые 423
Поэтому пространственные кривые линии иногда называют как линии "двоя-
кой кривизны".
Радиус R соприкасающейся окружности (см. рис. 15.5, а) определяет радиус кри-
визны пространственной кривой линии, а обратная ей величина — кривизну этой
линии. Соприкасающаяся окружность всегда лежит в соприкасающейся плоско-
сти, а ее центр — на главной нормали, проведенной из точки касания.
На рис. 15.6 приведена пространственная кривая b, к которой через точки K1
и K2 проведены две соприкасающиеся плоскости — соответственно плоско-
сти 1 и 2. Средним кручением дуги K1K2 является отношение величины
линейного угла между соприкасающимися плоскостями, проведенными
в точках K1 и K2, к длине этой дуги. Линейный угол между соприкасающими-
ся плоскостями может быть измерен углом между бинормалями к кривой b в точках K1 и K2.
Предельное положение среднего кручения при стремлении точки K2 к точке K1
называется кручением кривой b в точке K1. Чем меньше величина кручения,
тем она ближе располагается к соприкасающейся плоскости. Для плоской кри-
вой линии кручение во всех ее точках равно нулю, т. к. кривая целиком лежит
в одной плоскости — общей соприкасающейся плоскости всех ее точек.
Рис. 15.6. Пространственная кривая b и две соприкасающиеся плоскости 1 и 2
15.2. Винтовые линии
15.2.1. Свойства винтовых линий
Винтовой линией называется пространственная кривая линия, являющаяся
траекторией точки, которая равномерно вращается вокруг неподвижной пря-
мой (оси винтовой линии) и одновременно перемещается поступательно
вдоль этой оси.
Глава 15 424
Винтовая линия может быть правой (с правым ходом) или левой (с левым
ходом). Винтовая линия называется правой, если при подъеме она закручива-
ется в направлении против движения часовой стрелки. В обратном случае
винтовая линия является левой.
Величина перемещения вдоль оси винтовой линии, соответствующая одному
полному обороту вокруг оси, называется шагом, а длина дуги, соответст-
вующая полному обороту точки вокруг оси, — витком. Если величина пере-
мещения точки вдоль оси прямо пропорциональна угловым перемещениям,
то винтовая линия имеет постоянный шаг. Если перемещение образующей
точки вдоль оси происходит по своему закону, то получается винтовая линия
с переменным шагом.
Угол наклона касательной, проведенной в некоторой точке винтовой линии
к плоскости, перпендикулярной оси, называется углом подъема винтовой
линии.
В зависимости от вида поверхности, по которой происходит перемещение
образующей точки, винтовые линии подразделяются на цилиндрические, ко-
нические и глобоидные винтовые линии.
15.2.2. Цилиндрическая винтовая линия
Цилиндрическая винтовая линия или гелиса образуется при движении точки
по поверхности кругового цилиндра (рис. 15.7). Диаметр цилиндра D и раз-
мер шага h являются параметрами цилиндрической винтовой линии.
При равномерном перемещении точки по поверхности цилиндра она совер-
шает сложный вид движения, состоящего из вращательного движения по ок-
ружности и поступательного перемещения, перпендикулярного этой окруж-
ности. При повороте на некоторый угол точка А переместится в точку А1,
а величина ее поступательного перемещения вдоль оси будет равна
360
hh ,
где h — шаг цилиндрической винтовой линии.
При этом ее горизонтальная проекция будет перемещаться по окружности,
а фронтальная — по синусоиде.
Построение фронтальной проекции цилиндрической винтовой линии прово-дится аналогично построению синусоиды (рис. 15.8). Окружность основания цилиндра на горизонтальной плоскости проекций делится на n равных частей (например, на двенадцать). Отрезок оси цилиндра, равный шагу h винтовой линии, делится на то же количество n равных частей. Фронтальные проекции точек, лежащих на винтовой линии, находятся в пересечении горизонтальных и вертикальных прямых, проведенных через соответствующие точки деления.
Пространственные кривые 425
Рис. 15.7. Цилиндрическая винтовая линия
Рис. 15.8. Построение цилиндрической винтовой линии
На горизонтальной проекции точка при ее подъеме вращается против часо-
вой стрелки, следовательно, построенная цилиндрическая винтовая линия
является правой.
Основные свойства цилиндрической винтовой линии:
на плоскость проекций, перпендикулярную оси, цилиндрическая винтовая
линия проецируется в окружность; на плоскость проекций, параллельную
оси, — в синусоиду;
угол подъема цилиндрической винтовой линии с постоянным шагом h
не изменяется и может быть определен по формуле
D
harctg ;
винтовая линия пересекает все образующие цилиндра под постоянным
углом, равным 90 – ;
Глава 15 426
кривизна и кручение цилиндрической винтовой линии во всех ее точках
постоянны;
цилиндрическая винтовая линия обладает симметрией переноса в направ-
лении по ее оси на расстояние, равное шагу; при этом две симметричные
дуги полностью совпадают при наложении друг на друга.
15.2.3. Коническая винтовая линия
Коническая винтовая линия образуется при движении точки по поверхности
кругового конуса. При этом точка совершает равномерное поступательное
движение по образующей конуса, которая в свою очередь равномерно враща-
ется вокруг оси конуса (рис. 15.9). Размеры конуса (например, диаметр его
основания D и высота H), а также размер шага h являются параметрами ко-
нической винтовой линии. Иногда шагом конической винтовой линии назы-
вают расстояние h1 между точками смежных витков, измеренное по обра-
зующей.
Рис. 15.9. Коническая винтовая линия
Для построения проекций конической винтовой линии окружность основания
конуса делится на n равных частей (например, на двенадцать), и через точки
деления проводятся образующие конуса (рис. 15.10). На оси винтовой линии
откладывается отрезок, равный ее шагу h, который делится на то же количе-
Пространственные кривые 427
ство n равных частей. В пересечении горизонтальных прямых, проведенных
из точек деления шага, с соответствующими образующими конуса находятся
фронтальные проекции точек, принадлежащих искомой винтовой линии.
По фронтальным проекциям этих точек строятся их горизонтальные проекции.
Рис. 15.10. Построение конической винтовой линии
На горизонтальной проекции точка при ее подъеме вращается по часовой стрел-
ке, следовательно, построенная коническая винтовая линия является левой.
Основные свойства конической винтовой линии:
на плоскость проекций, перпендикулярную оси, коническая винтовая ли-
ния проецируется в архимедову спираль; на плоскость проекций, парал-
лельную оси, — в синусоиду с затухающей амплитудой;
угол подъема конической винтовой линии, имеющей постоянный шаг, не
изменяется;
коническая винтовая линия пересекает все образующие под одинаковым
углом.
Глава 15 428
15.2.4. Глобоидная винтовая линия
Глобоидная винтовая линия образуется движением точки, которая перемеща-
ется по поверхности глобоида (тела, ограниченного при вращении дуги ок-
ружности), равномерно вращаясь вокруг его оси и одновременно перемеща-
ясь поступательно вдоль этой оси. Правила построения глобоидной винтовой
линии общие для винтовых линий (рис. 15.11).
Рис. 15.11. Глобоидная винтовая линия
15.3. Пространственные кривые в системе КОМПАС-3D
15.3.1. Команды построения пространственных кривых
В системе КОМПАС-3D возможно построение пространственных кривых
трех следующих типов:
цилиндрическая винтовая линия с постоянным шагом (команда Спираль
цилиндрическая);
Пространственные кривые 429
коническая винтовая линия с постоянным шагом (команда Спираль ко-
ническая);
NURBS-кривая (команда Сплайн).
Кнопки для вызова соответствующих команд находятся на инструментальной
панели Пространственные кривые (см. рис. 13.30). Полученные кривые
могут использоваться в качестве эскизов-направляющих при создании кине-
матических элементов.
15.3.2. Спираль цилиндрическая
Перед вызовом команды требуется выделить плоскую грань или плоскость,
которая станет опорной для цилиндрической винтовой линии. Ее начало ле-
жит в опорной плоскости, и сама опорная плоскость перпендикулярна оси
кривой. Точка привязки винтовой линии по умолчанию располагается в на-
чале локальной системы координат опорной плоскости.
Активизируйте команду Спираль цилиндрическая на панели Пространст-
венные кривые. В окне документа появится фантом создаваемой винтовой
линии. На панели свойств необходимо установить ее параметры (рис. 15.12).
Рис. 15.12. Панель свойств команды Спираль цилиндрическая
Рекомендуем следующий порядок моделирования винтовой линии:
1. Прежде всего, выберите один из трех способов построения:
По числу витков и шагу;
По числу витков и высоте;
По шагу витков и высоте.
При использовании способа По числу витков и шагу надо ввести нуж-
ные значения в поля Шаг и Число витков, при использовании двух
других способов построения — число или шаг витков и высоту винтовой
линии.
Глава 15 430
2. Для задания высоты винтовой линии имеются две опции: По размеру или
По объекту.
При выборе варианта По размеру в поле Размер следует ввести высоту
винтовой линии.
При выборе варианта По объекту высота винтовой линии определяется
автоматически по положению указанной в дереве модели или в окне
документа грани, плоскости или точки.
3. Выберите направление построения винтовой линии: Прямое или Обрат-
ное (если высота определяется по объекту, то изменение направления
невозможно) и направление навивки: Левое или Правое.
4. Для изменения точки привязки винтовой линии расфиксируйте поле т
и укажите положение мышью или введите новые координаты точки при-
вязки в поле т.
5. Задайте диаметр винтовой линии на вкладке Диаметр.
6. Для подтверждения создания нажмите кнопку Создать объект.
15.3.3. Спираль коническая
Способ построения, число витков, шаг, высота, направление навивки и дру-
гие параметры конической винтовой линии задаются точно так же, как при
построении цилиндрической винтовой линии. Разница заключается в управ-
лении диаметром. Раскройте вкладку Диаметр на панели свойств (рис. 15.13).
Рис. 15.13. Вкладка Диаметр команды Спираль коническая
Здесь надо установить диаметр отдельно для начального и конечного диа-
метров конической винтовой линии. Возможны три способа установления
диаметра:
По размеру — введите начальный (конечный) диаметр винтовой линии
в поле Диаметр 1 (Диаметр 2);
По объекту — диаметр определяется автоматически по размеру или по-
ложению указанного в окне документа объекта;
По наклону образующей (только для конечного диаметра):
введите в поле Угол значение угла наклона образующей к оси винто-
вой линии;
Пространственные кривые 431
выберите направление наклона образующей, активизировав соответст-
вующий переключатель в группе Наклон образующей;
в поле Диаметр 2 появится вычисленное значение конечного диаметра.
15.3.4. Сплайн
Для создания сглаженной пространственной кривой линии, проходящей че-
рез известные точки пространства, используется команда Сплайн на инстру-
ментальной панели Пространственные кривые.
Чтобы построить сплайн, необходимо последовательно задать координаты
его вершин, значения которых отображаются в таблице параметров на пане-
ли свойств (рис. 15.14).
Рис. 15.14. Панель свойств команды Сплайн
Возможно несколько приемов задания координат вершин:
ручной ввод данных в таблицу Координаты вершин;
построение опорных точек;
указание точек в окне документа;
использование имеющихся текстовых файлов данных.
Ручной ввод
Для ручного ввода координат вершин кривой надо активизировать двойным
щелчком соответствующие ячейки таблицы Координаты вершин и ввести
в них требуемые значения. Для перемещения между ячейками можно исполь-
зовать комбинации клавиш <Ctrl>+<стрелки>.
Глава 15 432
Построение опорных точек
Для построения опорных точек, определяющих положение вершин сплайна,
нажмите кнопку Построить точку на панели специального управления. Сис-
тема перейдет в процесс создания точки, аналогичный команде Точка. Вы-
берите способ построения точки, а затем задайте требуемые параметры.
Завершив задание параметров, нажмите кнопку Создать объект, и система
вернется в процесс построения кривой.
В таблице Координаты вершин появится строка с вершиной, совпадающей
с построенной точкой. В ячейке таблицы автоматически включится опция
Связь с вершиной объекта (это свидетельствует о том, что для данной вер-
шины построена опорная точка). Координаты вершин кривой, полученные
таким способом, нельзя отредактировать непосредственно в таблице.
Указание опорных точек в окне документа
Указать вершину кривой, совпадающую с уже имеющимися в модели точка-
ми, можно прямо курсором в окне документа. Когда рядом с курсором поя-
вится условное изображение вершины, щелкните левой кнопкой мыши. Но-
вая вершина появится в окне модели. В таблице Координаты вершин
автоматически заполнится строка с координатами выбранной точки и будет
включена опция Связь с вершиной объекта.
Использование текстового файла
Таблицу параметров вершин сплайна можно заполнить значениями, подго-
товленными в текстовом файле с расширением txt. Для этого нажмите кнопку
Читать из файла на панели управления таблицы и в появившемся диалого-
вом окне выберите нужный файл. Кнопка Читать из файла доступна только
в том случае, если таблица пуста.
Дополнительные опции
Чтобы удалить вершину, выделите ее строку в таблице Координаты
вершин и нажмите кнопку Удалить вершину или клавишу <Delete>.
С помощью комбинации клавиш <Shift>+<стрелка> можно выделить
несколько строк и удалить их все вместе.
Для добавления новой строки между уже созданными вершинами выдели-
те строку, перед которой должна быть вставлена новая строка, и нажмите
кнопку Создать новую вершину. В таблицу Координаты вершин будет
добавлена новая точка, координаты которой совпадают с координатами
предыдущей точки. Отредактируйте значения координат в ячейках новой
строки.
Пространственные кривые 433
Значения таблицы Координаты вершин можно сохранить в виде тексто-
вого файла и впоследствии использовать для создания новых кривых.
Чтобы сохранить таблицу как текстовый файл, нажмите кнопку Сохра-
нить в файл и укажите имя и путь для его записи.
При помощи переключателя Режим можно выбрать создание разомкнуто-
го или замкнутого сплайна. При построении замкнутой кривой ее послед-
няя точка соединяется с первой.
Переключатель Тип позволяет выбрать способ построения: По точкам
или По полюсам.
При построении По точкам координаты точек, заданные таблицей,
считаются вершинами сплайна — сплайн проходит через них.
При построении сплайна По полюсам точки, заданные таблицей, счита-
ются полюсами NURBS-кривой. В этом случае становятся доступными
поле Порядок кривой3 и колонка Вес
4 в таблице параметров. По умолча-
нию система устанавливает порядок кривой 4, а вес точек — 1. При не-
обходимости вы можете ввести любое значение веса точки из диапазона
0,0001–999, а значение порядка кривой — из диапазона 3–10.
Если введены две или более вершин сплайна, становится доступной кнопка
Создать объект. Нажмите ее, чтобы построить сплайн.
Пример 52. Построить винтовую цилиндрическую линию диаметром
40 мм с переменным шагом, равным 40 t (t — параметр функции).
1. Команда Спираль цилиндрическая позволяет строить цилиндрическую
винтовую линию с постоянным шагом. Поэтому для построения винтовой
цилиндрической линии с переменным шагом воспользуемся командой
Сплайн. Параметрическое уравнение винтовой цилиндрической линии
диаметром 40 мм будет следующим (для ориентации XYZ):
х t40cos , y t40 , z t40sin .
2. Рассчитайте координаты ряда точек спирали в любом математическом
приложении, например, в электронных таблицах MS Excel (чем больше
заданных точек, тем точнее будет построенная кривая) — табл. 15.1.
3 Порядок NURBS-кривой — число, на единицу большее степени полиномов, описы-
вающих участки, из которых состоит NURBS-кривая. 4 Вес точки — коэффициент, определяющий влияние опорной точки NURBS-кривой
на конфигурацию этой кривой. Геометрический смысл этого коэффициента следую-
щий: чем больше вес точки, тем ближе к ней расположена кривая.
Глава 15 434
Таблица 15.1. Данные для построения спирали
t x y z Вес
0 0,000 0,000 40,000 0,000
1 33,659 40,000 21,612 0,000
2 36,372 56,569 –16,646 0,000
3 5,645 69,282 –39,600 0,000
4 –30,272 80,000 –26,146 0,000
5 –38,357 89,443 11,346 0,000
6 –11,177 97,980 38,407 0,000
7 26,279 105,830 30,156 0,000
8 39,574 113,137 –5,820 0,000
9 16,485 120,000 –36,445 0,000
10 –21,761 126,491 –33,563 0,000
11 –40,000 132,665 0,177 0,000
12 –21,463 138,564 33,754 0,000
13 16,807 144,222 36,298 0,000
14 39,624 149,666 5,469 0,000
15 26,012 154,919 –30,388 0,000
3. Конвертируйте таблицу так, чтобы она стала текстовым документом. Об-
ратите внимание на то, чтобы, во-первых, разделителем между значения-
ми в строках стоял знак пробела (а не табуляции) и, во-вторых, дробная
часть отделялась от целой при помощи точки (а не запятой). На рис. 15.15
показано, как примерно должен выглядеть тестовый файл со значениями
параметров сплайна.
4. В системе КОМПАС-3D создайте файл типа Деталь. Вызовите команду
Сплайн на странице Пространственные кривые. Раскройте таблицу па-
раметров Координаты вершин и активизируйте опцию Читать из файла.
Выберите подготовленный файл и нажмите кнопку Открыть. В таблице
Координаты вершин автоматически заполнятся строки с координатами
точек сплайна, а в окне документа появится фантом кривой, на котором
будут отмечены и пронумерованы точки, через которые проходит сплайн
(рис. 15.16).
Пространственные кривые 435
Рис. 15.15. Текстовый файл со значениями параметров сплайна
Рис. 15.16. Построение цилиндрической винтовой линии с переменным шагом
5. Для подтверждения построений нажмите кнопку Создать объект, и система
построит цилиндрическую винтовую линию с заданными параметрами.
Глава 16
Кривые поверхности
16.1. Общие сведения
о кривых поверхностях
16.1.1. Образование и типы кривых поверхностей
Поверхность является одним из основных понятий геометрии. В начерта-
тельной геометрии под поверхностью понимается совокупность всех после-
довательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.
Такие поверхности носят название кинематических, т. к. они образуются не-
прерывным движением. Линию, производящую поверхность, в каждом ее
положении называют образующей.
В общем случае в зависимости от формы траектории, описываемой обра-
зующей линией, поверхности разделяются на многогранные, о которых мы
уже рассказывали в главе 14, и кривые поверхности. Соответственно геомет-
рические тела делятся на тела, ограниченные многогранной поверхностью,
и тела, ограниченные кривой поверхностью.
При изображении кривой поверхности ограничиваются показом образующей
линии лишь в некоторых ее положениях. В понятие проекция поверхности
входит проекция контура (очертания или очерка) этой поверхности и проек-
ции определяющих ее геометрических элементов (точек и линий).
На рис. 16.1 показан пример кривой поверхности, образованной путем посту-
пательного движения образующей кривой линии АВ на расстояние l в направ-
лении s. На рисунке показано начальное и конечное положения кривой АВ.
Если образующая линия перемещается в пространстве по некоторому закону,
то кривая поверхность называется закономерной, в противном случае образу-
ется незакономерная кривая поверхность.
Глава 16 438
Рис. 16.1. Пример образования кривой поверхности
При аналитическом способе задания закономерную поверхность можно рас-
сматривать как геометрическое место точек, координаты которых в прямо-
угольной системе координат удовлетворяют некоторому заданному уравне-
нию вида F(x,y,z)=0. Если это уравнение является алгебраическим
уравнением степени n, то поверхность называется алгебраической поверхно-
стью n-го порядка. В частности, плоскость выражается уравнением первой
степени, и ее можно назвать поверхностью первого порядка. Поверхности
второго порядка являются кривыми поверхностями.
Если уравнение, описывающее поверхность, является трансцендентным, т. е.
содержащим показательную, логарифмическую или тригонометрическую
функции, то поверхность называется трансцендентной.
Незакономерные поверхности могут задаваться только графически при по-
мощи некоторого количества линий, принадлежащих такой поверхности.
К незакономерным поверхностям относятся графические поверхности.
Кривые поверхности в зависимости от того, могут они быть совмещены с
плоскостью чертежа без разрывов и складок или нет, делятся на разверты-
ваемые и неразвертываемые поверхности (о развертывании поверхностей
будет рассказано в главе 18).
В зависимости от формы образующей линии кривые поверхности подразде-
ляются на линейчатые, которые могут быть образованы движением прямой
линии, и нелинейчатые поверхности.
Основные типы кривых поверхностей, а также их деление на линейчатые
и нелинейчатые поверхности приведены в табл. 16.1.
Кривые поверхности 439
Таблица 16.1. Кривые поверхности
Поверх-ность
Способ задания Линейчатые Нелинейчатые
Поверх-ность второ-го порядка
Алгебраическое уравнение второ-го порядка
Однополостный гиперболо-ид, гиперболический пара-болоид, цилиндрическая поверхность, коническая поверхность
Эллипсоид, двупо-лостный гиперболо-ид, эллиптический параболоид
Поверх-ность вра-щения
Вращение линии вокруг некоторой оси
Однополостный гиперболо-ид вращения, круговая ци-линдрическая поверхность, круговая коническая по-верхность
Все остальные по-верхности (тор, ка-теноид и др.)
Поверх-ность с плоскостью паралле-лизма
Движение пря-мой, параллель-ной заданной плоскости
Цилиндроид, коноид, гипер-болический параболоид
Нет
Поверх-ность с ребром возврата
Движение пря-мой, являющейся касательной к кривой линии
Все поверхности Нет
Цикличе-ская по-верхность
Движение окруж-ности постоянно-го или перемен-ного диаметра
Однополостный гиперболо-ид вращения, круговая ци-линдрическая поверхность, круговая коническая по-верхность
Все остальные по-верхности
Графиче-ская по-верхность
При помощи ли-ний, принадлежа-щих поверхности
Нет Все поверхности
Поверх-ность пере-носа
Поступательное движение кривой линии
Гиперболический параболо-ид, цилиндрическая поверх-ность
Все остальные по-верхности
Винтовая поверхность
Винтовое движе-ние линии
Геликоид Все остальные по-верхности
Одна и та же кривая поверхность может быть образована перемещением раз-
личных линий и согласно разным условиям, которым должна подчиняться
в своем перемещении образующая линия. Например, круговая цилиндриче-
ская поверхность может рассматриваться как:
поверхность второго порядка, описываемая алгебраическим уравнением
х y+ =
а b
2 2
1;
Глава 16 440
поверхность вращения, образуемая при вращении прямой линии вокруг
параллельной ей оси;
поверхность с плоскостью параллелизма, образуемая перемещением пря-
мой линии, во всех своих положениях параллельной заданной плоскости
и пересекающей две окружности, лежащие в плоскостях, перпендикуляр-
ных плоскости параллелизма;
циклическая поверхность, полученная в результате перемещения окруж-
ности постоянного диаметра вдоль прямой, перпендикулярной плоскости
этой окружности;
поверхность переноса, образуемая в результате непрерывного поступа-
тельного движения окружности.
Если кривая поверхность может быть образована по нескольким законам, то
из них выбирают тот, который является наиболее простым и удобным для ее
изображения и решения задач, связанных с нею.
16.1.2. Кривые поверхности в системе КОМПАС-3D
Построение геометрических тел — твердотельных моделей — в системе
КОМПАС-3D, как уже отмечалось в главе 13, осуществляется при помощи
формообразующих элементов четырех типов: элемента выдавливания, эле-
мента вращения, кинематического элемента и элемента по сечениям. В прин-
ципе поверхности могут быть построены теми же командами с заданием тон-
кой стенки незначительной величины (скажем, в пределах 0,05—0,10 мм).
Построенные таким образом поверхности обладают свойствами твердотель-
ной модели, т. е. они заполнены определенным материалом, обладают массой
и легко трансформируются в ассоциативные чертежи.
Для создания собственно поверхностей (не имеющих толщины!) в системе
КОМПАС-3D имеется специальная инструментальная панель Поверхности
(рис. 16.2). Поверхности используются, в основном, как некоторые вспомога-
тельные элементы, например, для отсечения части модели или в качестве
объекта, до которого производится выдавливание.
Помимо формирования поверхностей тех же четырех типов, что и для твер-
дотельных моделей, здесь доступны несколько дополнительных команд:
команда Импортированная поверхность для импорта в файл поверхно-
сти, записанной в другом файле с расширением sat или igs;
команда Заплатка для создания поверхности, ограниченной замкнутым
контуром (этот контур может полностью содержаться в одном или не-
скольких эскизах);
Кривые поверхности 441
команда Сшивка поверхностей для соединения открытых ребер указан-
ных поверхностей;
команда Удалить грани.
Рис. 16.2. Инструментальная панель Поверхности
16.2. Поверхности второго порядка
16.2.1. Общие сведения
о поверхностях второго порядка
Поверхностью второго порядка, как уже отмечалось ранее, называется по-
верхность, которую в прямоугольной системе координат можно выразить
алгебраическим уравнением второй степени. Поверхность второго порядка
может быть действительной или мнимой. Мнимая поверхность не определяет
какого-либо геометрического образа, поэтому в начертательной геометрии
рассматриваются только действительные поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка, имеющая центр симметрии, называется
центральной.
Глава 16 442
Поверхности второго порядка в зависимости от коэффициентов, определяю-
щих ее алгебраическое уравнение, подразделяются на следующие типы:
эллиптическая поверхность (эллипсоид);
гиперболическая поверхность (однополостный или двуполостный гипер-
болоид);
параболическая поверхность (эллиптический или гиперболический пара-
болоид);
цилиндрическая поверхность (эллиптическая, гиперболическая или пара-
болическая);
коническая поверхность.
К линейчатым поверхностям относятся однополостной гиперболоид, гипер-
болический параболоид, цилиндрическая и коническая поверхности. К нели-
нейчатым поверхностям относятся эллипсоид, эллиптический параболоид
и двуполостной гиперболоид.
Из поверхностей второго порядка к развертываемым поверхностям относятся
только цилиндрическая и коническая, остальные являются неразвертывае-
мыми.
Некоторые поверхности второго порядка могут быть образованы путем вра-
щения кривой линии второго порядка вокруг ее действительной или мнимой
оси. В этом случае они называются поверхностями вращения второго поряд-
ка. К ним относятся:
эллипсоид вращения (в частности, сфера);
гиперболоид вращения (однополостный и двуполостный);
параболоид вращения;
круговая цилиндрическая поверхность;
круговая коническая поверхность.
Сечение поверхности второго порядка любой плоскостью представляет со-
бой линию второго порядка.
16.2.2. Эллипсоид
Эллипсоид представляет собой замкнутую центральную поверхность второ-
го порядка и может быть получен в результате движения деформирующе-
гося эллипса. Эллипсоид имеет три оси симметрии, проходящие через его
центр.
Кривые поверхности 443
Хорды 2a, 2b и 2c (рис. 16.3), лежащие на осях симметрии, называются ося-
ми эллипсоида. В зависимости от соотношения длин осей различают:
2a 2b 2c — трехосный эллипсоид;
2a=2b 2c — сжатый эллипсоид вращения (сфероид);
2a 2b=2c — вытянутый эллипсоид вращения;
2a=2b=2c — сфера.
Рис. 16.3. Проекции трехосного эллипсоида
Поверхности сжатого и вытянутого эллипсоидов вращения могут быть полу-
чены в результате вращения эллипса вокруг его соответственно малой и
большой осей (рис. 16.4). В этом случае эллипсоид можно рассматривать как
поверхность вращения.
а б
Рис. 16.4. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения
Глава 16 444
Для того чтобы получить горизонтальную проекцию произвольной точки K,
заданную фронтальной проекцией K и лежащей в направлении на плоскость
2 на видимой поверхности сжатого эллипсоида вращения, необходимо по-
строить сечение вспомогательной горизонтальной плоскостью (рис. 16.5, а).
На горизонтальной плоскости проекций это сечение спроецируется в окруж-
ность. Искомая проекция K лежит в пересечении построенной окружности
и линии связи проведенной из K .
Рис. 16.5. Построение недостающей проекции точки, лежащей на поверхности сжатого (а) и вытянутого (б) эллипсоидов вращения
Аналогично строится недостающая профильная проекция точки, лежащей на
поверхности вытянутого эллипсоида вращения (рис. 16.5, б).
В сечении эллипсоида любой секущей плоскостью образуется эллипс (в ча-
стном случае — окружность). Эллипсоид относится к неразвертываемым по-
верхностям.
16.2.3. Гиперболоид
Гиперболоид — незамкнутая центральная поверхность второго порядка.
Гиперболоид может быть образован перемещением деформирующегося эл-
липса в направлении, перпендикулярном его плоскости.
Существуют два вида гиперболоида, состоящие из одной или двух частей —
полостей. Поэтому их разделяют на однополостные и двуполостные.
Кривые поверхности 445
а б
Рис. 16.6. Однополостный (а) и двуполостный (б) гиперболоиды вращения
Гиперболоид вращения может быть получен в результате вращения гипербо-
лы (образующей) вокруг ее мнимой или действительной осей. В первом слу-
чае образуется однополостной гиперболоид вращения (рис. 16.6, а), во вто-
ром — двуполостной гиперболоид вращения (рис. 16.6, б).
Для получения горизонтальной проекции произвольной точки K, заданной
фронтальной проекцией K и лежащей в направлении на плоскость 2 на ви-
димой поверхности однополостного гиперболоида, необходимо построить
сечение плоскостью (рис. 16.7, а). На горизонтальной плоскости проекций
это сечение спроецируется в окружность. Искомая проекция K лежит в пере-
сечении построенной окружности и линии связи, проведенной из K .
Аналогично строится недостающая проекция точки, лежащей на поверхности
двуполостного гиперболоида (рис. 16.7, б).
Наименьшая параллель (т. е. сечение в плоскости, перпендикулярной оси) —
горло однополостного гиперболоида находится в плоскости, проходящей че-
рез вершину А образующей гиперболы и центр гиперболы О. Диаметр горла
однополостного гиперболоида равен 2а — длине большой оси образующей
гиперболы.
Кратчайшее расстояние между полостями двуполостного гиперболоида так-
же равно 2а. Как для однополостного, так и двуполостного гиперболоидов
меридианом (т. е. сечением в плоскости, параллельной оси) является гипер-
бола. Оба вида гиперболоида являются неразвертываемыми поверхностями.
Глава 16 446
Рис. 16.7. Построение недостающей проекции точки, лежащей на поверхности однополостного (а) и двуполостного (б) гиперболоидов вращения
Однополостной гиперболоид может быть также получен в результате враще-
ния прямой вокруг скрещивающейся с ней оси, поэтому он относится и к ли-
нейчатым поверхностям. Через каждую точку однополостного гиперболоида
можно провести две прямолинейные образующие, целиком лежащие на его
поверхности. Эти прямые принадлежат двум сериям образующих, из которых
может быть составлен каркас поверхности гиперболоида.
Пример 53. Построить каркас однополостного гиперболоида, полученно-
го в результате вращения прямой а вокруг оси i (рис. 16.8).
1. Прямая а при вращении вокруг оси i образует одну серию прямолинейных
образующих однополостного гиперболоида. Горизонтальная проекция
другой образующей — прямой b — совпадает с проекцией образующей а,
и при вращении вокруг оси i эта прямая формирует вторую серию прямо-
линейных образующих (рис. 16.9). Образующая b пересекает образую-
щую а в точке K.
Кривые поверхности 447
Рис. 16.8. Исходные данные для построения каркаса однополостного гиперболоида
Рис. 16.9. Построение прямой b, формирующей вторую серию образующих
Рис. 16.10. Построение горизонтальной проекции каркаса гиперболоида
Рис. 16.11. Каркас однополостного гиперболоида
Глава 16 448
2. При повороте прямых а и b образуются их новые положения, формирую-
щие каркас гиперболоида. Причем на горизонтальной плоскости проекции
новых положений образующих будут совпадать. Постройте каркас по-
верхности гиперболоида при вращении образующих на некоторый посто-
янный угол, например, на 10 (рис. 16.10). Выделите горизонтальную про-
екцию а и активизируйте команду Копия по окружности на странице
Редактирование. Щелчком мыши укажите центр копирования в i , в поле
Количество копий введите 36 и переключите опцию Режим в положение
Вдоль всей окружности. Для подтверждения построений нажмите кноп-
ку Создать объект и в завершении нажатием на клавишу <Esc> выйдите
из команды.
3. Перенесите проекции образующих на плоскость 2, и каркас гиперболоида
будет построен (рис. 16.11).
16.2.4. Параболоид
Параболоид является незамкнутой нецентральной поверхностью второго по-
рядка. Существуют два вида параболоида:
эллиптический (рис. 16.12, а);
гиперболический или косая плоскость (рис. 16.12, б).
а б
Рис. 16.12. Эллиптический (а) и гиперболический (б) параболоиды
Оба вида параболоида могут быть представлены как поверхности, описывае-
мые при движении одной (подвижной) параболы вдоль другой (неподвиж-
ной) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной,
а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными
сами себе. Эллиптический параболоид образуется, если обе параболы обра-
Кривые поверхности 449
щены "вогнутостью" в одну сторону; а гиперболический параболоид — если
параболы обращены "вогнутостью" в разные стороны (поэтому он имеет вид
седла).
Гиперболический параболоид может быть также образован при движении
прямолинейной образующей по двум скрещивающимся прямым (направ-
ляющим) параллельно некоторой плоскости. Поэтому гиперболический па-
раболоид можно рассматривать как одну из разновидностей поверхностей
с плоскостью параллелизма.
Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, через лю-
бую точку которой можно провести две прямые, принадлежащие ей, а эллип-
тический параболоид является нелинейчатой поверхностью.
Параболоид вращения является частным случаем эллиптического параболоида,
образующегося в результате вращения параболы вокруг ее оси (рис. 16.13).
Рис. 16.13. Параболоид вращения
Меридианом параболоида вращения является парабола. Если по фронтальной
проекции точки K (K ) требуется построить ее горизонтальную проекцию при
условии, что точка лежит на видимой поверхности параболоида, то предвари-
тельно необходимо провести горизонтальную проекцию параллели (окружность
соответствующего радиуса), а затем по линии связи определить положение K .
Все разновидности параболоида являются неразвертываемыми поверхностями.
Глава 16 450
Пример 54. Построить каркас поверхности гиперболического парабо-
лоида, заданного двумя направляющими прямыми АВ и CD и горизон-
тально-проецирующей плоскостью параллелизма (рис. 16.14).
1. В плоскости задайте образующую прямую АС. Каракас поверхности
гиперболического параболоида образуется при перемещении образующей
АС по скрещивающимся прямым АВ и CD, расположенным во взаимно
параллельных плоскостях. При этом образующая прямая АС во всех своих
положениях параллельна плоскости .
Рис. 16.14. Исходные данные для построения проекций гиперболического параболоида
2. При помощи команды Точки по кривой на странице Геометрия раздели-
те отрезок А В на некоторое количество (например, на двенадцать) рав-ных отрезков и через точки деления проведите горизонтальные проекции
образующей параллельно А С (для этого целесообразно воспользоваться
командой Параллельный отрезок). Постройте эти образующие на фрон-тальной плоскости проекций (рис. 16.15).
3. Очевидно, что ту же поверхность можно получить, если в качестве обра-
зующей взять прямую АВ и заставить ее перемещаться по направляющим
АС и BD. На фронтальной плоскости проекций положения образующей
АВ совпадут с положениями образующей АС. Таким образом, прямые АС
и АВ при их перемещении создают две серии пересекающихся в одной
точке прямолинейных образующих.
Кривые поверхности 451
Рис. 16.15. Каркас поверхности гиперболического параболоида
16.2.5. Цилиндрическая поверхность
Цилиндрическая поверхность образуется множеством прямых линий (обра-
зующих), параллельных заданному направлению и проходящих через все
точки некоторой плоской кривой линии (направляющей). Цилиндрическая
поверхность является линейчатой поверхностью и относится к так называе-
мым развертываемым поверхностям.
Если направляющая линия цилиндрической поверхности является линией
второго порядка, то образуемая цилиндрическая поверхность является по-
верхностью второго порядка. При этом рассматривают следующие случаи:
если направляющая — эллипс (рис. 16.16, а), то цилиндрическая поверх-
ность называется эллиптической (в частном случае, круговой);
если направляющая — парабола (рис. 16.16, б), то цилиндрическая по-
верхность называется параболической;
если направляющая — гипербола (рис. 16.16, в), то цилиндрическая по-
верхность называется гиперболической.
Если направляющая цилиндрической поверхности является неопределенной
геометрической линией, то она называется цилиндрической поверхностью
общего вида (рис. 16.16, г).
Глава 16 452
Рис. 16.16. Разновидности цилиндрической поверхности: эллиптическая (а), параболическая (б), гиперболическая (в), общего вида (г)
Чтобы построить очерк цилиндрической поверхности, следует на каждой
плоскости проекций наметить видимые образующие, заключающие между
собой область, внутри которой находится проекция поверхности. Так, на-
пример, на рис. 16.16, а на проекциях эллиптической цилиндрической по-
верхности отмечены точки, через которые проходят проекции видимых обра-
Кривые поверхности 453
зующих: точки А и В для фронтальной проекции; точки С и D для горизон-
тальной. На этом же рисунке дано построение горизонтальной проекции точ-
ки K, принадлежащей цилиндрической проекции и заданной одной проекци-
ей K , при условии, что эта точка является невидимой на плоскости 2.
Геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхно-
стью (боковой поверхностью) и двумя секущими ее параллельными плоско-
стями (основаниями), называется цилиндром. Цилиндром иногда называют
саму цилиндрическую поверхность.
Если боковая поверхность цилиндра является эллиптической цилиндрической
поверхностью, то цилиндр называется эллиптическим (рис. 16.17, а) или, в ча-
стном случае, круговым. Эллиптический (круговой) цилиндр, у которого обра-
зующая перпендикулярна основанию, называется прямым (рис. 16.17, б), в про-
тивном случае цилиндр называется наклонным. Прямая линия, соединяющая
центры оснований эллиптического (кругового) цилиндра, называется его осью.
Рис. 16.17. Разновидности цилиндра: эллиптический (а), прямой круговой (б), усеченный (в)
Если цилиндр пересекается плоскостью, непараллельной основанию, то об-
разуется усеченный цилиндр (рис. 16.17, в).
Пример 55. Построить трехмерные модели: 1) прямого кругового ци-
линдра (D=50, h=60); 2) того же усеченного цилиндра (секущая плос-
кость проходит под углом 45 к горизонтальной плоскости); 3) наклон-
ного эллиптического цилиндра (2а=50, 2b=30, h=60, угол наклона оси
цилиндра 80 ).
1. Создайте файл типа Деталь и установите ориентацию Изометрия XYZ.
В горизонтальной Плоскости ZX вычертите эскиз окружности диаметром
Глава 16 454
50 мм и примените к эскизу Операцию выдавливания на расстояние
60 мм (рис. 16.18). Сохраните модель.
Рис. 16.18. Модель прямого кругового цилиндра
2. В созданной модели выделите Плоскость XY и перейдите в режим созда-
ния Эскиза. Командой Спроецировать объект внесите в эскиз отрезок —
проекцию верхнего основания цилиндра, и измените стиль линии этого
отрезка на Тонкую. Из конца отрезка под углом 45 проведите второй от-
резок (стиль линии — Основная) так, чтобы он выходил за контуры ци-
линдра (рис. 16.19, а). К построенному эскизу примените операцию Сече-
ние по эскизу. При этом на панели свойств операции установите в группе
Направление отсечения — Обратное направление. Система создаст
усеченный цилиндр с заданными параметрами (рис. 16.19, б).
а б
Рис. 16.19. Эскиз для "усечения" (а) и модель усеченного цилиндра (б)
Кривые поверхности 455
3. Создайте еще один файл типа Деталь и в Плоскости ZX вычертите эл-
липс, у которого в поле Длина1 введите 25, а в поле Длина2 — 15. За-
кройте эскиз. В Плоскости XY создайте второй эскиз, содержащий отре-
зок высотой 60 мм и расположенный под углом 80 к горизонтали. Таким
образом, вы создали два эскиза (рис. 16.20, а). В дереве модели выделите
Эскиз:1 и активизируйте команду Кинематическая операция (в поле
Сечение будет заявлен Эскиз:1). Для указания эскиза-траектории щелч-
ком мыши укажите на Эскиз:2 и подтвердите построения нажатием кноп-
ки Создать объект. Модель наклонного эллиптического цилиндра поя-
вится на экране (рис. 16.20, б).
а б
Рис. 16.20. Эскизы для создания наклонного эллиптического цилиндра (а) и его модель (б)
16.2.6. Коническая поверхность
В общем случае коническая поверхность образуется перемещением прямой
линии m (образующей), проходящей через неподвижную точку пространства
S (вершину) и все точки некоторой плоской кривой линии l (направляющей).
Коническая поверхность имеет две полости с общей вершиной, являющейся
центром симметрии этой поверхности (рис. 16.21).
Коническая поверхность относится к развертываемым поверхностям. Если
направляющая линия конической поверхности является кривой линией
второго порядка (эллипсом, параболой, гиперболой), то она относится к по-
верхностям второго порядка. Так же как и цилиндрическая поверхность, ко-
ническая может быть эллиптической (в частном случае, круговой), параболи-
ческой или гиперболической. Круговая коническая поверхность может
рассматриваться как поверхность вращения.
Глава 16 456
Рис. 16.21. Коническая поверхность общего вида
Если направляющая является неопределенной геометрической линией, то
поверхность называется конической поверхностью общего вида.
Геометрическое тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью
(боковой поверхностью) и секущей ее плоскостью (основанием), называется
конусом. Иногда саму коническую поверхность также называют конусом.
Если боковая поверхность конуса является эллиптической конической по-
верхностью, то конус называется эллиптическим (рис. 16.22, а) или, в част-
ном случае, круговым. Эллиптический (круговой) конус, вершина которого
ортогонально проецируется в центр его основания, называется прямым
(рис. 16.22, б); в противном случае конус называется наклонным. Если конус
пересекается плоскостью, параллельной его основанию, то образуется усе-
ченный конус (рис. 16.22, в). Линия, соединяющая вершину эллиптического
(кругового) конуса с центром его основания, называется осью конуса.
Рис. 16.22. Разновидности конуса: эллиптический (а), прямой круговой (б), усеченный (в)
Кривые поверхности 457
На рис. 16.22, а показано построение горизонтальной проекции точки K, ле-
жащей на поверхности конуса, по ее фронтальной проекции (в направлении
на плоскость 2 точка K лежит на "невидимой" части поверхности конуса).
Построение выполнено при помощи соответствующей образующей — ход
построений указан стрелками.
Пример 56. Построить трехмерные модели: 1) прямого кругового конуса
(D=50, h=60); 2) того же усеченного конуса (секущая плоскость проходит
под углом 45 к горизонтальной плоскости через точку, расположенную
на оси конуса на расстоянии 40 мм от его основания).
1. Создайте файл типа Деталь. В Плоскости ZX вычертите эскиз окружно-
сти диаметром 50 мм. Активизируйте команду Смещенная плоскость на
странице Вспомогательная геометрия, в дереве модели выделите Плос-
кость ZX и на панели свойств введите расстояние для построения допол-
нительной плоскости — 60 мм. В Смещенной плоскости:1 создайте эс-
киз, в котором будет находиться единственная точка в начале координат
эскиза. Закройте эскиз и при помощи Операции по сечениям создайте
модель прямого кругового конуса (рис. 16.23).
Рис. 16.23. Модель прямого кругового конуса
а б
Рис. 16.24. Эскиз для "усечения" (а) и модель усеченного конуса (б)
Глава 16 458
2. В той же модели конуса в Плоскости ХY создайте эскиз отрезка, распо-
ложенного так, как показано на рис. 16.24, а. Примените к эскизу опера-
цию Сечение по эскизу для построения усеченного конуса (рис. 16.24, б).
16.3. Поверхности вращения
16.3.1. Общие сведения о поверхностях вращения
Поверхность вращения образуется при вращении некоторой линии (обра-
зующей) вокруг неподвижной прямой (оси поверхности).
Поверхность вращения может быть задана образующей и положением оси
(рис. 16.25, а). Здесь ось О1О2 лежит в одной плоскости с образующей АВ.
При вращении каждая точка образующей АВ описывает окружность, плос-
кость которой перпендикулярна оси (рис. 16.25, б). Эти окружности называ-
ются параллелями. Наибольшая из параллелей (окружность радиусом О С )
называется экватором, а наименьшая (окружность радиусом О D ) — горлом.
Рис. 16.25. Образование поверхности вращения
Кривые поверхности 459
Плоскость, проходящую через ось поверхности, называют меридианальной
плоскостью, а линии, по которым эти плоскости пересекают поверхность
вращения, — меридианами. Среди меридианов выделяют главный меридиан,
параллельный плоскости проекций. Главный меридиан на эту плоскость про-
екций изображается без искажения.
Проекции поверхности вращения, как правило, состоят из проекций экватора,
горла, верхней и нижней параллелей, главного меридиана, дающих контуры
поверхности при ортогональном проецировании.
Основные свойства поверхности вращения:
поверхности вращения обладают свойством сдвигаемости, т. е. вращаясь
вокруг своей оси, поверхность может сдвигаться без деформаций;
все поверхности вращения имеют одну или более поворотную ось сим-
метрии n-го порядка;
каждая параллель поверхности вращения пересекает все меридианы под
прямым углом.
К закономерным поверхностям вращения относятся тор, катеноид и некото-
рые поверхности второго порядка, которые могут образоваться путем враще-
ния линии второго порядка вокруг ее действительной или мнимой оси.
К поверхностям вращения второго порядка относятся (о них рассказано
в предыдущем разделе):
эллипсоид вращения (в частности, сфера);
гиперболоид вращения (однополостной и двуполостной);
параболоид вращения;
круговая цилиндрическая поверхность;
круговая коническая поверхность.
Пример 57. Построить недостающую горизонтальную проекцию про-
странственной кривой линии CD, принадлежащей заданной поверхности
вращения (рис. 16.26).
1. Постройте горизонтальные проекции точек С и D — проекция С лежит на
нижней параллели, а проекция D на образующей, параллельной оси х
(рис. 16.27).
2. Фронтальную проекцию кривой разделите на несколько равных участков
и через точки деления 1 , 2 , ... проведите меридианы сначала на фрон-
тальной плоскости проекций, а затем — на горизонтальной. Из точек де-
ления постройте линии проекционной связи, и в пересечении с соответст-
Глава 16 460
вующими проекциями меридианов определите положение горизонталь-
ных проекций 1 , 2 , ... Соедините построенные точки кривой Безье.
Рис. 16.26. Поверхность вращения, заданная очертаниями, и фронтальная
проекция кривой CD
Рис. 16.27. Построение горизонтальной проекции кривой линии CD, принадлежащей
заданной поверхности вращения
16.3.2. Тор
Тор — это поверхность, образуемая вращением окружности (образующей)
вокруг неподвижной прямой (оси тора), расположенной в плоскости этой
окружности, но не проходящей через ее центр. Геометрическое тело, ограни-
ченное такой поверхностью, также называют тором.
В зависимости от соотношения между радиусом образующей окружности r и расстояния от ее центра до оси R различают:
при r R — открытый тор или кольцо (рис. 16.28, а);
при r=R — замкнутый тор (рис. 16.28, б);
при r R — закрытый или самопересекающийся тор (рис. 16.28, в).
Центр образующей окружности тора перемещается по окружности, называе-
мой центровой (ее радиус равен R). Плоскость, проходящая через центровую
окружность, в сечении открытого тора образует наибольшую параллель —
экватор тора (радиус экватора равен R+r) и наименьшую параллель — горло
тора (радиусом R–r). Проекция тора на плоскость, перпендикулярную его
оси, задается при помощи проекций этих параллелей.
Кривые поверхности 461
Рис. 16.28. Разновидности тора: открытый (а), замкнутый (б) и закрытый (в)
Глава 16 462
Точка на поверхности тора определяется с помощью проходящей через нее па-
раллели. Фронтальной проекции A (см. рис. 16.28, а) на горизонтальной про-
екции может соответствовать любая из четырех проекций А1 , А2 , лежащих на
параллели радиуса R1, и А3 или А4 , лежащих на параллели радиуса R2.
Тор имеет две системы круговых сечений: в плоскостях, перпендикулярных
его оси, и в плоскостях, проходящих через его ось. Поверхность тора являет-
ся неразвертываемой.
Пример 58. Построить трехмерные модели: 1) открытого тора (r=30,
R=60); 2) замкнутого тора (r=30); 3) закрытого тора (r=30, R=20).
1. Создайте файл типа Деталь. В Плоскости XY вычертите эскиз окруж-
ности радиуса 30 мм и проведите осевую линию на расстоянии 60 мм
от центра окружности (рис. 16.29, а). Закройте эскиз и примените к не-
му Операцию вращения. Модель открытого тора будет построена
(рис. 16.29, б).
а б
Рис. 16.29. Построение открытого тора
2. Создайте новый файл типа Деталь. В Плоскости XY вычертите эскиз ок-
ружности радиуса 30 мм и проведите осевую линию как касательную к
окружности (рис. 16.30, а). Закройте эскиз и примените к нему Операцию
вращения. Система построит модель замкнутого тора (рис. 16.30, б).
3. Создайте еще один файл типа Деталь. В Плоскости XY вычертите эскиз
окружности радиуса 30 мм и проведите осевую линию на расстоянии 20 мм
от центра окружности (рис. 16.31, а). Часть дуги окружности удалите при
помощи команды Усечь кривую. Закройте эскиз. Активизируйте команду
Операция вращения. На панели свойств в группе переключателей Спо-
соб выберите Сфероид, а на вкладке Тонкая стенка в раскрывающемся
Кривые поверхности 463
списке Тип построения тонкой стенки проследите, чтобы активной была
опция Нет. Нажмите кнопку Создать объект, и модель закрытого тора
будет построена (рис. 16.31, б).
а б
Рис. 16.30. Построение замкнутого тора
а б
Рис. 16.31. Построение закрытого тора
16.4. Поверхности с плоскостью
параллелизма
Поверхностью с плоскостью параллелизма или поверхностью Каталана1
называется кривая поверхность, образуемая перемещением прямой линии
(образующей), параллельной во всех ее положениях некоторой плоскости
(плоскости параллелизма) и пересекающей две скрещивающиеся кривые или
прямые линии (направляющие).
1 Названа так по имени бельгийского математика Э. Каталана (1814—1894), исследо-
вавшего свойства этих поверхностей.
Глава 16 464
В зависимости от вида направляющих различают:
цилиндроиды, если направляющими являются две кривые линии;
коноиды, если одна направляющая — кривая линия, а другая — прямая;
гиперболический параболоид, если обе направляющие — прямые линии.
Положение гиперболического параболоида в прямоугольных координатах
может быть описано алгебраическим уравнением второй степени, поэтому
его рассматривают и как поверхность второго порядка (о построении гипер-
болического параболоида мы уже рассказывали в разд. 16.2.4).
При изображении проекций поверхностей с плоскостью параллелизма целе-
сообразно за направляющую плоскость принимать плоскость частного поло-
жения или одну из плоскостей проекций.
На рис. 16.32 приведен пример цилиндроида, образованного перемещением
прямой АВ по направляющим кривым линиям а и b. В качестве плоскости
параллелизма выбрана горизонтально-проецирующая плоскость . Очевидно,
что если направляющие — плоские кривые, то они не должны лежать в од-
ной плоскости.
Рис. 16.32. Цилиндроид
Коноид можно рассматривать как частный случай цилиндроида, когда одна
из направляющих линий является прямой линией. На рис. 16.33 показано
Кривые поверхности 465
построение каркаса коноида, имеющего в качестве плоскости параллелизма
горизонтальную плоскость проекций, а в качестве направляющих — кри-
вую а и прямую b. В этом случае все образующие коноида являются гори-
зонталями.
Рис. 16.33. Коноид
Коноид называется прямым, если направляющая прямая перпендикулярна
его плоскости параллелизма.
Все поверхности с плоскостью параллелизма являются линейчатыми нераз-
вертываемыми поверхностями. Любая плоскость, параллельная плоскости
параллелизма, пересекает такую поверхность по прямым линиям.
16.5. Поверхности с ребром возврата
Поверхность с ребром возврата или торс — это кривая поверхность, обра-
зуемая непрерывным движением прямой линии (образующей), во всех своих
положениях являющейся касательной к некоторой пространственной кривой
линии (рис. 16.34). Эту кривую линию называют ребром возврата.
Ребро возврата делит поверхность на две полости соответственно делению
каждой касательной в точке касания на два луча. Если ребро возврата являет-
ся плоской кривой линией, то поверхность, проведенная через все касатель-
ные к такой кривой, вырождается в плоскость.
Глава 16 466
Поверхности с ребром возврата относятся к классу линейчатых развертывае-
мых поверхностей. Для ее задания на ортогональном чертеже необходимо
задать проекции самого ребра возврата.
Пусть поверхность задана ребром возврата а (рис. 16.35). Точка М лежит на
этой поверхности и задана фронтальной проекцией М . Через М проводится
касательная к а (как известно, касательная к кривой линии проецируется
в касательную к проекции этой кривой). В данном случае через М можно про-
вести проекции двух касательных t1
и t2
к кривой а . Следовательно, в точку
М проецируются две конкурирующие точки М1 и М2, лежащие на разных по-
лостях заданной поверхности. Горизонтальные проекции М1
и М2
находятся
на касательных к кривой а , проведенных через проекции точек касания 1 и 2 .
Рис. 16.34. Поверхность с ребром возврата
Рис. 16.35. Построение образующих поверхности с ребром возврата
16.6. Циклическая поверхность
Циклической поверхностью называется кривая поверхность, образуемая при
произвольном перемещении окружности (образующей) постоянного или пе-
ременного диаметра. Кривая линия, по которой перемещается центр обра-
зующей окружности, называется направляющей.
Кривые поверхности 467
Если плоскость образующей окружности в каждом ее положении перпенди-
кулярна направляющей линии, то такая циклическая поверхность называется
каналовой (рис. 16.36). Диаметр образующей окружности каналовой поверх-
ности является переменным.
Рис. 16.36. Каналовая циклическая поверхность
При постоянном диаметре образуется так называемая трубчатая поверх-
ность (рис. 16.37, а). Направляющей линией для трубчатой поверхности мо-
жет служить и винтовая линия, в этом случае образуется винтовая трубчатая
поверхность (рис. 16.37, б). Винтовую трубчатую поверхность иногда назы-
вают винтовым тором.
Рис. 16.37. Трубчатая поверхность
Глава 16 468
В частных случаях образования циклической поверхности могут быть:
круговая цилиндрическая поверхность при перемещении окружности по-
стоянного диаметра по прямой линии;
круговая коническая поверхность при движении окружности с равномерно
изменяющимся диаметром по прямой;
тор при вращении окружности постоянного диаметра вокруг прямой, на-
ходящейся в плоскости этой окружности;
сфера, при вращении половины дуги окружности постоянного диаметра
вокруг прямой, проходящей через концы дуги.
Пример 59. Построить модель одного витка винтовой трубчатой поверх-
ности с направляющей линией правого хода, шагом 30 мм и диаметром
20 мм; диаметр образующей окружности — 8 мм.
1. Создайте файл типа Деталь. Выделите Плоскость ZX и активизируйте
команду Спираль цилиндрическая на странице Вспомогательная гео-
метрия. На панели свойств проследите, чтобы в раскрывающемся списке
Способ был активен По числу витков и шагу. Установите Число вит-
ков — 1,0 и Шаг — 30. Во вкладке Диаметр установите Диаметр1 —
20. Нажмите кнопку Создать объект, и система отстроит один виток ци-
линдрической винтовой линии с заданными параметрами.
2. Выделите Плоскость XY и выйдите в режим создания эскиза. При помо-
щи команды Операции | Спроецировать объект внесите в эскиз точку —
конец спирали. Используя эту точку как центр окружности, вычертите ок-
ружность диаметром 8 мм (рис. 16.38). Закройте эскиз.
Рис. 16.38. Эскиз образующей окружности
Кривые поверхности 469
3. Активизируйте команду Кинематическая поверхность на странице
Поверхности. На панели свойств в окне сечение должен быть заявлен
Эскиз:1 (поскольку он был выделен перед вызовом команды). Для зада-
ния траектории щелкните в дереве модели на Спирали цилиндриче-
ской:1, а затем нажмите кнопку Создать объект. Система построит один
виток винтовой трубчатой поверхности с заданными параметрами
(рис. 16.39).
Рис. 16.39. Модель винтовой трубчатой поверхности
16.7. Графическая поверхность
Графическая поверхность — это незакономерная кривая поверхность, зада-
ваемая некоторым количеством линий, принадлежащих ей. Совокупность
этих линий называется каркасом или дискретной сетью, поэтому подобные
поверхности иногда называют поверхностями, задаваемыми каркасом.
Графическая поверхность может быть образована перемещением некоторой
линии (образующей), которая в процессе своего движения постоянно дефор-
мируется. Образование графических поверхностей не имеет каких-либо зако-
номерностей, оно носят эмпирический (опытный) характер.
Особенностью графической поверхности является то, что точки, не лежащие
на линиях каркаса, могут быть построены только приближенно. Поэтому
графические поверхности нельзя считать однозначно определенными.
Каркас графической поверхности представляет собой несколько семейств
кривых линий, расположенных, как правило, в плоскостях, параллельных
плоскостям проекций. На рис. 16.40 изображена графическая поверхность,
заданная двумя группами линий. Первая группа линий расположена в гори-
Глава 16 470
зонтальных плоскостях 1, 2, 3, вторая группа — в плоскости 2 и фрон-
тальных плоскостях 1 и 2.
Одной из разновидностей графической поверхности является топографиче-
ская поверхность — поверхность рельефа Земли.
Рис. 16.40. Графическая поверхность
Пример 60. Создайте примерную модель графической поверхности, за-
данную ортогональными проекциями на рис. 16.40.
1. Создайте файл типа Деталь и в Плоскости XY вычертите при помощи
кривой Безье эскиз замкнутой линии, очертания которой подобны линии,
находящейся в плоскости 2 (рис. 16.41).
2. Относительно Плоскости XY создайте три дополнительных смещен-
ных плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии друг от друга.
В Смещенной плоскости:1 вычертите эскиз замкнутой линии, находя-
щейся в плоскости 1, а в Смещенной плоскости:2 — эскиз линии, нахо-
дящейся в плоскости 2. В Смещенной плоскости:3 поставьте только од-
ну точку.
Кривые поверхности 471
Рис. 16.41. Эскизы для построения графической поверхности
3. В дереве модели выделите Эскиз:1 и активизируйте команду Поверх-
ность по сечениям на странице Поверхности. Затем последовательно
укажите на Эскиз:2, Эскиз:3 и Эскиз:4 и для подтверждения построений
нажмите кнопку Создать объект. Модель графической поверхности будет
создана (рис. 16.42).
Рис. 16.42. Модель графической поверхности
Глава 16 472
16.8. Поверхности переноса
Поверхностью переноса называется кривая поверхность, образуемая непре-
рывным поступательным движением кривой линии (образующей) по прямой
линии (направляющей). Каждая хорда образующей линии остается парал-
лельной сама себе. Пример поверхности переноса изображен на рис. 16.1.
Некоторые поверхности второго порядка (гиперболический параболоид, ци-
линдрическая поверхность) можно рассматривать как поверхности переноса.
Так, например, эллиптическая цилиндрическая поверхность может быть об-
разована перемещением эллипса вдоль некоторой прямой линии. Поверхно-
сти переноса достаточно легко строятся в системе КОМПАС-3D при помощи
команды Кинематическая поверхность или (для геометрических тел) ко-
манды Кинематическая операция.
16.9. Винтовые поверхности
Винтовая поверхность — это кривая поверхность, описываемая образующей
линией, которая, равномерно вращаясь вокруг неподвижной прямой (оси
винтовой поверхности), одновременно совершает поступательное переме-
щение вдоль этой же оси (рис. 16.43).
Рис. 16.43. Винтовая поверхность
Все точки, принадлежащие образующей линии, перемещаются по цилиндри-
ческой винтовой линии. Величина перемещения образующей вдоль оси вин-
товой поверхности, соответствующая одному полному обороту, называется
шагом. Если поступательное перемещение прямо пропорционально угловому
Кривые поверхности 473
перемещению, то образуется винтовая поверхность с равномерным шагом.
В противном случае образуется винтовая поверхность с переменным шагом.
Частным случаем винтовой поверхности является винтовая трубчатая по-
верхность, образуемая при движении окружности по винтовой линии, о кото-
рых мы уже подробно говорили в разд. 16.6.
В зависимости от того, пересекает образующая линия ось поверхности или
нет, образуется закрытая или открытая винтовая поверхность.
Наибольшее распространение имеют закрытые линейчатые винтовые по-
верхности — геликоиды, у которых образующей линией является прямая.
При этом образующая во всех положениях пересекает ось поверхности под
постоянным углом. Если образующая пересекает ось под прямым углом, то
геликоид называется прямым или минимальным (рис. 16.44, а); в противном
случае образуется косой или наклонный геликоид (рис. 16.44, б).
а б
Рис. 16.44. Геликоид: открытый (а) и закрытый (б)
На рис. 16.45, а показаны проекции прямого геликоида с постоянным шагом
h, образованного винтовым движением отрезка АВ вокруг оси i. Каждая точ-
ка этого отрезка описывает в пространстве винтовую линию. Две винтовые
линии, образованные при перемещении концов отрезка АВ, дают очертания
винтовой поверхности: на плоскости проекций, параллельной ее оси (в дан-
ном случае на плоскости 2), они представляют собой две синусоиды с оди-
наковым периодом, но разной амплитудой; на плоскости проекций, перпен-
дикулярной оси (на плоскости 1) — две концентрические окружности.
Построение проекций этих винтовых линий производится аналогично по-
строению синусоиды. Концентрические окружности, образуемые в результа-
те вращения отрезка АВ, на горизонтальной плоскости проекций делятся на n
Глава 16 474
равных частей (например, на двенадцать). Отрезок оси винтовой поверхности,
равный шагу h, делится на то же количество n равных частей. Фронтальные
проекции точек, принадлежащие винтовым линиям, находятся в пересечении
горизонтальных и вертикальных прямых, проведенных через соответствую-
щие точки деления.
Рис. 16.45. Геликоид: прямой (а) и косой (б)
Для определения фронтальной проекции точки K, принадлежащей поверхно-
сти прямого геликоида и заданной горизонтальной проекцией K , необходимо
Кривые поверхности 475
провести образующую, на которой находится точка K, т. е. провести горизон-
тальную проекцию образующей — радиус L М , проходящий через K ; по-
строить точку М (она находится на фронтальной проекции винтовой линии)
и провести фронтальную проекцию этой образующей L М параллельно
А В . На пересечении линии проекционной связи, проведенной из K , и L М
находится искомая проекция K .
По способу образования прямой геликоид можно отнести к числу коноидов,
т. е. поверхности, образованной движением прямой линии, во всех своих по-
ложениях параллельной заданной плоскости и пересекающей две направ-
ляющие линии — ось поверхности и некоторую цилиндрическую винтовую
линию.
На рис. 16.45, б изображен косой геликоид, образованный винтовым движе-
нием прямолинейной образующей CD, пересекающей ось поверхности i под
постоянным углом , не равным 90 . Во всех своих положениях образующая
CD параллельна образующим некоторого кругового конуса, ось которого
совпадает с осью винтовой линии. Этот конус называется направляющим ко-
нусом косого геликоида.
На плоскости проекций, параллельной оси косого геликоида, контуры пред-
ставляют собой одну или две синусоиды; на плоскости проекций, перпенди-
кулярной оси, — окружности. Косой геликоид может задаваться только од-
ной фронтальной проекцией каркаса, состоящего из проекций винтовых
линий, описываемой концами образующей прямой, и семейством проекций
самой образующей. В сечении косого геликоида, плоскостью, перпендику-
лярной его оси, образуется архимедова спираль.
Построение фронтальной проекции косого геликоида сводится к построению
проекций винтовых линий, описываемых концами образующей линии, и не-
скольких положений этой образующей. Точка D принадлежит оси геликоида
i и, следовательно, перемещается по прямой. Точка C перемещается по вин-
товой линии.
Горизонтальная проекция этой винтовой линии — окружность радиуса
C D — делится на n равных частей. Отрезок, отложенный на оси косого ге-
ликоида и равный шагу, делится на то же количество n равных частей. Из
точек деления проводятся вертикальные и горизонтальные прямые, в пересе-
чении которых лежат точки, принадлежащие винтовой линии.
Затем наносятся фронтальные проекции семейства образующих. Для этого
строится направляющий конус, вершина S которого лежит на оси геликоида,
а угол между образующей этого конуса и осью равен (диаметр основания d
может быть любым, на горизонтальной плоскости проекций это основание
спроецируется в окружность). Горизонтальные проекции образующих будут
Глава 16 476
в виде радиусов: S А , S 1 , S 2 , ... В пересечении с горизонтальной проекци-
ей основания конуса они дают точки 7 , 8 , 9 , ..., по которым строятся 7 , 8 ,
9 , ... Затем проводятся фронтальные проекции образующих конуса S 7 ,
S 8 , S 9 , ... и параллельно им фронтальные проекции образующих косого
геликоида.
Для построения фронтальной проекции некоторой точки K, лежащей на по-
верхности косого геликоида, по ее горизонтальной проекции необходимо по-
строить фронтальную проекцию образующей, на которой лежит эта точка
(фронтальная проекция образующей проводится параллельно соответствую-
щей образующей конуса).
Для построения горизонтальной проекции некоторой точки по ее фронтальной
проекции необходимо через нее провести секущую плоскость , и на горизон-
тальной плоскости построить архимедову спираль, образуемую в сечении.
Пример 61. Построить модель винтовой поверхности, заданной вин-
товой цилиндрической линией правого направления с шагом 100 мм
и производящей в виде равносторонней трапеции (рис. 16.46).
Построения аналогичны моделированию винтовой трубчатой поверхности,
рассмотренному в примере 59. Сначала относительно Плоскости ZX коман-
дой Спираль цилиндрическая создайте винтовую цилиндрическую линию
с числом витков 1, шагом 100 мм и диаметром 80 мм. Затем в Плоскости XY
вычертите эскиз равносторонней трапеции с указанными на рис. 16.46 разме-
рами так, чтобы вершина основания находилась в начале спирали. Примени-
те к созданному эскизу команду Кинематическая поверхность, выбрав
в качестве траектории Спираль цилиндрическую:1, и система построит
один виток винтовой поверхности с заданными параметрами (рис. 16.47). Ес-
ли надо построить тело, ограниченное такой поверхностью, то в качестве
формообразующего элемента вместо Кинематической поверхности следует
выбрать Кинематическую операцию.
Рис. 16.46. Исходные данные для построения модели винтовой поверхности
Рис. 16.47. Модель винтовой поверхности
Глава 17
Пересечения геометрических тел
17.1. Пересечение геометрических тел
плоскостью
17.1.1. Общие сведения о пересечении
геометрических тел плоскостью
При пересечении какого-либо геометрического тела или поверхности плос-
костью образуется плоская фигура, называемая сечением. Сама плоскость
при этом называется секущей плоскостью. На эпюре контуры сечения приня-
то наносить с учетом правил обозначения взаимной видимости геометриче-
ских элементов.
Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то
сечение проецируется с искажением. Для нахождения истинной величины
сечения (так называемого "натурального вида" или "истинной величины"
сечения) применяют различные способы преобразования эпюра.
Способы построения сечения зависят, прежде всего, от вида рассекаемого
геометрического тела. Поэтому изложение методов их построения сгруппи-
руем по типу:
пересечение многогранников плоскостью;
пересечение тел с кривыми поверхностями плоскостью.
В системе КОМПАС-3D существует несколько специальных способов по-
строения сечений трехмерных моделей. При этом часть геометрического те-
ла, находящаяся по одну из сторон секущей плоскости (или поверхности),
будет удалена. Некоторыми из этих приемов мы уже пользовались при по-
строении усеченных цилиндра и конуса (см. примеры 55 и 56).
Глава 17 478
Вообще говоря, подобные действия можно произвести и при помощи коман-
ды Вырезать выдавливанием. Однако при этом потребуется задание боль-
шего количества параметров и более сложного эскиза, чем при использова-
нии специальных команд по отсечению.
Команды, предназначенные для отсечения моделей, находятся на странице
Редактирование детали (рис.17.1):
Сечение поверхностью;
Сечение по эскизу.
Рис. 17.1. Команды по отсечению трехмерных моделей
Команда Сечение поверхностью
Команда Сечение поверхностью позволяет удалить часть модели, находя-
щуюся по одну сторону пересекающей эту модель поверхности. В качестве
поверхности сечения могут использоваться следующие объекты:
координатные и вспомогательные плоскости;
импортированные и построенные поверхности;
грани.
Секущая плоскость может быть продолжена в любую сторону, поэтому она
не обязательно должна располагаться так, чтобы пересекать всю модель.
Продолжение неплоской поверхности невозможно, поэтому корректное отсе-
чение части детали такой поверхностью возможно, только если она полно-
стью пересекает тело детали.
Если перед вызовом команды была выделена плоскость или поверхность,
пересекающая модель, ее название появляется в поле Поверхность сечения
на вкладке Параметры панели свойств. Если секущая поверхность не была
выделена перед вызовом команды, надо указать ее в дереве модели или пря-
мо в окне документа.
Пересечения геометрических тел 479
Можно удалить часть модели по любую сторону от указанной поверхности.
Чтобы изменить направление отсечения (оно показывается стрелкой в окне
документа), следует воспользоваться соответствующим переключателем на
панели свойств.
Команда Сечение по эскизу
Команда Сечение по эскизу позволяет удалить часть модели при помощи
пересекающего эту модель эскиза. Секущая плоскость или поверхность обра-
зуется перемещением эскиза в направлении, перпендикулярном плоскости,
в которой расположен этот эскиз.
При этом к эскизу предъявляются следующие требования:
в эскизе должен быть один контур;
контур в эскизе должен быть разомкнутым;
контур в эскизе должен пересекать проекцию модели на плоскости эскиза.
Перед вызовом команды должен быть выделен эскиз отсечения. Название
эскиза появится в поле Профиль сечения на вкладке Параметры панели
свойств. Так же как в команде Сечение поверхностью, можно удалить часть
модели по любую сторону от поверхности отсечения.
17.1.2. Пересечение многогранников плоскостью
При пересечении многогранника плоскостью образуется многоугольник
с количеством сторон, равным числу граней многогранника, попавших в се-
кущую плоскость. В частном случае, если секущая плоскость проходит толь-
ко через ребро или вершину многогранника, сечение может выродиться в от-
резок или точку.
Вершинами многоугольника, образуемого в сечении, являются точки пересе-
чения ребер многогранника с секущей плоскостью. Следовательно, количе-
ство вершин многоугольника равно числу ребер многогранника, пересекае-
мых секущей плоскостью.
Различают два способа построения сечения многогранников:
построение точек пересечения ребер многогранника с секущей плоско-
стью ("способ ребер");
построение отрезков прямых, по которым грани многогранника пересека-
ются секущей плоскостью ("способ граней").
В первом случае построение сводится к многократному решению задачи по
определению точек пересечения прямой с плоскостью, во втором — линии
пересечения двух плоскостей. Возможно комбинированное использование
Глава 17 480
обоих способов. "Способ граней" удобно использовать, когда грани находят-
ся в проецирующих плоскостях.
Сторона многоугольника, образуемого в сечении многогранника, считается
"невидимой", если она принадлежит "невидимой" грани многогранника.
Рассмотрим более подробно некоторые случаи при пересечении плоскостью
пирамиды и призмы.
Пересечение пирамиды плоскостью
При пересечении n-угольной пирамиды плоскостью в сечении может быть:
n-угольник, если секущая плоскость пересекает все боковые грани пира-
миды;
многоугольник с количеством сторон, равных или меньших n, если секу-
щая плоскость пересекает хотя бы одно боковое ребро и основание пира-
миды;
треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину пирамиды
и ее основание (если секущая плоскость проходит через два несмежных
боковых ребра пирамиды, то образуемый в сечении треугольник называ-
ется диагональным сечением);
в частном случае отрезок или точку, если секущая плоскость проходит
только через одно ребро или вершину пирамиды.
При построении сечения пирамиды проецирующей плоскостью одна из про-
екций сечения вырождается в отрезок прямой линии. На рис. 17.2 построено
сечение пирамиды SABC фронтально-проецирующей плоскостью . Фрон-
тальные проекции вершин многоугольника, образуемого в сечении (точки 1 ,
2 и 3 ), лежат на пересечении фронтального следа 0f c фронтальными про-
екциями ребер пирамиды (фронтальная проекция сечения вырождается в от-
резок 1 2 , лежащий на следе 0f ).
По линиям проекционной связи определяются горизонтальные проекции
вершин многоугольника — точки 1 и 2 . Так как ребро SB, на котором ле-
жит вершина 3, является отрезком профильной прямой, то для построе-
ния точки 3 в грани ASB проведена горизонталь 3K (3 K x, 3 K A B ).
Треугольник 1 2 3 является горизонтальной проекцией сечения. Чертеж на
рис. 17.2 выполнен согласно условию, что секущая плоскость является про-
зрачной.
Практически любая задача по построению сечения пирамиды может быть
сведена к решению, рассмотренному на рис. 17.2, путем введения дополни-
тельной плоскости проекций, перпендикулярной одной из имеющихся плос-
Пересечения геометрических тел 481
костей проекций ( 1 или 2) и секущей плоскости. Тогда секущая плоскость
относительно дополнительной плоскости проекций преобразуется в положе-
ние проецирующей плоскости.
Рис. 17.2. Пересечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью
На рис. 17.3 построено сечение пирамиды SABC плоскостью, заданной тре-
угольником KLM, путем введения дополнительной плоскости проекций 4
( 4 1, 4 KLM). Для этого в треугольнике KLM проведена горизонталь KN
и перпендикулярно ее горизонтальной проекции (прямой K N ) построена ось
1/ 4. На плоскость 4 треугольник KLM спроецируется в виде отрезка пря-
мой MIV
LIV
, т. е. плоскость этого треугольника преобразовалась в положение
проецирующей.
Таким образом, задача сведена к построению сечения пирамиды проеци-
рующей плоскостью. Проекции вершин сечения на плоскости 4 (точки 1IV
,
2IV
, 3IV
, 4IV
) лежат в пересечении прямой, проведенной через MIV
LIV
(эта пря-
мая является следом плоскости треугольника KLM на плоскости 4), и проек-
ций ребер SIV
AIV
, SIV
CIV
, AIV
BIV
, BIV
CIV
. По проекции сечения на плоскости 4
обратным ходом построены ее горизонтальная и фронтальная проекции. По-
строенный четырехугольник 1234 является искомым сечением.
Глава 17 482
Рис. 17.3. Построение сечения пирамиды методом перемены плоскостей проекций
Рис. 17.4. Построение сечения пирамиды "способом ребер"
Пересечения геометрических тел 483
Рассмотрим построение сечения без применения метода перемены плоско-
стей проекций на примере наклонной пирамиды SABC и секущей плоскости
, заданной следами (рис. 17.4). Используем для этого "способ ребер", т. е.
последовательно находим все точки пересечения ребер пирамиды с секущей
плоскостью.
Начнем с ребра SA — найдем точку пересечения этого ребра с плоскостью . Для этого проводим через SА вспомогательную фронтально-проецирующую
плоскость и строим линию пересечения плоскостей и — прямую N1M1. В пересечении горизонтальной проекции линии пересечения 1N 1M с проек-
цией ребра S'А' получаем точку 1 — горизонтальную проекцию точки пере-
сечения ребра SA с плоскостью . По линии проекционной связи, проведен-
ной из 1 , находим фронтальную проекцию точки пересечения 1 на фронтальной проекции ребра S''А''.
Аналогично находим проекции точки 2 (2 и 2 ) и точки 3 (3 и 3 ) соответственно
на ребрах SB и SC, проведя через них вспомогательные плоскости и .
Соединив 1 , 2 , 3 на горизонтальной плоскости проекций и 1 , 2 , 3 на фронтальной плоскости проекций, получаем проекции сечения пирамиды
SABC плоскостью .
Пересечение призмы плоскостью
При пересечении n-угольной призмы в сечении может образоваться:
n-угольник, если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы;
многоугольник с количеством сторон, равным или меньшим n, если секу-
щая плоскость пересекает хотя бы одно боковое ребро и основание (осно-
вания) призмы;
четырехугольник, если секущая плоскость не пересекает ни одного боко-
вого ребра призмы и пересекает оба основания;
параллелограмм, если секущая плоскость параллельна боковым ребрам
(если секущая плоскость проходит через два несмежных ребра, то обра-
зуемый в сечении параллелограмм называется диагональным сечением);
в частном случае отрезок или точку, если секущая плоскость проходит
только через одно ребро или вершину призмы.
При построении сечения призмы проецирующей плоскостью одна из проек-
ций сечения вырождается в отрезок прямой линии. На рис. 17.5 приведен
пример построения сечения треугольной призмы А1В1С1А2В2С2 фронтально-
проецирующей плоскостью (при этом секущая плоскость считается про-
зрачной). В пересечении следа 0f с фронтальными проекциями боковых
Глава 17 484
ребер призмы образуются фронтальные проекции вершин сечения (точки 1 ,
2 и 3 ). Отрезок 1 3 является фронтальной проекцией сечения. Горизон-
тальные проекции вершин сечения найдены на соответствующих проекциях
ребер призмы. Эти точки соединены отрезками, и, таким образом, построена
горизонтальная проекция сечения — треугольник 1 2 3 .
Рис. 17.5. Пересечение призмы фронтально-проецирующей плоскостью
Если секущая плоскость является плоскостью общего положения, то с помо-
щью метода перемены плоскостей проекций ее положение может быть пре-
образовано так, что она окажется в положении проецирующей. При этом до-
полнительная плоскость проекций должна быть перпендикулярна одной из
имеющихся плоскостей проекций ( 1 или 2) и секущей плоскости (пример
построения сечения подобным способом рассмотрен при построении сечения
пирамиды).
На рис. 17.6 построено сечение призмы А1В1С1А2В2С2 плоскостью общего
положения "способом ребер". Поскольку горизонтальный след плоскости
(а он по определению лежит в плоскости 1) пересекает нижнее основание
призмы (а оно тоже лежит в плоскости 1), то две точки вершин сечения оче-
видны. Их горизонтальные проекции находятся:
1 = 0h 1B 1C ; 2 = 0h 1A 1B .
Пересечения геометрических тел 485
Рис. 17.6. Построение сечения призмы "способом ребер"
Фронтальные проекции этих точек находятся в пересечении линий проекци-
онной связи с соответствующими сторонами основания призмы (они совпа-
дают с осью х).
Так как плоскость пересекает основание призмы, то сечение затрагивает не
все боковые ребра. Анализируя положение секущей плоскости относительно
поверхности призмы, приходим к выводу, что плоскость не пересекает
ребро В1В2.
Рассмотрим построение проекций вершин сечения на примере вершины 3,
образуемой при пересечении ребра А1А2 с секущей плоскостью . Через реб-
ро А1А2 проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость
: след 0f проходит через фронтальную проекцию ребра А1А2, а след 0h
перпендикулярен оси x.
Затем построим линию пересечения плоскостей и . Общие для обеих
плоскостей точки находятся на пересечении их одноименных следов:
1N = 0f 0f ; 1N x; 1M = 0h 0h .
Глава 17 486
В пересечении прямой 1N1M и проекции ребра 1A 2A найдем проекцию 3 , из
которой проведем линию проекционной связи, и на фронтальной проекции
ребра А1А2 отметим точку 3 .
Аналогично построена проекция другой вершины сечения — точки 4. Четы-
рехугольник 1234 является искомым сечением.
Пример 62. 1) Построить линию пересечения прямой правильной тре-
угольной призмы плоскостью (рис. 17.7). 2) Построить сечение трех-
мерной модели призмы плоскостью и ее ассоциативный чертеж.
1. Создайте документ типа Чертеж и перечертите исходные проекции приз-
мы и секущей плоскости . Так как боковые грани призмы лежат в про-
ецирующих плоскостях, то для решения задачи удобно воспользо-
ваться "способом граней". Проведите через грань bc горизонтально-
проецирующую плоскость : горизонтальный след 0h совпадает с а b ,
а фронтальный след 0f перпендикулярен оси х (рис. 17.8). Плоскость
пересекается с секущей плоскостью по прямой М1N1. Отрезок этой пря-
мой 23, заключенный между ребрами b и c, будет тем отрезком, по которо-
му грань bc пересекается с плоскостью . Одна сторона сечения найдена.
Рис. 17.7. Исходные проекции для построения линии пересечения призмы плоскостью
Пересечения геометрических тел 487
Рис. 17.8. Построение линии пересечения
прямой правильной треугольной призмы плоскостью
2. Грань ас, параллельная плоскости 2, является частью фронтальной плос-
кости , пересекающейся с секущей плоскостью по фронтали (фрон-
тальная проекция фронтали проведена из М2 параллельно 0f ). Отрезок
13 этой фронтали — отрезок, по которому грань ас пересекается с плос-
костью . Вторая сторона сечения построена.
3. Вершины 1 и 2 определили и третью, замыкающую сторону сечения.
Фронтальную проекцию стороны 13 сечения изобразите штриховой лини-
ей, поскольку фронтальная проекция грани ас, в которой лежит этот отре-
зок, не видна. Участок фронтального следа секущей плоскости 0f , закры-
ваемый телом призмы, также следует показать штриховой линией.
4. Создайте документ типа Деталь. В горизонтальной Плоскости ZX вычер-
тите эскиз правильного треугольника, вписанного в окружность диаметра
50 мм, так чтобы одна из сторон треугольника была параллельна оси х.
Примените к эскизу Операцию выдавливания на расстояние 80 мм. Мо-
дель правильной треугольной призмы будет построена (рис. 17.9).
5. В Плоскости XY вычертите эскиз отрезка, по которому проходит фрон-
тальный след секущей плоскости (рис. 17.10, а), а в Плоскости ZX дру-
гой эскиз, в котором будет находиться точка, лежащая на горизонтальном
следе секущей плоскости (рис. 17.10, б).
Глава 17 488
Рис. 17.9. Модель правильной треугольной призмы
а б
Рис. 17.10. Эскизы отрезка (а) и точки (б) для задания секущей плоскости
6. Активизируйте команду Плоскость через ребро и вершину на странице
Вспомогательная геометрия и в окне документа укажите на элементы,
принадлежащие секущей плоскости — отрезок, лежащий на фронталь-
ном следе, и точку, лежащую на горизонтальном следе.
7. В дереве модели выделите созданную Плоскость через ребро и верши-
ну:1 и вызовите команду Сечение поверхностью на странице Редакти-
рование детали. Проконтролируйте направление отсечения и создайте
усеченную призму, верхняя грань которой представляет собой искомое
сечение (рис. 17.11).
Пересечения геометрических тел 489
8. Снова создайте документ типа Чертеж. Активизируйте команду Стан-
дартные виды на странице Ассоциативные виды. Выберите модель усе-
ченной призмы для построения плоского чертежа. На панели свойств
кнопкой Схема вызовите диалоговое окно Выберите схему видов и от-
мените построение вида слева. Щелкните в окне документа, и усеченная
призма будет построена (рис. 17.12). Выделите штриховкой исследуемое
сечение. Сравнение сечений, найденного "ручным" способом и построен-
ного системой по модели, указывает на их полное совпадение, что свиде-
тельствует о правильности выполненных построений.
Рис. 17.11. Усеченная призма, верхняя грань которой — искомое сечение
Рис. 17.12. Ассоциативный чертеж усеченной призмы с выделенным сечением
17.1.3. Пересечение тел
с кривыми поверхностями плоскостью
Построение сечения геометрического тела с кривой поверхностью сводится
к нахождению проекций ряда точек, принадлежащих сечению, и их соедине-
нию плавной кривой линией. Среди точек сечения выделяют характерные
(или опорные) точки, занимающие особое расположение по отношению или
к плоскостям проекций или к самой кривой. К характерным точкам относятся:
наиболее удаленная и наиболее близкая точки к плоскостям проекций
(экстремальные точки);
точки, делящие кривую на видимую и невидимую части (точки види-
мости);
точки наибольшей или наименьшей ширины кривой (например, вершины
эллипса).
Глава 17 490
Способ построения сечения кривой поверхности выбирают в зависимости от
того, относится данная кривая поверхность к линейчатым или нелинейчатым
поверхностям.
Сечение нелинейчатых поверхностей строят при помощи общего метода
построения — метода вспомогательных секущих плоскостей, который за-
ключается в том, что вводится несколько дополнительных плоскостей (как
правило, частного положения), пересекающих заданную поверхность по не-
которой линии, а секущую плоскость по прямой. Точки пересечения этих ли-
ний принадлежат как поверхности, так и секущей плоскости и, следователь-
но, лежат на искомой линии сечения.
При подборе вспомогательных секущих плоскостей стремятся к упрощению
построений и выбирают их с таким расчетом, чтобы в сечении с поверхно-
стью получались линии наиболее простой формы (окружности или прямые).
Расположение самой поверхности относительно плоскостей проекций целе-
сообразно выбрать таким, чтобы проекции линий пересечения на одну из
плоскостей проекций получались без искажения. В общем случае точность
построения сечения повышается с увеличением количества вспомогательных
секущих плоскостей.
Пример построения этим методом приведен на рис. 17.13: тело вращения
рассечено фронтально-проецирующей плоскостью . Положение экстре-
мальных точек очевидно: точки 1, наивысшей по отношению к плоскости 1,
и точек 2 и 3, лежащих в плоскости 1.
Для построения промежуточных точек поверхность и секущая плоскость пе-
ресечены рядом вспомогательных горизонтальных плоскостей. Рассмотрим
одну из них — плоскость 1. Пересекая тело вращения, эта плоскость образу-
ет окружность радиусом R, а плоскость — фронтально-проецирующую
прямую 45. Точки пересечения горизонтальной проекции окружности и пря-
мой 4 5 дают горизонтальные проекции точек, принадлежащих одновременно
и поверхности вращения и плоскости . Повторяя эти построения, находится
ряд точек, определяющих линию сечения.
В ряде случаев, когда геометрические свойства линии сечения известны, ее
проекции могут быть построены на основании законов, определяющих ее
форму. Так строится, например, сечение геликоида плоскостью, перпендику-
лярной его оси (в сечении образуется архимедова спираль).
Сечение линейчатых поверхностей целесообразнее выполнять методом, ос-
нованным на аппроксимации кривой поверхности многогранной поверхно-
стью. При этом ребра многогранной поверхности являются образующими
линейчатой поверхности. Линия сечения определяется точками пересечения
Пересечения геометрических тел 491
многогранной поверхности с секущей плоскостью. Чем больше граней на
аппроксимирующей поверхности, тем она точнее заменяет кривую поверх-
ность и, следовательно, тем точнее построенная линия сечения.
Рис. 17.13. Пересечение тела вращения фронтально-проецирующей плоскостью
Пересечение конуса плоскостью
При пересечении конуса плоскостью, проходящей через его вершину, в сече-
нии может образоваться (рис. 17.14, а):
треугольник, когда секущая плоскость пересекает основание (если секу-
щая плоскость проходит через ось конуса, то образуемый в сечении тре-
угольник называется осевым сечением);
отрезок образующей, когда секущая плоскость является касательной к бо-
ковой поверхности конуса;
точка во всех других случаях.
Кривая линия, которая образуется при рассечении прямого кругового кону-
са плоскостью, не проходящей через его вершину, называется коническим
сечением (рис. 17.14, б). В зависимости от расположения секущей плоско-
Глава 17 492
сти относительно поверхности конуса конические сечения могут быть трех
типов:
эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (в ча-
стном случае, когда секущая плоскость перпендикулярна оси кругового
конуса, образуется окружность);
парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса;
гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.
Рис. 17.14. Случаи пересечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину (а) и не проходящей через вершину конуса (б)
В планиметрии коническое сечение рассматривается как множество точек,
для каждой из которых отношение расстояний до данной точки (фокуса)
к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно некоторому положи-
тельному числу (эксцентриситету) e. При е<1 образуется эллипс; при
е=1 — парабола; при е>1 — гипербола. Правила построения этих плоских
кривых линий мы уже рассматривали в разд. 11.4.3.
Если секущая плоскость, не проходящая через вершину конуса, пересекает
его основание, то образуется фигура, ограниченная частью конического се-
чения (эллипсом, параболой или гиперболой) и отрезком, полученным при
пересечении секущей плоскостью основания конуса.
При построении сечения конуса обычно коническую поверхность аппрокси-
мируют вписанной в нее боковой поверхностью пирамиды. Сечение конуса
можно построить и другим методом — путем проведения вспомогательных
плоскостей, однако в большинстве случаев это является нецелесообразным.
Пересечения геометрических тел 493
Рис. 17.15. Пересечение конуса плоскостью общего положения
На рис. 17.15 дан пример построения сечения наклонного конуса плоскостью
общего положения, заданной следами. В конус вписана шестиугольная пира-
мида, и найдены точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью
(см. разд. 17.1.2). Одноименные проекции вершин сечения соединены плав-
ной кривой линией с учетом видимости контуров сечения относительно по-
верхности конуса (на обеих плоскостях проекций сечение проецируется
в виде эллипса).
Сечение конуса может быть найдено при помощи метода перемены плоско-
стей проекций. При этом дополнительную плоскость проекций вводят так,
чтобы она была перпендикулярна одной из имеющихся плоскостей проекций
( 1 или 2) и секущей плоскости. В этом случае секущая плоскость относи-
Глава 17 494
тельно дополнительной плоскости проекций становится проецирующей,
а проекция сечения преобразуется в отрезок прямой, совпадающий со следом
секущей плоскости.
Пересечение цилиндра плоскостью
В зависимости от расположения секущей плоскости относительно оси круго-
вого цилиндра в сечении возможно образование следующих фигур:
окружности, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;
параллелограмма, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра (ес-ли секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то образуемый в се-чении параллелограмм называется осевым сечением; в частном случае при касании секущей плоскости боковой поверхности цилиндра образуется отрезок);
эллипса, в любом другом положении секущей плоскости (в частном слу-чае при касании контура основания образуется точка).
Если в сечении цилиндра образуется эллипс, то его малая ось всегда будет равна диаметру цилиндра, величина большой оси зависит от угла между се-кущей плоскостью и осью цилиндра. В случаях, когда секущая плоскость, не параллельная оси цилиндра, пересекает его основание (основания), в сечении получается фигура, ограниченная частью окружности или эллипса и хордой (хордами). Эта хорда является отрезком прямой, образуемым в пересечении основания цилиндра секущей плоскостью.
Для построения сечения цилиндра целесообразно аппроксимировать его бо-ковую поверхность призматической поверхностью, однако это не исключает возможности применения и общего метода построения при помощи вспомо-гательных секущих плоскостей.
На рис. 17.16 построено сечение наклонного цилиндра плоскостью . В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма ABCDEF. Поскольку
секущая плоскость пересекает основание цилиндра, две точки, лежащие в сечении, очевидны: это точки 1 и 2, которые лежат в пересечении гори-
зонтального следа 0h с нижним основанием цилиндра. Затем через ребра
призмы А, В и С проводим вспомогательные плоскости (например, фрон-
тально-проецирующие плоскости , и ) и строим точки пересечения этих
ребер с плоскостью (точки 3, 4 и 5). Соединив точки 1, 3, 4, 5 и 2 плавной кривой линией, получаем сечение цилиндра плоскостью. В данном случае сечение представляет собой часть эллипса, ограниченного отрезком 12.
На плоскости проекций 1 часть контура сечения, ограниченная точками
2-1-3-4 и образующей цилиндра, будет невидима, а на плоскости 2 неви-
димой будет кривая 2-5-4-3.
Пересечения геометрических тел 495
Рис. 17.16. Пересечение цилиндра плоскостью общего положения
Эта же задача может быть решена путем введения дополнительной плоскости
проекций, перпендикулярной одной из имеющихся плоскостей проекций ( 1
или 2) и заданной секущей плоскости. Тогда положение секущей плоскости
относительно дополнительной плоскости проекций преобразуется в положе-
ние проецирующей плоскости, а проекция сечения выродится в отрезок пря-
мой линии.
Пример 63. 1) Построить линию пересечения тора плоскостью
(рис. 17.17). 2) Построить сечение трехмерной модели тора плоскостью
и ее ассоциативный чертеж.
1. Создайте документ типа Чертеж и перечертите исходное задание. По-
строение линии пересечения тора плоскостью следует провести при
помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую
плоскость (рис. 17.18). В нашем случае целесообразно выбрать в качестве
Глава 17 496
вспомогательных горизонтальные плоскости 1, 2, ..., пересекающие тор по
окружностям, а плоскость — по прямым, являющимся горизонталями этой
плоскости. В пересечении окружностей и прямых образуются точки 1, 2, 3, 4,
5, 6, ..., принадлежащие сечению. Следует отметить, что кривая пересечения
тора с плоскостью является алгебраической кривой 4-го порядка.
Рис. 17.17. Исходные данные для построения линии пересечения тора плоскостью общего положения
Рис. 17.18. Построение линии пересечения тора плоскостью общего положения
Пересечения геометрических тел 497
2. Создайте документ типа Деталь и выполните модель тора согласно ис-
ходным условиям (рис. 17.19). О том, как моделировать тор, см. пример 58.
Эскиз для вращения необходимо поместить во вспомогательную Сме-
щенную плоскость, параллельную Плоскости XY и отстоящую от нее на
расстоянии 73 мм.
3. Так же как в предыдущем примере, в Плоскости XY вычертите эскиз
отрезка, по которому проходит фронтальный след секущей плоскости ,
а в Плоскости ZX другой эскиз, в котором находится точка, лежащая на
горизонтальном следе секущей плоскости . Вызовите команду Плос-
кость через ребро и вершину и в окне документа укажите на элементы,
принадлежащие секущей плоскости .
4. С помощью команды Сечение поверхностью отсеките часть тора, ис-
пользуя в качестве поверхности отсечения созданную Плоскость через
ребро и вершину. На экране останется часть тора, оставленная пользова-
телем согласно установленному направлению отсечения (рис. 17.20).
Рис. 17.19. Модель тора
Рис. 17.20. Сечение тора
5. Создайте документ типа Чертеж и выполните ассоциативный чертеж усе-
ченного тора, отменив построение вида слева (рис. 17.21). Заштрихуйте
сечение. Сравнение сечений, построенных двумя способами, свидетельст-
вует о небольшом отличии формы сечений. Сечение, построенное систе-
мой по модели, имеет более плавную форму, чем сечение, построенное
"вручную". Это связано с тем, что кривая линия в "ручном" чертеже имеет
приближенную форму, построенную по восьми точкам (как известно, чем
больше точек, тем точнее построенная кривая).
Глава 17 498
Рис. 17.21. Ассоциативный чертеж усеченного тора с выделенным сечением
17.2. Пересечение прямой
с поверхностью геометрического тела
17.2.1. Пересечение прямой
с поверхностью многогранника
Для построения точек пересечения1 прямой линии с поверхностью много-
гранника необходимо:
через прямую провести вспомогательную плоскость;
построить сечение многогранника этой вспомогательной плоскостью;
найти искомые точки в пересечении прямой с контурами построенного
сечения.
Пересечение прямой с поверхностью пирамиды
Рассмотрим построение точек пересечения прямой LT с поверхностью тре-
угольной наклонной пирамиды SABC (рис. 17.22). Поскольку через прямую
линию можно провести любую вспомогательную плоскость, удобнее вос-
пользоваться плоскостью частного положения. Проводим через прямую LT
1 Точки пересечения прямой с поверхностью геометрического тела иногда называют
как точки встречи или как точки входа и выхода прямой.
Пересечения геометрических тел 499
фронтально-проецирующую плоскость и строим сечение пирамиды этой
плоскостью. В этом случае фронтальная проекция сечения 1 -2 -3 пирами-
ды плоскостью совпадает с фронтальным следом плоскости 0f .
Рис. 17.22. Пересечение прямой общего положения с поверхностью пирамиды
Далее строим горизонтальную проекцию сечения 1 -2 -3 и находим проек-
ции точек пересечения прямой с контурами сечения 1K и 2K . По горизон-
тальным проекциям этих точек строим их фронтальные проекции. Точки K1
и K2 и являются искомыми точками пересечения прямой LT с поверхностью
пирамиды.
На рис. 17.22 показана также видимость прямой относительно поверх-
ности пирамиды. На плоскости 1 будет невидимым отрезок, ограни-
ченный точкой K1 и ребром SB, а на плоскости 2 — отрезок, ограни-
ченный точкой K2 и ребром SA.
Если прямая, пересекающая поверхность пирамиды, является проецирующей
(т. е. перпендикулярной одной из плоскостей проекций), то для построения
точек встречи целесообразно через заданную прямую провести вспомога-
Глава 17 500
тельную плоскость, проходящую через вершину пирамиды. Пример построе-
ния дан на рис. 17.23. Через прямую LT и вершину S пирамиды проведена
вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость . Затем построе-
на фронтальная проекция сечения этой плоскостью заданной пирамиды —
треугольник 1 2 S , и определены фронтальные проекции точек пресечения
1K и 2K . Горизонтальные проекции точек K1 и K2 совпадают с вырожден-
ной проекцией прямой LT и на рисунке не показаны.
Рис. 17.23. Пересечение горизонтально-проецирующей прямой с поверхностью пирамиды
Пересечение прямой с поверхностью призмы
Рассмотрим простейший случай, когда грани пересекаемой призмы лежат
в проецирующих плоскостях. На рис. 17.24 даны: призма, боковые грани ко-
торой находятся в горизонтально-проецирующих плоскостях, и прямая LT
общего положения. Положение горизонтальных проекций точек пересечения
(точек 1K и 2K ) очевидно, т. к. боковые грани призмы перпендикулярны
плоскости 1. Фронтальные проекции точек пересечения (точки 1K и 2K )
находятся в пересечении линий проекционной связи, проведенных из 1K
и 2K , и фронтальной проекции прямой. Отрезок K1K2 в направлении как
Пересечения геометрических тел 501
на плоскость 1, так и на плоскость 2, считается "невидимым", т. к. он за-
крывается от непосредственного обзора поверхностью призмы.
Рис. 17.24. Пересечение прямой общего положения с поверхностью прямой призмы
Общий способ построения точек встречи, при котором через заданную пря-
мую проводится вспомогательная плоскость (как правило, проецирующая),
применяется, когда пересекаемые грани находятся в плоскостях общего по-
ложения. Реализация этого приема показана на рис. 17.25, где через прямую
LT проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость и
построено сечение этой плоскостью призмы. Это сечение на фронтальной
плоскости проекций спроецируется в отрезок прямой 1 -3 -2 . В пересече-
нии линий проекционных связей, проведенных из 1 , 2 и 3 , с соответст-
вующими горизонтальными проекциями ребер призмы получаем точки 1 , 2
и 3 . Соединив эти проекции, находим горизонтальную проекцию сечения —
треугольник 1 2 3 .
Точки пересечения K1 и K2 прямой LT с контурами сечения являются точками
пересечения прямой с поверхностью призмы.
Глава 17 502
Рис. 17.25. Пересечение прямой общего положения с поверхностью наклонной призмы
Определяем видимость прямой относительно поверхности призмы. В на-
правлении на плоскость 1 невидимым будет отрезок, ограниченный K2 и
проекцией ребра А1А2, в направлении на 2 — отрезок между K1 и K2.
Пример 64. Построить точки пересечения прямой LT с поверхностью
призмы (рис. 17.26).
1. Через заданную прямую проводим вспомогательную плоскость, например,
горизонтально-проецирующую плоскость (рис. 17.27). Строим сечение
призмы этой вспомогательной плоскостью — четырехугольник 1234.
Точки пересечения K1 и K2 прямой LT с контурами сечения являются точ-
ками пересечения прямой с поверхностью призмы.
2. Определяем видимость прямой относительно поверхности призмы в на-
правлении на плоскости 1 и 2.
Пересечения геометрических тел 503
Рис. 17.26. Исходные проекции призмы и прямой
Рис. 17.27. Построение точек пересечения прямой с поверхностью призмы
Глава 17 504
17.2.2. Пересечение прямой
с кривой поверхностью
Точки пересечения прямой с кривыми поверхностями можно построить дву-
мя способами.
Первый способ заключается в том, что через заданную прямую проводят
вспомогательную плоскость частного положения и строят сечение кривой
поверхности этой вспомогательной плоскостью. Чтобы получить точки,
лежащие в сечении, на кривой поверхности проводят ряд образующих
и находят точки пересечения образующих со вспомогательной плоско-
стью (в ряде случаев для получения таких образующих удобно в кривую
поверхность вписать многогранник — например, в конус или цилиндр
можно вписать соответственно пирамиду или призму). Точки пересечения
прямой с построенным сечением есть точки пересечения этой прямой
с поверхностью заданного геометрического тела. В результате получаем
приближенное решение задачи.
Второй способ позволяет получить точное решение, если вспомогатель-
ную плоскость выбрать так, чтобы полученное сечение кривой поверхно-
сти представляло собой простейшую фигуру — многоугольник или ок-
ружность. Возможность получения такого сечения имеется не всегда —
этот способ применим для линейчатых поверхностей и некоторых случаев
расположения поверхностей вращения, циклических поверхностей и др.
Пересечение прямой с поверхностью конуса
При пересечении прямой с поверхностью конуса вспомогательную секущую
плоскость целесообразно выбрать так, чтобы она проходила через заданную
прямую и вершину конуса. Тогда в сечении образуется треугольник, две сто-
роны которого являются образующими конуса.
Используем этот способ для построения точек пересечения наклонного кону-
са прямой LT (рис. 17.28). Задаем вспомогательную прямую, проходящую
через вершину конуса S и любую точку прямой LT, например точку Т. Те-
перь вспомогательная плоскость (общего положения) оказывается заданной
двумя пересекающимися прямыми LT и ST.
Строим проекции горизонтальных следов прямых LT (1M ) и ST (
2M ). Через
эти точки проводим горизонтальный след этой вспомогательной плоскости
— 0h . Этот след пересечет в точках 1 и 2 основание конуса, которое так-
же лежит в плоскости проекций 1. Сечение конуса плоскостью пройдет
через вершину S и представляет собой треугольник S12. Искомые точки пе-
ресечения прямой LT с поверхностью конуса (K1 и K2) найдем в пересечении
прямой с контурами построенного сечения.
Пересечения геометрических тел 505
Рис. 17.28. Пересечение прямой общего положения с поверхностью наклонного конуса
Рис. 17.29. Пересечение горизонтальной прямой с поверхностью прямого конуса
Глава 17 506
Если прямая, пересекающая поверхность конуса, является прямой уровня,
через прямую целесообразно провести плоскость уровня. На рис. 17.29 через
заданную горизонтальную прямую АВ проведена вспомогательная горизон-
тальная плоскость , которая пересекает конус по окружности радиуса R.
Точки пересечения этой окружности с прямой АВ являются искомыми точ-
ками пересечения.
Пересечение прямой с поверхностью цилиндра
Как правило, точки пересечения прямой с поверхностью цилиндра строятся
при помощи общего приема построения, включающего проведение через за-
данную прямую вспомогательной плоскости. Однако в случае, когда обра-
зующие цилиндрической поверхности являются проецирующими прямыми,
положение точек пересечения становится очевидным.
Например, на рис. 17.30 даны: прямой круговой цилиндр, ось которого пер-
пендикулярна плоскости 1, и прямая АВ общего положения. Так как гори-
зонтальная проекция поверхности цилиндра выродилась в окружность,
то в пересечении этой окружности с горизонтальной проекцией прямой АВ
образуются точки 1 и 2 — горизонтальные проекции точек пересечения.
По точкам 1 и 2 определены их фронтальные проекции.
Рис. 17.30. Пересечение прямой общего положения с поверхностью прямого цилиндра
Пересечения геометрических тел 507
В общем случае для нахождения точек встречи через заданную прямую
необходимо провести вспомогательную плоскость. Если эта плоскость не
параллельна оси цилиндра, то в сечении цилиндра получится эллипс или ок-
ружность, построение проекций которых на эпюре достаточно трудоемко.
Поэтому наиболее целесообразно проводить вспомогательную плоскость,
параллельную оси цилиндра. При этом задать такую плоскость можно двумя
пересекающимися прямыми, первая из которых является заданной прямой,
а вторая — любой прямой, параллельной оси цилиндра. Если эта вспомога-
тельная плоскость пересечет цилиндр, то в сечении образуется параллело-
грамм, две стороны которого — образующие цилиндра.
Пример такого построения дан на рис. 17.31. В качестве вспомогательной
плоскости выбрана плоскость общего положения, параллельная оси ци-
линдра и заданная двумя пересекающими прямыми — прямой LT и пря-
мой, параллельной оси. Такую произвольную прямую можно провести через
любую точку прямой LT, например через точку L: ее горизонтальная проек-
ция параллельна О1О
2, а фронтальная проекция параллельна О
1О
2.
Рис. 17.31. Пересечение прямой общего положения с поверхностью наклонного цилиндра
Глава 17 508
Теперь строим горизонтальный след 0h секущей плоскости . Он пройдет
через горизонтальные проекции горизонтальных следов прямой LT (1M )
и вспомогательной прямой (2M ). В точках 1 и 2 след секущей плоскости пе-
ресечет нижнее основание цилиндра, и поскольку вспомогательная плоскость
выбрана параллельной оси цилиндра, сечение будет представлять собой па-
раллелограмм 1-2-3-4. Точки пересечения прямой LT с поверхностью цилин-
дра (K1 и K2) определяются как точки пересечения прямой с контурами по-
строенного сечения.
Пример 65. Построить точки пересечения прямой LT с поверхностью
сферы (рис. 17.32).
1. Через прямую LT проведем вспомогательную горизонтально-проецирую-
щую плоскость (рис. 17.33). Она пересекает сферу по окружности диа-
метром D.
2. Введем дополнительную плоскость проекций 4 так, что
4 1; 4 .
3. На плоскости проекций 4 построим проекции отрезка прямой АВ и про-
екцию окружности, по которой плоскость пересекает сферу. В пересе-
чении сечения и прямой находим точки пересечения K1 и K2 сначала на
плоскости 4, а затем обратным ходом на плоскостях 1 и 2. Обозначаем
видимость прямой относительно поверхности сферы.
Рис. 17.32. Исходные данные для построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы
Пересечения геометрических тел 509
Рис. 17.33. Построение точек пересечения прямой с поверхностью сферы
17.3. Взаимное пересечение поверхностей
геометрических тел
17.3.1. Общие сведения о пересечении
геометрических тел
Основная задача взаимного пересечения геометрических тел состоит в опре-
делении места точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям
пересекающихся тел. Это геометрическое место точек представляет собой
линию пересечения данных поверхностей.
Для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей,
используют:
вспомогательные секущие поверхности (плоскости частного или общего
положения, кривые поверхности);
образующие кривых поверхностей;
ребра многогранных поверхностей;
вспомогательные прямые линии, лежащие в гранях многогранных поверх-
ностей.
Глава 17 510
В зависимости от вида пересекающихся поверхностей и их взаимного распо-
ложения линия пересечения может быть:
кривой линией;
ломаной линией;
прямой линией.
Линия пересечения может быть плоской или пространственной.
Способы построения линии пересечения определяются прежде всего видом
пересекающихся поверхностей, поэтому их принято рассматривать раздельно:
взаимное пересечение поверхностей многогранников;
взаимное пересечение кривой и многогранной поверхности;
взаимное пересечение кривых поверхностей.
В необходимых случаях для упрощения или уточнения построений прибега-
ют к способам преобразования эпюра.
На чертежах, связанных с построением линии пересечения поверхностей,
устанавливают видимость этой линии относительно пересекающихся по-
верхностей и контуров самих пересекающихся поверхностей относительно
друг друга. Линия пересечения считается "видимой", если она принадлежит
"видимой" стороне каждой из пересекающихся поверхностей.
17.3.2. Взаимное пересечение поверхностей
многогранников
Линия, образуемая при пересечении многогранных поверхностей, представ-
ляет собой одну или несколько замкнутых пространственных ломаных
линий. В зависимости от способа определения элементов ломаной линии (ее
звеньев или вершин) построение линии пересечения поверхностей много-
гранников может производиться путем:
определения отрезков прямых (т. е. определения звеньев ломаной), по ко-
торым грани одного многогранника пересекают грани другого — "спосо-
бом граней";
определения точек встречи ребер первого многогранника с ребрами вто-
рого и ребер второго многогранника с гранями первого (т. е. определения
вершин ломаной) — "способом ребер".
В частном случае вершина ломаной линии может оказаться точкой пересече-
ния ребер многогранников.
Пересечения геометрических тел 511
В первом способе решения задача сводится к многократному построению
линии пересечения плоскостей, в которых лежат грани многогранников, во
втором — к построению точек пересечения прямых (ребер) с плоскостями,
заданными гранями многогранника.
При построении линии пересечения многогранных поверхностей выбирают
тот способ, который дает более простые построения, при этом возможно
комбинированное использование обоих способов. На практике пользуются
главным образом вторым способом.
Существуют правила, которыми следует руководствоваться при построении
линии пересечения двух многогранников.
Если хотя бы одна проекция ребра многогранника не пересекает проек-
цию грани другого многогранника, то данное ребро не пересекает этой
грани (однако пересечение всех проекций ребра одного многогранника со
всеми одноименными проекциями граней другого многогранника не озна-
чает, что эти ребро и грань пересекаются).
Проекции линии пересечения располагаются в пределах фигуры, образо-
ванной при наложении одноименных проекций двух многогранников.
Звенья ломаной, образуемой при пересечении двух многогранников, лежат
в одной и той же грани как первого, так и второго многогранника (для оп-
ределения последовательности соединения вершин ломаной используют
вспомогательные диаграммы или таблицы, например, так называемую
"сетку" Д. Г. Ананова2).
При обозначении видимости линии пересечения относительно поверхностей
многогранников считается, что звено ломаной является "видимым", если
обе грани многогранников, в которых лежит это звено, также "видимые".
На рис. 17.34 показано построение линии пересечения прямой четырехуголь-
ной призмы D1Е1F1G1D2E2F2G2 и треугольной пирамиды SABC. Построение
выполнено способом "ребер", т. е. путем определения точек пересечения ре-
бер одного многогранника с гранями другого.
Проанализируем положение проекций ребер призмы относительно граней
пирамиды. На фронтальной плоскости проекций ребра призмы, лежащие
в обоих основаниях, не пересекают проекции граней пирамиды, следователь-
но, они не пересекают поверхность пирамиды. На горизонтальной плоскости
2 Профессор Давид Георгиевич Ананов (1916—1976) преподавал в 1930—40-х гг.
в Ленинградском институте точной механики и оптики и Ленинградском индустри-
альном институте. Занимаясь теорией начертательной геометрии, он разработал и
предложил метод разверток поверхностей, ныне носящий его имя.
Глава 17 512
проекций ребра D1D2, G1G2 и F1F2, спроецировавшиеся в точку, не пересе-
кают проекций граней пирамиды, поэтому они также не пересекают поверх-
ности пирамиды. Только ребро Е1Е2 призмы может пересекать поверхность
пирамиды.
Рис. 17.34. Построение линии пересечения прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды
Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что ребра SA, SB
и SC пирамиды также могут пересекать поверхность призмы.
Поскольку грани призмы лежат в горизонтально-проецирующих плоскостях,
положение горизонтальных проекций точек пересечения (точек 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 и 6 ) ребер SA, SB и SC с гранями призмы очевидно. Фронтальные и про-
фильные проекции этих точек лежат на пересечении линий проекционной
связи, проведенных из найденных точек, и соответствующих проекций ребер
пирамиды.
Для нахождения точек пересечения ребра Е1Е2 призмы с поверхностью пи-
рамиды через это ребро и вершину S пирамиды проведена вспомогательная
горизонтально-проецирующая плоскость . В сечении этой плоскостью пи-
рамиды образуется треугольник SL1L2. В точках пересечения ребра Е1Е2
Пересечения геометрических тел 513
с контурами сечения образуются точки 7 и 8 — точки пересечения ребра
Е1Е2 с поверхностью пирамиды. Эти точки легко найти на фронтальной
плоскости проекций. На горизонтальной плоскости проекций ребро Е1Е2
спроецировалось в точку, и, следовательно, все точки, лежащие на этом реб-
ре (в том числе и точки 7 и 8), находятся в этой выродившейся проекции:
E1 E2 7 8 .
Последовательность соединения построенных точек определена при помощи
"сетки" Д. Г. Ананова — таблицы, строки и столбцы которой имитируют
грани многогранников, а сами линии — их ребра (см. рис. 17.34, справа).
Столбцы таблицы D1G1G2D2, G1F1F2G2 и т. д. отображают боковые грани
призмы, а строки ASSB, BSSC, CSSA — грани ASB, BSC, CSA пирамиды.
На диаграмму наносят точки, принадлежащие линии пересечения. Например,
точка 2 находится на ребре SB пирамиды и в грани G1F1F2G2 призмы, точка
6 — на этом же ребре пирамиды и в грани E1D1D2E2 призмы, точка 7 — на
ребре Е1Е2 призмы и в грани SBC пирамиды и т. д. Построенные на "сетке"
Д. Г. Ананова точки соединяются между собой по следующему правилу:
можно соединить только те точки, которые лежат в пределах одной ячейки.
Точку 1 можно соединить только с точками 2 и 3, точку 2 — только с точка-
ми 1 и 3 и т. д.
Таким образом, линия пересечения заданных многогранников распалась на
две линии: треугольник 123 и пространственную замкнутую ломаную линию
457684. При помощи алгоритма, найденного по "сетке" Д. Г. Ананова, фрон-
тальные проекции вершин этих фигур следует соединить отрезками прямых
с соблюдением правил обозначения взаимной видимости.
На плоскости 2 в призме "видимыми" будут грани E1F1F2E2 и F1G1G2F2,
в пирамиде — грани SBC и SCA. Одновременно этим граням принадлежат
отрезки 13, 32, 45 и 57, следовательно, они считаются видимыми; остальные
отрезки закрываются от непосредственного обзора поверхностями много-
гранников.
Пример 66. 1) Построить линию пересечения правильной четырехуголь-
ной пирамиды и параллелепипеда (рис. 17.35). 2) Построить трехмерную
модель и ассоциативный чертеж заданных геометрических тел.
1. Обозначим вершины многогранников и проанализируем положение ребер
пирамиды относительно граней параллелепипеда. На плоскости 2 ребро
SC не пересекает проекцию параллелепипеда, следовательно, оно не пе-
ресекает его поверхность. На плоскости 1 ребра ВС и DC, лежащие в ос-
новании пирамиды, не пересекают проекции граней параллелепипеда, по-
этому они также не пересекают параллелепипед.
Глава 17 514
Рис. 17.35. Исходные данные для построения линии пересечения пирамиды и параллелепипеда
Рис. 17.36. Построение линии пересечения правильной четырехугольной пирамиды и параллелепипеда
Пересечения геометрических тел 515
2. Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что ребра E1E2, D1D2 и E2D2 параллелепипеда также не могут пересекать поверхность пи-рамиды.
3. Используя "способ ребер", сначала определим точки пересечения ребер пирамиды с поверхностью параллелепипеда. Поскольку грани параллеле-пипеда лежат в проецирующих плоскостях, положение проекций точек
пересечения 1 и 2 ребра SA с гранями параллелепипеда очевидно (рис. 17.36).
4. Для определения положения точек 3 и 4, в которых ребра SB и SD пира-миды пересекают верхнее основание параллелепипеда, через него прове-
дена вспомогательная горизонтальная плоскость , которая в сечении пи-рамиды дает квадрат, подобный основанию пирамиды. На горизонтальной
проекции через 2 проводим сторону сечения параллельно А В и в пересе-
чении с ребром S B получаем 3 . Аналогично строим горизонтальную
проекцию точки 4 (4 ), в которой ребро SD прошло через верхнее основа-ние параллелепипеда. Находим фронтальные проекции точек 3 и 4 — они лежат в пересечении фронтальных проекций ребер SB и SD пирамиды с проекцией верхнего основания параллелепипеда.
5. Положение проекций точек 5 и 6, в которых ребра SB и SD пирамиды
пересекают боковую поверхность параллелепипеда, на плоскости 1 явля-ется явным. Чтобы нанести точки 5 и 6 на фронтальную проекцию, ис-пользован метод вращения.
6. Точки пересечения основания геометрических тел — точки 7, 8, 9 и 10 — легко найти без дополнительных построений на горизонтальной плоско-
сти проекций. Затем переносим их проекции на плоскость 2. Все точки, в которых ребра пирамиды пересекают грани параллелепипеда, опре- делены.
7. Определяем точки пересечения ребер параллелепипеда с гранями пира-
миды. Положение точек 11 и 12, в которых ребро F2G2 параллелепипеда
пересекает грани пирамиды, найдено на плоскости 1 — это точки, в ко-
торых горизонтальная проекция этого ребра пересекло сечение вспомога-
тельной плоскостью .
8. Чтобы найти точки, в которых ребра параллелепипеда F1F2 и G1G2 пере-
секают пирамиду, через эти ребра и вершину пирамиды S проведены
вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости — соответст-
венно плоскости и . В сечении пирамиды вспомогательные плоскости
образуют треугольники, которые в пересечении с фронтальными проек-
циями ребер параллелепипеда F1F2 и G1G2 дают проекции точек 13 и 14.
Глава 17 516
9. Соединяем полученные во взаимных пересечениях четырнадцать точек
по правилу: звенья ломаной лежат в одной и той же грани как пирамиды,
так и параллелепипеда. Фактически линия пересечения распалась на две
линии: треугольник 179 и пространственную замкнутую ломанную ли-
нию 2-3-11-13-5-8-10-6-14-12-4-2. Обозначаем видимость как линии
пересечения, так и геометрических тел относительно друг друга.
10. Для построения трехмерной модели заданных пересекающихся тел соз-
дайте документ типа Деталь. В Плоскости ZX вычертите эскиз квадрата
со стороной 74 мм, стороны которого повернуты на 45 относительно
направления осей эскиза. Центр квадрата целесообразно разместить в на-
чале координат эскиза.
11. Относительно Плоскости ZX создайте Смещенную плоскость:1 на рас-
стоянии 80 мм. В этой плоскости сформируйте Эскиз:2, содержащий
только одну точку в начале координат эскиза. Примените к двум создан-
ным эскизам Операцию по сечениям, и модель четырехугольной пира-
миды с заданными параметрами будет построена.
12. В Плоскости ZX вычертите эскиз квадрата — нижнее основание парал-
лелепипеда (рис. 17.37).
Рис. 17.37. Эскиз основания для построения модели параллелепипеда
13. Проследите, чтобы эскиз был выделен, и активизируйте команду Опера-
ция выдавливания. Установите необходимое расстояние выдавливания
60 мм и на вкладке Свойства установите любой другой цвет, отличный
Пересечения геометрических тел 517
от цвета источника. Подтвердите построения нажатием на кнопку Соз-
дать объект. Трехмерная модель заданных геометрических тел готова
(рис. 17.38).
14. Чтобы по модели выполнить ассоциативный чертеж, создайте новый до-
кумент типа Чертеж. Активизируйте команду Стандартные виды на
странице Ассоциативные виды и выберите трехмерную модель для по-
строения плоского чертежа. На панели свойств кнопкой Схема вызовите
диалоговое окно Выберите схему видов и отмените построение вида
слева. Установите масштаб 1:2 и щелкните в окне документа. Система
отстроит проекции заданных геометрических тел с нанесенной линией их
пересечения (рис. 17.39). Этот чертеж полностью совпадает с чертежом,
выполненным "вручную", что говорит о верности выполненных ранее по-
строений.
Рис. 17.38. Трехмерная модель пересекающихся четырехугольной
пирамиды и параллелепипеда
Рис. 17.39. Ассоциативный чертеж пересекающихся четырехугольной
пирамиды и параллелепипеда
17.3.3. Взаимное пересечение кривой
и многогранной поверхностей
Линия пересечения таких поверхностей представляет собой одну или не-
сколько плоских кривых линий, являющихся пересечением отдельных граней
многогранника с заданным телом вращения.
Глава 17 518
В общем случае для построения линии пересечения кривой поверхности
с поверхностью многогранника необходимо найти ряд точек, принадлежащих
обеим поверхностям, и соединить их в определенной последовательности
замкнутой кривой линией. Эти точки могут быть найдены путем проведения:
вспомогательных прямых линий, принадлежащих граням многогранника;
вспомогательных образующих кривой поверхности;
вспомогательных секущих плоскостей.
Как правило, общие точки определяют путем комбинации перечисленных
выше способов с учетом упрощения или уточнения построений. Построение
линии пересечения начинают с определения характерных (или опорных) то-
чек, т. е. точек, занимающих особое расположение по отношению к плоско-
сти проекций или к самой линии пересечения.
К характерным точкам относятся:
точки излома кривой линии (если они имеются) — точки пересечения ре-
бер многогранника с кривой поверхностью;
наиболее удаленная и наиболее близкая точки к плоскостям проекций (экстремальные точки);
точки, делящие кривую на видимую и невидимую части (точки видимости);
точки наибольшей или наименьшей ширины кривой.
Рассмотрим пример построения линии пересечения треугольной пирамиды и прямого кругового цилиндра (рис. 17.40).
Характерные точки — точки излома 1, 2 и 3, являющиеся точками пересече-ния ребер пирамиды с поверхностью цилиндра, определены по пересечению горизонтальных проекций ребер с проекцией поверхности цилиндра (на го-ризонтальной плоскости проекций она спроецировалась в окружность).
Характерные точки 4, 5 и 6, наиболее близкие к плоскости проекций 1, на-ходятся в месте пересечения линий наибольшего ската, проведенных из вер-шины S в каждой грани пирамиды, с поверхностью цилиндра (положение этих точек является явным на горизонтальной плоскости проекций).
Дополнительные точки определены при помощи вспомогательных секущих
плоскостей и , параллельных плоскости 1. В сечении цилиндра эти плоско-сти дают окружности, совпадающие на горизонтальной плоскости проекций с основанием цилиндра, а в сечении пирамиды — треугольники. Точки вза- имного пересечения этих сечений принадлежат одновременно поверхности
пирамиды и поверхности цилиндра. Положение этих точек (точек 7 , 8 , 9 , 10
и т. д.) очевидно на плоскости 1: они лежат в пересечении треугольников, об-
разующихся в сечении пирамиды плоскостями и , с очерком цилиндра.
Пересечения геометрических тел 519
Рис. 17.40. Построение линии пересечения треугольной пирамиды и прямого кругового цилиндра
В процессе построения выявилась необходимость построения точек 11 и 14,
которые на плоскости 2 делят кривую на видимую и невидимую части. Для
этого в гранях пирамиды SAB и SAC проведены вспомогательные отрезки,
параллельные фронтальной плоскости проекций. В пересечении этих прямых
с проекцией цилиндра на горизонтальной плоскости проекций определено
положение точек 11 и 14 , которые затем перенесены на фронтальную плос-
кость проекций.
Построенные точки последовательно соединяют замкнутой кривой линией.
Линия пересечения представляет собой три дуги эллипсов, соединяющих-
ся между собой в точках пересечения ребер пирамиды с поверхностью
цилиндра.
Глава 17 520
Определим видимость как линии пересечения, так и самих геометрических
тел. На плоскости 1 линия пересечения совпала с очерком цилиндра, и обо-
значать ее видимость здесь не имеет смысла. На плоскости 2 видимой будет
часть линии пересечения 11-4-13-1-15-17-6-18-14, а невидимой — 14-16-3-8-10-5-9-7-2-12-11. Верхняя часть пирамиды, ограниченная линией пересе-
чения, считается невидимой, т. к. она находится внутри цилиндра и закрыва-
ется от непосредственного обзора его поверхностью. Нижняя часть цилиндра
также будет невидимой.
Пример 67. 1) Построить линию пересечения правильной треугольной
призмы и прямого кругового конуса (рис. 17.41). 2) Построить трехмер-
ную модель и ассоциативный чертеж заданных геометрических тел.
1. На первом этапе следует определить точки излома линии пересечения — точ-
ки, в которых ребра призмы пересекают поверхность конуса. Положение то-
чек 1 и 2, в которых ребро В1В2 пересекает конус, очевидно на фронтальной
плоскости проекций (рис. 17.42). Чтобы построить точки пересечения ребер
А1А2 и С1С2 с конусом, через грань А1А2С2С1 проведена вспомогательная го-
ризонтальная плоскость , которая в сечении конуса дает окружность диамет-
ра D1. Вычертив на плоскости 1 окружность этого диаметра, получим в пере-
сечении с проекциями ребер призмы горизонтальные проекции точек излома
3 , 4 , 5 и 6 . Спроецируем эти точки на плоскость 2.
Рис. 17.41. Исходные проекции призмы и конуса
Пересечения геометрических тел 521
Рис. 17.42. Построение линии пересечения правильной треугольной призмы и прямого кругового конуса
2. Для получения дополнительных точек воспользуемся методом секущих
плоскостей — рассечем два заданных геометрических тела еще одной вспо-
могательной горизонтальной плоскостью. В сечении призмы эта плоскость
дает прямоугольник, ширина которого берется с профильной проекции, а в
сечении конуса окружность диаметра D2. Построим оба сечения на плоско-
сти 1. В пересечении сечений получим проекции точек 7 , 8 , 9 и 10 , об-
щих для обеих поверхностей. Их фронтальные проекции будут находиться
на фронтальном следе вспомогательной плоскости .
3. При необходимости, для повышения точности построений можно постро-
ить еще ряд секущих плоскостей и получить дополнительные точки, ле-
жащие на линии пересечения. Полученные точки соединяем плавной ли-
нией при помощи команды Кривая Безье. В заключении определяем
видимость линии пересечения и самих геометрических тел относительно
друг друга.
4. Для создания трехмерной модели пересекающихся геометрических тел
создайте документ типа Деталь. В Плоскости ZX создайте эскиз с ок-
ружностью диаметром 60 мм (основание конуса). Постройте Смещенную
плоскость:1 относительно Плоскости ZX на расстоянии 50 мм, равном
высоте конуса. В Смещенной плоскости:1 выполните эскиз с одной точ-
кой — вершиной конуса. Примените к эскизам Операцию по сечениям.
Глава 17 522
5. В Плоскости ZY выполните эскиз сечения призмы (рис. 17.43).
6. Примените к эскизу Операцию выдавливания в два направления (на па-
нели свойств в поле Расстояние введите 40 мм для каждого направления
и на вкладке Свойства измените цвет источника). Модель заданных пере-
секающихся тел готова (рис. 17.44).
7. По готовой модели выполните ассоциативный чертеж, отменив построе-
ние вида слева (рис. 17.45), и сравните с "ручным" чертежом, выполнен-
ным ранее.
Рис. 17.43. Эскиз сечения призмы
Рис. 17.44. Трехмерная модель пересекаю-щихся призмы и конуса
Рис. 17.45. Ассоциативный чертеж пересекающихся призмы и конуса
Пересечения геометрических тел 523
17.3.4. Взаимное пересечение
кривых поверхностей
В общем случае линия пересечения двух кривых поверхностей является про-
странственной кривой линией (или двумя кривыми линиями), однако в неко-
торых частных случаях она может быть и плоской — окружностью, эллипсом
и т. д. Линию пересечения кривых поверхностей иногда называют линией
перехода.
В общем случае для построения линии пересечения необходимо найти ряд
точек, принадлежащих обеим поверхностям, и затем последовательно соеди-
нить их кривой линией. Для определения общих точек применяются два ос-
новных способа:
способ вспомогательных секущих поверхностей;
способ вспомогательных образующих линий.
В первом случае заданные кривые поверхности пересекаются третьей по-
верхностью, которая дает в пересечении с заданными некоторые кривые ли-
нии. Точки взаимного пересечения этих кривых линий лежат как в секущей
поверхности, так и в заданных, т. е. они принадлежат искомой линии пересе-
чения. Проведя ряд секущих поверхностей, можно найти необходимое коли-
чество точек, принадлежащих линии пересечения.
Вспомогательные поверхности подбираются таким образом, чтобы в пересе-
чении с заданными они давали простейшие для построения линии (прямые
или окружности). Применяют следующие секущие поверхности:
плоскости общего или частного положения (способ вспомогательных се-
кущих плоскостей);
кривые поверхности (например, сферы — способ вспомогательных секу-
щих сфер).
В случае использования вспомогательных образующих определяются точ-
ки, в которых образующая одной поверхности пересекает другую поверх-
ность. Повторяя этот прием для нескольких образующих, определяют
ряд точек, необходимых для построения линии пересечения. Этот способ
используется, как правило, при построении линии пересечения поверхно-
стей, когда хотя бы одна из заданных поверхностей является линейчатой, и
ее видимые прямолинейные образующие пересекают контуры второй по-
верхности.
Иногда целесообразно комбинировать различные способы построения. Ли-
ния пересечения тем точнее, чем больше точек найдено для ее построения.
Глава 17 524
Существуют правила, которыми следует руководствоваться при построении
линии пересечения:
проекции линии пересечения образуется в пределах общей части проек-
ций заданных поверхностей;
при общем расположении поверхностей для упрощения и уточнения по-
строений их положение необходимо преобразовать в частное, например,
при помощи метода перемены плоскостей проекций;
построение линии пересечения начинается с определения ее характерных
точек, позволяющих установить границы, внутри которых следует искать
промежуточные точки;
линия пересечения алгебраических поверхностей является также алгеб-
раической, причем порядок линии пересечения не выше произведения
порядков поверхностей, т. е., к примеру, линией пересечения поверхно-
стей второго порядка может быть кривая линия не выше четвертого по-
рядка (кривую линию четвертого порядка иногда называют биквадрат-
ной кривой).
Рассмотрим применение основных правил построения линии пересечения
кривых поверхностей на примерах геометрических тел, ограниченных ли-
нейчатыми поверхностями.
Способ вспомогательных секущих плоскостей применяется, когда секущие
плоскости дают в пересечении с каждой из данных поверхностей прямые ли-
нии или окружности. При этом возможны следующие случаи пересечения
линейчатых поверхностей:
обе поверхности пересекаются по прямым линиям;
обе поверхности пересекаются по окружностям;
одна поверхность пересекается по прямым линиям, а другая — по окруж-
ности.
Разберем более подробно эти варианты.
Линейчатые поверхности пересекаются по прямым
Две линейчатые поверхности пересекаются секущей плоскостью по прямым
линиям, если плоскость проходит через прямолинейные образующие каждой
из этих поверхностей. Точка пересечения образующей одной поверхности
с образующей другой принадлежит линии пересечения. Такие секущие плос-
кости целесообразно проводить при построении линии пересечения:
двух наклонных цилиндров (секущие плоскости параллельны плоскости
параллелизма, параллельной в свою очередь осям обоих цилиндров);
Пересечения геометрических тел 525
двух наклонных конусов (секущие плоскости проходят через вершины
обоих конусов);
наклонного конуса и наклонного цилиндра (секущие плоскости проходят
через вершину конуса и образующие цилиндра).
Линейчатые поверхности пересекаются по окружностям
В сечении двух круговых конусов или цилиндров, основания которых лежат
в параллельных плоскостях или в одной плоскости, образуются окружности.
Рассмотрим построение линии пересечения прямых круговых конуса и ци-
линдра с параллельными осями (рис. 17.46). В общем, принципы построения
здесь во многом схожи с принципами рассмотренного ранее примера взаим-
ного пересечения поверхностей вращения и многогранника.
Рис. 17.46. Построение линии пересечения прямых круговых конуса и цилиндра
Глава 17 526
Определяем характерные точки линии пересечения. В пересечении видимой
образующей конуса с поверхностью цилиндра находим точку 1, наивысшую
точку по отношению к плоскости 1. В пересечении основания конуса с ниж-
ним основанием цилиндра (основания лежат в плоскости 1) отмечаем общие
точки 2 и 3, также лежащие в горизонтальной плоскости проекций.
Таким образом, на фронтальной и профильной плоскостях проекций все точки линии пересечения должны находиться между точками 1 и 2 (3). Заданные геометрические тела рассекаем вспомогательными горизонтальными плоско-
стями 1, 2, 3 и 4. В сечении конуса и цилиндра образуются окружности.
Рассмотрим построение общих точек на примере точек 4 и 5. В сечении ци-
линдра плоскостью 1 образуется окружность радиуса r, горизонтальная про-екция которой совпадает с контуром цилиндра. В сечении конуса этой же плоскостью получается окружность радиуса R1. В пересечении этих окруж-
ностей находим горизонтальные проекции 4 и 5 , а их фронтальные проек-ции определим по линиям проекционной связи, проведенным до пересечения со следом
10f вспомогательной плоскости.
Аналогично находим ряд точек 6, 7, 8, ..., необходимых для построения линии пересечения — замкнутой кривой линии, имеющей две точки излома 2 и 3. Построенные точки последовательно соединяем кривой линией. На гори-зонтальной плоскости проекций линия пересечения представляет собой две
дуги окружностей радиусами r и R, соединяющиеся в точках 2 и 3 ; на фрон-
тальной плоскости проекций — дугу 1 -2 (3 ).
Определим видимость как линии пересечения, так и самих геометрических
тел. На плоскости 1 линия пересечения совпала с очерком цилиндра, и обо-
значать ее видимость здесь не имеет смысла. На плоскости 2 видимая часть линии пересечения 1-4-6-8-10-2 совпала с невидимой 1-5-7-9-11-3.
На плоскости 1 часть основания конуса закрывается цилиндром. На плоско-
сти 2 части образующих конуса и цилиндра находятся как бы внутри пере-секаемых геометрических тел, и, следовательно, их необходимо показать штриховой линией.
Одна линейчатая поверхность пересекается по прямым линиям, а другая — по окружности
При пересечении линейчатых тел вращения — конусов или цилиндров, оси
которых взаимно перпендикулярны, одна поверхность рассекается секущей
плоскостью по прямым линиям, а другая — по окружности.
На рис. 17.47 дано построение линии пересечения двух цилиндров, имеющих
взаимно перпендикулярные оси. Характерными точками являются точки пе-
ресечения видимых образующих одного цилиндра с контурами другого —
Пересечения геометрических тел 527
точки 1 и 2, наиболее близкие к плоскости 1, и точки 3 и 4, наиболее уда-
ленные от плоскости 1. Таким образом, на фронтальной плоскости проекций
граница построений линии пересечения ограничена по высоте точками 1 2
и 3 , 4 .
Рис. 17.47. Построение линии пересечения двух цилиндров, имеющих взаимно перпендикулярные оси
Далее используем способ вспомогательных секущих плоскостей. Заданные
геометрические тела рассекаются рядом вспомогательных горизонтальных
плоскостей 1, 2, ... В сечении плоскостью 1 цилиндра, ось которого распо-
ложена горизонтально, образуется прямоугольник (его горизонтальная про-
екция заштрихована), в сечении цилиндра с вертикальной осью — окруж-
ность (горизонтальная проекция этой окружности совпала с проекцией
оснований). В пересечении контуров сечений определяются горизонтальные
проекции общих точек: 5 , 6 , 7 и 8 . Фронтальные проекции этих точек ле-
жат на фронтальном следе 10f .
Аналогично находятся точки 9, 10, 11, ..., определяющие линию пересече-
ния. На горизонтальной плоскости проекций она совпадает с проекциями ос-
нований вертикального цилиндра; на фронтальной — она представляет собой
ветвь гиперболы с вершиной в точке 1 2 .
Глава 17 528
Способ вспомогательных секущих сфер
Способ вспомогательных секущих сфер заключается в построении линий
взаимного пересечения каждой из заданных поверхностей соосно располо-
женными сферами. Если прямой круговой конус (рис. 17.48, а) или прямой
круговой цилиндр (рис. 17.48, б) рассечь сферой, центр которой находится на
оси геометрических фигур, то линия пересечения будет представлять окруж-
ности, которые проецируются на плоскость, перпендикулярную оси поверх-
ности, в натуральную величину, а на плоскость, параллельную оси поверхно-
сти, в отрезки прямых.
Рис. 17.48. Пересечение сферой прямых круговых конуса (а) и цилиндра (б)
В зависимости от расположения центра сфер различают:
способ концентрических сфер, проведенных из одного центра;
способ эксцентрических сфер, проведенных из разных центров.
Вспомогательные концентрические сферы применяют для построения линии
пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В этом случае
заданные поверхности рассекаются несколькими вспомогательными сферами,
центр которых находится в точке пересечения их осей вращения. Точки пере-
сечения окружностей, по которым сфера пересекается с каждой из поверхно-
стей вращения, являются токами, принадлежащими линии пересечения.
На рис. 17.49 показано построение линии пересечения двух усеченных кру-
говых конусов, оси которых пересекаются под прямым углом в точке О. При
этом используется комбинация различных способов: способа вспомогатель-
ных образующих линий (для нахождения общих точек 1, 2, 3 и 4), способа
вспомогательных секущих плоскостей (для точек 5, 6, 7 и 8) и способа секу-
щих концентрических сфер (для остальных общих точек). Построение начи-
нается с определения характерных точек.
Пересечения геометрических тел 529
Рис. 17.49. Построение линии пересечения двух конусов, оси которых пересекаются под прямым углом
Фронтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4, наиболее удаленных и близких
к плоскости 1, определяются на пересечении видимых образующих конусов.
Характерные точки 5, 6, 7 и 8, в которых на горизонтальной плоскости про-
екций происходит разделение линии пересечения на "видимую" и "невиди-
мую" части, определены при помощи вспомогательной горизонтальной плос-
Глава 17 530
кости . В сечении конуса с горизонтальной осью образуется трапеция, про-
екция которого на плоскости 1 совпадает с контурами конуса; в сечении
плоскостью конуса с вертикальной осью образуется окружность I. В пере-
сечении горизонтальных проекций сечений образуются точки 5 , 6 , 7 и 8
(фронтальные проекции 5 , 6 , 7 и 8 находятся на следе 0f ).
Характерные точки 9, 10, 11 и 12, наиболее близко расположенные к оси вер-
тикального конуса, находятся при помощи вспомогательной сферы I, вписан-
ной в этот конус. Линией касания сферы I с вертикальным конусом является
окружность II, которая на фронтальной плоскости проекций выродилась в от-
резок прямой, а на горизонтальной плоскости спроецировалась в натуральную
величину. Линией пересечения сферы I с горизонтальным конусом являются
две окружности III и IV, которые и на фронтальную, и на горизонтальные
плоскости проекций спроецировались в отрезки прямых. В пересечении ок-
ружностей III и IV с окружностью I находятся общие точки 9, 10, 11 и 12.
Затем из центра О проведена вспомогательная сфера II, и определены про-
межуточные точки 13, 14, 15, 16.
В результате последовательного соединения одноименных проекций общих
точек образуются две отдельные линии пересечения (в данном случае гово-
рят о проницании конуса с горизонтальной осью в конус с вертикальной
осью). На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения спроеци-
ровалась в виде двух плавных замкнутых кривых линий, а на фронтальной
плоскости проекций — в виде гиперболы.
Определение видимости линии пересечения: на плоскости 2 "невидимая"
часть линии пересечения совпала с ее видимой частью; на плоскости 1 гра-
ницами видимости являются точки 5, 6, 7 и 8. Следовательно, горизонталь-
ные проекции дуг линии пересечения, ограниченные этими точками и закры-
ваемые от непосредственного обзора конусом с горизонтальной осью,
считаются невидимыми. Части образующих конусов, находящиеся в месте их
взаимного проникновения, также будут невидимыми. Кроме того, в направ-
лении на 1 часть основания вертикального конуса закрывается горизонталь-
ным конусом.
Вспомогательные эксцентрические сферы применяются в случаях, когда од-
на из заданных поверхностей является поверхностью вращения, а для другой
характерно наличие круговых сечений, центры которых лежат на одной пря-
мой, пересекающей ось вращения (например, при пересечении кругового ко-
нуса и эллиптического цилиндра, тора и кругового конуса и т. д.).
Пересечения геометрических тел 531
Некоторые частные случаи взаимного пересечения
поверхностей вращения
В некоторых частных случаях поверхности вращения пересекаются по пря-
мым или по окружностям. На рис. 17.50, а изображены два цилиндра с па-
раллельными осями, а на рис. 17,50, б два конуса с общей вершиной. В обо-
их случаях линиями пересечения являются общие образующие этих
поверхностей.
Рис. 17.50. Некоторые частные случаи пересечения поверхностей вращения
Глава 17 532
Соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям. Несколько
подобных вариантов были рассмотрены ранее при пересечении кругового
конуса и цилиндра сферой (см. рис. 17.48). На рис. 17.50, в дан еще один
пример построения линии пересечения соосных поверхностей вращения —
кругового цилиндра и кругового конуса. На фронтальную плоскость проек-
ций окружность, образуемая в пересечении, спроецировалась в виде прямо-
линейного отрезка, а на горизонтальной плоскости проекций она совпала
с проекциями оснований цилиндра.
При взаимном пересечении поверхностей вращения второго порядка в неко-торых случаях происходит распадение линии пересечения на две плоские кривые второго порядка (это бывает, когда обе пересекающиеся поверхности вращения описаны вокруг общей для них сферы). На рис. 17.50, г показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися под прямым углом ося-ми. Из точки пересечения может быть проведена сфера, вписанная в оба ци-линдра. Поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов,
которые проецируются на плоскость 2 в виде отрезков прямой линии.
Пример 68. 1) Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 17.51).
2) Построить трехмерную модель и ассоциативный чертеж заданных
геометрических тел.
1. Точки, лежащие на линии пересечения заданных цилиндров, целесообраз-но искать методом образующих, т. к. на горизонтальной проекции поло-жение точек пересечения образующих наклонного цилиндра с поверхно-стью вертикального цилиндра очевидно. По известным горизонтальным проекциям точек надо только построить их фронтальные проекции. На го-ризонтальной плоскости проекций линия пересечения выглядит в виде дуг окружностей, совпадающих с очерком цилиндра, поэтому основной упор сделаем на построении фронтальной проекции линии пересечения. На фронтальной плоскости проекций линия пересечения спроецируется в ви-де двух замкнутых алгебраических кривых. Далее рассмотрим последова-тельность построений линии пересечения, находящейся справа — точки на левой кривой строятся аналогично.
2. Начнем построения с характерных точек 1 и 2 — фронтальные проекции этих точек являются наиболее близкими к оси вертикального цилиндра
(рис. 17.52). Точка 1 (1 ) расположена на видимой части линии пересече-
ния, а точка 2 (2 ) — на невидимой.
3. Далее строим характерные точки 3 и 4, наиболее и наименее удаленные от
плоскости 1, и точки 5 и 6, во фронтальных проекциях которых (5 и 6 ) кривая линии пересечения касается видимых образующих вертикального цилиндра.
Пересечения геометрических тел 533
Рис. 17.51. Исходные проекции цилиндров
Рис. 17.52. Построение линии пересечения наклонного цилиндра
с вертикальным цилиндром
4. Проведя дополнительные образующие наклонного цилиндра, получим
еще ряд точек, лежащих на линии пересечения. Полученные точки соеди-
ним плавной кривой линией.
5. Для трехмерного моделирования создайте документ типа Деталь.
В Плоскости ZX вычертите эскиз окружности диметром 40 мм (нижнее
основание вертикального цилиндра) и "выдавите" его на высоту цилинд-
ра — расстояние, равное 80 мм. Вертикальный цилиндр готов.
6. Создайте смещенную плоскость на расстоянии 40 мм от Плоскости ZX
и постройте в этой плоскости эскиз с отрезком произвольной длины, рас-
положенным перпендикулярно оси вертикального цилиндра (рис. 17.53).
7. Активизируйте команду Плоскость под углом к другой плоскости на
странице Вспомогательная геометрия. Последовательно укажите на
Плоскость ZX и построенный отрезок. На панели свойств в поле Угол
введите 60 и подтвердите построения кнопкой Создать объект.
8. В Плоскости под углом:1 создайте эскиз. Спроецируйте в нее вспомога-
тельный отрезок и измените стиль линии отрезка на Тонкую. Привязав-
шись к этому отрезку, вычертите эскиз окружности диаметром 28 мм —
сечение наклонного цилиндра (рис. 17.54).
Глава 17 534
Рис. 17.53. Эскиз отрезка, необходимый для построения наклонной вспомогательной плоскости
Рис. 17.54. Эскиз сечения наклонного цилиндра
Рис. 17.55. Модель наклонного цилиндра, пересекающегося с вертикальным цилиндром
Пересечения геометрических тел 535
9. Примените к эскизу операцию выдавливания в два направления, устано-
вив расстояние для каждого направления по 40 мм. Модель пересекаю-
щихся цилиндров выполнена (рис. 17.55).
10. Создайте документ типа Чертеж и выполните ассоциативный чертеж мо-
дели в двух проекциях (рис. 17.56). На вкладке Линии при создании ас-
социативного чертежа в группе переключателей Невидимые линии
щелкните на кнопке Показывать. Ассоциативный чертеж полностью по-
вторяет чертеж, выполненный ранее с использованием правил построе-
ния линии пересечения линейчатых поверхностей.
Рис. 17.56. Ассоциативный чертеж наклонного цилиндра, пересекающегося с вертикальным цилиндром
17.3.5. Примеры построения линии пересечения
поверхностей в системе КОМПАС-3D
Как вы уже убедились, построение линии пересечения поверхностей связано
с выполнением достаточно сложных трудоемких построений. Использование
системы трехмерного моделирования КОМПАС-3D для этих целей позволяет
не просто выполнить любое, самое сложное построение, но и превращает ру-
тинную работу в увлекательный творческий процесс.
Глава 17 536
Далее покажем несколько примеров построения линии пересечения, выпол-
ненных по схеме "трехмерная модель — ассоциативный чертеж"
(рис. 17.57—17.62). Последовательность моделирования оставлена на само-
стоятельное рассмотрение читателем.
Рис. 17.57. Пересечение призм
Рис. 17.58. Пересечение пирамиды и призмы
Пересечения геометрических тел 537
Рис. 17.59. Пересечение призмы и цилиндра
Рис. 17.60. Пересечение призмы и шара
Глава 17 538
Рис. 17.61. Пересечение конуса и цилиндра
Рис. 17.62. Пересечение тора и цилиндра
Глава 18
Развертывание поверхностей
18.1. Общие сведения о развертывании
поверхностей
Развертыванием поверхности называется совмещение поверхности геомет-
рического тела с плоскостью чертежа. Фигура, образуемая при развертыва-
нии поверхности, называется разверткой. Существуют два подхода к по-
строению разверток поверхностей.
Первый способ — алгебраический — заключается в определении геомет-
рических размеров развертки (длин линий, принадлежащих контуру раз-
вертки, и величин некоторых углов между этими линиями) путем вычис-
лений. Таким способом, к примеру, легко развертывается поверхность
прямого кругового конуса и прямого кругового цилиндра.
Второй способ — графический. Так как в начертательной геометрии по-
верхности всегда задаются при помощи каких-либо построений, то этот
способ является предпочтительным.
Поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые (или косые).
Развертываемой поверхностью называется поверхность, которая при совме-
щении с плоскостью чертежа не претерпевает каких-либо повреждений — раз-
рывов, складок и т. д. При этом должны выполняться следующие условия:
каждая точка на развертке соответствует единственной точке поверхности;
принадлежащие поверхности прямые линии при развертывании остаются
прямыми;
параллельные прямые также параллельны на развертке;
на развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, вели-
чины углов между линиями и площади фигур, образованные замкнутыми
линиями.
Глава 18 540
К развертываемым поверхностям относятся все многогранные поверхности
и некоторые линейчатые поверхности.
Неразвертываемой поверхностью называется поверхность, которая при со-
вмещении с плоскостью чертежа претерпевает какие-либо повреждения.
У неразвертываемых поверхностей разверток быть не может, однако на прак-
тике в отдельных случаях возникает необходимость в построении прибли-
женной "развертки" таких поверхностей. В этом случае говорят об условном
развертывании, которое заключается в следующем. Неразвертываемую по-
верхность аппроксимируют (заменяют) другой развертываемой поверхно-
стью (например, цилиндрической или конической). К неразвертываемым
поверхностям относятся все нелинейчатые поверхности и некоторые линей-
чатые поверхности.
18.2. Развертывание многогранных поверхностей
Развертка многогранной поверхности представляет собой плоскую фигуру,
составленную из всех граней этого геометрического тела, изображенных
в натуральную величину. Поэтому построение развертки многогранной по-
верхности сводится к определению натуральных величин отдельных граней
ее поверхности. Последовательность расположения отдельных граней на раз-
вертке может быть различна.
Существует несколько методов построения развертки многогранной поверх-
ности. Из них выбирают тот, который, во-первых, применим к данному типу
многогранников и, во-вторых, является наиболее целесообразным при кон-
кретном расположении проекций многогранника. Допускается комбиниро-
ванное использование различных методов.
Рассмотрим основные принципы развертывания многогранной поверхности
на примерах построения разверток поверхности пирамиды и призмы.
18.2.1. Развертывание поверхности пирамиды
Развертка полной поверхности n-угольной пирамиды состоит из n треуголь-
ников, составляющих грани пирамиды, и n-угольника, лежащего в ее основа-
нии. Такую развертку строят методом треугольников, который заключается
в определении натурального вида треугольников, являющихся гранями пи-
рамиды. Эти треугольники строят по известному правилу школьного курса
геометрии — по трем сторонам. Поэтому, для того чтобы приступить к по-
строению такой развертки, следует предварительно определить натуральные
величины всех ребер пирамиды.
Развертывание поверхностей 541
Пирамида с основанием в натуральную величину
На рис. 18.1 показано построение развертки наклонной треугольной пирами-
ды SABC. Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости проек-
ций и, следовательно, проецируется на нее в натуральную величину.
Рис. 18.1. Построение развертки поверхности пирамиды с основанием в натуральную величину
Глава 18 542
Ребра пирамиды SA, SB и SC спроецированы как на горизонтальную, так
и на фронтальную плоскости проекций с искажением. Натуральные величи-
ны ребер определим способом вращения вокруг оси i, перпендикулярной
плоскости 1 и проходящей через вершину S пирамиды. Рассмотрим опреде-
ление натуральных величин ребер на примере ребра SA.
Ребро SA вращается вокруг оси i до положения, параллельного плоскости 2.
При этом горизонтальная проекция этого ребра вращается вокруг точки i до
положения, параллельного оси x. Из нового положения точки А (точки A )
проводим линию проекционной связи до пересечения с фронтальным следом
плоскости вращения, проведенным из точки А перпендикулярно i (в дан-
ном случае след совпал с осью x). Образуемая в пересечении точка A явля-
ется фронтальной проекцией нового положения точки А, а отрезок S A —
натуральной величиной ребра SA. Аналогично построены отрезки S В
и S С , являющиеся истинными величинами ребер SB и SC.
Строим треугольники, составляющие грани пирамиды SABC, по трем из-
вестным сторонам. На чертеже выбираем точку S0, из которой в произволь-
ном направлении проводим луч (точки на развертке принято обозначать теми
же буквами, что и на эпюре, но с добавлением индекса 0, что означает про-
екцию на плоскость чертежа — нулевую плоскость). На этом луче отклады-
ваем натуральную величину отрезка SA, т. е. расстояние S A , и методом
засечек находим точку С0 (R1 = S C и R2 = А С ). Далее к стороне S0C0
пристраиваем треугольник S0C0B0, две другие стороны которого определены
следующим образом: S0B0 = S B и С0B0 = C B . Аналогично строим и
третий треугольник — S0B0A0.
Построенную развертку боковой поверхности пирамиды дополняем основа-
нием — треугольником А0В0С0. При этом длина его сторон может быть оп-
ределена или по горизонтальной проекции основания, или по сторонам А0С0,
С0B0, В0А0, уже имеющимся на развертке. Контуры развертки и линию пере-
сечения выделим сплошной основной линией, линии сгиба — штрихпунк-
тирной с двумя точками.
Рассмотрим построение на развертке некоторой точки K, принадлежащей
грани SAB пирамиды. Через эту точку и вершину S пирамиды проведен
вспомогательный отрезок с проекциями S L и S L , и методом вращения оп-
ределена истинная величина отрезка SK (S K ). Для построения этого от-
резка на развертке на стороне А0В0 из точки А0 отложено расстояние, равное
А L . Построенная точка L0 соединена с точкой S0, и на отрезке S0L0 отложе-
но расстояние, равное S K . Точка K0 развертки соответствует точке K, ле-
жащей на поверхности пирамиды.
Развертывание поверхностей 543
Пирамида с основанием не в натуральную величину
Рассмотрим еще один пример развертывания поверхности пирамиды, когда
ее основание и ребра спроецированы не в натуральную величину — возьмем
пирамиду на рис. 17.34, построим развертку ее поверхности и нанесем на
развертку линию пересечения.
Так же как и в предыдущем примере натуральные величины ребер пирамиды
SA, SB и SC определим способом вращения вокруг оси i, перпендикулярной
плоскости 1 и проходящей через вершину S пирамиды (рис. 18.2). Отрезки
S A , S B и S C являются истинными величинами ребер SA, SB и SC.
Перенесем на истинные величины ребер также и точки их пересечения с по-
верхностью призмы. Для этого из фронтальных проекций 1 , 2 , 4 и 6 про-
ведем следы плоскостей вращения этих точек (следы будут параллельны оси
x) до пересечения с соответствующими ребрами. То же можно сделать и с
точками 3 и 5. Однако с учетом того, что проекция S C почти горизонталь-
на, построения оказались бы крайне неточными. Поэтому в этом случае луч-
ше воспользоваться горизонтальной проекцией: перенести точки 3 и 5 на
S C , а затем — на S C .
Истинную величину основания пирамиды определим методом перемены
плоскостей проекций. Сначала перейдем от системы 1/ 2 к системе 1/ 4
таким образом, чтобы плоскость треугольника АВС стала перпендикулярной
вводимой плоскости 4. Вводим дополнительную плоскость проекций 4 по
следующей схеме:
4 1; 4 ( АВС).
Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь H1H2 (H1 H2 x),
и в любом месте чертежа строим новую ось проекций 1/ 4 так, чтобы она
оказалась перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали:
1/ 4 H1 H2 .
Так как плоскость треугольника АВС перпендикулярна 4, то он спроециру-
ется на эту плоскость в виде отрезка прямой линии (AIV
ВIV
).
Теперь вводим вторую дополнительную плоскость проекций 5, перпендику-
лярную плоскости 4 и параллельную плоскости треугольника АВС:
5 4; 5 ( АВС).
Ось проекций 4/ 5 проводим так, чтобы она совпала АIV
ВIV
(можно провести
эту ось и параллельно АIV
ВIV
). Строим проекции вершин треугольника на
плоскости 5. Так как плоскость проекций 5 параллельна плоскости тре-
угольника, то на нее он спроецируется без искажения. Треугольник АVB
VC
V
есть истинная величина основания пирамиды.
Глава 18 544
Рис. 18.2. Построение развертки поверхности пирамиды с основанием не в натуральную величину
Развертывание поверхностей 545
Построим также на плоскостях 4 и 5 проекции точек L1 и L2, которые пона-
добятся для нанесения на развертку линии пересечения.
На чертеже выбираем точку S0, из которой в произвольном направлении
проводим луч S0C0. На этом луче откладываем натуральную величину отрез-
ка SС, т. е. расстояние S0C0 = S С , и методом засечек находим точку
A0 (R1 = CVA
V и R2 = S A ). Далее к стороне S0A0 пристраиваем треуголь-
ник S0A0B0, две другие стороны которого определены следующим образом:
S0B0 = S B и A0B0 = AVB
V. Аналогично построен и третий треуголь-
ник S0B0C0.
Построенную развертку боковой поверхности пирамиды дополняем основа-
нием — треугольником А0В0С0. При этом длины его сторон могут быть оп-
ределены или по проекции на плоскости 5, где треугольник АVB
VC
V есть ис-
тинная величина основания пирамиды, или по сторонам С0A0, A0B0, В0C0,
уже имеющимся на развертке.
На развертку наносим точки пресечения ребер пирамиды с поверхностью
призмы 30, 50, 10, 40, 20 и 60. Для этого из вершины S0 откладываем расстоя-
ния S030 = S 3 ; S050 = S 5 ; S010 = S 1 и т. д.
На развернутое основание пирамиды наносим точки L0
1 и L0
2 (B0 L0
1 = BV
LV
1
и B0 L0
2 = BV
LV
2 ) и соединяем их с S0. Положение точек 70 и 80 можно найти,
определив натуральные величины расстояний от вершины S до точек 7 и 8
методом вращения или методом перемены плоскостей проекций. Однако
можно воспользоваться и методом пропорционального деления отрезка.
Проведем из точки S0 в любом направлении отрезок S0[ L1] = S L1
и нанесем
на него точку [7 ] (S0[7 ] = S 7 ). Соединим L0
1 и [ L1]. Из точки [7 ]
параллельно этому отрезку проведем луч, и в пересечении с S0 L0
1 отметим
искомую точку 70. Аналогично на отрезке S0 L0
2 найдем положение точки 80.
Соединим нанесенные на развертку точки, принадлежащие линии пересечения.
Пример 69. Построить развертку усеченной пирамиды (рис. 18.3).
1. Определим методом вращения истинные величины ребер В1В2 и С1С2 (рис. 18.4). Для этого развернем их до положения, параллельного плоско-
сти 2 — тогда их фронтальные проекции получатся в натуральную вели-чину. Поскольку горизонтальная проекция ребра А1А2 параллельна оси х,
то оно представляет собой отрезок фронтальной прямой и на плоскость 2 проецируется без искажения.
2. Так как нижнее основание пирамиды лежит в плоскости 1, то его гори-зонтальная проекция определяет натуральную величину. Примем горизон-тальную проекцию основания пирамиды А1В2С2 в качестве первой "опор-ной" грани развертки.
Глава 18 546
Рис. 18.3. Проекции усеченной пирамиды для построения развертки
Рис. 18.4. Построение развертки усеченной пирамиды
3. Совместим боковые грани пирамиды с плоскостью 1 вращением вокруг
сторон основания. Рассмотрим эти построения на примере грани
А1А2В2В1. Из вершин А2 и В2 проводим следы плоскостей вращения этих
Развертывание поверхностей 547
точек перпендикулярно А1 В1 . Из А1 проводим дугу, радиус которой
равен истинной величине А1А2 (А1 А2 ), а из В2 — дугу радиусом, равным
истинной величине В1В2 (это расстояние предварительно определено,
и его берем с фронтальной проекции). В пересечении дуг и следов плоскостей
вращения образуются точки А20 и В20
. Соединяем их между собой и с А1
и В1. А1А20В20
В2 есть истинная величина грани А1А2В2В1, пристроенная
к основанию пирамиды. Аналогично построим на развертке две другие
грани.
4. К верхней стороне одной из развернутых граней (например, к В20С20
)
пристроим верхнее основание усеченной пирамиды. Точку А20 целесооб-
разно построить методом засечек, радиусы которых снимаем прямо с чер-
тежа — это отрезки А20В20
и А20С20
. Для наглядности построенная раз-
вертка заштрихована.
18.2.2. Развертывание поверхности призмы
Развертывание поверхности прямой призмы
Развертка поверхности прямой призмы строится весьма просто: развертка ее
боковой поверхности представляет собой ряд прямоугольников с общими
сторонами. В этом случае построение развертки сводится к определению на-
туральных величин основания призмы и одного ребра.
Построим развертку прямой призмы, изображенной на рис. 17.34, и нанесем
на развертку полученную в этом примере линию пересечения с треугольной
пирамидой.
Истинная величина ребер рассматриваемой призмы (рис. 18.5) имеется на
фронтальной плоскости проекций (например, F1 F2 ), а истинная величина
основания (четырехугольник F1 G1 D1 E1 ) — на горизонтальной плоскости
проекций. Строим прямоугольники, составляющие грани призмы, а затем
к любой из граней пристраиваем верхнее и нижнее основания.
Затем на развертку наносим точки пересечения. Точки 70 и 80 просто нано-
сим на ребро Е10Е20, взяв соответствующие расстояния с фронтальной или
профильной плоскостей проекций.
Для нанесения остальных точек в гранях, где лежат точки пересечения, необ-
ходимо соорудить своеобразную координатную сетку. Расстояния по гори-
зонтали берутся с горизонтальной проекции призмы, а по вертикали —
с фронтальной. Например, чтобы построить точку 30, проводим вертикаль-
ную линию на расстоянии 3 F1 от ребра F10F20, а горизонтальную линию
Глава 18 548
на расстоянии х3 от G10F10. Чтобы построить точку 10, проводим верти-
кальную линию на расстоянии 1 F1 от ребра F10F20, а горизонтальную линию
на расстоянии х1 от G10F10 и т. д.
Рис. 18.5. Построение развертки поверхности прямой призмы
Развертывание поверхностей 549
Развертывание наклонной призмы
Развертка полной поверхности n-угольной наклонной призмы состоит из n
параллелограммов, являющихся гранями призмы, и двух n-угольников,
лежащих в основаниях.
Для построения развертки наклонной призмы можно использовать два метода:
метод нормального сечения;
метод раскатки.
Строго говоря, метод треугольников (аналогичный рассмотренному ранее
при развертывании пирамиды) также может быть применен для построения
развертки поверхности призмы, у которой все грани предварительно разбиты
на треугольники. Однако на практике построение развертки призмы этим ме-
тодом проводится крайне редко в связи с необходимостью выполнения мно-
гочисленных построений.
Если основания призмы проецируются с искажением, то для построения раз-
вертки следует предпочесть метод нормального сечения. Если же основания
на одну из плоскостей проекций проецируются в натуральную величину, то
целесообразнее воспользоваться методом раскатки.
Метод нормального сечения
Метод нормального сечения (сечения, перпендикулярного ребрам призмы)
включает следующие построения:
1. Поверхность многогранника пересекают плоскостью, перпендикулярной
его ребрам.
2. Определяют натуральную величину нормального сечения.
3. Находят натуральную величину ребер многогранника.
4. На свободном месте чертежа контур нормального сечения развертывают
в отрезок прямой.
5. Через концы отрезков проводят перпендикуляры, на которых откладыва-
ют натуральные величины отрезков ребер.
6. Концы перпендикуляров соединяют.
7. К построенной развертке боковой поверхности призмы пристраивают ос-
нования.
На рис. 18.6 показано построение развертки треугольной наклонной призмы
А1В1С1А2В2С2 методом нормального сечения.
Глава 18 550
Рис. 18.6. Построение развертки наклонной призмы методом нормального сечения
Развертывание поверхностей 551
Поскольку горизонтальные проекции ребер призмы параллельны оси x (реб-
ра являются отрезками фронтальных прямых), на фронтальную плоскость
проекций они проецируются без искажения. Основания А1В1С1 и А2В2С2 ле-
жат во фронтально-проецирующих плоскостях, и, следовательно, на плос-
кость 1 они спроецировались с искажением, а на плоскость 2 — в отрезок
прямой.
Заданная призма рассечена вспомогательной фронтально-проецирующей
плоскостью , перпендикулярной ее ребрам. Построено нормальное сечение
призмы этой плоскостью — треугольник EDF. Методом перемены плоско-
стей проекций (плоскость 4 введена при следующих условиях 4 2;
4 ) построен треугольник ЕIV
DIV
FIV
, являющийся истинной величиной
нормального сечения.
На чертеже треугольник ЕIV
DIV
FIV
развернут в отрезок Е0Е0: E0F0 = EIV
FIV
,
F0D0 = FIV
DIV
, D0E0 = DIV
EIV
. Из точек E0, F0, D0, E0 проведены перпенди-
куляры, на которых отложена длина отрезков ребер: Е0А20 = 2AE ,
Е0А10 = 1AE , D0B20 = 2BD и т. д.
Точки А10, С10, В10, А10 и точки А20, С20, В20, А20 соединены отрезками. К ло-
маной линии А10С10В10А10 по известным длинам сторон пристроено верхнее
основание — треугольник А10В10С10, а к ломаной А20С20В20А20 — нижнее
основание (треугольник А20В20С20).
Для нанесения на развертку некоторой точки K, принадлежащей грани
А1А2В2В1 призмы, через нее параллельно боковым ребрам проведена прямая
LM, лежащая на той же грани. На отрезке E0D0 развертки из точки E0 отло-
жено расстояние, равное EIV
NIV
, и параллельно ребрам вычерчен отрезок
L0M0. На этом отрезке из точки L0 отложена натуральная величина отрезка
LK, равная отрезку L K . Точка K0 развертки однозначно соответствует точке
K, принадлежащей поверхности призмы.
Метод раскатки
Метод раскатки состоит в том, что призму последовательно вращают вокруг
ее ребер до совмещения граней с плоскостью чертежа. Пример построе-
ния развертки поверхности призмы А1В1С1А2В2С2 методом раскатки приве-
ден на рис. 18.7.
Основания призмы спроецированы на плоскость 1 в натуральную величину,
а ее ребра с искажением. Для построения развертки первоначально преобра-
зуем положение призмы так, чтобы ее ребра спроецировались на одну из но-
вых плоскостей проекций в натуральную величину.
Глава 18 552
Рис. 18.7. Построение развертки наклонной призмы методом раскатки
Введем дополнительную плоскость проекций 4, перпендикулярную плоско-
сти 1 и параллельную ребрам призмы. Тогда на плоскости 4 ребра проеци-
руются в натуральную величину (проекции IV2
IV1 АA , IV
2IV1 BB и IV
2IV1 CC ).
Развертывание поверхностей 553
Вращением вокруг ребра B1B2 совместим с плоскостью чертежа грань
А1А2В2В1. Точки В1 и В2 лежат на оси вращения и, следовательно, при вра-
щении своего положения не изменяют. Из точки IV1A перпендикулярно ребру
IV2
IV1 BB проведем прямую, являющуюся следом плоскости вращения точки A1.
Затем из точки IV2B проведем дугу радиусом R, равным натуральной величи-
не стороны основания А1В1 (А1В1 = 11ВA ). В пересечении дуги с плоскостью
вращения, проведенной ранее из IV1A , получим точку А10. По той же схеме
найдем А20. Параллелограмм А10IV2
IV1 BB А20 является натуральной величиной
грани А1В1В2А2.
Аналогично построим грани С10С20А20А10 и В10В20С20С10. К полученной раз-
вертке боковой поверхности достроим основания А10В10С10 и А20В20С20. По-
строенная фигура является разверткой полной поверхности заданной призмы.
Найдем положение на развертке точки K, лежащей в грани А1А2С2С1. Для
этого через точку K проводим вспомогательную прямую ED, параллельную
ребрам. Затем находим положение этой вспомогательной прямой и точки K
на плоскости 4 и на развертке.
Пример 70. Построить развертку усеченной призмы (рис. 18.8).
1. Преобразуем положение призмы так, чтобы ребра призмы оказались в на-
туральную величину. Введем дополнительную плоскость проекций 4,
перпендикулярную плоскости 1 и параллельную ребрам призмы, и по-
строим проекции призмы на этой плоскости (рис. 18.9).
2. Построим развертку заданной призмы методом раскатки. Сначала совмес-
тим с плоскостью проекций грань С1С2А2А1. Ребро С1С2 (IV2
IV1 CC ) оставим
на месте и найдем совмещенное положение ребра А1А2. Точка А10 получа-
ется в пересечении прямой, проведенной из IV1A перпендикулярно IV
2IV1 CC ,
и дуги с центром в IV1C и радиусом 11AС .
3. Точку А20 получим в пересечении прямой, проведенной из А10 параллель-
но IV2
IV1 CC , и прямой, проходящей через IV
2A перпендикулярно IV2
IV1 CC .
4. Аналогично строим точки В10, В20, С10 и С20. Соединяем построенные
точки. Методом засечек достроим грани, лежащие в основании, и получим
полную развертку заданной призмы.
Глава 18 554
Рис. 18.8. Проекции усеченной пирамиды для построения развертки
Рис. 18.9. Построение развертки наклонной усеченной призмы методом раскатки
Развертывание поверхностей 555
18.3. Развертывание линейчатых
поверхностей
Линейчатая поверхность является развертываемой, если касательная плос-
кость, проведенная в какой-нибудь точке поверхности, касается во всех точ-
ках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку1. Другими сло-
вами, у развертываемой линейчатой поверхности касательная плоскость во
всех точках одной образующей постоянна. К числу развертываемых линейча-
тых поверхностей относятся три типа: коническая, цилиндрическая и торсы.
Развертка линейчатой поверхности строится, как правило, путем аппрокси-
мации, при которой эта линейчатая поверхность заменяется на многогран-
ную, вписанную в данную или описанную около нее.
18.3.1. Развертывание конической поверхности
Развертывание поверхности прямого кругового конуса
Разверткой поверхности прямого кругового конуса является сектор, радиус
которого равен длине образующей конуса L, а угол сектора равен
L
R360, (18.1)
где R — радиус основания конуса.
Рассмотрим построение развертки прямого кругового конуса, рассеченного
фронтально-проецирующей плоскостью (рис. 18.10). Нанесем на развертку
также линию пересечения.
Основание конуса разобьем на n частей (например, на 12) точками A, B, C,
D, ... На поверхность конуса нанесем ряд образующих SA, SB, SC, SD, ... и
построим сечение 1234... конуса плоскостью .
Вычертим развертку боковой поверхности конуса — круговой сектор радиусом
R с центральным углом =(360 R)/L. Разобьем дугу сектора А0А0 также на 12
частей и построим положения образующих на развертке S0A0, S0B0, S0C0...
Методом вращения вокруг оси конуса определим натуральные величины от-
резков всех образующих между вершиной S и секущей плоскостью . Две
образующие SA и SG на плоскость 2 проецируются в натуральную величи-
ну. Для определения натуральной величины других образующих, например
SC, повернем ее до положения образующей SA. Фронтальная проекция 3
1 Доказательство рассматривается в курсе дифференциальной геометрии.
Глава 18 556
переместится в положение 3 , и отрезок S 3 будет натуральной величиной
отрезка S3. Аналогичным построением определим натуральные величины
отрезков S1, S2 и т. д.
Рис. 18.10. Развертка прямого кругового конуса
Развертывание поверхностей 557
Откладываем истинные величины расстояний от точки S до точек 1, 2, 3, ...
на соответствующих линиях развертки и соединяем точки 10, 20, 30, ... плав-
ной кривой линией.
Развертывание поверхности наклонного конуса
В общем случае для построения развертки поверхности наклонного конуса
в него вписывают пирамиду, ребра которой равны отрезкам образующих ко-
нуса, и строят развертку поверхности этого многогранника. Построенные на
развертке вершины основания пирамиды соединяют плавной кривой линией,
а крайние точки связывают с вершиной конуса отрезками прямой линии.
Построенная развертка тем точнее, чем больше граней у пирамиды, вписан-
ной в конус.
Для получения полной развертки поверхности конуса развертку боковой по-
верхности дополняют фигурой, лежащей в основании конуса. Если основание
конуса не параллельно плоскости проекций и не лежит в ней, то для построе-
ния его на развертке первоначально необходимо найти натуральную величи-
ну этой фигуры.
На рис. 18.11 дан пример построения развертки наклонного конуса с круго-
вым основанием. В конус вписана шестиугольная пирамида, основанием ко-
торой является правильный шестиугольник ABCDEF. Способом вращения
вокруг оси i, перпендикулярной плоскости 1 и проходящей через вершину S,
определены натуральные величины ребер этого многогранника. Основания
заданного конуса и вписанной в него пирамиды лежат в горизонтальной
плоскости проекций и, следовательно, проецируются на эту плоскость без
искажения.
Развертку поверхности пирамиды строим методом треугольников. Через най-
денные на развертке точки D0, E0, F0, ... проводим плавную кривую линию,
концы которой соединяем отрезками с вершиной S0. Затем к построенной
развертке боковой поверхности конуса пристраиваем основание конуса —
окружность, радиус R которой равен радиусу горизонтальной проекции ос-
нования.
Для построения на развертке точки, заданной на поверхности конуса, напри-
мер точки K, проводим через нее образующую с проекциями S М и S М .
На кривой D0E0F0... из точки B0 проводим дугу радиуса B M и наносим на
эту кривую точку M0. На отрезке S0М0 из точки S0 откладываем отрезок
S K , представляющий собой натуральную величину отрезка SK. Точка K0
однозначно соответствует точке K, лежащей на поверхности конуса.
Глава 18 558
Рис. 18.11. Развертка наклонного конуса с круговым основанием
Пример 71. Построить развертку усеченного конуса с круговым основа-
нием (рис. 18.12).
1. Поверхность конуса заменим поверхностью восьмиугольной пирамиды.
Для этого в окружность основания впишем правильный восьмиугольник
123..., вершины которого соединим с вершиной конуса S (рис. 18.13).
Развертывание поверхностей 559
Рис. 18.12. Проекции усеченного конуса для построения развертки
Рис. 18.13. Построение развертки усеченного конуса
Глава 18 560
2. Способом вращения определим истинные величины ребер пирамиды —
отрезки S 1 , S 2 , S 3 , ... и строим развертку вписанной в конус пи-
рамиды, которая представляет собой совокупность треугольников.
3. Построение развертки можно начинать с любого ребра — начнем, к при-
меру, с самого длинного ребра S2 (S 2 ). Построим треугольник S 2 30
по трем известным сторонам: из 2 проведем засечку, радиус которой ра-
вен истинной величине расстояния от 2 до 3 (это расстояние равно 2 3 ,
поскольку основание лежит в плоскости 1 и проецируется в натуральную
величину), а из S проводим засечку, радиус которой равен S 3 .
4. Аналогично строим следующие треугольники и получаем точки 40, 50,
60, ..., через которые проводим плавную кривую.
5. Точки, лежащие на верхнем основании, переносим на истинные величины
соответствующих ребер, а затем на развертку. Полученные точки также
соединяем плавной кривой линией.
18.3.2. Развертывание цилиндрической
поверхности
Развертывание поверхности прямого кругового цилиндра
Фигура, образуемая при развертывании поверхности цилиндра, представляет
собой "отпечаток", полученный при качении цилиндра по плоскости чертежа.
Если цилиндр прямой, то эта фигура является прямоугольником, ширина ко-
торого равна длине образующей цилиндра, а длина равна
h=2 R, (18.2)
где R — радиус основания цилиндра.
На примере, изображенном на рис. 18.14, прямой круговой цилиндр рассечен
фронтально-проецирующей плоскостью , и построена развертка боковой по-
верхности цилиндра в виде прямоугольника. Развертка дополнена основания-
ми, при этом радиусы оснований взяты с горизонтальной проекции цилиндра.
Для нанесения линии пересечения на развертку используется метод аппрок-
симации, когда длина дуги основания принимается равной ее хорде (чем
меньше хорда, тем точнее аппроксимация).
Начнем построения, к примеру, с точки 10. На фронтальной плоскости про-
екций образующие цилиндра проецируются без искажения, поэтому доста-
точно измерить расстояние от нижнего основания до точки 1 и отложить его
на первой образующей развертки.
Развертывание поверхностей 561
Рис. 18.14. Развертка поверхности прямого кругового цилиндра
Чтобы нанести следующую образующую, проходящую через точку 2, изме-
ряем длину хорды 1 2 на горизонтальной плоскости проекций и откладыва-
ем его от первой образующей на развернутом основании. Из конца отрезка
вертикально проводим образующую и на ней откладываем расстояние от
нижнего основания до 2 (как уже отмечалось, на плоскости 2 этот отрезок
проецируется в натуральную величину).
Дальше построения повторяются до тех пор, пока на крайней справа обра-
зующей не появится снова точка 10. Следует иметь в виду, что основание,
Глава 18 562
построенное методом нанесения на него хорд, может оказаться немного
меньше длины, равной 2 R, т. к. хорды короче аппроксимируемых дуг. Здесь
предпочтение надо отдать геометрическим построениям.
Соединим построенные точки линии пересечения плавной кривой линией.
Развертывание наклонного цилиндра
Если цилиндр наклонный, то фигура, образуемая при развертывании его по-
верхности, ограничена двумя кривыми линиями (синусоидами), концы кото-
рых соединены отрезками.
В общем случае развертка поверхности цилиндра строится путем замены по-
верхности цилиндра поверхностью вписанной в него призмы, ребра которой
равны отрезкам образующих цилиндра. Обычно при построении развертки
поверхности цилиндра в него вписывают правильную призму, т. к. при этом
упрощаются построения, связанные с разметкой развернутых контуров осно-
вания. Развертка поверхности тем точнее, чем больше граней у вписанной
в цилиндр призмы.
Построенная развертка поверхности дополняется основаниями цилиндра.
При этом если основания проецируются на плоскости проекций с искажени-
ем, то перед их нанесением на развертку предварительно необходимо найти
натуральную величину этих фигур.
Развертка поверхности призмы, вписанной в цилиндр, строится или методом
нормального сечения, или методом раскатки. В обоих случаях для разверты-
вания поверхности необходимо, чтобы ребра вписанной в цилиндр призмы
были параллельны одной из плоскостей проекций.
Рассмотрим построение развертки наклонного цилиндра с круговым основа-
нием (рис. 18.15). В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Ос-
нования как заданного цилиндра, так и вписанной в нее призмы проецируют-
ся на плоскость 1 в натуральную величину, поэтому воспользуемся методом
раскатки.
Поскольку ребра призмы являются отрезками прямых общего положения, ее
проекция преобразована путем введения дополнительной плоскости проек-
ций 4, перпендикулярной 1 и параллельной ребрам призмы (образующим
цилиндра). Для построения новой проекции призмы на плоскости 4 из вер-
шин призмы проведены линии проекционной связи, перпендикулярные оси
1/ 4, и на них отложены отрезки, равные координате z вершин (проекция
нижнего основания призмы совместилась с осью 1/ 4, т. к. координаты z ее
вершин равны нулю).
Развертывание поверхностей 563
Рис. 18.15. Построение развертки наклонного цилиндра
Затем определена натуральная величина грани B1B2C2C1 путем вращения
вокруг ребра B1B2 в положение, параллельное плоскости 4. Для этого из то-
чек IV1C и IV
2C проведены прямые, перпендикулярные проекции оси враще-
ния — отрезку IV2
IV1 BB , а из точек IV
1B и IV2B — дуги радиусом, равным отрез-
ку 11CB . В их пересечении образуются точки С10 и С20.
Глава 18 564
Построения повторяются до тех пор, пока все грани призмы не станут парал-
лельны плоскости 4. Полученные ряды точек IV1B , С10, D10, E10, ... и IV
2B , С20,
D20, E20, ... соединяют плавной кривой линией, а точки B10 и B20 — отрезком.
Для получения развертки полной поверхности цилиндра к его поверхности
пристроены основания (радиусы этих окружностей равны радиусам горизон-
тальных проекций оснований).
Если на развертку необходимо нанести точку, принадлежащую поверхности ци-
линдра (например, точку K), через нее проводим отрезок образующей (отрезок
LM), находим проекции этого отрезка (отрезок LIVM
IV) и заданной точки (точку
KIV
) на дополнительной плоскости проекций 4, и наносим их на развертку.
Пример 72. Построить развертку усеченного цилиндра с круговым осно-
ванием (рис. 18.16).
1. В цилиндр впишем восьмиугольную призму 123... и методом раскатки
построим ее развертку (рис. 18.17). Нижние основания цилиндра и впи-
санной призмы лежат в плоскости 1, и, следовательно, их горизонталь-
ные проекции имеются в натуральную величину. Верхние, "усеченные"
основания проецируются с искажением (на чертеже это основание приз-
мы не показано, поскольку в общем случае для построения развертки дос-
таточно отметить только боковые ребра призмы).
2. Находим натуральную величину грани 1-2-9-10, для чего вращаем ее во-
круг отрезка ребра 19 до совмещения с плоскостью 2: из 2 проводим
прямую, перпендикулярную фронтальной проекции ребра призмы 1 9 ,
а из 1 — засечку радиусом 1 2 . В пересечении найдем новое положение
точки 2 (20).
Рис. 18.16. Проекции усеченного цилиндра для построения развертки
Развертывание поверхностей 565
Рис. 18.17. Построение развертки усеченного цилиндра
3. Точку 100 на развернутом верхнем основании находим в пересечении двух
прямых, проведенных из 20 параллельно проекции ребра 1 9 , а из 10 —
перпендикулярно проекции ребра 1 9 .
4. Таким образом, получим ряд точек, которые определят границу верхнего
и нижнего оснований. Соединяем их плавной кривой линией, последова-
тельно указывая курсором при помощи команды Кривая Безье.
5. Пристраиваем к развертке основания цилиндра. Нижнее основание пред-
ставляет собой окружность — ее радиус берем с горизонтальной проек-
ции. Верхнее основание — эллипс. Одна из осей эллипса (2а) спроециро-
валась в натуральную величину на плоскость 1, а другая (2b) — на
плоскость 2. По двум известным осям пристраиваем к развертке эл-
липс — верхнее основание цилиндра, пользуясь командой Эллипс.
Глава 18 566
18.4. Условное развертывание
поверхностей вращения
Развертки неразвертываемых поверхностей называют условными (строго го-
воря, у таких поверхностей разверток не может быть). Для построения услов-
ных разверток поверхностей вращения применяют:
способ вспомогательных цилиндров;
способ вспомогательных конусов.
На условных развертках всегда присутствуют разрывы, что, по большому
счету, является нарушением одного из основных свойств развертки (такие
разрывы можно наблюдать на развертках всех неразвертываемых поверхно-
стей). Но другими способами совместить неразвертываемые поверхности
с плоскостью на чертеже невозможно.
18.4.1. Способ вспомогательных цилиндров
Способ вспомогательных цилиндров заключается в следующем. Заданную
поверхность вращения разбивают на сравнительно узкие, равные между со-
бой части, и каждую часть заменяют цилиндрической поверхностью, каса-
тельной к заданной поверхности вращения.
Рассмотрим способ вспомогательных цилиндров на примере условного раз-
вертывания сферы (рис. 18.18). Сферу "разрежем" горизонтально-прое-
цирующими плоскостями 1, 2, 3, ..., проходящими через ось сферы О1О2.
В нашем примере сфера поделена шестью вспомогательными плоскостями
на 12 частей (фронтальные проекции линий пересечения плоскостей и сферы
не показаны). Очевидно, чем больше частей деления сферы, тем точнее ус-
ловная развертка.
На фронтальной плоскости проекций половину дуги О1
О2
поделим на
шесть равных частей: О2 1 =1 2 =2 3 и т. д.
Каждую часть деления сферы между вспомогательными плоскостями заме-
ним цилиндрической поверхностью с осью, проходящей через центр сферы
параллельно касательной к окружности большого круга (радиус цилиндриче-
ской поверхности равен радиусу сферы). Для этого дуги окружности на
плоскости 1 между делениями заменяем отрезками прямых, касательными к
очерку сферы (например, дугу K -6 -L заменяем отрезком M N ).
Принимая точки 1 , 2 , ... за фронтальные проекции образующих цилиндров,
строим их горизонтальные проекции А В , C D и т. д.
Развертывание поверхностей 567
Рис. 18.18. Построение условной развертки сферы способом вспомогательных цилиндров
Переходим к построению развертки. В свободном месте чертежа построим
горизонтальную прямую, на которой откладываем отрезок M0N0=M N , и че-
рез середину этого отрезка (точку 60) проводим перпендикуляр. На перпен-
дикуляре откладываем длину дуги О2
6 = R/2 и на конце отрезка отмечаем
точку О20.
Отрезок О2060 делим точками 10, 20, ... на шесть равных частей. Через точки
деления проводим горизонтальные отрезки, параллельные M0N0, откладывая
на них А0В0=А В , С0D0=С D и т. д. В нижней части от отрезка M0N0 строим
симметричные точки и построенные точки соединяем плавной кривой линией.
В результате получаем один лепесток условной развертки сферы.
Одиннадцать таких же лепестков пристраиваем к уже построенному (на
рис. 18.18 для сокращения места нанесены только четыре лепестка).
Если на развертку сферы надо нанести некоторую точку K (K , K ), лежащую
на ее поверхности, то предварительно эту точку методом вращения выведем
Глава 18 568
на главный меридиан ( K , K ). На развертке в нужном лепестке от его вер-
шины О20 откладываем отрезок, равный длине дуги KО02
(эту длину можно
определить как графически, так и алгебраически) и отмечаем точку Т0 (точку,
лежащую на середине лепестка). Через Т0 проводим горизонтальный отрезок,
на котором откладываем Т0K0=T K .
18.4.2. Способ вспомогательных конусов
Способ вспомогательных конусов, как следует из названия, заключается
в замене поверхности вращения другой поверхностью, состоящей из конусов,
вписанных в заданную поверхность. Прежде всего, поверхность вращения
разбивается меридианами на несколько поясов (чем больше таких поясов,
тем точнее получится условная развертка).
Рис. 18.19. Построение условной развертки поверхности вращения способом вспомогательных конусов
Развертывание поверхностей 569
В каждый пояс вписывают конус так, что границами образующих конической
поверхности служат плоскости меридианов, ограничивающих рассматривае-
мый пояс. Таким образом, поверхность вращения оказывается разделенной
на несколько поясов, каждый из которых заменен конусом.
На рис. 18.19 поверхность вращения разделена на три пояса, и построение
развертки свелось к построению развертки трех конусов. Условная развертка
двух нижних поясов представлена разверткой прямых круговых усеченных ко-
нусов в виде части колец (угол раствора колец определяется по формуле 18.1).
Верхняя часть поверхности вращения аппроксимируется прямым круговым
конусом, и ее условная развертка является сектором (угол сектора рассчиты-
вается также по формуле 18.1).
Очевидно, что длины дуг, имеющих радиусы R2 и R3 и радиусы R4 и R5, рав-
ны. После того как отдельные конусы будут свернуты и сложены, окружно-
сти, в которые переходят дуги, должны попарно совпадать.
Пример 73. Построить развертку эллипсоида вращения (рис. 18.20).
1. Построение развертки проведем способом вспомогательных цилиндров
аналогично рассмотренному ранее примеру построения условной раз-
вертки сферы. Намечаем на главном меридиане ряд точек 1, 2, 3, ...
(рис. 18.21).
Рис. 18.20. Проекции эллипсоида вращения для построения развертки
Глава 18 570
Рис. 18.21. Развертка эллипсоида, построенная способом вспомогательных цилиндров
2. Выделяем на горизонтальной проекции эллипсоида лепесток. Заменяем
эллипсиодообразную форму этого лепестка на цилиндрическую. Дугу на
главном меридиане принимаем равной А В . Переходим к построению
развертки. Откладываем горизонтальный отрезок А0В0=А В . Из середины
этого отрезка (точки 60) проводим перпендикуляр, на который переносим
спрямленную дугу 6 -5 -...-О2
.
3. Перпендикулярно к 60О20 через точки деления наносим образующие, че-
рез концы которых проводим плавные кривые. Выделяем и симметрично
отображаем нижнюю часть лепестка. Выделяем и копируем лепестки со-
ответственно количеству деления.
18.5. Специальные приемы развертывания
поверхностей в системе КОМПАС-3D
В системе КОМПАС-3D имеются специальные команды по развертыванию
листовых деталей, которые при малой толщине могут рассматриваться как
поверхности. К листовым деталям относят конструкции, выполненные из
листового материала с одинаковой толщиной. Особенностью листовой дета-
ли является возможность ее сгибания и разгибания.
Развертывание поверхностей 571
Опции программы не рассчитаны на решение задач начертательной геомет-
рии. Тем не менее, ряд упражнений по развертыванию поверхностей может
быть успешно решен при помощи команд по моделированию листовых дета-
лей. Здесь мы остановимся лишь на основных приемах создания листовой
детали и выполнения развертки. В полном объеме методология моделирова-
ния листовых деталей изложена в пособиях по трехмерному моделированию
в системе КОМПАС-3D.
Команды моделирования листовых деталей расположены на отдельной инст-
рументальной панели, которая включается нажатием кнопки Элементы лис-
тового тела, расположенной на панели переключения (рис. 18.22).
Рис. 18.22. Кнопка переключения Элементы листового тела
Моделирование листовой детали начинается с создания собственно листово-
го тела — первого элемента детали. Затем к нему добавляются все осталь-
ные элементы — сгибы и выступы, в которых в дальнейшем можно форми-
ровать отверстия или вырезы.
С листовой деталью можно работать как с обычной моделью — приклеивать
и вырезать формообразующие элементы любого типа, а также добавлять кон-
структивные элементы — скругления, фаски, ребра, отверстия и т. п.
Перед построением листового тела необходимо создать эскиз, определяющий
форму тела. Листовое тело формируется путем выдавливания эскиза в на-
правлении, перпендикулярном его плоскости. Для формирования листового
тела служит команда Листовое тело на странице Элементы листового тела
(рис. 18.23).
Существуют два варианта построения листового тела:
на основе разомкнутого эскиза;
на основе замкнутого эскиза.
Глава 18 572
Рис. 18.23. Команда Листовое тело на странице Элементы листового тела
а б
Рис. 18.24. Создание листового тела на основе разомкнутого эскиза: а — эскиз; б — результат построения
а б
Рис. 18.25. Создание листового тела на основе замкнутого эскиза: а — эскиз; б — результат построения
Развертывание поверхностей 573
При построении листового тела на основе разомкнутого эскиза моделирова-
ние листового тела проводится сразу в согнутом состоянии. На рис. 18.24 по-
казан разомкнутый эскиз и результат построения листового тела.
Способ построения листового тела на основе замкнутого эскиза позволяет
получить плоское основание нужной формы (рис. 18.25). После создания
листовое тело не имеет сгибов, они добавляются при дальнейших построениях.
Модель одной и той же детали можно построить как на основе разомкнутого,
так и на основе замкнутого эскиза. Какой из способов вы примените для мо-
делирования первого формообразующего элемента, зависит от формы проек-
тируемой детали и вашего плана моделирования.
С окончанием построения листового тела активизируется ряд кнопок на па-
нели инструментов Элементы листового тела, предназначенных для работы
с листовым телом. Прежде всего, это команды создания и добавления сгибов
(рис. 18.26):
команда Сгиб для создания сгиба по ребру листовой детали;
команда Сгиб по линии для создания сгиба по прямой линии относитель-
но какой-либо грани этой детали;
команда Подсечка для создания сразу двух сгибов по прямой линии отно-
сительно какой-либо грани этой детали.
После формирования листовой детали можно разогнуть все сгибы листовой
детали одновременно, получив ее плоскую проекцию — развертку. Для фор-
мирования развертки в системе предусмотрены две команды (рис. 18.27):
Параметры развертки;
собственно Развертка.
Команда Параметры развертки нужна для того, чтобы установить характе-
ристики развертки — выбрать неподвижную грань и задать состояния сги-
бов. По умолчанию разгибаются все сгибы.
Рис. 18.26. Команды создания и добавления сгибов
Рис. 18.27. Команды формирования развертки
Глава 18 574
После установки Параметров развертки становится доступной команда
Развертка, которая переводит модель в режим развернутого отображения.
Если в листовой детали вы установили Параметры развертки, то в даль-
нейшем достаточно легко построить ассоциативный чертеж развертки. Для
этого необходимо выполнить следующие операции:
1. На странице Редактирование детали нажмите кнопку Новый чертеж из
модели.
2. На панели свойств раскройте список Ориентация и укажите вариант
Развертка, задайте Масштаб и активизируйте специальную кнопку-
переключатель Развертка (рис. 18.28).
3. Укажите положение вида на листе чертежа, и система отрисует двумер-
ный чертеж развертки листовой детали.
4. При необходимости измените формат и ориентацию листа.
Рис. 18.28. Панель свойств при создании ассоциативного чертежа
Пример 74. Создайте трехмерную модель правильной шестиугольной
призмы (основание вписано в окружность диаметром 50 мм) высо-
той 60 мм в виде листовой детали и ее развертку как ассоциативный
чертеж.
1. Создайте новый документ типа Деталь. В горизонтальной Плоскости ZX
создайте эскиз нижнего основания призмы — правильного шестиугольни-
ка, вписанного в окружность диаметром 50 мм. Закройте эскиз и нажмите
кнопку Листовое тело на инструментальной панели Элементы листово-
го тела. На вкладке Параметры панели свойств задайте:
Прямое направление;
в поле Толщина численное значение толщины листового тела, напри-
мер, 0,01 мм (значение толщины листового тела должно находиться
в диапазоне 0,0002—500000 мм).
Остальные параметры оставьте без изменения. Нажмите кнопку Создать
объект, и на экране система отрисует первую формообразующую опера-
цию — Листовое тело: 1 (рис. 18.29).
Развертывание поверхностей 575
2. Смоделируйте грань призмы. Нажмите кнопку Сгиб на инструментальной
панели Элементы листового тела и укажите в окне документа ребро
нижнего основания, на котором необходимо построить сгиб — боковую
грань призмы. На вкладке Параметры панели свойств:
выберите направление сгиба (оно показано стрелкой в окне документа);
в поле Длина введите значение — 60 мм;
активизируйте кнопку Внутренний радиус и введите значение радиуса
в поле Радиус сгиба, например, 0,01 мм (это значение также должно
находиться в диапазоне 0,0002—500000 мм).
Остальные параметры оставьте без изменения. Нажмите кнопку Создать
объект. Система выполнит построение сгиба (рис. 18.30). Он имеет задан-
ный радиус и направление.
3. Повторите построения для других пяти граней (рис. 18.31).
Рис. 18.29. Результат операции Листовое тело
Рис. 18.30. Моделирование сгиба — первой грани призмы
Рис. 18.31. Моделирование боковых ребер призмы в виде сгибов
Глава 18 576
4. Верхнее основание призмы можно построить двумя операциями. Нажмите
кнопку Сгиб на инструментальной панели Элементы листового тела и
выделите ребро на верхней кромке призмы. В панели свойств на вкладке
Параметры задайте:
Прямое направление;
Длина — любое расстояние меньше основания, например, 30 мм;
Внутренний радиус — 0,01 мм.
Нажмите кнопку Создать объект. Система выполнит построение сгиба на
месте верхнего основания призмы (рис. 18.32).
5. При помощи команды Пластина добавьте к листовой детали плоский
элемент — верхнее основание. Пластина формируется путем выдавлива-
ния замкнутого эскиза на глубину, равную толщине материала детали.
Щелкните мышью на верхнем сгибе и создайте эскиз верхнего основа-
ния — правильного шестиугольника, вписанного в окружность диаметром
50 мм (здесь целесообразно воспользоваться командой Операции
Спроецировать объект и внести в редактируемый эскиз шестиугольник
из Эскиза:1). Закройте эскиз.
6. Вызовите команду Пластина. На экране появится фантомное изображе-
ние создаваемой пластины. Стрелкой показано направление выдавли-
вания. Это направление, а также глубина выдавливания определяются
системой автоматически. Нажмите кнопку Создать объект, и система от-
рисует пластину в проектируемой листовой детали (рис. 18.33). Трехмер-
ная модель правильной шестиугольной призмы с заданными параметрами
в виде листовой детали готова.
Рис. 18.32. Моделирование сгиба для построения верхнего основания
Рис. 18.33. Трехмерная модель правильной шестиугольной призмы
в виде листовой детали
Развертывание поверхностей 577
7. Создайте возможность отображения модели призмы в развернутом со-
стоянии. Нажмите кнопку Параметры развертки на инструментальной
панели Элементы листового тела. В окне документа укажите базовую
грань. Нажмите кнопку Создать объект. Для того чтобы листовая деталь
перешла в режим развертки, нажмите кнопку Развертка. В окне докумен-
та листовая деталь перейдет в режим развернутого отображения
(рис. 18.34, а).
а б
Рис. 18.34. Призма в режиме Развертка при ориентации Изометрия XYZ (а)
и ориентации Развертка (б)
8. Для удобства просмотра развернутой детали в меню Ориентация теперь
стало возможным выбрать режим Развертка. Тогда деталь повернется та-
ким образом, чтобы неподвижная грань стала параллельной экрану
(рис. 8.34, б).
9. Для возвращения в обычный режим надо снова нажать кнопку Развертка.
Выполните ассоциативный чертеж развертки призмы (рис. 18.35).
На странице Редактирование детали нажмите кнопку Новый чертеж
из модели.
В панели свойств на вкладке Параметры:
раскройте меню поля Ориентация и укажите вариант Развертка;
активизируйте специальную кнопку-переключатель Развертка;
оставьте Масштаб без изменения 1:1.
Глава 18 578
В панели свойств на вкладке Линии включите кнопку Показывать
в группе Линии сгиба.
Укажите положение вида на листе чертежа.
Рис. 18.35. Ассоциативный чертеж с разверткой призмы
Заключение
Выпускники технических университетов и институтов в своей практической
деятельности связаны с самыми сложными и разнообразными пространст-
венными формами: корпусными элементами автомобилей, формами для
литейного производства, пластами и залежами полезных ископаемых, топо-
графическими поверхностями, транспортными и энергетическими коммуни-
кациями и т. д. Поэтому без умения решать практические задачи начерта-
тельной геометрии невозможно представить деятельность инженера.
Теоретический курс начертательной геометрии строится на задачах и приме-
рах так называемого "общего вида". Проф. В. Я. Курдюмов, автор классиче-
ских трудов по начертательной геометрии, писал, что многие сочинения
начертательной геометрии "...не удовлетворяют тому практическому направ-
лению, которое приняли науки в настоящее время. Одни из сочинений, изла-
гая общую теорию без применения ее к практическим примерам, вдаются
в отвлеченности, решая нередко вопросы, удовлетворяющие одному любо-
пытству и не имеющие никаких практических приложений по чрезвычайно
сложному графическому построению. Другие же сочинения составляют соб-
рание частных примеров, не подчиненных общей теории, основанной на пра-
вилах начертательной геометрии и законах физики. Подобное изложение
предмета без системы утруждает память учащихся, не принося существенной
пользы..."1.
В этом смысле одной из важнейших задач будущего инженера является уме-
ние использовать полученные знания при решении практических задач. Про-
иллюстрируем сказанное на конкретном примере горно-геологической зада-
чи по определению угла падения пласта полезного ископаемого. Как
известно из разд. 9.4, угол падения плоскости представляет собой угол между
линией наибольшего ската (т. е. прямой, лежащей в плоскости и перпендику-
лярной ее горизонталям) и ее горизонтальной проекцией.
1 Курдюмов В. И. Курс начертательной геометрии. — СПб.: "Ю. Н. Эрлихъ", 1896—1897.
Заключение 580
Пусть с поверхности пробурены три скважины, которые на определенной
глубине вскрыли кровлю полезного ископаемого (рис. З1). Расположение
буровых установок на поверхности известно. Обозначим точки пересечения
оси скважин с кровлей пласта полезного ископаемого точками А, В и С и
проведем в плоскости, заданной этими точками, линию наибольшего ската
ВЕ. Остается любым известным методом (на рис. З1 методом прямоуголь-
ного треугольника) найти истинную величину угла 1 между линией наи-
большего ската и плоскостью 1.
Рис. З1. Определение угла падения пласта полезного ископаемого
Развивая идею практического применения начертательной геометрии, автор
настоящей книги предпринял попытку совместить "сухую теорию" методов и
правил проецирования с живой и понятной современному поколению студен-
тов работой на компьютере.
Реализация многих научно-технических задач, требующих отображения раз-
личных предметов на плоскости и в пространстве — при проектировании
того или иного сооружения или машины, выполнении планов и схем, со-
ставлении графиков, проведении экспериментального моделирования
и т. д. — в значительной степени облегчается, когда достаточно сложные
пространственные формы можно наглядно изобразить и увидеть в простран-
стве. Этому будут способствовать знания и умения, полученные при изуче-
нии основ системы автоматизированного проектирования КОМПАС-3D.
Заключение 581
К примеру, если раньше, чтобы выполнить чертеж винтовой поверхности —
так называемого шнекового или винтового конвейера, требовалось выпол-
нить довольно много "ручных" построений, то с применением CAD-систем
эта работа займет всего несколько минут. Надо смоделировать трубу и при
помощи кинематической операции "заставить" перемещаться прямоугольник
по цилиндрической винтовой линии, расположенной на этой трубе (рис. З2).
Для создания плоского чертежа остается только выполнить ее ассоциативный
чертеж.
Рис. З2. Модель винтовой поверхности и ее ассоциативный чертеж
Таким образом, в настоящее время большинство задач начертательной гео-
метрии могут решить сами компьютерные программные средства — пользо-
вателю надо только знать, в какие ячейки заводить требуемые значения и на
какие кнопки нажимать для их виртуального представления. Здесь надо от-
четливо понимать, что инженер не является простым дополнением электрон-
но-вычислительных устройств. Навыки инженера, его кругозор должны по-
зволять ему решать самые сложные задачи и без компьютера, а системы
автоматизированного проектирования способны только ускорить и облегчить
работу специалиста.
Предметный указатель
А
Азимут простирания:
плоскости 230
прямой 221
Аксонометрическая проекция 323
Алайсинг 11
Антипризма 392
Архимеда 418
Апофема пирамиды 385
Арбелон 320
Астроида 304
Б
Бинормаль 422
Бипирамида 386
В
Векторная графика 12
Взаимное пересечение:
кривой и многогранной
поверхностей 517
кривых поверхностей 523
линейчатых поверхностей 524
поверхностей
геометрических тел 509
поверхностей многогранников 510
Взаимное положение:
двух плоскостей 153
прямой и плоскости 153
Вивиана 419
Вид 39
активный 41
видимый 41
погашенный 41
системный 38
текущий 41
фоновый 41
Видимость геометрических
элементов:
взаимная 165
относительно плоскостей
проекций 101
Винтовые линии 423
Вспомогательная геометрия 366
Вспомогательная прямая
(команда) 59
Вторичная проекция точки 249
Выбор объектов модели 369
Выделение объектов 72
Высота горизонта 249, 266
Г
Геликоид 473
Геометрическое тело 437
Гипербола 292, 492
Гиперболоид 444
Гипоциклоида 304
Гиппократовы луночки 320
Гиппопеда Евдокса 419
Главная нормаль 422
Главная точка картины 249
Главное расстояние 249, 265
Главный луч 249, 266
Горизонталь плоскости 144
Градуирование отрезка 223
Графики тригонометрических
функций 305
Графические обозначения на эпюрах
и чертежах 6
Предметный указатель 586
Д
Декартов лист 296
Дерево модели 343
Дерево построения чертежа 41
Деталь (тип документа) 339
Додекаэдр 399
З
Заливка (команда) 64
Заложение отрезка 221
И
Измерения 2D 74
Икосаэдр 401
Интервал градуирования 224
К
Кардиода 303
Картина (картинная плоскость) 247
Касательная:
к кривой линии 275, 284
к пространственной кривой 420
Кинематическая операция 357
Кольцо 320
КОМПАС-3D:
версии 15
возможности 15
модули 15
системные требования 16
типы документов и форматы 17
КОМПАС-График 19
Компьютерная графика 4
Конические сечения 491
Конкурирующие точки 124, 165
Конус 456
Косоугольная горизонтальная изомет-
рическая проекция 334
Косоугольная фронтальная диметри-
ческая проекция 335
Косоугольная фронтальная изометри-
ческая проекция 333
Кривая Безье 61, 282
Кривизна 422
кривой линии 280
Кривые линии:
второго порядка 287
плоские 271
постоянной ширины 320
пространственные 419 в КОМПАС-3D 428
составные 306
третьего порядка 296
циркульные 308
четвертого порядка 298
Кручение 422
Куб (гексаэдр) 398
Курсор:
в КОМПАС-График 45
при вращении модели 341
при выборе объектов 369
Л
Лекальные кривые линии 282
Лемниската Бернулли 299
Линия:
глобоидная винтовая 428
горизонта 249
изменение стиля 57
коническая винтовая 426
коробовая 317
наибольшего наклона 146
наибольшего ската 146
осевая 65
проекционной связи 85
типы и назначение 57
цилиндрическая винтовая 424
Листовое тело 571
М
Масштаб заложения плоскости 231
Математические символы 6
Метод:
нормального сечения 549
перемены плоскостей проекций 200
пропорционального деления
отрезка 224
прямоугольного треугольника 115
раскатки 551
треугольников 540
Предметный указатель 587
Метрические задачи 81
Многогранники:
выпуклые 378
невыпуклые 378
определение 377
полуправильные
(тела Архимеда) 416
правильные (тела Платона) 396
Н
Направление:
наклона прямой 221
падения плоскости 231
проецирования 81
Начало прямой 253
Неоднородный рациональный
B-сплайн (NURBS) 282
О
Образующая 437
Овал 306, 318
Овоид 318
Окружность 308
соприкасающаяся 422
Октанты 101
Октаэдр 399
Операция:
вращения 356
выдавливания 355
по сечениям 358
Ориентация модели 341
Основание:
картины 249
перспективы 249
Основная надпись 34
Особые точки кривой линии 279
Отображение модели 342
Отрезок:
в проекциях с числовыми
отметками 222
на эпюре 107
Отрезок (команда) 54
П
Парабола 294, 492
Параболоид 448
Параллелепипед 391
Параметризация эскиза 363
Параметрическая модель 366
Параметры детали 348
Перебор объектов 371
Пересечение плоскостью:
конуса 491
многогранников 479
пирамиды 480
призмы 483
тел с кривыми поверхностями 489
тора 495
цилиндра 494
Пересечение прямой:
с кривой поверхностью 504
с поверхностью конуса 504
с поверхностью многогранника 498
с поверхностью пирамиды 498
с поверхностью призмы 500
с поверхностью сферы 508
Перспектива:
геометрический аппарат 248
композиция 265
определение 247
построение методом
архитекторов 260
построение радиальным
методом 259
разновидности 247
Пирамида 385
План 220
Плоские фигуры 127
пересечения 169
Плоскопараллельное
перемещение 189
Плоскости:
взаимно перпендикулярные 177
в проекциях с числовыми отметками 239
вспомогательные 367
параллельные 156
Предметный указатель 588
в проекциях с числовыми
отметками 232
пересекающиеся 158
в проекциях с числовыми
отметками 233
Плоскость:
в проекциях с числовыми
отметками 229
горизонта 249
горизонтальная 134
горизонтально-проецирующая 130
на эпюре (способы задания) 125
нейтральная 249
нормальная 422
нулевая (плоскость нулевого
уровня) 219
общего положения 130
осевая 132
предметная 249
проекций 79
проецирующая 130
профильная 135
профильно-проецирующая 132
секущая 477
соприкасающаяся 421
спрямляющая 422
уровня 134
фронтальная 135
фронтально-проецирующая 131
частного положения 130
Поверхность 437
алгебраическая n-го порядка 438
в системе КОМПАС-3D 440
винтовая 472
вращения 458
второго порядка 438, 441
графическая 469
кинематическая 437
коническая 455
кривая 437
кривая линейчатая 438
кривая нелинейчатая 438
неразвертываемая 540
переноса 472
развертываемая 539
развертывание 539
с плоскостью параллелизма 463
с ребром возврата 465
циклическая 466
цилиндрическая 451
Позиционные задачи 81, 153
Последовательность трехмерного мо-
делирования 350
Превышение отрезка 221
Привязки 46
Призма 389
Архимеда 418
Призматоид 392
Приклеивание и вырезание
элементов 359
Проектирование 9
Проекции с числовыми отметками 219
Проецирование 79
коcоугольное 80
параллельное 80
прямоугольное (ортогональное) 80
центральное 80
Произвольный вид 373
Пространственные кривые 368
Прямая:
в плоскости общего положения 138
в плоскости частного положения 142
горизонтальная 111
горизонтально-проецирующая 113
на эпюре 107
общего положения 108
в перспективе 252
параллельная плоскости 154
в проекциях с числовыми
отметками 235
пересекающая плоскость 163
в проекциях с числовыми
отметками 235
перпендикулярная плоскости 174
в проекциях с числовыми
отметками 237
принадлежащая плоскости
(в проекциях с числовыми
отметками) 234
проецирующая 80, 113
Предметный указатель 589
в проекциях с числовыми
отметками 223
профильная 112
профильно-проецирующая 113
уровня 111
фронтальная 111
фронтально-проецирующая 113
частного положения 111
в перспективе 254
Прямоугольная диметрическая
проекция 330
Прямоугольная изометрическая
проекция 326
Прямые:
параллельные 123
в перспективе 256
в проекциях с числовыми
отметками 228
пересекающиеся 123
в перспективе 259
в проекциях с числовыми
отметками 229
скрещивающиеся 124
в перспективе 259
в проекциях с числовыми
отметками 229
Р
Развертка:
линейчатой поверхности 555
листовой детали 573
многогранной поверхности 540
наклонного конуса 557
наклонного цилиндра 562
наклонной призмы 549
пирамиды 540
поверхности 539
прямого кругового конуса 555
прямого кругового цилиндра 560
прямой призмы 547
сферы (условная) 566
условная 566
Разрез модели:
простой 371
сложный 372
Разрушение ассоциативных
связей 374
Растеризация 12
Растровая графика 11
Редактирование:
ассоциативного чертежа 374
объектов 72
операции 361
эскиза 361
Резервная копия 25
С
САПР:
определение 4
основные возможности 10
отображения 10
типы систем 14
Сегмент 319
Сектор 319
Сетка:
изображение экрана 49
многогранника 377
Сечение 477
диагональное 480, 483
осевое 491, 494
по эскизу 372
поверхностью 371
Симметрия 103
Синусоида 305
Система координат
в КОМПАС-3D 351
Системы изображений
в начертательной геометрии 81
Скругление (команда) 61
Следы:
плоскости 129
прямой 119
Сопряжение 309
Спираль 300
Архимедова 300
коническая 430
цилиндрическая 429
Сплайн 282, 431
Предметный указатель 590
Способ:
вращения (основы) 181
вращения вокруг оси, параллельной
плоскости проекций 190
вращения вокруг оси, перпендику-
лярной плоскости проекций 182
вспомогательных конусов 568
вспомогательных секущих
плоскостей 518, 526, 527
вспомогательных секущих
сфер 528
вспомогательных цилиндров 566
граней:
построения линии взаимного
пересечения многогранников 510
построения линии пересечения
многогранника плоскостью 479
преобразования проекций 181
профилей 225
ребер:
построения линии взаимного
пересечения многогранников 510
построения линии пересечения
многогранника плоскостью 479
совмещения 195
Стандартные виды 373
Стартовая страница 21
Строфоида 298
Т
Твердотельное моделирование 14
Текстовая надпись 69
Тетраэдр 397
Тор 460
Точка:
в плоскости 149
видимости:
линии пересечения
поверхностей 518
сечения 489
зрения 247
излома, линии пересечения
поверхностей 518
на прямой 108
на эпюре 84
нулевого уровня 226
общего положения 96
проекции (в перспективе) 250
симметричная данной 103
стояния 249
схода прямой 253
частного положения 96
Трассировка 12
Треугольник Рело 321
Триэдр кривой линии 422
У
Угол:
зрения 247, 265
между двумя пересекающимися
плоскостями 215
между прямой и плоскостью 213
определение истинной
величины 212
падения:
плоскости 230
прямой 221
плоский 136
Удаление объектов 74
Уклон прямой 221
Управляющие клавиши 50
Ф
Фаска (команда) 61
Фильтры 370
Форматы 33
Фронталь плоскости 145
Х
Характерные (опорные) точки:
линии пересечения
поверхностей 518
сечения 489
Ц
Центр проецирования 80
Центровые линии 67
Циклические кривые 301
Циклоида 301
Цилиндр 453
Циссоида Диоклеса 297
Предметный указатель 591
Ч
Чертеж:
ассоциативный 372
обратимость 79
основные элементы
интерфейса 26
печать 75
создание документа 22
сохранение документа 23
Четверти (квадранты) 99
Числовая отметка 219
Ш
Шаг градуирования 223
Шрифты чертежные 68
Штриховка (команда) 62
Э
Эвольвента 285
многоугольника 317
окружности 285
Эволюта 285
Экстремальные точки:
линии пересечения поверхностей 518
сечения 489
Элемент симметрии 103
Эллипс 288, 492, 494
Эллипсоид 442
Эпициклоида 303
Эпюр (ортогональный
или комплексный чертеж) 84
Эскиз 343, 354
кинематической операции 357
операции вращения 356
операции выдавливания 355
операции по сечениям 359
![[Skolkovo Robotics 2015 Day 2] Гудков П.Г. ПОДДЕРЖКА ПРОЕКТОВ В СФЕРЕ РОБОТОТЕХНИКИ](https://static.fdocument.pub/doc/165x107/55a967b01a28abad518b4656/skolkovo-robotics-2015-day-2--55b0d86cb965c.jpg)
