高頻電子電路實驗第三章濾波器設計

李健榮助理教授

Department of Electronic EngineeringNational Taipei University of Technology

大綱

Department of Electronic Engineering, NTUT2/53

濾波器規格濾波器規格濾波器規格濾波器規格 響應近似響應近似響應近似響應近似 階數階數階數階數

轉移函數轉移函數轉移函數轉移函數 主動主動主動主動:Biquad

g值表值表值表值表 被動被動被動被動: LC

線性系統與轉移函數

• 還記得我們在網路分析學過的東西嗎?

Department of Electronic Engineering, NTUT

Linear Time-invariant (LTI) System

( )x t ( )y t

Input(excitation)

Output(response)

Linear system

( )x t ( )y t

( )X s ( )Y s( )G s

Transform into s-domain (frequency domain)

( ) ( )X s x t= L

( ) ( )Y s y t= L

( ) ( ) ( )Y s G s X s=

( ) ( )( )X

Y sG s

s=

輸入:

輸出:

轉移函數:

3/53

頻率響應

• 以前，我們談分析。

• 現在，我們談設計。

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ω

( )X ω

ω

( )Y ω

Transfer function?s-plane? Frequency Response?

(System)Linear Network

(Signal) (Signal)

ω

( )X ω

ω

( )Y ω

Transfer function?s-plane? Frequency Response?

(System)

(Signal) (Signal)

給你一個系統，就可以推敲出輸出的樣子。

如果我們希望設計「輸出」的樣子，那麼問題就變成是要如何找出那個系統。

4/53

濾波器的響應型式

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高通高通高通高通濾波器濾波器濾波器濾波器

cωsω ω0

( )F jω

帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器

1sω1cω ω0

( )F jω

2sω 2cω

低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器

帶通帶通帶通帶通濾波器濾波器濾波器濾波器

cω sω ω0

( )F jω

通帶Passband

禁帶Stopband

過渡帶Transition band

理想低通

1cω 2sω ω0

( )F jω

2cω1sω

5/53

響應近似法

• 雖然我們無法實現理想的濾波器響應，但總可以找到一種近似響應，問題在於我們對這個近似與理想的誤差ε容忍度有多少。

• 常見的近似方法：

Butterworth也稱作最大平坦度(Maximally flat)近似

Chebyshev也稱作等漣波(Equiripple,)近似

Papoulis也稱作單調(Monotonic)近似

Cauer橢圓函式(Elliptic function)近似

自己設計的自己設計的自己設計的自己設計的近似函數近似函數近似函數近似函數。。。。

Department of Electronic Engineering, NTUT

cω sω ω0

( )20log F jω

maxA

minA

6/53

低通濾波器數學近似原型

• 低通濾波響應之近似原型

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( ) ( )( )2 2

1

1F j M

wω ω

ε ω= =

+

理想低理想低理想低理想低通通通通濾波響應濾波響應濾波響應濾波響應

0ε =

( )2 1, when 0 1

0, when 1w

ωω

ω≤ ≤

= >

1cω =ω

( )F jω

1Brick Wall

高通、帶通或帶斥濾波器可以藉由一些轉換方法，從低通原型來得到。所以，濾波器設計理論都會從低通濾波器開始談起。

0 1ε≤ ≤通帶誤差容忍度：

( )20 1w ω≤ ≤權重函數： 0 1ω≤ ≤其中

邊界頻率ω=ωc=1，又稱為截止頻率。

7/53

Butterworth低通近似

• Butterworth Approximation

令 且

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(其中階數n為正整數)1ε = ( ) ( )2 2 2n nw ω ω ω= =

( ) ( )2

1

1 nF j Mω ω

ω= =

+

對上式的觀察： (1) 直流增益 。( )0 1M =

(2) 當ω越來越大，M(ω)則跟著變小。

( ) 11 0.707

2M = = (即在截止頻率ω = ωc= 1時)

( ) 120log 1 20log 3 dB

2M = = −

在ωc時必定會衰減 3 dB，這件事情跟階數n無關。

階數n越高，會越接近理想濾波響應。

0 1ω≤ ≤在 之間，誤差從0 dB至最大到3 dB。

1ω >>

( ) 1n

M ωω

= ( )20log 20 log (dB)M nω ω= −

頻率響應下降斜率

6 (dB/oct)

20 (dB/dec)

n

n

−= −

(3)

(4)

(5)

(6) 當 時：

8/53

Butterworth轉移函數

• Butterworth的近似頻率響應為

轉移函數F(s)應該長甚麼樣子呢？

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( ) ( )2

1

1 nF j Mω ω

ω= =

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 2

1 1

1 1 1nns j s j n

s j

F s M F j F j F s F ssω ω

ω

ω ω ωω= =

=

= = − = − = =+ + −

定義 ( ) ( ) ( )2P s F s F s= − ( ) ( )2 2M Pω ω= −我們可以得到 ( )( )

2

2

1

1 1n n

P ss

=+ −

P(s2)的根可令分母 求出，其中( ) 21 1 0n ns+ − = 2 1 2 1

sin cos2 2k k k

k ks j j

n nσ ω π π− − = + = +

1,2,3, ,2k n= ⋯

下一頁，我們用一個4階的Butterworth響應來說明會更清楚。

一半數量的根在s平面左半邊，由F(s)貢獻；另一半數量的根在s平面右半邊，由F(−s)貢獻。

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範例：4階Butterworth低通響應

• 4階Butterworth低通響應

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1,2,3, ,8k = ⋯

F(s)的4個根為：

( )2

282 4

1 1

11M ω

ωω ×

= = ++

( ) ( ) ( )28

1

1P s F s F s

s= − =

+

1 0.3827 0.9239s j= − +

4 0.3827 0.9239s j= − −

2 0.9239 0.3827s j= − +

3 0.9239 0.3827s j= − −

( ) ( )( )( )( )1 2 3 4

1F s

s s s s s s s s=

− − − −

( ) ( )( ) 4 3 22 2

1 1

2.613 3.414 2.613 10.7654 1 1.8478 1F s

s s s ss s s s= =

+ + + ++ + + +

分母稱為Butterworth Polynomial

σ

jω

45

( ) ( )2

1

1 nF j Mω ω

ω= =

+(令階數n = 4)

P(s2)共有8個根，

P(s2)的8個根

σ

jωF(s)貢獻的4個根

10/53

不同階數的Butterworth多項式

• 從Butterworth的低通原型所求得，這些多項式代表不同階數下轉移函數F(s)的分母多項式(也代表根於s平面的位置)。

• 由於這些多項式由原型導出後，都是必然而且制式的結果，所以進行濾波器設計時可直接參考此表找到轉移函數，而不必重新由Butterworth的函數原型從頭推導起(因為推導完就是得到下表的結論)。

Department of Electronic Engineering, NTUT11/53

柴比雪夫(等漣波)低通近似

• Chebyshev Approximation

Department of Electronic Engineering, NTUT

( ) ( ) ( )2 2

2 2

1

1 n

F j MC

ω ωε ω

= =+

( )( )( )

1

1

cos cos ,0 1

1cosh coshn

nC

n

ω ωω

ωω

−

−

≤ ≤= ≥

(在通帶內是正負1)

(頻率大於1之後快速上升)

( )2

2

120log 10log 1 (dB)

1ε

ε= +

+通帶內的最大增益誤差：

如果我們規範了通帶內的最大增益誤差量，ε的值就可以被決定了。

0.01 0.1 1 10 100

正規化頻率ω/ωc

( )F jω

0

0.4

0.8

1.2 Butterworth

Chebyshev

0 1ε≤ ≤(其中 ，階數n為正整數)

( ) ( ) ( )1 12n n nC C Cω ω ω ω+ −= −

( ) 1

1

2n nM ω

ε ω−≃時1ω >>

( )0 1C ω =

( )1C ω ω=

( )2

1, odd

0 1, even

1

nM

nε

= +

直流：

( ) 22 2 1C ω ω= −

常用奇數階

高頻：

ω1

12C

1C3C 1−

1−

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• 轉移函數之極點：

Chebyshev的轉移函數

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k k ks jσ ω= ±

2 1sinh sin

2k k

k

nσ β π− = ⋅

2 1cosh cos

2k k

k

nω β π− = ⋅

11 1sinhk n

βε

−= , 1,2,3, ,2k n= ⋯

2 2

2 21

sinh coshk k

k k

σ ωβ β

+ =

其中 而

jω

σ

Butterworth

Chebyshev

0.01 0.1 1 10

正規化頻率ω/ωc

0

0.4

0.8

Butterworth

3 dB Chebyshev

( )F jω1 dB Chebyshev

13/53

柴比雪夫多項式表 (I)

Department of Electronic Engineering, NTUT14/53

柴比雪夫多項式表 (II)

Department of Electronic Engineering, NTUT15/53

低通的其他近似響應

• 反柴比雪夫(Inverse Chebyshev)：

• 單調遞減(Papoulis, Legendre, Filter L)

• 橢圓近似 (Elliptic, Cauer)

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反柴比雪夫把漣波效果轉到禁帶去。

0.01 0.1 1 10 100

正規化頻率ω/ωc

( )F jω

0

0.4

0.8

1.2 Inverse Chebyshev

Chebyshev

1ε = ( ) ( )2 2nw Lω ω=而

( ) ( )( )( )

2 20

2

K sF s

s s s

ωα β γ

+=

+ + +( ) ( )

2

2 2

1

1 n

F jR

ωε ω

=+

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 2 21 2

2 2 2 2 2 21 2

, even ( 2 )1 1 1

k

n

k

R n n kω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

− − −= =

− − −

⋯

⋯

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2 2 21 2

2 2 2 2 2 21 2

, odd ( 2 1)1 1 1

k

n

k

R n n kω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

− − −= = +

− − −

⋯

⋯

轉換帶下降率最快，通帶跟禁帶都有等漣波的效果。

( ) ( )2 2

2 2

2 2

1

11

n

n

CF j M

C

εωω ω

εω

= = +

16/53

濾波器規格

• 正規化截止頻率(Normalized cut-off frequency)：

大家都以截止頻率做為參考基準，如此就可以用頻率的

伸縮(scalable)來進行任意頻率響應的設計。

• 過渡帶的衰減率(Transition band fall-rate)：

• 濾波器濾波器濾波器濾波器規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述：

通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減在ωp時不得超過Amax(<3dB)，在ωs最少要有As (dB)的衰減量。

• 依據規格找出濾波器的階數

Department of Electronic Engineering, NTUT

1cΩ =

6 dB/octN−

1cΩ =

cω

pΩ sΩ

pω sω

p

c

ωω

s

c

ωω

正規化頻率

pω sω ω0

maxA

sA

真實頻率

把ω這個符號留給「真實頻率」，把參考基準頻率用Ω表示來避免混淆。

17/53

從規格找出濾波器的階數

• 濾波規格越嚴格(越接近理想濾波響應)，所需要的階數也就越高，當然也就代表需要用元件數量來換取性能規格。

• 以Butterworth為例：

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( )2 2 (dB) 20log 1 10log 1n np p pA = + Ω = + Ω

由上式可知頻率Ωp與衰減量Ap之間的關係為0.12 10 1pAn

pΩ = −

同樣道理，達到衰減量As的頻率Ωs為0.12 10 1sAn

sΩ = −

將上面兩式相除2 2

0.1

0.1

10 1

10 1

s

p

n nA

s sA

p p

ωω

Ω −= = Ω −

0.1

0.1

10 1log

1 10 12

log

s

p

A

A

s

p

nωω

− − =

解出來的階數n通常不會剛好是整數，我們要找一個比他還大的來實現。

例如解出的n = 2.34，那麼我們就要使用3階的設計來達到規格要求。

下一步找截止頻率 cω

( ) ( )2

1

1 nF j Mω ω

ω= =

+( ) 220log 20log 1 nM ω ω= − + ( ) 220log 20log 1 nM Ω = − + Ω

在某個頻率Ωp的衰減量為

通常用 找到的 跟用 找到的 會不一樣，不過都會符合規格的要求。所以取兩個 的平均值也會符合規格。

pΩ cω sΩcω

cω

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Butterworth範例

• 一低通濾波器之規格要求為請問至少需使用幾階的Butterworth濾波器來實現？

Department of Electronic Engineering, NTUT

，所以至少要用5階。

3 kHz, 1 dB, 6 kHz, 20 dBp p s sf A f A= ≤ = ≥

0.1

0.1

10 1log

1 10 14.3

2log

s

p

A

A

s

p

nωω

− − = =

50.12 10 1 0.87361p

nAn

p p

=Ω = − → Ω =

50.12 10 1 1.5833s

nAn

s s

=Ω = − → Ω =

__

2 3 kHz2 3.434 krad/sc p

c p

πω π⋅= = ⋅Ω

__

2 6 kHz2 3.78955 krad/sc s

c s

πω π⋅= = ⋅Ω

_ _ 2 3.61148 krad/s2

c p c sc

ω ωω π

+= = ⋅

步驟一步驟一步驟一步驟一：從規格要求找濾波器階數

步驟二步驟二步驟二步驟二：從Ωp與Ωs找截止頻率ωc

fc (kHz) Ap (dB) As (dB)

3.434 1 24.25

3.78955 0.401 20

3.61148 0.63 22.1

從Ωp推得

從Ωs推得

兩者平均

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Chebyshev範例

• 對於柴比雪夫任何階數n的Cn(1)=1

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max 1 dBpA A= =

0.110 1pAε = −

0.505ε =

在頻率Ωs： ( ) 112n nε−− Ω ( )20log 6 1 20 logsA n nε + − + Ω≃

2sΩ = Ω =

( )20 20log 0.505 6 1 20 log 2n n= + − +

2.69n = 3n =

要達到同樣規格，柴比雪夫只要用3階，而Butterworth要5階才行。柴比雪夫用通帶平坦度來換取禁帶衰減率。

( ) ( ) ( )2 2

2 2

1

1 n

F j MC

ω ωε ω

= =+

( )( )( )

1

1

cos cos ,0 1

1cosh coshn

nC

n

ω ωω

ωω

−

−

≤ ≤= ≥

( )2

2

120log 10log 1 (dB)

1ε

ε= +

+

且

令 c pω ω= 1c pΩ = Ω =

在頻率Ωp：

，n要為正整數，所以選擇

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低通原型轉真實低通濾波器

• 低通響應原型的正規化函數：

• 真正的頻率響應 (去正規化)：

• 頻率對應：

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( ) 1

1nn

F ss

=+ n

c

ss j

ω= = Ω

( ) 1

1

c

c

c

F ss s

ωω

ω

= =++

這表示一個截止頻率為ωc的低通響應

0 1≤ Ω ≤ 0 cω ω≤ ≤

正規化頻率

實際頻率

cωcω− 0 ωω−

cΩc−Ω 0 Ω−Ω

其中

正規化複頻率, n為normalized的意思。

真實複頻率

1Ω0 Ω1cω 1 1 cω ω= Ω ω

( )F jω

正規化與去正規化後「響應的樣子」不會有任何變動，只是頻率軸的對應發生了改變。

21/53

低通原型轉高通濾波器

• 頻率轉換：

• 真正的頻率響應 (去正規化)：

• 頻率對應：

Department of Electronic Engineering, NTUT

1n

n

ss

′ →

cns

s

ω′ =

( ) 1 1

1 1cn c

sF s

s ss

ω ω= = =

′ + ++

0 1≤ Ω ≤

cωcω− 0 ωω−

11− 0 LΩL−Ω

cωcω− 0 ωω−

11− 0 HΩH−Ω

頻率響應左右翻轉

nc

ss

ω=

cω ω≤ ≤ ∞

0 1 0 ′≤ Ω ≤ → ≤ Ω ≤ ∞

Ω10

′Ω10 ∞∞

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低通原型轉帶通濾波器

• 頻率轉換：

• 真正的頻率響應 (去正規化)：

Department of Electronic Engineering, NTUT

2 11 nn n

n n

ss s

s s

+′ → + =0

n

ss

ω=

1 2 1c cΩ Ω =

20 1 2 1c cΩ = Ω Ω =

2 1 1c cΩ − Ω =通帶頻寬: 1

1 5

2 2cΩ = − + 2

1 5

2 2cΩ = +

( )0

2 1n

n

sn n s

sF s

s sω

=

=+ +

cωcω− 0 ωω−

11− 0 LΩL−Ω

其中

2cΩ1cΩ 0Ω

2cω−ω− 0ω− 1cω− 0 2cω0ω1cω ω

2c−Ω 0−Ω 1c−Ω 2cΩ0Ω1cΩ

11−

0

2 1 0c cB ω ω ω= − =通帶頻寬：

0 0

0n

ss

B s

ω ωω

→ +

20 1 2c cω ω ω=

2 1c cB ω ω= −

若要設計不等於 的頻寬B，只要按比例伸縮0ω

c通帶

cΩ0稱作正規化中心頻率

(normalized center frequency)

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c

低通原型轉帶斥濾波器

• 頻率轉換：

• ω0是禁帶的中心頻率，B是頻寬

• 正規化的帶斥轉移函數

Department of Electronic Engineering, NTUT

2

11 1

nn

nn

n

ss

sss

′ → =++

00

0

n

Bs

s

s

ωωω

→

+

2cΩ1cΩ 0Ω 1cΩ 0Ω 2cΩ0

cωcω− 0 ωω−

11− 0 LΩL−Ω

2cω−ω− 0ω− 1cω− 0 2cω0ω1cω ω

2c−Ω 0−Ω 1c−Ω 2cΩ0Ω1cΩ

11−

2 1c cB ω ω= −20 1 2c cω ω ω=

( )2

2

1

1n

nn n

sF s

s s

+=+ +

c禁帶

去正規化，代入

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簡單被動RC濾波器

• 簡單RC低通低通低通低通電路

• 轉移函數

Department of Electronic Engineering, NTUT

• 簡單RC高通高通高通高通電路

• 轉移函數

1V 2V

R

C

C′

R′1V 2V

RC C R′ ′=

RC:CR轉換

簡單RC電路是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。

( ) 2

1

11

11

1

V sCF ssV R

sC RC

= = =+ +

( ) 2

11

11

V R sF s R C

sV RsC R C

′ ′′ ′ ′= = =′ ′ + +

′ ′ ′

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簡單主動RC濾波器

• 主動RC低通低通低通低通濾波器

• 轉移函數

Department of Electronic Engineering, NTUT

( )2

2 2

1 1 12

2

11 1

11

1

RV RsCF ssV R RR

sC R C

= = − = −+ +

• 主動RC高通高通高通高通濾波器

• 轉移函數

1V1R

C

2V

2R

1V

1CR

2V

2C

2 2R C C R=

RC:CR轉換

1i iC R=

頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮：若去正規化後之截止頻率為ωc，時間常數RC則要再除以ωc，可選擇R或C其中一個去除ωc即可。

簡單主動RC是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。

( ) 2 2 11

1

2 2

1

11

1

RV sC sRC

F s sCsV R

sC RC

′′ = = − = −′ + +

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阻抗的伸縮(Impedance Scaling)

• 以簡單被動RC低通濾波器為例：

• 若截止頻率ωc=1 rad/s，可得RC=1，所以R跟C的值可以是

Department of Electronic Engineering, NTUT

1V 2V

R

C

1 F

1

C

R

= = Ω

1 mF

1 k

C

R

= = Ω

1 µF

1 M

C

R

= = Ω

也可以是 ，當然，若要這樣配 也是可以。

範例：若參考阻抗R0=5 kΩ，阻抗升高5000倍

阻抗乘106倍

1 F

1

C

R

= = Ω

( ) 2

1

11 1

1 111

V sCF ssV sRCR

sC RC

= = = =++ +

1 1 1

1 1 1c

c c

F jRCsRC j RC j

ωωω ωω ω

= = = + + +

0

0

1 F200 µF

1 5 k

CR

R R

= = = Ω× = Ω

200 µF 5 k 1RC = × Ω =

阻抗乘103倍

27/53

一階轉移函數的實現 (I)

• 主動RC一階低通低通低通低通濾波器：

Department of Electronic Engineering, NTUT

反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法

( )2

2

1 12

2

11 1

11

1

o

i

RV RsCH ssV R RR

sC R C

≡ = − = −+ +

( ) ( ) 1

a a bF s

s b s b= =

+ +

( ) 2 2

1 1

11

1 11

11

o

i

V R RsCH ssV R RR

sC RC

≡ = + = +

+ +

iV1R

2R

C

oV

iVR

2R

CoV

1R

非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法

直流增益

直流增益

28/53

一階轉移函數的實現 (II)

• 主動RC一階高高高高通通通通濾波器：

Department of Electronic Engineering, NTUT

iV1R

2R

C

oV

iV

R

C

oV

aRbR

( ) ( )( ) 1

a b sasF s

s b s b= =

+ +

反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法 非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法

( ) 2 2

11

11

11

sH s R R C

sR

sC R C

= − = −+ +

( ) 1 11

11

b b

a a

R RR sH s RC

sR RRsC RC

= + = +

+ +

29/53

二階轉移函數的通式(Generalized Form)

• 二階轉移函數：

當 (共軛根)只能用被動RLC或主動RC電路實現。

• 二階轉移函數之通式(Biquadratic general form)：

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( )2

2 1 02

a s a s aF s

s sβ γ+ +=+ +

0.5γ β>

( ) ( ) ( )2 2

221 2 0 22 1 0

2 2 22 22

zz

z

nn nn

p

s ss a a s a aa s a s a Q

F s K Ks s s s s s

Q

ω ω

ωβ γ ζω ω ω

+ ++ ++ += = =

+ + + + + + pQγ

β=

0 pω γ=

2

1,2

4

2s

β β γ− ± −=分母的根

還記得電路學嗎？1. 共軛根 衰減弦波2. 為什麼會有弦波?3. 一階被動被動被動被動RC或RL電路，不可能有共軛根。

30/53

使用SAB實現二階轉移函數

• 利用主動RC電路來實現二階(biquadratic)轉移函數稱為「Biquad」電路。只用一個放大器來實現又稱為SAB(Single Amplifier Biquad)。SAB有兩種類型：

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增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組態態態態 EPF (Enhanced positive feedback)

增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組態態態態 ENF(Enhanced negative feedback)

電壓輸入端點

aR

RCa

b

c

bR RCa b

c

bR′aR′電壓輸入端點 RC網路用來產生複

數極點與零點，可為二階或三階。

Ra跟Rb所形成的回授，改變他們的值可以用來改變複數極點的位置。

31/53

EPF與ENF的互補轉換(CT)

• EPF與ENF使用一樣的RC網路，他們可以互相轉換(兩者稱為互補)。互補的EPF與ENF實現的同樣的轉移函數。

• 步驟一：將原來的回授端點改成接地。• 步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。

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aR

RCa

b

c

bR RCa b

c

aRbREPF ENF

c b

CT轉換

32/53

EPF與ENF的互補轉換範例

• 步驟一：將原來的回授端點改成接地。• 步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。

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2R

bRaR

1R1C 2C

aR bR

2C1R1C

2R

aRbR

1R1C

2C2R

EPF ENF ENFa

b

cc

b

b

c

a

CT轉換 重新排列

33/53

低通SAB – Sallen-Key二階低通電路

• Sallen-Key二階低通

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(EPF, VCVS, DC Gain )

( ) 1 2 1 2

2

1 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1o

i

G

V R R C CH s

V Gs s

R C R C R C R R C C

= = −+ + + +

1 b

a

RG

R= +

( ) 2

KF s

s sβ γ=

+ +1 1 2 1 2 2

1 1 1 G

R C R C R Cβ−+ + =

1 2 1 2

1

R R C Cγ=

1 2 1 2

GK

R R C C=

1

2

RCβ=

1 2

RC

β=

2 2C

R

βγ

=

2R1R

2C

1C

aR bR

iV

oV

轉移函數中的多項式係數：設計時是由近似型式(Butterworth, Chebyshev等)與階數決定；實現時是由R1、R2、C1與C2等元件值所決定。我們可先自己決定幾個未知數的值，通常會使用 ，此時OPA為隨耦器，頻寬最寬。

( )1 2 and 1 aR R R G R= = = = ∞

1 2 , 1R R R G= = =

34/53

範例

• 如果要實現Butterworth二階低通轉移函數：

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( )2

1

2 1F s

s s=

+ +

1 2C = 2

1

2C =

10

2

c

CRω

=

2

0

1

2 c

CRω

=

10

2C

R=

2

0

1

2C

R=

01 2

c

RR R

ω= =

02 while b aR R R= = ∞

1 2 0R R R= =

2R1R

2C

1C

aR bR

iV

oV

令 ( )1 2 1 and 1 aR R R G R= = = = = ∞

第一組解 第二組解

and

若參考阻抗為R0，截止頻率為ωc：

選擇以抵銷DC offset

• 若為R0 =10 kΩ，截止頻率為1 kHz：

1 2 10 kR R= = Ω

1 3 4

222.5 nF

2 10 10C

π= =

⋅ ⋅

2 3 4

111.25 nF

2 2 10 10C

π= =

⋅ ⋅ ⋅ 2 4

170.1 µF

2 10C = =

⋅

4

1 2 3

101.59

2 10R R

π= = = Ω

⋅

1 4

2141.4 µF

10C = =

20 kbR = Ω 3.18 bR = Ω

第一組解 第二組解

第二組解在實作上較不合理，故可選第一組解進行實作。

35/53

其他實現的方法

• 濾波器的實現方法百百種，但最基本的轉移函數型式不外乎就是那幾種，如Butterworth、Chebyshev與Eclliptic等等。

• 為了要實現那一堆轉移函數，我們可以用被動LC的方式，也可以用主動RC的電路來實現。

• 主動的實現方式還有雙OP Biqaud、Bach’s電路、三OPBiquad、雙積分器迴路Biquad, KHN (Kerwin, Huelsman,Newcomb) Biquad、 Tow-Thomas Biquad、 Åkerberg-Mossberg Biquad、WAE、Multiple Feedback、Twin-T等等。

Department of Electronic Engineering, NTUT36/53

濾波器設計軟體

• 由本章的討論可以知道，濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一種數學過程種數學過程種數學過程種數學過程。很多廠商皆有提供免費的濾波器設計軟體，使用者只要將濾波器規格參數鍵入，軟體就能自動幫我們設計出想要的濾波器出來。

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Microchip FilterLab TI FilterPro

37/53

範例-主動式低通濾波器設計 (I)

• 設計一個低通濾波器，截止頻率為5 kHz，在20 kHz時衰減量要達到40 dB。

Department of Electronic Engineering, NTUT

1.Filter Design

直流增益

使用使用使用使用Microchip FilterLab

38/53

範例-主動式低通濾波器設計 (II)

Department of Electronic Engineering, NTUT

1.頻率響應圖 3.電路設計 4.也能產生SPICE Netlist

2. 三階設計，可隨時改變此值增減階數。

39/53

範例-主動式低通濾波器設計 (III)

Department of Electronic Engineering, NTUT

使用使用使用使用TI FilterPro

40/53

範例-主動式低通濾波器設計 (IV)

Department of Electronic Engineering, NTUT41/53

被動階梯式LC濾波器(LC Ladder)

• 本章所介紹之濾波器都可以使用LC被動元件來實現。

• 被動式濾波器的增益永遠小於1。

• 階梯式LC低通濾波器：

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先並先並先並先並C再串再串再串再串L

先串先串先串先串L再並再並再並再並C

0g 1g 3g 5g 1ng −

2g 4g 6g ng 1ng +

0g

1 1L g=

2 2C g= 4 4C g= 6 6C g=

3 3L g= 5 5L g=

1ng +

ngng 為並電容： 1ng +為負載電阻。

ng 為串電感： 1ng +為負載電導。

kg 為串聯電感值或並聯電容值。

1g 為串電感： 0g 為源並聯電導。1g 為並電容： 0g 為源串聯電阻。

42/53

以二階Butterworh為例

• 考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導最大平坦度設計之正規化L, C值。假設源阻抗為1Ω，截止頻率為1 rad/s。

Department of Electronic Engineering, NTUT

41LRP ω= +

( )2 2 2

1

1in

R j CZ j L

R C

ωω

ω−

= ++

1

1in

in

Z

Z

−Γ =+

( )2

2

11 1

21 111

1 1

inLR

in inin in

in in

ZP

Z ZZ Z

Z Z

∗∗

∗

+= = =

+− −− Γ − + +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 411 1 2 1

4LRP R R C L LCR L C RR

ω ω ω = + − + + − + = +

( ) ( )22 2 2 0C L LC L C+ − = − = L C=2 2 4

14 4

L C L= = 2L C= =

L

C R

1 Ω

inZ

1R =

0g 1g

2g3 1g =

對於3階、4階…等更高階的Butterworth低通濾波器，要找出其正規化LC值也是運用同樣的手法。所幸，這個工作已經有人先幫我們做好並製成表格了。因此工程師在設計時只要直接查表即可(你也可以自己慢慢計算，但是算出來的結果就跟g值表一模一樣，何必多此一舉呢?)。

43/53

Butterworth響應LC低通濾波器g值表

Department of Electronic Engineering, NTUT44/53

以二階Chebyshev為例

• 考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導等漣波設計之正規化L, C值。假設源阻抗為1 Ω，截止頻率為1 rad/s。

Department of Electronic Engineering, NTUT

L

C R

1 Ω

inZ

0g 1g

2g3 1g =

( )2 21LR nP Cε ω= + ( ) 0 , for odd0

1, for evenn

nC

n

=

( ) 2

1 , odd0

1 , evenLR

nP

nε

= +

( ) 22 2 1C ω ω= −

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42

11 1 4 4 1 1 1 2

4LRP C R R C L LCR L C RR

ε ω ε ω ω ω ω = + = + − + = + − + + − +

如果ripple levelε已知，RLC就可以解出來：

0ω =( )2

2 1

4

R

Rε

−= 2 21 2 2 1 (for = even)R nε ε ε= + ± +或

2 2 2 214

4L C R

Rε =

( )2 2 2 2 214 2

4R C L LCR

Rε− = + −

可找出LC

n為奇數或偶數要分開考慮。

當n為偶數時，計算出來的R不會等於1。若正規化負載阻抗為1，那麼彼此就不匹配。這可以用1/4波長阻抗轉換器或使用奇次階來解決。

45/53

Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(I)

Department of Electronic Engineering, NTUT46/53

Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(II)

Department of Electronic Engineering, NTUT47/53

範例-Butterworth (I)

• 設計一個Butterwoth低通濾波器，截止頻率為2 GHz，參考阻抗為50 Ω。在3 GHz時至少有15 dB的損耗。

Department of Electronic Engineering, NTUT

1 0.618g =

2 1.618g =

3 2g =

4 1.618g =

5 0.618g =

0.1 0.1 15

0.1 0.1 3

10 1 10 1log log

10 11 110 14.225

3 GHz2 2 loglog 2 GHz

s

p

A

A

s

p

nωω

×

×

− − −− = = =

0 1g =

1g2g

3g4g

6g

5g

50 sR = Ω

1C

2L

3C

4L

LR

50 Ω5C

1

0.6180.984 pF

50 2 2 GHzC

π=

⋅ ⋅≃

2

1.618 506.438 nH

2 2 GHzL

π⋅=

⋅≃

3

23.183 pF

50 2 2 GHzC

π=

⋅ ⋅≃

4

1.618 506.438 nH

2 2 GHzL

π⋅=

⋅≃

5

0.6180.984 pF

50 2 2 GHzC

π=

⋅ ⋅≃

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

CC3C=0.984 pF

LL2

R=L=6.438 nH

CC2C=3.183 pF

LL1

R=L=6.438 nH

CC1C=0.984 pF

S_ParamSP1

Step=0.1 GHzStop=6.0 GHzStart=0.1 GHz

S-PARAMETERSTermTerm1

Z=50 OhmNum=1

m1freq=dB(S(2,1))=-3.009

2.000GHz

m2freq=dB(S(2,1))=-17.686

3.000GHz

1 2 3 4 50 6

-40

-30

-20

-10

0

-50

10

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

m1

m2

m1freq=dB(S(2,1))=-3.009

2.000GHz

m2freq=dB(S(2,1))=-17.686

3.000GHz

至少用5階

查表可得

48/53

範例-Butterworth (II)

• 使用先串L再並C：

Department of Electronic Engineering, NTUT

0 1g =

1g

2g

3g

4g 6g

5g1 50 sG = Ω

50 Ω

1

0.618 502.459 nH

2 2 GHzL

π⋅=

⋅≃

2

1.6182.575 pF

50 2 2 GHzC

π=

⋅ ⋅≃

3

2 507.958 nH

2 2 GHzL

π⋅=

⋅≃

4

1.6182.575 pF

50 2 2 GHzC

π=

⋅ ⋅≃

5

0.618 502.459 nH

2 2 GHzL

π⋅=

⋅≃

如果改用Chebyshev設計呢？

m1freq=dB(S(2,1))=-3.010

2.000GHz

m2freq=dB(S(2,1))=-17.682

3.000GHz

1 2 3 4 50 6

-40

-30

-20

-10

0

-50

10

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

m1

m2

m1freq=dB(S(2,1))=-3.010

2.000GHz

m2freq=dB(S(2,1))=-17.682

3.000GHz

S_ParamSP1

Step=0.1 GHzStop=6.0 GHzStart=0.1 GHz

S-PARAMETERS LL3

R=L=2.459 nH

CC4C=2.575 pF

LL4

R=L=7.958 nH

LL5

R=L=2.459 nH

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

CC5C=2.575 pF

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

1 0.618g =

2 1.618g =

3 2g =

4 1.618g =

5 0.618g =

查表可得

請同學自己練習。

49/53

各種濾波器LC轉換表(由低通轉過去)

Department of Electronic Engineering, NTUT

nL

低通轉低低通轉低低通轉低低通轉低通通通通：：：：頻率轉換

元件g值 阻抗 元件值

nC

n n nc

ss L L

ω= n

c

LL

ω=

1 c

n n ns C sC

ω= n

c

CC

ω=

n cs s ω→

nL

低通低通低通低通轉高通轉高通轉高通轉高通：：：：頻率轉換

元件g值 阻抗 元件值

nC

cn n ns L L

s

ω=1

c n

CLω

=

1

n n c n

s

s C Cω= 1

c n

LCω

=

n cs sω→

nL

低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換

元件g值 阻抗 元件值

nC

0 0

0n n n

ss L L

B s

ω ωω

= +

nLL

B=

0 0

0

1 1

n nn

s C sC

B s

ω ωω

=

+

nCC

B=

0 0

0n

ss

B s

ω ωω

→ +

20 n

BC

Lω=

20 n

BL

Cω=

LC串聯

LC並聯

nL

低通低通低通低通轉帶斥轉帶斥轉帶斥轉帶斥：：：：頻率轉換

元件g值 阻抗 元件值

nC

1

0 0

0n n n

ss L L

B s

ω ωω

−

= +

20

nBLL

ω=

0 0

01

n n n

s

B s

s C C

ω ωω

+ =

20

nBCC

ω=

1

0 0

0n

ss

B s

ω ωω

−

→ +

1

n

CBL

=

1

n

LBC

=

LC並聯

LC串聯

設計時直接參考轉換表即可。

50/53

各種濾波器LC轉換對應圖

Department of Electronic Engineering, NTUT

低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器

nL

nC

高通濾波器高通濾波器高通濾波器高通濾波器

1

c n

CLω

=

1

c n

LCω

=

帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器 帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器

nLL

B=

nCC

B=

20 n

BC

Lω=

20 n

BL

Cω=

20

nBLL

ω=

20

nBCC

ω=

1

n

CBL

=

1

n

LBC

=

51/53

範例-帶通濾波器

• 設計一個三階帶通濾波器(使用Butterworth低通為原型再做轉換)，其中心頻率為1 krad/s、頻寬為100 rad/s且參考阻抗為600歐姆。

Department of Electronic Engineering, NTUT

0 1g =

1 1g =

2 2g =

3 1g = 4 1g =

( )600

,1 1 1 1 12

100 1 10 mF1 0.1 mH, 10 mF 600 0.1 mH 60 mH, 16.67 µF

100 6001 k 1nC L C L C

Ω= ⇒ = = = = ⇒ = × = = =

⋅

( )600

,2 2 2 2 22

100 2 50 µF2 50 µF, 20 mH 83.33 nF, 600 20 mH 12 H

100 6001 k 2nL C L C L

Ω= ⇒ = = = = ⇒ = = = × =

⋅

( )600

,3 1 1 3 32

100 1 10 mF1 0.1 mH, 10 mF 600 0.1 mH 60 mH, 16.67 µF

100 6001 k 1nC L C L C

Ω= ⇒ = = = = ⇒ = × = = =

⋅

600 Ω

60 mH 16.67 µF

16.67 µF

60 mH

12 H 83.33 nF

600 Ω0 1 krad/s, 100 rad/sBω = =

nL

低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換

g值 阻抗 元件值

nC

0 0

0n n n

ss L L

B s

ω ωω

= +

nLL

B=

0 0

0

1 1

n nn

s C sC

B s

ω ωω

=

+

nCC

B=

0 0

0n

ss

B s

ω ωω

→ +

20 n

BC

Lω=

20 n

BL

Cω=

LC串聯

LC並聯

52/53

結論

Department of Electronic Engineering, NTUT

濾波器規格濾波器規格濾波器規格濾波器規格 響應近似響應近似響應近似響應近似 階數階數階數階數

轉移函數轉移函數轉移函數轉移函數 主動主動主動主動:Biquad

g值表值表值表值表 被動被動被動被動: LC

53/53