第五章第 5 课时：

三角形及梯形 中位线定理

要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦一、平行线等分线段定理及其推论

1. 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 .

2. 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 .

3. 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 .

二、三角形、梯形中位线

1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 .2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 .3. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段 .4. 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .5. 梯形面积公式： S=1/2(a+b)h=m·h(a 、 b 为上、下底， m 为中位线 ,h 为高 )

1. 如图 5-5-1 所示， AD 是△ ABC 的高， DC=BD,MN在 AB 上，且 AM=MN=NB 、 ME BC⊥ 于 E ， NF BC⊥于 F ，则 FC=( )

A.2/3BC B.2/3BD C.3/4BC D.3/4BD

课前热身

A

2.(2003· 江苏南通市 ) 梯形的上底长为 a ，下底长 2.(2003· 江苏南通市 ) 梯形的上底长为 a ，下底长是上底长的3 倍，则梯形的中位线为 ( )

A.4a B.2a C.1.5a D.aB

3.(2003· 长沙 ) 如图 5-5-2 所示， A 、 B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A 、 B 间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到 A 、 B 的点 C ，找到 AC 、 BC 的中点D 、 E ，并且测出 DE 的长为 15 米，则 A 、 B 两点间的距离为 30 米 .

C

4.(2003· 广西桂林市 ) 如图 5-5-3 所示，已知矩形 4.(2003· 广 西 桂 林 市 ) 如 图 5-5-3 所 示 ， 已 知 矩 形ABCD ， R 、 P 分别是 DC 、 BC 上的点， E 、 F 分别是 AP 、 RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R不动时，那么下列结论成立的是 ( )

A. 线段 EF 的长逐渐增大B. 线段 EF 的长逐渐减少C. 线段 EF 的长不变D. 线段 EF 的长不能确定

5. 直角梯形的中位线为 a ，一腰长为 b ，这个腰与底边所成的角是 30° ，则它的面积是 ( )

A.ab B.1/2ab C.1/4ab D.1/3abB

典型例题解析

【例 1 】 如图 5-5-4 所示的梯形 ABCD 中， AD BC∥ ，对 角 线 AC 与 BD 垂 直 相 交 于 O ， MN 是 中 位线，∠ DBC=30° ，求证： AC=MN.

【例 2 】 (1) 如图 2-5-5(1) 所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB CD∥ ，点 E 为 BC 的中点，设△ DEA 面积为 S1 ，梯形 ABCD 的面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是 .

(2) 如图 2-5-5(2) 所示，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，且AD∶BC=3∶5 ，梯形 ABCD 的面积为 8cm2 ，点 M 、 N 分别是 AD 和 BC 上的一点， E 、 F 分别是 BM 、 CN 的中点，则四边形 MENF 的面积是 .  

5/2

【 例 3 】 如 图 5-5-6 所 示 ， 在 四 边 形 ABCD中，∠ ADC=90° ， AC=BC ， E 、 F 分别是 AC 、 AB的中点，且∠ DEA= ACB=45°∠ ， BG AC⊥ 于 G.

(1) 求证：四边形 AFGD 是菱形 .(2) 若 AC=CB=10cm ，求菱形的面积 . (2) (25 -25)cm2. 2

【 例 4 】 AB 、 CD 是 两 条 线 段 ， M 是 AB 中点， S1 ， S2 ， S3 分别表示△ DMC △、 DAC △、 DBC

的面积 .(1) 当 AB CD∥ 时，如图 5-5-7(1) 所示 . 求证S1=1/2 (S2+S3).

(2) 如图 5-5-7(2) 所示，若 AB 与 CD 不平行，是否有S1=1/2(S2+S3)? 请说明理由 .

(3) 如图 5-5-7(3) 所示，若 AB 与 CD 相交于 O 点，问S1 与 S2 、 S3 有何相等关系 ? 试证明你的结论 .

(2)S1=1/2(S2+S3).

(3) S1=1/2(S3-S2).

图 5-5-7(2)图 5-5-7(1)

图 5-5-7(3)

方法小结

1. 不 能 认 为 在 图 形 中 有 第 三 边 的 一半， DE=12BC，如图 5-5-8 所示，就认为 DE BC.∥

2. 如图 5-5-9 所示， AD BC∥ ， E、 F 分别是 DB， AC的中点，有的同学延长 EF交 DC于 G，就下结论 G 是 DC的中点，这里错误的，应过 E 作 EG BC∥ 交 DC 于 G，则 G是 DC中点，再证 E、 F、 G 共线 .

5-5-85-5-9

课时训练1. 梯形的高是 6cm ，面积是 24cm2 ，那么这个梯形的

中位线长是 ( )A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm2. 梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等

分，则较短底边与较长底边的比为 ( )A.1 2 B.2 3 C.1 3 D.2 5∶ ∶ ∶ ∶3. 如 图 5-5-10 ， EF 是 梯 形 ABCD 的 中 位 线 ， 则

△ DEF 的面积等于梯形 ABCD 面积的 ( ) A.1/3 B.1/4 C. 1/5 D.1/6

C

A

B

4. 连接四边形各边的中点得到的四边形是正方形，则原四边形的对角线需满足的条件是 ( )

A. 对角线相等 B. 对角线垂直C. 对角线相等且垂直 D. 一条对角线平分另一条对角线5. 已知：四边形 ABCD 和对角线 AC 、 BD ，顺次连接

各边中点得四边形 MNPQ ，给出以下六个命题：①若所得四边形 MNPQ 为矩形，则原四边形 ABCD 是菱形；②若所得四边形 MNPQ 为菱形，则原四边形 ABCD 是矩形；③若所得四边形 PQMN 为矩形，则 AC BD⊥ ④； 若所得四边形 MNPQ 为菱形，则 AC=BD ⑤； 若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠ BAD=90° ⑥； 若所得四边形 MNPQ为菱形，则 AB=AD ，以上命题中正确的是 ( )

A. B.①② ③④ C. D.③④⑤⑥ ①②③④

C

D

6. 已知 D 、 E 、 F 分别△ ABC 各边的中点，则S DEF△ = ABC△1/4