本本

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们应该怎样知道。 —毕达哥拉斯

城关中学 余雪芬

图中有你熟悉的图形吗 ? 梯形

平行四边形

两组对边

分别平行

一组对边平行

另一组对边不平行两腰相等

有一个角是直角

四边形

等腰梯形

直角梯形

一个角

是直角一

组邻

边相

等

梯 形

一组邻边相等 一个角是

直角

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 .

上底

下底

腰腰高

AB

CD

E

梯形有哪些元素呢

下底

上底注意：上、下底是以梯形的底边长短区分的，不是指底边的位置。较短的底边叫上底，较长的底边叫下底

思考

1 、一组对边平行的四边形是梯形 （ ）

2 、只有一组对边平行的四边形是梯形 （ ）

3 、一组对边平行且相等的四边形是梯形 （ ）4 、一组对边平行且不相等的四边形是梯形（ ）

A

B C

D

在一张有平行线的纸上作一个等腰梯形 ,你能说明等腰梯形是轴对称图形吗？它的对称轴是经过上、下底中点的直线你还能探索出有关等腰梯形的哪些性质（边、角、对角线）？

做一做 :

过点 D作 DE∥AB 交 BC 于点E

已知：在等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC,AB=DC ，求证：∠ B＝∠ C，∠ A＝∠ D

证明：过点 D作 DE∥AB 交 BC 于点E ∵DE∥AB, ∴∠DEC ＝∠ B.

又 ∵ AD∥BC ∴四边形 ABED 为平行四边形 . ∴ AB ＝ DE, ∴ DC ＝ DE , ∴∠DEC ＝∠ C, ∴∠B＝∠ C.

又∵∠ B+∠A=1800

∠C+∠ADC=1800

∴∠A＝∠ ADC.

平 移 一 腰

B

A D

C

E

EE F

平移 延长作高

清除

E

平移 2

过点 A作 AE⊥BC 于点 E

过点 D作 DF⊥BC 于点 F 作 高 线 转 化

求证： 等腰梯形同一底边上的两个角相等

等腰梯形的两条对角线相等

A

B C

D

已知：在等腰梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， AB=DC

1 2

求证： AC=BD

证明： ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形 ∴ ∠ ABC= ∠ DCB

又∵ AB=DC BC=CB

∴ △ ABC DCB△ （ SAS ） ∴AC=BD （全等三角形的对应边相等）

O

（ OB = OC OA = OD ）

（等腰梯形同一底边上的两个角相等）

等腰梯形同一底边上的两个角相等

等腰梯形的性质定理：

等腰梯形的两条对角线相等

∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形 ∴ ∠ BAD = A∠ DC

∠ ABC = B∠ CD

A D

B C

∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形

∴ AC= B D

几何符号语言：

几何符号语言：

E

A

B C

D1 2

延 长 两 腰

例 1 ：如图 : 延长等腰梯形 ABCD 的两腰 BA 和CD ，相交于点 E. 求证 :△EBC 和△ EAD 都是等腰三角形 .

1. 一等腰梯形的腰长为 13cm ，两底差为 10cm ，则其 高为（ ） （ A ） 69cm （ B ） 12cm （ C ） 144cm （ D ）25cm

D

CB

A

E F5cm 5cm

13cm

B

学以致用： （ 1 分钟）

2. 如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，且 AD=AB=DC, 对角线 BD⊥DC, 则∠ A= 度 .120

B

A D

C

学以致用： （ 2 分钟）

过点 D作 DE∥AB 交 BC 于点E

证明：延长两腰，交于点 E ∵AD∥BC, ∴∠DAE ＝∠ B, ∠ADE ＝∠C 又 ∵ ∠ B＝∠ C, ∠B=600

∴ ⊿EAD ,⊿EBC 都是等边三角 形 ∴EA ＝ AD=15

∴BC=EB=EA+AB=15+35=50. 平 移 一 腰

B

A D

C

E

EE F

平移 延长作高

清除

E

平移 2

过点 A作 AE⊥BC 于点 E

过点 D作 DF⊥BC 于点 F 作 高 线

学以致用：3. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，∠B=600

AD=15,AB=35, 求 BC的长 .

600

∴∠DAE ＝ ∠ ADE ＝ 600

答： BC的长是 50.

在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD,AD=BC, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C作 CE∥DB 交 AB 延长线于点 E,

拓展与探究

E

（ 1）请判断△ ACE 的形状，并说明你的理由。A B

CD

O证明：∵ CE∥BD, DC∥BE∴四边形 DBEC 为平行四边形 . ∴ CE ＝ BD ∵ 在梯形 ABCD 中 AB∥CD ， AD=BC ∴ AC=BD

∴ AC=CE ∴ △ACE 是等腰三角形

在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD,AD=BC, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C作 CE∥DB 交 AB 延长线于点 E,

拓展与探究

E

（ 1）请判断△ ACE 的形状，并说明你的理由 .A B

CD

O

（ 2）若 AC⊥BD ，则△ ACE 是 三角形 .等腰直角（3）过点C作CH⊥AB于H，若DC=3cm，AB=7cm, 求CH的长.

H

3

7

5

在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD,AD=BC, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C作 CE∥DB 交 AB 延长线于点 E,

拓展与探究

E

（ 1）请判断△ ACE 的形状，并说明你的理由 .A B

CD

O

（ 2）若 AC⊥BD ，则△ ACE 是 三角形 .等腰直角（3）过点C作CH⊥AB于H，若DC=3cm，AB=7cm, 求CH的长.

H

（ 4）在（ 3）的条件下，求梯形 ABCD 的面积 .

37

5

1 知识要点……

2 数学思想……

这节课你有哪些收获？

平移对角线

B

A D

C

E

B

A D

CB

A D

CE E F

A B

CD

O

平移一腰 作高线 延长两腰

E 转化思想

解决梯形问题常用的辅助线

1. 梯形的定义及类型：

一组对边平行

另一组对边不平行四边形 梯形 有一个角是直角

直角梯形

两腰相等等腰梯形

2. 等腰梯形的性质(1) 两底平行 , 两腰相等 AD BC, AB=CD∥(2) 同一底上的两角相等∠BAD= ADC, ∠∠ABC= BCD∠(3) 对角线相等 AC=BD

(4) 是轴对称图形

A

B C

D 边

角

对角线

• 作业：作业本（ 2 ） 19.3 梯形（ 1 ）

如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ） （ A ） 4∶3∶1∶2 （ B ） 4∶2∶3∶1 （ C ） 4∶1∶3∶2 （ D ）不能确定

C

A

B

D

C

思考题

俄国作家列夫 · 托尔斯泰在他的一部作品中写道： 巴霍想到草原上买一块地，卖地人对他说：“只要你愿出 1000 卢布的话，那么你从日出到日落走过的路围成的地就都归你。” 第二天，巴霍一早起来，先笔直往前跑了 18km ，才向左拐弯，又笔直地跑了 16km ，再向左拐弯，再跑了 2km 。此时，发现太阳就快要落山了，他马上改变方向，笔直地向出发点跑去。总算到太阳落山前跑回了出发点，可是他向前一扑，口吐鲜血，再也站不起来了…… 聪明的你，巴霍累死累活地跑，他到底围了多大面积的土地呢？

你能否再求出巴霍最后一段路他跑了多少 km 吗？

18

16

2

A B

CD

E